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文档简介
专题突破卷17立体几何中的折叠和探索性问题
熊题生殖嵬
孱题剪各小击破
题型一:两个平面折叠后有关二面角的考察
1.已知菱形A3C。中,ZABC=60°,沿对角线AC折叠之后,使得平面平面D4C,
D.当
2.如图,将正方形ABCD沿对角线AC折叠后,平面3ACL平面D4C,则二面角B-CD-A
的余弦值为()
D.叵
5
3.已知矩形ABC£>中,AB=2,BC=1,折叠使点A,C重合,折痕为MN,打开平面ADAW,
TT
使二面角A-MN-C的大小为§,则直线MN与直线AC的距离为()
A.BB.—C.1D.—
242
4.如图,已知梯形ABDC,AB=AC=BD=2.CD=4,沿着对角线AD折叠使得点8,
点C的距离为2夜,此时二面角3-AD-C的平面角为()
5.在肋AABC中,C=90。,CA=#,CB=^/§',C。是斜边的高线,现将AC£>沿C。折起,使
平面ACDL平面BC。,则折叠后A3的长度为()
A.2B.6C.75D.3
6.人(1,必),3(-2,%)是直线>=-3x上的两点,若沿无轴将坐标平面折成60。的二面角,则
折叠后A、8两点间的距离是()
A.6B.2aC.3在D.岳
7.在矩形4BC。中,AD=3AB=3,/是A。边上一点,将矩形ABC。沿折叠,使平
面与平面3MDC互相垂直,则折叠后A,C两点之间距离的最小值是()
1654LLL
A.――B.10-V10C.VlOD.V7
8.如图,在梯形AAAC中,AiB=BC=CA2=BB,=X,四边形上(?。4为矩形,点片为4G
的中点,沿B旦,CG折叠,使得点a与4重合于点A,如图2,则异面直线A4与BG所
AMR3A/10r710n3710
1020510
9.在平面直角坐标系中,已知A(-L4),3(3,-6),现沿无轴将坐标平面折成120。的二面角,
则折叠后A,5两点间的距离为()
A.2#7B.2后C.8D.3而
10.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC<,沿8。将矩形ABC。折叠,连接AC,所
得三棱锥A-BCD正视图和俯视图如图,则三棱锥A-BCD中AC长为()
A.-B.GC.眄D.2
22
题型二:两个平面折叠后有关外接球的考察
11.某地举办数学建模大赛,本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成,如图①,己
兀
知球的表面积为32羊,托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠形
成,即面ADE,面面3EF都与面DFE垂直,如图②,则经过三个顶点A,B,C的
4c4兀-5兀_
A.iiB.—C.—D.2兀
33
12.如图,VA3C是边长为4的正三角形,。是8C的中点,沿将VABC折叠,形成三
棱锥A-BCD.当二面角B-AD-C为直二面角时,三棱锥A-BCD外接球的体积为()
A.5TIB.20兀C.生医D.2。岛
63
13.在边长为2的菱形ABCD中,ZABC=120°,将△ABD沿着3D折叠,得到三棱锥
A-BCD,若AC=3,则该三棱锥的外接球的体积是()
.4"[兀口22屈式小2801兀「201兀
A.----D.----------------C.------U.-----
327273
14.已知在VABC中,AC±BCfAC=2,ZB=30°,。是45的中点,沿着。。将△ACD
折起,使得点A折叠到点A的位置,则当三棱锥的体积最大时,其外接球的表面
积为()
13兀c52兀
A.亍B.12兀C.16兀D.——
3
15.如图,一块边长为8的正方形铁片上有四块全等的阴影部分.将空白部分剪掉,对余下
阴影部分按下面工序加工成一个正四棱锥:将四块阴影部分分别沿虚线折叠,以其中等腰直
角三角形组成棱锥的底面,余下为棱锥的侧面.则所得正四棱锥的外接球表面积是()
C625兀一625兀
A.16兀B.84兀D.------
,247
16.如图,VABC是边长为4的正三角形,。是3c的中点,沿AD将VABC折叠,形成三
棱锥A-BCD.当二面角B-AD-C为直二面角时,三棱锥A-3CD外接球的表面积为()
AA
17.如图,在VABC中,AB=AC=C,BC=2e,。是棱8c的中点,以AD为折痕把AACD
折叠,使点C到达点C的位置,则当三棱锥C-ABD体积最大时,其外接球的表面积为()
18.中国的折纸艺术历史悠久,一个同学在手工课时,取了一张长方形纸,长边为20,
短边为2,如图A、B、C、D分别为各边的中点,现沿着虚线折叠得到一个几何体,则该几
何体的外接球表面积是()
A.5万B.4〃C.3TTD.—
2
19.在菱形A3C0中,AB=5,AC=6,AC与80的交点为G,点N分别在线段A0,
C£>±,S.AM=^MD,CN=;ND,将AACV。沿MN折叠到,使G£>'=2&,则
三棱锥Z)'-ABC的外接球的表面积为()
A,空无c627-289
B.-----71C.-----71D.40兀
16168
题型三:两个平面折叠后有关立体图的表面积与体积
20.如图甲,在等腰直角三角形ABC中,ZA=90°,BC=6,瓦/分别为VABC两直角边
上的点,且。〃3C,△AEF沿直线环折叠,得到四棱锥A-3。跖,如图乙,则四棱锥
21.如图,等边三角形△ABC的边长为4,。,E,尸分别为AB,8C和AC的中点,将△BDE、
ACEF、AADF分别沿DE、防和止折起,使A、B、C三点重合,则折叠后的四面体
的体积为()
22.如图,在六边形ABCDEF中,四边形3CEF是边长为2的正方形,和ACDE都
是正三角形,以即和CE为折痕,将六边形A3CDE/折起并连接场得到如图
所示的多面体A3FDCE,其中平面AB尸〃平面CDE,二面角A-3尸-。的余弦值为且,
3
则折叠后得到的多面体的体积为()
23.如图所示,在边长为2的正方形纸片A3CD中,AC与3。相交于。,剪去VAOB,将
剩余部分沿OC,OD折叠,使。4,。8重合,则以A(B),C,D,。为顶点的四面体的
体积为()•
A.交B.逑C.2D.3
3333
24.将一张边长为12cm的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形,将余下
部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型,如图(2)放置,如果正四棱锥的主视图是
正三角形,如图(3)所示,则正四棱锥的体积是
A.—46cm3B.—yj6cm3C.—42cm3D.-'Jlcnr'
3333
25.如图,正方形ABC。的边长为2,分别取边BC,CD的中点E,F,连接AE,EF,AF,
以AE,EF,AF,为折痕,折叠这个正方形,使8,C,。重合于一点P,得到一个三棱
锥尸一贝!()
A.平面尸EF_L平面RFB.二面角尸-EF-A的余弦值为:
1%
C.三棱锥P-AEF的体积为一D.三棱锥尸-AEP内切球的表面积为了
24
26.边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折叠,使得平面ACD,平面ABC,则关于四面
体ABCD,下列结论正确的是()
A.BD=4y/2B.BD=4C.四面体ABCD的体积为了D.四面体
ABCD的体积竺叵
3
27.如图,正方形ABCD的边长为2,现将正方形沿其对角线AC进行折叠,使其成为一个
空间四边形,在空间四边形中,下列结论中正确的是()
A.B,。两点间的距离[满足0<d<2应
B.异面直线AC,所成的角为定值
C.对应三棱锥O-ABC的体积的最大值为2夜
D.当且仅当AC=2班)时,二面角。—AC—3为60。
28.如图,在平面四边形48CD中,AACD和VABC是全等三角形,ZABC=90°,ZBAC=60°,
AB=2.下面有两种折叠方法将四边形ABC。折成三棱锥.折法①将AACD沿着AC折起,
形成三棱锥2-ABC,如图1;折法②:将△海沿着8。折起,形成三棱锥
如图2.下列说法正确的是()
A.按照折法①,三棱锥的外接球表面积值为16%
B.按照折法①,存在2,满足ABLCQ
C.按照折法②,三棱锥A-BCD体积的最大值为G
D.按照折法②,存在4满足4CL平面4BD,且此时BC与平面A0。所成线面角的
正弦值为走
3
1.已知菱形ABCD中,对角线瓦>=2,将△ABD沿着8。折叠,使得二面角A-BD-C为120°,
AC=3,则三棱锥A-3CD的外接球的表面积为.
2.长方形ABCD中,AB=4,AD^3,沿对角线AC把平面AC£>折起,使平面A81平面
ABC,则折叠后/BCD的余弦值为.
2
3.如图,在VABC中,&8=47=2,/区4。=3'。是BC的中点,以AD为折痕把AACD折
叠,使点C到达点C的位置,则当平面平面A5D时,其外接球的体积为
Cf
A
4.已知边长为2的等边VABC中,。为5c的中点,以为折痕进行折叠,使折后的
TT
NBDC=g则过A,尻C,。四
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