中考数学专项复习：最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型（含答案及解析）

最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该

压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型

的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原

理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】

模型1、运动轨迹为圆弧

模型11如图，尸是圆O上一个动点，/为定点，连接/P,0为/尸中点.。点轨迹是？

如图，连接/。，取NO中点任意时刻，均有QM:PO=AQ:AP=1:2.

则动点0是以"为圆心，为半径的圆。

模型1-2.如图，是直角三角形，^R4Q=90°S.AP=k-AQ,当尸在圆。运动时，0点轨迹是？

如图，连结/。，作NM/。，AO:AM=k:l；任意时刻均有八4尸。“八4加，且相似比为讥

则动点。是以M为圆心，为半径的圆。

模型1-3.定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）

如图，若P为动点，AB=AC=AP,则3、C、P三点共圆，

则动点尸是以N圆心，N笈半径的圆或圆弧。

模型1-4.定边对定角（或直角）模型

1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.

如图，若P为动点，48为定值，UPB=90。,则动点P是以48为直径的圆或圆弧。

2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧.

如图，若P为动点，48为定值，乙4尸3为定值，则动点尸的轨迹为圆弧。

【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径

之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

例1.（2023•山东泰安•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，RtZkAOB的一条直角边在无轴上，

点/的坐标为（-6,4）；R。COD中，ZCOD=90°,0D=4^,ZD=30%连接3C,点/是8c中点，连接

AM.将RHCOD以点。为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（）

C.2713-2D.2

例2.（2023•四川广元•统考一模）如图，线段为nO的直径，点C在48的延长线上，A8=4,BC=2,

点P是口O上一动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作Rt3PCD,且使ZDCP=60°，连接0。，则0D

长的最大值为

例3.（2023•四川宜宾•统考中考真题）如图，M是正方形ABCD边C£＞的中点，P是正方形内一点，连接BP,

线段BP以B为中心逆时针旋转90。得到线段8。，连接MQ.若A8=4,MP=l,则加。的最小值为

例4.（2023•湖南•统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=布，动点P在矩形的边上沿

3—C—OfA运动.当点P不与点A3重合时，将nABP沿AP对折，得至打ABT,连接CB',则在点P的

运动过程中，线段CB'的最小值为

例5.（2023•山东・统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，ZABC=ABAD=90°,AB^5,AD=4,AD<BC,

点£在线段8c上运动，点F在线段AE上，ZADF=ZBAE,则线段BF的最小值为

例6.（2023•浙江金华•九年级校考期中）如图，点4C,N的坐标分别为（-2,0）,（2,0方（4,3）,以点C为圆心、

2为半径画DC,点P在口<:上运动，连接AP,交DC于点。，点M为线段。尸的中点，连接MN,则线段

W的最小值为.

例7.（2023上,江苏连云港•九年级校考阶段练习）已知矩形筋8,48=6,屈=4,尸为矩形45CD内一点,

且ZBPC=135°,若点P绕点A逆时针旋转90°到点。，则PQ的最小值为.

例8.（2023下,陕西西安•九年级校考阶段练习）问题提出:

（1）如图①，在［ABC中，AB^AC,N及10=120。，8C=4指，则AB的长为；

问题探究：（2）如图②，已知矩形ABCD,AB=4,8C=5,点尸是矩形ABCD内一点，且满足/APB=90。，

连接CP,求线段CP的最小值；

问题解决：（3）如图③所示,我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地A8CD,其中AD^BC,AD=40m,

3c=60m,点£为CD边上一点，且CE:OE=1:2,ZA£B=60°,为了美化环境，要求四边形ABCD的面

积尽可能大，求绿化区域ABCD面积的最大值.

图3

课后专项训练

1.（2023•安徽合肥•校考一模）如图，在口回。中，NB=45。,AC=2,以AC为边作等腰直角口ACD,连

BD,则8。的最大值是（）

+V3D.V10+V2

2.（2023春•广东•九年级专题练习）己知:如图，在口旗（？中,乙&4C=3O。，BC=4,面积的最大

值是（）.

B.873+4C.873D.8+8出

3.（2022秋•江苏扬州•九年级校考阶段练习）如图，/是口3上任意一点，点C在口B外，已知

AB=2,BC=4,aACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（）

4C.473+8D.6

4.（2023・山东济南•一模）正方形ABCD中,/2=4,点E、尸分别是CD、2c边上的动点，且始终满足DE=CF,

DF、NE相交于点G.以NG为斜边在NG下方作等腰直角A48G使得乙48G=90。，连接3区则AH'的最小值

为（）

B

A.275-2B.2岳2c.V10-V2D.V10+V2

5.（2023上•江苏连云港•九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3,BC=4,点P是边上

一动点（点P不与点B,C重合），连接AP,作点B关于直线AP的对称点M,连接CM,则CM的最小值

为―,

6.（2023春•广东深圳•九年级专题练习）如图，点G是口回。内的■点，且NBGC=120。，△BCF是等边

三角形，若8C=3,则FG的最大值为.

7.（2023•江苏泰州•九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD=1O,AB=16,P为。的中点，连接BP.在

矩形ABCD外部找一点使得/BEC+/BPC=180。，则线段。E的最大值为.

8.（2023•陕西渭南•三模）如图，在矩形488中，AB=6,BC=5,点E在BC上，且CE=4BE,点M

为矩形内一动点，使得NCME=45。,连接则线段//的最小值为.

9.（2023江苏扬州•三模）如图，在等边△ZSC和等边中，AB=6,CD=4,以48、为邻边作平

行四边形/BED,连接/尸.若将△（：£困绕点C旋转一周，则线段/尸的最小值是.

10.（2023秋•湖北武汉•九年级校考阶段练习）如图，口他。为等腰直角三角形，ZBAC=90SAB=AC=2V2，

点。为所在平面内■点，NBDC=90。，以AC、。为边作平行四边形ACDE,则CE的最小值为一.

11.（2023•福建泉州•统考模拟预测）如图，点E是正方形ABCD的内部一个动点（含边界），且AD=EB=8,

点尸在BE上，BF=2,则以下结论：①CF的最小值为6；②DE的最小值为8近-8；③CE=CF；④

DE+B的最小值为10；正确的是.

12.（2021•广东・中考真题）在［ABC中，/ABC=90。,AB=2,8C=3.点。为平面上一个动点，ZADB=45°,

则线段。长度的最小值为.

13.（2023・广东•深圳市二模）如图，在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,E为边BC上一动点,尸为/E中点,

G为。£上一点，BF=FG,则CG的最小值为

14.（2023秋•广东汕头・九年级校考期中）如下图，在正方形ABC。中，AB=6,点E是以3c为直径的圆

上的点，连接DE,将线段DE绕点。逆时针旋转90。，得到线段连接b,则线段CP的最大值与最

小值的和__________

15.（2023・陕西渭南・统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=ZBC=4,0是矩形ABCD左侧一点，连

接AQ、BQ,且NAQB=90。，连接DQ,E为DQ的中点，连接CE,则CE的最大值为

16.（2023•安徽亳州•统考模拟预测）等腰直角□ABC中，BAC^90°,AB=5,点D是平面内一点，AD=2,

连接8D,将8。绕。点逆时针旋转90。得到DE,连接AE,当（填度数）度时，AE可以取最

大值，最大值等于.

17.（2023・河北廊坊・统考二模）已知如图，nABC是腰长为4的等腰直角三角形，ZABC=90°,以N为圆

心，2为半径作半圆/,交2A所在直线于点/，N.点£是半圆4上仟意一点.连接8E,把BE绕点2顺

时针旋转90。到80的位置，连接AE,CD.

⑴求证：JEBA^DBC；(2)当BE与半圆/相切时，求弧期/的长；G)直接写出△3。面积的最大值.

18.(2022•北京・中考真题)在平面直角坐标系工。〉中，已知点对于点P给出如下定义：将点p向

右020)或向左(a<0)平移同个单位长度，再向上S20)或向下(b<0)平移M个单位长度，得到点P,点P

关于点N的对称点为。，称点。为点P的“对应点”.⑴如图，点点N在线段OM的延长线上，若点

尸(-2,0),点。为点P的“对应点”.①在图中画出点。；②连接P。,交线段ON于点T.求证：NT=g0M;⑵

口。的半径为1,M是口。上一点，点N在线段OM上，且=若P为nO外一点，点。为点

P的“对应点”，连接尸。.当点”在口。上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含，的式子表示)

19.(2023下•广东广州•九年级校考阶段练习)如图，口ABC为等边三角形，点尸是线段AC上一动点(点尸

不与4,C重合)，连接BP,过点/作直线BP的垂线段，垂足为点。，将线段AO绕点/逆时针旋转60。得

到线段AE,连接DE,CE.(1)求证：BD=CE；(2)连接CO,延长EO交于点尸，若［"C的边长为2；

①求。的最小值；②求EF的最大值.

20.（2023•江苏常州・统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-；/+乐-3的图像与x轴交于

点/和点2（9,0）,与y轴交于点C.⑴求二次函数的表达式；（2）若点尸是抛物线上一点，满足

3

NPCB+ZACB=NBCO,求点尸的坐标；（3）若点0在第四象限内，且COS乙4。=十点〃在y轴正半轴，

ZMB0=45°,线段是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由.

备用图

:值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该

压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型

的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原

理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】

模型1、运动轨迹为圆弧

模型11如图，尸是圆O上一个动点，/为定点，连接/P,0为/尸中点.。点轨迹是？

如图，连接/。，取NO中点任意时刻，均有QM:PO=AQ:AP=1:2.

则动点0是以"为圆心，为半径的圆。

模型1-2.如图，是直角三角形，^R4Q=90°S.AP=k-AQ,当尸在圆。运动时，0点轨迹是？

如图，连结/。，作NM/。，AO:AM=k:l；任意时刻均有八4尸。“八4加，且相似比为讥

则动点。是以M为圆心，为半径的圆。

模型1-3.定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）

如图，若P为动点，AB=AC=AP,则3、C、P三点共圆，

则动点尸是以N圆心，N笈半径的圆或圆弧。

模型1-4.定边对定角（或直角）模型

1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.

如图，若P为动点，48为定值，UPB=90。,则动点P是以48为直径的圆或圆弧。

2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧.

如图，若P为动点，48为定值，乙4尸3为定值，则动点尸的轨迹为圆弧。

【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径

之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

例1.（2023•山东泰安•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，RtZkAOB的一条直角边在x轴上，

点/的坐标为（一6,4）；R口COD中，ZCOD=90°,OD=4®ZD=30°,连接3C,点M是中点，连接

AM.将RHCOD以点。为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（）

A.3B.6A/2-4C.2V13-2D.2

【答案】A

【分析】如图所示，延长班到E,使得隹=钙，连接虑，根据点A的坐标为（-6,4）得到座=8,再

AM=-CE

证明AM是口友石的中位线，得到2；解区日或仍得到℃=4,进一步求出点c在以。为圆心，

半径为4的圆上运动，则当点M在线段°E上时，CE有最小值，即此时AM有最小值，据此求出位的最

小值，即可得到答案.

【详解】解：如图所示，延长到E,使得的=钻，连接CE,

...RtAAOB的一条直角边在x轴上，点A的坐标为（一6,4）,

AB=4,OB=6,AE=AB=4,BE=8,

AM=-CE

...点M为BC中点，点A为BE中点，...AM是nBCE的中位线，2.

有

r0C=—0D=4

在RtQCO。中，ZCOD=90°,OD=4y/3,ZD=30°r.3,

...将RtQCOD以点0为旋转中心按顺时针方向旋转，...点C在以。为圆心，半径为4的圆上运动,

・•・当点M在线段°E上时，支有最小值，即此时AM有最小值，

..OE=y/BE2+OB2=10,；.CE的最小值为10-4=6,...AM的最小值为3,故选A.

MQ=-OC=2

另解：取BO的中点为Q(-3,0)，根据中位线可确定2,

故点M为以Q为圆心，MQ为半径的圆上运动，故AM的最小值为AQ-MQ=3

【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30

度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键.

例2.(2023•四川广元•统考一模)如图，线段A8为nO的直径，点C在的延长线上，AB=4,BC=2,

点p是0o上一动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作Rt]PCD,且使ZDCP=60°，连接0D,则0D

长的最大值为

【分析】作LICOE,使得NCEO=90。，NECO=60。，贝11co=2CE,OE=273；NOCP=NECD,由

OP_CPc1

=

A------2ED=—OP=1

△COPsMAED,推出即CO,即2（定长），由点E是定点，DE是定长，点〃在半径为

1的口石上，由此即可解决问题.

【详解】解：如图，作使得NCE0=90°,NECO=60。,则C0=2CE,°E=2g,ZOCP=ZECD,

COCP_2

VZCDP=90°,ZDCP=60°,CP=2CD,；,CECD.-QCOP^QCED,

OPCP

ED=-OP=\

ED-O）即2（定长）,

•・,点E是定点，DE是定长，二点。在半径为1的IE上,

-：OD<OE+DE=2y/3+lt，8的最大值为26+1,故答案为：20+1.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

例3.（2023・四川宜宾・统考中考真题）如图，M是正方形ABCD边CO的中点，P是正方形内一点，连接8尸，

线段8尸以B为中心逆时针旋转90。得到线段BQ,连接若AB=4,MP=\,则加。的最小值为一.

【答案】2^0-1

【分析】连接将以B中心，逆时针旋转90°,加点的对应点为E,由P的运动轨迹是以双为圆

心，1为半径的半圆，可得：°的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的半圆，再根据"圆外一定点到圆上任一

点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短"，所以当反、Q、E三点共线时,

加°的值最小，可求ME=&M=2M,从而可求解.

【详解】解，如图，连接BM,将以B中心，逆时针旋转90。，加点的对应点为E,

A

DMC

；p的运动轨迹是以/为圆心，1为半径的半圆，，Q的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的半圆，

如图，当“、2、E三点共线时，/2的值最小，

四边形ABCD是正方形，=NC=90。，

...M是CM的中点，:.CM=2,,BM=<CM。+BC?=小展+4?=2君,

由旋转得：BM=BE,:.ME=6BM=2回,

:.MQ=ME-EQ=2^-lt的值最小为2》记-1.故答案：2如-1.

【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性

质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键.

例4.（2023,湖南•统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=S，动点P在矩形的边上沿

BfCfDfA运动.当点P不与点A3重合时，将尸沿AP对折，得到:连接8',则在点P的

运动过程中，线段CB'的最小值为.

［答案］Vn-2/-2+Vii

【分析】根据折叠的性质得出*在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点p在BC上时，当点

P在■℃上时，当P在AD上时，即可求解.

【详解】解：•.•在矩形"CD中，AB=2,AD=布,

22

.BC=AD=tAC=ylBC+AB=^7+4=Vil（

如图所示，当点P在3c上时，...4Q=AB=2...e在A为圆心，2为半径的弧上运动,

当A,£,C三点共线时，CB'最短，此时CB'=AC-AB'=血-2,

当点P在℃上时，如图所示，此时

当P在AD上时，如图所示，此时CB'>而-2

综上所述，C2的最小值为JH-2,故答案为：VTT-2.

【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的

关键.

例5.（2023・山东・统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，/ABC=/朋。=90。,=5,=4,AD<8C,

点£在线段8c上运动，点厂在线段AE上，ZADF=ZBAE,则线段8F的最小值为.

【分析】设AD的中点为0,以AD为直径画圆，连接°8,设与口°的交点为点/，证明/"弘=9。°,

可知点F在以AO为直径的半圆上运动，当点F运动到与口。的交点人时，线段有最小值，据此求

解即可.

【详解】解：设的中点为O,以为直径画圆，连接08,设与口。的交点为点E',

O

AD

BEc

■.ZABC=ZBAD=90°,..AD//BC,-.ZDAE=ZAEB,

•.•/Ar>E=NBAE,.•.N"A=/ABE=90。，...点F在以AD为直径的半圆上运动,

・•・当点F运动到08与口。的交点少时，线段昉有最小值,

AO=OF'=—AD=2r~^r—

AD=4,2,,；.BO=^5+2-=V29；

8尸的最小值为J西-2,故答案为：A/29-2.

【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动

轨迹是解题的关键.

例6.(2023•浙江金华•九年级校考期中)如图，点4C,N的坐标分别为(-2,0),(2,0),(4,3),以点C为圆心、

2为半径画□C,点P在nC上运动，连接AP,交DC于点。，点M为线段。尸的中点，连接MN,则线段

的最小值为.

【答案】3

【分析】本题考查了垂径定理，90。的圆周角所对的弦为直径，勾股定理.熟练掌握弦中点，连接圆心与中

点，明确点”的运动轨迹是解题的关键.

如图，连接CM,由垂径定理可得，NQ期=90。，则/在以AC为直径的口。上运动，如图，连接°N交□°

于当O、M、N三点共线时，线段"N的值最小，由勾股定理得，ON=5,根据线段九W的最小值为

MN=ON-OM,计算求解即可.

【详解】解：如图，连接CM,

•・•点M为线段QP的中点，・•,由垂径定理可得，N0WA=9O°,

二叔在以AC为直径的口。上运动，如图，连接ON交口。于

-AC=2

...当。、M.N三点共线时，线段九火的值最小，.口。的半径为2

由勾股定理得，074-。），（3-。）2=5

••・线段MN的最小值为MN=ON-OM=3,故答案为：3.

例7.（2023上•江苏连云港•九年级校考阶段练习）已知矩形ABC2AB=6,JBC=4,尸为矩形ABCD内一点,

且/3PC=135。，若点P绕点A逆时针旋转90。到点。，则尸。的最小值为

【答案】2后-4

【分析】在矩形"CD外，以边8C为斜边作等腰直角三角形ZBOC=90°,再以点。为圆心，OC

为半径作口°,点P为矩形ABCD内一点，且4PC=135。，所以点P在口。的劣弧BC上运动，根据点P绕

点A逆时针旋转90°到点0,所以AP=AQ,NPAQ=90。，则尸Q=J6+A0=血华所以当AP最小时，

°。最小，然后连接A0,交口。于P,此时，AP最小，则尸。也最小，最后过点。作OE'BC于E,OFLAB

交AB延长线于F,利用勾股定理求出。°尸的长，从而求得AP,即可求解.

【详解】解：在矩形骸CD外，以边BC为斜边作等腰直角三角形8℃,ZBOC=90°,再以点o为圆心,

℃为半径作口°，如图,

•••点P为矩形内一点，且N3PC=135。，...点P在口O的劣弧8c上运动,

•・•点P绕点A逆时针旋转90°到点Q,.•.AP=A0,NPAQ=90。，

,pQ=JA产+A。？=®AP，当A尸最小时,PQ,连接AO,交n°于p,此时，AP最小，则尸。也最小，

在RdBOC中，...BC=4,OB=OC,；.OB—OC=2-\/2,OP=OB=2①,

BE=CE=OE=—BC=2

过点。作OE_LBC于E,缈，回交AB延长线于F,；.2,

OE工BC,OF±AB,..ZOEB=ZOFB=90°

...矩形ABCD...ZABC=90°:.NEBF=90°...四边形OEBF正方形,

...BF=OF=OE=2,...AF=AB+BF=6+2=S,

在RtV”O中，由勾股定理，^OA=-JAF2+OF2=782+22=2V17,

...4尸=04_0尸=2旧_20...尸2=血4尸=夜（2折-2旬=2历_4,故答案为：2737-4.

【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，圆满的性质，勾股定理，作出辅助圆，得出人尸取

最小值的点P位置是解题的关键.

例8.（2023下•陕西西安・九年级校考阶段练习）问题提出：

（1）如图①，在［ABC中，AB=AC,N54C=120。，8c=4#，则AB的长为；

问题探究：（2）如图②，已知矩形ABCD,AB=4,8C=5,点尸是矩形ABCD内一点，且满足/APB=90。，

连接CP,求线段CP的最小值；

问题解决：（3）如图③所示,我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地ABCD，其中A。〃8C,AD=40m,

3C=60m,点E为。边上一点，且CE:DE=1:2,ZAEB=60。，为了美化环境，要求四边形ABCD的面

积尽可能大，求绿化区域ABCD面积的最大值.

图1图2图3

【答案】⑴4；（2）回-2；⑶200073m2

【分析】（1）作AH'BC于点H,利用等腰三角形的性质可得々=30。，BH=26,然后利用锐角三角函

数的知识可求得AB的长；（2）由题意可知，点P在以AB为直径，以AB的中点。为圆心的圆上运动，当0,

P,C共线时，线段CP的值最小，利用勾股定理求出℃的长即可求解；（3）延长AE、BC,相交于点F.由

JCEF^DEA,求出庭=20m,作EG//AD交AB于点G,作AN，3c于点N,交EG于点M,可得

肱V:AM=1:2,设“N=x,AM=2x,求出-丁跖的，所以当所的面积最大时，绿化区域ABCD

的面积最大，求出的面积即可求解.

【详解】（1）如图1,作AH'BC于点H.

nrARBH=-BC=2y/3

..AB=AC,ZBAC=120°,DC=^5^,,ZB=30°,2

AB2.故答案为：4；

（2）如图2,,.・"^=90。，..•点p在以A5为直径，以A5的中点o为圆心的圆上运动，当o,p,c共线

OB=—AB=2;7/—

时，线段CP的值最小.rAB=4,...2,...OC=A/5-+2-=J29,

•••段CP的值最小值=厉-2；

(3)如图3,延长AE、BC,相交于点F.

CFCE

...AD/7BC,...□CEF^DEA,...AD~DEy

V•CE:DE=1:2，AD=40m，•.•CF=20m,,••.8尸=60+20=80m•

作EG〃&£>交A8于点G,作W8C于点N,交EG于点M,

..AD^BC,...AD〃EG〃BC,•；CE:DE=1:2MN:AM=1:2,设MN=无,AM=2x,

则降形BAC»=；x(40+60)•3x=150xSQBEE=万X80-X=40xS梯形ABCO=1S口BEF

.•.当△BM的面积最大时，绿化区域ABC。的面积最大.

当E在的中点时，△BE尸的面积最大.

皿口―,八eBH=FH=~BF=4Qm

连接,0£，交昉于点力则2

■■ZAEB=60°,；,NBE'F=ZBEF=120°,■_ZE'BH=30°_

+.E'HV3，40」

tan30no°=------EH=——x40n=-------m

BH,...33

c_1Qn4073_1600732<_15Qch2

%BE'F=7X80X---=---mS梯形BACD=7S]=2000V3m

，3J,4bef

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性

质，勾股定理等知识，难度较大，属中考压轴题.

课后专项训练

1.（2023・安徽合肥•校考一模）如图，在DABC中，4=45。,AC=2,以AC为边作等腰直角ZUCD,连

BD,则BO的最大值是（）

C.2血D.V10+V2

【答案】D

【分析】如图所示，以AC为斜边，在AC右侧作等腰直角口4℃,过点。作°E_LAD交.延长线于E,连

接°。，则NA℃=90。，OC=OA=^2,/Q4c=45。，先证明点B在以。为圆心，血为半径的圆周上运

动（AB右侧），故当点0在线段8。上时，BD最大,再求出0E，的长，进而利用勾股定理求出。。的

长即可得到答案.

【详解】解：如图所示，以&C为斜边，在AC右侧作等腰直角过点o作交R4延长线于E,

ZAOC=90°,OC=OA=-AC=42

连接°。，.•.2Zft4C=45°,

.../A5C=45。，...点B在以o为圆心，V2为半径的圆周上运动（AB右侧），

・•・当点O在线段8。上时，BD最大,•••□ACD是以AC为边的等腰直角三角形,

...ZCAD=90°,AD=AC=2,.../OAE=45°,...”。石是等腰直角三角形,

AE=OE^—OA^l八;-----7/—

2,...DE=AE+AD=3,在RtZkDOE中，由勾股定理得O£>=,O£=J10,

.••8D的最大值=OO+BO=M+夜，故选D.

【点睛】不能退主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最大值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与

判定，正确作出辅助线确定点B的轨迹是解题的关键.

2.（2023春•广东•九年级专题练习）已知：如图，在中，N3AC=30。，BC=4,14BC面积的最大

值是（）.

A.8+4&B.8A/3+4C.8BD.8+8出

【答案】A

【分析】作14BC的外接圆n0,连接OBOC,当口ABC的BC边上的高经过点。时，：MBC面积的最大,

此时△0BC是等边三角形，进而即可求解.

【详解】解：作口加。的外接圆□°,连接08OC,当口ABC的5c边上的高经过点。时，口ABC面积的

最大，如图，过点。作ODLBC,并延长°。交口°于点A,连接ABA'C,

℃,...△OBC是等边三角形,

（4+2⑹=8+4指

；/-S.AIRr=—x4x

..ZBOD=30°,OB=OA,=BC=4,.OD=2Y3,2'），故选A.

【点睛】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，找出口"C面积的最大时点A

的位置时关键.

3.（2022秋•江苏扬州•九年级校考阶段练习）如图，/是上任意一点，点C在UB外，已知

AB=2,BC=4,4ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（）

D

A.473+4B.4C.4石+8D.6

【答案】A

【分析】以BC为边向上作等边三角形3cM,连接。M,证明400/244。3得到。加=43=2,分析出

点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，在求出点D到线段3c的最大距离，即可求出面积

的最大值.

【详解】解：如图，以BC为边向上作等边三角形3cM,连接DW,

■.ZDCA=ZMCB=60°,...ZDCA-ZACM=ZMCB-ZACM,即NOCM=NACB,

DC^AC

，ZDCM=ZACB

在ADGW和△ACB中，,MC=BC,.ADCM^AACfi（SAS）,DM=J\B=2,

.・•点D的运动轨迹是以点M为圆心，DM长为半径的圆，要使△BCD的面积最大，则求出点D到线段BC的

最大距离，・・•□8CM是边长为4的等边三角形，.•.点M到BC的距离为2百，

I--X4X（2A/3+2）=4A/3+4

•・•点D到8c的最大距离为2J3+2,...△BCD的面积最大值是2'），故选A.

【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，

再求出圆上一点到定线段距离的最大值.

4.（2023•山东济南一模）正方形4BCD中，48=4,点E、尸分别是CD、3c边上的动点，且始终满足。E=CF,

DF、4E相交于点G.以NG为斜边在/G下方作等腰直角使得N/〃G=90。，连接8”.则8”的最小值

为（）

A.2#)-2B.275+2C.V10-V2D.710+72

【答案】C

OG=-AD=2l

【分析】首先证明NAGD=90。，从而2，再根据NOAG=NHAM,可求M"=j2,可知点H

的运动轨迹为以点M为圆心，MH为半径的圆，从而可求BH最小值.

【详解】解：如图，取AD中点。，连接OG,以A。为斜边作等腰直角三角形AOM,

AM=—AO^s[2

则2,在VADE和中,

AD=CD

ZADE=NDCF

DE=CF,...QADE^DCF（SAS）,-ZDAG=ZCDF,

.ZADG+ZCDF=90°,...NADG+ND4G=90。，...ZAGD=90°,

OG=-AD=2

△ADG是直角三角形，...2,•.•口A"G为等腰直角三角形,

...ZOAG+ZGAM=ZHAM+ZGAM,...ZOAGZHAM,

AHMAy/2MH

X...AG-04...AAMH^AAOG,:灰一k,：,MH=^,

.・•点H的运动轨迹为以点M为圆心，MH为半径的圆，

如图，连接BM,交圆M于"'，过点M作于点P,

--ZDAE+ZBAH^45°,ZOAG^ZMAH,

ZPAM=AMAH+ZBAH=45°,.-.^APM为等腰直角三角形,

受x0

■■AM=^2,；.AP=MP=2=1,.-,BP=4-1=3,

22

在RzOBPM中，BM=VBP+PM=y/10）.BH'=BM—MH'=-\/10—5/2

・•.BH的最小值为-0.故选：c.

【点睛】本题考查最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解决.

5.（2023上,江苏连云港,九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3,BC=4,点P是BC边上

一动点（点P不与点B,C重合），连接”，作点B关于直线A尸的对称点反，连接CM,则CM的最小值

【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的最值，轴对称的性质，矩形的性质.连接AM,得到AM=AB=3,

进而得到点以在以点A为圆心，3为半径的圆上，当A,M,C三点共线时，线段CM的长度最小，求出

此时CM的长度即可.解题的关键是确定点反的运动轨迹.

【详解】解：连接4",,••点8和”关于AP对称，==

在以A圆心，3为半径的圆上，，当A,M,C三点共线时，CM最短，

22

VAC=73+4=5；AM=AB=3,CM=5-3=2故答案为：2

6.（2023春•广东深圳•九年级专题练习）如图，点G是口MC内的一点，且N3GC=120。，是等边

三角形，若3c=3,则FG的最大值为.

【答案】2石

【分析】如图，作尸C的外接圆口°,连接°G,OF,OC,过点。作OH'CF于点说明8,F,C,

G四点共圆，求出°尸，利用三角形三边关系可得结论.

【详解】解：如图，作△①7c的外接圆口°,连接°G,OF,OC,过点0作OH,CF于点a.

△3b是等边三角形，...ZBFC=NF8C=60。，CB=CF=3,

・；NBGC=120。，...点G在口友下的外接圆上，...OG=O尸=OC,

3

FH=CH=-

­;OHLCF9...2,...ZFOC=2ZFBC=120°,

OF=FH=A/3

...ZOFC=ZOCF=30°,...cos30°,

..FG<OF+OG=2^3,打？的最大值为2道.故答案为：2员

【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，构造辅助圆解决问题，属于中考常考题型.

7.（2023•江苏泰州•九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD=10,AB=16,P为8的中点，连接8尸.在

矩形ABCD外部找一点使得N3£C+/3PC=180。，则线段DE的最大值为.

【答案】13+V41/V41+13

【分析】以的中点。为圆心，为半径画圆，可得所画圆是Rt^BCP的外接圆，弦3C右侧圆弧上任

意一点E与BC构成的/3EC,使得四边形3尸CE是圆内接四边形，，可得/3£C+/3PC=180。，连接DO

并延长与圆的交点即为。E的最长距离，作于点H,OH是口PBC的中位线，，根据勾股定理求出。尸

和°。的值，进而可得。E的最大值.

【详解】解：如图，以8尸的中点。为圆心，为半径画圆,

在矩形ABCD中，AD=BC=10,AB=CD=16,,

ZBCP=90°,...所画圆是RtABCP的外接圆，

弦3C右侧圆弧上任意一点E与2C构成的/8EC,使得四边形3PCE是圆内接四边形，

NBEC+ZBPC=180。，连接并延长与圆的交点即为DE的最长距离，