中考数学专项复习：重要的几何模型之12345模型（含答案及解析）

重要的几何模型之12345模型

初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、

特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的“12345”

模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下，“12345”模型

的独特魅力。

【模型解读】

模型1、12345模型及其衍生模型

【模型来源】2019年北京市中考

如图所示的网格是正方形网格，贝（）°（点A,8,尸是网格交点）.

III~|||

r—r~-----1

III

II_

-----------------------

该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。

如图，即：APAB+^PBA=^BPQ=A5°O

上面的NPAB和NP/M便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45。之外，用三角函数的观点来看:

tan^PAB=-,tan^PBA=-,对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。

23

za+zp=90°；UDB+乙DBA=^BAC；乙ADB+乙DBA=LBAC；

切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用

来解决相关的选填题非常方便。下面所列举的个别题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙

的，但至少可以成为一种通性通法，可以在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间非常宝贵的。

例1.（2022•四川乐山•中考真题）如图，在及ABC中，/C=90°,2C=逐，点。是AC上一点，连接BD.若

tanNA=；,tanZABD=1,则C。的长为（）

A.2A/5B.3C.7?D.2

例2.（2023.成都市中考模拟）如图，正方形ABCD,AB=2,点E为上一动点，将三角形ABE沿BE折

叠，点A落在点F处，连接£）尸并延长，与边AB交于点G,若点G为AB中点，则AE=.

例3.（2023.湖北黄冈.中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,以点B为圆心，适当长为半径画

弧，分别交BC,8。于点E,F,再分别以点E,F为圆心，大于LEF长为半径画弧交于点P,作射线8尸,

2

过点C作8尸的垂线分别交于点M,N,则CN的长为（）

A.VioB.而C.26D.4

例4.（2023.四川广元中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点点8（0,-3）,点C在x轴上,

且点C在点A右方，连接AB,BC,若tanNABC='，则点C的坐标为

3

例5.（2022.四川泸州中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，S.BE=2AE,

过点E作DE的垂线交正方形外角/CBG的平分线于点b，交边BC于点V,连接。/交边8C于点N,则

MN的长为（）

C.-D.1

7

例6.（2023.内蒙古.中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=l,将ABC绕点A逆时针

方向旋转90。，得到AB'C.连接班'，交AC于点D,则处的值为

DC

例7.（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2TL点E是C£＞的中点，BE与AC交于点M,

产是AD上一点，连接8尸分别交AC,AE于点G,且时，AE,连接则AH=,MH=

课后专项训练

1.（2023•深圳市高级中学联考）如图，正方形ABCD中，E是AD中点，连接AC,CE,作DF_LCE交AB

于B，交CE于P,交AC于延长DP交CB延长线于G,则空的值为（）

GH

4253

2.（2018湖北中考真题）如图，正方形45。中，AB=6,G是BC的中点，将A48G沿/G对折至

延长GF交DC于点E,则DE长是（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

3.（2021宜宾中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，点E,F分别在边AB,AD±,将矩形纸片沿CE,CF

折叠，点B落在H处,点。落在G处，点C,H,G恰好在同一直线上，若AB=6,AO=4,BE=2,则。F

的长是（）.

「3A/2

C.---D.3

2

4.（2023.湖北九年级期中）如图，已知正方形ABC。的边长为4,E是AB边延长线上一点，BE=2,F是

AB边上一点，将ACEF沿C尸翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕C尸于点H,则FH的长

是（）

D

G

AFBE

A.-B.C.1D.好

333

5.（2023.浙江中考模拟）如图，A,B,C,D是边长为1的小正方形组成的6x5网格中的格点，连接2。交AC

于点E,连接EF.给出4个结论：①BF=EF：®ZABE=ZCEF；®tanZA£D=2；@CA-CE=1Q.其

中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

6.（2023.山东九年级期中）如图，将已知矩形纸片ABCD的边BC斜着向/W边对折，使点B落在40上，记

为点夕，折痕为CE,再将C。边斜向下对折，使点。落在BC上，记为点折痕为CF,若夕少=2,BE=

jBC,则矩形纸片ABCD的面积为.

BC

7.（2022.贵州中考真题）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD,折痕是,点C落在点E处，分

别延长M石、DE交于点尸、G,若点”是BC边的中点，则/G=cm.

D

AFG

8.（2023.成都市九年级期中）如图，在正方形ABC。中，点E在BC上，点F是CD的中点，NEAF=45。，连

接AE与BF交于点G,连接AF与OG交于点H,则整的值为.

HCr

9.（2022.北部湾中考真题）如图，在正方形A3C。中，AB=4四,对角线AC,B。相交于点。.点E是对角

线AC上一点，连接BE,过点E作EF_LBE,分别交CD,B。于点F,G,连接BF交AC于点H,将△EFH沿

EF翻折，点H的对应点"'恰好落在BD上，得到若点F为CD的中点，则△EG9的周长是.

10.（2023成都市九年级期中）如图，在矩形N8CD中，48=2,BC=4,点£、厂分别在8C、CD上，若4E=

V54EAF=45°,则/尸的长为

，

11.（2019盐城中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数产2r-l的图像分别交x、y轴于点A、B,

将直线AB绕点B顺时针旋转45°,交x轴于点C,则直线BC的函数表达式是.

12.（2017无锡中考真题）在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、。都

在格点处，AB与CD相交于。，则tan乙BOD的值等于.

13.（2023甘肃天水中考模拟）如图，把矩形纸片048c放入平面直角坐标系中，使OA、。。分别落在x轴、

y轴上，连接OB,将纸片0ABe沿QB折叠，使点A落在点4位置，。8=行，tanLB0C=；,则点，的

坐标为.

14.（2023.广东九年级期中）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABC。，折痕是。M,点C落在点E处,

分别延长ME,DE交AB于点F,G,若点/W是BC边的中点，则FG=cm.

15.（2017浙江丽水中考真题）如图，在平面直角坐标系尤Oy中，直线分别交x轴、y轴于A、B两

点，已知点C（2,0）,点尸为线段02的中点，连接PA、PC,若则根的值是.

16.（2023•龙华区九年级上期末）如图，已知正方形48CD的边长为6,E为的中点，将A45E沿直线

AE折叠后，点B落在点F处，AF交对角线BD于点G,则FG的长是.

17.（2023•山东,中考模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E,F分别在边BC,CD

上，NEAF=45°,BE=2,贝ljDF的长为.

18.（2023.广东九年级期中）如图，已知点A（2,0），8（0,1），。为坐标原点，点。关于直线A8的对称点C

恰好落在反比例函数>=却>0）的图象上，则左=

19.（2L22•深圳•模拟预测）如图，已知点/的横坐标与纵坐标相等，点2（0,2）,点/在反比例函数y=一

X

的图象上.作射线N5,再将射线48绕点/按逆时针方向旋转45。，交y轴于C点，则△4BC面积为.

20.（2023上•绍兴,期中）如图，已知点N（3,3石），点8（0,石），点N在二次函数尸石/+括x-

的图象上，作射线N8,再将射线N8绕点/按逆时针方向旋转30。，交二次函数图象于点C,则点C的坐标

为_______

21.（2L22下・江苏・专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线A8的解析式为丫=-％+根分别交无轴,

》轴于A,B两点，已知点C（2,0）.（1）当直线A8经过点C时，m=；

（2）设点P为线段03的中点，连接PA,PC,若NCPA=NABO,则机的值是.

22.（2223下•泰安•一模）如图，把一个矩形纸片。1BC放入平面直角坐标系中，使OAOC分别落在x轴，

y轴上，连接QB,将纸片OABC沿。8翻折，点N落在点A位置，若。8=石，tanNBOC=；,直线AB与

V轴交于点F,则点F的坐标为.

3

23.（2223上・齐齐哈尔・期末）如图，在及AABC中，ZC=90°,点£＞是边的中点，CD=2,tanZB=-,

则sin/BAD的值为

24.（2023•运城•期末）仿照例题完成任务：例：如图1,在网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C,。都

在格点上，AB与C£＞相交于点O,求tan/BOD的值.

图1

解析：连接AE,EF,导出NBOD=NFAE,再根据勾股定理求得三角形各边长，然后利用三角函数解决问

题.具体解法如下：连接AE,EF,则AE〃C。，

二=ZBOD,根据勾股定理可得：AE=6,AF=2#,EF=36,

；（ey+（30）2=（2&y,.•.AE4E是直角三角形，ZFEA=90°,

FF3、5

tanZFAE=—=4=3即tan/3Q£）=3.

AE应

任务：（1）如图2,M,N,G,H四点均在边长为1的正方形网格的格点上，线段MN,G”相交于点P,求图

中NHPN的正切值；（2）如图3,A,B,C均在边长为1的正方形网格的格点上，请直接写出tan/A4c的值.

li

重要的几何模型之12345模型

初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、

特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的“12345”

模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下，“12345”模型

的独特魅力。

【模型解读】

模型1、12345模型及其衍生模型

【模型来源】2019年北京市中考

如图所示的网格是正方形网格，则/为班/£必=（）°（点4B,尸是网格交点）.

该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。

如图，即：/PAB+/PBA=/BPg3°o

上面的N为刀和N加便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点

来看：tanZPAB=-,tanZPBA=-,对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。

23

1_j_4

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切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来

解决相关的选填题非常方便。下面所列举的个别题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的，但至

少可以成为一种通性通法，可以在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间非常宝贵的。

例1.（2022•四川乐山・中考真题）如图，在及ABC中，ZC=90°,2°=逐，点。是人。上一点，连接BD.若

tanZA=—tanZABD=—

2,3,则CD的长为（）

A.2非B.3C.石D.2

【答案】C

tanZA=—tan/ABD=—

【分析】法1：先根据2,3,再由12345模型知：ZBDC=45。，从而可求出CD.

法2：先根据锐角三角函数值求出AC=2逐，再由勾股定理求出48=5,过点。作于点E,依据三角

DE'AEDE'BEBE=^AE

函数值可得23'从而得2,再由AE+BE=5得AE=2,DE=1,由勾股定理得AD=

石，从而可求出CD.

tanZA=-tan/ABD=—

【详解】解法1：：2,3,.•.根据12345模型知：ABDC=45°,

：/C=90°,.•.三角形BCD为等腰直角三角形，：8C=石，.•.CD=8C=V?

tan4.BC]

解法2（常规解法）：在及ABC中，"=90。，BC=45,=^C=2AC=2BC=245,

由勾股定理得,AB=‘AC?+叱=J（26+（后=5过点°作QE,M于点E,如图，

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DE1DE_1

tanZA=—tanZABD=—

2,3,;­~AE~2BE-35

3

DE=-AE,DE=-BE,-AE=-BEBE=-AE

23-232

3

j-,cluAEH—AE=54rle

・・AAE+BE=5,2,AE-2,・DE=1

22

在ErAAOE中AD?=^£2+0^2AD=>jAE+DE=V22+12=45

vAD+CD=AC=2y/5,:.CD=AC-AD=2亚-非=卮故选.c

【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出。£的长是解答本题的关键.

例2.（2023.成都市中考模拟）如图，正方形ABCD,AB=2,点E为上一动点，将三角形ABE沿8E

折叠，点A落在点F处，连接。歹并延长，与边A8交于点G,若点G为A8中点，则AE=

【答案】3

【详解】解法1:延长EF至H,易证△BFH三△BCH(HL),则NEBH=45°,

又因为HF=HC=HD,所以NCFD=90°,贝UNCBH=NFBH=NFCD=NADG,

119

因为tana=根据“12345”模型，易知故tanZABF=-^AE=-

233

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解法2（常规解法）：如图，过点尸作AB的平行线，分别交ARBC于点M,N,

.四边形ABCD是正方形，AB=2,AD=2,ZA=90°,四边形ABMW是矩形，

MN=AB=2,AM=BN,ZBNF=ZFME=90°；点G为AS中点，•AG,AB=1

2

MNAB,：.MDFADG,—=—=即=

DMAD2

设MF=x,皿\DM=2x,NF=2—x,：-BN=AM=AD-DM=2-2X,

由折叠的性质得：BF=AB=2,EF=AE,NBFE=NA=90°,：.ZEFM+Z.BFN=90°,

义•；/BNF=90°,:.ZFBN+ZBFN=90°?:.ZEFM=ZFBN

在AEFM和FBN中,[NFME=NBNF=90。,-jEFMFBN

IZEFM=NFBN

FMEMEFxEM厂「x厂”x（2-x）x

.EF-----=--------......-----卜卜一_____21_________L•A卜-...

.,丽-BNFN,即22-2.x2-x,解得1-x,2-2x,"l-x,

xx（2-x）2

=2—2xx——

又：AE+EM=AM,1—x2—2%解得5或x=2,

2

经检验，尤=2是所列方程的解，X=2不是所列方程的解，.AE=W—=2

5,23

1------

5

例3.（2023.湖北黄冈.中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,以点B为圆心，适当长为半径画

弧，分别交BC,于点E,F,再分别以点E,F为圆心，大于!后产长为半径画弧交于点P,作射线BP,

2

过点C作8尸的垂线分别交于点M,N,则CN的长为（）

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A.^0B.VTTC.2后D.4

【答案】A

3

【详解】解法1：因为A3=3,5C=4,所以tanZD5C=—,

4

如图，根据“12345”模型，易知tan（z=L故CN=®ND=^CD=回。

33

解法2（常规解法）：如图，设BP与CN交于点。，与CD爻于点、R,作RQ_L3Q于点0,

11

:矩形ABCD中，AB=3,BC=4t：,CD=AB=3,■-BD=^BC+CD=5.

由作图过程可知，8尸平分NCBD,1四边形ABCD是矩形，CD1.BC,

R=RC

又〔RQ1BD,RQ=RC,在RtBCR和RtBQR中,\QtRtBCRRt以

~'\BR=BR

BC=BQ=4,QD=BD-BQ=5-4=1,设RQ=RC=x,则。R=CD—O?=3-x,

在Rt.DQR中，由勾股定理得D*=DQ2+RQ2即（3一尤了=俨十炉,

解得x=W,CR=--•:BR=JS+CR2=±回.

333

4X4

S；BCR=:CRBC=GBROC,；•oc=必变="==2阿

22BR5

3

NCOR=NCDN=90°94OCR=4DCN9OCR^DCN，

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2M4

PC_CR

即^——=-3_,解得CN=M.

DC-CW3CN

例4.(2023.四川广元中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知点4(1,0),点8(0,-3)，点C在x轴上,

且点C在点A右方，连接A8,BC,若tan/ABC=1，则点C的坐标为

3

【详解】解法1:因为点(),点、()'所以tanNQ4B=3

1339

tanZABC=-tanZOBC--tanZOBC--OB--

因为3,根据“12345”模型，易知匕故44

解法2（常规解法）：•・•点A（L°）,点'（&一3）,..Q=I,O5=3,tan/O5A=L

tanZABC=-,*,-=ZABC?过点A作」BC于点。，

-AO±BO,AD±BC,A3是203C的角平分线，...AO=AD=1

q-OAxOB-OBxOAACCB

,/jABO22设C（7%0）,则AC=7〃—LBC=VF+m2

S.jBCxAD"OB

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m-1白?+/9

----=--------m=-

13解得：4或加=。（舍去），・・・。a

例5.（2022.四川泸州中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边A3上的点，^BE=2AE,

过点E作。后的垂线交正方形外角/CBG的平分线于点尸，交边3C于点“，连接。尸交边3。于点N,则

MN的长为（）

56

A.2B.6C.7D.1

3

【答案】B

【详解】解法1：因为AB二ADV’BEuZAE1,所以AE=LBE=2,所以tanNAO£=!

3

1?

根据“12345”模型，易知tan/C£W=—,NC=-,因为NDEF=90°,所以NAOE*=NMEB,

23

35

1MB=-MN=-

所以tan/ME5=—,故2,故6

3

解法2（常规解法）：在AD上截取AH=AE,连接HE.

则4AHE=4AEH=45。，.-.ZDHE=135°.由题意，AD=AB,zEBF=135°,・・.DH=BE,zDHE=zEBF.

vzA=zDEF=90°,/.ZHDE=zBEF=90°-zDEA,.-.AHDE=ABEF,・・・DE=EF,.-.zEDF=45°.

J_j_j_2

vBE=2AE,AD=AB=3AE,/.tanzADE=3,.-.tanzCDN=2,BN=CN=2BC=2.

125

VZA=ZDEM=ZEBM=90°,.*.AADE=ABEM,・・・BM=—BE=-,・・・MN=BN-BM=—.

336

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例6.（2023.内蒙古.中考真题）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=1,将「旗。绕点A逆时针

方向旋转90°,得到AB'C.连接班，，交AC于点。，则丝的值为.

【答案】5

tana=—nCD=—

解法2（常规解法）：解：过点。作AB于点F,•.•ZACB=90°,AC=3,BC=\,AB="+/=如,

•.•将：ABC绕点/逆时针方向旋转90°得到AB'C,

■■AB^AB'=y/10,/54B'=90°,...ABg是等腰直角三角形，.•./ABB'=45°,

又•.・£>/_LAB,.•./FD3=45°,•・・△•DF8是等腰直角三角形，.•.小=2/，

x

■5.4DR=BCxAD=—xDFxAB_

•••"22,即4£>=质。厂，

...ZC=ZAFD=90\ZCAB=ZFAD^...AFDACB,■DFAF即Ab=3。尸，

BCAC

5?..AF=y/10-DF.nF_V10

人,,••Dr------

4

.•.42=2=5，故答案为：5.

CDJ-

2

例7.（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2石，点E是。的中点，BE与AC交于点M,

下是A。上一点，连接8尸分别交AC,AE于点G,H,且BFLAE,连接,则AH=,

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MH=

【详解】解法1：易知=AH=2FH=2,接下来对AAME分析，如图易知tanA=LtanE=&

33

过M作AE的垂线段，设EM=5x,则AE=15X=5⑵-2=2,则

M

E

解法2（常规解法）：如图，证明△AFB也△DE4,得到AF=£>E,勾股定理求出的长，等积法求出AH

的长，证明：AGFCGB,相似比求出AG的长，证明AMfisCME,求出AM的长，证明AHSANM,

求出的长，再利用勾股定理求出的长.

【常规法】解：•••正方形.CD的边长为26，点E是C。的中点，

•1-ZBAD=ZCDA=90°,AB=AD=CD=275,DE=-CD=y/5,ABCD,ADBC,■-AC=y/2AD=2y/10,

2

-BF1AH-ZAHF=90°=ZBAD.ZDAE=ZBAF=9Q°-ZAFH

...AAFB^ADEA,...AF=DEf,,BF=^AB2+AF2=5

S,,=-ABAF=-BFAH

3ABRF22...2-75x5/5=5AH...=2.

■ABCD,ADBC,AGFCGB,AMBCME.AG_AF_1AM_43

'CG~BC~2'CMCE

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4-14万2J1。24J10l4「2ATT2

AG=-AC=-------,AM=-AC=--------GH=^AG-AH2Z=-

3333.9-**39

故点M作肱V_LAE,贝hGHMN,；,AHGsANM,

AHGHAGI4

-7-AN=2AH=4,MN=2GH=-

...A7VWAM-23

22

例=2,...MH=^NM+NH=

课后专项训练

1.（2023・深圳市高级中学联考）如图，正方形"CD中，E是AO中点，连接AC,CE,作DFLCE交AB

于耳，交CE于p,交AC于”，延长。方交C6延长线于G,则也的值为（）

GH

A.4B.2c.5D.2

3

【答案】C

【简证】

【常规法详解】解：•・・四边形ABCD是正方形，.•.4。=。。,/。45=44。。=90。，

...DhCE...NADF=/DCE=90。—/CDP,...ADF=DCE,AF=DE

是AD中点，.-.AF=DE=-AD=-AB=BF,

22

•-ZDAF=Z.ABG=90°,ZAFD=ZBFG,■■AD尸三BGF,：.BG=AD,

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•；AD//CGtADHCGH,DEPGCP,

DHAD_iDP_DE

DP=-a,DH=-a,GH=-a

GH~CG一2，G尸一CG-4533

设DG=a;,则

1_2_2

PH二=DH--DP=-a——aa

3515.PH故选：

，,•---=15=1;C.

GH25

一Cl

3

2.（2018湖北中考真题）如图，正方形ABC。中，＞48=6,G是BC的中点，将△ABG沿AG对折至△AFG,延

长GF交DC于点E,则DE长是（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

【答案】C

【解析】根据加是N8的一半，可得tanZBAG^-,

2

连接力区易证△力郎丝△力硕，••.N&£=45°,.•.Na+NB=45°,

根据12345模型知：tanZDA^-,:.限2,故此题选C

3

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3.（2021宜宾中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，点E,F分别在边AB,AD.L,将矩形纸片沿CE,

CF折叠，点B落在”处,点。落在G处，点C,H,G恰好在同一直线上，若AB=6,AD=4,BE=2,则

DF的长是（）.

、73A/2

A.2B.—C.---

42

【答案】A

【解析】由题意，NBCE=NHCE,NDCF=NGCF.•.NBCD=90。，.•ZBCE+NDCF=45。.

BE211DF1]_

,­,tanzBCE=BC=4=2,.-.tanzDCF-3,CD—3,；.DF=3CD—2

4.（2023.湖北九年级期中）如图，已知正方形48CD的边长为4,E是4B边延长线上一点，BE=2,F是

AB边上一点，将ACEF沿C尸翻折，使点E的对应点G落在4。边上，连接EG交折痕C尸于点，，则F”的长

是（）

4VWV5

A.3B.3C.1D.3

【答案】B

13

tanZGEA=tan/FGH=-tanZGFA=-GF5AE710

【简证】易知3,故4,

VTo9710-3

5m

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【常规法详解】解：•••四边形ABCD是边长为4的正方形,

../iB=AD=CD=CB=4,ND=NA=N/BC,ZD=ZCBE=90°,

由翻折得CG=CE,GF=EF,C尸垂直平分EG,

在RtCDG和RtCBE中,]CG=CE,.&g=&gH_),

[CD=CB

：.DG=BE=2,：.flG=flo-CG=^-2=2,

11

...A£=AB+BE=4+2=6,：.EG=^AG+AE=M+6。=2回,

■.■AG2+AF2=FG2,且左=6-.•.h+(6—用2=声，解得=

3

-EGFH=-EFAG=SFFC-x2V1OFH=1x—x2FH=—

:22e,...223，解得3

5.(2023.浙江中考模拟)如图，A,B,C,D是边长为1的小正方形组成的6x5网格中的格点，连接BD交AC

于点E,连接给出4个结论：①BF=EF；②ZABE=NCEF；③tan/AED=2；®CA-CE=1Q.其

中正确的是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【简证】易知NA=45°,tanZFBA=1,tanNDE4=3,故③错误，选B

【详解】解：连接8,G,"为格点，如图，

由题意得：AD：2,42=4,CD=CB=®NDAC=NBAC=45。.

[DG=CH=3

在aOCG和CB"中，\ZDGC=ZCHB=9Qo,.^DCG=CBH(SAS),

CG=BH=1

NDCG=NCBH，ZCBH+Z.BCH=90°，:"DCG+Z.BCH=90°，

：.ZDCB=90\.〔ADCB为等腰直角三角形，.-.ZCDB=ZCBD=45\

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VZZMC=ZBAC=45°,••翳软；2,"G〃肛噜=氏2,，器啰

•.EFCD，/FEB=NCDB=45。,，/FEB=NCBD=45。,.•.5尸=瓦\•・①的结论正确；

VZCAB=ZCDB=45°,ZAEB=ZDEC,..ZABE=ZDCE

QEFPCD："CEF=/DCE,，ZABE=NCEF..•.②的结论正确;

ZAED=ZEAB+ZABE=45°^ZABE9ZCBA=ZCBD+ZABE=45°-^-ZABE

：.ZAED=/CBA,在R3CHB中，tanNC8A=^=3,

BH

tanZA£»=tanZCBA=3,，③的结论不正确;

ZCBD=ZCAB=45°，ZECB=ZBCA，BCE^ACB

,.♦.CACE=C82=（JQy=io,.•.④的结论正确.综上，正确的结论有：①②④.

CBCA

6.（2023.山东九年级期中）如图，将已知矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，

记为点夕，折痕为CE,再将8边斜向下对折，使点。落在BC上，记为点。，折痕为CR若B'D'=2,BE

=,则矩形纸片ABCD的面积为.

A

F

RC

【答案】15

【解析】由题意，BC=BfC,CD=CD,ZBCE=ZB,CE,NDCF=NDCF.

ZBCD=90°,I.NECF=NB'CE+ZD,CF=45°.

iBC11

VBE=3,AtanZBCE=3,AtanZD^F=2,tanZB!CB=4.

3

VAD/7BC,JNFB'D'=NB'CB,・・・tanNFB'D'=—，

4

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.\DF=D'F=4BD'=2,.*.CD=CD'=2D'F=3,

.•.BC=B'C=B'D'+CD'=2+3=5,；.S矩形ABCD=BC•CD=5X3=15.

7.（2022.贵州中考真题）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD,折痕是，点C落在点E处,

分别延长ME、DE交AB于点F、G,若点M是3c边的中点，则而=cm.

5

【答案】3

【简证】连接，易知△ADFgZkEDF(HL),记tana=^,tan,则‘乙40。一？'

23[ZFMB=2a

48

FB=-MB=-

33

<

3

AG=-AD=