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文档简介
机密★启用前
2024~2025学年度(上)教学质量监测试题
八年级数学
(全卷共三个大题,满分150分,考试时间120分钟)
注意事项:
1.试题的答案书写在答题卡上,不得在试题卷上直接作答;
2.作答前认真阅读答题卡的注意事项;
3.作图(包括作辅助线)请一律用累售25铅笔完成,
一、选择题:(本大题10个小题,每小题4分,共40分)在每个小题的下面,都给出了代号
为A、5、C、。的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧正确答案所对
应的方框涂黑.
24
1.计算a结果正确的是()
A.a2B.a6C.asD.2a2
2.小彬想了解合肥五月份每天的气温变化情况,最适合选用的统计图表是()
A.条形统计图B.扇形统计图C.折线统计图D.统计表
3.如图,点8、C、D同一直线上,若△ABC四△DEC,AC=3,BD=10,则CE等于()
A.3B.7C.10D.13
4.下列各组数分别为一个三角形三边的长,其中能构成直角三角形的一组是()
A.2,4,5B.4,6,9C.7,9,10D.9,12,15
5.估计2的值应在()
A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间
6.如图,在中,ZC=90°,BD平分NABC,若AC=10,AD=7,则点。到AB距离
为()
C
D.
A.6B.5C.4D.3
7.若M=x2+V+6x—2y+2024,则M的最小值是()
A.2014B.2016C.2018D.2020
8.下列命题中为真命题的是()
A.27的立方根是一3B,有理数与数轴上的点一一对应
C.面积相等的两个三角形一定全等D.若a+Z?=0,则"=/
9.如图,在等腰直角△ABQ中,?ABD90?,BE±AC,AE=2BE.若NBAE=a,则NBDE
的度数为()
A.aB.«-15°C.45°—ccD.90°—2tz
10.有依次排列的2个整式:a+b,a-b,用这两个整式的和除以2,得到的结果放在这两个整式之
间,可以产生第1个整式串:a+b,a,a-b,称为第1次操作;将第1个整式串中任意相邻的两个整
式按上述方式进行第2次操作,可以得到第2个整式串.以此类推,下列说法:
bb
①第2个整式串:a+b,a-\—,a,ci,ci—b;
22
40
②第4个整式串中,从左往右第2个整式乘以从右往左第2个整式的积为/一一〃;
64
③第2024个整式串中,所有整式的和为02°24+1)。.
其中正确的个数是()
A.0B.1C.2D.3
二、填空题:(本大题8个小题,每小题4分,共32分)请将每小题的答案直接填在答题卡
中对应的横线上.
11.64的算术平方根是.
12.已知aZ?=2,2a-b=-3,则代数式2a?匕的值为.
13.梁启超先生曾说:“少年强则国强,少年智则国智,少年富则国富”,在划线部分这句话中,“国”字出现
的频率是.
14.若一个多项式M与单项式2必的积是10/—8V,则这个多项式四是.
15.已知等腰三角形的一个内角是100。,则这个等腰三角形的底角的度数为;
16.如图,已知正方形ABCD与正方形CEFG的面积之差为36,则阴影部分面积为.
17.如图,四边形ABCD中,AB=AC,BFJ.AC交AC于点、E,ADLCD,ZABE=ZACD.若
BF=n,CD=8,则CE的长为.
18.一个各个数位上数字互不相等且均不为0的四位正整数〃=。儿力(其中b,c,d<9,且
a,b,c,d为正整数),若满足a+6+c+d=18,则称该数为“恒常数”,规定/(〃)=£■.例
1827
如:四位正整数1827,:1+8+2+7=18,,1827是“恒常数”,*1827)=—^—=203.如果
航=旃是一个“恒常数”,且。+1=》,b+l^c,c+l=d,则尸(M)为.若
M=a"cd是一个“恒常数",令P(M)=/(1)+。,Q^M)=a+b-c-d,其中c<d,当。(M)
取最大值且P(M)为整数时,M的值为.
三、解答题:(本大题8个小题,第19题8分,其余每题各10分,共78分)解答时每小题
必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写
在答题卡中对应的位置上.
19.(1)分解因式:3a3—12a;
(2)化简:2(x+l)2—(2x+3)(2x—3).
20.“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”,劳动是一切成功的必经之路,也是培养栋
梁之才的必需方式.某中学为了解该校学生一周课外活动和家庭生活中的劳动时间,随机抽取部分学生调
查了他们一周课外活动和家庭生活中的劳动时间,用x表示时间(单位:小时),共分成四组:A:
0Wx<3,B:3<x<4,C:4<%<5,D:x>5,将数据进行整理并制成如下统计图.
请根据图中提供的信息、,解答下列问题:
学生一周课外活动和家庭学生一周课外活动和家庭
生活劳动时间条形统计图生活劳动时间扇形统计图
名学生,补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数);
(2)扇形统计图中C部分对应的圆心角为___________度.
(3)若该中学共有800名学生,请估计该校学生一周课外活动和家庭生活中的劳动时间不少于3小时的人
数.
21.如图,AD//BC,
(1)尺规作图:作NA5C的平分线交AD于点E,交AC于点(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)所作图形中,若点尸恰为线段AC的中点,求证:VA3C是等腰三角形.请补全下面的证
明过程.
证明:•••3E是—ABC的平分线,
.•.①
•••AD//BC,
ZAEF=ZCBF.
.'.AB^AE.
•.,/为AC的中点,
:.AF=CF.
在△AEF和VCBF中,
ZAEF=ZCBF
<NAFE=NCFB,
AF=CF
.•.△AEF学△CBF(AAS).
.•.③
AB=CB.
」.△ABC是等腰三角形.
由此发现一个结论,请完成下列命题:如果一个三角形的一个内角的平分线又是其对边的中线,那么这个
三角形是④.
22.在实数范围内定义运算:“※”:。※人=2(a—bp—3,例如:3X2=2x(3—2)2—3=—1.
⑴若a=5,b=-3,计算a?的立方根;
(2)若2Xx=15,求x的值.
23.放风筝是清明节的节日习俗,寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞,此外,放风筝还是一项娱乐性运
动,无论是与家人还是朋友一起放风筝,都能增进彼此之间的关系.某校八年级几名同学在学习了“勾股
定理”之后,想用此定理来测量风筝的垂直高度.如图,牵线放风筝的同学站在A处,风筝在E处,先测
得他抓线的地方与地面的距离A3为L5米,然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离5c为15米,最后
根据手中剩余线的长度计算出风筝线BF的长为17米.
(1)求此时风筝的垂直高度所的长;
(2)若放风筝的同学站在点A不动,风筝沿跖的方向继续上升到。处,风筝线又放出了8米,请求出
风筝沿所方向上升的高度FD的长.
24.某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后,构造了以下图形验证乘法公式.请你利用数形结合
的思想,通过等积法解决以下数学问题.从边长为。的正方形中减掉一个边长为方的正方形(如图1),然
后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).
(1)比较两图中阴影部分面积,可以验证的等式是;(请选择正确的选项)
A.cT—2ab+b2=(«—/?)B.a2—b2=(a+/?)(a—
(2)若4——9/=20,2x-3y=4,求2x+3y值;
(3)计算:(2+l)(22+1)(24+1)(28+l)---(21024+1)+1.
25.如图,在VABC中,ZC=90°,AC=16cm,30=12511,点尸和点。分别是VABC边上的两
动点,点P从点A开始沿AfC方向运动,速度为每秒1cm,到达C点后停止;点。从点C开始沿
Cf3fA的方向运动,速度为每秒2cm,到达A点后停止,它们同时出发,设运动时间为f秒.
(1)当/=4秒时,求△PCQ的面积;
(2)当/为何值时,点尸恰好在边AB的垂直平分线上;
(3)当点。在A6边上运动时,直接写出△BCQ为等腰三角形时/的值.
26.在等边VA3C中,点。为3c边上一点,连接AD.
E
(1)如图1,若AB=4,CD=1,求AD的长;
(2)如图2,AD=AE,ZDAE=120°,连接跖交AC于点E,求证:CD=2AF;
(3)如图3,若AB=2,点。为3C边的中点,点〃为线段AD上一动点,点N为AB边上一动点,直
接写出+ACV的最小值.
参考答案
一、选择题:(本大题10个小题,每小题4分,共40分)在每个小题的下面,都给出了代号
为4、5、C、。的四个答案,其中只有一个是正确的,请将答题卡上题号右侧正确答案所对
应的方框涂黑.
24
1.计算a-«结果正确的是()
26&2
A.aB.aC.aD.2a
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数累的乘法法则:同底数辕相乘,底数不变,指数相加.根据同底数哥的乘
法法则计算即可.
【详解】解:a2-a4=a2+4=a6.
故选:B.
2.小彬想了解合肥五月份每天的气温变化情况,最适合选用的统计图表是()
A.条形统计图B.扇形统计图C.折线统计图D.统计表
【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断即可.
【详解】根据统计图的特点,想了解合肥五月份每天的气温变化情况,最适合使用的统计图是折线统计
图.
故选:C.
【点睛】此题主要考查了统计图的选择。根据统计图的特点进行分析可得:扇形统计图表示的是部分在总
体中所占的百分比,但一般不能直接从图中得到具体的数据;折线统计图表示的是事物的变化情况;条形
统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目.
3.如图,点8、C、。在同一直线上,若Z\ABC沿八DEC,AC=3,BD=10,则CE等于()
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和线段和差,根据全等三角形的性质得出6C=EC,
AC=8=3,再由线段和差即可求解,熟练掌握知识点的应用是解题的关键.
【详解】AABC^ADEC,
ABC=EC,AC=CD=3,
,:BD=10,
:.BC=BD-CD=10-3=7,
:.CE=BC=1.
故选:B.
4.下列各组数分别为一个三角形三边的长,其中能构成直角三角形的一组是()
A.2,4,5B.4,6,9C.7,9,10D.9,12,15
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理.在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确
定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断.
【详解】解:A、22+42/5?,2,4,5不能构成直角三角形,故本选项不符合题意;
B、42+62^92.4,6,9不能构成直角三角形,故本选项不符合题意;
C、72+92^102-7,9,10不能构成直角三角形,故本选项不符合题意;
D、92+122=152-9,12,15能构成直角三角形,故本选项符合题意.
故选:D.
5.估计2值应在()
A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间
【答案】B
【解析】
【详解】解::屈<g(后,A4<A/17<5..,.4-2<717-2<5-2./.2<A/17-2<3.
6.如图,在Rt/VIBC中,ZC=90°,BD平分NABC,若AC=10,AD=7,则点。到AB的距离
为()
A.6B.5C.4D.3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质,点到直线的距离.作。A3于E,根据AC与AD得到CD的
长,由3D平分/ABC,根据角平分线的性到3即可得到答案.
【详解】解:如图,作。石工AB于E,
:.CD=AC-AD=10-7=3,
QBD平分/ABC,
而NC=90°,
/.DE=DC=3,
二点。到AB的距离是3.
故选:D.
7.若"=/+/+6%一2丁+2024,则M的最小值是()
A.2014B.2016C.2018D.2020
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用等知识,利用完全平方公式将河转化为
(x+3)2+(y—+2014,再根据(x+3『>0,(y-l)2>0即可得到M的最小值是2014.
【详解】解:Af=x2+/+6x-2y+2024
=x?+6x+9+/-2y+1+2014
=(x+3『+(y-1)?+2014,
V(%+3)2>0,(J-1)2>0,
:.M最小值是2014.
故选:A.
8.下列命题中为真命题的是()
A.27的立方根是-3B.有理数与数轴上的点一一对应
C.面积相等的两个三角形一定全等D.若。+》=0,则/=〃
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了命题与定理的知识.利用立方根的定义、实数的性质、全等三角形的判定方法等
知识分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】解:A、27的立方根是3,故原命题错误,是假命题,不符合题意;
B、实数与数轴上的点一一对应,故原命题错误,是假命题,不符合题意;
C、面积相等的两个三角形不一定全等,故原命题错误,是假命题,不符合题意;
D、若a+Z?=0,则标=从,正确,是真命题,符合题意.
故选:D.
9.如图,在等腰直角中,?ABD90?,BE±AC,AE=2BE.若NB4E=a,则NBDE
的度数为()
A
A.aB.a—15°C.45°—。D.90°-2(z
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定等知识,解题的关键是正确
作出辅助线.
如图所示,取AE的中点/,根据题意得到4歹=5石=石尸,然后求出==然后证明
出△A5FgAJBDE(SAS),得到NBDE=NABF,进而求解即可.
【详解】如图所示,取AE的中点F
A
k
BCD
/.AE=2AF=2EF
,:AE=2BE
:.AF=BE=EF
,:在等腰直角△ABD中,?ABD90?,
AB=BD
•/ZBAF+ZABE=ZDBE+ZABE=90°
:.ZBAF=ZDBE=a
:.△ABF均BDE(SAS)
/.ZBDE=ZABF
,:BE=EF,ZBEF=90°
/.Z£BF=45°
ZBDE=ZABF=ZABC-NEBF-ZDBE=90°-45°-a=45°-a.
故选:c.
10.有依次排列的2个整式:a+b,a-b,用这两个整式的和除以2,得到的结果放在这两个整式之
间,可以产生第1个整式串:a+b,a,a-b,称为第1次操作;将第1个整式串中任意相邻的两个整
式按上述方式进行第2次操作,可以得到第2个整式串.以此类推,下列说法:
bb
①第2个整式串为:a+b,aH—,a,a—,a—b;
22
40
②第4个整式串中,从左往右第2个整式乘以从右往左第2个整式的积为«2--b2;
64
③第2024个整式串中,所有整式的和为Q2°24+l)a.
其中正确的个数是()
A.OB.1C.2D.3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减运算法则,平方差公式.根据整式的加减运算法则,平方差公式进行计算即
可解答.
【详解】解:第1个整式串:a+b,aa-b,所有整式的和为3〃=(2i+l)。;
第2个整式串:a+b,a+—,a,a--,a-b,所有整式的和为5。=(2?+l)a;
3bbbb3,
第3个整式串:a+b,ciH—b,ciH—,ciH—,a,a—,a—,a—b,a—b,所有整式的和
424424
为9a=伍+l)a;
L,a-^b,a-b,所有整式的和为17a=(24+l)a;
第4个整式串:a+b,a+-b,
8
...①说法正确;
②由题意得fa+a--b\=a2——Z?2,②的说法正确;
③由题意得,第2024个整式串中,所有整式的和为③的说法正确;
综上,①②③的说法都正确;
故选:D.
二、填空题:(本大题8个小题,每小题4分,共32分)请将每小题的答案直接填在答题卡
中对应的横线上.
11.64的算术平方根是.
【答案】8
【解析】
【分析】直接根据算术平方根的定义即可求出结果.
【详解】解::82=64,
.•.庖=8.即64的算术平方根是8.
故答案为:8.
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义,解题的关键是算术平方根必须是正数,注意平方根和算术平方
根的区别.
12.已知就=2,2a-b=-3,则代数式2a2匕—a/的值为.
【答案】-6
【解析】
【分析】提取公因式,再整体代入即可求解.
【详解】解:2a2b-ab2=ab(2a-b),
*.*ab=2,2a~b=~3,
・••原式=2x(-3)=-6,
故答案为:-6.
【点睛】本题考查了因式分解的应用,掌握因式分解的各种方法以及整体思想是解题的关键.
13.梁启超先生曾说:“少年强则国强,少年智则国智,少年富则国富”,在划线部分这句话中,“国”字出现
的频率是.
【答案】7
6
【解析】
【分析】先计算划线部分字的总数,再数“国”字个数,根据频率=频数除以总数的定义即可得.
【详解】解::在“少年强则国强,少年智则国智,少年富则国富”这18个字中,“国”字有3个,
31
“国”字出现频率是一=—;
186
故答案为:—.
6
【点睛】本题主要考查频数与频率,频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比),即频
率=频数+数据总数.
14.若一个多项式M与单项式2必的积是10%4—8丁,则这个多项式/是.
【答案】5x2—4/
【解析】
【分析】本题考查了多项式除以单项式,根据多项式M与单项式2炉的积是10/—8V,
A1-2X2=10X4-8?1把等式的两边同时除以2/可得多项式
【详解】解:..•多项式M与单项式2炉的积是10/一8%5,
.•.Mb=10/—8/,
.•.M=00x4—8x5)*,
故答案为:5x2-4x3•
15.已知等腰三角形的一个内角是100。,则这个等腰三角形的底角的度数为;
【答案】40°##40度
【解析】
【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用.题中没有指明已知的角是顶角
还是底角,故应该分情况进行分析,从而求解.
【详解】解:①当这个角是顶角时,底角=(180°—100°)+2=40°;
②当这个角是底角时,另一个底角为100°,因为100。+100。=200。,不符合三角形内角和定理,所以舍
去.
故答案为40。.
16.如图,已知正方形A3CD与正方形CEFG的面积之差为36,则阴影部分面积为.
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查平方差公式的几何背景.设正方形A3CD的边长为。,正方形CEFG的边长为6,由题
意得〃=36,DG=a-b,再根据S阴影部分=S.B»G+S“EDG得至US阴影部分即可.
【详解】解:设正方形A3CD的边长为。,正方形CEFG的边长为6,则储—尸=36,DG=a-b,
所以S阴影部分=SODG+S4EDG
=-DG*BC+-DG»CE
22
1(a—Z?)+;b(a—b)
二——Cl
2
=^a+b)(a-b)
三…)
=18.
故答案为:18.
17.如图,四边形ABCD中,AB=AC,BF/AC交AC于点E,ADLCD,ZABE=ZACD.若
BF=11,CD=8,则CE的长为.
【答案】4
【解析】
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质,直角三角形的性质.连接AF,证明
△ABE之A4CD(AAS)得AE=A£>,BE=CD=8,则石下=5尸—5石=3,再证明
11S相户名及人4£)「(印)得石尸=上=3,则CF=5,然后在Rt^CEb中,由勾股定理即可求出
CE的长.
【详解】解:连接AF,如图所示:
A
D
/
BC
•/BF1AC,ADYCD,
ZAEB=ZD=90°,
,:AB=AC,
:.AABE^AACD(AAS),
AE=AD,BE=CD=8,
:.EF=BF-BE=U-S=3,
•:BF1AC,ADLCD,
:.ZAEF=ZD=90°,
AF=AF,
:.RtAAEF=RtAADF(HL),
EF=DF=3,
CF=CD-DF=8-3=5,
在RtZkCEb中,EF=3,CF=5,
由勾股定理得:CE=y/CF2-EF2=4-
故答案为:4.
18.一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位正整数加=时(其中IV。,b,c,d<9,且
a,b,c,d为正整数),若满足a+b+c+d=18,则称该数为“恒常数”,规定F(河)=5.例
1827
如:四位正整数1827,•.•1+8+2+7=18,,1827是“恒常数”,*1827)=—§—=203.如果
〃=嬴7是一个“恒常数”,且。+1=入b+l^c,c+l=d,贝Ib(加)为.若
M=abed是一个"恒常数",令P(M)=F(M]+d,Q(M)=a+b-c-d,其中。<“,当。(M)
取最大值且P(M)为整数时,M的值为.
【答案】①.384②.6912
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算、整式的加减的应用.由题意得到b=a+l,c=b+l=a+2,
d=c+l=a+3,结合a+b+c+d=18,求得。,b,c,[的值,再计算即可得解;由
Q(M)=a+b-c-d,当。(M)取最大值时,a+b最大,c,d尽可能小,推出c=l,d=2,
a+b=15,再分类求解即可.
【详解】解:甚不为“恒常数”,a+b+c+d=lS,
又C=Z?+1=Q+2,d=c+l=a+3,
••a+a+l+a+2+a+3=18,
解得a=3,
:・Z?=4,c=5,d=6,
AM-3456,
/.E(M)=*3456)=^^=384;
:Q+Z?+c+d=18且〃,b,c,d为正整数,14a,b,c,d<9,
又Q(A7)=Q+Z?—c—d,
当。(M)取最大值时,a+6最大,c,d尽可能小,
又,:c<d,
「・c=1,d=2,
a+Z?=18—1—2=15,
/(")=尸(9612)=竺匕=1068,P(M)=l068+2不是整数,舍去;
①当〃=9,则人=6时,
97
*")=/(8712)=罕=968,。(河)=电出不是整数,舍去;
②当。=8,则方=7时,
97
产(苗)=尸(7812)=竺匕=868,不是整数,舍去;
③当a=7,则b=8时,
97
④当。=6,则Z?=9时,F(M)=F(6912)=-^^=768,尸(航)=出土2=110是整数,符合题
97
思;
・•・”的值为6912;
故答案为:384;6912.
三、解答题:(本大题8个小题,第19题8分,其余每题各10分,共78分)解答时每小题
必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写
在答题卡中对应的位置上.
19.(1)分解因式:34—12a;
(2)化简:2(x+l『—(2x+3)(2x—3).
【答案】⑴3a(a+2)(a-2);(2)-2x2+4x+11
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式,平方差公式,因式分解.
(1)先提公因式3a,再利用平方差公式进行因式分解即可;
(2)根据完全平方公式以及平方差公式进行计算即可.
【详解】解:⑴3a3—12a
=3a(4-4)
=3a(a+2)(a-2);
(2)2(X+1)2-(2X+3)(2%-3)
=2x2+4x+2-4x2+9
=-2X2+4X+11.
20.“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”,劳动是一切成功的必经之路,也是培养栋
梁之才的必需方式.某中学为了解该校学生一周课外活动和家庭生活中的劳动时间,随机抽取部分学生调
查了他们一周课外活动和家庭生活中的劳动时间,用x表示时间(单位:小时),共分成四组:A:
0<x<3,B:3<x<4,C:4<x<5,D:x>5,将数据进行整理并制成如下统计图.
请根据图中提供的信息,解答下列问题:
学生一周课外活动和家庭学生一周课外活动和家庭
生活劳动时间条形统计图生活劳动时间扇形统计图
(1)此次调查一共随机抽取了名学生,补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数);
(2)扇形统计图中C部分对应的圆心角为度.
(3)若该中学共有800名学生,请估计该校学生一周课外活动和家庭生活中的劳动时间不少于3小时的人
数.
【答案】(1)50;图见解析
(2)108(3)估计该校学生一周课外活动和家庭生活中的劳动时间不少于3小时的人数为720名.
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图的综合运用,样本估计总体,读懂统计图,从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.
(1)用3部分人数除以其人数占比求出此次调查随机抽取的总人数,再求出。组的人数即可补全条形统
计图;
(2)用360°乘C部分所占的比例即可求解;
(3)用800乘以劳动时间不少于3小时的人数的占比即可求解.
【小问1详解】
解:20+40%=50(名),
•♦・此次调查一共随机抽取了50名学生,
D组的人数为:50-5-20-15=10,
补全条形统计图:
学生一周课外活动和家庭
生活劳动时间条形统计图
【小问2详解】
解:扇形统计图中C部分对应的圆心角为:360°xl|=108°,
故答案为:108;
【小问3详解】
解:800x弋「720(名),
答:估计该校学生一周课外活动和家庭生活中的劳动时间不少于3小时的人数为720名.
21.如图,AD//BC,
(1)尺规作图:作NA5C的平分线交AD于点E,交AC于点E.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)所作图形中,若点E恰为线段AC的中点,求证:VA3C是等腰三角形.请补全下面的证
明过程.
证明:是/ABC的平分线,
.•.①
•••AD//BC,
:.ZAEF=ZCBF.
■■.AB=AE.
•.♦尸为4c的中点,
:.AF=CF.
在和VC即中,
ZAEF=ZCBF
<NAFE=NCFB,
AF=CF
:.△AEF'CBF(AAS).
.•.③
AB=CB.
.•.△ABC是等腰三角形.
由此发现一个结论,请完成下列命题:如果一个三角形一个内角的平分线又是其对边的中线,那么这个
三角形是④.
【答案】(1)见解析(2)ZABE=ZCBF,ZABE=ZAEB,AE=BC,等腰三角形
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定,作图-基本作图.
(1)以B为圆心,以任意长为半径画弧,分别交A3、AC于A/、N,分别以M、N为圆心,大于=MN
2
的长为半径画弧,两弧交于K,作射线AK交AD于点E,交AC于点F,得到破平分/ABC;
(2)由角平分线定义,平行线的性质推出/钻石=得到AB=AE,判定
△A£F^ACBF(AAS),推出AE=3C,得到A5=CB,推出VA5C是等腰三角形,由此即可得到结
论.
【小问1详解】
解:如图所示,应;平分/ABC;
【小问2详解】
证明:•.•盛是NA3C的平分线,
ZABE=ZCBF,
•:AD//BC,
:.ZAEF=ZCBF,
:.ZABE=ZAEB,
;•AB=AE,
\•尸为AC的中点,
:.AF=CF.
NAEF=NCBF
在△AEF和YCBF中,<ZAFE=ZCFB,
AF=CF
:.AAEF均CBF(AAS),
:.AE=BC,
AB=CB.
・・・VABC是等腰三角形.
由此发现一个结论,请完成下列命题:如果一个三角形的一个内角的平分线又是其对边的中线,那么这个
三角形是等腰三角形.
故答案为:ZABE=NCBF,ZABE=ZAEB,AE=BC,等腰三角形.
22.在实数范围内定义运算:“※”:。※人=2(。—3,例如:3^K2=2X(3-2)2-3=-1.
(1)若a=5,b=-3,计算。※Z?的立方根;
(2)若2Xx=15,求x的值.
【答案】(1)5(2)x=—1或x=5.
【解析】
【分析】本考查主要考查了新定义运算、立方根和平方根的性质等知识点,理解新定义运算是解题的关键.
(1)直接根据新定义运算法则计算,然后根据立方根的定义即可;
(2)根据题意得到2(2-尤『-3=15,然后整理后利用平方根的性质求解即可.
【小问1详解】
;=5,Z?=—3,
...a※人=5※(-3)=2义(5+3)2—3=125
•••a※/?的立方根是5;
【小问2详解】
V2派%=15
2(2-3=15
/.(2-x)2=9
2—x—+3
,x=-1或x=5.
23.放风筝是清明节的节日习俗,寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞,此外,放风筝还是一项娱乐性运
动,无论是与家人还是朋友一起放风筝,都能增进彼此之间的关系.某校八年级几名同学在学习了“勾股
定理”之后,想用此定理来测量风筝的垂直高度.如图,牵线放风筝的同学站在A处,风筝在尸处,先测
得他抓线的地方与地面的距离A3为L5米,然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离5c为15米,最后
根据手中剩余线的长度计算出风筝线段'的长为17米.
(1)求此时风筝的垂直高度所的长;
(2)若放风筝的同学站在点A不动,风筝沿跖的方向继续上升到。处,风筝线又放出了8米,请求出
风筝沿所方向上升的高度ED的长.
【答案】(1)9.5米
(2)12米
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用,
(1)根据勾股定理求出FC={BF2-BC2=8米,然后得到CE=A3=1.5米,进而求解即可;
(2)首先得到6尸+8=25米,然后根据勾股定理求出8=20米,进而求解即
可.
【小问1详解】
米,陟=17米,BCLDE
;•FC=7BF2-BC2=8米
:AB=1.5米
/.CE=AB=1.5米
庄=产。+虑=8+1.5=9.5米;
【小问2详解】
...风筝线又放出了8米,
:.BD=BF+8=25^,
CD=^BDr-BC2=20米,
/.DF=DC—=20—8=12米.
24.某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后,构造了以下图形验证乘法公式.请你利用数形结合
的思想,通过等积法解决以下数学问题.从边长为。的正方形中减掉一个边长为匕的正方形(如图1),然
后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).
(1)比较两图中阴影部分面积,可以验证的等式是;(请选择正确的选项)
A.t?2—2ab+b2=(^a—b^B.=(a+6)(a—
(2)若4x?-9V=20,2x-3y=4,求2x+3y的值;
(3)计算:(2+l)(22+1)(24+1)(28+l)...(21024+1)+1.
【答案】⑴B(2)2x+3y=5;
(3)22048
【解析】
【分析】本题考查平方差公式的几何背景,掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键.
(1)分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可;
(2)根据平方差公式进行计算即可;
(3)将原式配上因式(2-1),连续利用平方差公式即可.
【小问1详解】
解:图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差,即后-廿,
拼成的图2是长为。+),宽为a—〃的长方形,因此面积为(a+b)(a—9,
所以有a2-b2=(a+/?)(a-b),
故答案为:B;
【小问2详解】
解:V4x2-9y2=20,即(2x+3y)(2x-3y)=20,而2x-3y=4,
/.2x+3y=5;
【小问3详解】
解:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)...(21024+1)+1
=(2-l)(2+l)(22+1)(24+1)(28+1)•--(21024+1)+1
=(22-l)(22+l)(24+l)(28+l)...(21024+l)+l
=(24-l)(24+l)(28+l)...(21024+l)+l
=(28-l)(28+l)...(21024+l)+l
=(216-l)...(21024+l)+l
=22*1+1
_22048
25.如图,在VABC中,ZC=90°,AC=16cm,6C=12cm,点尸和点。分别是VABC边上的两
动点,点P从点A开始沿AfC方向运动,速度为每秒1cm,到达C点后停止;点。从点C开始沿
Cf3fA的方向运动,速度为每秒2cm,到达A点后停止,它们同时出发,设运动时间为/秒.
(1)当/=4秒时,求△PCQ的面积;
(2)当f为何值时,点尸恰好在边AB的垂直平分线上;
(3)当点。在AB边上运动时,直接写出△BCQ为等腰三角形时f的值.
【答案】(1)48cm2
25
(2)当%二一时,点尸恰好在边A3的垂直平分线上;
2
(3),的值是11或12或三.
【解析】
【分析】本题是三角形的综合题,考查了勾股定理,等腰三角形的性质,方程思想及分类讨论思想等知
识.
(1)由三角形的面积公式即可解答;
(2)可得AP=P5=/cm,PC=(16-r)cm,在RtZkBPC中,得到(16—+12?=/,可求出
,--2-5-.
2,
(3)用r表示出BQ,利用等腰三角形的性质可分5。=3C,CQ=BC和6。=。。三种情况,分别得
到关于f的方程,可求得f的值.
【小问1详解】
解:当/=4时,AP=4cm,CQ=8cm,
AC=16cm,
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