2023-2024学年北京市怀柔区中考联考数学试题含解析

2023-2024学年北京市怀柔区名校中考联考数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（木大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.如图，AD为AABC的中线，点E为AC边的中点，连接DE,则下列结论中不一定成立的是（）

BDC

A.DC=DEB.AB=2DEC.SCDE=-SAABCD.DE/7AB

A4

2.下列说法中，正确的是（）

A.长度相等的弧是等弧

B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

C.经过半径并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

D.在同圆或等圆中90。的圆周角所对的弦是这个圆的直径

3.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5pm（IpmR.OOOOOlm）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有

毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害.2.5Nm用科学记数法可表示为（）

A.2.5x105，〃B.0.25X10-7WC.2.5xlO-6,??D.25xl0-5w

4.下列各式计算正确的是（）

A.a24-2fl3=3a5B.a*a2=a3C.D.（a2）i=a5

5.已知。O及。O外一点P,过点P作出。O的一条切线（只有圆规和三角板这两种工具），以下是甲、乙两同学的作

业：

甲：①连接OP,作OP的垂直平分线1,交OP于点A：

②以点A为圆心、OA为半径画弧、交。O于点M；

③作直线PM,则直线PM即为所求（如图1）.

乙：①让直角三角板的一条直角边始终经过点P;

②调整直角三角板的位置，让它的另一条直角边过圆心O,直角顶点落在。O上，记这时直角顶点的位置为点M；

③作直线PM,则直线PM即为所求（如图2）.

对于两人的作业，下列说法正确的是（）

A.甲乙都对B.甲乙都不对

C.甲对，乙不对D.甲不对，己对

6.如图，在△ABC中，ZC=90°,点D在AC上，DE〃AB,若NCDE=165。，则NB的度数为（）

A.15°B.55°C.65°D.75°

7.在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球.他们除颜色外其他完全相同.通过多次摸球实验后发现,摸到

红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（）

A.16个B.15个C.13个D.12个

8.一元二次方程/一21=0的根是（）

A.-V1=0,X?——2B.-V1=1,X]—2

C.M=1,x?~—2D.X1=0,Xy=2

9.如图,E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点，且BE:AB=2：，△BEF的面积为4,则平行四边形ABCD的

面积为。

10.在GO中，已知半径为5,弦AB的长为8,则圆心O到AB的距离为（）

A.3B.4D.6

11.如图，在五边形48coE中，NA+NB+NE=300。，OP,CP分别平分NEO。、/BCD,则NP的度数是（）

£

A.60°B.65°I).50°

12.如瓯在A4BC中，AB=10,4C=8,BC=6，以边AB的中点。为圆心，作半圆与AC相切，点P,Q分别是

边BC和半圆上的动点，连接PQ,则尸。长的最大值与最小值的和是（）

A.6B.2V13+1C.9D.—

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

3

13.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AM是BC边上的中线，cosZAMC=-,贝!1tanZB的值为

14.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O,—则：四】=

OA531nl边形八sc。

A

15.如图，线段AC=n+l（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF,

连接AM、ME、EA得到△AME.当AB=1时，△AME的面积记为Si；当AB=2时，△AME的面积记为S2;当AB=3

时，AAME的面积记为S3；…；当AB=n时，AAME的面积记为Sn.当吃2时，S„-Sn.i=_

16.如匡，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A，B，C,当两个三角

形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA，等于,

17.用换元法解方程+三二1=2,设y=_J,那么原方程化为关于y的整式方程是___

x2-lx2X--1

18.不等式二壬1的正整数解为_______________.

2

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）自学下面材料后，解答问题。

分母中含有未知数的不等式叫分式不等式。如：言＞。；等＜°等。那么如何求出它们的解集呢?

根据我他学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负。其字母表达式为:

若a>0,b>0厕£>0;若a<0,bv0,则；>0；

bb

若a>0,b<0测巴v0;若av0,b>0,则巴v0.

bb

反之：若1>o,贝心>0或演o，

(1)若fvo,则—或

9

r—2

（2）根据上述规律，求不等式二＞0的解集.

x+1

20.（6分）某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：如果单独投资A种产品，所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表:

x（万元）122.535

yA（万元）0.40.811.22

信息二：如果单独投资R种产品，则所获利润yM万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：yH=a/+bx,且投

资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元.

（1）求出YB与X的函数关系式；

⑵从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示与X之间的关系，并求出yA与X的函数关

系式；

（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的

最大利润是多少？

21.（6分）如图，抛物线y=・（x-1）2代与x轴交于A,B（A,B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴

交于点C,顶点为D,已知A（-1,0）.

（1）求点B,C的坐标；

（2）判断△CDB的形状并说明理由；

（3）将ACOB沿x轴向右平移t个单位长度（0VtV3）得到△QPE.△QPE与^CDB重叠部分（如图中阴影部分）

面积为S,求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.

22.（8分）如图LB（2m,0）,C（3m,0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m>0,E（0,n）为y

轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD,使AB=2BC,画射线OA,把△ADC绕点C逆时针旋转90。得

△A'D'C',连接ED',抛物线y=+c（。00）过E,A'两点.

（1）填空；NAOB=。，用m表示点/V的坐标；A，（,）；

（2）当抛物线的顶点为A，，抛物线与线段AB交于点P,且丝二』时，AD，OE与AABC是否相似？说明理由；

（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M,过M作MN_Ly轴，垂足为N：

①求a,b,m满足的关系式；

②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10,请你探究a的取值范围.

23.（8分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置，设法使斜边DF保

持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=0.4m,EF=0.2m,测得边DF离地面的高度

AC=1.5m,CD=8m,求树高.

24.（10分）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm,

BC=6cm,ZC=90°,EG=4cm,ZEGF=90°,O是AEFG斜边上的中点.

如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以lcm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从4EFG

的顶点G出发，以lcm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停

止平移.设运动时间为x（s）,FG的延长线交AC于H,四边形OAHP的面积为y（cm?）（不考虑点P与G、F重合

的情况）.

（1）当x为何值时，OP〃AC;

（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；

（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24?若存在，求出x的值；若不存在，说明

理由.（参考数据：1142=12996,1152=13225,1162=134564.42=19.36,4.52=20.25,4.62=21.16）

25.（10分）如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点尸从A出发，以每秒2厘米的速度向8运动，点。从C

同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为九

⑴用含，的代数式表示：AP=,AQ=.

⑵当以4尸，。为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？

■IWT

27.（12分）小明和小刚玩“石头、剪刀、布”的游戏，每一局游戏双方各自随机做出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势

的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀"胜"布”，“布”胜“石头”，相同的手势是和局.

（1）用树形图或列表法计算在一局游戏中两人获胜的概率各是多少？

（2）如果两人约定：只要谁率先胜两局，就成了游戏的赢家.用树形图或列表法求只进行两局游戏便能确定赢家的概

率.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、A

【解析】

根据三角形中位线定理判断即可.

【详解】

YAD为AABC的中线，点E为AC边的中点，

11

/.DC=-BC,DE=-AB,

22

VBC不一定等于AB,

・・・DC不一定等于DE,A不一定成立；

AAB=2DE,B一定成立；

SACDE=1SAABC,C一定成立；

4

DE〃AB,D一定成立;

故选A.

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

2、D

【解析】

根据切线的判定，圆的知识，可得答案.

【详解】

解：A、在等圆或同圆中，长度相等的弧是等弧，故A-错误；

B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故B错误；

C、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故C错误；

D、在同圆或等圆中90。的圆周角所对的弦是这个圆的直径，故D正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查了切线的判定及圆的知识，利用圆的知识及切线的判定是解题关键.

3、C

【解析】

试题分析：大于0而小于I的数用科学计数法表示，10的指数是负整数，其绝对值等于第一个不是0的数字前所有0

的个数.

考点：用科学计数法计数

4、B

【解析】

根据募的乘方，底数不变指数相乘;同底数累相除，底数不变，指数相减;同底数嘉相乘，底数不变指数相加，对各选项分析判

断利用排除法求解

【详解】

A./与方3不是同类项，故A不正确；

8.”・。2="3,正确；

C.原式故C不正确；

D.原式=06,故D不正确；

故选：B.

【点睛】

此题考查同底数器的乘法，器的乘方与积的乘方，解题的关键在于掌握运算法则.

5、A

【解析】

(1)连接OM,OAt连接OP,作。尸的垂直平分线/可得。A=M4=AP,进而得到NO=NAMO,N4M%NMB4,

所以NOM4+NAMP=NO+NMB4=90。，得出MP是。。的切线，(1)直角三角板的一条直角边始终经过点P,它的

另一条直角边过圆心O,直角顶点落在。。上，所以NOMP=90。，得到MP是。。的切线.

【详解】

证明：(1)如图1,连接OM,OA.

二•连接OP,作。尸的垂直平分线。交OP于点A,：.OA=AP,

:以点A为圆心、04为半径画弧、交00于点

：.OA=MA=APf：.ZO=ZAMOfZAMP=ZMPAf：.ZOMA+ZAMP=ZO+ZMPA=^°f：.OM±MPt是。。

的切线；

(1)如图1.

•・•直角三角板的一条直角边始终经过点P,它的另一条直角边过圆心。直角顶点落在。。上，・・・NOA/P=90。，・・・MP

是。。的切线.

故两位同学的作法都正确.

故选A.

本题考查了复杂的作图，重点是运用切线的判定来说明作法的正确性.

6、D

【解析】

根据邻补角定义可得NADE=15。，由平行线的性质可得NA=NADE=15。，再根据三角形内角和定理即可求得NB=75。.

【详解】

解：VZCDE=165°,/.ZADE=15°,

VDE/7AB,.,.ZA=ZADE=15°,

/.ZB=1800-ZC-ZA=180°-90°-15°=75°,

故选D.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键.

7、D

【解析】

由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可.

【详解】

解：设白球个数为：x个，

二•摸到红色球的频率稳定在25%左右，

・・・口袋中得到红色球的概率为25%,

.41

:.----=一，

4+x4

解得：x=12,

经检验、=12是原方程的根，

故白球的个数为12个.

故选：D.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题的关键.

8、D

【解析】

试题分析：此题考察一元二次方程的解法，观察发现可以采用提公因式法来解答此题.原方程可化为：।一1二

因此二0或二二0，所以毛=0,.Y：=二.故选D.

考点：一元二次方程的解法——因式分解法——提公因式法.

9、A

【解析】

丁四边形ABCD是平行四边形，

AAB//CD,AB=CD,AD//BC,

AABEF^ACDF,△BEF^AAED,

ABE：CD=2：3,BE：AE=2：5,

•9qAREF__4.q&BEF__42_

VSABEF=4,

••SACDF=9,SAAED=25,

AS四边形ABFD=SAAED-SABEF=25-4=21,

•*»S平行四动形ABCD=SACDF'+S四边形ABFD=9+21=30,

故选A.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等，熟记相似三角形的面积等于相似比的平方是解

题的关键.

10、A

【解析】

解：作0C\L4A于C,连结04,如图.*：OCLAB：.AC=BC=-AB=-x8=l.在RtAAOC中，04=5,

t22

:.0C=S曾—AC?=正-42=3，即圆心。到AB的距离为2.故选A.

11、A

【解析】

试题分析：根据五边形的内角和等于540。，由NA+NB+NE=300。，可求NBCD+NCDE的度数，再根据角平分线的

定义可得NPDC与NPCD的角度和，进一步求得NP的度数.

解：•・•五边形的内角和等于540。，NA+NB+NE=300。，

:.ZBCD+ZCDE=540°-300=240°,

•・・NBCD、ZCDE的平分线在五边形内相交于点O,

/.ZPDC+ZPCD=-^(ZBCD+ZCDE)=120°,

AZP=180°-120°=60°.

故选A.

考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理.

12、C

【解析】

如图，设€）0与AC相切于点E,连接OE,作OPi_LBC垂足为P1交。O于Q1，此时垂线段OPi最短，PIQI最小值

为OPi・OQi,求出OPi,如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8,由此不难解决问题.

【详解】

解：如图，设OO与AC相切于点E,连接OE,作OP】_LBC垂足为Pi交。O于Qi,

VAB=104AC=8.BC=6.

/.AB2=AC2+BC2,

/.ZC=1D°,

VZOPiB=10°,

AOPi/ZAC

VAO=OB,\

•••P1SP1B,

1

AOPi=-AC=4,

AP1Q1最小值为OPi-OQi=L

如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，

P2Q2最大值=5+3=8,

・・・PQ长的最大值与最小值的和是1.

故选：C.

【点睛】

本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于

中考常考题型.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

【解析】

3

根据cos/AMC=-,设MC=3x,AM=5xf由勾股定理求出AC的长度，根据中线表达出BC即可求解.

【详解】

3

解：VcosZAMC=-,

5

MC=3

cosZAMC=

AM-5

设MC=3x,AM=5xf

・・・在RtAACM中，4。=y]AM2-MC2=4x

•/AM是BC边上的中线，

/.BM=MC=3x,

/.BC=6x,

AC4v2

・••在RtAABC中，tanZB=——=—=-,

BC6x3

故答案为：

【点睛】

本题考查了锐角三角函数值的求解问题，解题的关键是熟记锐角三角函数的定义.

【解析】

试题分析：・・•四边形ABCO与四边形EFGH位似，位似中心点是点0,

.EF_OE_3

••=------,

ABOA5

S四边腕FGHOE

则

S四边物8。）OA

9

故答案为A.

点睛：本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键.

【解析】

连接BE,

•••在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF,

ABE/7AM.AAAME与^AMB同底等高.

/.△AME的面积=△AMB的面积.

，当AB=n时，△AME的面积为S"=一[]]当AB=n-l时，△AME的面积为S”=一(11-.

“2"2、/

22

工当吃2时，SI1-Sn_1=1n-1(n-l)=1(n+n-l)(n-n+l)=^^

16、4或8

【解析】

由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设A，D=x,根据题意阴影部分的面积为(12-x)xx,即x(12-x),当x(12-x)=32

时，解得：x=4或x=8,所以AA，=8或AA，=4。

【详解】

设AA=x,AC与相交于点E,

VAACD是正方形ABCD剪开得到的，

/.△ACD是等腰直角三角形，

ZA=45o,

.,.△AAT是等腰直角三角形，

AArE=AAr=x,

A,D=AD-AA,=12-x,

•・•两个三角形重叠部分的面积为32,

x(12-x)=32»

整理得,X2-12X+32=0,

解得x,=4,x2=8,

即移动的距离AA，等4或8.

【点睛】

本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键•.

17、6y2-5y+2=0

【解析】

x

根据二，将方程变形即可.

【详解】

根据题意得：3j+-=1,

y2

得到6/-5j+2=0

故答案为6y2—5y+2=0

【点睛】

此题考查了换元法解分式方程，利用了整体的思想，将方程进行适当的变形是解本题的关键.

18、1,2,1.

【解析】

去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可求出不等式的解集，根据不等式的解集即可求出答案.

【详解】

♦•-X>-19

1—x

・・.不等式一之的正整数解是1,2,1,

2

故答案为：1,2,1.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，关键是求出不等式的解集.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

«>0<0—

19、（1）.或]/_；（2）x>2或x<T.

b<0n[/?>0

【解析】

（1）根据两数相除，异号得负解答；

（2）先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可.

【详解】

,,UrIfl<0

(1)若丁>0,则)

b<0

a<0

故答案为：

b>0

(2)由上述规律可知,不等式转化为t一：或

[A+I>0[x+]<0

所以，x>2或XVT.

【点睛】

此题考查一元一次不等式组的应用，解题关键在于掌握掌握运算法则.

2

20、(l)yB=-0.2x+1.6X(2)一次函数,y*0.4x(3)该企业投资A产品12万元，投资B产品3万元，可获得最大利润

7.8万元

【解析】

(1)用待定系数法将坐标(2,2.4)(4,3.2)代入函数关系式yB=ax2+bx求解即可；

(2)根据表格中对应的关系可以确定为一次函数，通过待定系数法求得函数表达式；

(3)根据等量关系“总利润=投资A产品所获利润+投资B产品所获利润”列出函数关系式求得最大值

【详解】

解：(1)VB=-0.2x2+1.6x,

(2)一次函数,yA=0.4x,

(3)设投资B产品x万元，投资A产品(15-x)万元，投资两种产品共获利W万元，则W=(-0.2X2+1.6X)+0.4

(15—x)=—0.2X2+1.2x+6=—0.2(x—3)2+7.8,

***当x=3时,W.大值=7.8,

答:该企业投资A产品12万元，投资B产品3万元，可获得最大利润7.8万元.

33

--r0+3r(0<r<-)

(I)B(3,0)；C(0,3)；(II)ACOB为直角三角形；(111为二・

=-r2-3z+-(-<r<3)

222

【解析】

(1)首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B,C的坐标.

(2)分别求出^CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形.

(3)△COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：

3

①当0<£不时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；

2

3

②当不VtV3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形.

2

【详解】

解：(I).••点4(-1,0)在抛物线)，二一(工一1『+c上，

/.0=-(-l-l)2+c,得c=4

・•・抛物线解析式为：），=一（工一1）?+4,

令无=0,得y=3,・・・C（0,3）；

令>=0,得工=一1或x=3,•••B。,。）.

（n）ACD3为直角三角形.理由如下：

由抛物线解析式，得顶点。的坐标为（1,4）.

如答图1所示，过点。作轴于点M,

则OM=1,DM=4,BM=OB-OM=2.

过点。作CN_LDM于点N,则CV=1,DN=DM-MN=DM-OC=1.

在RAOBC中,由勾股定理得：BC=y]OB2+OC2=732+32=3\/2；

在R/AQVD中，由勾股定理得：CD=yjCN2+DN2=>/12+12=；

在RABMD中,由勾股定理得：BDVBMRDM?=也\?=2石.

■:BC'CD'BD"

・••△CD5为直角三角形.

（ID）设直线BC的解析式为y=6+b,

・・・8（3,0）,C（0,3）,

（3女+/7=0

：.<,

b=3

解得％=-1/=3,

:.y=-.r+3,

直线QE是直线BC向右平移r个单位得到，

，直线QE的解析式为：y=-(x-，)+3=-x+3+，；

设直线BD的解析式为y=如+",

•••3(3,0),0(1,4),

3m+/?=()

/./,解得：6=一2,〃=6,

m+n=A

：.y=-2x+6.

(3、

连续CQ并延长，射线CQ交3。交于G,则G-,3

IN7

在ACO6向右平移的过程中：

(1)当时，如答图2所示:

设PQ与BC交于点K,可得QK=CQ=r,PB=PK=3-t.

fy=-2x+6

设。后与的交点为尸，贝必\,•

[y=-x+3+r

x=3-t

解得J「，

y=2t

・••尸（3—2）.

S=S,orF-S.\PBK-S\FBF=-PEPQ--PBPK--BEyF

=-x3x3--（3-t}2--t-2t=--t2+3t.

22V722

3

⑵当；</<3时，如答图3所示；

2

♦：CQ=t,

:・KQ=i,PK=PB=3T.

直线8。解析式为)，=-2X+6,令％=/,得)，=6-21,

:.J(1,6-21).

S=S“SaBK=”P*PBPK

=((3-/)(6-2/)一；(3T『

12>9

=-/-3/+-.

22

3ra、

一"+3f0<r<-

2I2

综上所述，S与/的函数关系式为：S=\।

=-/2-3r+-f-</<3

2212)

22、(1)45；(m,-m)；(2)相似；(3)①人二一1一。m；®-<a<\.

4

【解析】

试题分析：(1)由B与C的坐标求出OB与OC的长，进一步表示出BC的长，再证三角形AOB为等腰直角三角形,

即可求出所求角的度数；由旋转的性质得，即可确定出A，坐标；

RP1

(2)△DOE^AABC.表示出A与B的坐标，由一=-,表示出P坐标，由抛物线的顶点为A，，表示出抛物线

AP3

解析式，把点E坐标代入即可得到m与n的关系式，利用三角形相似即可得证；

(3)①当E与原点重合时，把A与E坐标代入)，=双2+/琐+的整理即可得到a,b,m的关系式；

②抛物线与四边形ABCD有公共点，可得出抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，分两种情况考虑：

若抛物线过点C(3m,0),此时MN的最大值为10,求出此时a的值；若抛物线过点A(2m,2m),求出此时a的

值，即可确定出抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围.

试题解析：(1)VB(2m,0),C(3m,0),/.OB=2m,OC=3m,即BC=m,VAB=2BC,/.AB=2m=0B,VZABO=90°,

•••△ABO为等腰直角三角形，・・・NAOB=45。，由旋转的性质得：OD'=D'A'=m,即A'(m,-m)；故答案为45；m,

-m；

(2)△DOE^AABC,理由如下：由已知得：A(2m,2m),B(2m,0),V—=-,：.P(2m,-m),N为

AP32

2

抛物线的顶点，，设抛物线解析式为y=a(x-〃?)2-’・,抛物线过点E(0,n),n=a(0-m)-mt即m=2n,

AOE：OD'=BC：AB=1：2,VZEOD,=ZABC=90°,/.AD'OE^AABC；

_n=0

(3)①当点E与点O重合时，E(0,0),•・•抛物线丁=改2+法+(.过点七，A,/.{,,整理得:

2+bm+〃=-ni

am+b=-\,即匕=一1一a/%；

②.••抛物线与四边形ABCD有公共点，，抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，若抛物线过点C(3m,

113

0),此时MN的最大值为10,/.a(3m)2-(l+am)・3m=0,整理得：ani=—,即抛物线解析式为)，=---X92-----X,

22m2

y=x

由A(2m,2m),可得直线OA解析式为产x,联立抛物线与直线OA解析式得：(1。3，解得：x=5m,

V=—X——X

-2m2

V=5m,即M(5m,5m),令5m=10,即m=2,当m=2时，a=—；

4

若抛物线过点A(2m,2m),则4(2〃?尸-(1-c〃〃)2〃=2〃?，解得：am=2,Vm=2,/.a=L则抛物线与四边形ABCD

有公共点时a的范围为上。“

考点：1.二次函数综合题；2.压轴题；3.探究型；4.最值问题.

23、树高为5.5米

【解析】

DEEF

根据两角相等的两个三角形相似，可得ADEFsaDCB,利用相似三角形的对边成比例，可得=二古，代入

DCCB

数据计算即得BC的长，由AB=AC+BC,即可求出树高.

【详解】

VZDEF=ZDCB=90°,ZD=ZD,

AADEF^ADCB

DEEF

：•----=-----，

DCCB

VDE=0.4m,EF=0.2m,CD=8m,

.0.40.2

•.—f

8CB

ACB=4(m),

AAB=AC+BC=1.5+4=5.5(米)

答：树高为5.5米.

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型.

24、(1)1.5s；(2)S=—6x2+1—7x+3(0<x<3)；(3)当x=52(s)时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：

2552

1.

【解析】

(1)由于O是EF中点，因此当P为FG中点时，OP〃EG〃AC,据此可求出x的值.

(2)由于四边形AHPO形状不规则，可根据三角形AFH和三角形OPF的面积差来得出四边形AHPO的面积.三角

形AHF中.AH的长可用AF的长和/FAH的余弦值求出.同理可求出FH的表达式(也可用相似二角形来得出AH、

FH的长).三角形OFP中，可过O作OD_LFP于D,PF的长易知，而OD的长，可根据OF的长和NFOD的余弦

值得出.由此可求得y、x的函数关系式.

(3)先求出三角形ABC和四边形OAHP的面积，然后将其代入(2)的函数式中即可得出x的值.

【详解】

解：(1)VRtAEFG<^RtAABC

.EGFG4FG

..---=----,即Bn一二----

ACBC86

.4x6

••FG=----=3cm

8

•・•当P为FG的中点时，OP〃EG,EG/7AC

.,.OP/7AC

-FG1

Ax=V?=—2x3=1.5(s)

，当x为l.5s时，OP/7AC.

(2)在RtAEFG中，由勾股定理得EF=5cm

VEG/7AH

/.△EFG^AAFH

,EG_EF_FG

••而一而一丽’

43

/.AH=—(x+5),FH=—(x+5)

55

过点O作OD_LFP,垂足为D

,・•点O为EF中点

OD=—EG=2cm

2

VFP=3-x

四边形OAHP=SAAFH-SAOEP

11

=-*AH-FH-一・OD・FP

22

1431

=—•—(x+5)•—(x+5)-----x2x(3-x)

2552

6,17、

=—x2+—x+3z(0<x<3).

255

(3)假设存在某一时刻x,使得四边形OAHP面积与AABC面积的比为13：1

…13

贝!JS四边形OAHP=—XSAABC

24

,6,17131

♦♦—x2+—x+3=—x-x6x8

255242

A6x2+85x-250=0

解得xi=2,X2=-77(舍去)

2