中考数学专项复习之圆与母子型相似结合型:切割线定理反A模型 压轴题(含答案及解析)_第1页
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文档简介

圆与图子型相假:翎割线定理反人模型窿轴题专题

知识剖析

切割线定理:反a模型

图形相似的证明结论

@DC2=DB-DA;

因为(/OCB=/Z14C

②tanZA=tanZDCB=相似比

・・.\DCB~bDAC

经典例题

题目上(北雅)如图,。为。。上一点,点。在直径BA的延长线上,且ZCDA=ACBD.

(1)求证:CD是。。的切线;

(2)过点B作。。的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan/CD4=。,求跳;的长.

O

•••

题目团(南雅)如图,。为。。上一点,点。在直径BA的延长线上,且C»=CA-CB.

(1)求证:CD是。。的切线;

(2)过点B作OO的切线交CD的延长线于点E,若BC=10,tanZCDA=§,求BE的长.

5

遮目叵〕(长郡)已知:如图,。。的直径AB垂直于弦CD,过点。的切线与直径AB的延长线相交于点P,连

结PD

(1)求证:PD是。。的切线.

⑵求证:PD2=PB-P4

⑶若PD=4,tanZCDB=/,求直径4B的长.

O\M

题目⑷(明德)如图,AB为圆。的直径,。为圆。上一点,AD和过。点的直线互相垂直,垂足为。,且AC

平分/D4B,延长48交。。于点E,。歹,于点F.

(1)求证:直线DE与。O相切;

(2)若EB=2,EC=4,求。。的半径及力。、40的长;

(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积.

题目©(雅礼)如图,在。。中,AB为直径,OCL弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有一点

E,且EF=ED.

(1)求证:OE是。。的切线

(2)若tan4=,探究线段AB和BE之间的数量关系,并证明;

(3)在(2)的条件下,若OF=1,求。O的半径和CD的长.

C

D

题目⑹(青竹湖)如图,已知AB是0O的直径,直线4。与。。相切于点/,过点B作BO〃O。交。。于

点。,连接CD并延长交的延长线于点E.

(1)求证:CD是0O的切线.

(2)求证:。彦二踮㈤人;

(3)若BE=1,tan乙48=/,求线段AD的长度.

题目□(北雅)如图①,A4BC内接于0O,点P是△ABC的内切圆的圆心,AP交边BC于点O,交。。于

点瓦经过点E作0O的切线分别交AB、4。延长线于点F、G.

⑴求证:BC7/FG;

(2)探究:PE与DE和AE之间的关系;

(3)当图①中的EE=AB时,如图②,若FB=3,CG=2,求AG的长.

•M

题目包(青竹湖)如图,。。经过4ABC的顶点A、C,并与AB边相交于点。,过点。作DFIIBC,交AC

于点E,交(DO于点F,连接_DC,点。为弧OF的中点.

(1)求证:BC为OO的切线;

(2)若。O的半径为3,DF=40,求CE・CA的值;

(3)在(2)的条件下,连接AF,若BD=AF,求AD的长.

题目叵](麓山国际)如图,AB是。。的直径,点。是。。上一点,40与过点。的切线垂直,垂足为点

直线。。与AB的延长线相交于点P,弦CE平分乙4cB,交AB点F,连接BE.

(1)求证:AC平分ZDAB;

(2)求证:PC=PF;

(3)若tanZABC=今,AB=14,求线段PC的长.

题目jo](青竹湖)如图,AB为。。的直径,。为。O上一点,。为BA延长线上一点,AACD=ZB.

(1)求证:。。为©。的切线;

(2)若。。的半径为5,sinB=^■,求CD和40的长;

5

(3)在(2)的条件下,线段OR分别交A。,6。于点E,尸且/CEF=45°,求CF的长.

6

圆与图子型相假:翎割线定理反人模型窿轴题专题

知识剖析

切割线定理:反a模型

图形相似的证明结论

@DC2=DB-DA;

因为(/OCB=/Z14C

②tanZA=tanZDCB=相似比

・・.\DCB~bDAC

经典例题

题目上(北雅)如图,。为。。上一点,点。在直径BA的延长线上,且ZCDA=ACBD.

(1)求证:CD是。。的切线;

(2)过点B作。。的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan/CD4=。,求跳;的长.

O

【解答】(1)证明:连。。,OE,如图,•.2B为直径,/ADB=90°,即乙4。。+/1=90°,

又■/ACDA=ACBD,而ACBD=Z1,/.Zl=ACDA,:.ACDA+ZADO=90°,即ZCDO=90°,

.♦.CD是。。的切线;

(2)解:•••EB为。。的切线,:.ED=EB,OE±DB,:.AABD+ADBE=9Q°,NOEB+NDBE=90°,

:.AABD=4OEB,:.ACDA=AOEB.而tan/CDA=工,:.tan/OEB=零=4,;Rt/XCDO〜

33

RtACBE,:.盗=需=嗯=与,:.CD=^x6=4,在Rt4CBE中,设BE=H,:.(rc+4)2=x2+62,

UJDJ3rjHh/33

解得名=£.

题目团(南雅)如图,。为。。上一点,点。在直径BA的延长线上,且CD2=CA-CB.

(1)求证:CD是。。的切线;

(2)过点B作。。的切线交CD的延长线于点石,若BC=10,tan/CD4=春,求BE的长.

5

•••

:./ADC=ZDBC,OB=OD,:.ABDO=/DBO,:AB为OO的直径,,ABDA=90°,

NBDO+^ODA=ZCDA+ZODA=90°,:.OD±CD,:.CD为。0的切线;

(2)•:BE、CE是OO的切线,:.ED=EB,•:/XDCA〜ABCD,,4DBA=ACDA,:.器=架

BCyIDL)

tanZDBA=tanZCDA.•.CD=3BO=6,设BE=rc,则DE=rr,CE=a;+6.在RtACBE中,

55

_16

(t+6)2=a:2+102,解得:x

-3,

o

题目叵〕(长郡)已知:如图,OO的直径AB垂直于弦CD,过点。的切线与直径AB的延长线相交于点P,连

结PD

(1)求证:PD是。。的切线.

(2)求证:PD2=PB-PA.

(3)若PD=4,tanZGDB=y,求直径AB的长.

【解答】(1)证明:连接OD,OC,•••PC是。。的切线,二/PCO=90°,•••AB_LCD,AB是直径,

DO=CO

弧BD=孤BC,;.NDOP=Z.COP,在/XDOP和△8P中,,2DOP=4COP,

OP=OP

:.ADOP笃△COP(SAS),APDO=2PCO=90°,1•。在。。上,;.PD是。。的切线;

(2)证明:AB是。。的直径,/.AADB=90°,/APDO=90°,/.AADO=NPDB=90°-ZBDO,

•:OA^OD,:.ZA=AADO,:.ZA=APDB,VABPD=NBPD,:.4PDB〜APAD,

•,.恩=篝,••.P02=P4PB;

⑶解:・・・ZX7_LAB,AADB=ADMB=90°,ZA+ZZ)BM=90°,ACDB+ADBM=,

••NA—/-CDB,VtanZCDB=],工tanA=]=,:/^PDB~/\PAD,:.—%?•—《4•—;•

•・・PO=4,・・.PB=2,P4=8,・・.48=8—2=6.

题目@(明德)如图,AB为圆O的直径,。为圆。上一点,AO和过。点的直线互相垂直,垂足为。,且AC

平分/DAB,延长AB交。。于点E,CFL于点F.

(1)求证:直线DE与。。相切;

(2)若EB=2,EC=4,求。。的半径及AC、AD的长;

(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积.

【解答】解:⑴连接OC;♦.2D,。。,/口4。+/48=90°;又・.2。平分/2143,OA=OC,

:.ADAC=ACAO,ACAO=AACO,:.ADAC=AACO,:.AACD+AACO=90°,即OC_LDC,

直线DE与。。相切.

⑵•:EC是◎O的切线,,EC2=EB*EA,而EC=4,EB=2,:.EA=8,AB=8-2=6;

.•.(DO的半径为3.•.•4。平分/DAE,.•.*=空,.・.恶=莓="=2,.・.4。=2。。(设为2);

AECEDCEC4

・・・4C平分NZZ4B,CDrAD,CF_LAB,.・.CD=GF;在△ADC与△AFC中,<,

[CD=CF

:./XADC空AAFC(HL),AF=AO=26,BF=6-26;TAB为。O的直径,.・.Z.ACB=90°;

由射影定理得:CF2=AF-BF,即x2=2z(6—2,),解得:a;=¥■,.♦.AD=";

55

由勾股定理得:AC2=47=今⑤,

即。。的半径及AC、AD的长分别为3,毕⑤,空.

55

(/Jo)\...bc^ABc—1MA乂12_365Q半圆O一_万1X乂T?rTX乂JQ2_97r・.bQ阴影一_^97-r----3.6

题目回(雅礼)如图,在OO中,AB为直径,OC,AB,弦CD与OB交于点F,在48的延长线上有一点

E,且EF=ED.

⑴求证:DE是。。的切线

⑵若tanA=-1,探究线段AB和BE之间的数量关系,并证明;

(3)在(2)的条件下,若OF=1,求O。的半径和CD的长.

【解答】(1)证明:连接OD,如图,•;EF=ED,:.2EFD=NEDF,;2EFD=2CFO,:.ZCFO=

NEDF,':OC±OF,:.^OCF+ACFO=90°,•/OC=OD,:.2OCF=ZODF,:./LODC+NEDF=

90°,即/ODE=90°,,。。,。右,•.•点。在。。上,是。。的切线;

(2)解;线段AB、BE之间的数量关系为:AB=3BE.证明::为。O直径,,NADB=90°,

:.ZADO=ZBDE,':OA=OD,:.ZADO=ZA,ABDE=/A,而ABED=NDEA,/.AEBD〜

△EDA,:•嘘=黑=^」••母4ABD中==%•.嘘=^W,:.AE=2DE,DE

=2BE,

:.AE=4BE,/.AB=3BE;

(3)解:设BE=a:,则DE=EF=2c,AB=3①,半径OD=等①,:OF=1,二OE=1+2rr,

在Rt4ODE中,由勾股定理可得:(52)2+(2以=(1+2a;)2,/.x——■(舍)或立=2,

AB=3x=6,:.圆O的半径为3.过点。作。f/_LCD,

•/OC=OD,CD=2cH,在RtdOCF中,CF=JOCe+o尸2=视,m=。0f,

在办△OS中,tan/OCH=3="=々,/.CH=3OH=,ACD=2CH=

C/i(JG3105

题目回(青竹湖)如图,已知AB是。。的直径,直线A。与OO相切于点4过点B作BDIIOC交。。于

点。,连接CD并延长交AB的延长线于点E.

(1)求证:CD是。。的切线.

(2)求证:DE2=EB>EA;

(3)若BE=1,tanZACO=-y,求线段AD的长度.

•M

【解答】解:(1)BD〃OC,:.NDBO=ACOA,NODB=NCOD,;OB=OD,:.ADBO=NODB,

CO=CO

:.ACOA=Z.COD,在ACOA和/\COD中,,Z.COA=ZCOD,:./\COA空ACOD(SAS),

,OA=OD

:./.CAO=/CDO,AC是。。的切线,/.CAO=90°=/CD。,即。D_LEC,:OD是G>O的半径,

.•.EC是OO的切线;

(2)VEC是。。的切线,4ODE=90°,即AEDB+AODB=90°,又AB是。。的直径,

NADB=90°,/.NABD+ABAD=90°,又:ZODB=ZOBD,:.2EDB=NEAD,

又;NE=NE,:./\EBD〜AEDA,:.萼=塔,即DE?=AE,BE;

DEAE

(3)VZACO+2cOA=90°,ABAD+AOBD=90°,而NOBD=ZODB=2cOD=ZCOA,

AAABD+ABAD=90°,,ABAD=AACO,由/\EBD〜/\EDA,;.署=笔=tanZBAD=1,

Uh/ATJ2

•;BE=1,;.DE=2,由DE?=AE・BE得,2?=1XAE,,AB=4,,AB=4—1=3,设BD=a,则AD=

2a,由勾股定理得,BD2+AD2^AB2,即a2+(2a)2=32,解得a=锂5,...人。=2a=曜$.

55

题目可(北雅)如图①,△ABC内接于。。,点P是△ABC的内切圆的圆心,AP交边BC于点。,交。。于

点E,经过点E作。O的切线分别交AB、AC延长线于点F、G.

(1)求证:BC7/FG;

(2)探究:PE与DE和AE之间的关系;

(3)当图①中的FE=AB时,如图②,若FB=3,CG=2,求AG的长.

EE

图(1)图(2)

【解答】⑴证明:连接BE,•.•点P是△AB。的内心,/BAD=/CAD又:FG切。。于E,

4BEF=ABAD.又;NDBE=NCAD,;.ZBEF=ADBE.:.BC//FG.

(2)解:连接BP,则NABP=ZCBP.•:Z.BPE=NBAP+NABP=NPBC+4EBD,;.ZBPE=

APBE.

:.BE=PE.在/\ABE和^BDE中,ABAE=ZEBD,ABED=AAEB,:./\ABE〜ABDE.

:.照=照.:.BE2=AE-DE.:.PE2=AE-DE.

AEBE

⑶解::FE2=FB-FA=FB(FB+AB),而FE=AB,;.AB2=3(3+AB).设AB=rr,则x2-3x-9=0,

解之得c=.♦.AB=3+:.(取正值).由(i)在△AFG中,BC7/FG,.•.禁=冬.

22DrCG

A

EG

题目8j(青竹湖)如图,。。经过4ABC的顶点A、C,并与AB边相交于点。,过点。作DFHBC,交AC

于点E,交OO于点F,连接OC,点。为弧OF的中点.

(1)求证:BC为OO的切线;

(2)若。O的半径为3,DF=40,求CE・CA的值;

(3)在(2)的条件下,连接AF,若BD=AF,求AD的长.

【解答】⑴证明:连接CO并延长交OO于G,连接DG,如图:CG为直径,/.4GDC=90°,

ZDCG+Z.DGC=90°,/ZDGC=/B力。,点。为弧DF的中点,:.ZCDF=ABAC,

:.ZDGC=NCDF,:.ZDCG+/CDF=90°,•••DF//BC,:.2CDF=ADCB,:./DCG+ZDCB=90°,

OC_LBC,又是0O的半径,.•.B。为。。的切线;

⑵解:连接OC交DF于此为弧DF的中,OC±DF,:.DM=MF=±DF=2&,

■:QO的半径为3,:.OM=y/Olf-DM2=V32-(2V2)2=1,/.CM=OC-OM=3-1=2,

ADC2^DM2+CM2^(2V2)2+22=12,-:cb^CF,:.ADAC^ACAF,V4CDF=ACAF,

AZCDF=ADAC,•:ADCE=ZACD,二^DCE〜4ACD,:.喘=,:.亦=CE-CA,

7T.OO-L-Z

.•.CE-CA=12;

•.•四边形ADCF内接于OO,AADC+AAFC=180°,又:ABDC+ZCDA=180°,AAAFC=

ABDC,

■:CD^CF,:.CD2V3,又:BDAF,:.l\BDC星△AFC(SAS),ABC=AC,ABCD=

AACF,

■:AACF^AADF,AZBCD=AADF,VDFIIBC,:.4CDF=4BCD,:.ZCDF=AADF,:.AF=

CF,:.AF=CF,BD=CF=2V3,:.AC=DF,:.AC=DF==BC,':ABCD=ACDF=ACAF

ADAC,ZDBC=4ABC,:.4DBC〜4CBA,:.掾=嗯,:.BC'BD*AB,:.(4A/2)2=2V3-AB,

JDUBQy

:.AB^^-V3,AAn=AB-BZ?=^-V3-2V3=^-V3.

ooo

题目回(麓山国际)如图,AB是。。的直径,点。是。。上一点,AD与过点。的切线垂直,垂足为点O,

直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分/ACB,交4B点F,连接BE.

(1)求证:AC平分/DAB;

(2)求证:PC=PF;•M

【解答】(1)证明:•••PD切O。于点C,OC±PD,又AD.LPD,:.OC//AD,:.AACO=ADAC.

•:OC=OA,AAACO^ACAO,:./OAC=/CAO,即4C平分ADAB;

⑵证明::AD±PD,:.ADAC+乙4co=90°.又:AB为。O的直径,,NACB=90°.

ANPCB+ZACD=90°,ANDAC=ZPCB.又:NDAC=ACAO,:.ACAO=ZPCB.:CE平分

AACB,A/ACF=ABCF,:.ACAO+ZACF=ZPCB+ABCF,:.4PFC=APCF,:.PC=PF;

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