中考数学专项复习之圆与母子型相似结合型：切割线定理反A模型 压轴题（含答案及解析）

圆与图子型相假:翎割线定理反人模型窿轴题专题

知识剖析

切割线定理:反a模型

图形相似的证明结论

@DC2=DB-DA；

因为（/OCB=/Z14C

②tanZA=tanZDCB=相似比

・・.\DCB~bDAC

经典例题

题目上（北雅）如图，。为。。上一点,点。在直径BA的延长线上，且ZCDA=ACBD.

（1）求证：CD是。。的切线；

（2）过点B作。。的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan/CD4=。,求跳;的长.

O

•••

题目团（南雅）如图，。为。。上一点，点。在直径BA的延长线上,且C»=CA-CB.

（1）求证：CD是。。的切线；

（2）过点B作OO的切线交CD的延长线于点E,若BC=10,tanZCDA=§，求BE的长.

5

遮目叵〕（长郡）已知:如图，。。的直径AB垂直于弦CD,过点。的切线与直径AB的延长线相交于点P,连

结PD

（1）求证：PD是。。的切线.

⑵求证：PD2=PB-P4

⑶若PD=4,tanZCDB=/,求直径4B的长.

O\M

题目⑷（明德）如图，AB为圆。的直径，。为圆。上一点，AD和过。点的直线互相垂直，垂足为。，且AC

平分/D4B,延长48交。。于点E,。歹，于点F.

（1）求证:直线DE与。O相切；

（2）若EB=2,EC=4,求。。的半径及力。、40的长；

（3）在（2）的条件下,求阴影部分的面积.

题目©（雅礼）如图，在。。中，AB为直径，OCL弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有一点

E,且EF=ED.

（1）求证：OE是。。的切线

（2）若tan4=，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；

（3）在（2）的条件下，若OF=1,求。O的半径和CD的长.

C

D

题目⑹(青竹湖)如图，已知AB是0O的直径，直线4。与。。相切于点/,过点B作BO〃O。交。。于

点。，连接CD并延长交的延长线于点E.

(1)求证：CD是0O的切线.

(2)求证：。彦二踮㈤人；

(3)若BE=1,tan乙48=/,求线段AD的长度.

题目□(北雅)如图①，A4BC内接于0O,点P是△ABC的内切圆的圆心，AP交边BC于点O,交。。于

点瓦经过点E作0O的切线分别交AB、4。延长线于点F、G.

⑴求证：BC7/FG；

(2)探究：PE与DE和AE之间的关系；

(3)当图①中的EE=AB时,如图②，若FB=3,CG=2,求AG的长.

•M

题目包（青竹湖）如图，。。经过4ABC的顶点A、C,并与AB边相交于点。，过点。作DFIIBC,交AC

于点E,交（DO于点F,连接_DC,点。为弧OF的中点.

（1）求证：BC为OO的切线；

（2）若。O的半径为3,DF=40,求CE・CA的值；

（3）在（2）的条件下，连接AF,若BD=AF,求AD的长.

题目叵］（麓山国际）如图，AB是。。的直径，点。是。。上一点，40与过点。的切线垂直，垂足为点

直线。。与AB的延长线相交于点P,弦CE平分乙4cB，交AB点F,连接BE.

（1）求证：AC平分ZDAB；

（2）求证：PC=PF；

（3）若tanZABC=今，AB=14,求线段PC的长.

题目jo］（青竹湖）如图，AB为。。的直径，。为。O上一点，。为BA延长线上一点,AACD=ZB.

（1）求证：。。为©。的切线；

（2）若。。的半径为5,sinB=^■，求CD和40的长；

5

（3）在（2）的条件下，线段OR分别交A。，6。于点E,尸且/CEF=45°,求CF的长.

6

圆与图子型相假:翎割线定理反人模型窿轴题专题

知识剖析

切割线定理:反a模型

图形相似的证明结论

@DC2=DB-DA；

因为（/OCB=/Z14C

②tanZA=tanZDCB=相似比

・・.\DCB~bDAC

经典例题

题目上（北雅）如图，。为。。上一点,点。在直径BA的延长线上，且ZCDA=ACBD.

（1）求证：CD是。。的切线；

（2）过点B作。。的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan/CD4=。,求跳;的长.

O

【解答】（1）证明：连。。，OE,如图，•.2B为直径，/ADB=90°,即乙4。。+/1=90°,

又■/ACDA=ACBD,而ACBD=Z1,/.Zl=ACDA,：.ACDA+ZADO=90°,即ZCDO=90°,

.♦.CD是。。的切线；

（2）解：•••EB为。。的切线，：.ED=EB,OE±DB,：.AABD+ADBE=9Q°,NOEB+NDBE=90°,

：.AABD=4OEB,：.ACDA=AOEB.而tan/CDA=工，：.tan/OEB=零=4，；Rt/XCDO〜

33

RtACBE,：.盗=需=嗯=与，：.CD=^x6=4,在Rt4CBE中，设BE=H,：.（rc+4）2=x2+62,

UJDJ3rjHh/33

解得名=£.

题目团（南雅）如图，。为。。上一点，点。在直径BA的延长线上,且CD2=CA-CB.

（1）求证：CD是。。的切线；

（2）过点B作。。的切线交CD的延长线于点石，若BC=10,tan/CD4=春,求BE的长.

5

•••

：./ADC=ZDBC,OB=OD,：.ABDO=/DBO,：AB为OO的直径，，ABDA=90°,

NBDO+^ODA=ZCDA+ZODA=90°,：.OD±CD,：.CD为。0的切线；

(2)•:BE、CE是OO的切线，：.ED=EB,•:/XDCA〜ABCD，,4DBA=ACDA,：.器=架

BCyIDL)

tanZDBA=tanZCDA.•.CD=3BO=6,设BE=rc,则DE=rr,CE=a;+6.在RtACBE中，

55

_16

(t+6)2=a:2+102,解得:x

-3，

o

题目叵〕（长郡）已知:如图，OO的直径AB垂直于弦CD,过点。的切线与直径AB的延长线相交于点P,连

结PD

（1）求证：PD是。。的切线.

（2）求证：PD2=PB-PA.

（3）若PD=4,tanZGDB=y,求直径AB的长.

【解答】（1）证明：连接OD,OC,•••PC是。。的切线，二/PCO=90°,•••AB_LCD,AB是直径,

DO=CO

弧BD=孤BC,；.NDOP=Z.COP,在/XDOP和△8P中，，2DOP=4COP,

OP=OP

：.ADOP笃△COP(SAS),APDO=2PCO=90°,1•。在。。上，；.PD是。。的切线；

(2)证明：AB是。。的直径，/.AADB=90°,/APDO=90°,/.AADO=NPDB=90°-ZBDO,

•：OA^OD,：.ZA=AADO,：.ZA=APDB,VABPD=NBPD,：.4PDB〜APAD,

•,.恩=篝,••.P02=P4PB；

⑶解：・・・ZX7_LAB,AADB=ADMB=90°,ZA+ZZ)BM=90°,ACDB+ADBM=,

••NA—/-CDB,VtanZCDB=]，工tanA=]=，:/^PDB~/\PAD,：.—%?•—《4•—；•

•・・PO=4,・・.PB=2,P4=8,・・.48=8—2=6.

题目@（明德）如图，AB为圆O的直径，。为圆。上一点，AO和过。点的直线互相垂直，垂足为。，且AC

平分/DAB,延长AB交。。于点E,CFL于点F.

（1）求证：直线DE与。。相切；

（2）若EB=2,EC=4,求。。的半径及AC、AD的长；

（3）在（2）的条件下,求阴影部分的面积.

【解答】解：⑴连接OC;♦.2D，。。，/口4。+/48=90°;又・.2。平分/2143,OA=OC,

：.ADAC=ACAO,ACAO=AACO,：.ADAC=AACO,：.AACD+AACO=90°，即OC_LDC,

直线DE与。。相切.

⑵•：EC是◎O的切线，,EC2=EB*EA,而EC=4,EB=2,：.EA=8,AB=8-2=6;

.•.（DO的半径为3.•.•4。平分/DAE,.•.*=空，.・.恶=莓="=2,.・.4。=2。。（设为2）;

AECEDCEC4

・・・4C平分NZZ4B,CDrAD,CF_LAB,.・.CD=GF;在△ADC与△AFC中，＜,

[CD=CF

：./XADC空AAFC（HL）,AF=AO=26，BF=6-26；TAB为。O的直径，.・.Z.ACB=90°;

由射影定理得：CF2=AF-BF,即x2=2z（6—2,）,解得：a;=¥■,.♦.AD="；

55

由勾股定理得：AC2=47=今⑤，

即。。的半径及AC、AD的长分别为3,毕⑤，空.

55

（/Jo）\...bc^ABc—1MA乂12_365Q半圆O一_万1X乂T？rTX乂JQ2_97r・.bQ阴影一_^97-r----3.6

题目回（雅礼）如图，在OO中，AB为直径，OC，AB,弦CD与OB交于点F,在48的延长线上有一点

E,且EF=ED.

⑴求证：DE是。。的切线

⑵若tanA=-1，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明;

（3）在（2）的条件下，若OF=1,求O。的半径和CD的长.

【解答】（1）证明：连接OD,如图，•；EF=ED,：.2EFD=NEDF,；2EFD=2CFO,：.ZCFO=

NEDF,'：OC±OF,：.^OCF+ACFO=90°,•/OC=OD,：.2OCF=ZODF,：./LODC+NEDF=

90°,即/ODE=90°,，。。，。右，•.•点。在。。上，是。。的切线；

（2）解;线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE.证明：：为。O直径，,NADB=90°,

：.ZADO=ZBDE,'：OA=OD,：.ZADO=ZA,ABDE=/A,而ABED=NDEA,/.AEBD〜

△EDA，：•嘘=黑=^」••母4ABD中==%•.嘘=^W，：.AE=2DE,DE

=2BE,

：.AE=4BE,/.AB=3BE;

（3）解：设BE=a:,则DE=EF=2c,AB=3①，半径OD=等①，：OF=1,二OE=1+2rr,

在Rt4ODE中，由勾股定理可得：（52）2+（2以=（1+2a;）2,/.x——■（舍）或立=2,

AB=3x=6,：.圆O的半径为3.过点。作。f/_LCD,

•/OC=OD,CD=2cH,在RtdOCF中，CF=JOCe+o尸2=视,m=。0f,

在办△OS中，tan/OCH=3="=々，/.CH=3OH=,ACD=2CH=

C/i（JG3105

题目回（青竹湖）如图，已知AB是。。的直径，直线A。与OO相切于点4过点B作BDIIOC交。。于

点。，连接CD并延长交AB的延长线于点E.

（1）求证：CD是。。的切线.

（2）求证：DE2=EB>EA；

（3）若BE=1,tanZACO=-y,求线段AD的长度.

•M

【解答】解：（1）BD〃OC,：.NDBO=ACOA,NODB=NCOD,；OB=OD,：.ADBO=NODB,

CO=CO

：.ACOA=Z.COD,在ACOA和/\COD中，，Z.COA=ZCOD,：./\COA空ACOD（SAS）,

,OA=OD

：./.CAO=/CDO,AC是。。的切线，/.CAO=90°=/CD。，即。D_LEC,：OD是G>O的半径,

.•.EC是OO的切线；

（2）VEC是。。的切线，4ODE=90°,即AEDB+AODB=90°,又AB是。。的直径，

NADB=90°,/.NABD+ABAD=90°,又：ZODB=ZOBD,：.2EDB=NEAD,

又；NE=NE,：./\EBD〜AEDA,：.萼=塔，即DE?=AE，BE;

DEAE

（3）VZACO+2cOA=90°,ABAD+AOBD=90°,而NOBD=ZODB=2cOD=ZCOA,

AAABD+ABAD=90°，,ABAD=AACO,由/\EBD〜/\EDA,；.署=笔=tanZBAD=1，

Uh/ATJ2

•；BE=1,；.DE=2,由DE?=AE・BE得,2?=1XAE,，AB=4,，AB=4—1=3,设BD=a，则AD=

2a,由勾股定理得，BD2+AD2^AB2,即a2+（2a）2=32,解得a=锂5,...人。=2a=曜$.

55

题目可（北雅）如图①，△ABC内接于。。，点P是△ABC的内切圆的圆心，AP交边BC于点。，交。。于

点E,经过点E作。O的切线分别交AB、AC延长线于点F、G.

（1）求证：BC7/FG；

（2）探究：PE与DE和AE之间的关系；

（3）当图①中的FE=AB时,如图②，若FB=3,CG=2,求AG的长.

EE

图（1）图（2）

【解答】⑴证明：连接BE,•.•点P是△AB。的内心，/BAD=/CAD又：FG切。。于E,

4BEF=ABAD.又；NDBE=NCAD,；.ZBEF=ADBE.：.BC//FG.

（2）解：连接BP,则NABP=ZCBP.•：Z.BPE=NBAP+NABP=NPBC+4EBD,；.ZBPE=

APBE.

：.BE=PE.在/\ABE和^BDE中，ABAE=ZEBD,ABED=AAEB,：./\ABE〜ABDE.

:.照=照.：.BE2=AE-DE.：.PE2=AE-DE.

AEBE

⑶解：：FE2=FB-FA=FB（FB+AB），而FE=AB,；.AB2=3（3+AB）.设AB=rr,则x2-3x-9=0,

解之得c=.♦.AB=3+：.（取正值）.由（i）在△AFG中，BC7/FG,.•.禁=冬.

22DrCG

A

EG

题目8j（青竹湖）如图，。。经过4ABC的顶点A、C,并与AB边相交于点。，过点。作DFHBC,交AC

于点E,交OO于点F,连接OC,点。为弧OF的中点.

（1）求证：BC为OO的切线；

（2）若。O的半径为3,DF=40,求CE・CA的值；

（3）在（2）的条件下，连接AF,若BD=AF,求AD的长.

【解答】⑴证明：连接CO并延长交OO于G,连接DG,如图：CG为直径，/.4GDC=90°,

ZDCG+Z.DGC=90°,/ZDGC=/B力。，点。为弧DF的中点，：.ZCDF=ABAC,

：.ZDGC=NCDF,：.ZDCG+/CDF=90°,•••DF//BC,：.2CDF=ADCB,：./DCG+ZDCB=90°,

OC_LBC,又是0O的半径，.•.B。为。。的切线；

⑵解:连接OC交DF于此为弧DF的中，OC±DF,:.DM=MF=±DF=2&,

■：QO的半径为3,：.OM=y/Olf-DM2=V32-(2V2)2=1,/.CM=OC-OM=3-1=2,

ADC2^DM2+CM2^(2V2)2+22=12,-：cb^CF,：.ADAC^ACAF,V4CDF=ACAF,

AZCDF=ADAC,•：ADCE=ZACD，二^DCE〜4ACD,：.喘=,：.亦=CE-CA,

7T.OO-L-Z

.•.CE-CA=12;

•.•四边形ADCF内接于OO,AADC+AAFC=180°,又：ABDC+ZCDA=180°,AAAFC=

ABDC,

■：CD^CF,：.CD2V3,又：BDAF,：.l\BDC星△AFC(SAS),ABC=AC,ABCD=

AACF,

■：AACF^AADF,AZBCD=AADF,VDFIIBC,：.4CDF=4BCD,：.ZCDF=AADF,：.AF=

CF,：.AF=CF,BD=CF=2V3,：.AC=DF,：.AC=DF==BC,'：ABCD=ACDF=ACAF

ADAC,ZDBC=4ABC,：.4DBC〜4CBA,：.掾=嗯，：.BC'BD*AB,：.(4A/2)2=2V3-AB,

JDUBQy

：.AB^^-V3,AAn=AB-BZ?=^-V3-2V3=^-V3.

ooo

题目回(麓山国际)如图，AB是。。的直径，点。是。。上一点，AD与过点。的切线垂直，垂足为点O,

直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分/ACB,交4B点F,连接BE.

(1)求证：AC平分/DAB；

(2)求证：PC=PF；•M

【解答】（1）证明：•••PD切O。于点C,OC±PD,又AD.LPD,：.OC//AD,：.AACO=ADAC.

•：OC=OA,AAACO^ACAO,：./OAC=/CAO,即4C平分ADAB；

⑵证明：：AD±PD,：.ADAC+乙4co=90°.又：AB为。O的直径，,NACB=90°.

ANPCB+ZACD=90°,ANDAC=ZPCB.又：NDAC=ACAO,：.ACAO=ZPCB.：CE平分

AACB,A/ACF=ABCF,：.ACAO+ZACF=ZPCB+ABCF,：.4PFC=APCF,：.PC=PF;