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文档简介
2023-2024学年北京市怀柔区名校中考联考数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(木大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.如图,AD为AABC的中线,点E为AC边的中点,连接DE,则下列结论中不一定成立的是()
BDC
A.DC=DEB.AB=2DEC.SCDE=-SAABCD.DE/7AB
A4
2.下列说法中,正确的是()
A.长度相等的弧是等弧
B.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
C.经过半径并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D.在同圆或等圆中90。的圆周角所对的弦是这个圆的直径
3.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5pm(IpmR.OOOOOlm)的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们含有大量的有
毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大危害.2.5Nm用科学记数法可表示为()
A.2.5x105,〃B.0.25X10-7WC.2.5xlO-6,??D.25xl0-5w
4.下列各式计算正确的是()
A.a24-2fl3=3a5B.a*a2=a3C.D.(a2)i=a5
5.已知。O及。O外一点P,过点P作出。O的一条切线(只有圆规和三角板这两种工具),以下是甲、乙两同学的作
业:
甲:①连接OP,作OP的垂直平分线1,交OP于点A:
②以点A为圆心、OA为半径画弧、交。O于点M;
③作直线PM,则直线PM即为所求(如图1).
乙:①让直角三角板的一条直角边始终经过点P;
②调整直角三角板的位置,让它的另一条直角边过圆心O,直角顶点落在。O上,记这时直角顶点的位置为点M;
③作直线PM,则直线PM即为所求(如图2).
对于两人的作业,下列说法正确的是()
A.甲乙都对B.甲乙都不对
C.甲对,乙不对D.甲不对,己对
6.如图,在△ABC中,ZC=90°,点D在AC上,DE〃AB,若NCDE=165。,则NB的度数为()
A.15°B.55°C.65°D.75°
7.在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球.他们除颜色外其他完全相同.通过多次摸球实验后发现,摸到
红球的频率稳定在25%附近,则口袋中白球可能有()
A.16个B.15个C.13个D.12个
8.一元二次方程/一21=0的根是()
A.-V1=0,X?——2B.-V1=1,X]—2
C.M=1,x?~—2D.X1=0,Xy=2
9.如图,E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点,且BE:AB=2:,△BEF的面积为4,则平行四边形ABCD的
面积为。
10.在GO中,已知半径为5,弦AB的长为8,则圆心O到AB的距离为()
A.3B.4D.6
11.如图,在五边形48coE中,NA+NB+NE=300。,OP,CP分别平分NEO。、/BCD,则NP的度数是()
£
A.60°B.65°I).50°
12.如瓯在A4BC中,AB=10,4C=8,BC=6,以边AB的中点。为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是
边BC和半圆上的动点,连接PQ,则尸。长的最大值与最小值的和是()
A.6B.2V13+1C.9D.—
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
3
13.如图,在RtAABC中,ZC=90°,AM是BC边上的中线,cosZAMC=-,贝!1tanZB的值为
14.如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心点是点O,—则:四】=
OA531nl边形八sc。
A
15.如图,线段AC=n+l(其中n为正整数),点B在线段AC上,在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF,
连接AM、ME、EA得到△AME.当AB=1时,△AME的面积记为Si;当AB=2时,△AME的面积记为S2;当AB=3
时,AAME的面积记为S3;…;当AB=n时,AAME的面积记为Sn.当吃2时,S„-Sn.i=_
16.如匡,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A,B,C,当两个三角
形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA,等于,
17.用换元法解方程+三二1=2,设y=_J,那么原方程化为关于y的整式方程是___
x2-lx2X--1
18.不等式二壬1的正整数解为_______________.
2
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(6分)自学下面材料后,解答问题。
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。如:言>。;等<°等。那么如何求出它们的解集呢?
根据我他学过的有理数除法法则可知:两数相除,同号得正,异号得负。其字母表达式为:
若a>0,b>0厕£>0;若a<0,bv0,则;>0;
bb
若a>0,b<0测巴v0;若av0,b>0,则巴v0.
bb
反之:若1>o,贝心>0或演o,
(1)若fvo,则—或
9
r—2
(2)根据上述规律,求不等式二>0的解集.
x+1
20.(6分)某企业信息部进行市场调研发现:
信息一:如果单独投资A种产品,所获利润(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表:
x(万元)122.535
yA(万元)0.40.811.22
信息二:如果单独投资R种产品,则所获利润yM万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系:yH=a/+bx,且投
资2万元时获利润2.4万元,当投资4万元时,可获利润3.2万元.
(1)求出YB与X的函数关系式;
⑵从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示与X之间的关系,并求出yA与X的函数关
系式;
(3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元,请设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的
最大利润是多少?
21.(6分)如图,抛物线y=・(x-1)2代与x轴交于A,B(A,B分别在y轴的左右两侧)两点,与y轴的正半轴
交于点C,顶点为D,已知A(-1,0).
(1)求点B,C的坐标;
(2)判断△CDB的形状并说明理由;
(3)将ACOB沿x轴向右平移t个单位长度(0VtV3)得到△QPE.△QPE与^CDB重叠部分(如图中阴影部分)
面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
22.(8分)如图LB(2m,0),C(3m,0)是平面直角坐标系中两点,其中m为常数,且m>0,E(0,n)为y
轴上一动点,以BC为边在x轴上方作矩形ABCD,使AB=2BC,画射线OA,把△ADC绕点C逆时针旋转90。得
△A'D'C',连接ED',抛物线y=+c(。00)过E,A'两点.
(1)填空;NAOB=。,用m表示点/V的坐标;A,(,);
(2)当抛物线的顶点为A,,抛物线与线段AB交于点P,且丝二』时,AD,OE与AABC是否相似?说明理由;
(3)若E与原点O重合,抛物线与射线OA的另一个交点为点M,过M作MN_Ly轴,垂足为N:
①求a,b,m满足的关系式;
②当m为定值,抛物线与四边形ABCD有公共点,线段MN的最大值为10,请你探究a的取值范围.
23.(8分)如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保
持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知纸板的两条直角边DE=0.4m,EF=0.2m,测得边DF离地面的高度
AC=1.5m,CD=8m,求树高.
24.(10分)如图①,有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合),已知AC=8cm,
BC=6cm,ZC=90°,EG=4cm,ZEGF=90°,O是AEFG斜边上的中点.
如图②,若整个△EFG从图①的位置出发,以lcm/s的速度沿射线AB方向平移,在△EFG平移的同时,点P从4EFG
的顶点G出发,以lcm/s的速度在直角边GF上向点F运动,当点P到达点F时,点P停止运动,△EFG也随之停
止平移.设运动时间为x(s),FG的延长线交AC于H,四边形OAHP的面积为y(cm?)(不考虑点P与G、F重合
的情况).
(1)当x为何值时,OP〃AC;
(2)求y与x之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围;
(3)是否存在某一时刻,使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13:24?若存在,求出x的值;若不存在,说明
理由.(参考数据:1142=12996,1152=13225,1162=134564.42=19.36,4.52=20.25,4.62=21.16)
25.(10分)如图,△ABC中,AB=8厘米,AC=16厘米,点尸从A出发,以每秒2厘米的速度向8运动,点。从C
同时出发,以每秒3厘米的速度向A运动,其中一个动点到端点时,另一个动点也相应停止运动,设运动的时间为九
⑴用含,的代数式表示:AP=,AQ=.
⑵当以4尸,。为顶点的三角形与△ABC相似时,求运动时间是多少?
■IWT
27.(12分)小明和小刚玩“石头、剪刀、布”的游戏,每一局游戏双方各自随机做出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势
的一种,规定“石头”胜“剪刀”,“剪刀"胜"布”,“布”胜“石头”,相同的手势是和局.
(1)用树形图或列表法计算在一局游戏中两人获胜的概率各是多少?
(2)如果两人约定:只要谁率先胜两局,就成了游戏的赢家.用树形图或列表法求只进行两局游戏便能确定赢家的概
率.
参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、A
【解析】
根据三角形中位线定理判断即可.
【详解】
YAD为AABC的中线,点E为AC边的中点,
11
/.DC=-BC,DE=-AB,
22
VBC不一定等于AB,
・・・DC不一定等于DE,A不一定成立;
AAB=2DE,B一定成立;
SACDE=1SAABC,C一定成立;
4
DE〃AB,D一定成立;
故选A.
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键.
2、D
【解析】
根据切线的判定,圆的知识,可得答案.
【详解】
解:A、在等圆或同圆中,长度相等的弧是等弧,故A-错误;
B、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,故B错误;
C、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故C错误;
D、在同圆或等圆中90。的圆周角所对的弦是这个圆的直径,故D正确;
故选:D.
【点睛】
本题考查了切线的判定及圆的知识,利用圆的知识及切线的判定是解题关键.
3、C
【解析】
试题分析:大于0而小于I的数用科学计数法表示,10的指数是负整数,其绝对值等于第一个不是0的数字前所有0
的个数.
考点:用科学计数法计数
4、B
【解析】
根据募的乘方,底数不变指数相乘;同底数累相除,底数不变,指数相减;同底数嘉相乘,底数不变指数相加,对各选项分析判
断利用排除法求解
【详解】
A./与方3不是同类项,故A不正确;
8.”・。2="3,正确;
C.原式故C不正确;
D.原式=06,故D不正确;
故选:B.
【点睛】
此题考查同底数器的乘法,器的乘方与积的乘方,解题的关键在于掌握运算法则.
5、A
【解析】
(1)连接OM,OAt连接OP,作。尸的垂直平分线/可得。A=M4=AP,进而得到NO=NAMO,N4M%NMB4,
所以NOM4+NAMP=NO+NMB4=90。,得出MP是。。的切线,(1)直角三角板的一条直角边始终经过点P,它的
另一条直角边过圆心O,直角顶点落在。。上,所以NOMP=90。,得到MP是。。的切线.
【详解】
证明:(1)如图1,连接OM,OA.
二•连接OP,作。尸的垂直平分线。交OP于点A,:.OA=AP,
:以点A为圆心、04为半径画弧、交00于点
:.OA=MA=APf:.ZO=ZAMOfZAMP=ZMPAf:.ZOMA+ZAMP=ZO+ZMPA=^°f:.OM±MPt是。。
的切线;
(1)如图1.
•・•直角三角板的一条直角边始终经过点P,它的另一条直角边过圆心。直角顶点落在。。上,・・・NOA/P=90。,・・・MP
是。。的切线.
故两位同学的作法都正确.
故选A.
本题考查了复杂的作图,重点是运用切线的判定来说明作法的正确性.
6、D
【解析】
根据邻补角定义可得NADE=15。,由平行线的性质可得NA=NADE=15。,再根据三角形内角和定理即可求得NB=75。.
【详解】
解:VZCDE=165°,/.ZADE=15°,
VDE/7AB,.,.ZA=ZADE=15°,
/.ZB=1800-ZC-ZA=180°-90°-15°=75°,
故选D.
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等,熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键.
7、D
【解析】
由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率,进而求出白球个数即可.
【详解】
解:设白球个数为:x个,
二•摸到红色球的频率稳定在25%左右,
・・・口袋中得到红色球的概率为25%,
.41
:.----=一,
4+x4
解得:x=12,
经检验、=12是原方程的根,
故白球的个数为12个.
故选:D.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率,根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题的关键.
8、D
【解析】
试题分析:此题考察一元二次方程的解法,观察发现可以采用提公因式法来解答此题.原方程可化为:।一1二
因此二0或二二0,所以毛=0,.Y:=二.故选D.
考点:一元二次方程的解法——因式分解法——提公因式法.
9、A
【解析】
丁四边形ABCD是平行四边形,
AAB//CD,AB=CD,AD//BC,
AABEF^ACDF,△BEF^AAED,
ABE:CD=2:3,BE:AE=2:5,
•9qAREF__4.q&BEF__42_
VSABEF=4,
••SACDF=9,SAAED=25,
AS四边形ABFD=SAAED-SABEF=25-4=21,
•*»S平行四动形ABCD=SACDF'+S四边形ABFD=9+21=30,
故选A.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质等,熟记相似三角形的面积等于相似比的平方是解
题的关键.
10、A
【解析】
解:作0C\L4A于C,连结04,如图.*:OCLAB:.AC=BC=-AB=-x8=l.在RtAAOC中,04=5,
t22
:.0C=S曾—AC?=正-42=3,即圆心。到AB的距离为2.故选A.
11、A
【解析】
试题分析:根据五边形的内角和等于540。,由NA+NB+NE=300。,可求NBCD+NCDE的度数,再根据角平分线的
定义可得NPDC与NPCD的角度和,进一步求得NP的度数.
解:•・•五边形的内角和等于540。,NA+NB+NE=300。,
:.ZBCD+ZCDE=540°-300=240°,
•・・NBCD、ZCDE的平分线在五边形内相交于点O,
/.ZPDC+ZPCD=-^(ZBCD+ZCDE)=120°,
AZP=180°-120°=60°.
故选A.
考点:多边形内角与外角;三角形内角和定理.
12、C
【解析】
如图,设€)0与AC相切于点E,连接OE,作OPi_LBC垂足为P1交。O于Q1,此时垂线段OPi最短,PIQI最小值
为OPi・OQi,求出OPi,如图当Q2在AB边上时,P2与B重合时,P2Q2最大值=5+3=8,由此不难解决问题.
【详解】
解:如图,设OO与AC相切于点E,连接OE,作OP】_LBC垂足为Pi交。O于Qi,
VAB=104AC=8.BC=6.
/.AB2=AC2+BC2,
/.ZC=1D°,
VZOPiB=10°,
AOPi/ZAC
VAO=OB,\
•••P1SP1B,
1
AOPi=-AC=4,
AP1Q1最小值为OPi-OQi=L
如图,当Q2在AB边上时,P2与B重合时,P2Q2经过圆心,经过圆心的弦最长,
P2Q2最大值=5+3=8,
・・・PQ长的最大值与最小值的和是1.
故选:C.
【点睛】
本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识,解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置,属于
中考常考题型.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
【解析】
3
根据cos/AMC=-,设MC=3x,AM=5xf由勾股定理求出AC的长度,根据中线表达出BC即可求解.
【详解】
3
解:VcosZAMC=-,
5
MC=3
cosZAMC=
AM-5
设MC=3x,AM=5xf
・・・在RtAACM中,4。=y]AM2-MC2=4x
•/AM是BC边上的中线,
/.BM=MC=3x,
/.BC=6x,
AC4v2
・••在RtAABC中,tanZB=——=—=-,
BC6x3
故答案为:
【点睛】
本题考查了锐角三角函数值的求解问题,解题的关键是熟记锐角三角函数的定义.
【解析】
试题分析:・・•四边形ABCO与四边形EFGH位似,位似中心点是点0,
.EF_OE_3
••=------,
ABOA5
S四边腕FGHOE
则
S四边物8。)OA
9
故答案为A.
点睛:本题考查的是位似变换的性质,掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键.
【解析】
连接BE,
•••在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF,
ABE/7AM.AAAME与^AMB同底等高.
/.△AME的面积=△AMB的面积.
,当AB=n时,△AME的面积为S"=一[]]当AB=n-l时,△AME的面积为S”=一(11-.
“2"2、/
22
工当吃2时,SI1-Sn_1=1n-1(n-l)=1(n+n-l)(n-n+l)=^^
16、4或8
【解析】
由平移的性质可知阴影部分为平行四边形,设A,D=x,根据题意阴影部分的面积为(12-x)xx,即x(12-x),当x(12-x)=32
时,解得:x=4或x=8,所以AA,=8或AA,=4。
【详解】
设AA=x,AC与相交于点E,
VAACD是正方形ABCD剪开得到的,
/.△ACD是等腰直角三角形,
ZA=45o,
.,.△AAT是等腰直角三角形,
AArE=AAr=x,
A,D=AD-AA,=12-x,
•・•两个三角形重叠部分的面积为32,
x(12-x)=32»
整理得,X2-12X+32=0,
解得x,=4,x2=8,
即移动的距离AA,等4或8.
【点睛】
本题考查正方形和图形的平移,熟练掌握计算法则是解题关键•.
17、6y2-5y+2=0
【解析】
x
根据二,将方程变形即可.
【详解】
根据题意得:3j+-=1,
y2
得到6/-5j+2=0
故答案为6y2—5y+2=0
【点睛】
此题考查了换元法解分式方程,利用了整体的思想,将方程进行适当的变形是解本题的关键.
18、1,2,1.
【解析】
去分母,移项,合并同类项,系数化成1即可求出不等式的解集,根据不等式的解集即可求出答案.
【详解】
♦•-X>-19
1—x
・・.不等式一之的正整数解是1,2,1,
2
故答案为:1,2,1.
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解,关键是求出不等式的解集.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
«>0<0—
19、(1).或]/_;(2)x>2或x<T.
b<0n[/?>0
【解析】
(1)根据两数相除,异号得负解答;
(2)先根据同号得正把不等式转化成不等式组,然后根据一元一次不等式组的解法求解即可.
【详解】
,,UrIfl<0
(1)若丁>0,则)
b<0
a<0
故答案为:
b>0
(2)由上述规律可知,不等式转化为t一:或
[A+I>0[x+]<0
所以,x>2或XVT.
【点睛】
此题考查一元一次不等式组的应用,解题关键在于掌握掌握运算法则.
2
20、(l)yB=-0.2x+1.6X(2)一次函数,y*0.4x(3)该企业投资A产品12万元,投资B产品3万元,可获得最大利润
7.8万元
【解析】
(1)用待定系数法将坐标(2,2.4)(4,3.2)代入函数关系式yB=ax2+bx求解即可;
(2)根据表格中对应的关系可以确定为一次函数,通过待定系数法求得函数表达式;
(3)根据等量关系“总利润=投资A产品所获利润+投资B产品所获利润”列出函数关系式求得最大值
【详解】
解:(1)VB=-0.2x2+1.6x,
(2)一次函数,yA=0.4x,
(3)设投资B产品x万元,投资A产品(15-x)万元,投资两种产品共获利W万元,则W=(-0.2X2+1.6X)+0.4
(15—x)=—0.2X2+1.2x+6=—0.2(x—3)2+7.8,
***当x=3时,W.大值=7.8,
答:该企业投资A产品12万元,投资B产品3万元,可获得最大利润7.8万元.
33
--r0+3r(0<r<-)
(I)B(3,0);C(0,3);(II)ACOB为直角三角形;(111为二・
=-r2-3z+-(-<r<3)
222
【解析】
(1)首先用待定系数法求出抛物线的解析式,然后进一步确定点B,C的坐标.
(2)分别求出^CDB三边的长度,利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形.
(3)△COB沿x轴向右平移过程中,分两个阶段:
3
①当0<£不时,如答图2所示,此时重叠部分为一个四边形;
2
3
②当不VtV3时,如答图3所示,此时重叠部分为一个三角形.
2
【详解】
解:(I).••点4(-1,0)在抛物线),二一(工一1『+c上,
/.0=-(-l-l)2+c,得c=4
・•・抛物线解析式为:),=一(工一1)?+4,
令无=0,得y=3,・・・C(0,3);
令>=0,得工=一1或x=3,•••B。,。).
(n)ACD3为直角三角形.理由如下:
由抛物线解析式,得顶点。的坐标为(1,4).
如答图1所示,过点。作轴于点M,
则OM=1,DM=4,BM=OB-OM=2.
过点。作CN_LDM于点N,则CV=1,DN=DM-MN=DM-OC=1.
在RAOBC中,由勾股定理得:BC=y]OB2+OC2=732+32=3\/2;
在R/AQVD中,由勾股定理得:CD=yjCN2+DN2=>/12+12=;
在RABMD中,由勾股定理得:BDVBMRDM?=也\?=2石.
■:BC'CD'BD"
・••△CD5为直角三角形.
(ID)设直线BC的解析式为y=6+b,
・・・8(3,0),C(0,3),
(3女+/7=0
:.<,
b=3
解得%=-1/=3,
:.y=-.r+3,
直线QE是直线BC向右平移r个单位得到,
,直线QE的解析式为:y=-(x-,)+3=-x+3+,;
设直线BD的解析式为y=如+",
•••3(3,0),0(1,4),
3m+/?=()
/./,解得:6=一2,〃=6,
m+n=A
:.y=-2x+6.
(3、
连续CQ并延长,射线CQ交3。交于G,则G-,3
IN7
在ACO6向右平移的过程中:
(1)当时,如答图2所示:
设PQ与BC交于点K,可得QK=CQ=r,PB=PK=3-t.
fy=-2x+6
设。后与的交点为尸,贝必\,•
[y=-x+3+r
x=3-t
解得J「,
y=2t
・••尸(3—2).
S=S,orF-S.\PBK-S\FBF=-PEPQ--PBPK--BEyF
=-x3x3--(3-t}2--t-2t=--t2+3t.
22V722
3
⑵当;</<3时,如答图3所示;
2
♦:CQ=t,
:・KQ=i,PK=PB=3T.
直线8。解析式为),=-2X+6,令%=/,得),=6-21,
:.J(1,6-21).
S=S“SaBK=”P*PBPK
=((3-/)(6-2/)一;(3T『
12>9
=-/-3/+-.
22
3ra、
一"+3f0<r<-
2I2
综上所述,S与/的函数关系式为:S=\।
=-/2-3r+-f-</<3
2212)
22、(1)45;(m,-m);(2)相似;(3)①人二一1一。m;®-<a<\.
4
【解析】
试题分析:(1)由B与C的坐标求出OB与OC的长,进一步表示出BC的长,再证三角形AOB为等腰直角三角形,
即可求出所求角的度数;由旋转的性质得,即可确定出A,坐标;
RP1
(2)△DOE^AABC.表示出A与B的坐标,由一=-,表示出P坐标,由抛物线的顶点为A,,表示出抛物线
AP3
解析式,把点E坐标代入即可得到m与n的关系式,利用三角形相似即可得证;
(3)①当E与原点重合时,把A与E坐标代入),=双2+/琐+的整理即可得到a,b,m的关系式;
②抛物线与四边形ABCD有公共点,可得出抛物线过点C时的开口最大,过点A时的开口最小,分两种情况考虑:
若抛物线过点C(3m,0),此时MN的最大值为10,求出此时a的值;若抛物线过点A(2m,2m),求出此时a的
值,即可确定出抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围.
试题解析:(1)VB(2m,0),C(3m,0),/.OB=2m,OC=3m,即BC=m,VAB=2BC,/.AB=2m=0B,VZABO=90°,
•••△ABO为等腰直角三角形,・・・NAOB=45。,由旋转的性质得:OD'=D'A'=m,即A'(m,-m);故答案为45;m,
-m;
(2)△DOE^AABC,理由如下:由已知得:A(2m,2m),B(2m,0),V—=-,:.P(2m,-m),N为
AP32
2
抛物线的顶点,,设抛物线解析式为y=a(x-〃?)2-’・,抛物线过点E(0,n),n=a(0-m)-mt即m=2n,
AOE:OD'=BC:AB=1:2,VZEOD,=ZABC=90°,/.AD'OE^AABC;
_n=0
(3)①当点E与点O重合时,E(0,0),•・•抛物线丁=改2+法+(.过点七,A,/.{,,整理得:
2+bm+〃=-ni
am+b=-\,即匕=一1一a/%;
②.••抛物线与四边形ABCD有公共点,,抛物线过点C时的开口最大,过点A时的开口最小,若抛物线过点C(3m,
113
0),此时MN的最大值为10,/.a(3m)2-(l+am)・3m=0,整理得:ani=—,即抛物线解析式为),=---X92-----X,
22m2
y=x
由A(2m,2m),可得直线OA解析式为产x,联立抛物线与直线OA解析式得:(1。3,解得:x=5m,
V=—X——X
-2m2
V=5m,即M(5m,5m),令5m=10,即m=2,当m=2时,a=—;
4
若抛物线过点A(2m,2m),则4(2〃?尸-(1-c〃〃)2〃=2〃?,解得:am=2,Vm=2,/.a=L则抛物线与四边形ABCD
有公共点时a的范围为上。“
考点:1.二次函数综合题;2.压轴题;3.探究型;4.最值问题.
23、树高为5.5米
【解析】
DEEF
根据两角相等的两个三角形相似,可得ADEFsaDCB,利用相似三角形的对边成比例,可得=二古,代入
DCCB
数据计算即得BC的长,由AB=AC+BC,即可求出树高.
【详解】
VZDEF=ZDCB=90°,ZD=ZD,
AADEF^ADCB
DEEF
:•----=-----,
DCCB
VDE=0.4m,EF=0.2m,CD=8m,
.0.40.2
•.—f
8CB
ACB=4(m),
AAB=AC+BC=1.5+4=5.5(米)
答:树高为5.5米.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用,解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型.
24、(1)1.5s;(2)S=—6x2+1—7x+3(0<x<3);(3)当x=52(s)时,四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13:
2552
1.
【解析】
(1)由于O是EF中点,因此当P为FG中点时,OP〃EG〃AC,据此可求出x的值.
(2)由于四边形AHPO形状不规则,可根据三角形AFH和三角形OPF的面积差来得出四边形AHPO的面积.三角
形AHF中.AH的长可用AF的长和/FAH的余弦值求出.同理可求出FH的表达式(也可用相似二角形来得出AH、
FH的长).三角形OFP中,可过O作OD_LFP于D,PF的长易知,而OD的长,可根据OF的长和NFOD的余弦
值得出.由此可求得y、x的函数关系式.
(3)先求出三角形ABC和四边形OAHP的面积,然后将其代入(2)的函数式中即可得出x的值.
【详解】
解:(1)VRtAEFG<^RtAABC
.EGFG4FG
..---=----,即Bn一二----
ACBC86
.4x6
••FG=----=3cm
8
•・•当P为FG的中点时,OP〃EG,EG/7AC
.,.OP/7AC
-FG1
Ax=V?=—2x3=1.5(s)
,当x为l.5s时,OP/7AC.
(2)在RtAEFG中,由勾股定理得EF=5cm
VEG/7AH
/.△EFG^AAFH
,EG_EF_FG
••而一而一丽’
43
/.AH=—(x+5),FH=—(x+5)
55
过点O作OD_LFP,垂足为D
,・•点O为EF中点
OD=—EG=2cm
2
VFP=3-x
四边形OAHP=SAAFH-SAOEP
11
=-*AH-FH-一・OD・FP
22
1431
=—•—(x+5)•—(x+5)-----x2x(3-x)
2552
6,17、
=—x2+—x+3z(0<x<3).
255
(3)假设存在某一时刻x,使得四边形OAHP面积与AABC面积的比为13:1
…13
贝!JS四边形OAHP=—XSAABC
24
,6,17131
♦♦—x2+—x+3=—x-x6x8
255242
A6x2+85x-250=0
解得xi=2,X2=-77(舍去)
2
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