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文档简介
第四章三角形
重难点07几何热考题一相交线与平行线热考模型
(10种题型汇总+专题训练+10种模型解析)
【题型汇总】
已知图示结论(性质)
1)同位角有4组,如:/I与N5、N2与/6、N3与N
E
直线AB、CD被直线7、/4与N8;
EF所截,且AB与CDA2)内错角有2组,如:N3与/5、N6与N8;
不平行3)同旁内角有2组,如:N3与N6、N4与N5;
4)对顶角有4组,如:N1与N3、/2与/4、N5与/
7、/6与N8.
F
1)同位角相等:/1=/5、N2=/6、N3=N7、N4=N8;
E
2)内错角相等:/3=/5、Z6=Z8;
直线AB、CD被直线3)同旁内角互补:Z3+Z6=180°、Z4+Z5=180°;
4-匏,B
EF所截,且AB〃CD4)对顶角相等:/1=/3、/2=/4、/5=/7、Z6=Z
8.
F
解题方法:运用平行线的性质计算角的度数,要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角,同时结合平行线
的性质及其他有关角的性质、定义进行计算.
1.(2022.青海・中考真题)数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形,如图所示(两大拇指代表被
截直线,食指代表截线).从左至右依次表示()
A.同旁内角、同位角、内错角
B.同位角、内错角、对顶角
C.对顶角、同位角、同旁内角
D.同位角、内错角、同旁内角
2.(2023•河北唐山•二模)下列图中,N1和42不是同位角的是()
3.(2024•内蒙古•中考真题)如图,直线k和%被直线片和〃所截,zl=Z2=130°,Z3=75°,贝吐4的度数
105°C.115°D.130°
4.(2024・陕西・中考真题)如图,ABWDC,BCWDE,乙B=145°,则AD的度数为()
A
A.25°B.35°C.45°D.55°
题型02猪蹄模型
猪蹄模型猪蹄模型-进阶(又称“锯齿”模型)
条件AB/7DEa//b
图示ABABaAi
上*
DE
DEA”1
b
•--------------------------^4
结论NB+NE=NBCENB+NCMN+NE=NBCM+ZMNE
左拐角之和二右拐角之和
辅助线作法:过拐点作平行线,有多少拐点就作多少平行线.
【补充】选、填题结论直接套用,解答题需写过程.
1.(2024•江苏南通・中考真题)如图,直线a||b,矩形力BCD的顶点A在直线6上,若N2=41。,则N1的度
数为()
A.41°B.51°C.49°D.59°
2.(2021九年级.全国.专题练习)在图中,AB//CD,NE+/G与NB+NF+又有何关系?
3.(2024抚顺市模拟预测)请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记,然后解决问题.
小明:老师说在解决有关平行线的问题时,如果无法直接得到角的关系,就需要借助辅助线来帮助解答,
今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”.即
已知:如图1,ABWCD,E为AB、之间一点,连接AE,CE得至UNAEC.
求证:N4EC=ZX+ZC
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明:过点E作EFIIAB
Vzl=NA
':AB\\CD,EFWAB
:.EF\\CD
."2=ZC
AAEC=Z1+Z2
Z.AEC=n4+NC
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法,完成下面的两个问题.
(1)如图,若ABIICD,Z.E=60°,求N8+NC+NF;
B
(2)如图,AB\\CD,BE平分上ABG,C尸平分NDCG,NG=NH+27°,求NH.
A.630°B.720°C.800°D.900°
2.如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架,其主要作用是动力传输.如图
2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图,已知AB||CD,CG||EF,乙BAG=150°,z£)EF=130°,
则乙4GC的度数是.
3.如图①所示,四边形MNBD为一张长方形纸片.如图②所示,将长方形纸片剪两刀,剪出三个角(NB4E、
“EC、乙ECD),贝!UB4E+N4EC+NECD=(度);
N.-------------.R
MD
图①
(1)如图③所示,将长方形纸片剪三刀,剪出四个角(NB2E、乙4第、4EF、乙FCD),则NB4E+“EF+
/.EFC+ZFCD=(度);
(2)如图④所示,将长方形纸片剪四刀,剪出五个角QB4E、AAEF,乙EFG、乙FGC、乙GCD),则NBAE+
Z.AEF+乙EFG+ZFGC+乙GCD=(度);
(3)根据前面的探索规律,将本题按照上述剪法剪71刀,剪出n+1个角,那么这71+1个角的和是(度).
4.(1)如图(1)AB||CD,猜想NBP。与48、乙0的关系,说出理由.
(2)观察图(2),已知4B||CD,猜想图中的NBPD与NB、AD的关系,并说明理由.
(3)观察图(3)和(4),已知4B||CD,猜想图中的N8PD与N8、的关系,不需要说明理由.
(3)(4)
题型04大脚模型
类型大脚模型骨折模型
已知AB〃CD
1.(20-21八年级上•贵州六盘水•阶段练习)如图,已知2BIID八,乙4BC=80°,^CDE=140°,则NBCO=.
2(2021九年级•全国・专题练习)已知A8//CD,求证:NB=NE+/D
3.(2021•全国•九年级专题练习)如图,如果A8〃EREF//CD,则Nl,Z2,/3的关系式
4.①如图1,AB//CD,贝l|NA+NE+NC=36O。;②如图2,AB//CD,贝l|NP=NA-NC;③如图3,AB
//CD,则NE=NA+Zl;④如图4,直线//跖,点。在直线所上,则4-々+々=180。.以
上结论正确的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
题型05蛇形模型
条件AB〃CD
图示ABAB
c上.
<DLE
DE
结论ZBCD+ZD-ZB=180°ZBCD+ZB-ZD=180°
1.(21-22八年级上•黑龙江哈尔滨•期中)已知直线4B||CD,P为平面内一点,连接P4、PD.
(1)如图1,已知乙4=50。,ND=150。,求"PD的度数;
(2)如图2,判断NP4B、乙CDP、"PD之间的数量关系为
(3)如图3,在(2)的条件下,APLPD,DN平分4PDC,若/PAN+g4PAB=4APD,求乙4ND的度数.
图①图②图③
(1)求证:ZB+ZC-ZX=180°:
(2)如图②,AQ.BQ分别为ADAC、NEBC的平分线所在直线,试探究NC与乙4QB的数量关系;
(3)如图③,在(2)的前提下,且有4CIIQB,直线AQ、8C交于点P,QP1PB,直接写出
Z-DAC:Z.ACB:(CBE=.
3.(23-24七年级下•辽宁营口•阶段练习)如图,AB||DC,点E在直线48,DC之间,连接DE,BE.
AB
⑴写出N4BE,乙BED,NEDC之间的数量关系,并说明理由;
(2)若NEDC=21°,乙BED=24B,求NB的度数;
题型06平行平分三等角
解题大招:平行平分得三等角.
1.(2024•山东淄博•中考真题)如图,已知2D||BC,BD平分NABC.若=110。,则AD的度数是()
2.(2024•四川・中考真题)如图,ABWCD,4。平分N84C,N1=30。,则乙2=()
A.15°B.30°C.45°D.60°
3.(2023・湖南张家界•中考真题)如图,已知直线48||CD,EG平分N8EF,Z1=40°,则42的度数是()
4.(2023・四川资阳•模拟预测)如图,直线力B||CD,BC平分A4BD,41=54。,则42=
记住三句话:①折叠前后对应角,对应边相等.
②折叠不改变原先的平行关系.
③以折线为对称轴.
1.(2024•黑龙江大庆•中考真题)如图,在一次综合实践课上,为检验纸带①、②的边线是否平行,小庆和
小铁采用了两种不同的方法:小庆把纸带①沿4B折叠,量得Nl=N2=59。;小铁把纸带②沿GH折叠,发
现GD与GC重合,HF与HE重合.且点C,G,。在同一直线上,点E,H,P也在同一直线上.则下列判断
A.纸带①、②的边线都平行
B.纸带①、②的边线都不平行
C.纸带①的边线平行,纸带②的边线不平行
D.纸带①的边线不平行,纸带②的边线平行
2.(2024・山西大同•模拟预测)如图1,四边形ABCD是一张矩形纸片,点。是BC上一点,将矩形纸片2BCD折
叠得到图2,使得。8与。C重合.若42=50。,则N1的度数为()
D.55°
3.(2023•江苏盐城•二模)如图,将平行四边形2BCD折叠,使点C落在力。边上的点C'处,N1=58。,42=42°,
则NC的度数为()
B.109°C.126.5°D.130°
4.(2024・四川凉山•模拟预测)如图,把矩形4BCD纸片沿EF折叠后,点C分别落在。,C,的位置.若
4AED'=50°,则的度数为.
题型08三角板拼接模型
常见的三角板与三角板(平行)拼接模型:
【提示】根据平行线的性质及三角形内角和进行角度计算,计算线段长时会用到特殊角的三角函数值.
1.(2023•江苏盐城・中考真题)小华将一副三角板(NC=ND=90。,NB=30。,ZE=45°)按如图所示的
方式摆放,其中4BIIEF,则41的度数为()
A.45°B.60°C.75°D.105°
2.(2024・四川凉山・中考真题)一副直角三角板按如图所示的方式摆放,点E在的延长线上,当DF||时,
NEDB的度数为()
A.10°B.15°C.30°D.45°
3.(2024•内蒙古赤峰•中考真题)将一副三角尺如图摆放,使有刻度的两条边互相平行,则N1的大小为()
4.(2023•黑龙江绥化•中考真题)将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内,41=25。,42=30。,则
43的度数为()
A.55°B.65°C.70°D.75°
题型09直尺与三角板拼接模型综合
类型一直尺与30°角的三角板拼接
图示
I/、
------1-----------1
解题方利用三线八角求解
法
结论Zl+Z2=90°Z1=Z2Zl+Z2=90°
类型二直尺与45°角的三角板拼接
图不
JZ1
解题方遇拐点作平行线三线八角+三角板特殊角求解三角板特殊角求解
法
结论Zl+Z2=90°Z1=Z2=75°Zl=105°
【提示】直尺本身含平行线,根据平行线性质及三角形的内角和进行角度计算.
1.(2024・四川巴中・中考真题)如图,直线znllzi,一块含有30。的直角三角板按如图所示放置.若乙1=40。,
A.70°B.60°C.50°D.40°
2.(2024•内蒙古通辽・中考真题)将三角尺力BC按如图位置摆放,顶点A落在直线匕上,顶点8落在直线%上,
若⑷电,41=25。,则42的度数是()
A.45°B.35°C.30°D.25°
3.(2024.海南.中考真题)如图,直线加山,把一块含45。角的直角三角板48C按如图所示的方式放置,点、B
在直线〃上,ZX=90°,若41=25。,贝吐2等于()
A.70°B.65°C.25°D.20°
4.(2024山东东营.中考真题)已知,直线矶6,把一块含有30。角的直角三角板如图放置,N1=30。,三角
板的斜边所在直线交b于点4贝叱2=()
5.(2024.山东济南.中考真题)如图,已知All。,△力BC是等腰直角三角形,ABAC=90°,顶点4B分别
在Zi,G上,当41=70。时,Z2=.
6.(2023•江苏・中考真题)将直角三角板和直尺按照如图位置摆放,若N1=56°,贝此2的度数是().
1
A.26°B.30°C.36°D.56°
7.(2024•江苏盐城•中考真题)小明将一块直角三角板摆放在直尺上,如图,若41=55。,贝此2的度数为()
1.如图,P是直线m上一动点,A,B是直线n上的两个定点,且直线小|忻,对于下列各值:①点尸到直线打的
距离;②APAB的周长;③AP/IB的面积;④N4PB的度数.其中不会随点P的移动而变化的是()
A.①③B.①②C.②③D.③④
2.(2024•宁夏吴忠二模)如图,ADWBC,AC.BD相交于点E,ATIBE的面积等于3,ABEC的面积等于5,
那么△BCD的面积是.
15.(23-24七年级下.上海松江•期中)如图,在四边形4BCD中,ADWBC,对角线AC、BD交于点0,若A4BC
的面积为8,ABOC的面积为5,则AC。。的面积是.
3.(2024・四川乐山•中考真题)如图,在梯形力BCD中,AD||BC,对角线4c和BD交于点O,若登胆=工,
S&BCD3
则迎”2
S^BOC
4(23-24七年级下.湖南永州.期末)课题学习:平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用
LABC=5xABxh.
(1)【问题探究】如图2,若点C平移到点。,求证:S^A0C=S^B0D;
(2)【深化拓展】如图3,记S—oc=SI'S^BOO=SZ'S^COD=*^3^LBOA=$4,根据图形特征,试证明:SrxS2=
S3XS4;
(3)【灵活运用】如图4,在平行四边形"CD中,点E是线段/D上的一点,BE与ZC相交于点0,已知S—BE=1。,
且EO:EB=2:5,求四边形CDE。的面积.
5.(2022.吉林・中考真题)下面是王倩同学的作业及自主探究笔记,请认真阅读并补充完整.
【作业】如图①,直线川电,△ZBC与△DBC的面积相等吗?为什么?
D
图①
解:相等.理由如下:
设乙与%之间的距离为九,贝IJS-BC=1BC,h,SMBC=3BC.h.
••S—BC=S2DBC•
【探究】
(1)如图②,当点。在k,"之间时,设点4。到直线12的距离分别为%,h',则产=9
S^DBC"
图②
证明:
(2)如图③,当点。在4,%之间时,连接4。并延长交%于点M,则受匹AM
b^DBCDM
图③
证明:过点4作4EIBM,垂足为E,过点。作DFIBM,垂足为尸,贝!U4EM=NDFM=90。,
:.AE\\_.
/.△AEM
.AE_AM
**OF-DM'
由【探究】(1)可知沁£=,
SADBC~
・S—BC_-M
S^DBCOM
(3)如图④,当点。在已下方时,连接4D交,2于点E.若点a,E,。所对应的刻度值分别为5,1.5,0,衿垄的
S^DBC
值为
图④
第四章三角形
重难点07几何热考题一相交线与平行线热考模型
(10种题型汇总+专题训练+10种模型解析)
【题型汇总】
已知图示结论(性质)
1)同位角有4组,如:/I与N5、N2与/6、N3与N
E
直线AB、CD被直线7、/4与N8;
EF所截,且AB与CDA2)内错角有2组,如:N3与/5、N6与N8;
不平行3)同旁内角有2组,如:N3与N6、N4与N5;
4)对顶角有4组,如:N1与N3、/2与/4、N5与/
7、/6与N8.
F
1)同位角相等:/1=/5、N2=/6、N3=N7、N4=N8;
E
2)内错角相等:/3=/5、Z6=Z8;
直线AB、CD被直线3)同旁内角互补:Z3+Z6=180°、Z4+Z5=180°;
4-匏,B
EF所截,且AB〃CD4)对顶角相等:/1=/3、/2=/4、/5=/7、Z6=Z
8.
F
解题方法:运用平行线的性质计算角的度数,要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角,同时结合平行线
的性质及其他有关角的性质、定义进行计算.
1.(2022.青海・中考真题)数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形,如图所示(两大拇指代表被
截直线,食指代表截线).从左至右依次表示()
A.同旁内角、同位角、内错角
B.同位角、内错角、对顶角
C.对顶角、同位角、同旁内角
D.同位角、内错角、同旁内角
【答案】D
【分析】两条线人b被第三条直线c所截,在截线的同旁,被截两直线的同一方,把这种位置关系的角称
为同位角;两个角分别在截线的异侧,且夹在两条被截线之间,具有这样位置关系的一对角互为内错角;
两个角都在截线的同一侧,且在两条被截线之间,具有这样位置关系的一对角互为同旁内角.据此作答即
可.
【详解】解:根据同位角、内错角、同旁内角的概念,可知
第一个图是同位角,第二个图是内错角,第三个图是同旁内角.
故选:D.
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角,解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角,并能区
别它们.
2.(2023•河北唐山二模)下列图中,N1和N2不是同位角的是()
A.B.C.一D.
【答案】B
【分析】根据同位角的定义(在截线的同侧,并且在被截线的同一方的两个角是同位角)进行判断.
【详解】A选项:41与N2有一边在同一条直线上,另一条边在被截线的同一方,是同位角,
B选项:N1与N2的两条边都不在同一条直线上,不是同位角,
C选项:N1与42有一条边在同一条直线上,另一条边在被截线的同一方,是同位角,
D选项:41与42有一边在同一条直线上,另一条边在被截线的同一方,是同位角.
故选:B.
【点睛】本题考查了同位角的定义,判断是否是同位角,必须符合三线八角中,在截线的同侧,并且在被
截线的同一方的两个角是同位角.
3.(2024•内蒙古・中考真题)如图,直线k和办被直线G和〃所截,41=42=130。,43=75。,贝叱4的度数
为()
C.115°D.130°
【答案】B
【分析】本题考查平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定方法和性质是解题的关键.先利用N1=42=
130。判定人||12,再利用对顶角的性质和平行线的性质即可求解.
【详解】解:・."1=42=130。,
・・・45+44=180°,
VZ3=Z5=75°,
・"4=180°-75°=105°,
故选:B.
4.(2024・陕西・中考真题)如图,ABWDC,BC\\DE,Z,B=145°,则ND的度数为()
A.25°B.35°C.45°D.55°
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.先根据“两直线平行,同旁内角
互补”,得到/。=35。,再根据“两直线平行,内错角相等”,即可得到答案.
【详解】-ABWDC,
・•・乙B+LC=180°,
•・•乙B=145°,
・•・ZC=180°-ZB=35°,
•・•BCWDE,
Z.D—Z-C—35°.
故选B.
题型02猪蹄模型
猪蹄模型猪蹄模型-进阶(又称“锯齿”模型)
条件AB〃DEa〃b
图示AB
•/ABaAi
*A21
^.A3
A4,<^-A
上5
DE
DE
b
-----------------
结论ZB+ZE=ZBCENB+NCMN+NE=NBCM+NMNE
4++Z4+...+Z24n
—/4+/4+…+/A-i
左拐角之和二右拐角之和
辅助线作法:过拐点作平行线,有多少拐点就作多少平行线.
【补充】选、填题结论直接套用,解答题需写过程.
1.(2024•江苏南通・中考真题)如图,直线a||6,矩形A8CD的顶点A在直线6上,若42=41。,则41的度
数为()
A.41°B.51°C.49°D.59°
【答案】C
【分析】本题考查矩形的性质,平行线的判定和性质,过点B作BE||a,得到BE||a||b,推出乙4BC=zl+Z2,
进行求解即可.
【详解】解::矩形
:./-ABC=90°,
过点8作BE||a,
c
a
一
A
*•a||b,
:.BE||a||b,
Az.1=/.ABE,Z2=乙CBE,
:•(ABC=Z.ABE+Z.CBE=Z1+Z.2,
Vz2=41°,
Azi=90°-41°=49°;
故选c.
2.(2021九年级•全国・专题练习)在图中,AB//CD,NE+NG与NB+NF+ND又有何关系?
【分析】此类题要过各个分点作已知直线的平行线,充分运用平行线的性质进行推导.
【详解】分别过E,F,G作的平行线,
AB//EM//FN//GH//CD,
则41=Z.B,z2=z3,z.4=z.5,z.6=乙D,
z.1+z.2+z.5+z.6=Z-B+z.3+z.4+乙D,
即,Z-E+Z-G=Z-B+Z-F+Z.D.
【点睛】此类题主要注意构造辅助线:平行线,解题的关键是充分运用平行线的性质进行证明.
3.(2024抚顺市模拟预测)请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记,然后解决问题.
小明:老师说在解决有关平行线的问题时,如果无法直接得到角的关系,就需要借助辅助线来帮助解答,
今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”.即
已知:如图1,ABWCD,E为AB、CD之间一点,连接AE,CE1得至UN/EC.
求证:/.AEC=^A+^C
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明:过点E作EFIMB
VZ1=
VXBIIC/),EFWAB
:.EF\\CD
Az2=ZC
J.Z.AEC=Z1+Z2
Z.AEC=Z-A+Z-C
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法,完成下面的两个问题.
(1)如图,若ABIICD,ZE=60°,求NB+NC+NF;
(2)如图,ABWCD,BE平分4ABG,CF平分NDCG,NG=N”+27。,求NH.
H
【答案】(1)240°
(2)51°
【分析】(1)作EMIL48,FNWCD,如图,根据平行线的性质得EM|4B||FN|£D,所以48=N1,42=43,
44+NC=180°,然后利用等量代换计算ZB+Z.F+ZC=240°;
(2)分别过G、"作48的平行线和RS,根据平行线的性质和角平分线的性质可用乙4BG和NDCG分别
表示出N”和NG,从而可找到NH和NG的关系,结合条件可求得N"=51。.
【详解】(1)作EMII4B,FNWCD,如图,且4BIICD
:.EM\\AB\\FN\\CD
."8=N1,N2=N3,N4+NC=180°
乙B+Z.CFE+zC=zl+z3+z4+zC=乙BEF+z4+zC=乙BEF+180°,
■:4BEF=60°,
:.乙B+乙CFE+ZC=60°+180°=240°;
(2)如图,分别过G、〃作AB的平行线MN和RS,
RH
平分N4BG,CF平分NDCG,
11
:•(ABE=-/.ABG,乙SHC=乙DCF=LDCG,
22
9:AB\\CD
:.AB\\CD\\RS\\MN
:'乙RHB=/.ABE=-Z.ABG,乙SHC=乙DCF=-A.DCG,
22
:•乙NGB+乙ABG=乙MGC+乙DCG=180°,
."BHC=180°-乙RHB-Z.SHC=180°+乙DCG),
乙BGC=180°-乙NGB-4MGC=180°-(180°-/.ABG')-(180°-zPCG)=^ABG+乙DCG-180°
:'乙BGC=360°-2乙BHC-180°=180°-2(BHC,
VZ.BGC=乙BHC+27°,
:.180°-2乙BHC=乙BHC+27°,
•"BHC=51°.
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用,能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键,
注意:①两直线平行,同位角相等,②两直线平行,内错角相等,③两直线平行,同旁内角互补,反之亦
然.
题型03铅笔头模型
铅笔头模型铅笔头模型-进阶
条件AB//DEAB〃DEa〃b
A.630°B.720°C.800°D.900°
【答案】D
【详解】分别过E点万点,G点,H点作L1,L2,£3,L4平行于AB
观察图形可知,图中有5组同旁内角,
则N1+42+43+N4++N6=180°x5=900".
故选D
【点睛】本题考查了平行线的性质,添加辅助线是解题的关键
2.如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架,其主要作用是动力传输.如图
2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图,已知4B||CD,CG||EF,乙BAG=150。/。"=130°,
则乙4GC的度数是.
CED
图1图2
【答案】80。/80度
【分析】过点/作FMIICD,因为4BIICD,所以4BIICDIIFM,再根据平行线的性质可以求出NM凡4,乙EFM,
进而可求出NER4,再根据平行线的性质即可求得乙4GC.
【详解】解:如图,过点B作FMIICD,
':AB\\CD,
:.AB\\CD\\FM,
:.Z.DEF+Z.EFM=180°,/.MFA+^BAG=180°,
':LBAG=150°,/.DEF=130°,
J.Z.MFA=30°,Z.EFM=50°,
LEFA=Z.EFM+Z.AFM=80°,
VCG||EF,
J.Z.AGC=/.EFA=80°.
故答案为80。.
【点睛】本题考查平行线的性质,解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算.
3.如图①所示,四边形MNBD为一张长方形纸片.如图②所示,将长方形纸片剪两刀,剪出三个角(AB4E、
/-AEC,乙ECD),贝此BAE+/.AEC+乙ECD=(度);
NB
—,B,力B,B
Mr
DCD~~~C2D~~c-D-------
图①图②图③图④
(1)如图③所示,将长方形纸片剪三刀,剪出四个角QB4E、乙AEF、LEF、乙FCD),贝此艮46+N4EF+
乙EFC+乙FCD=(度);
(2)如图④所示,将长方形纸片剪四刀,剪出五个角(NB2E、^AEF.AEFG、NFGC、NGCD),则NB2E+
乙AEF+乙EFG+乙FGC+乙GCD=(度);
(3)根据前面的探索规律,将本题按照上述剪法剪九刀,剪出n+1个角,那么这n+1个角的和是(度).
【答案】360540720180w
【分析】过点E作EHII4B,再根据两直线平行,同旁内角互补即可得到三个角的和等于180。的2倍;
(1)分别过E、F分别作4B的平行线,根据两直线平行,同旁内角互补即可得到四个角的和等于180。的三
倍;
(2)分别过E、F、G分别作48的平行线,根据两直线平行,同旁内角互补即可得到四个角的和等于180。的
四倍;
(3)根据前三问个的剪法,剪n刀,剪出n+1个角,那么这n+1个角的和是180几度.
【详解】过E作EHII4B(如图②).
•.•原四边形是长方形,
:.AB\\CD,
:.CD\\EH(平行于同一条直线的两条直线互相平行).
:.^BAE+Z1=180。(两直线平行,同旁内角互补).
,/CDWEH,
.•.N2+NOCE=180。(两直线平行,同旁内角互补).
:.^BAE+zl+Z2+4ECD=360°,
又•.21+N2=N4EC,
AL.BAE+Z.AEC+4ECD=360°;
(1)分别过E、F分别作4B的平行线,如图③所示,
用上面的方法可得NB4E+/.AEF+4EFC+乙FCD=540°;
(2)分别过E、F、G分别作AB的平行线,如图④所示,
用上面的方法可得NB4E+4AEF+Z.EFG+乙FGC+乙GCD=720°;
(3)由此可得一般规律:剪n刀,剪出n+1个角,那么这?i+1个角的和是180n度.
故答案为:360;540;720;180n.
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和,作平行线并利用两直线平行,同旁内角互补是解本题的关键,
总结规律求解是本题的难点.
4.(1)如图(1)AB||CD,猜想N8PD与48、4。的关系,说出理由.
(2)观察图(2),已知||CD,猜想图中的NBPD与NB、AD的关系,并说明理由.
(3)观察图(3)和(4),已知4B||CD,猜想图中的乙BPD与乙8、ND的关系,不需要说明理由.
【答案】(1)ZB+Z.BPD+^D=360°,理由见解析;(2)乙BPD=AB+乙D,理由见解析;(3)图(3)
乙BPD=£D—乙B,图(4)乙BPD=NB-ND
【分析】(1)过点Pi^EF||AB,得至IJ/8+/.BPE=180°,由2B||CD,EF||AB,得至IjEF||CD,得至【J/EPD+
AD=180°,由此得到NB+乙BPD+ND=360°;
(2)过点尸作PE||AB,由PE||AB||CD,得至!Ul=NB,N2=ND,从而得至!)结论NBPD=zl+z2=zS+
ND;
(3)由AB||CD,根据两直线平行,内错角相等与三角形外角的性质,即可求得N8P0与NB、的关系.
【详解】(1)解:猜想N8+4BPD+N。=360。.
理由:过点尸作EFII48,
ALB+Z-BPE=180°,
9:AB||CD,EF||AB,
:.EF||CD,
:•乙EPD+乙D=180°,
/.ZB+乙BPE+乙EPD+ZD=360°,
:•乙B+乙BPD+=360°;
(2)(BPD=+乙D.
理由:如图,过点尸作PE||48
AB
4…一E
CD
(2)
*:AB||CD,
:.PE||AB||CD,
z.1=乙B,z2=乙D,
Z-BPD=zl+z2=Z-B+Z-D;
(3)如图(3):乙BPD=AD一4B.
理由:\'AB||CD,
P
⑶
zl=Z.D,
,/Zl=NB+NP,
Z.D=Z.B+乙P,
即NBPD=CD—乙B;
如图(4):/.BPD=/.B-Z.D.
理由:':AB||CD,
⑷
/.z.1=乙B,
Vz.1=zD+zP,
Z-B=Z-D+乙P,
即乙BPO=—乙D.
【点睛】此题考查了平行线的性质,平行公理的推论,三角形的外角的性质定理,熟记平行线的性质是解
题的关键.
题型04大脚模型
类型大脚模型骨折模型
已知AB/7CD
1.(20-21八年级上•贵州六盘水•阶段练习)如图,已知2BIID八,乙4BC=80°,^CDE=140°,则NBCO=.
【答案】40。/40度
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质.过点C作CFIL4B,根据平行线的性质和角的和差,求解即可
得到结论.
【详解】解:如图,过点C作CFIIAB,
•••乙BCF=AABC=80°,
^■:AB\\DE,
:.DEWCF,
•••乙DCF+Z.CDE=180°,
•••乙DCF=40°,
•••乙BCD=4BCF-乙DCF=80°-40°=40°.
故答案为:40°.
2(2021九年级•全国・专题练习)已知AB//CZ),求证:ZB=ZE+ZD
AB
D
E
【答案】见解析
【分析】过点E作斯〃C。,根据平行线的性质即可得出根据平行线的性质即可得出
/BOD=NBEF、ZD=ZDEF,结合角之间的关系即可得出结论.
【详解】证明:过点E作所〃CD如图
'CAB//CD,
:.ZB=ZBOD,
■:EF//CD(辅助线),
(两直线平行,同位角相等);(两直线平行,内错角相等);
ZBEF=ZBED+ZDEF=ZBED+ZD(等量代换),
:.ZBOD=ZE+ZD(等量代换),即N8=/E+N。.
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算,解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角.
3.(2021•全国•九年级专题练习)如图,如果EF//CD,则/I,Z2,/3的关系式.
【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可.
【详解】解:EF//CD,
AZ2+ZBO£=180°,Z3+ZCOF=180°,
Z2+Z3+ZBOE+ZCOF=360°,
ZBOE+ZCOF+Zl=180°,
ZBOE+ZCOF=180°-Zl,
AZ2+Z3+(180°-Zl)=360°,
即N2+N3-Zl=180°.
故答案为:Z2+Z3-Zl=180°.
【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义,熟练掌握平行线的性质是解答的关键.
4.①如图1,AB//CD,贝l]NA+NE+NC=360。;②如图2,AB//CD,贝!|NP=NA-NC;③如图3,AB
//CD,则NE=NA+/1;④如图4,直线AB〃8//EF,点0在直线E尸上,则4-4+々=180。.以
上结论正确的个数是()
图4
图1图2图3
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
【分析】①过点E作直线
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