2023-2024学年北京市朝阳区高二年级上册期末考试质量检测数学试卷含详解

北京市朝阳区2023-2024学年度第一学期期末质量检测

高二数学

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷共4页，150分,考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和

答题卡一并交回.

第一部分（选择题共50分）

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项.

1.若直线/的斜率为一仃，则/的倾斜角为（）

A.--B.-工C.二D.2

3636

2.已知等差数列｛4｝,其前〃项和为s“，若&+%+%=3,则$9=（）

A.3B.6C.9D.27

3.已知双曲线二-与=1（〃>0⑦>0）的实轴长为2五，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为夜，则双曲线

a'h'

的渐近线方程为（）

A.y=+xB.y=±V2x

C.y=±y/3xD.y=±2x

4.过抛物线f=4y的焦点尸作倾斜角为30的直线/与抛物线交于A3两点，则卜回=（）

10nC13>16

A.—B.4C.—D.—

333

5.在正方体ABCQ-AgGA中，£尸分别为和A区的中点，则异面直线A尸与所成角的余弦值是

（）

A.OB.-C.-D.—

555

6.若方程』一-二二1表示椭圆，则实数加的取值范围是（）

4-mm

A.（0,4）B.（口,0）C.（4,+a））D.（—,0儿（。,4）

7.已知等比数列｛q｝各项都为正数，前〃项和为S”，则“｛q｝是递增数列”是“V〃tN”,S2〃v3S”q（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.为了响应国家节能减排号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量W与时间/的

关系如图所示，下列说法正确的是（）

A.该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多

B.该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快

C.接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快

D.该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同

9.A6是圆G：（九一2）2+（y-m）2=4上两点，|A8|=2G，若在圆。2：*-2）2+（丁+1）2=9上存在点p恰为

线段的中点，则实数小的取值范围为（）

A.[1,3]B.[-5,3]C.[-5-3]qi,3]D.[-4,-2]u[2,4]

10.已知数列｛q｝的通项公式%=2",〃£N'.设f=（4+l）（4+l）（%+l）…（％，+1），丘N"，若

log2（r+1）=256,则2=（）

A.6B.7C.8D.9

第二部分（非选择题共100分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.两条直线4：工一丁二0与/2：工一）'-2二0之间距离是.

12.已知函数〃x）=sin2x,则,（0）=.

13.以,4（4,6）,8（—2,—2）为直径端点的圆的方程是________.

14.在空间直角坐标系中，已知点人（1,。,0）,3（0,1,0）,。（0,0,1）,若点尸（x,y,1）在平面AOC为，写出一个符

合题意的点P的坐标.

15.某学校球类社团组织学生进行单淘汰制的乒乓球比赛（负者不再比赛），如果报名人数是2的正整数次幕，那

么每2人编为一组进行比赛，逐轮淘汰.以2022年世界杯足球赛为例，共有16支队进入单淘汰制比赛阶段，需要

四轮，8+4+2+1=15场比赛决出冠军.如果报名人数不是2的正整数次幕，则规定在第一轮比赛中安排轮空（轮

空不计入场数），使得笫二轮比赛人数为2的最大正整数次事.（如20人参加单淘汰制比赛，第一轮有12人轮空，

其余8人进行4场比赛，淘汰4人，使得第二轮比赛人数为16.）最终有120名同学参加校乒乓球赛，则直到决出

冠军共需轮；决出冠军的比赛总场数是.

16.如图，在长方体A8CQ—AAGA中，A8=AO=3,A4=1,M为棱3C的中点，点P是侧面CR。。上

的动点，满足N4PD=NCQM,给出下列四个结论：

①动点尸的轨迹是一段圆弧:

7T

②动点产的轨迹区度为一；

3

③动点尸的轨迹与线段CG有且只有一个公共点；

④三棱锥AOR的体积的最大值为上叵.

2

其中所有正确结论的序号是__________.

三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.已知函数/(x)=(2W-3x)e1

⑴求曲线y=〃力在点(0"(0)j处的切线方程：

(2)求/(力单调区间.

18.已知S”为数列｛4｝的前〃项和，满足SLZq—l/sN*,数列｛2｝是等差数列，且

“=-q,/?,+Z?4=-10.

(1)求数列｛q｝和也｝的通项公式；

(2)求数列｛4+a｝的前〃项和.

19.如图，三棱锥P-48C中，AB=BC=CA=PB=\,平面PA3_L平面ABC，点E是棱肥的中点，再从

条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.

(1)求证：ABLPCx

(2)求二面角石-AC-4的余弦值.

条件①:PC巫、

2

条件②：直线PC与平面Q43所成角为45.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

22c

20.已知椭圆E：・+齐=1（〃＞人＞0）的一个顶点坐标为（（）,、万），离心率为

（1）求椭圆£的标准方程；

（2）过椭圆E的右焦点F作斜率为攵化。0）的直线/交椭圆E于48两点，线段AB的垂直平分线巾分别交直

\KN\

线轴，），轴于点M,N,K,求仁的值.

\MN\

21.设正整数〃24,若由实数组成的集合4={",…,可}满足如下性质，则称A为H”集合：对A中任意四

个不同的元素a,A,c,d,均有出?+cd£A.

（1）判断集合%口&二K，1,2,31否为H“集合，说明理由；

✓,

（2）若集合A={0,x，xz}为H4集合，求A中大于1的元素的可能个数；

（3）若集合A为H〃集合，求证：A中元素不能全为正实数.

北京市朝阳区2023-2024学年度第一学期期末质量检测

高二数学

第一部分（选择题共50分）

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项.

1.若直线/的斜率为一百，则/的倾斜角为（）

A.--B.--C4D.”

3636

【答案】C

【分析】设直线/的倾斜角为6,根据题意得到tan6=-6,即可求解.

【详解】设直线/的倾斜角为

因为直线的斜率是-如，可得tan8=-6，

又因为所以。二红，即直线的倾斜角为3.

33

故选：C

2.已知等差数列｛%｝,其前〃项和为S”，若生+。5+。8=3,则$9=（）

A.3B.6C.9D.27

【答案】C

【分析】利用等差数列性质，结合前八项和公式计算即得.

【详解】在等差数列也｝中，3%=。2+%+仆=3,解得%=1,

所以S9=9（q；“9）=9%=9.

故选：C

3.已知双曲线£=2>0）的实轴长为2五，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为正，则双曲线

的渐近线方程为（）

A.y=±xB.y=±y/2x

C.y=±y/3xD.y=±2x

【答案】A

【分析】由实轴长得4=血，由焦点到渐近线的距离为〃=血，则可得渐近线方程.

22

【详解】由双曲线二一二二15>0力>0）知，焦点在X轴上，

设左焦点尸（一c,0）,其中一条渐近线方程为），二,x,即云-纱=0.

由实轴长为2立得2〃=2近，解得4=0；

由左焦点尸（一。,0）到渐近线版-冲=。的距离d=『"d=/=b=g,

y/a2+b2c

则双曲线渐近线方程为＞』士工

【答案】D

【分析】将直线/的方程与抛物线方程联立，得）%+%，由焦点弦长公式|A8|=y+%+〃得弦长・

旦+1

【详解】抛物线/二4》的焦点厂（0,1）,直线/的方程为），=

3

x2=4y

联立方程组々73,得3)，2-10)，+3=0,△>()

y=——x+1

卜3

设4X，X),&々，%)，

10I,川「16

则rll乂+)‘2=1,MM=)，I+M+2=§

故诜：D.

5.在正方体44CD-A与GA中，瓦厂分别为C。和A4的中点，则异面直线4尸与RE.所成角的余弦值是

（）

A.OB.-C.-D.—

555

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，转化为求解两向量夹角的余弦值即可.

【详解】设正方体棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系，

则D、(0,0,2),E(0J,0),A(2,0,0),F(2,l,2),

D,E=(0,l-2),AF=(0,l,2),

DEAF1-43

则cos(DE,AF)=।---r-j---=-T=—T==--,

人」、x/何斗四&x石5,

由异面直线AF与.所成角为锐角，

则余弦值面直线AF与RE.所成角的余弦值为|.

故选：B.

6.若方程二一-二二1表示椭圆，则实数〃7的取值范围是()

4-inm

A.(0,4)B.(-a),0)C.(4,+a))D.(-o),0)U(0,4)

【答案】B

【分析】由方程表示椭圆得系数满足的不等式组，解不等式组可得.

22

【详解】因为方程』一-二二1表示椭圆，

4一"zm

4-in>0

则｛一〃>0,解得〃2V0,则实数〃7的取值范围是(一8,0).

4一，〃工-m

故选：B.

7.已知等比数列｛〃”｝各项都为正数，前〃项和为S”，则“｛〃”｝是递增数歹『，是"必?£1<,52〃<35」的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】通过两个特殊数列可知两个命题互相推不出，则可判断为既不充分也不必要条件.

【详解】等比数列｛〃“｝各项都为正数，设公比为《，则9=*>0,

①当4=1M=2时、｛4｝是递增数列，

I".3(1-2”)

§2”=—=22m-l,3S“二^-=3(2-1),

由S2n-3S”=(2"丫一3•2〃+2=(2"-1)(2〃一2)20,则S2rl>3S,｛

不满足T〃eN*,S2“<3S”.

所以｛〃“｝是递增数列KVneN",S2n<3S..

②当q=(7=1时，则S2ll=2n<3S“=3〃，

此时满足S2“<3S“，｛4｝为常数列，不是递增数列.

所以V〃WN”,S2”<3S“声｛q｝是递增数列.

故”｛4｝是递增数歹『'是"必2£1<~2〃<35””的既不充分也不必要条件.

故选：D.

8.为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量W与时间，的

关系如图所示，下列说法正确的是()

A.该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多

B.该月内，甲厂污水排放量减少的谏度是先慢后快

c.在接近4时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快

D.该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同

【答案】D

【分析】选项A,结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B,由切线倾斜程度的大小比较可得；

选项C.在接近小时污水排放量减少快慢，可以用在4处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在。处切

线的斜率的绝对值大小即可得；选项D,利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量的瞬时变化

率即切线的斜率相等，则甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同.

【详解】选项A,设八卬二叱力一叱/，

设甲工厂的污水排放量减少为△叱,乙工厂的污水排放量减少为，

结合图像可知：△叱〈AW?,

所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误；

选项B.作出如图所示表示甲厂曲线的3条切线人LA可知，

直线的倾斜程度小于4的倾斜程度，直线％的倾斜程度大于〃的倾斜程度，

而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快，

从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误;

w-W_

从6时刻到八时刻，污水排放量平均变化率f=*~旦，

由导数为定义与几何意义可知，

在接近八时，在接近小时污水排放量减少快慢，可以用在九处切线的斜率的大小比较近似代替.

设甲工厂在4处切线的斜率为占，乙工厂在乙）处切线的斜率为勺，

结合图象可知同＞|勾,

所以在接近4时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误；

选项D,如图，利用导数的几何意义，存在时刻两曲线切线的斜率相等,

即甲、乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同,

所以该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确.

故选：D.

9.48是圆弓：。一2）2+（卜一〃7）2=4上两点，|48|=26,若在圆G:（x—2尸+（y+4=9上存在点尸恰为

线段AB的中点，则实数加的取值范围为（）

A.[1,3]B.[-5,3]C.[-5,-3]o[l,3]D.2M2,4]

【答案】c

【分析】由=得弦中点。到圆心G的距离|C"=1,则点尸在以G为圆心，1为半径的圆上，又在圆G

上存在点P,则可转化为两圆有公共点问题求解即可.

【详解】圆。1：（1-2）2十（[一m）2=4,圆心G（2,〃z）,r=2,

由P是弦A3的中点，且|其同=26,则由圆的几何性质，QPA.AB,

所以《4=田口可=1，

故点P在以G（2,m）为圆心，以4二1为半径的圆上.

又在圆。2：&一2尸+（），+1产=9上存在点p满足题设，

且其圆心。2（2,-1）,半径弓=3,

则由两圆有公共点,得弓—4引GG归弓+小Bpl<|/??+l|<4,

解得一5K相工一3,或

10.已知数列｛q｝的通项公式勺=2"wN*.设，=(4+1)(%+1)(4+1)(4j+l)，获N"，若

log2(z+1)=256,则无=()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】在已知，的等式代入通项公式4=2",在两边同乘以式子(2-1),连续使用平方差公式化简得［=22,-1，

再由对数式转化指数式得，=2W一1,则可解得h

24

【详解】由题意知，/=(«,+1)(«2+l)(t/4+1)­•(«2t_,+1)=(2+1)(2+1)(2+1)(2a+1),

则r=(2-l)(2+1)(22+1)(24+1)(22i，+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)・..(2户+1)

=(24-1)(24+1)--(22"+1)=22'-1，

由log2(f+l)=256得.=2块一1=22'_1，贝IJ2"=256=2%

解得攵=8.

故选：C.

第二部分(非选择题共100分)

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.两条直线(：x-y=0与4：x-2=0之间的距离是.

【答案】及

【分析】由两条平行线的距离公式求解即可.

2

【详解】由两条平行线的距离公式可得：6/=|Q-(-)1=5/2

Vi+i

故答案为：>/2-

12.已知函数〃x)=sin2x,则/<0)=.

【答案】2

【分析】由复合函数导数运算公式求导函数，代入求导数值即可.

【详解】由/(x)=sin2x,则/'(x)=2cos2x,

所以/10)=2cos0=2.

故答案为：2.

13.以A（4,6）,3（-2,-2）为直径端点的圆的方程是.

【答案】（工一1）2+（），-2）2=25

【分析】利用直径端点求出圆心和半径，再用标准方程求解即可.

【详解】4（4,6）,网一2,-2）是直径端点，

••・由两点间距离公式得直径长为|A3|=J36+64=10,故半径为5,

且设圆心为C,由中点坐标公式得圆心C（l,2）,

故圆的方程为（/-1）?+（y-2>=25.

故答案为：（XT）?+（>-2）2=25

14.在空间直角坐标系中，已知点A（l,0,0）,3（0,l,0）,C（0,0,l）,若点P（x,y,-1）在平面ABC为，写出一个符

合题意为点P的坐标.

【答案】（答案不唯一）

【分析】由A5CP四点共面可得AP=〃乂B+〃AC，代入计算可得了+了一2=0,所以P（x,y,-1）满足

x+y-2=（）即可.

【详解】点P（x,y,-1）在平面A3C内，所以A3cp四点共面，

则AP=〃?A4+〃AC，

所以乂-+

x-\=-m-n

所以，则x+y-2=（）,

-\=n

所以尸（x,y,—1）满足x+y-2=0即可.

令”:茜足x+y—2=0,

所以符合题意的点P的坐标可以为PlU,-l）.

故答案为：*11,一1）（答案不唯一）.

15.某学校球类社团组织学生进行单淘汰制的乒乓球比赛（负者不再比赛），如果报名人数是2的正整数次‘幕，那

么每2人编为一组进行比赛，逐轮淘汰.以2022年世界杯足球赛为例，共有16支队进入单淘汰制比赛阶段，需要

四轮，8+4+2+1=15场比赛决出冠军.如果报名人数不是2的正整数次某，则规定在第一轮比赛中安排轮空（轮

空不计入场数），使得第二轮比赛人数为2的最大正整数次哥.（如20人参加单淘汰制比赛，第一轮有12人轮空，

其余8人进行4场比赛，淘汰4人，使得第二轮比赛人数为16.)最终有120名同学参加校乒乓球赛，则直到决出

冠军共需轮；决出冠军的比赛总场数是.

【答案】①.7119

【分析】根据比赛规则，第一轮有8人轮空，有112人进行淘汰赛，共进行了56场比赛，以后每轮淘汰一半同学,

按每轮分析计算即可.

【详解】因为26=64(120,27=128)120,

所以第二轮需要64名同学参加比赛，

则第一轮淘汰120-64=56人，

即第一轮有8人轮空，有112人进行淘汰赛，共进行了56场比赛，

则第二轮有64名同学参加比赛，

所以共进行了32场比赛，淘汰了32人，

则第三轮有32名同学比赛，则进行了16场比赛，

第四轮有16名同学参加比赛，共进行了8场比赛，

第五轮有8名同学参加比赛，共进行了4场比赛，

第六轮有4名同学参加比赛，共进行了2场比赛，

第七轮有2名同学参加比赛，共进行了1场比赛，

故直到决出冠军共需7轮比赛，

共进行了56+32+16+8+4+2+1=119场比赛，

故答案为：7；119.

16.如图，在长方体ABCD-A/CQ中，A3=AO=3,AA=1,M为棱的中点，点?是侧面上

的动点，满足NAPD=NCPM,给出下列四个结论：

①动点P的轨迹是一段圆弧；

②动点尸的轨迹长度为方；

③动点P的轨迹与线段CG有且只有一个公共点;

④三棱锥的体积的最大值为t1.

2

其中所有正确结论的序号是_________.

【答案】①②④

【分析】利用三角函数的定义得到刊）=2PC,再建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式求得动点P的轨

迹，从而逐•分析各选项即可得解.

【详解】由长方体性质可知：都与平面CGR。垂直,

而OP,CP在平面CG。。内，所以AO_LDP,CP_LBC,

由NAPD=/CPM,可知tanZAPQ=lanNCPM,即任二丝，故PD=2PC,

PDPC

建立加图所示的空间直角坐标系,

则0（0,0,0）,C（0,3,0）,因为点尸是侧面CG2加上的动点，故设尸（0,yz）,

故所求点尸（0,y,z）满足7y2+z2=2yl（y-3）2+z2，化简得（）-4）2+z2=4,

则动点尸的轨迹为此圆在矩形CORC内的部分，是一段圆弧，故①正确；

记圆心尸（0,4,0）,当y=3时,4（3-4）2+Z2=4,得z=g>l，

显然动点尸的轨迹与线段CC没有公共点，故③错误；

当z=l时，由（y—4产十*=人得丁一4一。或）•-4+JJ（舍夫），

当z=0时，由（），一4）2+。2=4,得），=2或y=6（舍去），

则矶0,2,0）,G（0,4-73,1）,

易得tan/G/E=:右\=乎，又0</GFE<三,则NG^E=工，

4-（4-326

TTTT

所以动点产的轨迹长度为一x2=一，故②正确；

63

显然，动点。到平面A。。的最大距离为点G到平面的距离，即4-石，

所以三棱锥尸一AQR的体积的最大值为gxgx3xlx(4—JJ)=±£3,故④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】关键点睛：本题的关键是根据角的关系确定边之间的关系，利用空间向量法求得动点尸的轨迹，从而得

解.

三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17.已知函数/(x)=(2d-3元)e'.

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(()))处的切线方程；

(2)求/(x)的单调区间.

【答案】(1)y=-3x

(3、(3\

(2)单调递增区间为［-单调递减区间为［一］,1

【分析】(1)由导数的几何意义利用导数求切线的斜率，再由点斜式求切线方程；

(2)按步骤利用导数求函数的单调区间.

【小问1详解】

由/(x)=(2f_3x)e1/*)的定义域为R.

则/'W=(2%2+x-3)e',

所以/'(0)=-3e°=-3,X/(O)=0,

所以/(A)在点(0,/(0))处的切线方程为y=-3x.

【小问2详解】

f(x)=(2x2+x-3)ex=(x-l)(2x+3)ev,

3

由/'")=。，得1=-5，或x=l,

当xv-|时，f\x)>0,〃x)单调递增；

3

当—<x<1时，r(x)<o>单调递减；

当时，rw>o,单调递增；

所以函数"V)的单调递增区间为(―8,-|),(1,+8)；

单调递减区间为(一g，Il

18.已知S”为数列｛4｝的前〃项和，满足一数列他｝是等差数列，且

4=也+a=-]o-

（1）求数列｛q｝和仇｝的通项公式：

（2）求数列｛4+4｝的前〃项和.

【答案】（1）4=2"，2=-2〃+1

⑵2”—1

【分析】（1）由%与S”关系得递推关系，进而证明｛〃〃｝为等比数列，再由首项公比求包｝通项公式；设出基本量,

建立并求解方程组得｛勿｝通项公式即可；

（2）分组求和，利用公式法分别求解等比与等差数列的和.

【小问I详解】

当〃=1时，S]=2q-1=%,得q=1,

当〃225wN.时，S〃T=2qi-l①，

由已知S”=2%-1②，

②一①得，

所以〃〃=由勺=1*0,得2=2

ar.-\

所以数列｛4｝为等比数列，公比夕二2,

因为4=1,所以a“=2〃T（〃eN）

设等差数列｛〃｝的公差为d,

由4二-1,则仇+仇=-1+1+（—1）+34=—2+44=-10,解得（/=—2.

所以2=々+（〃-1）"=-2〃+1（zzeN*）.

【小问2详解】

设G=%+2，则%=2小+（-2〃+1）=2""一（2〃-1），

设｛6｝的前〃项和为北,

则二（1+2+4+•••+2"’）一（1十3+5十・・,十2〃-1）

l-2t,n（\+2n-\）

~1-22-

=T-n2-\-

19.如图，三棱锥尸一A8C中，AB=BC=CA=PB=1,平面尸48_1_平面48。，点E是棱阳的中点，再从

条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.

（1）求证：AB1PC：

（2）求二面角七一AC-8的余弦值.

条件①：PC巫;

2

条件②：直线PC与平面243所成角为45.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）证明见解析

⑵亚

13

【分析】（1）由面面垂直性质定理证明线面垂直，进而得线线垂直，再由长度关系利用勾股定理证明另一组线线垂

直，则由线面垂直判定理证明线面垂直，由此线线垂直得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量方法求解二面角的大小.

【小问1详解】

选择条件①.

取AB的中点。，连接CQ,PQ.

由于d8C是等边三角形，故C£>_L48,

又平面ABC工平面HU?,CDu平面ABC，

平面ABCc平面PAB=AB,

故CDJL平面PABr

而PDu平面246，故CD_LPD,即N产。C=90,

则N3OP=90，即

因为ABLCD,PDcCD=D,PD,CDu平面PCD,

所以ABI平面尸CO,PCu平面尸CO,

所以AB_LPC.

选择条件②.

取48的中点。，连接CQ,PQ.

由于是等边三角形，故CD_LA3,

又平面平面RW,CDu平面ABC，

平面ABCc平面PAB=AB，

故81.平面PAB，

所以尸C在平面ABP内的射影是PD,

所以NCPO是直线PC与平面ABP所成角.

所以NCPO=45.

由CDJ_平面即3，而PDu平面AA6，故.CDtPD,即NPDC=90,

/?1

所以「D=CQ=四，又BP=1,BD=—,

22

故PB?=BD?+PD?，则N5OP=90，即AB_LPQ.

因为ABLCD,POcCD=O,PRCZ)u平面PC。,

所以AB1平面PC。，PCu平面尸CO,

所以AB_LPC.

【小问2详解】

由（1）知QAQCQA两两垂直,

以。为坐标原点，。。,。4。尸所在直线分别为乂乂2轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

（1

由点E是棱网的中点，所以E。,：彳,

于是宦曰］,又AC=（等,一摄。

设〃=（A,v,z）是平面EAC的一个法向量,

“G1n

n-AC=——x——>=0

则《22，令y=VJ,则x=l,z=3,

n-C一E0=---6---x——\yd-心-----z=0c

244

所以〃=(1,6,3),

又〃?=（0.0/）是平面A8C的•个法向量，

设二面角石-AC-4的大小为6,由题可知。为锐角,

20.已知椭圆£：［+《=1（。>/?>0）的一个顶点坐标为（0,右），离心率为1.

cC/

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过椭圆E的右焦点尸作斜率为k（kwO）的直线/交椭圆E于48两点，线段A3的垂直平分线机分别交直

.\KN\

线/,x轴，了轴于点M,N,K,求.的值.

\MN\

【答案】（1）工+工=1

95

|K7V|=4

\MN\"5

【分析】（1）根据离心率、顶点坐标及"一〃2=/求出〃、从可得答案;

（2）直线/的方程与椭圆方程联立，设4（内,）［）,研多，）’2），利用韦达定理求出M点坐标，可得直线KW的方

程，令y=O、x=0可得N、K点坐标，利用两点间的距离公式求出|KN|、|MV|,再做比值可得答案.

【小问I详解】

b=\/5

c2b2=5

由题意可得＜《=—=7»解得〈），

a3［a2=9

a2-b2=c2

所以椭1E的标准方程为—+^-=h

95

【小问2详解】

r2v2

由（I）椭圆E的标准方程为二十乙二1,可得尸（2,0）,

95

可得直线/的方程为y=左（工一2）（4N0）,

仃

y〃-2

2£

与椭圆方程联立X可得（5+9小卜2一36%2%+36严一45=0,

-T-1

995

易知△＞（）,设4（/），］）,8（彳2，、2），所以X1+々=36”136%2-45

D।yK5+9公

12^218/2-10&

所以&'=墨正，代入直线/的方程得）‘M=%

、5+9公5+9-

18尸—10L、

所以M

、5+9吊2'5+9口

-\0k_\18公、

所以直线的方程为

KWy5+9公一内5+9r,

18公10公&女2

当）,=0时,

5+9-一5+9/一5+9公

18火10N_87

当x=0时，y=

K5+9公5+9公―5+9攵2

所以*7记°，K（。号

(8k2丫(SkY&Jk\k2

所以|KN|=2

y(5+9kJ+〔5+935十9k2

/18公8公丫(-10%)_Kh/F+P_

\MN\=-------+------

,5+9?5+9k2)(5+9日-5+9公

8收

所以网:三9新

|MN|io/、/5

5+9公

【点睛】方法点睛；利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下;

（1）设直线方程，设交点坐标为（玉,,）,（工2，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于/（或y）的一元二次方程，注意△的判断；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为*七（或y+为、yj'2）的形式：

（5）代入韦达定理求解.

21.设正整数〃24,若由实数组成的集合A={4，生，・・・，?}满足如下性质，则称A为H“集合:对A中任意四

个不同的元素。，仇c,d,均有"+cdcA.

(I)判断集合A=«0,—,1,2，和A,=1,2,3,是否为H4集合,说明理由;

2■

（2）若集合A={0,x,y,z}为H,集合，求A中大于1的元素的可能个数:

（3）若集合A为H”集合，求证：A中元素不能全为正实数.

A="°，；/，2，是集合，A,=；」,2,3，不是H，集合；

【答案】（1）

（2）A中大于1的元素的可能个数为0,1.

（3）见解析

【分析】（1）由Hj集合的定义即可得出答案;

⑵由题意可得{x,y,z}={孙)Z,M},不妨设工vyvz,分类讨论x<y<z<0,x<y<0<ztx<0<y<z

和Ovxvyvz结合集合的性质即可得出答案；

（3）根据已知新定义，分类讨论、反证法进行求解、证明.

【小问1详解】

集合A=<0,1,2,是H«集合，

=''*卜1,2}}时,

当{{a,b},{c,〃}}0xl