中考数学专项复习：全等模型巩固练习（基础）含答案及解析

全等模型巩固练习（基础）

一.选择题

1.如图，在平面直角坐标系中，点N的坐标是（4,0）,点8的坐标是（0,3）,把线段民4绕点8逆时针

旋转90°后得到线段则点C的坐标是（）

(4,3)C.(4,7)D.(3,7)

2.在△48C中，/A4c=135°,将△NBC绕点C顺时针旋转得到△Z）EC,点N,8的对应点分别为。,

E,连接当点N,B,。在同一条直线时，下列结论不正确的是（）

A.AABC丝LDECB.NBDE=90°C.AD2=2AC2D.BD=DE+AC

3.如图，AC=AB=BD,/ABD=90°,BC=8,则△BCD的面积为()

A.8B.12C.14D.16

4.如图，在正方形4BCZ）中，点、E,G分别在4D,3c边上，S.AE^3DE,BG=CG,连接BE、CE,EF

平济NBEC,过点C作CF,跖于点凡连接GR若正方形的边长为4,则G尸的长度是（

5—\/35—V155-V17V17-3

二.填空题

5.如图所示，AB^AC,AD=AE,/BAC=NDAE,Zl=15°,N2=25°,则/3=

6.矩形488与CEFG如图放置，点2,C,E共线，点C,D,G共线，连接4F,取4F的中点X,连接

GH.若BC=EF=2,CD=CE=l,贝！IG/f=.

Gr

7.如图，40是△NBC的角平分线，过点C作CEL4D,垂足为点E,延长CE与48相交于点尸，连接

DF,若NA4C=60°,ZB=40°,则/ADF的度数为°.

A

8.如图，正方形48co的边长为8,对角线/C,2。相交于点。，点、M,N分别在边3C,CD±,且/

MON=90°,连接MTV交OC于尸，若BM=2,则0P・0C=.

三.解答题

9.如图，CDLDB,AB1BD,为了测量教学楼的高度，在旗杆与教学楼之间选定一点尸，使得测旗杆

顶C的视线尸C与测楼顶/的视线处的夹角/4PC=90°,测得点P到楼底的距离尸8与旗杆CD的高

度都等于9米，又测得旗杆与楼之间距离DB=27米，求这幢教学楼的高度多少米？

10.如图，点E在C£>上，BC与4E交于点F,AB=CB,BE=BD,Z1=Z2.

(1)求证：AE=CD；

(2)证明：Z1=Z3.

11.如图，ZUBC的两条高N。，CE交于点、F,AF=BC.

(1)求证：BE=EF；

(2)若BE=4,CF=5,求△NCF的面积.

BEA

12.已知：如图，BC//EF,BC=EF,AB=DE.

求证：(1)AABC咨ADEF；

(2)AC//DF.

13.如图，在四边形N8CD中，BD平分/ABC,DA=DC,交出的延长线于点"V_L/C于

点N.

(1)求证：RtZ\4DM之RtZsCDN；

(2)若N/2C=60°,BD=8,求四边形4BCD的面积.

14.如图，在△/8C中，AB=AC,BC,边上的高CE相交于点尸，且/£=CE.

(1)求证：AAEF咨ACEB；

(2)若/尸=12,求CD的长.

BDC

15.如图，四边形是正方形，点£、N分别在QC、8c上，点厂在C8的延长线上.AADEmADCN,

将△/£>£顺时针旋转n度后，恰好与△羽尸重合.

(1)请写出〃的值；

(2)连结£尸，试求出//FE的度数；

(3)猜想线段4E和。N的数量关系和位置关系，并说明理由.

全等模型巩固练习(基础)

一.选择题

1.如图，在平面直角坐标系中，点N的坐标是(4,0),点8的坐标是(0,3),把线段民4绕点8逆时针

旋转90°后得到线段则点C的坐标是()

A.(3,4)B.(4,3)C.(4,7)D.(3,7)

【分析】过点C作CO轴，垂足为。，根据垂直定义可得/CD2=90°,从而利用直角三角形的两个

锐角互余可得NC3D+NOC2=9(r,再利用旋转的性质可得ZCBA=90°,然后利用平角定

义可得NCAD+2480=90°,从而利用同角的余角相等可得N480=/OC8,进而可得△204丝△CD3,

最后利用全等三角形的性质可得CD=8O=3,DB=OA=4,从而求出。0=7,即可解答.

【解答】解：过点C作轴，垂足为£>,

AZCDB=90°,

.,.ZCSD+ZDCB=180°-ZCDB=90°,

,点/的坐标是（4,0）,点B的坐标是（0,3）,

二。/=4,03=3,

由旋转得：

CB=BA,ZCBA=90°,

：.ZCBD+ZABO=1SO°-N4BC=9Q°,

：./ABO=NDCB,

:NCDB=NAOB=90°,

:.△BOA"4CDB（44S）,

:.CD=BO=3,DB=OA=4,

：.DO=DB+OB=4+3=1,

.•.点C的坐标是（3,7）,

故选：D.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图

形添加适当的辅助线是解题的关键.

2.在△48C中，/A4c=135°,将△48C绕点C顺时针旋转得到△DEC,点/,3的对应点分别为。，

E,连接当点/,B,。在同一条直线时，下列结论不正确的是（）

A.△ABgADECB./BDE=9Q°C.AE^^AC2D.BD^DE+AC

【分析】根据旋转的性质可判断/选项；由旋转的性质得/C=CD,NBAC=NEDC,由等边对等角得

ZCAD^ZCDA,根据平角的定义得NC4D=180°-ZBAC^45°,则/BDE=NEDC-/CD4,以此

可判断8选项；由三角形内角和定理得N/CD=180°-ZCAD-ZCDA=90°,即CD为等腰直角

三角形，根据勾股定理即可判断C选项；由旋转的性质可得则以此

可判断。选项.

【解答】解：：将△/8C绕点C顺时针旋转得到△DEC,

...△48C丝△DEC,故/选项正确，不符合题意；

由旋转的性质得，AC=CD,/BAC=NEDC,

:.NCAD=/CDA,

■:ZBAC=135°

：.ZE,DC=135°,ZCAD=180°-ZBAC=45°,

；.NS4=45°,

:./BDE=NEDC-NCDA=90°,故2选项正确，不符合题意；

VZCAD+ZCDA+ZACD^1SO0,

：.Z^C£>=180°-ZCAD-ZCDA=90°,

：./\ACD为等腰直角三角形,

AD2=AC2+CZ）2=2AC2,故C选项正确，不符合题意；

由旋转的性质可得，AB=DE,

：.BD=AB+AD=DE+AD,故。选项错误，符合题意.

故选：D.

【点评】本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是

解题关键.

3.如图，AC=AB=BD,/4BD=90°,BC=8,则△BCD的面积为（）

A.8B.12C.14D.16

【分析】由等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，即可求解.

【解答】解：作AE1.BC于E,DFLCB交CB延长线于F,

:.BE=CE=4,

•；NEAB+/ABE=/DBF+/ABE=9Q°,

/./EAB=/DBF,

■:NAEB=/BFD=9Q°,AB=DB,

:.AAEB<LBFD(AAS),

：.DF=BE=4,

:.S&DCB=^CB'DF,

1

A5ADC5=1X8X4=16,

故选：D.

【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是作辅助线构造全等三角形.

4.如图，在正方形中，点E,G分别在ND,8c边上，且BG=CG,连接BE、CE,EF

平分/BEC,过点。作《尸，跖于点尸，连接G尸，若正方形的边长为4,则GF的长度是（）

5-717V17-3

D.-----

2

【分析】延长CF交2E于H，利用已知条件证明尸四△（?斯（/"）,然后利用全等三角形的性质证

明GP=刎氏最后利用勾股定理即可求解.

【解答】解：延长CF交BE于凡

•:EF平分/BEC,

：./HEF=/CEF,

•.*CF_LEF,

：.ZHFE=ZCFE,

在尸和△。石尸中，

(NHEF=NCEF

\EF=EF，

(4HFE=Z.CFE

:•△HEF^ACEF(ASA)f

:.HF=CF,EH=EC,

而BG=CG,

1

Z.GF=

•:AE=3DE,正方形的边长为4,

:.AE=3,AB=CD=4,DE=\,

在中，BE=yjAB2+AE2=5,

在RtZ\C£>£中，CE=HE=yJCD2+DE2=V17,

：.BH=BE-Zffi=5-V17,

：.GF=^BH=^^-

【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形的中位线的性质,

有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高.

二.填空题

5.如图所示，AB^AC,AD=4E,/BAC=NDAE,Nl=15°,N2=25°,则N3=.

【分析】根据等式的性质得出再利用全等三角形的判定和性质解答即可.

【解答】解：

ABAC-ZDAC=ZDAE-ADAC,

即/BAD=/CAE,

AB=AC

在△3/。与4CAE中，/BAD=ACAE,

,AD=AE

:.△BAD汜ACAE(SAS),

：.ZABD=Z2=25°,

.*.N3=N1+/AB£>=25°+15°=40°.

故答案为：40°.

【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，关键是根据等式的性质得出

ZCAE.

6.矩形/BCD与CEFG如图放置，点8,C,£共线，点C,D,G共线，连接4F,取/尸的中点“，连接

GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,则G"=

【分析】延长GH交4D于M点、,证明四△尸G”,得到GM=2GH,在Rt^GDM中利用勾股定

理求出GM长即可解决问题.

【解答】解：延长G77交/。于M点，

在和△FG"中，

(ZHAM=/HFG

\AH=FH

V/.AHM=/.FHG

：./\AMH^/\FGH(ASA).

:.MD=FG,MH=GH.

,/四边形CEFG是矩形，

：.FG=CE=\,GD=2-1=1,

在RtAMDG中,GM=y/MD2+DG2=V2,

/.GH=^GM=辛.

故答案为色.

【点评】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解决问题的关键是作辅助线

(倍长中线)，构造全等三角形.

7.如图，4D是△4BC的角平分线，过点C作CEL4D,垂足为点E,延长CE与48相交于点尸，连接

DF,若NA4C=60°,/B=40°,则N3Z)尸的度数为°.

A

【分析】首先利用已知条件可以证明2△ZCE,然后利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质

可以求出N4cz)=N4FD,最后利用四边形的内角和求出NC。尸即可解决问题.

【解答】解：・.7。是△ZBC的角平分线，

・•・/E4D=NCAD,

•；CE_LAD,

AZAEF=ZAEC=90°,

在LAFE和中，

(ZFAD=ZCAD

\AE=AE，

V^AEF=AEC

；・△AFEmLACE(ASA)f

：・EF=CE,AF=CF,

：.NAFE=NACE,

9：CE.LAD,

:,CD=FD,

：.ZDFC=DCF,

：./AFD=/ACD,

VZBAC=60°,Z5=40°,

AZACD=ZAFD=\SO°-60°-40°=80°,

：.ZCDF=360°-ZBAC-ZACD-ZAFD=140°,

AZBDF=1S0°-ZCDF=180°-140°=40°.

故答案为：40.

【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，同时也利用了角平分线的性质、等腰三角形的性质

及四边形的内角和，有一定的综合性.

8.如图，正方形45CD的边长为8,对角线4C,5。相交于点O,点N分别在边5C,CD±,且N

MON=90°,连接交OC于尸，若瓦0=2,贝IJO尸・。。=.

【分析】过点。作OE，3c于点E,根据正方形的性质可得O8=OC=OD,ZBOC=ZCOD=90°,

/O8C=/OC8=/OCD=45°,再根据同角的余角相等可得/8OA/=NCON,以此即可通过4X4证明

丛OBMW^OCN,得到8M=CN=2,OM=ON,进而得到/OMP=NOCM=45°,易证明△OMPs4

OMOP

OCM,根据相似三角形的性质可得力=—,即。尸。。。二。〃2,由等腰直角三角形的性质可得OE=

OCOM

BE=4,则〃E=2,最后根据勾股定理即可求解.

【解答】解：如图，过点。作OELBC于点E,

,/四边形ABCD为边长为8的正方形,

：.OB=OC=OD,8c=8,BDLAC,

:./BOC=NCOD=9Q°,ZOBC=AOCB=ZOCD=45

ZBOC=ZBOM+ZCOM=900,

又ZMON=ZCOM+ZCON=90°,

ZBOM=ACON,

在△OBAf和△(?”中,

，/BOM=NCON

-OB=OC，

"BM=乙OCN

：.丛OBM沿AOCN(ASA),

：.BM=CN=2,OM=ON,

・・・AMON为等腰直角三角形，

：・/OMN=/ONM=45°,

AZOMP=ZOCM=45°,

ZPOM=NMOC,

:.XOMPsMocM,

.OMOP

••OC-0M'

:.OP・OC=OW,

VZBOC=90°,OB=OC,OE1BC,

1

；.OE=BE=^BC=4,

：.ME=BE-BM=2,

在RtZ\OA/E中，OM1=OE2+ME1,

：.OM2=4Z+22=20,

，OP・OC=20.

故答案为：20.

【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似

三角形的判定与性质，正确寻找出全等三角形和相似三角形是解题关键.

三.解答题

9.如图，CDLDB,AB1BD,为了测量教学楼的高度，在旗杆与教学楼之间选定一点尸，使得测旗杆

顶C的视线PC与测楼顶A的视线PA的夹角ZAPC=90°,测得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高

度都等于9米，又测得旗杆与楼之间距离DB=T1米，求这幢教学楼的高度多少米？

【分析】根据44s证明丝A8/P,从而利用全等三角形的性质可得18米.

【解答］解：\'CD±DB,ABLDB,

ZCDP=ZABP=90°,

VZAPC=90°,

:.NCPD+/APB=90°,ZR4B+ZAPB=90°,

：.ZCPD=ZR4B,

,:DB=27米,尸8=9米，

：.DP=BD-BP=18米，

在△。尸C和4P中，

'/CDP=ZABP

-乙CPD=乙PAB'

、CD=PB

：./\DPC^/\BAP(44S),

：.AB=DP=1S米.

答：这幢教学楼的高度18米.

【点评】本题考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

10.如图，点E在。)上，BC与4E交于点F,AB=CB,BE=BD,Z1=Z2.

(1)求证：AE=CD；

(2)证明：Z1=Z3.

【分析】(1)由已知角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用MS即可得证；

(2)利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由对顶角相等及内角和定理即可得证.

【解答】(1)证明：：N1=N2,

ZABE=ZCBD,

在△48E和△C5D中，

AB=CB

Z-ABE=Z.CBD,

BE=BD

:.AABE名ACBD(S4S),

：.AE=CD；

(2)证明：由(1)知，/\ABE^/\CBD,

：.NA=/C,

又：NAFB=/CFE,

.*.Z1=Z3.

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.

11.如图，△/2C的两条高CE交于点、F,AF=BC.

(1)求证：BE=EF；

(2)若BE=4,CF=5,求的面积.

【分析】(1)首先利用三角形的高线的性质证明然后利用W4S即可证明△3CE四△E4E

解决问题；

(2)利用全等三角形的性质可以得到CF、/E的长度，然后利用三角形的面积公式即可求解.

【解答】(1)证明：的两条高CE交于点、F,

：.ZBEC=ZAEC=90°,

：.NBCE+/B=ZDAB+ZB=90°,

ZBCE=ZDAB,

在△BCE和△/£尸中，

'/BEC=ZAEC

-乙BCE=ADAB，

HF=BC

:.ABCE沿dFAECAAS),

:.BE=EF；

(2)解：V/\BCE^/\E4E,

：.AE=CE,

而8£=4,CF=5,

：.EF=4,

:.CE=AE=9,

1145

：.S^ACF=2XCFXAE=2X5义9=T

【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，同时也利用了三角形的高线的性质及三角形的面积

公式，有一定的综合性.

12.已知：如图，BC//EF,BC=EF,AB=DE.

求证：(1)LABC义ADEF；

(2)AC//DF.

【分析】由平行线的性质得出N48C=NE.证明4/8(7名/\。防(5/5),由全等三角形的性质可得出结

论.

【解答】证明：(1)'：BC//EF,

：.ZABC=ZE.

在△4BC与△/)£/中，

BC=EF

Z.ABC=Z.E,

AB=DE

・••△ABC/dDEF("S),

(2)•:△ABC/ADEF,

：.NA=NFDE,

J.AC//DF.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及平行线的性质.根据条件证明出△/BC且△。所是

解题的关键.

13.如图，在四边形中，BD平分/4BC,DA=DC,交3/的延长线于点M,DV_L/C于

点N.

(1)求证：RtAADM咨RtLCDN；

(2)若/48C=60°,50=8,求四边形48CD的面积.

M

【分析】(1)根据角平分线的性质可得利用“HL”可得结论；

(2)根据含30°角直角三角形的性质和勾股定理可得DN和2N的长，进而求出△2DN的面积，由(1)

知和的面积相等，因此，四边形48cZ)的面积=四边形3NW的面积=2A8DN的面积，

进而得出四边形/BCD的面积.

【解答】(1)证明：:BD平分NABC,DMLBA,DNLAC,

:.DM=DN,

在RtZ\4DM和RtACW中，

(DM=DN,

[OX=DC,

：.R.t/\ADM^RtACDN(HL)；

(2)VZABC=60°,BD平分N4BC,

：.ZDBC=30°,

在RtABDN中，

VZDBC=30°,BD=8,

:.DN=4,BN=y/BD2-DN2=V82-42=4后

[1

/.ABDN的面积=jxBNxDN=4V3x4=8b，

在RtABDM和Rt/XBDN中，

(DM=DN,

(BD=BD,

RtZ\BDM和也RtZXBZW(HL),

二四边形ABCD的面积=四边形BNDAf的面积=2z\8ZW的面积=2X8b=16V3.

【点评】本题考查全等三角形的判定，角平分线的性质，勾股定理，含30°角直角三角形的性质，熟练

运用全等三角形的判定是解题的关键，

14.如图，在△N2C中，AB=AC,BC,边上的高4D,CE相交于点尸，且NE=C£

(1)求证：AAEF咨ACEB；

(2)若/尸=12,求CD的长.

【分析】(1)由证明△/£