中考数学专项复习：全等三角形六种基本模型（含答案及解析）

全等三龟形2种基声模型

压轴题密押

通用的解题思路：

模型一:一线三等角模型

一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角

或钝角。或叫“K字模型”。

三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例,三直角型相似通常是以矩形或者正方形形

为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：

当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是

很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

基本类型:

同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”

模型二:手拉手模型--旋转型全等

一、等边三角形手拉手-出全等

二、等腰直角三角形手拉手-出全等

两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点。旋转过程中（B、C、。不共线）始终有：

①4BCD法AACE；②，4E（位置关系）且BO=AE（数量关系）；③FC平分2BFE；

题型三:倍长中线模型构造全等三角形

倍长中线是指加倍延长中线,使所延长部分与中线相等,往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相

等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）

（注:一般都是原题已经有中线时用）=

三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点,通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长

一倍，证明三角形全等,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.

\•

%

主要思路:倍长中线（线段）造全等

在△ABC中入。是边中线

MS

A

•E

延长入。到E,使。E=4D,连接BE

E

作CF_LAD于F,作BE_L4D的延长线于E连接BE

延长上到N,使DN=MD,连接CD

题型四:平行线+线段中点构造全等模型

遇有两条平行线间线段的中点时，我们可以通过作经过该中点

的直线与两条平行线相交构造“8”字型全等。

如图，AB〃CD,点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.我们把

这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过

中点的线段和平行线相交.即“延长中线交平行”。

如图，D是AB上一点，DF交AC于点

E,DE=FE,FC〃AB,试判断AE与CE有怎样的

数量关系？并证明你的结论。

解：AE=CE,理由如下：

证明：VFC/7AB,

；.NADE=NF,(两直线平行，内错角相等)

又•：DE=FE,NAED=NCEF,

AAADE^ACFE(ASA),

AAE=CE.

MS

证明：延长DE交AB的延长线于点F

・・・ZB=ZC^9tf

ADC>7AB,

・・・NCDE=NF,（两直线平行，内错角相等）

又・・・CE=BE,ZCED=ZBEF,

/.△CDE^ABFE（ASA）,

ADE=FE.

VED平分/ADC

・・・NODE=NEDA'

：・NF=NEDA

AAD=AF

.♦.AE平分/DAB.（等腰三角形的三线合一）

题型五:等腰三角形中的半角模型

过等腰三角形顶点两条射线,使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角

形成的三角形全等,再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

题型六:角平分线+垂直构造全等模型

类型一'角平分线垂两边

角平分线+外垂直

当已知条件中出现OP为AOAB的角平分线、PMA_OA于点M时，辅助线的作法大都为过点P作PN±

08即可.即有=儿―空AON尸等，利用相关结论解决问题.

类型二、角平分线垂中间

角平分线+内垂直

MS

当已知条件中出现OP为NAO8的角平分线,PN，OP于点P时，辅助线的作法大都为延长M尸交

08于点N即可.即有AOMN是等腰三角形、OP是三线等，利用相关结论解决问题.

压轴题预测

模型一:一线三等角模型

趣目工（2023•石家庄模拟）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线Z的上方，线段AB与点E、

F都在直线Z上，且AB=7,EF=10,BC>5.点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向

运动，矩形48co随之运动，运动时间为t秒.

（1）如图②，当力=2.5时，求半圆。在矩形ABCD内的弧的长度；

（2）在点B运动的过程中，当40、BC都与半圆。相交时，设这两个交点为G、H.连接OG、OH,若

图①图②图③

题目②（2023•怀化三模）如图所示,工人赵师傅用10块高度都是L5m的相同长方体新型建筑材料，垒了两

堵与地面垂直的墙ABCD和EFGH，点,P在BE上,己知AP=PF,NAPF=90°.

（1）求证：^ABP=kPEF；

（2）求BE的长.

题目叵〕（2023•承德二模）如图1,BAC经过R1AABC的三个顶点，圆心O在斜边AB上，AC=4,直径AB

所对的弧长为衣长的3倍，将等腰五的直角顶点。放置在边上，于点F.

MS

AA

CD

图1

图2

（1）ZABC=°；

（2）求证：^ACD=^DFE■,

（3）如图2,当点E落在AB上时，求EF的长.

1题目⑷（2023•凤台县校级二模）感知:数学课上，老师给出了一个模型:如图1,点A在直线DE上，且ABDA

=90°,像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等

角“模型.

应用：（1）如图2,放A4BC中，乙4cB=90°,CB=CA,直线ED经过点。，过A作4D，ED于点。，过B

作BE_LE。于点E.求证；ABECxbCDA.

（2）如图3,在^ABC中，。是BC上一点，/CAD=90°,AC=AD,ADBA=/DAB,4B=2通,求点。到

48边的距离.

（3）如图4,在O4BCD中，E为边8。上的一点，F为边48上的一点.若NDEF=2B,AB=10,BE=6,

求黑的值.

:题目回（2023•鄂伦春自治旗二模）如图1,二次函数夕=aQ+3）（,—4）的图象交坐标轴于点A,5（0,-2）,

点P为名轴上一动点.

（1）求二次函数?/=a（c+3）（①一4）的表达式；

⑵过点P作PQ，z轴分别交线段AB,抛物线于点Q,C,连接47.当QP=1时，求AACQ的面积;

⑶如图2,将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD.

①当点D在抛物线上时,求点D的坐标；

②点E（在抛物线上，连接PE,当PE平分ABPD时,直接写出点P的坐标.

MS

题目包（2023•潍坊三模）如图1,将一个等腰直角三角尺ABC的顶点。放置在直线，上，/ABC=90°,AB

=BC,过点A作AO，1于点。，过点B作BE±l于点E.

观察发现：

（1）如图1,当A,B两点均在直线I的上方时

①猜测线段人。，。£与跳;的数量关系并说明理由；

②直接写出线段。。，AD与BE的数量关系；

操作证明：

（2）将等腰直角三角尺ABC绕着点。逆时针旋转至图2位置时，线段人。与BE又有怎样的数量关系,

请写出你的猜想，并写出证明过程；

拓广探索：

⑶将等腰直角三角尺ABC绕着点。继续旋转至图3位置时，AD与BC交于点H,若CD=3,AD=9,请

直接写出的长度.

题目可（2023•尤溪县校级模拟）在矩形ABCD中，连接AC,线段AE是线段4。绕点人逆时针旋转90°得

至I」，平移线段AE得到线段。F（点A与点。对应，点E与点F对应），连接BF,分别交AC,CE于息M,N,

连接EF.

（1）求证：BN=FN；

（2）求乙4BF的大小；

（3）若BM=a:,FN=y,求矩形ABCD的面积（用含有c,g的式子表示）.

题目⑥（2024-龙马潭区一模）如图，抛物线y=ax2+bx+6（a/0）与c轴交于A（-l,0）,B（3,0）两点，与g轴

交于点C,顶点为O.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若在线段上存在一点"■，使得ABMO=45°,过点。作OH,交BC的延长线于点求点"■的

坐标；

（3）点P是9轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P,Q,使得以点P,Q,为顶点的四边

形是菱形？若存在，求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

MS

题目回（2023-太康县二模）在正方形ABCD中，E是BC边上一点（点E不与点5,。重合），AELE尸，垂

足为点与正方形的外角/OCG的平分线交于点F.

（1）如图1,若点后是B。的中点,猜想AE与EF的数量关系是_AE=EF_；证明此猜想时，可取AB的

中点P,连接EP.根据此图形易证△AEPwAEFC.则判断AAEPwAEFC的依据是.

（2）点E在边上运动.

①如图2,（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由.

②如图3,连接AF,DF，若正方形ABCD的边长为1,直接写出^AFD的周长c的取值范围.

模型二:手拉手模型--旋转型全等

:题目回（2023・巴中）综合与实践.

（1）提出问题.如图1,在AABC和A4DE中，/氏4。=/。40=90°,且48=4。，人。=AE,连接BD,连

接CE交BD的延长线于点O.

①/BOC的度数是_90°一

②BD:CE=.

（2）类比探究.如图2,在^ABC和ADEC中,ABAC=ZEDC=90°,且AB=AC,DE=,连接AD、

BE并延长交于点O.

①乙4OB的度数是；

②AD：BE=.

（3）问题解决.如图3,在等边XABC中，AD，BC于点。，点E在线段AD上（不与A重合），以AE为边在

AD的左侧构造等边AAEF,将AAEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度.如图4,同为EF的中点，

N为BE的中点.

①说明AMND为等腰三角形.

②求/MND的度数.

MS

A

〔题目仄（2024•武汉模拟）如图，在AABC和ACDE中，ZBAC=ZCEL>=90°,AB^AC,CE=DE,点、E

在边AB上，F是BC的中点.连接AD,G是AD的中点.

（1）求证:AACE〜^BCD；

（2）如图（2）,若点G在BO上，直接写出tan乙4CE的值；

（3）如图⑴，判定以E,尸，G为顶点的三角形的形状，并证明你的结论.

题目至〕（2023•市中区校级四模）［问题提出］如图1,在等边^ABC内部有一点P,PA=3,PB=4,PC=

5,求乙4PB的度数.

［数学思考］当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分数的条件集中起来解决问题.

［尝试解决］将AAPC绕点A逆时针旋转60°,得到4APB，连接PP,则^APP'为等边三角形.

PP'=PA=3,又；PB=4,PC=5,PP'2+PB2^PC2.

MBPP为三角形，

.•./APB的度数为.

［类比探究］如图2,在中，乙民4。=90°,人8=4。,其内部有一点「,若已4=2,03=1,「。=3,求

乙4PB的度数.

MS

［联想拓展］如图3,在ZL4BC中，/BAC=90°,/BCA=30°,其内部有一点P,若PA=3,PB=2,PC=

4代,求乙4PB的度数.

［题目叵（2023•深圳模拟）如图，AABC是边长为3的等边三角形，。是AB上一动点，连接CD,以CD为边

向CD的右侧作等边ACDE,连接AE.

（1）【尝试初探】

如图1,当点。在线段AB上运动时，AC与DE相交于点在运动过程中发现有两个三角形始终保持全

等，请你找出这对全等三角形，并说明理由.

（2）【深入探究】

如图2，当点O在线段AB上运动时，延长ED,交的延长线于点随着。点位置的变化，H点的位置随

之发生变化，当人。=2BD时,求tan/DHC的值.

（3）【拓展延伸】

如图3,当点。在BA的延长线上运动时，CD、AE相交于点F,设^ADF的面积为&，ACEF的面积为S2，

题目回（2023•岱岳区二模）如图,正方形48co边长为7.E、F在半径为4的。入上，且EA，FA,连接

DE、BE、BF、DF.

（1）试探求线段DE、BF的数量和位置关系；

（2）求证：DF2+BE2=EF2+BD2,并求。尸2+破2的值.

题目B（2023-苏州一模）如图，AABC是边长为3的等边三角形，。是AB上一动点，连接CD,以。。为边

向CD的右侧作等边三角形CDE,连接4E.

MS

D

图1图2因J

（1）【尝试初探】

如图1,当点。在线段上运动时，AC,DE相交于点F,在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等,

请你找出这对全等三角形,并说明理由.

（2）【深入探究】

如图2,当点O在线段AB上运动时,延长即，交的延长线于点随着。点位置的变化，H点的位置随

之发生变化，当AD=2BD时,求tan/DHC的值.

（3）【拓展延伸】

如图3,当点。在氏4的延长线上运动时，CD,AE相交于点F,设A4DF的面积为Si，ACEF的面积为S2,

当$2=4sl时，求的长.

〔题目叵（2023•灌云县校级模拟）在"BC中，=/民4。=&,点P是平面内不与点4。重合的任

意一点,连接PC,将线段PC绕点P旋转a得到线段PD,连接AP,CD,BD.

（1）当a=60°时，

①如图1,当点P在^ABC的边BC上时，线段PC绕点P顺时针旋转a得到线段PD,则AP与BD的数量

关系是_AP=BD_.

②如图2,当点P在^ABC内部时,线段PC绕点、P顺时针旋转a得到线段PD,①中4P与BD的数量关系

还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；

（2）当a=90°时，

①如图3,线段PC绕点P顺时针旋转a得到线段PD.试判断AP与BD的数量关系，并说明理由；

②若点4。,P在一条直线上，且AC=3PC,线段PC绕点P逆时针旋转a得到线段DP,求臂的值.

题目立（2024-邳州市校级一模）⑴问题发现：

如图1,△力CB和ADCE均为等边三角形，点在同一直线上，连接BE.

①线段人。,跳；之间的数量关系为_40=跳；_；

②ZAEB的度数为.

（2）拓展探究：

如图2,^ACB和^AED均为等腰直角三角形，NACB=AAED=90°,点B,D,E在同一直线上,连接CE,

求弟的值及/BEC的度数；

⑶解决问题：

如图3,在正方形ABCD中，。。二小6若点?满足心:^^且NBPD=90°，请直接写出点。到直线BP

的距离.

【题目回（2023-酒泉一模）（1）感知:如图①，四边形ABCD和CEFG均为正方形，BE与DG的数量关系为

_BE=DG_；

（2）拓展:如图②，四边形ABCD和CEFG均为菱形，且/A=/F,请判断BE与DG的数量关系,并说明理

由；

（3）应用：如图③，四边形ABCD和CEFG均为菱形,点E在边4D上，点G在4D延长线上.若AE=

2ED,/A=/F,AEBC的面积为8,求菱形CEFG的面积.

图①图②图③

［题目叵（2023-海淀区校级四模）在平面直角坐标系2。沙中，。。的半径为1,M■为。O上一点，点N（0,

一2）.

对于点P给出如下定义:将点P绕点Af顺时针旋转90°,得到点尸，点P'关于点N的对称点为Q,称点Q为

点P关于点的“中旋点”.

（1）如图1,已知点F（4,0）,点Q为点P关于点M,N的“中旋点”.

①若点”（0,1）,在图中画出点Q,并直接写出OQ的长度为••

②当点河在。。上运动时，直线夕=c+6上存在点P关于点的“中旋点”Q,求b的取值范围；

（2）点F（t,O）,当点M■在©O上运动时，若OO上存在点P关于点N的“中旋点”Q,直接写出t的取值

范围.

［题目|20）（2023-黑龙江模拟）在XABC中，AB=AC,90°,P为直线AB上一点,连接P。,将PC绕

点P顺时针旋转90°得到PD,连接BD.

（1）当点P在线段AB上时，如图①,求证：BC-BD^V2BP；

（2）当点P在氏4的延长线上时，如图②;当点P在的延长线上时，如图③，线段BC,BD,BP之间又有

怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明.

［题目'3（2024。东城区一模）在①AABC中，/区4。=90°,=AC,点。，E是3C边上的点，。E=

连接AD.过点。作AD的垂线，过点E作BC的垂线，两垂线交于点F.连接AF交于点G.

（1）如图1,当点。与点B重合时,直接写出/DAF与/区4。之间的数量关系；

（2）如图2,当点。与点B不重合（点。在点E的左侧）时，

①补全图形；

②/ZZ4F与/A4C在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明;若不成立,请说明理由.

（3）在（2）的条件下,直接用等式表示线段BD,OG,CG之间的数量关系.

图1图2

,顾目叵（2023-天宁区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点4（0,2），点3在，轴正半轴上，点。在第一象

限内.

（1）如图1,08=4.

①若AABC是以AC为斜边的直角三角形，且tan/BAC=2.请在图⑴中利用圆规、无刻度直尺作出点

。的位置（不写作法，保留作图痕迹），写出点。的坐标：_（8,8）_；

②若A4BC是等边三角形.求点。的坐标；

（2）如图2,是等边三角形，点。在以P（3哼，6）为圆心，半径为r的圆上.若存在两个AABC满足条

MS

【题目叵（2023-牡丹区校级一模）有共同顶点的AABC与bADE中，。4=CB,EA=ED,且/ACB=

/AED=a，连接BD,CE,线段BD,CE相交于点

（1）如图①，当a=60°时，然的值是，/BHC的度数是；

（2）如图②，当&=90。时，求弟的值和ZBHC的度数，并说明理由；

（3）如果a=90°,笔■=2,当点H与AADE的顶点重合时，请直接写出错的值.

〔题目叵（2023•泰州）已知：A、B为圆上两定点，点。在该圆上，为卷所对的圆周角.

?图①图②图③

知识回顾

（1）如图①，。。中，B、。位于直线人。异侧，AAOB+ZC=135°.

①求/。的度数；

②若。。的半径为5,4。=8,求BC的长；

逆向思考

（2）如图②，若P为圆内一点，且24PB<120°,PA=PB,/4PB=2/0.求证：P为该圆的圆心；

拓展应用

（3）如图③，在⑵的条件下,若AAPB=90°,点。在。P位于直线AP上方部分的圆弧上运动.点。在。

P上，满足CD=V2CB-CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变.请证明.

题型三:倍长中线模型构造全等三角形

MS

［题目E（2023-兴宁区校级模拟）【模型启迪】

⑴如图1,在AAB。中，。为边的中点，连接AD并延长至点H,使DH=AD,连接则AC与的

数量关系为_AC=BH_,位置关系为；

【模型探索】

（2）如图2,在中，。为BC边的中点，连接A。，E为AC边上一点，连接BE交40于点F,且BF=

AC.求证：AE=EF；

【模型应用】

⑶如图3,在⑵的条件下，延长AC至点N,使AN=AB,连接BN,交AD的延长线于点若4B=7,

4。=5,。河=1■，求线段AD的长.

O

图1图2图3

,颖目远（2023•抚州三模）课本再现：

（1）我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，

同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质.

如图（1）,在AABC中，点。，E分别是4B,的中点，连接DE.则DE与BC的关系是_DE=^BC^

DE〃BC_.

定理证明

（2）请根据（1）中内容结合图（1）,写出（1）中结论的证明过程.

定理应用

（3）如图（2）,在四边形ABCD中，点“，N,P分别为AD,的中点，BA,8的延长线交于点E.

若/E=45°,则/MPN的度数是.

（4）如图（3）,在矩形中，AB=4,AD=3,点H在边AB上，且AE=3BE.将线段AE绕点A旋转一

定的角度a（O°<aV360。）,得到线段AF,点M是线段CF的中点，求旋转过程中线段长的最大值和最

小值.

【题目叵（2023•蜀山区校级一模）如图，在AABC中，乙4cB=90°,AC,。。，48于点。,点七是

4B的中点，连接CE.

⑴若AC=3,BC=4,求CD的长;

（2）求证：BC>2-AD2=2DE-AB-,

⑶求证：CE=^AB.

［题目区（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，AAB。中，。在AB上，E在6。上，NAED=NABC,F在AE

上，EF=DE.

⑴如图1,若CE=50,求证：BE=CF；

（2）如图2,若CE=AD,G在。E上，/EFG=/EFC,求证：CF=2GF；

（3）如图3,若CE=AD,EF=2,NABC=30°,当ACEF周长最小时,请直接写出XBCF的面积.

题目M（2023•南关区校级二模）【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题:如图①，在AABC中，若

=5,4。=3,求边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法：

延长AD到E,使得,DE=AD,再连接BE（或将XACD绕点。逆时针旋转180°得到AEBD）,把AB.AC.

2Ao集中在AABE中,利用三角形的三边关系可得2VAEV8,则IVADV4.

【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍,

构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中

线加倍”法.

【解决问题】如图②，在AABC中，点。是边BC的中点，点E在边AB上，过点。作交边AC于

点F,连接EF.

（1）求证：BE+CF>EF.

（2）若乙4=90°,则线段BE、CF、EF之间的等量关系为—BEa+CF'EF'」

（3）【应用拓展】如图③，在&ABC中，NABC=90°,点。为边AC的中点，点E和点F分别在边AB、BC上,

点河为线段EF的中点.若AE=2,CF=5,则。M的长为.

题型四:平行线+线段中点构造全等模型

：>目应（2023•射洪市校级一模）在RtdABC中，90°,。是BC的中点，E是AD的中点，过点A

作AF"BC交CE的延长线于点F.••

⑴求证：四边形ADBF是菱形；

（2）若AB=8,菱形4DBF的面积为40.求AC的长.

［题目叵（2022-前进区校级一模）已知：AD是AABC的角平分线,点E为直线BC上一点,BD=DE,过点、

E作EF〃人B交直线AC于点F,当点F在边的延长线上时，如图①易证AF+EF=AB；当点F在边

AC上，如图②;当点F在边力。的延长线上，AD是AABC的外角平分线时，如图③.写出AF、EF与AB

的数量关系，并对图②进行证明.

①②③

题目叵（2022.寿光市一模）如图,在矩形ABCD中，AB=1,40=3,E为4D边的一动点（不与端点重

合），连接CE并延长，交A4的延长线于点F，延长94至点G,使AG=AE；分别连接BE,BG,FG.

（1）在点E的运动过程中，四边形BEFG能否成为菱形？请判断并说明理由.

（2）若^BAE与AEDC相似，求AE的长.

题目包（2022-九江三模）⑴化简并求值：1—辞p其中a=—5

（2）如图，在O4BCD中，点。是AC的中点，点F在边CB的延长线上，连接FO并延长交4D的延长线于

点E,EF分别与AB.CD交于点、H、G.求证：AH=CG.

E

题目叵（2023-薛城区校级模拟）【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在AAB。中，=AC,。在

4B上，E在入。的延长线上，DE交8。于F,且。求证：BD=CE,小亮仔细分析了题中的已知条

件后，如图②过。点作DG〃人。交于G,进而解决了该问题.（不需证明）

【探究】如图③，在四边形ABCD中，AB〃OC,E为BC边的中点，ABAE=AEAF,AF与。。的延长线相

交于点F.试探究线段与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.

【应用】如图④，在正方形4BCD中，E为4B边的中点，G、F分别为AD,BC边上的点，若AG=1,BF=

V2,/GEF=90°,则GF的长为_2+1_.

•••

AA

［题目回3（2022•婺城区校级模拟）如图，点4。是。。上的点，且乙40。=90°,过点A作48,04连接

交。。于点。，点。是的中点.

（1）求乙8的度数；

题目国（2022-丰泽区校级模拟）在四边形ABCD中，BD平分4ABe，点E是BD上任意一点,连接CE,

且/BAD=2/CEB,乙BCE=120°,点9为BD延长线上一点，连接AF,ZBAF=60°.

⑴如图1,求证：4D=AF；

（2）如图2,当=时,求证：AB-2BC^AF；

⑶如图3,在⑵的条件下，点G在AD上,连接FG,AAFG=乙BEC,BC=3BDG=3求线段AB

的长.

题型五:等腰三角形中的半角模型

：题目〔37］（2023•昌平区二模）在等边^ABC中，点。是48中点，点E是线段BC上一点，连接DE,ZDEB=

«（30°<«<60°）,将射线DA绕点、D顺时针旋转a,得到射线DQ,点、F是射线QQ上一点，且OF=OE,连

接FE,FC.••

⑴补全图形；

⑵求/EDF度数；

（3）用等式表示EE,FC的数量关系，并证明.

颖目恒（2023.大连模拟）综合与实践

问题情境:数学活动课上，王老师出示了一个问题:如图1,在AABC中，点。在AC边上，于F交

BC于E,NABD=2NCAE.求证AB=BD.

独立思考：（1）请解答王师提出的问题.

实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面条件,并提出新问题，请你解答.“如图2,作

EGJ_A。于点G,若AB=BD,探究线段AD与CE之间的数量关系,并证明.”

问题解析：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当点G与点。重合时，连接CF,若

给出DE的值，则可求出CF的值.该小组提出下面的问题，请你解答

如图3,在（2）的条件下，当点。与点G重合时，连接CF,若DE=，^求CF的长”.

图1图2图3

，题目M（2023-南岗区校级二模）圆内接A4BC,BE是圆。的切线，点B为切点，BE〃AC.

⑴如图1,连接求证：BOLAC；

（2）如图2,当AC为直径，点。在弧AB上，连接CD、BD、AD时;求证：CD^AD+V2BD.

（3）如图3,在（2）的条件下，连接CD与BO交于点P,连。。延长与BE交于点K,KB-.PB=3:2,AC=

8西，求的长.

题型六:角平分线+垂直构造全等模型

；题目国］（2024•平谷区一模）如图，在中/BAC=90°,AB=AC,点。为BC边中点

E,作AEDC的平分线交AC于点F,过点E作。尸的垂线交OF于点G,交BC于点H.

⑴依题意补全图形；

（2）求证：DH=BE；

（3）判断线段FD、HC与BE之间的数量关系，并证明.

题目叵口（2024•金华一模）已知：如图，在AABC中，于点。，后为AC上一点，且

DC.

（1）求证:NBDFwAADC.

（2）已知AC=5,DF=3,求AF的长.

题目应（2023•武陟县一模）如图，在AABC中，/。=45°,点E是边上一点，=AE于点

。，交47于DF点乩若40=2,。后=3,求。歹的长.

题目［43］（2023•沙坪坝区校级一模）如图，在^ABC中，AC=BC,点E为AB边上一点,连接CE.

（1）如图1,若乙4cB=90°,CE=事，AE=4,求线段跳;的长;

（2）如图2,若/ACB=60°,G为8。边上一点且EGLBC,F为EG上一点且EF=2FG,H为CE的中

点，连接BF,AH,AF,FH.猜想AF与之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3,当AACB=90°,NBCE=22.5°时，将CE绕着点E沿顺时针方向旋转90°得到EG,连接CG.

点P、点Q分别是线段CB、CE上的两个动点，连接EP、PQ.点H为EF延长线上一点，连接将

沿直线翻折到同一平面内的ABRH,连接班.在P、Q运动过程中，当EP+PQ取得最小值且

AEHR=45°,AC=时,请直接写出四边形EQPR的面积.

题型六:正方形中的半角模型

解答题（共5小题）

：题月回（2023•增城区二模）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且NEAF=45°,连接EF.

（1）如图1,若BE=2,DF=3,求EF的长度；

（2）如图2,连接BD,BD与AF、AE分别相交于点N,若正方形ABCD的边长为6,8£=2,求。尸的

长；

（3）判断线段BN、MN、ZW三者之间的数量关系并证明你的结论.

题目国（2023・明水县二模）已知:正方形ABCD中，/K4N=45°,/M4N绕点A顺时针旋转，它的两边分

别交CB、（或它们的延长线）于点M、N.当NMAN绕点、A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+

DN=MN.

（1）当/M4N绕点A旋转到BMKON时（如图2）,线段BM、ON和MN之间有怎样的数量关系？写出猜

想,并加以证明；

（2）当NMAN绕点、A旋转到如图3的位置时，线段BM、ON和之间又有怎样的数量关系？请直接写出

你的猜想.

题目@（2023-昆明模拟）综合与实践

【问题情境】

数学活动课上，杨老师出示了教材上的一个问题：

如图1,四边形ABCD是正方形，G是上的任意一点，DELAG于点E,BF//DE,交AG于点、F,求

证：AF—BF=EF.

数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：

由正方形的性质得到AB=A。，ABAD=90°,

再由垂直和平行可知/APB=90°,

再利用同角的余角相等得到/ADE=/A4F，

则可根据“44S”判定AADEwABAF,

得到AE=BF,所以AF1—BF=AF-AE=EF.

【建立模型】

该数学小组小芳同学受此问题启发，对上面的问题进行了改编，并提出了如下问题：

⑴如图2,四边形ABCD是正方形，E,F是对角线47上的点，BF〃。0连接BE,DF.

求证：四边形BEDF是菱形；

【模型拓展】

该兴趣小组的同学们在杨老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点；

（2）如图3,若正方形ABCD的边长为12,E是对角线AC上的一点，过点E作EGLDE,交边BC于点G,

连接DG,交对角线力。于点F,CF-.EF=3:5,求FG•DF的值.

图1图2图3

［题目反］（2022•绥化三模）已知,正方形48co中，/AMN=45°,/AMN绕点人顺时针旋转,它的两边长分

另!］交CB、（或它们的延长线）于点M、N,Af/LTW于点区

（1）如图①，当/MAN点、A旋转到BM=ON时，请你直接写出与AB的数量关系:_AH=AB_；

（2）如图②，当/AMN绕点A旋转到BMWDN时，（1）中发现的AH■与AB的数量关系还成立吗？如果不成

立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知AMAN=45°，AH_LMN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.

图①图②图③

题目|48］（2022•集贤县模拟）已知正方形ABCD中，乙M4N=45°,/AMN绕点4顺时针旋转，它的两边分

别交CB,DC（或它们的延长线）于点河，N,AH_LMN于点H.

图①

（1）如图①，当/M4N绕点A旋转到BM=ON时，请你直接写出与AB的数量关系：_AB=AH

（2）如图②，当/M4N绕点A旋转到的WWON时，（1）中发现的4H与AB的数量关系还成立吗？如果不成

立请写出理由，如果成立请证明；

⑶如图③，已知/M4N=45°,AH,上W于点H,且MH=2,AH=6,求NH的长.（可利用（2）得到的结

论）

MS

全等三龟形2种基声模型

压轴题密押

通用的解题思路：

模型一:一线三等角模型

一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角

或钝角。或叫“K字模型”。

三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例,三直角型相似通常是以矩形或者正方形形

为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：

当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是

很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

基本类型:

同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”

模型二:手拉手模型--旋转型全等

一、等边三角形手拉手-出全等

二、等腰直角三角形手拉手-出全等

两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点。旋转过程中（B、C、。不共线）始终有：

①4BCD法AACE；②，4E（位置关系）且BO=AE（数量关系）；③FC平分2BFE；

题型三:倍长中线模型构造全等三角形

倍长中线是指加倍延长中线,使所延长部分与中线相等,往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相

等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）

（注:一般都是原题已经有中线时用）=

三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点,通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长

一倍，证明三角形全等,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.

\•

%

主要思路:倍长中线（线段）造全等

在△ABC中入。是边中线

MS

A

•E

延长入。到E,使。E=4D,连接BE

E

作CF_LAD于F,作BE_L4D的延长线于E连接BE

延长上到N,使DN=MD,连接CD

题型四:平行线+线段中点构造全等模型

遇有两条平行