专项突破卷：立体几何中的轨迹问题（原卷版）

专题突破卷16立体几何中的轨迹问题

窿题生颈姒

求算在正方体中的轨迹

求算在长方体中的轨迹

求算在棱台中的轨迹

—题生各个古武

题型一：求算在正方体中的轨迹

1.如图，在棱长为1的正方体中，M为平面ABCD内一动点，则下列说法不正确的是（）

M・1

B

若M在线段AB上，则RM+MC的最小值为百鼻万

平面AC2被正方体内切球所截，则截面面积为m7T

C.若GM与AB所成的角为9,则点M的轨迹为椭圆

4

D.对于给定的点“，过M有且仅有3条直线与直线RARC所成角为60。

2.在棱长为2的正方体ABCO-ABCQI中，点E为棱。2的中点，点F是正方形CD2G内一动点（包括

边界），则（）

A.三棱锥2-4耳尸的体积为定值

B.若87//平面ABE,则点尸的轨迹长度是企

c.当点Q在直线8G上运动时，AQ+QC的最小值是2指

D.若点产是棱G2的中点，则平面45尸截正方体所得截面的周长为2夜+2君+2

3.已知正方体ABC。一A2|GR的棱长为1，点户满足4?=九"》+〃44，其中2eR,〃eR,贝l］（）

A.当％=〃时，则GP+PD的最小值为出口f

B.过点P在平面内一定可以作无数条直线与CP垂直

C.若G尸与A。所成的角为5,则点尸的轨迹为双曲线

D.当2=1,〃句0』时，正方体经过点A、尸、G的截面面积的取值范围为］乎，血

4.已知正方体AB。-ABC2的棱长为2,点P为平面上一动点，则（）

A.当点尸为。2的中点时，直线CP与AP所成角的余弦值为g

B.当点尸在棱上时，AP+PG的最小值为遥

C.当点P在正方形CD2G内时，若乌尸与平面CDDG所成的角为45。，则点P的轨迹长度为兀

D.当点尸在棱GQ（不含顶点）上时，平面A/3截此正方体所得的截面为梯形

4D\

BCADC

图⑴图⑵

AxDi^1D\

BCBC

图⑶图(4)

5.正四棱柱A8C£>-A4GQ中，AA=2,AB=2,动点?满足,且a,Z?£(O,l),则下列说

法正确的是（）

A.当■时，直线ACJ■平面8尸瓦

B.当a+6=l时，尸3+尸片的最小值为遥

C.若直线5P与BQ所成角为£,则动点尸的轨迹长为也

42

D.当。+26=1时，三棱锥P-A5c外接球半径的取值范围是[专，告]

6.在边长为2的正方体A5C£）-4与。1。1中，动点M满足,（%,y,zcR且

x>0,y>0,z>0）,下列说法正确的是（）

A.当x=：,z=0,ye[0,l]时，用〃+MZ）的最小值为抗？

B.当x=y=l,z=；时，异面直线BM与CQ所成角的余弦值为巫

C.当x+y+z=l,且4知=述时，则M的轨迹长度为生旦

33

D.当x+y=l,z=0时，3与平面A瓦。所成角的正弦值的最大值为逅

3

7.在正方体中，AB=1,点尸满足CP=XCD+〃CG,其中2c[0,1],〃e[0,l],则下列结

论正确的是（）

A.当4尸//平面42。时，男尸与C2所成夹角可能为三

B.当2=〃时，|DP|+14尸|的最小值为二；二

C.若男尸与平面CCQQ所成角为则点尸的轨迹长度为?

42

D.当2=1时，正方体经过点4,只右的截面面积的取值范围为与Q

8.已知正方体的棱长均为2,E为线段A4的中点,4尸=442+〃40,其中4〃€[0,1],则下列

选项正确的是（）

A.当〃=3时,APLER

B.当丸=〃时,A尸+PD的最小值为0+6

C.若直线男尸与平面ABCD所成角为5,则点P的轨迹长度为£

42

D.当彳+〃=1时，正方体被平面尸4,截的图形最大面积为40

题型二：求算在长方体中的轨迹

9.长方体ABC。-A耳G2中，AB=2AD=2AAl=2,M为棱AB的中点，平面AM。上一动点N满足

ZANM=90,则下列说法正确的是（）

A.长方体外接球的表面积为6兀B.DM±ACt

C.A到平面距离为汉1D.N的轨迹长度为诿兀

33

10.在长方体ABC。-A4G2中，AB=3,AD=AA,=4,尸是线段8G上的一动点，则下列说法正确的是

（）

BAP与平面BCG与所成角的正切值的最大值是专

A.4尸〃平面ADC

c.AP+PC的最小值为JI7+2夜D.以A为球心，5为半径的球面与侧面BCC4的交线长是2兀

11.如图所示，在长方体ABCr»-ABiG2中，AB=AD=2,M=1,点E是棱C。上的一个动点，F是

BC的中点，给出下列命题，其中真命题的（）.

A.当E是CZ）的中点时，过EE"的截面是四边形

B.当点E是线段CD的中点时，点P在底面ABCD所在平面内，且MP〃平面AEQ,点。是线段MP

的中点，则点。的轨迹是一条直线

C.对于每一确定的E,在线段上存在唯一的一点X,使得2月，平面AEG

D.过点M做长方体ABC£»-A瓦G2的外接球的截面，则截面面积的最小值为葺

12.如图，透明塑料制成的长方体容器ABC。-A笈G2内灌进一些水，固定容器底面一边2C于地面上，

再将容器以BC为轴顺时针旋转，则（）

A.有水的部分始终是棱柱

B.水面所在四边形ER3X为矩形且面积不变

C.棱A2始终与水面平行

D.当点H在棱C。上且点G在棱CCj上（均不含端点）时，BEZ户不是定值

13.长方体ABC。—A4G2中，AB=3,BC—2,BBt=1,则（）

A.A到平面A加的距离为与

4

B.A到平面4田。的距离为,

C.沿长方体的表面从A到G的最短距离为3夜

D.沿长方体的表面从A到G的最短距离为2后

14.如图所示，在长方体ABC。-A瓦G2中，4B=BC=1,AA=2,尸是AB上的一动点，则下列选项正确

的是

A.。尸的最小值为晋B.。尸的最小值为6

C.AP+PG的最小值为"D.AP+尸C的最小值为粤

15.在长方体ABCD-A8|C|Z）［中，AB=AD=2,AA=1,点P、。在底面内，直线AP与该长方

体的每一条棱所成的角都相等，且心，C。，则（）

A.AP=V2

B.点。的轨迹长度为亚

c.三棱锥。-AQB的体积为定值

D.AP与该长方体的每个面所成的角都相等

16.如图，长方体ABCO-ABIG，中，AB=2,AD=1,例=3,点M是侧面AOR4上的一个动点（含

边界），P是棱CG的中点，则下列结论正确的是（）

A.当PM长度最小时，三棱锥皮）尸的体积为5

B.当长度最大时，三棱锥M-BDP的体积为:

C.若保持PM=石，则点M在侧面内运动路径的长度为万

D.若M在平面ADR4内运动，且则点M的轨迹为圆弧

17.如图，在长方体A8C。一A瓦GR中，AB=4,BC=BBt=2,E、尸分别为棱AB、A"的中点，则下列

说法中正确的有（）

A.DBX1CE

Q

B.三棱锥O-CEF的体积为］

C.若尸是棱GA上一点，且D/=l,则E、C、尸、尸四点共面

D.平面CEF截该长方体所得的截面为五边形

题型三：求算在棱台中的轨迹

18.下列说法中，错误的为（）

A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；

B.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；

C.底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；

D.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥.

19.己知平面a,平面/?=/,A,BetzMA,B",C,Oe尸且C,D隹1,E,Fei,且BF±l,

下列说法正确的有（）

A.若AC_L,,则CE_U

B.若AB//CD,则几何体ACE-应＞尸是柱体

C.若CE_L/,DFLI,则几何体ACE—双方是台体

D.若且AC=AD,则直线AC,与£所成角的大小相等

20.已知正三棱台ABC-A4C］中，△AAG的面积为4—,VA3C的面积为94，AAl=2,棱8G的中点

为M,则（）

A.该三棱台的侧面积为30B.该三棱台的高为亚

3

C.AM,平面BCC4D.二面角A-AB-C的余弦值为g

21.如图，在三棱台中，V表示体积，下列说法正确的是（）

B.匕―，匕一BBQ］，Z「ABC成等比数列

C.若该三棱台存在内切球，则AA=BB1=CG

D.若该三棱台存在外接球，贝UAA=3B1=CG

22.在正四棱台ABCO-ABC2中，AB=2A与，A4.=2g,M为棱8c的中点，当正四棱台的体积最

大时，下列说法正确的有（）

A.该正四棱台的高为2

B.该正四棱台的体积为224

C.平面截该正四棱台的截面面积是106

D.该正四棱台的内切球半径为1

23.已知球。的半径为R,正四棱台ABCD—A/2/QQ的两底面边长分别为2和4,高为〃，则（）

A.对任意/7>0,都存在R>0,使点。到该棱台所有面的距离都等于R

B.对任意/2>0,都存在R>0,使该棱台的所有顶点都在球。的球面上

C.若点。到该棱台所有面的距离都等于R,则R=0

D.若该棱台所有顶点都在球。的球面上，且R=2啦,贝。

24.正四棱台ABC。一A4G2中，AB=2,4q=1,侧棱网与底面所成角为分别为AZ）,AB,BB、

的中点，〃为线段与，上一动点（包括端点），则下列说法正确的是（）

A.该四棱台的体积为2四B.三棱锥E-尸GM的体积为定值

6

C.平面E尸G截该棱台所得截面为六边形D.异面直线A片与班所成角的余弦值为述

8

2

25.正三棱台中，0,。1分别是VABC和△AAG的中心，S.AAl=AlBl=-BC=2,则（）

A.直线AC与。片所成的角为90。

B.平面A用G与平面所成的角为90。

C.正三棱台ABC-A4G的体积为吆叵

12

D.四棱锥O-AABd与4414g的体积之比为2:3

26.如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形ADE"和BC/G为

直角梯形，A,D,C,8为直角顶点，其他四个面均为矩形，AB=BG=3,FC=4,BC=1,下列说法不

正确的是（）

n»bm<gvM>Bai

火警“119

A.该几何体是四棱台

B.该几何体是棱柱，平面ABC£＞是底面

C.EGLHC

D.平面EFGH与平面ABCD的夹角为45。

27.如图，已知正四棱台-A4GR的上、下底面边长分别为四，2近,其顶点都在同一球面上,

且该球的表面积为20万，则侧棱长为（）

C.瓜D.M

1.如图，正方体ABCO-AAGD的棱长为4,点M是其侧面上的一个动点（含边界），点尸是线段

cq上的动点，则下列结论正确的是（）

兀

A.存在点P,M,使得二面角OC-P大小为5?

6

B.存在点尸,M,使得平面瓦2M与平面P3D平行

C.当尸为棱CG的中点且尸加=2指时，则点M的轨迹长度为岳

D.当M为4。的中点时，四棱锥M-A3CD外接球的表面积为亍

2.如图，点P是棱长为2的正方体ABC。-A耳G2的表面上一个动点，则（）

4

A.当尸在平面BCG耳上运动时，三棱锥尸-44t。的体积为定值g

JTJT

B.当尸在线段AC上运动时，。丁与aa所成角的取值范围是y,-

C.若尸是A4的中点，当P在底面ABC。上运动，且满足尸尸，32时，尸产长度的最小值是石

D.使直线AP与平面4BCD所成的角为45。的点尸的轨迹长度为兀+40

3.在棱长为2的正方体ABC。-AqG2中，M为CG中点，N为四边形内一点（含边界），若玛N〃

平面BMD,则下列结论正确的是（）

A.NBJNC】B.三棱锥4―N皿的体积为3

C.点N的轨迹长度为20D.tanNAN耳的取值范围为［1,方］

4.如图，在五边形ABCDE中，四边形MCE为正方形，CD_LDE,CO=DE=0，/为A8中点，现将ABE

A.平面3cDE_L平面ABE

B.若。为班的中点，则DE〃平面R9C

C.折起过程中，尸点的轨迹长度为£

D.三棱锥A-CDE的外接球的体积为逐兀

5.在三棱锥P—ABC中，PA±5FffiABC,AB±BC,AB=BC=2,PA=2^/3