重庆市万州区2024-2025学年上学期教学质量监测八年级数学试题卷（含答案与解析）

机密★启用前

2024~2025学年度（上）教学质量监测试题

八年级数学

（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；

2.作答前认真阅读答题卡的注意事项；

3.作图（包括作辅助线）请一律用累售25铅笔完成，

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号

为A、5、C、。的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对

应的方框涂黑.

24

1.计算a结果正确的是（）

A.a2B.a6C.asD.2a2

2.小彬想了解合肥五月份每天的气温变化情况，最适合选用的统计图表是（）

A.条形统计图B.扇形统计图C.折线统计图D.统计表

3.如图，点8、C、D同一直线上，若△ABC四△DEC,AC=3,BD=10,则CE等于（）

A.3B.7C.10D.13

4.下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）

A.2,4,5B.4,6,9C.7,9,10D.9,12,15

5.估计2的值应在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

6.如图，在中，ZC=90°,BD平分NABC,若AC=10,AD=7,则点。到AB距离

为（）

C

D.

A.6B.5C.4D.3

7.若M=x2+V+6x—2y+2024,则M的最小值是（）

A.2014B.2016C.2018D.2020

8.下列命题中为真命题的是（）

A.27的立方根是一3B,有理数与数轴上的点一一对应

C.面积相等的两个三角形一定全等D.若a+Z?=0,则"=/

9.如图，在等腰直角△ABQ中，?ABD90?,BE±AC,AE=2BE.若NBAE=a,则NBDE

的度数为（）

A.aB.«-15°C.45°—ccD.90°—2tz

10.有依次排列的2个整式：a+b,a-b,用这两个整式的和除以2,得到的结果放在这两个整式之

间，可以产生第1个整式串：a+b,a,a-b,称为第1次操作；将第1个整式串中任意相邻的两个整

式按上述方式进行第2次操作，可以得到第2个整式串.以此类推，下列说法：

bb

①第2个整式串：a+b,a-\—，a,ci,ci—b；

22

40

②第4个整式串中，从左往右第2个整式乘以从右往左第2个整式的积为/一一〃；

64

③第2024个整式串中，所有整式的和为02°24+1）。.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡

中对应的横线上.

11.64的算术平方根是.

12.已知aZ?=2,2a-b=-3,则代数式2a?匕的值为.

13.梁启超先生曾说：“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”,在划线部分这句话中，“国”字出现

的频率是.

14.若一个多项式M与单项式2必的积是10/—8V，则这个多项式四是.

15.已知等腰三角形的一个内角是100。，则这个等腰三角形的底角的度数为；

16.如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG的面积之差为36,则阴影部分面积为.

17.如图，四边形ABCD中，AB=AC,BFJ.AC交AC于点、E,ADLCD,ZABE=ZACD.若

BF=n,CD=8,则CE的长为.

18.一个各个数位上数字互不相等且均不为0的四位正整数〃=。儿力（其中b,c,d<9,且

a,b,c,d为正整数），若满足a+6+c+d=18,则称该数为“恒常数”，规定/（〃）=£■.例

1827

如：四位正整数1827,：1+8+2+7=18,，1827是“恒常数”，*1827）=—^—=203.如果

航=旃是一个“恒常数”，且。+1=》，b+l^c,c+l=d,则尸（M）为.若

M=a"cd是一个“恒常数"，令P（M）=/（1）+。,Q^M）=a+b-c-d,其中c<d，当。（M）

取最大值且P（M）为整数时，M的值为.

三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题

必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写

在答题卡中对应的位置上.

19.(1)分解因式：3a3—12a;

（2）化简：2（x+l）2—（2x+3）（2x—3）.

20.“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”，劳动是一切成功的必经之路，也是培养栋

梁之才的必需方式.某中学为了解该校学生一周课外活动和家庭生活中的劳动时间，随机抽取部分学生调

查了他们一周课外活动和家庭生活中的劳动时间，用x表示时间（单位：小时），共分成四组：A:

0Wx<3,B:3<x<4,C:4<%<5,D:x>5,将数据进行整理并制成如下统计图.

请根据图中提供的信息、，解答下列问题:

学生一周课外活动和家庭学生一周课外活动和家庭

生活劳动时间条形统计图生活劳动时间扇形统计图

名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）;

（2）扇形统计图中C部分对应的圆心角为___________度.

（3）若该中学共有800名学生，请估计该校学生一周课外活动和家庭生活中的劳动时间不少于3小时的人

数.

21.如图，AD//BC,

（1）尺规作图：作NA5C的平分线交AD于点E,交AC于点（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）所作图形中，若点尸恰为线段AC的中点，求证：VA3C是等腰三角形.请补全下面的证

明过程.

证明：•••3E是—ABC的平分线,

.•.①

•••AD//BC,

ZAEF=ZCBF.

.'.AB^AE.

•.,/为AC的中点，

:.AF=CF.

在△AEF和VCBF中,

ZAEF=ZCBF

<NAFE=NCFB,

AF=CF

.•.△AEF学△CBF(AAS).

.•.③

AB=CB.

」.△ABC是等腰三角形.

由此发现一个结论，请完成下列命题：如果一个三角形的一个内角的平分线又是其对边的中线，那么这个

三角形是④.

22.在实数范围内定义运算：“※”：。※人=2(a—bp—3,例如：3X2=2x(3—2)2—3=—1.

⑴若a=5,b=-3,计算a?的立方根；

(2)若2Xx=15,求x的值.

23.放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运

动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系.某校八年级几名同学在学习了“勾股

定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度.如图，牵线放风筝的同学站在A处，风筝在E处，先测

得他抓线的地方与地面的距离A3为L5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离5c为15米，最后

根据手中剩余线的长度计算出风筝线BF的长为17米.

(1)求此时风筝的垂直高度所的长;

（2）若放风筝的同学站在点A不动，风筝沿跖的方向继续上升到。处，风筝线又放出了8米，请求出

风筝沿所方向上升的高度FD的长.

24.某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后，构造了以下图形验证乘法公式.请你利用数形结合

的思想，通过等积法解决以下数学问题.从边长为。的正方形中减掉一个边长为方的正方形（如图1）,然

后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）.

（1）比较两图中阴影部分面积，可以验证的等式是；（请选择正确的选项）

A.cT—2ab+b2=（«—/?）B.a2—b2=（a+/?）（a—

（2）若4——9/=20,2x-3y=4,求2x+3y值；

（3）计算：（2+l）（22+1）（24+1）（28+l）---（21024+1）+1.

25.如图，在VABC中，ZC=90°,AC=16cm,30=12511,点尸和点。分别是VABC边上的两

动点，点P从点A开始沿AfC方向运动，速度为每秒1cm,到达C点后停止；点。从点C开始沿

Cf3fA的方向运动，速度为每秒2cm,到达A点后停止，它们同时出发，设运动时间为f秒.

（1）当/=4秒时，求△PCQ的面积；

（2）当/为何值时，点尸恰好在边AB的垂直平分线上；

（3）当点。在A6边上运动时，直接写出△BCQ为等腰三角形时/的值.

26.在等边VA3C中，点。为3c边上一点，连接AD.

E

(1)如图1,若AB=4，CD=1,求AD的长;

(2)如图2,AD=AE，ZDAE=120°,连接跖交AC于点E,求证：CD=2AF；

（3）如图3,若AB=2,点。为3C边的中点，点〃为线段AD上一动点，点N为AB边上一动点，直

接写出+ACV的最小值.

参考答案

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号

为4、5、C、。的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对

应的方框涂黑.

24

1.计算a-«结果正确的是（）

26&2

A.aB.aC.aD.2a

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了同底数累的乘法法则：同底数辕相乘，底数不变，指数相加.根据同底数哥的乘

法法则计算即可.

【详解】解：a2-a4=a2+4=a6.

故选：B.

2.小彬想了解合肥五月份每天的气温变化情况，最适合选用的统计图表是（）

A.条形统计图B.扇形统计图C.折线统计图D.统计表

【答案】C

【解析】

【分析】根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断即可.

【详解】根据统计图的特点，想了解合肥五月份每天的气温变化情况，最适合使用的统计图是折线统计

图.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了统计图的选择。根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总

体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形

统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目.

3.如图，点8、C、。在同一直线上，若Z\ABC沿八DEC,AC=3,BD=10,则CE等于（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的性质和线段和差，根据全等三角形的性质得出6C=EC,

AC=8=3,再由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】AABC^ADEC,

ABC=EC,AC=CD=3,

,：BD=10,

：.BC=BD-CD=10-3=7,

：.CE=BC=1.

故选：B.

4.下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）

A.2,4,5B.4,6,9C.7,9,10D.9,12,15

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理.在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确

定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.

【详解】解：A、22+42/5?，2,4,5不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

B、42+62^92.4,6,9不能构成直角三角形，故本选项不符合题意;

C、72+92^102-7,9,10不能构成直角三角形，故本选项不符合题意;

D、92+122=152-9,12,15能构成直角三角形，故本选项符合题意.

故选：D.

5.估计2值应在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【答案】B

【解析】

【详解】解：：屈<g（后，A4<A/17<5..,.4-2<717-2<5-2./.2<A/17-2<3.

6.如图，在Rt/VIBC中，ZC=90°,BD平分NABC,若AC=10,AD=7,则点。到AB的距离

为（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离.作。A3于E,根据AC与AD得到CD的

长，由3D平分/ABC，根据角平分线的性到3即可得到答案.

【详解】解：如图，作。石工AB于E，

:.CD=AC-AD=10-7=3,

QBD平分/ABC,

而NC=90°,

/.DE=DC=3,

二点。到AB的距离是3.

故选：D.

7.若"=/+/+6%一2丁+2024,则M的最小值是()

A.2014B.2016C.2018D.2020

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了完全平方公式的应用等知识，利用完全平方公式将河转化为

(x+3)2+(y—+2014,再根据(x+3『>0,(y-l)2>0即可得到M的最小值是2014.

【详解】解：Af=x2+/+6x-2y+2024

=x?+6x+9+/-2y+1+2014

=(x+3『+(y-1)?+2014,

V(%+3)2>0,(J-1)2>0,

：.M最小值是2014.

故选：A.

8.下列命题中为真命题的是()

A.27的立方根是-3B.有理数与数轴上的点一一对应

C.面积相等的两个三角形一定全等D.若。+》=0,则/=〃

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了命题与定理的知识.利用立方根的定义、实数的性质、全等三角形的判定方法等

知识分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：A、27的立方根是3,故原命题错误，是假命题，不符合题意；

B、实数与数轴上的点一一对应，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

C、面积相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

D、若a+Z?=0,则标=从，正确，是真命题，符合题意.

故选：D.

9.如图，在等腰直角中，?ABD90?,BE±AC,AE=2BE.若NB4E=a,则NBDE

的度数为()

A

A.aB.a—15°C.45°—。D.90°-2(z

【答案】C

【解析】

【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确

作出辅助线.

如图所示，取AE的中点/，根据题意得到4歹=5石=石尸，然后求出==然后证明

出△A5FgAJBDE(SAS),得到NBDE=NABF,进而求解即可.

【详解】如图所示，取AE的中点F

A

k

BCD

/.AE=2AF=2EF

,:AE=2BE

：.AF=BE=EF

,：在等腰直角△ABD中，？ABD90?,

AB=BD

•/ZBAF+ZABE=ZDBE+ZABE=90°

：.ZBAF=ZDBE=a

：.△ABF均BDE(SAS)

/.ZBDE=ZABF

,:BE=EF，ZBEF=90°

/.Z£BF=45°

ZBDE=ZABF=ZABC-NEBF-ZDBE=90°-45°-a=45°-a.

故选：c.

10.有依次排列的2个整式：a+b,a-b,用这两个整式的和除以2,得到的结果放在这两个整式之

间，可以产生第1个整式串：a+b,a,a-b,称为第1次操作；将第1个整式串中任意相邻的两个整

式按上述方式进行第2次操作，可以得到第2个整式串.以此类推，下列说法：

bb

①第2个整式串为：a+b,aH—,a,a—,a—b；

22

40

②第4个整式串中，从左往右第2个整式乘以从右往左第2个整式的积为«2--b2；

64

③第2024个整式串中，所有整式的和为Q2°24+l）a.

其中正确的个数是（）

A.OB.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了整式的加减运算法则，平方差公式.根据整式的加减运算法则，平方差公式进行计算即

可解答.

【详解】解：第1个整式串：a+b,aa-b,所有整式的和为3〃=（2i+l）。；

第2个整式串：a+b,a+—,a,a--,a-b,所有整式的和为5。=（2?+l）a；

3bbbb3,

第3个整式串：a+b,ciH—b,ciH—,ciH—，a,a—，a—，a—b,a—b,所有整式的和

424424

为9a=伍+l）a；

L,a-^b,a-b,所有整式的和为17a=（24+l）a；

第4个整式串：a+b,a+-b,

8

...①说法正确;

②由题意得fa+a--b\=a2——Z?2,②的说法正确;

③由题意得，第2024个整式串中，所有整式的和为③的说法正确；

综上，①②③的说法都正确；

故选：D.

二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡

中对应的横线上.

11.64的算术平方根是.

【答案】8

【解析】

【分析】直接根据算术平方根的定义即可求出结果.

【详解】解：:82=64,

.•.庖=8.即64的算术平方根是8.

故答案为：8.

【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是算术平方根必须是正数，注意平方根和算术平方

根的区别.

12.已知就=2,2a-b=-3,则代数式2a2匕—a/的值为.

【答案】-6

【解析】

【分析】提取公因式，再整体代入即可求解.

【详解】解：2a2b-ab2=ab(2a-b),

*.*ab=2,2a~b=~3,

・••原式=2x(-3)=-6,

故答案为：-6.

【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的各种方法以及整体思想是解题的关键.

13.梁启超先生曾说：“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”,在划线部分这句话中，“国”字出现

的频率是.

【答案】7

6

【解析】

【分析】先计算划线部分字的总数，再数“国”字个数，根据频率=频数除以总数的定义即可得.

【详解】解：：在“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”这18个字中，“国”字有3个，

31

“国”字出现频率是一=—；

186

故答案为：—.

6

【点睛】本题主要考查频数与频率，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比)，即频

率=频数+数据总数.

14.若一个多项式M与单项式2必的积是10%4—8丁，则这个多项式/是.

【答案】5x2—4/

【解析】

【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式M与单项式2炉的积是10/—8V，

A1-2X2=10X4-8?1把等式的两边同时除以2/可得多项式

【详解】解：..•多项式M与单项式2炉的积是10/一8%5,

.•.Mb=10/—8/，

.•.M=00x4—8x5)*,

故答案为：5x2-4x3•

15.已知等腰三角形的一个内角是100。，则这个等腰三角形的底角的度数为；

【答案】40°##40度

【解析】

【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用.题中没有指明已知的角是顶角

还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解.

【详解】解：①当这个角是顶角时，底角=(180°—100°)+2=40°；

②当这个角是底角时，另一个底角为100°,因为100。+100。=200。，不符合三角形内角和定理，所以舍

去.

故答案为40。.

16.如图，已知正方形A3CD与正方形CEFG的面积之差为36,则阴影部分面积为.

【答案】18

【解析】

【分析】本题考查平方差公式的几何背景.设正方形A3CD的边长为。，正方形CEFG的边长为6,由题

意得〃=36，DG=a-b,再根据S阴影部分=S.B»G+S“EDG得至US阴影部分即可.

【详解】解：设正方形A3CD的边长为。，正方形CEFG的边长为6,则储—尸=36，DG=a-b,

所以S阴影部分=SODG+S4EDG

=-DG*BC+-DG»CE

22

1(a—Z?)+；b(a—b)

二——Cl

2

=^a+b)(a-b)

三…)

=18.

故答案为：18.

17.如图，四边形ABCD中，AB=AC,BF/AC交AC于点E，ADLCD,ZABE=ZACD.若

BF=11,CD=8,则CE的长为.

【答案】4

【解析】

【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质.连接AF,证明

△ABE之A4CD(AAS)得AE=A£>,BE=CD=8,则石下=5尸—5石=3,再证明

11S相户名及人4£）「（印）得石尸=上=3,则CF=5,然后在Rt^CEb中，由勾股定理即可求出

CE的长.

【详解】解：连接AF,如图所示：

A

D

/

BC

•/BF1AC,ADYCD,

ZAEB=ZD=90°,

,：AB=AC,

：.AABE^AACD（AAS）,

AE=AD,BE=CD=8,

：.EF=BF-BE=U-S=3,

•：BF1AC,ADLCD,

：.ZAEF=ZD=90°,

AF=AF,

：.RtAAEF=RtAADF（HL）,

EF=DF=3,

CF=CD-DF=8-3=5,

在RtZkCEb中，EF=3,CF=5,

由勾股定理得：CE=y/CF2-EF2=4-

故答案为:4.

18.一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位正整数加=时（其中IV。，b,c,d<9,且

a,b,c,d为正整数），若满足a+b+c+d=18,则称该数为“恒常数”，规定F（河）=5.例

1827

如：四位正整数1827,•.•1+8+2+7=18,，1827是“恒常数”，*1827）=—§—=203.如果

〃=嬴7是一个“恒常数”，且。+1=入b+l^c,c+l=d,贝Ib（加）为.若

M=abed是一个"恒常数"，令P（M）=F（M]+d,Q（M）=a+b-c-d,其中。<“，当。（M）

取最大值且P（M）为整数时，M的值为.

【答案】①.384②.6912

【解析】

【分析】本题考查了新定义运算、整式的加减的应用.由题意得到b=a+l,c=b+l=a+2,

d=c+l=a+3,结合a+b+c+d=18,求得。，b,c,［的值，再计算即可得解；由

Q（M）=a+b-c-d,当。（M）取最大值时，a+b最大，c,d尽可能小，推出c=l,d=2,

a+b=15,再分类求解即可.

【详解】解：甚不为“恒常数”，a+b+c+d=lS,

又C=Z?+1=Q+2,d=c+l=a+3,

••a+a+l+a+2+a+3=18,

解得a=3,

:・Z?=4,c=5,d=6,

AM-3456,

/.E(M)=*3456)=^^=384；

:Q+Z?+c+d=18且〃，b,c,d为正整数，14a,b,c,d<9,

又Q(A7)=Q+Z?—c—d,

当。（M）取最大值时，a+6最大，c,d尽可能小,

又,：c<d,

「・c=1,d=2,

a+Z?=18—1—2=15,

/（"）=尸（9612）=竺匕=1068,P（M）=l068+2不是整数,舍去；

①当〃=9,则人=6时，

97

*"）=/（8712）=罕=968,。（河）=电出不是整数，舍去；

②当。=8,则方=7时，

97

产（苗）=尸（7812）=竺匕=868,不是整数，舍去；

③当a=7,则b=8时，

97

④当。=6,则Z?=9时，F（M）=F（6912）=-^^=768,尸（航）=出土2=110是整数,符合题

97

思；

・•・”的值为6912；

故答案为：384；6912.

三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题

必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写

在答题卡中对应的位置上.

19.(1)分解因式：34—12a;

(2)化简：2(x+l『—(2x+3)(2x—3).

【答案】⑴3a(a+2)(a-2)；(2)-2x2+4x+11

【解析】

【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，因式分解.

(1)先提公因式3a,再利用平方差公式进行因式分解即可；

(2)根据完全平方公式以及平方差公式进行计算即可.

【详解】解：⑴3a3—12a

=3a(4-4)

=3a(a+2)(a-2)；

(2)2(X+1)2-(2X+3)(2%-3)

=2x2+4x+2-4x2+9

=-2X2+4X+11.

20.“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”，劳动是一切成功的必经之路，也是培养栋

梁之才的必需方式.某中学为了解该校学生一周课外活动和家庭生活中的劳动时间，随机抽取部分学生调

查了他们一周课外活动和家庭生活中的劳动时间，用x表示时间(单位：小时)，共分成四组：A:

0<x<3,B:3<x<4,C:4<x<5,D:x>5,将数据进行整理并制成如下统计图.

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

学生一周课外活动和家庭学生一周课外活动和家庭

生活劳动时间条形统计图生活劳动时间扇形统计图

(1)此次调查一共随机抽取了名学生，补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数)；

(2)扇形统计图中C部分对应的圆心角为度.

(3)若该中学共有800名学生，请估计该校学生一周课外活动和家庭生活中的劳动时间不少于3小时的人

数.

【答案】(1)50；图见解析

(2)108(3)估计该校学生一周课外活动和家庭生活中的劳动时间不少于3小时的人数为720名.

【解析】

【分析】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同

的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

(1)用3部分人数除以其人数占比求出此次调查随机抽取的总人数，再求出。组的人数即可补全条形统

计图；

(2)用360°乘C部分所占的比例即可求解；

(3)用800乘以劳动时间不少于3小时的人数的占比即可求解.

【小问1详解】

解：20+40%=50(名)，

•♦・此次调查一共随机抽取了50名学生，

D组的人数为：50-5-20-15=10,

补全条形统计图：

学生一周课外活动和家庭

生活劳动时间条形统计图

【小问2详解】

解：扇形统计图中C部分对应的圆心角为：360°xl|=108°,

故答案为：108；

【小问3详解】

解：800x弋「720（名）,

答：估计该校学生一周课外活动和家庭生活中的劳动时间不少于3小时的人数为720名.

21.如图，AD//BC,

（1）尺规作图：作NA5C的平分线交AD于点E,交AC于点E.（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）所作图形中，若点E恰为线段AC的中点，求证：VA3C是等腰三角形.请补全下面的证

明过程.

证明：是/ABC的平分线,

.•.①

•••AD//BC,

：.ZAEF=ZCBF.

■■.AB=AE.

•.♦尸为4c的中点,

:.AF=CF.

在和VC即中,

ZAEF=ZCBF

<NAFE=NCFB,

AF=CF

:.△AEF'CBF（AAS）.

.•.③

AB=CB.

.•.△ABC是等腰三角形.

由此发现一个结论，请完成下列命题：如果一个三角形一个内角的平分线又是其对边的中线，那么这个

三角形是④.

【答案】（1）见解析（2）ZABE=ZCBF,ZABE=ZAEB,AE=BC,等腰三角形

【解析】

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，作图-基本作图.

（1）以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交A3、AC于A/、N,分别以M、N为圆心，大于=MN

2

的长为半径画弧，两弧交于K,作射线AK交AD于点E，交AC于点F,得到破平分/ABC；

（2）由角平分线定义，平行线的性质推出/钻石=得到AB=AE，判定

△A£F^ACBF（AAS）,推出AE=3C,得到A5=CB,推出VA5C是等腰三角形，由此即可得到结

论.

【小问1详解】

解：如图所示，应;平分/ABC；

【小问2详解】

证明：•.•盛是NA3C的平分线,

ZABE=ZCBF,

•：AD//BC,

：.ZAEF=ZCBF,

:.ZABE=ZAEB,

；•AB=AE,

\•尸为AC的中点，

：.AF=CF.

NAEF=NCBF

在△AEF和YCBF中，＜ZAFE=ZCFB,

AF=CF

：.AAEF均CBF(AAS),

:.AE=BC,

AB=CB.

・・・VABC是等腰三角形.

由此发现一个结论，请完成下列命题：如果一个三角形的一个内角的平分线又是其对边的中线，那么这个

三角形是等腰三角形.

故答案为：ZABE=NCBF,ZABE=ZAEB,AE=BC,等腰三角形.

22.在实数范围内定义运算：“※”：。※人=2（。—3,例如：3^K2=2X（3-2）2-3=-1.

（1）若a=5,b=-3,计算。※Z?的立方根；

（2）若2Xx=15,求x的值.

【答案】（1）5（2）x=—1或x=5.

【解析】

【分析】本考查主要考查了新定义运算、立方根和平方根的性质等知识点，理解新定义运算是解题的关键.

（1）直接根据新定义运算法则计算，然后根据立方根的定义即可；

（2）根据题意得到2（2-尤『-3=15,然后整理后利用平方根的性质求解即可.

【小问1详解】

;=5,Z?=—3,

...a※人=5※（-3）=2义（5+3）2—3=125

•••a※/?的立方根是5；

【小问2详解】

V2派％=15

2（2-3=15

/.（2-x）2=9

2—x—+3

，x=-1或x=5.

23.放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运

动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系.某校八年级几名同学在学习了“勾股

定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度.如图，牵线放风筝的同学站在A处，风筝在尸处，先测

得他抓线的地方与地面的距离A3为L5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离5c为15米，最后

根据手中剩余线的长度计算出风筝线段'的长为17米.

(1)求此时风筝的垂直高度所的长；

(2)若放风筝的同学站在点A不动，风筝沿跖的方向继续上升到。处，风筝线又放出了8米，请求出

风筝沿所方向上升的高度ED的长.

【答案】(1)9.5米

(2)12米

【解析】

【分析】此题考查了勾股定理的应用，

(1)根据勾股定理求出FC={BF2-BC2=8米，然后得到CE=A3=1.5米，进而求解即可；

(2)首先得到6尸+8=25米，然后根据勾股定理求出8=20米，进而求解即

可.

【小问1详解】

米，陟=17米，BCLDE

；•FC=7BF2-BC2=8米

：AB=1.5米

/.CE=AB=1.5米

庄=产。+虑=8+1.5=9.5米；

【小问2详解】

...风筝线又放出了8米，

：.BD=BF+8=25^,

CD=^BDr-BC2=20米，

/.DF=DC—=20—8=12米.

24.某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后，构造了以下图形验证乘法公式.请你利用数形结合

的思想，通过等积法解决以下数学问题.从边长为。的正方形中减掉一个边长为匕的正方形（如图1）,然

后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）.

（1）比较两图中阴影部分面积，可以验证的等式是；（请选择正确的选项）

A.t?2—2ab+b2=（^a—b^B.=（a+6）（a—

（2）若4x?-9V=20,2x-3y=4,求2x+3y的值；

（3）计算:（2+l）（22+1）（24+1）（28+l）...（21024+1）+1.

【答案】⑴B（2）2x+3y=5；

（3）22048

【解析】

【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键.

（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可；

（2）根据平方差公式进行计算即可；

（3）将原式配上因式（2-1）,连续利用平方差公式即可.

【小问1详解】

解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即后-廿，

拼成的图2是长为。+），宽为a—〃的长方形，因此面积为（a+b）（a—9，

所以有a2-b2=（a+/?）（a-b）,

故答案为：B；

【小问2详解】

解：V4x2-9y2=20,即（2x+3y）（2x-3y）=20,而2x-3y=4,

/.2x+3y=5；

【小问3详解】

解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）...（21024+1）+1

=（2-l）（2+l）（22+1）（24+1）（28+1）•--（21024+1）+1

=（22-l）（22+l）（24+l）（28+l）...（21024+l）+l

=（24-l）（24+l）（28+l）...（21024+l）+l

=（28-l）（28+l）...（21024+l）+l

=（216-l）...（21024+l）+l

=22*1+1

_22048

25.如图，在VABC中，ZC=90°,AC=16cm,6C=12cm，点尸和点。分别是VABC边上的两

动点，点P从点A开始沿AfC方向运动，速度为每秒1cm,到达C点后停止；点。从点C开始沿

Cf3fA的方向运动，速度为每秒2cm,到达A点后停止，它们同时出发，设运动时间为/秒.

（1）当/=4秒时，求△PCQ的面积；

（2）当f为何值时，点尸恰好在边AB的垂直平分线上；

（3）当点。在AB边上运动时，直接写出△BCQ为等腰三角形时f的值.

【答案】（1）48cm2

25

（2）当％二一时，点尸恰好在边A3的垂直平分线上；

2

（3），的值是11或12或三.

【解析】

【分析】本题是三角形的综合题，考查了勾股定理，等腰三角形的性质，方程思想及分类讨论思想等知

识.

（1）由三角形的面积公式即可解答;

(2)可得AP=P5=/cm,PC=(16-r)cm,在RtZkBPC中，得到(16—+12?=/，可求出

,--2-5-.

2，

(3)用r表示出BQ,利用等腰三角形的性质可分5。=3C,CQ=BC和6。=。。三种情况，分别得

到关于f的方程，可求得f的值.

【小问1详解】

解：当/=4时，AP=4cm,CQ=8cm,

AC=16cm,