专项突破卷：立体几何中的折叠和探索性问题（原卷版）

专题突破卷17立体几何中的折叠和探索性问题

熊题生殖嵬

孱题剪各小击破

题型一：两个平面折叠后有关二面角的考察

1.已知菱形A3C。中，ZABC=60°,沿对角线AC折叠之后，使得平面平面D4C,

D.当

2.如图，将正方形ABCD沿对角线AC折叠后，平面3ACL平面D4C,则二面角B-CD-A

的余弦值为（）

D.叵

5

3.已知矩形ABC£＞中，AB=2,BC=1,折叠使点A,C重合，折痕为MN,打开平面ADAW,

TT

使二面角A-MN-C的大小为§，则直线MN与直线AC的距离为（）

A.BB.—C.1D.—

242

4.如图，已知梯形ABDC,AB=AC=BD=2.CD=4,沿着对角线AD折叠使得点8,

点C的距离为2夜，此时二面角3-AD-C的平面角为（）

5.在肋AABC中，C=90。,CA=#,CB=^/§',C。是斜边的高线，现将AC£＞沿C。折起，使

平面ACDL平面BC。，则折叠后A3的长度为（）

A.2B.6C.75D.3

6.人（1,必），3（-2,%）是直线＞=-3x上的两点，若沿无轴将坐标平面折成60。的二面角，则

折叠后A、8两点间的距离是（）

A.6B.2aC.3在D.岳

7.在矩形4BC。中，AD=3AB=3,/是A。边上一点，将矩形ABC。沿折叠，使平

面与平面3MDC互相垂直，则折叠后A,C两点之间距离的最小值是（）

1654LLL

A.――B.10-V10C.VlOD.V7

8.如图，在梯形AAAC中，AiB=BC=CA2=BB,=X,四边形上（?。4为矩形，点片为4G

的中点，沿B旦，CG折叠，使得点a与4重合于点A,如图2,则异面直线A4与BG所

AMR3A/10r710n3710

1020510

9.在平面直角坐标系中，已知A（-L4）,3（3,-6）,现沿无轴将坐标平面折成120。的二面角，

则折叠后A,5两点间的距离为（）

A.2#7B.2后C.8D.3而

10.如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC<,沿8。将矩形ABC。折叠，连接AC,所

得三棱锥A-BCD正视图和俯视图如图，则三棱锥A-BCD中AC长为（）

A.-B.GC.眄D.2

22

题型二：两个平面折叠后有关外接球的考察

11.某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，己

兀

知球的表面积为32羊，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠形

成，即面ADE,面面3EF都与面DFE垂直，如图②，则经过三个顶点A,B,C的

4c4兀-5兀_

A.iiB.—C.—D.2兀

33

12.如图，VA3C是边长为4的正三角形，。是8C的中点，沿将VABC折叠，形成三

棱锥A-BCD.当二面角B-AD-C为直二面角时，三棱锥A-BCD外接球的体积为（）

A.5TIB.20兀C.生医D.2。岛

63

13.在边长为2的菱形ABCD中，ZABC=120°,将△ABD沿着3D折叠，得到三棱锥

A-BCD,若AC=3,则该三棱锥的外接球的体积是（）

.4"［兀口22屈式小2801兀「201兀

A.----D.----------------C.------U.-----

327273

14.已知在VABC中，AC±BCfAC=2,ZB=30°,。是45的中点，沿着。。将△ACD

折起，使得点A折叠到点A的位置，则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面

积为（）

13兀c52兀

A.亍B.12兀C.16兀D.——

3

15.如图，一块边长为8的正方形铁片上有四块全等的阴影部分.将空白部分剪掉，对余下

阴影部分按下面工序加工成一个正四棱锥：将四块阴影部分分别沿虚线折叠，以其中等腰直

角三角形组成棱锥的底面，余下为棱锥的侧面.则所得正四棱锥的外接球表面积是（）

C625兀一625兀

A.16兀B.84兀D.------

,247

16.如图，VABC是边长为4的正三角形，。是3c的中点，沿AD将VABC折叠，形成三

棱锥A-BCD.当二面角B-AD-C为直二面角时，三棱锥A-3CD外接球的表面积为（）

AA

17.如图，在VABC中，AB=AC=C,BC=2e,。是棱8c的中点，以AD为折痕把AACD

折叠，使点C到达点C的位置，则当三棱锥C-ABD体积最大时，其外接球的表面积为（）

18.中国的折纸艺术历史悠久，一个同学在手工课时，取了一张长方形纸，长边为20,

短边为2,如图A、B、C、D分别为各边的中点，现沿着虚线折叠得到一个几何体，则该几

何体的外接球表面积是（）

A.5万B.4〃C.3TTD.—

2

19.在菱形A3C0中，AB=5,AC=6,AC与80的交点为G,点N分别在线段A0,

C£>±,S.AM=^MD,CN=；ND,将AACV。沿MN折叠到,使G£>'=2&，则

三棱锥Z）'-ABC的外接球的表面积为（）

A,空无c627-289

B.-----71C.-----71D.40兀

16168

题型三：两个平面折叠后有关立体图的表面积与体积

20.如图甲，在等腰直角三角形ABC中，ZA=90°,BC=6,瓦/分别为VABC两直角边

上的点，且。〃3C,△AEF沿直线环折叠，得到四棱锥A-3。跖，如图乙，则四棱锥

21.如图，等边三角形△ABC的边长为4,。，E,尸分别为AB,8C和AC的中点，将△BDE、

ACEF、AADF分别沿DE、防和止折起，使A、B、C三点重合，则折叠后的四面体

的体积为（）

22.如图，在六边形ABCDEF中，四边形3CEF是边长为2的正方形，和ACDE都

是正三角形，以即和CE为折痕，将六边形A3CDE/折起并连接场得到如图

所示的多面体A3FDCE,其中平面AB尸〃平面CDE,二面角A-3尸-。的余弦值为且，

3

则折叠后得到的多面体的体积为（）

23.如图所示，在边长为2的正方形纸片A3CD中，AC与3。相交于。，剪去VAOB,将

剩余部分沿OC,OD折叠，使。4,。8重合，则以A(B),C,D,。为顶点的四面体的

体积为()•

A.交B.逑C.2D.3

3333

24.将一张边长为12cm的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下

部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是

正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是

A.—46cm3B.—yj6cm3C.—42cm3D.-'Jlcnr'

3333

25.如图，正方形ABC。的边长为2,分别取边BC,CD的中点E,F,连接AE,EF,AF,

以AE,EF,AF,为折痕，折叠这个正方形，使8,C,。重合于一点P,得到一个三棱

锥尸一贝！()

A.平面尸EF_L平面RFB.二面角尸-EF-A的余弦值为:

1%

C.三棱锥P-AEF的体积为一D.三棱锥尸-AEP内切球的表面积为了

24

26.边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使得平面ACD，平面ABC,则关于四面

体ABCD,下列结论正确的是（）

A.BD=4y/2B.BD=4C.四面体ABCD的体积为了D.四面体

ABCD的体积竺叵

3

27.如图，正方形ABCD的边长为2,现将正方形沿其对角线AC进行折叠，使其成为一个

空间四边形，在空间四边形中，下列结论中正确的是（）

A.B,。两点间的距离［满足0<d<2应

B.异面直线AC,所成的角为定值

C.对应三棱锥O-ABC的体积的最大值为2夜

D.当且仅当AC=2班）时，二面角。—AC—3为60。

28.如图，在平面四边形48CD中，AACD和VABC是全等三角形，ZABC=90°,ZBAC=60°,

AB=2.下面有两种折叠方法将四边形ABC。折成三棱锥.折法①将AACD沿着AC折起,

形成三棱锥2-ABC,如图1；折法②：将△海沿着8。折起，形成三棱锥

如图2.下列说法正确的是（）

A.按照折法①，三棱锥的外接球表面积值为16%

B.按照折法①，存在2,满足ABLCQ

C.按照折法②，三棱锥A-BCD体积的最大值为G

D.按照折法②，存在4满足4CL平面4BD,且此时BC与平面A0。所成线面角的

正弦值为走

3

1.已知菱形ABCD中，对角线瓦＞=2,将△ABD沿着8。折叠，使得二面角A-BD-C为120°,

AC=3，则三棱锥A-3CD的外接球的表面积为.

2.长方形ABCD中，AB=4,AD^3,沿对角线AC把平面AC£＞折起，使平面A81平面

ABC,则折叠后/BCD的余弦值为.

2

3.如图，在VABC中，&8=47=2,/区4。=3'。是BC的中点，以AD为折痕把AACD折

叠，使点C到达点C的位置，则当平面平面A5D时，其外接球的体积为

Cf

A

4.已知边长为2的等边VABC中，。为5c的中点，以为折痕进行折叠，使折后的

TT

NBDC=g则过A,尻C,。四