重庆乌江新高考协作体2025届高三年级上册高考质量调研（二）（10月）数学试题（含解析）

重庆市乌江新高考协作体2025届高考质量调研（二）

数学试题

（分数：150分，时间：120分钟）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.由1,2,3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（）个元素

A.15B.16C.17D.18

【答案】A

【解析】

【分析】根据取出的数字个数进行分类，每一类中一一列举出来计数即可.

【详解】只取一个元素组成的没有重复数字的自然数：共3个；

只取两个元素组成的没有重复数字的自然数：有12,21,13,31,23,32共6个；

取三个元素组成的没有重复数字的自然数：有123,132,213,231,312,321共6个；

共有3+6+6=15种方法，即由1,2,3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有15

个元素，

故选：A.

2.若直线y=2光是曲线/1）=小2,-4的切线，则”（）

A.-eB.-1C.1D.e

【答案】B

【解析】

【分析】利用导数，根据切点及切线的斜率求得正确答案.

【详解】f(x)=x[^-aj,(x)=(1+2x)e2'-a,

依题意，直线y=2尤是曲线=x伫-a）的切线,

)=fe"=(2+a"

设切点为贝卜

,(l+2t)e2t=2+a

2t-a=2

通过对比系数可得+=二,2尸=01=0,则a=—1.

故选：B

1+cos2a

3.已知tana=2,则

sin2a

11

A.3B.-C.2D.-

32

【答案】D

【解析】

【分析】应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算再结合同角三角函数关系求解.

，、*珈、1+cos2a2cos2a11

【详解】---------=------------=-----=一.

sin2a2sinacosatana2

故选：D.

4.若A(l,0),B(O,b),C(—2,—2)三点共线，贝峰=()

2323

A——B.--C.-D.-

3232

【答案】A

【解析】

【分析】利用共线向量的性质，设AC=/L42且XwO,进而列方程求解.

【详解】A&C三点共线，=且4/0，

2=3

-2-1=2(0-1)

得《解得L2

—2—0=〃。—0)b=——

I3

故选：A.

5.《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步.问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘

徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1,用对角线将长和宽分别为6

和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、

青)将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为。+)，宽为内接正方形的边长d.由

刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3,设。为斜边5c的中点，作直角三角形ABC的内接正

方形对角线AE，过点A作AF13。于点足则下列推理正确的是()

图1图2图3

。It由可得,[2：匕2

A.由图1和图2面积相等得d=一町B.AEAAF

a+b

片+/、2

C.由AD2AE可得1—2—―fD.由AD2AF可得。2+62Na+b

----1----

ab

【答案】C

【解析】

【分析】根据图1,图2面积相等,可求得1的表达式,可判断A选项正误，由题意可求得图3中AD,AE,AF

的表达式，逐一分析B、C、D选项，即可得答案

【详解】对于A,由图1和图2面积相等得a/?=(a+b)xd,所以d=g，故A错误；

对于B,因为所以LxaxbnLjTTFxAb,所以4/=-/孚〒，AE=Cd=^^，

22\la+ba+b

因为AENAF,所以叵或N疝,整理得忙工心，故B错误；

a+bJ".?V22

对于C,因为O为斜边BC的中点，所以1r+"

2

/2।.2后人I。2+/、2

因为ADAAE,所以f2乌电,整理得21—T，故C正确;

2a+b"一+:

J/+/

对于D,因为AD2A/，所以之帅,整理得标十/7222ab，故D错误.

2

故选：C.

6.已知设z=x+yi(x,y£R)，则1(%—设+(y+3)i|=2,则|z+l|的最小值为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】先求得复数z实部与虚部的关系，再去求|z+l|的最小值即可解决.

,c[x=2cosa+3

【详解】由|(%—3)+(y+3)i|=2,可得(%—3)2+(y+3)2=4,可令。

y=2smi-3

则|z+11=J(x+1)2+/=^(2COS6Z+4)2+(2sin6Z-3)2

=j29+16cosa-12sina=,29+20sin(0—a)(9为锐角,且tan0=g)

由一lVsin(。—a)Kl,可得3V)29+2Osin(0-a)W7

则Iz+11的最小值为3

故选：A

7.若数列｛4｝为正项等比数列，a3=l,数列彷,｝为公差为6,首项为1的等差数列，则数列｛4么｝前5

项和的最小值为()

187167147

A.-----B.-----C.-----D.65

444

【答案】A

【解析】

17,

【分析】由己知可得+。2°2+%4+。4°4+。5°5~~1-13+19^+25^,利用导数可求其最小值.

~~qq

【详解】因为数列｛2｝为公差为6,首项为1的等差数列，

所以伪=1也=7也=13也=19,么=25,

若数列｛4｝为正项等比数列，%=1，设公比为4,

112

则=~7，%=—,/=%〃5=，

qq

[7

所以数列｛。屹/前5项和为+a力2+。3”3+。4“+a5b5-----1-13+19^+25^2,

设y=J+；+13+19q+25八求导可得；+19+50"J—7q+3+50q,

令g⑷=—2—7q+19/+50/,可得g，⑷=_7+57/+200/,

，/、*/八\,耳十Ui，「,/、__/3、2ccc/3、3—7000+5130+5400

8(4)在(0,+8)上r增函数，又g(q)=-7+57x(-)-+200x(一)3=-------------------->0,

10101000

33

当“2亿时，g'(q)>Q,所以g(q)在［充,+oo)上为增函数，

Xg(1)=-2-7x1+19x(1)3+50x(1)4=0,

所以当qe(奈,；),y'<0,/>0,

,,一一01925187

所cr以ymin=4+14+13+-+—=^-,

31710070427187

当qw(0,—),y二节H----F13>------1------F13=-->--

“V10q2q9394

iX7

所以则数列｛anbn｝前5项和的最小值为十.

故选：A.

21一

8.设a=tan0.21,b=lnl.21c=一,则下列大小关系正确的是)

f22

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【解析】

【分析】首先通过构造函数得到当0<尤时，tanx>x,再通过构造函数/(x)=x—ln(l+x),0<x(二

22

JT

进一步得到x>ln(l+x),xe0,-,由此即可比较进一步比较。力，由此即可得解.

JT

【详解】设"(%)=tan九一元,0〈九，贝!J

，/、cosx-cosx-sinx)sinx1

h(x)=----------------7----------------］=----2----1>0,0<%<

cosxcosx

所以//(%)=tmx—x在上单调递增，

兀

所以/z(%)=tanx-x>/i(0)=0,即tanx>x,0<%<',

7T1T

令/(犬)=%—In(1+%)，。<x<5‘贝!J(x)=1—----=----->0,

所以/(x)=x—ln(l+x)在［og］上单调递增，

从而/(x)=x-ln(l+x)>〃0)=0,即x>ln(l+x),XE/'),

所以tanx>x>ln(l+x),

从而当％=0.21时，a=tan0.21>Z?=In1.21,

a=tan0.21<tan2比一=竺<国上

633666622

所以c>a>Z>.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：在比较。涉的大小关系时，可以通过先放缩再构造函数求导，由此即可顺利得解.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.

9.己知非零向量a/,c,则下列结论正确的是()

A.若。(61)=0,则匕1°B.若(a+6)，(a—为，贝/。|=|切

C.若=，则。=匕D.向量(ad)C-(aN)6与向量。垂直

【答案】ABD

【解析】

【分析】选项A,根据条件，利用数乘向量的定义得到64=0,即可判断选项A的正误；选项B,根据条

件，利用数量积的运算及模的定义，即可判断选项B的正误；选项C,根据条件，利用数量积的定义，得

至U|a|cos〈a,0=|Acosk，e),即可求解；选项D,根据条件，结合数量积的运算律，得到

[(a-b)c-(a-c)l)]-a-0,即可求解.

【详解】对于选项A,因为。为非零向量，若90=0,则人工=0，故6Sc，所以选项A正确，

对于选项B,若(4+5).(4_5=舒—庐=|渥_防『=0,故⑷=|日所以选项B正确,

对于选项C,若则|&川。|85〈4,»=|切一|司85(6,日，

得到|&|85缶0=|切<：0$("，，不能确定a=6，所以选项C错误，

对于选项D,[(a-b)c-(a-c)b]-d-(d-i>)c-a-(d-c)l>-a-(d-l>)(c-d)-(d-l>)(c-d)-0,

故[(a・b)c-(a・c)Z?]_Ld,所以选项D正确,

故选：ABD.

10.已知利〃w(0,l)D(l,+8),若108〃,2=」一/08"2=二，则下列命题正确的是()

l-2aa

A.若a=2,则加〃=2B.若a>2,则加〃>2

C.若mn=1,则a=1D.若mn>1,贝Ua>1

【答案】ABC

【解析】

【分析】由对数运算的性质得加〃=2“"2。+1,通过代入。=2即可判断A；由二次函数的性质即可判断B；

代入=l即可求出〃的值，则可判断C；由加〃>1可得/一2。+1=(。-1)2>0,可解得〃的取值范围,

则可判断D.

【详解】由题意知log2m=]-2a,10g2〃=〃2,所以log2(77m)=-2〃+1,

所以加=242。+1.

对于A,若〃=2,则mn=2]=2，故A正确；

对于B,若〃〉2,则〃2—2〃+1=(〃—I)?>1,所以加z>21=2，故B正确；

对于C,若加=1,则〃2一2〃+1=0，解得。=1,故C正确；

对于D,若mn〉l,则a之一2〃+1=("-I)?>0,不能得到〃>1,故D错误.

故选：ABC.

11.已知{cosa,cos2a,cos3a}={sina,sin2a,sin3a},则a可以是()

【答案】AB

【解析】

【分析】利用积化和差和辅助角公式得到0sin（4+二）=0sin（K+P）,即可求解得到a=%或

24243

cc=---1—,kwZ,可求答案.

28

【详解】{cosa,cos2a,cos3。}={sina,sin",sin3a},

coscr+cos2cr+cos3cr=sincr+sin2a+sin3cr,

/.sinx（sincif+sin2cr+sin3cr）=sinx（cosa+cos2cr+cos3df）,

ccccccccaa

sincrsin——Fsin2osin——Fsin3。sin一=cosasm——bcos2asin——bcos3crsin一，

222222

a3a3a5a5ala3a.a.5a.3a.7。.5a

cos---cos---Fcos----cos——+cos----cos——=sin——-sin——bsin----sin---Fsin----sin——

222222222222

a7a.la.a

cos---cos——=sin----sin—,

2222

.aa.la7。

/.sin——bcos—=sin---bcos——,

2222

：■4+；）—（C）=3a=2bi或［/+巳］+（^|+；］=4£+5=（2左+1）兀，keZ,

2kjikn7i

keZ,或。二一+—keZ,

28

37r7i

•••经检验，a=-三或士符合，其它都不符合.

88

故选：AB.

12.1843年，Hamilton在爱尔兰发现四元数.当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的

点）.他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数.根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏

林的皇家运河上散步时突然想到的方程解.之后哈密顿立刻将此方程刻在BroughamBridge.对四元数

u=a+bi+cj+dk,a,Z?,c,deR的单位》,了,左，其运算满足：i2=j2=k2=-1,ij=k,jk=i,ki=j,

ji=-k,kj=-i,ik=-j；-a-bi-q-dk,N（u^=uu=cr+b2+c2+d2,

|u|=yla~+b2+c2+d2,定义"T=L,记所有四元数构成的集合为V,则以下说法中正确的有（）

U

A.集合{l,i,j,k}的元素按乘法得到一个八元集合

l

B.若非零元〃,veV,则有：u-vu=v->

C.若〃,veV,则有：N（uv）=N（u）N（y）

_1u

若非零元〃则有：u

D.eV,=\uEI

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,利用已知条件求出所求集合为｛l,i,j,k,-1,—>j「k｝即可；对于B,直接给出反例”=1,

v=2即可；对于C,利用N（M）的定义计算即可；对于D,利用C选项的结果验证即可.

【详解】对于A,由于=j2=k2=-1,ji=-k,kj=-i,ik=-j,故集合｛l,i,j,k｝的元素按乘法可

以得到集合1,-i,-j,-k｝,容易验证该集合中任意两个元素的乘积还在该集合中，故集合

｛l,i,j,k｝的元素按乘法得到的集合是八元集合｛l,i,j,k,—1,—i,—j,—k｝,故A正确；

对于B,取a=l,v=2,则，）”=「1-2-1=1-2-1=2片工=2-1=「1,故B错误；

2

对于C,若以vwV,设沅=a+bi+qj+dk,v=x+）i+zj+wk,贝|

N（〃v）=N（（Q+Z?i+qj+dc）（x+yi+0+vvk））

=N｛^ax-by-cz-dyv）+^ay+bx+cw-dz^\+[az+cx+dy-by\^]+[aw+dx+bz-cy^V^

-｛ax—by—cz—dwf+^ay+bx+cw—dz^+^az+cx+dy—by\^+^aw+dx+bz—cyf

=a2x2+b2x2+c2x2+d2^+a2y2+b2y2-^-c2y2+d2y2-^-a2z2-^-b2z2-^-c2z2+d2z2+a2w2+Z?2w2+c2w2+d2w2

=（〃2+/+/+/）（12+y2+z2+M）

=N（Q+历+@+dk）N（x+yi+才+wk）

=N（w）N（v）,故C正确；

对于D,根据题目中的定义有N（〃）=|〃「，从而

u_uu_uu_N（K）_N（"）_N（〃）_]

”,网一网一心“1a.）一网（〃.“）一的（“"（“）一•

_1ii

所以"=伺'故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，只有理解了定义，方可求解所求的问题.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

13.若函数”%）=%2—4以-3在区间（-4,口）上单调递增，则实数。的取值范围是

【答案】（f,-2]

【解析】

【分析】根据二次函数的对称性得出对称轴与-4的关系即可求解.

【详解】因为函数/（X）=为2—4改—3的对称轴为1=2a,图象开口向上,

所以函数在[2a,+8）上单调递增，

因为函数了（%）在区间（-4,+⑹上单调递增，

所以2aWY,

解得a<-2.

故答案为：（一8,-2].

14.若/(x)=asin[x+F)+3sin[x+1)是偶函数，则实数a的值为.

【答案】-拒

【解析】

【分析】由函数了（耳是偶函数，则/[一=代入计算并验证即可求出心

【详解】函数是偶函数，则/

(兀、..r兀兀、3兀).(兀兀、0.(兀兀、.兀0

——|=3sin——+—\---T—1=asm—+—+3sm—+—|=asm—+3,

6J[63)2^66J^63)3

化简可得a=-J，.

—y/3时，贝U/(%)=—^/3sinIx+—j+3sinIx+—

当Cl—

.兀.兀)

兀.71、

smxcos—+cosxsm—+3Jsm.xcos—+cosxsm—

66JI33；

cosx-A/3COSx

2

所以/(x)=A/3COSX,贝IJf(-J;)=A/3COS(-x)=A/3COSx=/(x),

所以函数是偶函数，则。=-百.

故答案为：Y

15.小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子A3中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地

均匀的骰子，如果结果小于3她就将3中的1颗糖放入A中，否则将A中的1颗糖放入8中，直到无法继

续游戏.那么游戏结束时3中没有糖的概率是.

【答案】—

17

【解析】

【分析】设最初在A中有左颗糖，B中有6-左颗糖时，游戏结束时8中没有糖的概率为以(4=0,1,-,6),

归纳找出递推关系，利用方程得出为,再由递推关系求生.

【详解】设A中有/颗糖，B中有6—左颗糖，游戏结束时8中没有糖的概率为/(左=0,1,,6).

12112

显然。0=]〃1，“6=§%+§，以=§4+1+§/-1(1〈人《5),

可得%+1—%=2(%—以_1)，则。6—“5=2,(%—%)=26%,

4=%+2,4=%+%+2‘a。=q+2?%++2‘a。—^27-1)a。，

同理%=q+22ao++2,4=(—1)g,

二(2’T)%=|96—1)%+g，解得/=7^7=短

a,=(24—114=15x-----=—.

3v'°25517

故答案为：—

17

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于建立统一的一个6颗糖果放入2个盒子不同情况的模型，找到统一的

递推关系，利用递推关系建立方程求出劭，即可得出这一统一模型的答案.

16.已知a>0,如果有且仅有四个不同的复数z,同时满足|(z—l)(z+l)2|=a和目=1,则。的取值范围

是.

【答案】

【解析】

【分析】利用复数模的运算性质，再数形结合，转化为三次函数来研究即可.

【详解】由|(z—l)(z+l)2|=a可得J—1能+1「=「，

又由忖=1可得，复数z在复平面上对应的点在单位圆上,

设单位圆上动点尸，4(-1,0),5(1,0),则|z-1|表示pg长度，|z+l|表示丛长度,

即。=网・m2,又因为依2+丛2=4,所以a=PR(4—P4),

令PB=x,可设/(%)=尤・(4一％2)=一%3+4无，xe(0,2)

/'(%)=—3^+4,令/'(x)=0,可得彳=毡

fr(x)=-3x2+4>0,所以/(x)=-/+4x上单调递增;

fr(x)=-3x2+4<0,所以/(x)=-%3+4x在

+4x竽/(2)=-23+4x2=0,/(0)=0,

X在(0.2)有两解，即在X轴上方一定存在两个复数Z对应的点满足条件,

再利用圆关于X轴对称，所以在X轴下方也一定存在两个复数Z对应的点满足条件,

综上此时有四个不同的复数Z,

故答案为：.

【点睛】方法点睛：利用数形结合，把问题转化为a=P5-PA2,再利用网2+如2=4消元，然后再利用

函数求导来研究值域，即可求得。的范围.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数/'(%)=log,;——.

1+x

(1)判断并证明八％)的奇偶性；

(2)若对任意xe,fe[-2,2],不等式/(x)2/+8一6恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)奇函数，证明见解析；

(2)--<a<-.

22

【解析】

【分析】(1)利用奇偶性定义证明判断即可；

⑵根据对数复合函数单调性确定"%)在xe-1,|上最小值，把问题化为产+成―5<0在/目―2,2]

上恒成立，即可求结果.

【小问1详解】

"%)为奇函数，证明如下：

由解析式易知—>0=>(x—l)(x+1)<0=>—1<x<1,函数定义域为(-1,1),

1+X

1।Y1丫

而/(—x)=log,；——=-log2--=—/(x),故/(%)为奇函数.

l-x1+X

【小问2详解】

[2]]

由根=——-=------1在上为减函数，而y=log2机在定义域上为增函数，

1+x1+xL33_

所以了(%)在xe上为减函数，故/⑴*=_/•(5=―1,

要使任意Xe一,，问—2,2],不等式/(x)>t2+at-6恒成立，

只需产+成―64—1在，£[—2,2]上恒成立，即/+成一540在，£[—2,2]上恒成立,

°4—2〃一5(011

由y=厂+。/一5开口向上，则L^--<a<—,

4+2〃—5<022

…11

综上，—<a<一.

22

18.海水受日月引力会产生潮汐.以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低.现测得某港口某

天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）

时刻：X（时）03.16.29.312.415.518.621.724

水深：y（米）5.07.45.02.65.07.45.02.64.0

（1）根据以上数据，可以用函数y=Asin（ox+e）+00〉0,@|<|来近似描述这一天内港口水深与

时间的关系，求出这个函数的解析式；

（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米.安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠

时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间

及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长.

【答案】（1）y=2.4sin首x+5,0<x<24

（2）最早可行的进港时间为1时2分，5时10分出港；这条货船一天中最多可以在港口中停靠的总时

长为8小时16分.

【解析】

【分析】（1）由公式A=max1nm力=max+min可求,由表格可得周期丁=12.4—0=12.4,进而求

22

代入最高点（3.1,7.4）可求。；

（2）由题意可知进港条件为y>6.2,解不等式即可.

【小问1详解】

由表格可知y的最大值为7.4,最小值为2.6,

7.4-2.674+2.6

所以A==2A,b=二5，

2-2-

由表格可知T=12.4—0=12.4，

2兀_2兀—571

所以刃二

T-12.4—31

(

所以y=2.4sin131x+cp+5,

将点(3.1,7.4)代入可得：7.4=2.4sinx3.1+。J+5,

5117T

所以一x3.1+/=—+24兀,keZ,

312

解得0=0+2也左£Z,

因为悯〈方，所以。=0,

5兀

所以y=2.4sin——%+5,0<%<24.

’31

【小问2详解】

货船需要的安全水深为4.2+2=6.2米,

所以进港条件为y>6.2.

5兀

令2.4sin—x+5>6.2,

31

.5兀1

即sin—%>—,

312

TT57rSir

所以+fxVf+2E,左eZ,

6316

3162k3162k

解得H--------<X<-------1--------，女eZ,

30565

因为0Wx<24,

3131

所以左=0时，—<%<—,

306

403527

k=1时,---<%<----

3030

3131

因为一（时）=1时2分，一（时）=5时10分.

306

403

---（时）=13时26分，（时）=17时34分.

30

因此，货船可以在1时2分进港,早晨5时10分出港；或在下午13时26分进港，下午17时34分

出港.

则该货船最早进港时间1时2分，停靠总时长为8小时16分钟.

已知鸿

19.在VA3C中，角A5C的对边分别为。，b,csinC+cosC.

（1）求角3；

BABDBDBC

（2）若。是VA5C边AC上的一点，且满足-------=--------9a+4c=25,求的最大值.

7T

【答案】（1）B=—

3

（2）73

【解析】

【分析】（1）根据题意可得a=lysine+匕cosC，利用正弦定理结合三角恒等变换可得tan§=6,

3

即可得结果；

（2）根据题意结合向量夹角公式可得NABD=CBD=巴，利用面积关系可得正=,+工，利用乘“1”

6BDac

法结合基本不等式运算求解.

【小问1详解】

因为@=^-sinC+cosC，即。=^-bsinC+bcosC，

b33

由正弦定理可得sinA=^-sinBsinC+sinBcosC>

3

且sinA=sin（3+C）=sinBcosC+cosBsinC,

即sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，可得cos^sinC=—sinBsinC，

33

且Ce(O,7i),则sinCwO,可得tan5=若,

71

又因为0<5<兀，所以3=

【小问2详解】

BABD_BD-BCBABDBDBC

因为|BA|一|BC|‘即卜小卜⑷一

可得cosZABD=cosZCBD,即ZABD=NCBD,

JT

可知平分/ABC,则/ABD=CBD=—,

6

因为^AABC=^AABD+^ABCD'

即避^=’6。义"工+工瓦”。义工，整理可得^^=工+，,

222222BDac

又因为9Q+4c=25,

当且仅当4一c=J9a,即〃=5—,。=大5时取等号,

ac32

可得，所以BD的最大值为百.

20.某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上是

指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试.现对测试数据进行整理，得到

如下的频率分布直方图：

入频率

TW

0.009--------------1~I

0.004-------------

0.00021—

匕+-十-士一上一-1~~।单次最大

O180230280330380430续航里程/千米

(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值元(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

(2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽

车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(〃,b2),其中〃近似为样本平均数元，。近似为样本标准

差£

(i)利用该正态分布，求尸(250.25<X<399.5)；

(ii)假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航

里程位于区间(250.25,399.5)的车辆数，求E(Z)；

参考数据：若随机变量。服从正态分布N(〃,b2),则尸(〃—+

P(//-2cr<^</u+2cr)=0.9545,P(//-3cr<^<//+3cr)=0.99731.

(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛

掷硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点。出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都上，客

2

户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车

向右移动两个单位，直到遥控车移到点(59,0)(胜利大本营)或点(60,0)(失败大本营)时，游戏结

束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点(凡0)的概率为60),

试证明数列｛5—｝是等比数列(2W〃W59),求出数列｛与｝(1W〃W60)的通项公式，并比较£9和心)

的大小.

【答案】(1)300(2)(i)0.8186；(ii)16.372

21(1丫71“

-----——,l<n<59

(3)证明见解析，匕=36){2；J，匕八>八Eo

11MY0

〔—3H—6U—J,n=60

【解析】

【分析】(1)根据平均数的求法求得正确答案.

(2)(i)根据正态分布的对称性求得正确答案.

(ii)根据二项分布的知识求得正确答案.

(3)根据已知条件构造等比数列，然后利用累加法求得只，利用差比较法比较己9和的大小•

【小问1详解】

x»205x0.1+255x0.2+305x0.45+355x0.2+405x0.05=300.

【小问2详解】

(i)P(250.25<X<399.5)=0.6827+0~9545"0-6827=0.8186.

(ii))服从二项分布5(20,0.8186),；.E(Z)=20x0.8186=16.372.

【小问3详解】

当3<〃<59时，Pn=1^-i=-1■(匕T-七2)，

4=通-6=j

-

乙乙乙乙'r

，{匕—々t}(2<〃<59)是以:为首项，—;为公比的等比数列，

匕—与T=；]—g](2<«<59).

鸟-，月-2…'匕一唠(2<H<59).

累加得：

58

(2<“<59)然。=44="；

236

>0,P59>P6Q.

注：比较匕和尸6。的另一个过程：/卜。©=1一4＜卜4.

21.已知VABC的三个角A,B,。的对边分别是。，b,c,且tanC=3tanjB.

(1)若a=2b,求C；

(2)若。=痛，b+c=3,求VABC的面积.

71

【答案】(1)-

3

(2)

4

【解析】

【分析】(1)由正弦定理化边为角，化切为弦，再利用内角和定理结合两角和正弦公式化简求值即可;

(2)法一，由sinA=4sin3cosC利用正、余弦定理化角为边，联立匕+c=3解方程组可得6,。，进而求

得cosCsinC,然后由面积公式可得；法二，作辅助线三角形的高，由tanC=3tanB利用直角三角形化

角为边，再利用勾股定理建立关于高的方程求解可得，进而可求面积.

【小问1详解】

因为tanC=3tan5,

〜,sinC3sinB皿

所以-----=-------,贝UsinCcos5=3sin5cosC.

cosCcosB

因为a=2b,由正弦定理可得，

sinA=2sinB=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=4sinBcosC,

所以2sin5=4sin5cosC,由B为三角形内角，故sinBwO,

所以cos。二,，又OvCv兀，

2

故。=巴.

3

【小问2详解】

法一：由(1)知，sinCeosB=3sinBcosC,

则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cos5sinC=4sinBcosC,

由正弦定理可得a=4Z?cosC,

a2+b7-c-6+b2-c1

由4=&，且COSC=代入a=3cosC可得

2ab2病

〃2_26

瓜=4x———，化简得