中考数学专项复习：中点模型巩固练习（基础）含答案及解析

中点模型巩固练习（基础）

一.选择题

1.如图所示，在△ZBC中，点。，E,F分别为BC,AD,CE的中点，且S&4BC=12cm2,则阴影部分的

面积为（）

A

BDC

A.3cmB.4cm2C.6cm2D.8cm2

2.如图，45是。。的弦，/C是。。的直径，已知/C=4,ZBAC=3Q°,连接BC,若。是的中点,

则OD的长是（）

0

LL3短3^3

A.V2B.V3C.——D.

22

3.如图，等边△48C中，点。是NC中点，DELBC于点E,若8c=8则BE长为（）

A

BEC

A.6B.5C.D.3

4.如图，在△/8C中，。是N8的中点，Z5=30°,Z5CD=15°,则N/C。的度数是（）

A

BC

A.20°B.25C.30°D.35°

二.填空题

5.在中，ZBAC=90°,AC=6,AB=8,。为8c中点，点E在NC边上，连接8E交/D于尸,

当EA=EF时，AE的长为.

6.如图，C是AS的中点，弦48=24,CDLAB,且。=8,则通所在圆的直径为.

7.如图，菱形中，ZA=60°,边N8=8,E为边DA的中点，P为边CD上的一点，连接尸£、PB,

当PE=EB时，线段PE的长为__________________.

DPC

仁

AB

8.如图，反比例函数（左#0,x>0）经过△/8O边的中点C,与边NO交于点。，且00=240,

连接OC,若△NOC的面积为不则左=______.

8

二

三.解答题

9.如图，在矩形48co中，P是48边上一点（不与4,2重合），且尸D=PC.求证：P是N5边中点.

ApB

10.如图，48是。O的直径，点C、。是。。上的点，MOD//BC,NC分别与8。、。£)相交于点£和尸.

(1)求证：点。为死的中点.

(2)若DF=4,AC=16,求。。半径.

11.如图，在△NBC中，48的垂直平分线所交2C于点£,交48于点尸，。为线段CE的中点，BE=

AC.

(1)求证：AD±BC；

(2)若N3/C=72°,则NC4D的度数为

12.如图，在△/BC中，/R4C=90,点。是/C的中点，以48为直径的。。交2C于点£请判断直线

DE与。。的位置关系，并说明理由.

13.如图，A,8是。。上的两点，ZAOB=120a,C是油的中点.

(1)求证：四边形。4cB为菱形；

(2)延长0/至点尸使得。4=4P,连结尸C,若。。的半径R=l,求尸C的长.

14.已知：如图，在四边形/BCD中，对角线NC、8。相交于点。，且幺。=3。，R、尸分别是/夙的

中点，EF分别交BD、4C于点G、H.求证：0G=0H.

D

F

H

BC

中点模型巩固练习(基础)

一.选择题

1.如图所示，在△ZBC中，点。，E,F分别为BC,AD,CE的中点，且S-BC=12。62,则阴影部分的

面积为()

【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答.

【解答】解：•.•点E是/。的中点，

.11

••S/\ABE=^S/\ABDfS^ACE=2s△4℃,

.11

••SAABE+S/\ACE=/\ABC-2x126(cm2),

.11

S/\BCE=2s△/BC=2X12=6(cm2),

•・,点/是CE的中点，

.11

・二S阴影=S/\BEF=2s△3C£=]X6=3(c2m).

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原

理为等底同高的三角形的面积相等.

2.如图，48是。。的弦，/C是。。的直径，已知/C=4,NA4c=30°,连接2C,若。是2c的中点,

则OD的长是()

0

LL3鱼.3心

A.V2B.V3C.-----D.

22

【分析】由直径所对的圆周角是直角得//3C=90°,根据含30。角的直角三角形的性质得力8=2百，

证明OD是a/BC的中位线，由三角形的中位线定理即可求解.

【解答】解：是。。的直径，

ZABC=90°,OA=OC,

•.,。是3c的中点，

：.BD=DC,

.,.OD是△4BC的中位线，

：.OD=^AB,

；N4BC=90°,/C=4,ZBAC^30°,

:.AB=2®

：.OD=V3,

故选：B.

【点评】本题考查圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线定理，证明。。为△/BC

的中位线是解题的关键，属于中考常考题型.

3.如图，等边△48C中，点。是NC中点，DE,5c于点E,若2C=8,则长为（）

A.6B.5C.4D.3

1

【分析】先构造直角△NMC,证明。£是的中位线，求出CE=WCM,再利用等边三角形的性质

1

求出CM=qBC=4后即可求解.

【解答】解：如图，过/点作于

BME

〈DE上BC,

C.DE//AM,

•・•点。是ZC中点，

：.DE是LAMC的中位线，

1

ACE*CM,

•・,等边△48。中，AMLBC,

1

ACM=2BC=4,

ACE=|CM=2,

：.BE=BC-CE=6,

故选：A.

【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形中位线的判定，线段的和差等知识，解题关键是构造直

角三角形.

4.如图，在△NBC中，。是N8的中点，Z5=30°,Z5C£>=15°,则/4CD的度数是（）

A

BC

A.20°B.25°C.30°D.35°

【分析】过点工作ZELBC于E,连接DE,根据直角三角形斜边上的中线得。£=AD=4D,由含30°

角的直角三角形的性质得/£=%B=DE=BD=AD,根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得

NCOE=15°=NBCD,则CEuDEn/E,可得//C2=45°,即可得NZCD的度数.

【解答】解：过点/作/EL5c于E,连接。E,

A

：.DE=^AB=BD=AD,

VZB=30°，

：.AE=5B

：.AE=DE=BD=AD,

：.ZDEB=ZB=30°,

VZDEB=ZBCD+ZCDE,ZBCD=1^°,

AZCZ)E=15°=/BCD,

:.CE=DE,

•：AE=DE,

:,CE=AE,

\9AE±BC,

・・・N4C5=45°,

：.ZACD=ZACB-ZBCD=45°-15°=30°.

故选：C.

【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及三

角形外角的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键.

二.填空题

5.在中，NA4C=90°,AC=6fAB=8f。为5c中点，点石在ZC边上，连接BE交4。于R

当用4=环时，4E的长为.

【分析】延长力。至“，使4D=DH,连接3”,利用"S证明△/OC也△〃£归,根据全等三角形的性质

得出4C=BH,NCAD=NH,结合等腰三角形的性质与判定推出5/=B〃=4c=6,根据勾股定理求解

即可.

【解答】解：延长4。至X,使4D=DH,连接8”,

H

・・•。为8C中点,

:・CD=BD,

CD=BD

在AADC和AHDB中，乙4DC=乙HDB,

AD=DH

・••△ADC/LHDBCSAS\

：.AC=BH,/CAD=/H,

•；EA=EF,

：.ZEAF=NAFE,

ZAFE=NBFH,

：.ZH=NBFH,

：.BF=BH=AC=6,

设AE=FE=x,贝！J5E=5/+FF=6+x,

在中，由勾股定理得：AE2+AB2=BE\4B=8,

即1+82=(6+x)2,

解得：x=g,

一7

即AE的长度为9

7

故答案为：—.

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键.

6.如图，。是防的中点，弦48=24,CD1AB,且CQ=8,则血所在圆的直径为.

【分析】构造直角三角形，运用垂径定理、勾股定理解答即可.

【解答】解：设才&所在圆的圆心为点。，。。的半径为八连接0D,04,

：CD_L/3,点C是油中点,

：.O,D,C三点共线，AD=BD=12,CD=8,

999

'：OA=OD+AD\

：.r=(r-8)2+122,

；.r=13,

二油所在圆的直径为26.

故答案为：26.

【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是定出圆心，构造直角三角形，应用勾股定理列出关于半

径的方程.

7.如图，菱形/BCD中，N/=60°,边48=8,E为边0N的中点，尸为边CD上的一点，连接尸£、尸3,

当PE=EB时，线段PE的长为.

【分析】由菱形的性质可得43=/。=8,且N/=60°,可证△/AD是等边三角形，利用等边三角形的

性质求出3E即可解答.

【解答】解：连接8。，

•••四边形/5CD是菱形，

.'.AB=AD=8,且N/=60°,

...△48。是等边三角形，且点E是/。的中点，

：.BE±AD,且N/=60°,

；.4E=4,BE=WAE=4同

:.PE=BE=4®

故答案为：4V3.

【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行

推理是本题的关键.

8.如图，反比例函数尸卷(20,x>0)经过△/8O边的中点C,与边NO交于点。，且00=240,

7

连接。C,若△NOC的面积为不则左=_________.

8

k3%

【分析】过。作。M_Lx轴于过/作/N_Lx轴于N,设。(%,根据。。=24。，可得4(―,

%2

3k13k3k.k.4x

丁)，又。是45的中点，故点。的纵坐标为二x丁=丁，可知点。的横坐标为次=二，从而点8的

2%22%4%辿3

4X

27713k7

横坐标为77x2-母=会根据△NOC的面积为三，OC是的中线，可列出；x~^x1=、，即

3zb8264%8

可解得答案.

【解答】解：过。作„工轴于过/作4VJ_x轴于N,如图：

设D(%,—),

x

・・3M_Lx轴,4V_Lx轴，

J.DM//AN,

：.△DOMsAAON,

•：OD=2AD,

：.OD：OA=2：3,

3x3k

•'•A(——,——)，

22x

・：C是AB的中点，

13k3k

点C的纵坐标为二x一=一,

22x4x

•••点C在反比例函数y=(图象上，

k4,x

点C的横坐标为”=―,

4%

4%Q7Y

/.点B的横坐标为三X2—岑r=今

7

「△/0C的面积为30c是△402的中线,

7

•••△BOC的面积为

17x3k7

•,*—z7x人———_,

264x8

解得k—2,

故答案为：2.

【点评】本题考查反比例函数的应用，涉及三角形面积，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐

标和相关线段的长度.

三.解答题

9.如图，在矩形48CD中，尸是48边上一点（不与4B重合），MPD=PC.求证：P是边中点.

【分析】由矩形的性质得4D=BC,ZA=ZB=90Q,而尸D=PC,即可根据“〃乙”证明RtZX/尸。丝Rt

△BPC,得以=PB,则尸是48边中点.

【解答】证明：•••四边形N3CD是矩形，

：.AD=BC,ZA=ZB=9Q°,

在RtAyiPZ)和RtA5PC中，

(PD=PC

=BC'

...RtZ\/PDgRtZk8PC(HL),

：.PA=PB,

是48边中点.

【点评】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明RtZ\APDgRtZ\2PC是解题

的关键.

10.如图，48是。O的直径，点C、。是。。上的点，MOD//BC,NC分别与8。、。£)相交于点£和尸.

(1)求证：点。为死的中点.

(2)若DF=4,AC=16,求。。半径.

【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角可得NC=90°,从而利用平行线的性质可得NOE4=/C=

90°,从而可得。NC,然后利用垂径定理即可解答：

(2)利用垂径定理可得/尸=夕。=8,然后在RtZUFO中，利用勾股定理进行计算即可解答.

【解答】(1)证明：：/台是。。的直径，

/.ZACB=90°,

,JOD//BC,

二/O物=NC=90°,

J.OFLAC,

：.AD=CD,

二点。为公的中点；

(2)解：-JOFLAC,

1

：.AF=^AC=8,

在RtZ\4FO中，/。'=4尸+加，

.\OA2=64+COD-DF)。

；.O/=64+(OA-4)2,

：.OA=10,

二。。的半径为10.

【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键.

11.如图，在△N8C中，的垂直平分线所交8c于点£,交N8于点R。为线段CE的中点，BE=

AC.

(1)求证：AD±BC；

(2)若NBAC=72°,则的度数为

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得出从而可得然后根据等腰三角形的三线

合一性质即可得证；

(2)根据等边对等角可得NB=NA4£,NC=NAEC,根据三角形外角的性质可得NC=N4EC=2N5,

然后根据三角形的内角和定理求解即可.

【解答】(1)证明：连接4E,

,：AB的垂直平分线EF交BC于点E,

：.AE=BE,

•:BE=AC,

：.AE=AC,

•・・。为线段CE的中点，

：.AD.LBC；

(2)解：・；AE=BE,

：./B=NBAE,

：.ZAEC=ZB+ZBAE=2ZB,

由(1)知，AE=AC,

：.ZC=NAEC=2/B,

VZBAC=72°,ZBAC+ZB+ZC=180°,

：.Z5=36°,ZC=72°,

*：ADLBC,

：.ZCAD=90°-ZC=18°.

故答案为：18。.

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的性质,

等腰三角形的三线合一、等边对等角的性质是解题的关键.

12.如图，在△NBC中，/8/C=90,点。是NC的中点，以48为直径的。。交8c于点E.请判断直线

与。。的位置关系，并说明理由.

【分析】连接。£、/区则NOEN=NCME,由43是。。的直径，得N4EB=N4EC=90°,而点。是

NC的中点，所以获C,则=所以/OED=/OEA+/DEA=/OAE+NDAE=

ZBAC=90°,即可证明直线DE与。。相切.

【解答】解：直线。E与。。相切，

理由：连接OK、AE,则。E=CM,

；.NOEA=NOAE,

是。。的直径，

:.NAEB=9Q°,

AZAEC=90°,

:点。是NC的中点，

；.ED=AD=^AC,

：.ZDEA=ZDAE,

：.ZOED=ZOEA+ZDEA=ZOAE+ZDAE=ZBAC=9Q°,

是。。的半径，DELOE,

直线DE是。。的切线，

二直线。E与。O相切.

【点评】此题重点考查圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知

识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

13.如图，A,8是。。上的两点，ZAOB=120°,C是油的中点.

(1)求证：四边形CMC8为菱形；

(2)延长。4至点P使得。/=/尸，连结尸C,若。。的半径R=l,求PC的