中考数学专项复习：重难点几何最值问题（含答案及解析）

重难点几何最值问题

命题趋势

中考数学中《几何最值问题》部分主要考向分为五类:

一、将军饮马类最值

二、动点辅助圆类最值

三、四点共圆类最值

四、瓜豆原理类最值

五、胡不归类最值

几何最值问题虽然在中考数学中经常考察的是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但

是考到的时候难度都比较大，所以也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的

时候才能有捷径应对。

热考题型解读

考向一：将军饮马类最值

满分技巧

将军饮马:

作添

普通•B

异侧PA*PH的■小■为

“两定AS,Ha之间.die

一动”•«

在/上tt一点。■/M•

户■■小

普通

修.《关于的对期

同侧AP*BP*A*B.R

AAr.淳・人‘瓦AF

“两定点N网.

在■!!I上事一点P,«与■（!，’19交点・为育P

一动”

AP•BP・小

分刈作点P关于福■■

PMaMN/PN•

定期河除点尸•X•逐察

P尸.U点N同.a

两产r,■离■&爻点・

在・&八・h上分■求点IS”

为tM,N

动”M,N,侵的・长

■小

“两分别作点九Q关于■口

PQ.PM.MN.网-

定ls的时除3P,.

PQ*尸Q"•马点之

两Q.«•PQr.wa

在■线0.h上分射求点间,ttttav

动”理的文为盒M,N

M.N.使四0彩PMNQ

构造平行四边形AMNA',

的M长•小

转化AM为A'N,之后再对

称连接求A'N+NB的最小

WAASWSu个■位

A梏日n4

同侧»Ar.他N关于■■1

AM。MN*

的对密点人、■・A'

“两定/VB.网点之0.tt

在■纥/上求漏点M.NB,A'B痛■靖/交点⑷

两动”

（M在左）.使・MN-V.・零

并使人“♦MNNB

♦•。个・&却为点M

勒______________

例I,村住A和，、于一条卜何的两偏：若河岸nut隼柠，妻巢在一即不可才看面的

桥.桥址应如何选择,才使A与B之间的距离量坦？

AV4

异侧构造平行四边形AA'NM,

则AM转化为A'N,之后

“两定

，一A'再依据两点之间线段最

两动”

/N短，连接A'B即为A、B

之间陆地距离的最小值

1.（2023•绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高20上的动点.连接CE,将CE绕点C

顺时针旋转60°得到CF.连接AFEF,DF,则△CDF周长的最小值是

2.（2023•德州）如图，在四边形ABCD中，ZA=90°,AD//BC,AB=3,BC=4,点E在AB上，且AE

=1.F,G为边上的两个动点，且FG=1.当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为

考向二：动点辅助圆类最值

蔽函

动点运动轨迹为辅助圆的三种类型：

定义法一一若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径

的圆（或圆弧）

二.定边对直角

模型原理：直径所对的圆周角是直角

思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆

弧）

三.定边对定角

模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等

思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定

边为弦的圆（或圆弧）

径列3而117巷Rt入入反7币厂二不Hd：二石1三不屏三丁百万茬近瓦匚匚一蒋。而招工万折着;

使点C落在点C'处，连接3C',则2C，的最小值为

A

2.（2023•黑龙江）如图，在中，ZBAC=3Q°,CB=2,点£是斜边A2的中点，把RtZ^ABC绕

点A顺时针旋转，得RtZVlED,点C,点B旋转后的对应点分别是点D,点R连接CREF,CE,在

旋转的过程中，△（?£/面积的最大值是.

3.（2023•大庆模拟）如图，AB是。。的直径，AB=4,C为篇的三等分点（更靠近A点），点尸是。。上

个动点，取弦AP的中点O,则线段CZ）的最大值为（）

B.41C.273D.丙+1

考向三：四点共圆类最值

薪函

对角互补的四边形必有四点共圆，即辅助圆产生

模型原理：圆内接四边形对角互补

匚五画;一而兀痴个币；一7了而三帮mm；一反三了一瓦三:一连接一靛:一仅-靛一为新加巨靠的方硼作喜

腰直角P是AE边上的一点，连接PC和CZ）,当/PC。=45°,则PE长为

，/)

考向四：瓜豆原理类最值

满分技巧

瓜豆原理的特征和结论:

I

1动点:轨迹（21.跖产可求的机;口劝5i

1两动一定从动点:轨迹未知,路径恃求的那个动点

定点：与七、从动点都有连接的个定点

2.定比值」人马点到用迎电线收生一建为止常数）

持征识别

1：动点到定点间的理段长

3定.夹角:1-动点和定点组成的线段与从动点和定点

加成的线段间的夹角■冏定角度a

1状边：从动点的运动轨城:同主动点的坨动轨旌fT・所以

”“■牛网.—AT的1ft睹

从动点坛动好陞长=定比跃

模型应用2施柱长

・卞动点运动感杼长

线吴，从动息的匕逊所在汽线。1/J)3的

运动纨进所在以线所或央角=。

3定义向.MI'110美,从4点所CiMrjim心到ttil喋的线段

'jM动力所在IW的国心到定点组成的线

收附成的大用=a

1.（2023•金平区三模）如图，长方形ABCD中，AB=6,BC=，刍,E为BC上一点，且8£=三，F为AB

22

边上的一个动点，连接EF,将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG,则CG的

最小值为.

BE

2.（2023・宿城区二模）如图，矩形48口）中,4）=6,“：=8,点E为对角线AC上一动点，BE1,B凡坨-_1,

BF3

3GL所于点G,连接CG,当CG最小时，CE的长为.

考向五：胡不归类最值

满分技巧

胡不归模型解决步骤：

模型具体化：如图，已知两定点A、B,在定直线BC上找一点P,使

从B走道P,再从P走到A的总时间最小--J—*---

解决步骤：；弋.

由系数k•PB确定分割线为PB

PA在分割线一侧，在分割线PB另一侧依定点B构a角，使sina=k,

a角另一边为BD

过点P作PQ1BD,转化kPB=PQ

过定点A作AH±BD,转化（PA+k•PB）min=AH,再依“勾股法”求AH的长即可。

7775655；铺丽y五面厂茬花2c5T币72XE1万二'5。丁丁2入万日与「接下友彦彝作画7"①布工c

和AB上分别截取AD,AE,使AD=AE.②分别以点。和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，

2

两弧在/BAC内交于点M.③作射线AM交8C于点况若点尸是线段AF上的一个动点，连接CP,则

2.（2023•合肥三模）如图，在△ABC中，ZBAC=90°,ZB=60°,AB=4,若。是BC边上的动点，则

2AD+DC的最小值是（）

C.10D.12

・G难通关练（建议用时：20分钟）

1.（2023•泸州）如图，E,尸是正方形ABCO的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF

2

7

2.（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，。为原点，0A=。2=34号，点C为平面内一动点，BC=±,

2

连接AC,点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA=1：2.当线段取最大值时，点/的坐标是

B.

D.

3.（2023•台州）如图，O。的圆心。与正方形的中心重合，已知。。的半径和正方形的边长都为4,则圆

上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（）

C.4+2V2D.4-25/2

4.（2022•靖江市二模）如图，AB±BC,AB=5,点E、尸分别是线段AB、射线BC上的动点，以为斜

边向上作等腰Rt/XOEF,ZEDF=90°,连接A。，则A。的最小值为

・G优争分练（建议用时：20分钟）

1.（2023•利州区模拟）如图，正方形ABCO中，AB=4,动点E从点A出发向点。运动，同时动点厂从点

。出发向点C运动，点E、尸运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AR

BE相交于点P,M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为.

2.（2023•营口一模）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE,点N,点M分别为BC,DE的中点，AB

=6,AD=4,绕点A旋转过程中，的最大值为.

A

BN

3.（2023•宿城区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=一1^2居x与x轴的正半轴交于点A，B

点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC+5AC的最小值为（）

4.（2023•天心区校级三模）如图1：在O。中，为直径，C是O。上一点，AC=3,BC=4.过。分别

作。"_LBC于点”，QD_LAC于点。，点E、F分别在线段BC、AC上运动（不含端点），且保持/EQF

=90°.

（1）OC=；四边形CD。8是（填矩形/菱形/正方形）；S四边形CDOH=;

（2）当尸和。不重合时，求证：△OFDsAOEH；

（3）①在图1中，。尸是△CEO的外接圆，设。尸面积为S,求S的最小值，并说明理由；

②如图2：若。是线段上一动点，且QA：QB=1：n,ZEQF=9Q°,是四边形CEQF的外接

圆，则当"为何值时，OM的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案.

图2

重难点几何最值问题

命题趋势

中考数学中《几何最值问题》部分主要考向分为五类:

一、将军饮马类最值

二、动点辅助圆类最值

三、四点共圆类最值

四、瓜豆原理类最值

五、胡不归类最值

几何最值问题虽然在中考数学中经常考察的是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但

是考到的时候难度都比较大，所以也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的

时候才能有捷径应对。

热考题型解读

考向一：将军饮马类最值

满分技巧

将军饮马:

作添

普通•B

异侧PA*PH的■小■为

“两定AS,Ha之间.die

一动”•«

在/上tt一点。■/M•

户■■小

普通

修.《关于的对期

同侧AP*BP*A*B.R

AAr.淳・人‘瓦AF

“两定点N网.

在■!!I上事一点P,«与■（!，’19交点・为育P

一动”

AP•BP・小

分刈作点P关于福■■

PMaMN/PN•

定期河除点尸•X•逐察

P尸.U点N同.a

两产r,■离■&爻点・

在・&八・h上分■求点IS”

为tM,N

动”M,N,侵的・长

■小

“两分别作点九Q关于■口

PQ.PM.MN.网-

定ls的时除3P,.

PQ*尸Q"•马点之

两Q.«•PQr.wa

在■线0.h上分射求点间,ttttav

动”理的文为盒M,N

M.N.使四0彩PMNQ

构造平行四边形AMNA',

的M长•小

转化AM为A'N,之后再对

称连接求A'N+NB的最小

WAASWSu个■位

A梏日n4

同侧»Ar.他N关于■■1

AM。MN*

的对密点人、■・A'

“两定/VB.网点之0.tt

在■纥/上求漏点M.NB,A'B痛■靖/交点⑷

两动”

（M在左）.使・MN-V.・零

并使人“♦MNNB

♦•。个・&却为点M

勒______________

例I,村住A和，、于一条卜何的两偏：若河岸nut隼柠，妻巢在一即不可才看面的

桥.桥址应如何选择,才使A与B之间的距离量坦？

AV4

异侧构造平行四边形AA'NM,

则AM转化为A'N,之后

“两定

，一A'再依据两点之间线段最

两动”

/N短，连接A'B即为A、B

之间陆地距离的最小值

1.(2023•绥化)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高20上的动点.连接CE,将CE绕点C

顺时针旋转60°得到C四连接AREF,DF,则△CDP周长的最小值是3+3%尸.

【分析】分析已知，可证明△BCE四△ACR得/。4歹=/。2£=30°,可知点P在△ABC外，使NCAF

=30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得。尸+CF的最小值便可求得本题结果.

【解答】解：:△ABC是等边三角形，

：.AC=BC=6,ZABC=ZBCA=6Q°,

VZECF=60°,

ZBCE=60°-ZECA=ZACF,

,:CE=CF,

...△3CE丝△ACP(SAS),

：.ZCAF=ZCBE,

•.•△ABC是等边三角形，BD是高,

AZCBE=l.ZABC=30°,CD=AAC=3,

22

过C点作CGLAF,交AF的延长线于点G,延长CG到H,使得GH=CG,连接AH,DH,DH与AG

交于点/,连接C/,FH,

则/ACG=60°,CG=GH=1AC=3,

2

：.CH=AC=6,

.•.△AS为等边三角形，

：.DH=CD-tan60°=3^3,

AG垂直平分CH,

：.CI=HI,CF=FH,

：.CI+DI=HI+DI=DH=3>.Q,

CF+DF=HF+DF^DH,

当F与/重合时，即D、F、H三点共线时，CF+。尸的值最小为：CF+DF=DH=3y/3,

.,.△CDF的周长的最小值为3+3。三

故答案为：3+3^3，

2.（2023•德州）如图，在四边形ABCD中，ZA=90°,AD//BC,AB=3,BC=4,点E在A3上，且AE

=1.F,G为边AD上的两个动点，且PG=1.当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为_二_.

【分析】先确定FG和EC的长为确定的值，得到四边形CGFE的周长最小时，即为CG+EP最小时，平

移CG到CF作点E关于AD对称点E,连接EC交AD于点G,得至UCG+EF最小时，点G与G重合，

再利用平行线分线段成比例求出CG长即可.

【解答】解：：/A=90°,AD//BC,

：.ZB=90°,

"：AB=3,BC=4,AE=1,

J.BE^AB-AE=3-1=2,

在RtAEBC中，

由勾股定理，得EC=、JBE?+BC3='J22+4*=2＞后，

"：FG=\,

：.四边形CGFE的周长=CG+FG+EE+EC=CG+EF+1+2A/^，

四边形CGFE的周长最小时，只要CG+EF最小即可.

过点F作FC//GC交BC于点C,延长BA到E,使AE=AE=1,连接EF,EC,,EC交AD于点

可得垂直平分EE,

：.EF=EF,

D

\9AD//BC,

:・CF=CG,CC=FG=1,

：.CG+EF=CF+EF^EC,

即CG+EF最小时，CG=CG,

EB^AB+AE=3+1=4,BC'=BC-CC=4-1=3,

由勾股定理，得EC=JE，=q42+32=5,

*：AG//BC,

・C'G’=AB即匕匕=3

E'C'E'B54

解得CG=K,

4

即四边形CGFE的周长最小时，CG的长为三.

4

故答案为：15.

考向二：动点辅助圆类最值

薪函

动点运动轨迹为辅助圆的三种类型：

一.定义法一一若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径

的圆（或圆弧）

二.定边对直角

模型原理：直径所对的圆周角是直角

思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆

弧）

三.定边对定角

模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等

思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定

边为弦的圆（或圆弧）

1.（2023•徐州）如图，在Rt/VIBC中，ZC=90°,CA=CB=3,点D在边BC上.将△ACD沿AD折叠,

使点C落在点C'处，连接2C',则2C'的最小值为—小75-3_.

【分析】由折叠性质可知AC=AC=3,然后根据三角形的三边不等关系可进行求解.

【解答】解：VZC=90°,CA=CB=3,

•■­ABLAC?二历

由折叠的性质可知AC=AC=3,

'JBC^AB-AC,

...当A、C'、2三点在同一条直线时，2C取最小值，最小值即为BC'=AB-AC?=3历Y，

故答案为3^-3.

2.（2023•黑龙江）如图，在RtZ\ACB中，ZBAC=30°,CB=2,点E是斜边AB的中点，把RtZkABC绕

点A顺时针旋转，得RtAAFD,点C,点2旋转后的对应点分别是点。，点、F,连接CREF,CE,在

旋转的过程中，△（:所面积的最大值是4+\其.

【分析】线段CE为定值，点尸到CE距离最大时，△（?斯的面积最大，画出图形，即可求出答案.

【解答】解：.••线段CE为定值，

点F到CE的距离最大时，丛CEF的面积有最大值.

在Rt/XACB中，ZBAC=30°,E是AB的中点，

Z.AB=2BC=4,CE=AE=J_A3=2,AC^AB-cos300=2百，

2

：.ZECA=ZBAC=30°,

过点A作AG±CE交CE的延长线于点G,

.•.AG=_1AC=。

2

•.,点尸在以A为圆心，长为半径的圆上，

.•.AF=AB=4,

/.点F到CE的距离最大值为4+73-

SAQF®yCE*(4*75)=4-*V3,

故答案为：4-yl.

3.（2023•大庆模拟）如图，是。。的直径，AB=4,C为AB的三等分点（更靠近A点），点P是。。上

)

D.V3*]

【分析】如图，连接OD,OC,首先证明点。的运动轨迹为以AO为直径的OK,连接CK,当点D在

CK的延长线上时，C。的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题.

【解答】解：如图，连接OO,OC,

'：AD=DP,

：.OD±PA,

：.ZAD6>=90°,

...点。的运动轨迹为以AO为直径的OK,连接CK,AC,

当点。在CK的延长线上时，CD的值最大，

为府的三等分点，

/.ZAOC=60°,

△AOC是等边三角形，

：.CK±OA,

在RtZ\OCK中，9：ZCOA=60°,OC=2,OK=1,

C^=VOC2-OK2=1^3,

'：DK=loA=l,

2

：.CD^\~+1,

.•.CD的最大值为\Q+1,

故选：D.

考向三：四点共圆类最值

蔽赢

对角互补的四边形必有四点共圆，即辅助圆产生

模型原理：圆内接四边形对角互补

.匚而氢一茬久还己正：芝标方mmm=5：一反三匚靠二寸蓬瓦函—以蔗一为奈丽茯面而比丽作莓

腰直角△BDE,P是AE边上的一点，连接PC和C。，当/尸皿=45°,则PE长为2.

【分析】由AE=3得动点E在圆上运动，因为△BOE是等腰直角三角形且/PCO=45°,所以想到瓜豆

原理，可两次构造三角形相似去解答.

【解答】解：以为斜边在的右侧作等腰直角△ABR连接尸C,FD.

'：ZABF=ZEBD=45°,

：.ZABE=ZFBD,

••ABEB/T

------a35/9>

FBDB

・・・AABE^AFBD,

FD7"

:.FD=」3L,

2

在四边形AC8F中，ZACB=ZAFB=9Q°,

；.A、C、B、尸四点共圆，

AZACF=ZABF=45°,ZCAB=ZCFB,

,：ZPCD=45°

：.ZACP=ZFCD,

XV△ABEs"B。，

ZBAE=ZBFD,

：.ZCAP=ZCFD,

.'.△CAPsACFD,

•••A-C二AP,

FCFD

在四边形ACBb中，由对角互补模型得AC+CB="CF>

/.CF=3^2

.2_AP

2

；.AP=1,

：.PE=2,

故答案为：2

考向四：瓜豆原理类最值

满分技巧

瓜豆原理的特征和结论:

主动点：轨迹已知.略征可求的那个动母

1两动一定从动点：轨迹未知,路径恃求的那个动点

CA.与主、从动点都有连接的个定点

比比喈器翳黯登“《小卜：常数）

特征识别

主动点到定点间的线段长

3.定夹角：主动点和定点用成的线段与从动点和定点

制成的线段间的夹角■冏定角度（1

I.状迹：从动点的ie动轨迹同主动点的运动轨进,村.所rx

H“・牛陨、线1T.it”的mX

模型应用2啼样K.?臂丝学就•定比《*

主动点地动感桂氏

'践1线吴।从动点的运动进所在口线。I动户的

运动物进所在直线所14央用=a

3定义向，IMH从，力点所。Ml的B4I心列定八州孙的，£区

与主动点所在HI的81心到定点筑成的线

段骷成的头角-a

1.（2023•金平区三模）如图，长方形ABCZ）中，AB=6,BC=21,E为BC上一点,且BE=W,F为AB

22

边上的一个动点，连接EF,将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG,则CG的

最小值为—,+3>/2—,

【分析】如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段£7,连接DE交CG于J.首先证明NETG

=90°,推出点G的在射线TG上运动，推出当CGLTG时，CG的值最小.

【解答】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转45。得到线段ET,连接。E交CG于，

•.•四边形A2CZ）是矩形,

：.AB=CD^6,/B=NBCD=90°,

'：ZBET=ZFEG=45°,

：.ZBEF=ZTEG,

,:EB=ET,EF=EG,

.,.△ER&ZXETG(SAS),

：./B=/ETG=90°,

.•.点G在射线TG上运动，

当CG,TG时，CG的值最小，

'：BC=^-,BE=三，CD=6,

22

：.CE=CD=6,

：.ZCED=ZBET=45°,

：.ZTEJ=90a=/ETG=NJGT=90°,

四边形ETGJ是矩形，

J.DE//GT,GJ=TE=BE=二,

2

：.CJ±DE,

:.JE=JD,

：.CJ=\DE=3近,

2

:.CG=CJ+GJ=三+3、叵,

2

；.CG的最小值为

2

故答案为：—+3^2-

2

2.(2023•宿城区二模)如图，矩形ABCD中,AD=6,DC=S,点E为对角线AC上一动点，BELBF,至-A,

BF3

取于点G,连接CG,当CG最小时，CE的长为—三

【分析】过点B作BPLAC于点P,连接PG,则可得△PBG,进而可知NBPG为定值，因此

CGLPG时，CG最小,通过设元利用三角函数和相似比可表示出PG、CP,即可求出结果.

【解答】解：如图，过点3作BPLAC于点P,连接尸G,

•.•世__组卫，NABC=NEBF,

BFBC3

AABCsAEBF,

：.ZCAB=ZFEB,

VZAPB=ZEGB=9Q°,

AABPSAEBG,

.•.空=^=___I____/ZABP=ZEBG,

PBGBsinZBACBC3

ZABE=ZPBG,

:.AABEsAPBG,

：.ZBPG=ZBAE,

即在点E的运动过程中，/BPG的大小不变且等于/BAC,

.•.当CG_LPG时,CG最小,

设此时AE=x,

•••AEAS="5,

PGPB3

：.PG=^-r,

5x

-：CG±PG,

：.ZPCG=ZBPG=ABAC,

•CP-.5

,•记节’

代入PG=S],解得CP=x,

5x

'：CP=BC'sinZCBP=BC^inZBAC=l^,

5

•丫=18

5

.-.A£=J^

5

：.CE=^.,

5

故答案为：22•

T

考向五：胡不归类最值

嬴函

胡不归模型解决步骤：

模型具体化：如图，已知两定点A、B,在定直线BC上找一点P,使

从B走道P,再从P走到A的总时间最小

*1^7------/4-------7

解决步骤：

由系数k-PB确定分割线为PB

PA在分割线一侧，在分割线PB另一侧依定点B构a角，使sina=k,“

a角另一边为BD

过点P作PQ^BD,转化kPB=PQ

过定点A作AH±BD,转化(PA+k•PB)min=AH,再依“勾股法”求AH的长即可。

1~75应3:铺刁万如囱二茬正瓦亚5市「2不苗=56丁「2罚己二命丁丁薮三匚一接下前后彝作囹「①茬7c

和AB上分别截取AD,AE,使AO=AE.②分别以点。和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，

2

两弧在NR4C内交于点③作射线AM交2c于点尸.若点尸是线段AP上的一个动点，连接CP,则

CP+』AP的最小值是_「-

2

【分析】根据题目中所给的条件，判断AF为角平分线，由问题可知，需要利用胡不归模型构建直角三

角形，转化两条线段和为一条线段，利用三角函数求出线段长度.

理由如下：由作图步骤可知，射线AM为/CAB的角平分线,

VZABC=90°，ZB=30°,

AZCAB=60°,

：AM平分NCAB,

ZCAF=ZBAF=AZCAB=3O°,

2

过点C作CNLAB于N,交AF于P,

在Rt/XAPN中，ZBAF=30°，

:.PN=XAP,

2

:.CP+1AP=CP+PN=CN,

2

根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+PN值最小

在Rtz\ACN中，ZCAN^60°,AC=4,

..gin60._CN,

XAC=x^.=2>/3>

；.CN=sin60°4

2

CP+AAP=CP+PN=CN=「'M，

2

故答案为：2A/3

2.(2023•合肥三模)如图，在△ABC中，ZBAC=90°,ZB=60°,AB=4,若。是BC边上的动点，则

2AO+DC的最小值是()

C.10D.12

【分析】过点C作射线CE,使/BCE=30°,再过动点。作OFLCE,垂足为点尸，连接AO,在Rt

△DFC中,ZDCF=30*,DF=1DC,2AD+DC=2(AD,DC)=2(AD+DF)当儿。尸在同一直线上，

即AFLCE时，AO+D尸的值最小，最小值等于垂线段AF的长.

【解答】解：过点C作射线CE,使N8CE=30°,再过动点。作。EJ_CE,垂足为点F,连接AO,如

图所示：

A

在RtZXOFC中，Z£)CF=30°，

・1

・・DFUDC，

：2AD+DC=2WWDC）

=2（AD+DF）,

...当A,D,尸在同一直线上，即APJ_CE时，AD+OE的值最小，最小值等于垂线段AF的长，

此时，ZB=ZADB^60°,

...△ABD是等边三角形，

：.AD^BD^AB=4,

在RtzXABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=4,

：.BC=S,

：.DC=BC-BD=4,

：.2AD+DC=2X4+4=12,

...2AO+DC的最小值为12,

故选：D.

・G难通关练（建议用时：20分钟）

1.（2023•泸州）如图，E,尸是正方形ABCO的边A8的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF

取得最小