中考数学专项复习：中点模型巩固练习（提优）含答案及解析

中点模型巩固练习（提优）

一.选择题

1.如图，在等腰RtA43C中，NC=8C=2,点P在以斜边为直径的半圆上，M为尸C的中点，当点尸

沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）

P

A.V2TTB.JiC.—7TD.2

2

AD1

2.如图，点D,E,尸分别在△48C的边上，——=DE//BC,EF//AB,点M是。尸的中点，连接CM

BD3

MN

并延长交于点N,二二的值是（）

3.如图，等边△48C的边长为6,。是3c的中点，E是/C边上的一点，连接。E,以DE为边作等边△

DEF,若CE=2,则线段4F的长为（）

4.如图，正方形4BCD中，点£、F、”分别是/8、BC、CD的中点，CE、DF交于点G,连接NG、HG,

1

下列结论：®CE±DF；②HG=*BC；③△/OG是等边三角形；©ZCHG^ZDAG；正确的有（）

个

Afr----------------jD

BFC

A.1B.2C.3D.4

二.填空题

5.如图，在%BCD中，E是/。上的一点,过点E作斯，5C交BC的延长线于点R交。。于点G,AH

CF1的S△cFG/土、/

于，，且“恰好为BC的中点，若-“一），则c值为______________________•

J七，S/ZJABCD

BH-d4-

6.如图，在矩形/BCZ）中，4D=10,AB=16,。为CO的中点，连接8尸.在矩形48CZ）外部找一点£,

使得/3EC+NAPC=180°,则线段OE的最大值为_____

O

Dpc

7.如图，在△/2C中，4B=4C=3,BC=2,。为5c的中点,E,尸分另）］在Z3,/C上，^ZEDF=90°

1

=则点。至!JAB的距禺是______________________,△4EF的周长是_____________________.

A

BDC

8.如图，已知正方形/BCD、正方形NEFG的边长分别为4,1,将正方形NEFG绕点/旋转，连接。尸,

点河是。尸的中点，连接CM,则线段CM的最大值为

三.解答题

9.如图，在△/8C中，。是8c的中点，DELAB,DFLAC,垂足分别是£,F,BE=CF.求证:

(1)是△NBC的角平分线；

(2)△NBC是等腰三角形.

10.已知：如图，在△4BC中，NZC8=90°,AC=BC,。是Z8的中点，点E在/C上，点尸在2C上,

且NE=CF.

(1)指出。£与。尸的关系，并证明;

(2)若NC=2,连接ER则£尸的最小值为

CFB

11.如图①所示，已知48是。。的直径，点C在半径CU上，点。，点尸是圆上的点，CD〃OF,点、E是

半径08的中点，DE与0F交于点、G,连接8G,BF.

(图①)(图②)

(1)如果DCLL/3,连接0D,如图②所示；

①则//的度数为°；

②若ND0F=NDEC,CO=6,求线段OE的长；

0G

(2)若OB=BG,BE=CO,求一的值.

12.如图1,在等腰RtZ\/8C中，ZC=90°,AC=BC,是△48C的角平分线.

(1)直接写出N4DC的大小；

(2)求证：AC+CD^AB；

(3)E在2c上，过点E作40垂线，垂足为点G,延长EG交/C的延长线于点?

①如图2,若E是AD的中点,求证：BD=2CF；

②如图3,若E是3c的中点,直接写出三条线段43,BD,CF之间的数量关系.

AA

A

1

CDB

FF

图1图2图3

13.小明学习了垂径定理后，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究.

(1)更换定理的题设和结论可以得到许多新的发现.如图1,在。。中，C是油的中点，直线CC/B

于点E,则可以得到/请证明此结论.

(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,称为该圆的一条折弦.如图2,古希腊数学家阿基米

德发现，若以、依是。。的折弦，C是才S的中点,于点E.则/£=尸£+尸5.这就是著名的“阿

基米德折弦定理”.那么如何来证明这个结论呢？小明的证明思路是：在/£上截取/尸=尸3,连接CZ、

CF、PC、2c…请你按照小明的思路完成证明过程.

(3)如图3,已知等边三角形N5C内接于。O,48=2,点。是衣上的一点，N4BD=45：AELBD

于点£,则△ADC的周长为

14.综合与实践:

在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动.

【问题发现】

(1)如图1,在正方形/BCD中，AB=BC=6,尸为边的中点，£为边上一点，连接。£、DF,

分别将△/£)£和△CD尸沿。尸翻折，点/、C的对应点分别为点G、H,点G与点〃重合，则/

EDF=°,AE=；

【类比探究】

(2)如图2,在矩形48CD中，48=5,BC=4,尸为2C边的中点，E为边上一点,连接DE、DF,

分别将和厂沿。£、。尸翻折，点/、C的对应点分别为点G、H,且。、H、G三点共线.求

/£的长；

【拓展延伸】

(3)如图3,在菱形/BCD中，AB=&,Z£>=60°,尸为CD边上的三等分点，E为8c边上一点，连

接力£、AF,分别将△N8E和尸沿/£、/尸翻折，点。、8的对应点分别为点G、”，点G与点〃

重合，直线GE交直线N8于点P,请直接写出尸8的长.

图1

图2图3

中点模型巩固练习（提优）

一.选择题

1.如图，在等腰中，NC=8C=2,点P在以斜边为直径的半圆上，M为尸C的中点，当点尸

沿半圆从点/运动至点8时，点M运动的路径长是（）

lV2

A.V2TTB.兀C.——7TD.2

2

【分析】取N3的中点。、NC的中点£、8C的中点尸，连接。C、OP、OM、OE、OF、EF,如图，利

用等腰直角三角形的性质得到48=回。=2a,则0C=打8=/，OP=%B=VL再根据等腰三角形

的性质得OMLPC,则/。00=90°,于是根据圆周角定理得到点M在以0c为直径的圆上，由于点尸

点在A点时，M点在E点；点尸点在B点时，M点在尸点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=

孝，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长.

【解答】解：取的中点。、/C的中点£、8C的中点R连接。C、OP、OM.OE、OF、EF,如图，

在等腰RtZX/BC中，AC=BC=2,

：.AB=V2SC=2V2,

0C=^AB=V2,OP=^AB=V2,

,?ZACS=90°

；.C在。。上，

■为PC的中点，

：.OM±PC,

：.ZCMO=90a,

...点M在以oc为直径的圆上，

点P在/点时，M点在E点；点尸在2点时，初点在尸点，易得四边形CEOP为正方形，即=。。=/，

：.M点的路径为以EF为直径的半圆，

...点M运动的路径长=^*2m—Ji.

222

故选：C.

【点评】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹.解决此题的关键是利用等

腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以斯为直径的半圆.

AD1

2.如图，点。，E,尸分别在△N8C的边上，一=DE//BC,EF//AB,点M是。尸的中点，连接CW

BD3

MN

并延长交48于点N,二二的值是（）

【分析】过点尸作FG〃CN交AB于点G,证明ACV是△ZJG尸的中位线，得GF=2MN,由GF//CN,

EF//AB,得四边形GFffiV是平行四边形，证明设MH=MN=a,则G尸=2°,然后证明CN

=4GF=8a,所以CH=CN-NH=8a-2a=6a,得CM=CH+MH=6a+a=7a,进而可以解决问题.

【解答】解：过点尸作尸G〃CN交48于点G,

,点〃■是。尸的中点，

是DG的中点，

MN是ADGF的中位线,

：.GF=2,MN,

'：GF//CN,EF//AB,

二四边形GF/W是平行四边形，

：.NH=GF=2MN,

：.MH=MN,

设MH=MN=a,则GF=2a,

'：DE//BC,

△ADEs^ABC,

.DEAD1

BC~AB~4

:・BC=4DE,

•:EF〃AB,DE//BC,

・・・四边形DEFB是平行四边形,

：・DE=BF,

9：FG//CN,

.BFGF

•・BC~CN'

..BFDE1

•BC-BC-4’

.GF1

・'CN—4，

:,CN=4GF=8a,

：.CH=CN-NH=8a-2a=Qa,

：.CM=CH+MH=6a+a=7a,

.MNa1

"CM-7a-7’

故选：D.

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，由

平行线得到线段间的数量关系是解题的关键.

3.如图，等边的边长为6,。是5C的中点，£是4。边上的一点，连接以。E为边作等边△

DEF,若CE=2,则线段4方的长为（）

77

A.V7B.-C.-D.2V2

23

【分析】过尸作交/C于“，交8C于G；过4作于N,然后说明△G〃C为等边三角

1

形，进而可得乙4M=N£DC；再证AHFE咨ACEDCAAS）可得尸"=CE=2,EH=CD=$C=3,然

后运用勾股定理求解即可.

【解答】解：过/作交/C于X,交8c于G,过/作/N_LGA■于N,

AAGHC=ZHGC=ZC=60°,

...△G8C为等边三角形，

VZAED=ZC+ZEDC,ZAED=ZAEF+ZFED,NC=/FED=6Q°,

：.ZAEF=ZEDC,

'/EHF=4=60°

在△»£和△CED中，、乙HEF=4EDC，

方尸=DE

:.AHFE注XCED(AAS),

1

：.FH=CE=2,EH=CD=^BC=3,

：.AE=AC-CE=&-2=4,

:・AH=AE-EH=4-3=L

在RtZX/HV中，/AHN=60°,

AZHAN=30°,

：.HN=^AH=I，

：.AN=V3HN=亭，

15

：.FN=FH+HN=2+^=|,

5

在RtZUW中，根据勾股定理得：相=加+由=(―)2+(-)2=7,

22

：.AF=V7,

故选：A.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，作

出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键.

4.如图，正方形N8CD中，点£、F、”分别是加9、BC、CD的中点，CE、DF交于■点、G,连接NG、HG,

1

下列结论：®CE±DF；②H6=*BC；③△ADG是等边三角形；④NCHG=/DAG；正确的有（）

个

A.1B.2C.3D.4

【分析】连接/〃，由四边形48CD是正方形与点E、F、8分别是48、BC、8的中点，易证得△5CE

贮ACDF与4ADH咨LDCF,根据全等三角形的性质，易证得尸与根据垂直平分线的

性质，即可证得NG=/。，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得"G=%。，根据等腰

三角形的性质，即可得NCHG=/D/G.则问题得解.

【解答】解：：四边形/BCD是正方形，

：.AB=BC=CD=AD,NB=NBCD=90°,

•.•点£、厂分别是8C的中点，

：.BE=^AB,CF=1T?C,

：.BE=CF,

在△BCE与△C。尸中，

BE=CF

ZB=4DCF,

.BC=CD

:.ABCE咨ACDF(SAS),

NECB=NCDF,

VZBCE+ZECD^9Q°,

：.ZECD+ZCDF^90°,

；.NCGD=90°,

/.CELDF,故①正确;

在RtZXCG。中，”是CD边的中点,

11

:.HG/CD/BC,故②正确;

如图，连接

同理可得：AHLDF,

1

,:HG=HD==fD,

:.DK=GK,

垂直平分。G,

：.AG=AD,

...△/DG是等腰三角形，故③错误；

/DAG=2NDAH,

同理：AADgADCF(SAS),

：.NDAH=NCDF,

GH=DH,

：.NHDG=NHGD,

：.ZGHC=ZHDG+ZHGD=2ZCDF,

:"CHG=NDAG.故④正确.

综上所述：正确的有：①②④共3个.

故选：C.

【点评】本题是四边形综合题，难度较大，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角

形的性质以及垂直平分线的性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用.

二.填空题

5.如图，在％8co中，£是/。上的一点，过点E作EFLBC交的延长线于点R交DC于点G,AH

CF1SAr'

LBC于H,且〃恰好为2c的中点，若=则.值为

DE2SaABCD

PGrpiFG1

【分析】根据平行四边形的性质证明△BGsZXQEG,得力===：；,所以不=大由条件证明四边

EGDE2EF3

FGFG1

形4"也是矩形，得一=；；；；=7,然后证明△ZBT/s^GCF,根据相似三角形的面积比等于相似比的

AHEF3

平方即可解决问题.

【解答】解：在%BCD中，

•：AD〃BC,

:・&CFGs丛DEG,

.FGCF1

，9EG~DE~2

.FG1

**EF-3，

■:EF1BC,AHLBC,

；・/AHB=NGFC=90°,

•；AD〃BC,

:・/AHB=/GFC=90°=NHAE,

・・・四边形4HFE是矩形,

:・AH=EF,

.FGFG1

AH~EF~3f

9：AB//CD,

：./B=/GCF,

：.AABHsAGCF,

.S^ABH/A"、29

SAGCFGF1

S/\ABH=9sAeFG,

•・・”为BC的中点，

1

：.BH=CH=洒,

.11

:S"BH=*BH・AH=：BC・AH,

L4

:・BC・AH=4S“BH,

・••平行四边形ABCD的面积=5C・4〃=4s△”H=36SZ\CFG,

.S^CFG__1

s口ABCD36

­，1

故答案为：—.

36

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关

键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.

6.如图，在矩形4SCD中，/。=10,48=16,P为CD的中点，连接8P.在矩形48CD外部找一点E,

使得N8EC+4BPC=180。，则线段的最大值为.

【分析】以AP的中点。为圆心，。8为半径画圆，可得所画圆是RtaBCP的外接圆，弦2c左侧圆弧上

任意一点E与BC构成的N8EC与N2PC共弦，可得N2EC+N8PC=180°,连接。。并延长与圆的交

点即为DE的最短距离，作OHLDC于点H,可得OH是4PBC的中位线，根据勾股定理求出OP和OD

的值，进而可得。£的最小值.

【解答】解：如图，以AP的中点。为圆心，为半径画圆,

在矩形48co中，4D=BC=10,AB=CD=16,

VZ5CP=90°,

.♦.所画圆是RtASCP的外接圆，

弦BC右侧圆弧上任意一点E与BC构成的/2EC,使得四边形BPCE是圆内接四边形,

AZBEC+ZBPC=18Q°,

连接。。并延长与圆的交点即为DE的最短距离,

作OHLDC于点H,

是尸C的中点,

：.OH是APBC的中位线，

1

：.OH=券C=5,

<P为CD的中点，

:.CP=DP=1CD=8,

：.PH=|CP=4,

DH=DP+PH=8+4=12,

0P=y/OH2+PH2=-52+42=V41.

：.OE=OP=V41,

'：OD=VOW2+OH2=V122+52=13,

：.DE=OD+OE=13+>j41^

故答案为：13+V41.

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，最短路线问题，解决本

题的关键是综合利用以上知识找到点E.

7.如图，在△N8C中，AB=AC=3,BC=2,。为的中点，E,尸分别在48,/C上，若NEDF=90°

=2乙4,则点。到AB的距离是,△4EF的周长是.

【分析】连接AD,过点。作DGLAB交于点G,过点D作DMLEF交于点M,过点。作DNLAC交

于点N分别求出80、AD,利用三角形的面积公式求出DG的长即可点。到N8的距离；根据“两角分

BEED

别相等的两个三角形全等”证△3矶>〜△（?£»£则得一=一,ZBDE=ZCFD,再根据“两边对应成

CDDF

比例且夹角相等的两个三角形相似“证△仍。〜△££）/,可得/BED=NDEF,ZBDE=ZDFE,进而可

证/XEGD咨△EMD,推出EG=EM,再进一步推出/G=4N,BG=CN,EF=BE+CF-2BG,最后证△

DGB〜AADB,利用相似三角形对应边成比例求出BG的长即可.

【解答】解：连接过点。作。GL/8交于点G,过点。作DM,斯交于点V,过点。作。NL/C

交于点N,如图所示：

,：AB=AC,。为8c的中点，

111

：.BD=^BC=1,ADLBC,ZADB=ZACD=(180°-ZA)=90°―专乙4,

在RtAABD中，由勾股定理得ADy/AB2-BD2=V32-I2=2&,

11

xABxDG=—xBDxAD,

22

..BDxAD1X2V2272

"G=^-=^—=丁,

1

又•；/EDF=90°—*4

/ABD=/ACD=ZEDF,

ZEDC=NABC+/BED,

/BED=/FDC,

/BED=/FDC,/EBD=/DCF,

△BED〜ACDF,

.BEED

=—,/BDE=/CFD,

9CD-DF

。为5C的中点,

・BEBEED

9CD-~BD~DF'

■BEBD

—，

••ED一DF

又丁/EBD=/EDF,

：.AEBD〜AEDF,

:・/BED=/DEF,/BDE=/DFE,

•:/EGD=/EMD=90°,ZBED=ZDEF,DE=DE,

：.AEGD^AEMD,

:.EG=EM,

同理可得：FN=FM,

U：AB=AC,

・・・/5C是等腰三角形,

•・•。为5C的中点，

・•・ZBAD=ZCADf

•：AD=AD,

：.AAGD•LAND,

:・AG=AN,

X''AB=AC,

:・BG=CN,

：.EF=EM+FM=EG+FN=BE-BG+CF-CN=BE+CF-2BG,

•：NB=/B,NBGD=/ADB=90°,

・•・ADGB〜AADB,

DBGB-1GB

--=---,即-=—,

ABDB31

:.BG=I，

2

：.EF=BE+CF-^,

：.4AEF的周长=/E+/F+8£+CF-1=AB+AC-1=3+3-j=^.

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股

定理等知识，添加辅助线，灵活运用相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质推理是解答本

题的关键.

8.如图，已知正方形4BCD、正方形/EFG的边长分别为4,1,将正方形NEFG绕点/旋转，连接DR

点M是。下的中点，连接CM,则线段CM的最大值为.

【分析】延长DC至点尸，使CP=OC,连接尸尸，AP,根据三角形中位线定理得P尸=2CW,再利用三

角形三边关系可得答案.

【解答】解：延长。C至点尸，使CP=DC,连接尸尸，AP,

:点M是。尸的中点，CP=DC,

：.CM是ADFP的中位线,

：.PF=2CM,

•.•正方形/BCD、正方形4E•尸G的边长分别为4,1,

：.AP^V42+82=4V5,AF=5

•；PFWAP+AF,

：.PF的最大值为4A/5+V2,

的最大值为--+2巡，

故答案为：号+2代.

【点评】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，三角形中位线定理，三角形三边关系等知识，构

造中位线是解题的关键.

三.解答题

9.如图，在△/2C中，。是2C的中点，DELAB,DFLAC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证：

(1)4D是△/8C的角平分线；

(2)△4BC是等腰三角形.

【分析】(1)根据从可证Rt/XBEDgRtaCF。，根据全等三角形的性质可得OE=D凡再根据角平分

线的判定即可求解；

(2)根据全等三角形的性质可得/8=/C,根据等角对等边可得N8=4C.

【解答】证明：(1)..•。是3C的中点，

：.BD=CD,

DELAB,DFL4C,

MBED和ACFD都是直角三角形，

在Rt/XBED与RtACFD中，

(BE=CF

=CD'

：.RtAB£Z)^RtACFD(HL),

：.DE=DF,

：.AD是△NBC的角平分线；

(2)。；RtABED空RtACFD,

：./B=/C,

：.AB=AC,

：.^ABC是等腰三角形.

【点评】本题主要考查学生对角平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识点的灵活运用，关键是

证明RtABED出RtACFD.

10.已知：如图，在△/BC中，ZACB=9Q°,AC=BC,。是N8的中点，点E在NC上，点尸在8c上，

且/E=CF.

(1)指出与。尸的关系，并证明；

(2)若NC=2,连接E凡则斯的最小值为.

【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质知/Z=NB=45°,结合。是N8的中点知CDL48且4D=

BD=CD,继而得=结合/£=CF即可证得根据全等三角形的性质得出

=DF,/ADE=/CDF,即可解决问题；

(2根据垂线段最短得出当DEL/C,。尸，3c时，防值最小，根据矩形的性质和判定得出跖=。,

求出CD即可.

【解答】解：(1)DE=DFJ.DE±DF,理由如下：

如图，连接CD,

；N4CB=90°,。是48的中点，

：.CD=AD=BD,

：.ZDCB=ZB,

■：AC=BC,

/A=/B,

：./A=/DCB,

在△/£>£与△CDF中，

AE=CF,ZA=ZDCB,AD=CD,

：.AADE^ACDF(S/S),

：.DE=DF,/ADE=/CDF,

■：AC=BC,。是48的中点，

：.CD1AB,

：.ZADC=90°,即/ADE+/CZ)£=90°,

：.ZCDF+ZCDE=90°,即/£。尸=90°,

：.DE±DF；

(2)在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,

：.ZA=ZB=45°,AB=&AC=2近,

•.•点。是的中点，

：.CD1AB,ZDCB=45°,AD=BD=CD=V2,

HDE1AC,。尸J_8c时，DE、。下分别取最小值，

VZEDF=90°,

：.EF=y/DE2+DF2,此时的值最小，

.,•四边形CEZE是矩形，

：.EF=CD=V2,

尸的最小值为企,

故答案为：V2.

【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质和

判定，垂线段最短等知识点.综合运用定理进行推理是解题的关键.

11.如图①所示，已知48是。。的直径，点C在半径CU上，点。，点尸是圆上的点，CD〃OF,点E是

半径08的中点，DE与0F交于点、G,连接8G,BF.

(1)如果连接0。，如图②所示；

①则//的度数为450；

②若NDOF=NDEC,CO=6,求线段OE的长；

0G

(2)若OB=BG,BE=CO,求点的值.

【分析】(1)①利用垂直的定义，平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；

②设OO的半径为，，则。Z)=O5=r,利用勾股定理求得CZA利用相似三角形的判定与性质得到C炉

=CO-EC,从而得到关于r的方程，解方程即可得出结论；

(2)延长8G交DC于点K,连接O。，交BK于点、M,设GO=%,OE=x,贝UO3=G5=2x,OD=OB

=2x,利用三角形的中位线定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质得出比例式，进而得到m=

x,则结论可求.

【解答】解：(1)@'：DCLAB,CD//OF,

：.OF1.AB,

:・/AOF=/BOF=9G°，

•：OB=OF,

：.ZF=ZOF=45

故答案为：45；

②设。O的半径为「，贝1」。。=。5=尸,

9：DC.LAB,

:.af+od=oif,

：.CD2=r-^=r-36.

•・,点E是半径05的中点,

.1

・・OE=2r.

1

：.EC=OC+OE=6+^r.

U：CD//OF,

：.ZCDO=ZDOFf

丁ZDOF=/DEC,

：.ZCDO=ZDEC.

'：/DCO=/ECD,

：.XDCOsXECD,

.DCEC

••—,

COCD

9

:・CD=CO・EC.

oI

Ar-36=6（6+货），

.」=3土产（负数不合题意,舍去）,

.3+3闻

2

1O£=13+3V33

Z4

（2）延长5G交OC于点K,连接8,交BK于点、M,如图,

AC0EB

设GO=m,OE=x,

•・,点E是半径08的中点，BE=CO,

.\BE=CO=OE=x,

OB—GB—2x,OD—OB—2x.

•:CD"OF,CO=OE,

・・・0G为的中位线，

；・CD=2OG=2m,

•:CD"OF,

：.ABOGsABCK,

.OGBGOB2x2

•*CK-BK-BC-3x-3’

3

：.CK=^m,BK=3x,

1

:・KG=x,DK=CD-CK=

9：CD//OF,

：.ADKMS^OGM,

1

DM_KM_DK22_i

OM~GM~OGm2

4

2-12

：.DM=|x,OM=3KM=余,MG=^x

2o

・•・BA/=5G+GA/=2x+

14

.KM/1OM/1

•*-o=—，-p——，

DM-x2BM-x2

33

.KM_OM

・'DM~BM'

ZKMD=ZOMB,

：.AKMDs^OMB,

.KD_KM

••OB~OM"

-1m-1x

・2____3_

••~~=4-，

2x\

3

・・1Tl=Xf

0Gm1

OF~2x~2

【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，线段

的中点的定义，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线

的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键.

12.如图1,在等腰RtZ\N8C中，ZC=90°,AC=BC,是的角平分线.

(1)直接写出NNDC的大小;

(2)求证：AC+CD=AB；

(3)E在上，过点E作40垂线，垂足为点G,延长EG交NC的延长线于点冗

①如图2,若E是AD的中点，求证：BD=2CF；

②如图3,若E是2C的中点，直接写出三条线段BD,C户之间的数量关系.

图1

【分析】(1)根据等腰三角形的性质得出/C43=45°,进而利用角平分线的定义和三角形内角和定理

解答即可;

(2)过。作DE'LAB于E',根据角平分线的性质和AAS证明△4CZ＞与全等，进而利用全等

三角形的性质解答即可;

(3)①设/C=a,根据相似三角形的判定和性质得出比例解答即可;

②根据相似三角形的判定和性质得出比例，进而利用等腰直角三角形的性质解答即可.

【解答】(1)解：•.♦/C=90°,AC=BC,是八48。的角平分线,

：.ZCAB^45

：.ZCAD^ZDAB^22.5°,

二N/Z)C=90°-22.5°=67.5

(2)证明：过。作。£'于E',

图1

在△/CD与中，

(^CAD=4'40

\^ACD=^AE'D=90。，

{AD=AD

.•.△ACD/AAE'D(AAS),

：.CD=DE',AC=AE',

■:NDE'B=90°,Z5=45°,

△£>£'B为等腰直角三角形，

:.DE'=E'B,

•.ZD是△NBC的角平分线，ZC=90°,DELAB,

:.CD=DE',AC=4E',

：.CD+AC=E'B+AE'=AB；

(3)①证明：设ZC=a,

,,.AB=V2a,BC—a,

由(2)可知，AC+CD=AB,

a+CD=y[2a,

：.CD=(V2-1)a,

：.BD=(2-V2)a,

■:E为BD中点，

：.DE=^^a,

'：AC±CE,AGLEF,

：.ZCAD=ZAEF,

且//。。=/£。尸=90°,

：.ZCFE=ZCDA,

：.△ACDs^ECF,

・ACEC

•.=,

CDCF

.aEC

*'(V2-l)a—CF，

:.EC=CD+DE=(V2-1)GH-----^—ci=,

V2

.a=Ta

"(V2-l)a-CF，

解得：CF=22夜.’

'：BD=(2-V2)a,

：.BD=2CF；

②解：'：CD=(V2-1)a,£为8c中点，CE吟

由①可知，△ACDs^ECF,

.CECA

••,

CFCD

a

oCL

即=~~p------,

CF(V2-l)a

解得：CF=&2I。,

：.CD=2CF,

'：CD+BD=BC,

：.2CF+BD=BC,

「△A4c是等腰直角三角形，

：.AB=V2.BC,

：.y/2C2CF+BD)=AB,

即42,BD,CF之间的数量关系为48=&(2CF+BD).

【点评】此题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，等腰直角三

角形的性质，关键是构建全等三角形和相似三角形解答.

13.小明学习了垂径定理后，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究.

(1)更换定理的题设和结论可以得到许多新的发现.如图1,在。。中，C是油的中点，直线

于点E,则可以得到/请证明此结论.

图1图2图3

(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦.如图2,古希腊数学家阿基米

德发现，若均、依是。。的折弦，C是才&的中点，CD,我于点E.则/£=尸£+尸5.这就是著名的“阿

基米德折弦定理”.那么如何来证明这个结论呢？小明的证明思路是：在/E上截取/尸=尸3,连接C4、

CF、PC、BC…请你按照小明的思路完成证明过程.

(3)如图3,已知等边三角形/2C内接于。。，48=2,点。是衣上的一点，/ABD=45°,AE±BD

于点£,则△5DC的周长为.

【分析】(1)连接NC、BC,由祀=a，WAC=BC,由COL42于点E,可根据等腰三角形的“三线

合一”证明/£=8£；

(2)在/E上截取/尸=尸5,连接CF、PC、BC,由公=a，得/C=3C,而尸8C,即

可证明四△&(7,得CF=CP,由CDLPA于点E,可根据等腰三角形的“三线合一”证明FE=

PE,贝！J

(3)在4E1上截取3G=CD,连接AD,可证明△ZBG四得NG=/。，而/£_L8D于点E,所以

EG=ED,则BE=EG+BG=ED+CD,所以8D+CD=23£,再证明N/3Z)=45°,贝U/E=3£,

所以AB=7AE2+BE2=五BE=2,贝18E=即可求得△BOC的周长为2/+2,于是得到问题的答

案.

【解答】(1)证明：如图1,连接NC、BC,

图1

•.•福的中点，

.,.AC=BC,

：.AC=BC,

'：CDLAB于点£,

：.AE=BE.

(2)证明：在4E•上截取/尸=尸8,连接C4、CF、PC、BC,则/E4C=NP2C,

•；C是彳&的中点，

：.AC=BC,

J.AC^BC,

在AE4c和△P2C中，

AC=BC

/.FAC=Z.PBC,

.AF=BP

:.LFAC咨APBC(S4S*),

：.CF=CP,

'：CDLPA于点£,

:.FE=PE,

；.AE=FE+AF=PE+PB.

(3)解：如图3,在BE上截取5G=CD,连接ND则N/8G=//CD,

图3

：△NBC是等边三角形，48=2,

:.AB=AC=BC=2,

在△43G和△/CD中，

AB=AC

乙ABG=4ACD,

BG=CD

：.AABG^/\ACD(SAS),

：.AG=AD,

'：AELBD于点E,

：.EG=ED,

：.BE=EG+BG=ED+CD,

：.BD+CD=BE+ED+CD^2BE,

VZAEB=90°,ZABD=45°,

：.ZBAE=ZABD=45°,

：.AE=BE,

；.4B=y/AE2+BE2=V2BE2=y/2BE=2,

:.BE=V2,

：.BD+CD+BC=2s/2+2,

：./\BDC的周长为2夜+2,

故答案为：2&+2.

【点评】此题重点考查圆的有关概念及性质、圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”、全等三角形的判

定与性质、勾股定理、三角形的周长等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是

解题的关键.

14.综合与实践：

在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动.

【问题发现】

(1)如图1,在正方形4BCD中，4B=BC=6,尸为2C边的中点，£为48边上一点，连接DE、DF,

分别将△4DE和△CD尸沿。£、。尸翻折，点/、C的对应点分别为点G、H,点G与点X重合，则/

EDF=°,AE=；

【类比探究】

(2)如图2,在矩形48CD中，AB