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文档简介
中点模型巩固练习(提优)
一.选择题
1.如图,在等腰RtA43C中,NC=8C=2,点P在以斜边为直径的半圆上,M为尸C的中点,当点尸
沿半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径长是()
P
A.V2TTB.JiC.—7TD.2
2
AD1
2.如图,点D,E,尸分别在△48C的边上,——=DE//BC,EF//AB,点M是。尸的中点,连接CM
BD3
MN
并延长交于点N,二二的值是()
3.如图,等边△48C的边长为6,。是3c的中点,E是/C边上的一点,连接。E,以DE为边作等边△
DEF,若CE=2,则线段4F的长为()
4.如图,正方形4BCD中,点£、F、”分别是/8、BC、CD的中点,CE、DF交于点G,连接NG、HG,
1
下列结论:®CE±DF;②HG=*BC;③△/OG是等边三角形;©ZCHG^ZDAG;正确的有()
个
Afr----------------jD
BFC
A.1B.2C.3D.4
二.填空题
5.如图,在%BCD中,E是/。上的一点,过点E作斯,5C交BC的延长线于点R交。。于点G,AH
CF1的S△cFG/土、/
于,,且“恰好为BC的中点,若-“一),则c值为______________________•
J七,S/ZJABCD
BH-d4-
6.如图,在矩形/BCZ)中,4D=10,AB=16,。为CO的中点,连接8尸.在矩形48CZ)外部找一点£,
使得/3EC+NAPC=180°,则线段OE的最大值为_____
O
Dpc
7.如图,在△/2C中,4B=4C=3,BC=2,。为5c的中点,E,尸分另)]在Z3,/C上,^ZEDF=90°
1
=则点。至!JAB的距禺是______________________,△4EF的周长是_____________________.
A
BDC
8.如图,已知正方形/BCD、正方形NEFG的边长分别为4,1,将正方形NEFG绕点/旋转,连接。尸,
点河是。尸的中点,连接CM,则线段CM的最大值为
三.解答题
9.如图,在△/8C中,。是8c的中点,DELAB,DFLAC,垂足分别是£,F,BE=CF.求证:
(1)是△NBC的角平分线;
(2)△NBC是等腰三角形.
10.已知:如图,在△4BC中,NZC8=90°,AC=BC,。是Z8的中点,点E在/C上,点尸在2C上,
且NE=CF.
(1)指出。£与。尸的关系,并证明;
(2)若NC=2,连接ER则£尸的最小值为
CFB
11.如图①所示,已知48是。。的直径,点C在半径CU上,点。,点尸是圆上的点,CD〃OF,点、E是
半径08的中点,DE与0F交于点、G,连接8G,BF.
(图①)(图②)
(1)如果DCLL/3,连接0D,如图②所示;
①则//的度数为°;
②若ND0F=NDEC,CO=6,求线段OE的长;
0G
(2)若OB=BG,BE=CO,求一的值.
12.如图1,在等腰RtZ\/8C中,ZC=90°,AC=BC,是△48C的角平分线.
(1)直接写出N4DC的大小;
(2)求证:AC+CD^AB;
(3)E在2c上,过点E作40垂线,垂足为点G,延长EG交/C的延长线于点?
①如图2,若E是AD的中点,求证:BD=2CF;
②如图3,若E是3c的中点,直接写出三条线段43,BD,CF之间的数量关系.
AA
A
1
CDB
FF
图1图2图3
13.小明学习了垂径定理后,做了下面的探究,请根据题目要求帮小明完成探究.
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多新的发现.如图1,在。。中,C是油的中点,直线CC/B
于点E,则可以得到/请证明此结论.
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,称为该圆的一条折弦.如图2,古希腊数学家阿基米
德发现,若以、依是。。的折弦,C是才S的中点,于点E.则/£=尸£+尸5.这就是著名的“阿
基米德折弦定理”.那么如何来证明这个结论呢?小明的证明思路是:在/£上截取/尸=尸3,连接CZ、
CF、PC、2c…请你按照小明的思路完成证明过程.
(3)如图3,已知等边三角形N5C内接于。O,48=2,点。是衣上的一点,N4BD=45:AELBD
于点£,则△ADC的周长为
14.综合与实践:
在综合与实践课上,老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动.
【问题发现】
(1)如图1,在正方形/BCD中,AB=BC=6,尸为边的中点,£为边上一点,连接。£、DF,
分别将△/£)£和△CD尸沿。尸翻折,点/、C的对应点分别为点G、H,点G与点〃重合,则/
EDF=°,AE=;
【类比探究】
(2)如图2,在矩形48CD中,48=5,BC=4,尸为2C边的中点,E为边上一点,连接DE、DF,
分别将和厂沿。£、。尸翻折,点/、C的对应点分别为点G、H,且。、H、G三点共线.求
/£的长;
【拓展延伸】
(3)如图3,在菱形/BCD中,AB=&,Z£>=60°,尸为CD边上的三等分点,E为8c边上一点,连
接力£、AF,分别将△N8E和尸沿/£、/尸翻折,点。、8的对应点分别为点G、”,点G与点〃
重合,直线GE交直线N8于点P,请直接写出尸8的长.
图1
图2图3
中点模型巩固练习(提优)
一.选择题
1.如图,在等腰中,NC=8C=2,点P在以斜边为直径的半圆上,M为尸C的中点,当点尸
沿半圆从点/运动至点8时,点M运动的路径长是()
lV2
A.V2TTB.兀C.——7TD.2
2
【分析】取N3的中点。、NC的中点£、8C的中点尸,连接。C、OP、OM、OE、OF、EF,如图,利
用等腰直角三角形的性质得到48=回。=2a,则0C=打8=/,OP=%B=VL再根据等腰三角形
的性质得OMLPC,则/。00=90°,于是根据圆周角定理得到点M在以0c为直径的圆上,由于点尸
点在A点时,M点在E点;点尸点在B点时,M点在尸点,则利用四边形CEOF为正方得到EF=
孝,所以M点的路径为以EF为直径的半圆,然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长.
【解答】解:取的中点。、/C的中点£、8C的中点R连接。C、OP、OM.OE、OF、EF,如图,
在等腰RtZX/BC中,AC=BC=2,
:.AB=V2SC=2V2,
0C=^AB=V2,OP=^AB=V2,
,?ZACS=90°
;.C在。。上,
■为PC的中点,
:.OM±PC,
:.ZCMO=90a,
...点M在以oc为直径的圆上,
点P在/点时,M点在E点;点尸在2点时,初点在尸点,易得四边形CEOP为正方形,即=。。=/,
:.M点的路径为以EF为直径的半圆,
...点M运动的路径长=^*2m—Ji.
222
故选:C.
【点评】本题考查了轨迹:点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹.解决此题的关键是利用等
腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以斯为直径的半圆.
AD1
2.如图,点。,E,尸分别在△N8C的边上,一=DE//BC,EF//AB,点M是。尸的中点,连接CW
BD3
MN
并延长交48于点N,二二的值是()
【分析】过点尸作FG〃CN交AB于点G,证明ACV是△ZJG尸的中位线,得GF=2MN,由GF//CN,
EF//AB,得四边形GFffiV是平行四边形,证明设MH=MN=a,则G尸=2°,然后证明CN
=4GF=8a,所以CH=CN-NH=8a-2a=6a,得CM=CH+MH=6a+a=7a,进而可以解决问题.
【解答】解:过点尸作尸G〃CN交48于点G,
,点〃■是。尸的中点,
是DG的中点,
MN是ADGF的中位线,
:.GF=2,MN,
':GF//CN,EF//AB,
二四边形GF/W是平行四边形,
:.NH=GF=2MN,
:.MH=MN,
设MH=MN=a,则GF=2a,
':DE//BC,
△ADEs^ABC,
.DEAD1
BC~AB~4
:・BC=4DE,
•:EF〃AB,DE//BC,
・・・四边形DEFB是平行四边形,
:・DE=BF,
9:FG//CN,
.BFGF
•・BC~CN'
..BFDE1
•BC-BC-4’
.GF1
・'CN—4,
:,CN=4GF=8a,
:.CH=CN-NH=8a-2a=Qa,
:.CM=CH+MH=6a+a=7a,
.MNa1
"CM-7a-7’
故选:D.
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质,平行线分线段成比例定理,平行四边形的判定与性质,由
平行线得到线段间的数量关系是解题的关键.
3.如图,等边的边长为6,。是5C的中点,£是4。边上的一点,连接以。E为边作等边△
DEF,若CE=2,则线段4方的长为()
77
A.V7B.-C.-D.2V2
23
【分析】过尸作交/C于“,交8C于G;过4作于N,然后说明△G〃C为等边三角
1
形,进而可得乙4M=N£DC;再证AHFE咨ACEDCAAS)可得尸"=CE=2,EH=CD=$C=3,然
后运用勾股定理求解即可.
【解答】解:过/作交/C于X,交8c于G,过/作/N_LGA■于N,
AAGHC=ZHGC=ZC=60°,
...△G8C为等边三角形,
VZAED=ZC+ZEDC,ZAED=ZAEF+ZFED,NC=/FED=6Q°,
:.ZAEF=ZEDC,
'/EHF=4=60°
在△»£和△CED中,、乙HEF=4EDC,
方尸=DE
:.AHFE注XCED(AAS),
1
:.FH=CE=2,EH=CD=^BC=3,
:.AE=AC-CE=&-2=4,
:・AH=AE-EH=4-3=L
在RtZX/HV中,/AHN=60°,
AZHAN=30°,
:.HN=^AH=I,
:.AN=V3HN=亭,
15
:.FN=FH+HN=2+^=|,
5
在RtZUW中,根据勾股定理得:相=加+由=(―)2+(-)2=7,
22
:.AF=V7,
故选:A.
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点,作
出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键.
4.如图,正方形N8CD中,点£、F、”分别是加9、BC、CD的中点,CE、DF交于■点、G,连接NG、HG,
1
下列结论:®CE±DF;②H6=*BC;③△ADG是等边三角形;④NCHG=/DAG;正确的有()
个
A.1B.2C.3D.4
【分析】连接/〃,由四边形48CD是正方形与点E、F、8分别是48、BC、8的中点,易证得△5CE
贮ACDF与4ADH咨LDCF,根据全等三角形的性质,易证得尸与根据垂直平分线的
性质,即可证得NG=/。,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可证得"G=%。,根据等腰
三角形的性质,即可得NCHG=/D/G.则问题得解.
【解答】解::四边形/BCD是正方形,
:.AB=BC=CD=AD,NB=NBCD=90°,
•.•点£、厂分别是8C的中点,
:.BE=^AB,CF=1T?C,
:.BE=CF,
在△BCE与△C。尸中,
BE=CF
ZB=4DCF,
.BC=CD
:.ABCE咨ACDF(SAS),
NECB=NCDF,
VZBCE+ZECD^9Q°,
:.ZECD+ZCDF^90°,
;.NCGD=90°,
/.CELDF,故①正确;
在RtZXCG。中,”是CD边的中点,
11
:.HG/CD/BC,故②正确;
如图,连接
同理可得:AHLDF,
1
,:HG=HD==fD,
:.DK=GK,
垂直平分。G,
:.AG=AD,
...△/DG是等腰三角形,故③错误;
/DAG=2NDAH,
同理:AADgADCF(SAS),
:.NDAH=NCDF,
GH=DH,
:.NHDG=NHGD,
:.ZGHC=ZHDG+ZHGD=2ZCDF,
:"CHG=NDAG.故④正确.
综上所述:正确的有:①②④共3个.
故选:C.
【点评】本题是四边形综合题,难度较大,考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角
形的性质以及垂直平分线的性质等知识,解题的关键是注意数形结合思想的应用.
二.填空题
5.如图,在%8co中,£是/。上的一点,过点E作EFLBC交的延长线于点R交DC于点G,AH
CF1SAr'
LBC于H,且〃恰好为2c的中点,若=则.值为
DE2SaABCD
PGrpiFG1
【分析】根据平行四边形的性质证明△BGsZXQEG,得力===:;,所以不=大由条件证明四边
EGDE2EF3
FGFG1
形4"也是矩形,得一=;;;;=7,然后证明△ZBT/s^GCF,根据相似三角形的面积比等于相似比的
AHEF3
平方即可解决问题.
【解答】解:在%BCD中,
•:AD〃BC,
:・&CFGs丛DEG,
.FGCF1
,9EG~DE~2
.FG1
**EF-3,
■:EF1BC,AHLBC,
;・/AHB=NGFC=90°,
•;AD〃BC,
:・/AHB=/GFC=90°=NHAE,
・・・四边形4HFE是矩形,
:・AH=EF,
.FGFG1
AH~EF~3f
9:AB//CD,
:./B=/GCF,
:.AABHsAGCF,
.S^ABH/A"、29
SAGCFGF1
S/\ABH=9sAeFG,
•・・”为BC的中点,
1
:.BH=CH=洒,
.11
:S"BH=*BH・AH=:BC・AH,
L4
:・BC・AH=4S“BH,
・••平行四边形ABCD的面积=5C・4〃=4s△”H=36SZ\CFG,
.S^CFG__1
s口ABCD36
,1
故答案为:—.
36
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,平行四边形的性质,解决本题的关
键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.
6.如图,在矩形4SCD中,/。=10,48=16,P为CD的中点,连接8P.在矩形48CD外部找一点E,
使得N8EC+4BPC=180。,则线段的最大值为.
【分析】以AP的中点。为圆心,。8为半径画圆,可得所画圆是RtaBCP的外接圆,弦2c左侧圆弧上
任意一点E与BC构成的N8EC与N2PC共弦,可得N2EC+N8PC=180°,连接。。并延长与圆的交
点即为DE的最短距离,作OHLDC于点H,可得OH是4PBC的中位线,根据勾股定理求出OP和OD
的值,进而可得。£的最小值.
【解答】解:如图,以AP的中点。为圆心,为半径画圆,
在矩形48co中,4D=BC=10,AB=CD=16,
VZ5CP=90°,
.♦.所画圆是RtASCP的外接圆,
弦BC右侧圆弧上任意一点E与BC构成的/2EC,使得四边形BPCE是圆内接四边形,
AZBEC+ZBPC=18Q°,
连接。。并延长与圆的交点即为DE的最短距离,
作OHLDC于点H,
是尸C的中点,
:.OH是APBC的中位线,
1
:.OH=券C=5,
<P为CD的中点,
:.CP=DP=1CD=8,
:.PH=|CP=4,
DH=DP+PH=8+4=12,
0P=y/OH2+PH2=-52+42=V41.
:.OE=OP=V41,
':OD=VOW2+OH2=V122+52=13,
:.DE=OD+OE=13+>j41^
故答案为:13+V41.
【点评】本题考查了矩形的性质,勾股定理,三角形中位线定理,圆周角定理,最短路线问题,解决本
题的关键是综合利用以上知识找到点E.
7.如图,在△N8C中,AB=AC=3,BC=2,。为的中点,E,尸分别在48,/C上,若NEDF=90°
=2乙4,则点。到AB的距离是,△4EF的周长是.
【分析】连接AD,过点。作DGLAB交于点G,过点D作DMLEF交于点M,过点。作DNLAC交
于点N分别求出80、AD,利用三角形的面积公式求出DG的长即可点。到N8的距离;根据“两角分
BEED
别相等的两个三角形全等”证△3矶>〜△(?£»£则得一=一,ZBDE=ZCFD,再根据“两边对应成
CDDF
比例且夹角相等的两个三角形相似“证△仍。〜△££)/,可得/BED=NDEF,ZBDE=ZDFE,进而可
证/XEGD咨△EMD,推出EG=EM,再进一步推出/G=4N,BG=CN,EF=BE+CF-2BG,最后证△
DGB〜AADB,利用相似三角形对应边成比例求出BG的长即可.
【解答】解:连接过点。作。GL/8交于点G,过点。作DM,斯交于点V,过点。作。NL/C
交于点N,如图所示:
,:AB=AC,。为8c的中点,
111
:.BD=^BC=1,ADLBC,ZADB=ZACD=(180°-ZA)=90°―专乙4,
在RtAABD中,由勾股定理得ADy/AB2-BD2=V32-I2=2&,
11
xABxDG=—xBDxAD,
22
..BDxAD1X2V2272
"G=^-=^—=丁,
1
又•;/EDF=90°—*4
/ABD=/ACD=ZEDF,
ZEDC=NABC+/BED,
/BED=/FDC,
/BED=/FDC,/EBD=/DCF,
△BED〜ACDF,
.BEED
=—,/BDE=/CFD,
9CD-DF
。为5C的中点,
・BEBEED
9CD-~BD~DF'
■BEBD
—,
••ED一DF
又丁/EBD=/EDF,
:.AEBD〜AEDF,
:・/BED=/DEF,/BDE=/DFE,
•:/EGD=/EMD=90°,ZBED=ZDEF,DE=DE,
:.AEGD^AEMD,
:.EG=EM,
同理可得:FN=FM,
U:AB=AC,
・・・/5C是等腰三角形,
•・•。为5C的中点,
・•・ZBAD=ZCADf
•:AD=AD,
:.AAGD•LAND,
:・AG=AN,
X''AB=AC,
:・BG=CN,
:.EF=EM+FM=EG+FN=BE-BG+CF-CN=BE+CF-2BG,
•:NB=/B,NBGD=/ADB=90°,
・•・ADGB〜AADB,
DBGB-1GB
--=---,即-=—,
ABDB31
:.BG=I,
2
:.EF=BE+CF-^,
:.4AEF的周长=/E+/F+8£+CF-1=AB+AC-1=3+3-j=^.
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质,相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股
定理等知识,添加辅助线,灵活运用相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质推理是解答本
题的关键.
8.如图,已知正方形4BCD、正方形/EFG的边长分别为4,1,将正方形NEFG绕点/旋转,连接DR
点M是。下的中点,连接CM,则线段CM的最大值为.
【分析】延长DC至点尸,使CP=OC,连接尸尸,AP,根据三角形中位线定理得P尸=2CW,再利用三
角形三边关系可得答案.
【解答】解:延长。C至点尸,使CP=DC,连接尸尸,AP,
:点M是。尸的中点,CP=DC,
:.CM是ADFP的中位线,
:.PF=2CM,
•.•正方形/BCD、正方形4E•尸G的边长分别为4,1,
:.AP^V42+82=4V5,AF=5
•;PFWAP+AF,
:.PF的最大值为4A/5+V2,
的最大值为--+2巡,
故答案为:号+2代.
【点评】本题主要考查了旋转的性质,正方形的性质,三角形中位线定理,三角形三边关系等知识,构
造中位线是解题的关键.
三.解答题
9.如图,在△/2C中,。是2C的中点,DELAB,DFLAC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:
(1)4D是△/8C的角平分线;
(2)△4BC是等腰三角形.
【分析】(1)根据从可证Rt/XBEDgRtaCF。,根据全等三角形的性质可得OE=D凡再根据角平分
线的判定即可求解;
(2)根据全等三角形的性质可得/8=/C,根据等角对等边可得N8=4C.
【解答】证明:(1)..•。是3C的中点,
:.BD=CD,
DELAB,DFL4C,
MBED和ACFD都是直角三角形,
在Rt/XBED与RtACFD中,
(BE=CF
=CD'
:.RtAB£Z)^RtACFD(HL),
:.DE=DF,
:.AD是△NBC的角平分线;
(2)。;RtABED空RtACFD,
:./B=/C,
:.AB=AC,
:.^ABC是等腰三角形.
【点评】本题主要考查学生对角平分线的判定,全等三角形的判定与性质等知识点的灵活运用,关键是
证明RtABED出RtACFD.
10.已知:如图,在△/BC中,ZACB=9Q°,AC=BC,。是N8的中点,点E在NC上,点尸在8c上,
且/E=CF.
(1)指出与。尸的关系,并证明;
(2)若NC=2,连接E凡则斯的最小值为.
【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质知/Z=NB=45°,结合。是N8的中点知CDL48且4D=
BD=CD,继而得=结合/£=CF即可证得根据全等三角形的性质得出
=DF,/ADE=/CDF,即可解决问题;
(2根据垂线段最短得出当DEL/C,。尸,3c时,防值最小,根据矩形的性质和判定得出跖=。,
求出CD即可.
【解答】解:(1)DE=DFJ.DE±DF,理由如下:
如图,连接CD,
;N4CB=90°,。是48的中点,
:.CD=AD=BD,
:.ZDCB=ZB,
■:AC=BC,
/A=/B,
:./A=/DCB,
在△/£>£与△CDF中,
AE=CF,ZA=ZDCB,AD=CD,
:.AADE^ACDF(S/S),
:.DE=DF,/ADE=/CDF,
■:AC=BC,。是48的中点,
:.CD1AB,
:.ZADC=90°,即/ADE+/CZ)£=90°,
:.ZCDF+ZCDE=90°,即/£。尸=90°,
:.DE±DF;
(2)在△ABC中,ZACB=90°,AC=BC=2,
:.ZA=ZB=45°,AB=&AC=2近,
•.•点。是的中点,
:.CD1AB,ZDCB=45°,AD=BD=CD=V2,
HDE1AC,。尸J_8c时,DE、。下分别取最小值,
VZEDF=90°,
:.EF=y/DE2+DF2,此时的值最小,
.,•四边形CEZE是矩形,
:.EF=CD=V2,
尸的最小值为企,
故答案为:V2.
【点评】本题考查全等三角形的性质和判定,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,矩形的性质和
判定,垂线段最短等知识点.综合运用定理进行推理是解题的关键.
11.如图①所示,已知48是。。的直径,点C在半径CU上,点。,点尸是圆上的点,CD〃OF,点E是
半径08的中点,DE与0F交于点、G,连接8G,BF.
(1)如果连接0。,如图②所示;
①则//的度数为450;
②若NDOF=NDEC,CO=6,求线段OE的长;
0G
(2)若OB=BG,BE=CO,求点的值.
【分析】(1)①利用垂直的定义,平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可;
②设OO的半径为,,则。Z)=O5=r,利用勾股定理求得CZA利用相似三角形的判定与性质得到C炉
=CO-EC,从而得到关于r的方程,解方程即可得出结论;
(2)延长8G交DC于点K,连接O。,交BK于点、M,设GO=%,OE=x,贝UO3=G5=2x,OD=OB
=2x,利用三角形的中位线定理,平行线的性质,相似三角形的判定与性质得出比例式,进而得到m=
x,则结论可求.
【解答】解:(1)@':DCLAB,CD//OF,
:.OF1.AB,
:・/AOF=/BOF=9G°,
•:OB=OF,
:.ZF=ZOF=45
故答案为:45;
②设。O的半径为「,贝1」。。=。5=尸,
9:DC.LAB,
:.af+od=oif,
:.CD2=r-^=r-36.
•・,点E是半径05的中点,
.1
・・OE=2r.
1
:.EC=OC+OE=6+^r.
U:CD//OF,
:.ZCDO=ZDOFf
丁ZDOF=/DEC,
:.ZCDO=ZDEC.
':/DCO=/ECD,
:.XDCOsXECD,
.DCEC
••—,
COCD
9
:・CD=CO・EC.
oI
Ar-36=6(6+货),
.」=3土产(负数不合题意,舍去),
.3+3闻
2
1O£=13+3V33
Z4
(2)延长5G交OC于点K,连接8,交BK于点、M,如图,
AC0EB
设GO=m,OE=x,
•・,点E是半径08的中点,BE=CO,
.\BE=CO=OE=x,
OB—GB—2x,OD—OB—2x.
•:CD"OF,CO=OE,
・・・0G为的中位线,
;・CD=2OG=2m,
•:CD"OF,
:.ABOGsABCK,
.OGBGOB2x2
•*CK-BK-BC-3x-3’
3
:.CK=^m,BK=3x,
1
:・KG=x,DK=CD-CK=
9:CD//OF,
:.ADKMS^OGM,
1
DM_KM_DK22_i
OM~GM~OGm2
4
2-12
:.DM=|x,OM=3KM=余,MG=^x
2o
・•・BA/=5G+GA/=2x+
14
.KM/1OM/1
•*-o=—,-p——,
DM-x2BM-x2
33
.KM_OM
・'DM~BM'
ZKMD=ZOMB,
:.AKMDs^OMB,
.KD_KM
••OB~OM"
-1m-1x
・2____3_
••~~=4-,
2x\
3
・・1Tl=Xf
0Gm1
OF~2x~2
【点评】本题主要考查了圆的有关性质,圆周角定理,平行线的性质,相似三角形的判定与性质,线段
的中点的定义,三角形的中位线的性质,直角三角形的性质,等腰直角三角形的性质,熟练掌握平行线
的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键.
12.如图1,在等腰RtZ\N8C中,ZC=90°,AC=BC,是的角平分线.
(1)直接写出NNDC的大小;
(2)求证:AC+CD=AB;
(3)E在上,过点E作40垂线,垂足为点G,延长EG交NC的延长线于点冗
①如图2,若E是AD的中点,求证:BD=2CF;
②如图3,若E是2C的中点,直接写出三条线段BD,C户之间的数量关系.
图1
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得出/C43=45°,进而利用角平分线的定义和三角形内角和定理
解答即可;
(2)过。作DE'LAB于E',根据角平分线的性质和AAS证明△4CZ>与全等,进而利用全等
三角形的性质解答即可;
(3)①设/C=a,根据相似三角形的判定和性质得出比例解答即可;
②根据相似三角形的判定和性质得出比例,进而利用等腰直角三角形的性质解答即可.
【解答】(1)解:•.♦/C=90°,AC=BC,是八48。的角平分线,
:.ZCAB^45
:.ZCAD^ZDAB^22.5°,
二N/Z)C=90°-22.5°=67.5
(2)证明:过。作。£'于E',
图1
在△/CD与中,
(^CAD=4'40
\^ACD=^AE'D=90。,
{AD=AD
.•.△ACD/AAE'D(AAS),
:.CD=DE',AC=AE',
■:NDE'B=90°,Z5=45°,
△£>£'B为等腰直角三角形,
:.DE'=E'B,
•.ZD是△NBC的角平分线,ZC=90°,DELAB,
:.CD=DE',AC=4E',
:.CD+AC=E'B+AE'=AB;
(3)①证明:设ZC=a,
,,.AB=V2a,BC—a,
由(2)可知,AC+CD=AB,
a+CD=y[2a,
:.CD=(V2-1)a,
:.BD=(2-V2)a,
■:E为BD中点,
:.DE=^^a,
':AC±CE,AGLEF,
:.ZCAD=ZAEF,
且//。。=/£。尸=90°,
:.ZCFE=ZCDA,
:.△ACDs^ECF,
・ACEC
•.=,
CDCF
.aEC
*'(V2-l)a—CF,
:.EC=CD+DE=(V2-1)GH-----^—ci=,
V2
.a=Ta
"(V2-l)a-CF,
解得:CF=22夜.’
':BD=(2-V2)a,
:.BD=2CF;
②解:':CD=(V2-1)a,£为8c中点,CE吟
由①可知,△ACDs^ECF,
.CECA
••,
CFCD
a
oCL
即=~~p------,
CF(V2-l)a
解得:CF=&2I。,
:.CD=2CF,
':CD+BD=BC,
:.2CF+BD=BC,
「△A4c是等腰直角三角形,
:.AB=V2.BC,
:.y/2C2CF+BD)=AB,
即42,BD,CF之间的数量关系为48=&(2CF+BD).
【点评】此题是三角形综合题,考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质,等腰直角三
角形的性质,关键是构建全等三角形和相似三角形解答.
13.小明学习了垂径定理后,做了下面的探究,请根据题目要求帮小明完成探究.
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多新的发现.如图1,在。。中,C是油的中点,直线
于点E,则可以得到/请证明此结论.
图1图2图3
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,称为该圆的一条折弦.如图2,古希腊数学家阿基米
德发现,若均、依是。。的折弦,C是才&的中点,CD,我于点E.则/£=尸£+尸5.这就是著名的“阿
基米德折弦定理”.那么如何来证明这个结论呢?小明的证明思路是:在/E上截取/尸=尸3,连接C4、
CF、PC、BC…请你按照小明的思路完成证明过程.
(3)如图3,已知等边三角形/2C内接于。。,48=2,点。是衣上的一点,/ABD=45°,AE±BD
于点£,则△5DC的周长为.
【分析】(1)连接NC、BC,由祀=a,WAC=BC,由COL42于点E,可根据等腰三角形的“三线
合一”证明/£=8£;
(2)在/E上截取/尸=尸5,连接CF、PC、BC,由公=a,得/C=3C,而尸8C,即
可证明四△&(7,得CF=CP,由CDLPA于点E,可根据等腰三角形的“三线合一”证明FE=
PE,贝!J
(3)在4E1上截取3G=CD,连接AD,可证明△ZBG四得NG=/。,而/£_L8D于点E,所以
EG=ED,则BE=EG+BG=ED+CD,所以8D+CD=23£,再证明N/3Z)=45°,贝U/E=3£,
所以AB=7AE2+BE2=五BE=2,贝18E=即可求得△BOC的周长为2/+2,于是得到问题的答
案.
【解答】(1)证明:如图1,连接NC、BC,
图1
•.•福的中点,
.,.AC=BC,
:.AC=BC,
':CDLAB于点£,
:.AE=BE.
(2)证明:在4E•上截取/尸=尸8,连接C4、CF、PC、BC,则/E4C=NP2C,
•;C是彳&的中点,
:.AC=BC,
J.AC^BC,
在AE4c和△P2C中,
AC=BC
/.FAC=Z.PBC,
.AF=BP
:.LFAC咨APBC(S4S*),
:.CF=CP,
':CDLPA于点£,
:.FE=PE,
;.AE=FE+AF=PE+PB.
(3)解:如图3,在BE上截取5G=CD,连接ND则N/8G=//CD,
图3
:△NBC是等边三角形,48=2,
:.AB=AC=BC=2,
在△43G和△/CD中,
AB=AC
乙ABG=4ACD,
BG=CD
:.AABG^/\ACD(SAS),
:.AG=AD,
':AELBD于点E,
:.EG=ED,
:.BE=EG+BG=ED+CD,
:.BD+CD=BE+ED+CD^2BE,
VZAEB=90°,ZABD=45°,
:.ZBAE=ZABD=45°,
:.AE=BE,
;.4B=y/AE2+BE2=V2BE2=y/2BE=2,
:.BE=V2,
:.BD+CD+BC=2s/2+2,
:./\BDC的周长为2夜+2,
故答案为:2&+2.
【点评】此题重点考查圆的有关概念及性质、圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”、全等三角形的判
定与性质、勾股定理、三角形的周长等知识,此题综合性强,难度较大,正确地作出所需要的辅助线是
解题的关键.
14.综合与实践:
在综合与实践课上,老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动.
【问题发现】
(1)如图1,在正方形4BCD中,4B=BC=6,尸为2C边的中点,£为48边上一点,连接DE、DF,
分别将△4DE和△CD尸沿。£、。尸翻折,点/、C的对应点分别为点G、H,点G与点X重合,则/
EDF=°,AE=;
【类比探究】
(2)如图2,在矩形48CD中,AB
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