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文档简介
圆与图子型相假:翎割线定理反人模型窿轴题专题
知识剖析
切割线定理:反a模型
图形相似的证明结论
@DC2=DB-DA;
因为(/OCB=/Z14C
②tanZA=tanZDCB=相似比
・・.\DCB~bDAC
经典例题
题目上(北雅)如图,。为。。上一点,点。在直径BA的延长线上,且ZCDA=ACBD.
(1)求证:CD是。。的切线;
(2)过点B作。。的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan/CD4=。,求跳;的长.
O
•••
题目团(南雅)如图,。为。。上一点,点。在直径BA的延长线上,且C»=CA-CB.
(1)求证:CD是。。的切线;
(2)过点B作OO的切线交CD的延长线于点E,若BC=10,tanZCDA=§,求BE的长.
5
遮目叵〕(长郡)已知:如图,。。的直径AB垂直于弦CD,过点。的切线与直径AB的延长线相交于点P,连
结PD
(1)求证:PD是。。的切线.
⑵求证:PD2=PB-P4
⑶若PD=4,tanZCDB=/,求直径4B的长.
O\M
题目⑷(明德)如图,AB为圆。的直径,。为圆。上一点,AD和过。点的直线互相垂直,垂足为。,且AC
平分/D4B,延长48交。。于点E,。歹,于点F.
(1)求证:直线DE与。O相切;
(2)若EB=2,EC=4,求。。的半径及力。、40的长;
(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积.
题目©(雅礼)如图,在。。中,AB为直径,OCL弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有一点
E,且EF=ED.
(1)求证:OE是。。的切线
(2)若tan4=,探究线段AB和BE之间的数量关系,并证明;
(3)在(2)的条件下,若OF=1,求。O的半径和CD的长.
C
D
题目⑹(青竹湖)如图,已知AB是0O的直径,直线4。与。。相切于点/,过点B作BO〃O。交。。于
点。,连接CD并延长交的延长线于点E.
(1)求证:CD是0O的切线.
(2)求证:。彦二踮㈤人;
(3)若BE=1,tan乙48=/,求线段AD的长度.
题目□(北雅)如图①,A4BC内接于0O,点P是△ABC的内切圆的圆心,AP交边BC于点O,交。。于
点瓦经过点E作0O的切线分别交AB、4。延长线于点F、G.
⑴求证:BC7/FG;
(2)探究:PE与DE和AE之间的关系;
(3)当图①中的EE=AB时,如图②,若FB=3,CG=2,求AG的长.
•M
题目包(青竹湖)如图,。。经过4ABC的顶点A、C,并与AB边相交于点。,过点。作DFIIBC,交AC
于点E,交(DO于点F,连接_DC,点。为弧OF的中点.
(1)求证:BC为OO的切线;
(2)若。O的半径为3,DF=40,求CE・CA的值;
(3)在(2)的条件下,连接AF,若BD=AF,求AD的长.
题目叵](麓山国际)如图,AB是。。的直径,点。是。。上一点,40与过点。的切线垂直,垂足为点
直线。。与AB的延长线相交于点P,弦CE平分乙4cB,交AB点F,连接BE.
(1)求证:AC平分ZDAB;
(2)求证:PC=PF;
(3)若tanZABC=今,AB=14,求线段PC的长.
题目jo](青竹湖)如图,AB为。。的直径,。为。O上一点,。为BA延长线上一点,AACD=ZB.
(1)求证:。。为©。的切线;
(2)若。。的半径为5,sinB=^■,求CD和40的长;
5
(3)在(2)的条件下,线段OR分别交A。,6。于点E,尸且/CEF=45°,求CF的长.
6
圆与图子型相假:翎割线定理反人模型窿轴题专题
知识剖析
切割线定理:反a模型
图形相似的证明结论
@DC2=DB-DA;
因为(/OCB=/Z14C
②tanZA=tanZDCB=相似比
・・.\DCB~bDAC
经典例题
题目上(北雅)如图,。为。。上一点,点。在直径BA的延长线上,且ZCDA=ACBD.
(1)求证:CD是。。的切线;
(2)过点B作。。的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan/CD4=。,求跳;的长.
O
【解答】(1)证明:连。。,OE,如图,•.2B为直径,/ADB=90°,即乙4。。+/1=90°,
又■/ACDA=ACBD,而ACBD=Z1,/.Zl=ACDA,:.ACDA+ZADO=90°,即ZCDO=90°,
.♦.CD是。。的切线;
(2)解:•••EB为。。的切线,:.ED=EB,OE±DB,:.AABD+ADBE=9Q°,NOEB+NDBE=90°,
:.AABD=4OEB,:.ACDA=AOEB.而tan/CDA=工,:.tan/OEB=零=4,;Rt/XCDO〜
33
RtACBE,:.盗=需=嗯=与,:.CD=^x6=4,在Rt4CBE中,设BE=H,:.(rc+4)2=x2+62,
UJDJ3rjHh/33
解得名=£.
题目团(南雅)如图,。为。。上一点,点。在直径BA的延长线上,且CD2=CA-CB.
(1)求证:CD是。。的切线;
(2)过点B作。。的切线交CD的延长线于点石,若BC=10,tan/CD4=春,求BE的长.
5
•••
:./ADC=ZDBC,OB=OD,:.ABDO=/DBO,:AB为OO的直径,,ABDA=90°,
NBDO+^ODA=ZCDA+ZODA=90°,:.OD±CD,:.CD为。0的切线;
(2)•:BE、CE是OO的切线,:.ED=EB,•:/XDCA〜ABCD,,4DBA=ACDA,:.器=架
BCyIDL)
tanZDBA=tanZCDA.•.CD=3BO=6,设BE=rc,则DE=rr,CE=a;+6.在RtACBE中,
55
_16
(t+6)2=a:2+102,解得:x
-3,
o
题目叵〕(长郡)已知:如图,OO的直径AB垂直于弦CD,过点。的切线与直径AB的延长线相交于点P,连
结PD
(1)求证:PD是。。的切线.
(2)求证:PD2=PB-PA.
(3)若PD=4,tanZGDB=y,求直径AB的长.
【解答】(1)证明:连接OD,OC,•••PC是。。的切线,二/PCO=90°,•••AB_LCD,AB是直径,
DO=CO
弧BD=孤BC,;.NDOP=Z.COP,在/XDOP和△8P中,,2DOP=4COP,
OP=OP
:.ADOP笃△COP(SAS),APDO=2PCO=90°,1•。在。。上,;.PD是。。的切线;
(2)证明:AB是。。的直径,/.AADB=90°,/APDO=90°,/.AADO=NPDB=90°-ZBDO,
•:OA^OD,:.ZA=AADO,:.ZA=APDB,VABPD=NBPD,:.4PDB〜APAD,
•,.恩=篝,••.P02=P4PB;
⑶解:・・・ZX7_LAB,AADB=ADMB=90°,ZA+ZZ)BM=90°,ACDB+ADBM=,
••NA—/-CDB,VtanZCDB=],工tanA=]=,:/^PDB~/\PAD,:.—%?•—《4•—;•
•・・PO=4,・・.PB=2,P4=8,・・.48=8—2=6.
题目@(明德)如图,AB为圆O的直径,。为圆。上一点,AO和过。点的直线互相垂直,垂足为。,且AC
平分/DAB,延长AB交。。于点E,CFL于点F.
(1)求证:直线DE与。。相切;
(2)若EB=2,EC=4,求。。的半径及AC、AD的长;
(3)在(2)的条件下,求阴影部分的面积.
【解答】解:⑴连接OC;♦.2D,。。,/口4。+/48=90°;又・.2。平分/2143,OA=OC,
:.ADAC=ACAO,ACAO=AACO,:.ADAC=AACO,:.AACD+AACO=90°,即OC_LDC,
直线DE与。。相切.
⑵•:EC是◎O的切线,,EC2=EB*EA,而EC=4,EB=2,:.EA=8,AB=8-2=6;
.•.(DO的半径为3.•.•4。平分/DAE,.•.*=空,.・.恶=莓="=2,.・.4。=2。。(设为2);
AECEDCEC4
・・・4C平分NZZ4B,CDrAD,CF_LAB,.・.CD=GF;在△ADC与△AFC中,<,
[CD=CF
:./XADC空AAFC(HL),AF=AO=26,BF=6-26;TAB为。O的直径,.・.Z.ACB=90°;
由射影定理得:CF2=AF-BF,即x2=2z(6—2,),解得:a;=¥■,.♦.AD=";
55
由勾股定理得:AC2=47=今⑤,
即。。的半径及AC、AD的长分别为3,毕⑤,空.
55
(/Jo)\...bc^ABc—1MA乂12_365Q半圆O一_万1X乂T?rTX乂JQ2_97r・.bQ阴影一_^97-r----3.6
题目回(雅礼)如图,在OO中,AB为直径,OC,AB,弦CD与OB交于点F,在48的延长线上有一点
E,且EF=ED.
⑴求证:DE是。。的切线
⑵若tanA=-1,探究线段AB和BE之间的数量关系,并证明;
(3)在(2)的条件下,若OF=1,求O。的半径和CD的长.
【解答】(1)证明:连接OD,如图,•;EF=ED,:.2EFD=NEDF,;2EFD=2CFO,:.ZCFO=
NEDF,':OC±OF,:.^OCF+ACFO=90°,•/OC=OD,:.2OCF=ZODF,:./LODC+NEDF=
90°,即/ODE=90°,,。。,。右,•.•点。在。。上,是。。的切线;
(2)解;线段AB、BE之间的数量关系为:AB=3BE.证明::为。O直径,,NADB=90°,
:.ZADO=ZBDE,':OA=OD,:.ZADO=ZA,ABDE=/A,而ABED=NDEA,/.AEBD〜
△EDA,:•嘘=黑=^」••母4ABD中==%•.嘘=^W,:.AE=2DE,DE
=2BE,
:.AE=4BE,/.AB=3BE;
(3)解:设BE=a:,则DE=EF=2c,AB=3①,半径OD=等①,:OF=1,二OE=1+2rr,
在Rt4ODE中,由勾股定理可得:(52)2+(2以=(1+2a;)2,/.x——■(舍)或立=2,
AB=3x=6,:.圆O的半径为3.过点。作。f/_LCD,
•/OC=OD,CD=2cH,在RtdOCF中,CF=JOCe+o尸2=视,m=。0f,
在办△OS中,tan/OCH=3="=々,/.CH=3OH=,ACD=2CH=
C/i(JG3105
题目回(青竹湖)如图,已知AB是。。的直径,直线A。与OO相切于点4过点B作BDIIOC交。。于
点。,连接CD并延长交AB的延长线于点E.
(1)求证:CD是。。的切线.
(2)求证:DE2=EB>EA;
(3)若BE=1,tanZACO=-y,求线段AD的长度.
•M
【解答】解:(1)BD〃OC,:.NDBO=ACOA,NODB=NCOD,;OB=OD,:.ADBO=NODB,
CO=CO
:.ACOA=Z.COD,在ACOA和/\COD中,,Z.COA=ZCOD,:./\COA空ACOD(SAS),
,OA=OD
:./.CAO=/CDO,AC是。。的切线,/.CAO=90°=/CD。,即。D_LEC,:OD是G>O的半径,
.•.EC是OO的切线;
(2)VEC是。。的切线,4ODE=90°,即AEDB+AODB=90°,又AB是。。的直径,
NADB=90°,/.NABD+ABAD=90°,又:ZODB=ZOBD,:.2EDB=NEAD,
又;NE=NE,:./\EBD〜AEDA,:.萼=塔,即DE?=AE,BE;
DEAE
(3)VZACO+2cOA=90°,ABAD+AOBD=90°,而NOBD=ZODB=2cOD=ZCOA,
AAABD+ABAD=90°,,ABAD=AACO,由/\EBD〜/\EDA,;.署=笔=tanZBAD=1,
Uh/ATJ2
•;BE=1,;.DE=2,由DE?=AE・BE得,2?=1XAE,,AB=4,,AB=4—1=3,设BD=a,则AD=
2a,由勾股定理得,BD2+AD2^AB2,即a2+(2a)2=32,解得a=锂5,...人。=2a=曜$.
55
题目可(北雅)如图①,△ABC内接于。。,点P是△ABC的内切圆的圆心,AP交边BC于点。,交。。于
点E,经过点E作。O的切线分别交AB、AC延长线于点F、G.
(1)求证:BC7/FG;
(2)探究:PE与DE和AE之间的关系;
(3)当图①中的FE=AB时,如图②,若FB=3,CG=2,求AG的长.
EE
图(1)图(2)
【解答】⑴证明:连接BE,•.•点P是△AB。的内心,/BAD=/CAD又:FG切。。于E,
4BEF=ABAD.又;NDBE=NCAD,;.ZBEF=ADBE.:.BC//FG.
(2)解:连接BP,则NABP=ZCBP.•:Z.BPE=NBAP+NABP=NPBC+4EBD,;.ZBPE=
APBE.
:.BE=PE.在/\ABE和^BDE中,ABAE=ZEBD,ABED=AAEB,:./\ABE〜ABDE.
:.照=照.:.BE2=AE-DE.:.PE2=AE-DE.
AEBE
⑶解::FE2=FB-FA=FB(FB+AB),而FE=AB,;.AB2=3(3+AB).设AB=rr,则x2-3x-9=0,
解之得c=.♦.AB=3+:.(取正值).由(i)在△AFG中,BC7/FG,.•.禁=冬.
22DrCG
A
EG
题目8j(青竹湖)如图,。。经过4ABC的顶点A、C,并与AB边相交于点。,过点。作DFHBC,交AC
于点E,交OO于点F,连接OC,点。为弧OF的中点.
(1)求证:BC为OO的切线;
(2)若。O的半径为3,DF=40,求CE・CA的值;
(3)在(2)的条件下,连接AF,若BD=AF,求AD的长.
【解答】⑴证明:连接CO并延长交OO于G,连接DG,如图:CG为直径,/.4GDC=90°,
ZDCG+Z.DGC=90°,/ZDGC=/B力。,点。为弧DF的中点,:.ZCDF=ABAC,
:.ZDGC=NCDF,:.ZDCG+/CDF=90°,•••DF//BC,:.2CDF=ADCB,:./DCG+ZDCB=90°,
OC_LBC,又是0O的半径,.•.B。为。。的切线;
⑵解:连接OC交DF于此为弧DF的中,OC±DF,:.DM=MF=±DF=2&,
■:QO的半径为3,:.OM=y/Olf-DM2=V32-(2V2)2=1,/.CM=OC-OM=3-1=2,
ADC2^DM2+CM2^(2V2)2+22=12,-:cb^CF,:.ADAC^ACAF,V4CDF=ACAF,
AZCDF=ADAC,•:ADCE=ZACD,二^DCE〜4ACD,:.喘=,:.亦=CE-CA,
7T.OO-L-Z
.•.CE-CA=12;
•.•四边形ADCF内接于OO,AADC+AAFC=180°,又:ABDC+ZCDA=180°,AAAFC=
ABDC,
■:CD^CF,:.CD2V3,又:BDAF,:.l\BDC星△AFC(SAS),ABC=AC,ABCD=
AACF,
■:AACF^AADF,AZBCD=AADF,VDFIIBC,:.4CDF=4BCD,:.ZCDF=AADF,:.AF=
CF,:.AF=CF,BD=CF=2V3,:.AC=DF,:.AC=DF==BC,':ABCD=ACDF=ACAF
ADAC,ZDBC=4ABC,:.4DBC〜4CBA,:.掾=嗯,:.BC'BD*AB,:.(4A/2)2=2V3-AB,
JDUBQy
:.AB^^-V3,AAn=AB-BZ?=^-V3-2V3=^-V3.
ooo
题目回(麓山国际)如图,AB是。。的直径,点。是。。上一点,AD与过点。的切线垂直,垂足为点O,
直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分/ACB,交4B点F,连接BE.
(1)求证:AC平分/DAB;
(2)求证:PC=PF;•M
【解答】(1)证明:•••PD切O。于点C,OC±PD,又AD.LPD,:.OC//AD,:.AACO=ADAC.
•:OC=OA,AAACO^ACAO,:./OAC=/CAO,即4C平分ADAB;
⑵证明::AD±PD,:.ADAC+乙4co=90°.又:AB为。O的直径,,NACB=90°.
ANPCB+ZACD=90°,ANDAC=ZPCB.又:NDAC=ACAO,:.ACAO=ZPCB.:CE平分
AACB,A/ACF=ABCF,:.ACAO+ZACF=ZPCB+ABCF,:.4PFC=APCF,:.PC=PF;
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