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文档简介

第四章三角形

重难点07几何热考题一相交线与平行线热考模型

(10种题型汇总+专题训练+10种模型解析)

【题型汇总】

已知图示结论(性质)

1)同位角有4组,如:/I与N5、N2与/6、N3与N

E

直线AB、CD被直线7、/4与N8;

EF所截,且AB与CDA2)内错角有2组,如:N3与/5、N6与N8;

不平行3)同旁内角有2组,如:N3与N6、N4与N5;

4)对顶角有4组,如:N1与N3、/2与/4、N5与/

7、/6与N8.

F

1)同位角相等:/1=/5、N2=/6、N3=N7、N4=N8;

E

2)内错角相等:/3=/5、Z6=Z8;

直线AB、CD被直线3)同旁内角互补:Z3+Z6=180°、Z4+Z5=180°;

4-匏,B

EF所截,且AB〃CD4)对顶角相等:/1=/3、/2=/4、/5=/7、Z6=Z

8.

F

解题方法:运用平行线的性质计算角的度数,要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角,同时结合平行线

的性质及其他有关角的性质、定义进行计算.

1.(2022.青海・中考真题)数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形,如图所示(两大拇指代表被

截直线,食指代表截线).从左至右依次表示()

A.同旁内角、同位角、内错角

B.同位角、内错角、对顶角

C.对顶角、同位角、同旁内角

D.同位角、内错角、同旁内角

2.(2023•河北唐山•二模)下列图中,N1和42不是同位角的是()

3.(2024•内蒙古•中考真题)如图,直线k和%被直线片和〃所截,zl=Z2=130°,Z3=75°,贝吐4的度数

105°C.115°D.130°

4.(2024・陕西・中考真题)如图,ABWDC,BCWDE,乙B=145°,则AD的度数为()

A

A.25°B.35°C.45°D.55°

题型02猪蹄模型

猪蹄模型猪蹄模型-进阶(又称“锯齿”模型)

条件AB/7DEa//b

图示ABABaAi

上*

DE

DEA”1

b

•--------------------------^4

结论NB+NE=NBCENB+NCMN+NE=NBCM+ZMNE

左拐角之和二右拐角之和

辅助线作法:过拐点作平行线,有多少拐点就作多少平行线.

【补充】选、填题结论直接套用,解答题需写过程.

1.(2024•江苏南通・中考真题)如图,直线a||b,矩形力BCD的顶点A在直线6上,若N2=41。,则N1的度

数为()

A.41°B.51°C.49°D.59°

2.(2021九年级.全国.专题练习)在图中,AB//CD,NE+/G与NB+NF+又有何关系?

3.(2024抚顺市模拟预测)请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记,然后解决问题.

小明:老师说在解决有关平行线的问题时,如果无法直接得到角的关系,就需要借助辅助线来帮助解答,

今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”.即

已知:如图1,ABWCD,E为AB、之间一点,连接AE,CE得至UNAEC.

求证:N4EC=ZX+ZC

小明笔记上写出的证明过程如下:

证明:过点E作EFIIAB

Vzl=NA

':AB\\CD,EFWAB

:.EF\\CD

."2=ZC

AAEC=Z1+Z2

Z.AEC=n4+NC

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法,完成下面的两个问题.

(1)如图,若ABIICD,Z.E=60°,求N8+NC+NF;

B

(2)如图,AB\\CD,BE平分上ABG,C尸平分NDCG,NG=NH+27°,求NH.

A.630°B.720°C.800°D.900°

2.如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架,其主要作用是动力传输.如图

2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图,已知AB||CD,CG||EF,乙BAG=150°,z£)EF=130°,

则乙4GC的度数是.

3.如图①所示,四边形MNBD为一张长方形纸片.如图②所示,将长方形纸片剪两刀,剪出三个角(NB4E、

“EC、乙ECD),贝!UB4E+N4EC+NECD=(度);

N.-------------.R

MD

图①

(1)如图③所示,将长方形纸片剪三刀,剪出四个角(NB2E、乙4第、4EF、乙FCD),则NB4E+“EF+

/.EFC+ZFCD=(度);

(2)如图④所示,将长方形纸片剪四刀,剪出五个角QB4E、AAEF,乙EFG、乙FGC、乙GCD),则NBAE+

Z.AEF+乙EFG+ZFGC+乙GCD=(度);

(3)根据前面的探索规律,将本题按照上述剪法剪71刀,剪出n+1个角,那么这71+1个角的和是(度).

4.(1)如图(1)AB||CD,猜想NBP。与48、乙0的关系,说出理由.

(2)观察图(2),已知4B||CD,猜想图中的NBPD与NB、AD的关系,并说明理由.

(3)观察图(3)和(4),已知4B||CD,猜想图中的N8PD与N8、的关系,不需要说明理由.

(3)(4)

题型04大脚模型

类型大脚模型骨折模型

已知AB〃CD

1.(20-21八年级上•贵州六盘水•阶段练习)如图,已知2BIID八,乙4BC=80°,^CDE=140°,则NBCO=.

2(2021九年级•全国・专题练习)已知A8//CD,求证:NB=NE+/D

3.(2021•全国•九年级专题练习)如图,如果A8〃EREF//CD,则Nl,Z2,/3的关系式

4.①如图1,AB//CD,贝l|NA+NE+NC=36O。;②如图2,AB//CD,贝l|NP=NA-NC;③如图3,AB

//CD,则NE=NA+Zl;④如图4,直线//跖,点。在直线所上,则4-々+々=180。.以

上结论正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

题型05蛇形模型

条件AB〃CD

图示ABAB

c上.

<DLE

DE

结论ZBCD+ZD-ZB=180°ZBCD+ZB-ZD=180°

1.(21-22八年级上•黑龙江哈尔滨•期中)已知直线4B||CD,P为平面内一点,连接P4、PD.

(1)如图1,已知乙4=50。,ND=150。,求"PD的度数;

(2)如图2,判断NP4B、乙CDP、"PD之间的数量关系为

(3)如图3,在(2)的条件下,APLPD,DN平分4PDC,若/PAN+g4PAB=4APD,求乙4ND的度数.

图①图②图③

(1)求证:ZB+ZC-ZX=180°:

(2)如图②,AQ.BQ分别为ADAC、NEBC的平分线所在直线,试探究NC与乙4QB的数量关系;

(3)如图③,在(2)的前提下,且有4CIIQB,直线AQ、8C交于点P,QP1PB,直接写出

Z-DAC:Z.ACB:(CBE=.

3.(23-24七年级下•辽宁营口•阶段练习)如图,AB||DC,点E在直线48,DC之间,连接DE,BE.

AB

⑴写出N4BE,乙BED,NEDC之间的数量关系,并说明理由;

(2)若NEDC=21°,乙BED=24B,求NB的度数;

题型06平行平分三等角

解题大招:平行平分得三等角.

1.(2024•山东淄博•中考真题)如图,已知2D||BC,BD平分NABC.若=110。,则AD的度数是()

2.(2024•四川・中考真题)如图,ABWCD,4。平分N84C,N1=30。,则乙2=()

A.15°B.30°C.45°D.60°

3.(2023・湖南张家界•中考真题)如图,已知直线48||CD,EG平分N8EF,Z1=40°,则42的度数是()

4.(2023・四川资阳•模拟预测)如图,直线力B||CD,BC平分A4BD,41=54。,则42=

记住三句话:①折叠前后对应角,对应边相等.

②折叠不改变原先的平行关系.

③以折线为对称轴.

1.(2024•黑龙江大庆•中考真题)如图,在一次综合实践课上,为检验纸带①、②的边线是否平行,小庆和

小铁采用了两种不同的方法:小庆把纸带①沿4B折叠,量得Nl=N2=59。;小铁把纸带②沿GH折叠,发

现GD与GC重合,HF与HE重合.且点C,G,。在同一直线上,点E,H,P也在同一直线上.则下列判断

A.纸带①、②的边线都平行

B.纸带①、②的边线都不平行

C.纸带①的边线平行,纸带②的边线不平行

D.纸带①的边线不平行,纸带②的边线平行

2.(2024・山西大同•模拟预测)如图1,四边形ABCD是一张矩形纸片,点。是BC上一点,将矩形纸片2BCD折

叠得到图2,使得。8与。C重合.若42=50。,则N1的度数为()

D.55°

3.(2023•江苏盐城•二模)如图,将平行四边形2BCD折叠,使点C落在力。边上的点C'处,N1=58。,42=42°,

则NC的度数为()

B.109°C.126.5°D.130°

4.(2024・四川凉山•模拟预测)如图,把矩形4BCD纸片沿EF折叠后,点C分别落在。,C,的位置.若

4AED'=50°,则的度数为.

题型08三角板拼接模型

常见的三角板与三角板(平行)拼接模型:

【提示】根据平行线的性质及三角形内角和进行角度计算,计算线段长时会用到特殊角的三角函数值.

1.(2023•江苏盐城・中考真题)小华将一副三角板(NC=ND=90。,NB=30。,ZE=45°)按如图所示的

方式摆放,其中4BIIEF,则41的度数为()

A.45°B.60°C.75°D.105°

2.(2024・四川凉山・中考真题)一副直角三角板按如图所示的方式摆放,点E在的延长线上,当DF||时,

NEDB的度数为()

A.10°B.15°C.30°D.45°

3.(2024•内蒙古赤峰•中考真题)将一副三角尺如图摆放,使有刻度的两条边互相平行,则N1的大小为()

4.(2023•黑龙江绥化•中考真题)将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内,41=25。,42=30。,则

43的度数为()

A.55°B.65°C.70°D.75°

题型09直尺与三角板拼接模型综合

类型一直尺与30°角的三角板拼接

图示

I/、

------1-----------1

解题方利用三线八角求解

结论Zl+Z2=90°Z1=Z2Zl+Z2=90°

类型二直尺与45°角的三角板拼接

图不

JZ1

解题方遇拐点作平行线三线八角+三角板特殊角求解三角板特殊角求解

结论Zl+Z2=90°Z1=Z2=75°Zl=105°

【提示】直尺本身含平行线,根据平行线性质及三角形的内角和进行角度计算.

1.(2024・四川巴中・中考真题)如图,直线znllzi,一块含有30。的直角三角板按如图所示放置.若乙1=40。,

A.70°B.60°C.50°D.40°

2.(2024•内蒙古通辽・中考真题)将三角尺力BC按如图位置摆放,顶点A落在直线匕上,顶点8落在直线%上,

若⑷电,41=25。,则42的度数是()

A.45°B.35°C.30°D.25°

3.(2024.海南.中考真题)如图,直线加山,把一块含45。角的直角三角板48C按如图所示的方式放置,点、B

在直线〃上,ZX=90°,若41=25。,贝吐2等于()

A.70°B.65°C.25°D.20°

4.(2024山东东营.中考真题)已知,直线矶6,把一块含有30。角的直角三角板如图放置,N1=30。,三角

板的斜边所在直线交b于点4贝叱2=()

5.(2024.山东济南.中考真题)如图,已知All。,△力BC是等腰直角三角形,ABAC=90°,顶点4B分别

在Zi,G上,当41=70。时,Z2=.

6.(2023•江苏・中考真题)将直角三角板和直尺按照如图位置摆放,若N1=56°,贝此2的度数是().

1

A.26°B.30°C.36°D.56°

7.(2024•江苏盐城•中考真题)小明将一块直角三角板摆放在直尺上,如图,若41=55。,贝此2的度数为()

1.如图,P是直线m上一动点,A,B是直线n上的两个定点,且直线小|忻,对于下列各值:①点尸到直线打的

距离;②APAB的周长;③AP/IB的面积;④N4PB的度数.其中不会随点P的移动而变化的是()

A.①③B.①②C.②③D.③④

2.(2024•宁夏吴忠二模)如图,ADWBC,AC.BD相交于点E,ATIBE的面积等于3,ABEC的面积等于5,

那么△BCD的面积是.

15.(23-24七年级下.上海松江•期中)如图,在四边形4BCD中,ADWBC,对角线AC、BD交于点0,若A4BC

的面积为8,ABOC的面积为5,则AC。。的面积是.

3.(2024・四川乐山•中考真题)如图,在梯形力BCD中,AD||BC,对角线4c和BD交于点O,若登胆=工,

S&BCD3

则迎”2

S^BOC

4(23-24七年级下.湖南永州.期末)课题学习:平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用

LABC=5xABxh.

(1)【问题探究】如图2,若点C平移到点。,求证:S^A0C=S^B0D;

(2)【深化拓展】如图3,记S—oc=SI'S^BOO=SZ'S^COD=*^3^LBOA=$4,根据图形特征,试证明:SrxS2=

S3XS4;

(3)【灵活运用】如图4,在平行四边形"CD中,点E是线段/D上的一点,BE与ZC相交于点0,已知S—BE=1。,

且EO:EB=2:5,求四边形CDE。的面积.

5.(2022.吉林・中考真题)下面是王倩同学的作业及自主探究笔记,请认真阅读并补充完整.

【作业】如图①,直线川电,△ZBC与△DBC的面积相等吗?为什么?

D

图①

解:相等.理由如下:

设乙与%之间的距离为九,贝IJS-BC=1BC,h,SMBC=3BC.h.

••S—BC=S2DBC•

【探究】

(1)如图②,当点。在k,"之间时,设点4。到直线12的距离分别为%,h',则产=9

S^DBC"

图②

证明:

(2)如图③,当点。在4,%之间时,连接4。并延长交%于点M,则受匹AM

b^DBCDM

图③

证明:过点4作4EIBM,垂足为E,过点。作DFIBM,垂足为尸,贝!U4EM=NDFM=90。,

:.AE\\_.

/.△AEM

.AE_AM

**OF-DM'

由【探究】(1)可知沁£=,

SADBC~

・S—BC_-M

S^DBCOM

(3)如图④,当点。在已下方时,连接4D交,2于点E.若点a,E,。所对应的刻度值分别为5,1.5,0,衿垄的

S^DBC

值为

图④

第四章三角形

重难点07几何热考题一相交线与平行线热考模型

(10种题型汇总+专题训练+10种模型解析)

【题型汇总】

已知图示结论(性质)

1)同位角有4组,如:/I与N5、N2与/6、N3与N

E

直线AB、CD被直线7、/4与N8;

EF所截,且AB与CDA2)内错角有2组,如:N3与/5、N6与N8;

不平行3)同旁内角有2组,如:N3与N6、N4与N5;

4)对顶角有4组,如:N1与N3、/2与/4、N5与/

7、/6与N8.

F

1)同位角相等:/1=/5、N2=/6、N3=N7、N4=N8;

E

2)内错角相等:/3=/5、Z6=Z8;

直线AB、CD被直线3)同旁内角互补:Z3+Z6=180°、Z4+Z5=180°;

4-匏,B

EF所截,且AB〃CD4)对顶角相等:/1=/3、/2=/4、/5=/7、Z6=Z

8.

F

解题方法:运用平行线的性质计算角的度数,要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角,同时结合平行线

的性质及其他有关角的性质、定义进行计算.

1.(2022.青海・中考真题)数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形,如图所示(两大拇指代表被

截直线,食指代表截线).从左至右依次表示()

A.同旁内角、同位角、内错角

B.同位角、内错角、对顶角

C.对顶角、同位角、同旁内角

D.同位角、内错角、同旁内角

【答案】D

【分析】两条线人b被第三条直线c所截,在截线的同旁,被截两直线的同一方,把这种位置关系的角称

为同位角;两个角分别在截线的异侧,且夹在两条被截线之间,具有这样位置关系的一对角互为内错角;

两个角都在截线的同一侧,且在两条被截线之间,具有这样位置关系的一对角互为同旁内角.据此作答即

可.

【详解】解:根据同位角、内错角、同旁内角的概念,可知

第一个图是同位角,第二个图是内错角,第三个图是同旁内角.

故选:D.

【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角,解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角,并能区

别它们.

2.(2023•河北唐山二模)下列图中,N1和N2不是同位角的是()

A.B.C.一D.

【答案】B

【分析】根据同位角的定义(在截线的同侧,并且在被截线的同一方的两个角是同位角)进行判断.

【详解】A选项:41与N2有一边在同一条直线上,另一条边在被截线的同一方,是同位角,

B选项:N1与N2的两条边都不在同一条直线上,不是同位角,

C选项:N1与42有一条边在同一条直线上,另一条边在被截线的同一方,是同位角,

D选项:41与42有一边在同一条直线上,另一条边在被截线的同一方,是同位角.

故选:B.

【点睛】本题考查了同位角的定义,判断是否是同位角,必须符合三线八角中,在截线的同侧,并且在被

截线的同一方的两个角是同位角.

3.(2024•内蒙古・中考真题)如图,直线k和办被直线G和〃所截,41=42=130。,43=75。,贝叱4的度数

为()

C.115°D.130°

【答案】B

【分析】本题考查平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定方法和性质是解题的关键.先利用N1=42=

130。判定人||12,再利用对顶角的性质和平行线的性质即可求解.

【详解】解:・."1=42=130。,

・・・45+44=180°,

VZ3=Z5=75°,

・"4=180°-75°=105°,

故选:B.

4.(2024・陕西・中考真题)如图,ABWDC,BC\\DE,Z,B=145°,则ND的度数为()

A.25°B.35°C.45°D.55°

【答案】B

【分析】本题考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.先根据“两直线平行,同旁内角

互补”,得到/。=35。,再根据“两直线平行,内错角相等”,即可得到答案.

【详解】-ABWDC,

・•・乙B+LC=180°,

•・•乙B=145°,

・•・ZC=180°-ZB=35°,

•・•BCWDE,

Z.D—Z-C—35°.

故选B.

题型02猪蹄模型

猪蹄模型猪蹄模型-进阶(又称“锯齿”模型)

条件AB〃DEa〃b

图示AB

•/ABaAi

*A21

^.A3

A4,<^-A

上5

DE

DE

b

-----------------

结论ZB+ZE=ZBCENB+NCMN+NE=NBCM+NMNE

4++Z4+...+Z24n

—/4+/4+…+/A-i

左拐角之和二右拐角之和

辅助线作法:过拐点作平行线,有多少拐点就作多少平行线.

【补充】选、填题结论直接套用,解答题需写过程.

1.(2024•江苏南通・中考真题)如图,直线a||6,矩形A8CD的顶点A在直线6上,若42=41。,则41的度

数为()

A.41°B.51°C.49°D.59°

【答案】C

【分析】本题考查矩形的性质,平行线的判定和性质,过点B作BE||a,得到BE||a||b,推出乙4BC=zl+Z2,

进行求解即可.

【详解】解::矩形

:./-ABC=90°,

过点8作BE||a,

c

a

A

*•a||b,

:.BE||a||b,

Az.1=/.ABE,Z2=乙CBE,

:•(ABC=Z.ABE+Z.CBE=Z1+Z.2,

Vz2=41°,

Azi=90°-41°=49°;

故选c.

2.(2021九年级•全国・专题练习)在图中,AB//CD,NE+NG与NB+NF+ND又有何关系?

【分析】此类题要过各个分点作已知直线的平行线,充分运用平行线的性质进行推导.

【详解】分别过E,F,G作的平行线,

AB//EM//FN//GH//CD,

则41=Z.B,z2=z3,z.4=z.5,z.6=乙D,

z.1+z.2+z.5+z.6=Z-B+z.3+z.4+乙D,

即,Z-E+Z-G=Z-B+Z-F+Z.D.

【点睛】此类题主要注意构造辅助线:平行线,解题的关键是充分运用平行线的性质进行证明.

3.(2024抚顺市模拟预测)请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记,然后解决问题.

小明:老师说在解决有关平行线的问题时,如果无法直接得到角的关系,就需要借助辅助线来帮助解答,

今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”.即

已知:如图1,ABWCD,E为AB、CD之间一点,连接AE,CE1得至UN/EC.

求证:/.AEC=^A+^C

小明笔记上写出的证明过程如下:

证明:过点E作EFIMB

VZ1=

VXBIIC/),EFWAB

:.EF\\CD

Az2=ZC

J.Z.AEC=Z1+Z2

Z.AEC=Z-A+Z-C

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法,完成下面的两个问题.

(1)如图,若ABIICD,ZE=60°,求NB+NC+NF;

(2)如图,ABWCD,BE平分4ABG,CF平分NDCG,NG=N”+27。,求NH.

H

【答案】(1)240°

(2)51°

【分析】(1)作EMIL48,FNWCD,如图,根据平行线的性质得EM|4B||FN|£D,所以48=N1,42=43,

44+NC=180°,然后利用等量代换计算ZB+Z.F+ZC=240°;

(2)分别过G、"作48的平行线和RS,根据平行线的性质和角平分线的性质可用乙4BG和NDCG分别

表示出N”和NG,从而可找到NH和NG的关系,结合条件可求得N"=51。.

【详解】(1)作EMII4B,FNWCD,如图,且4BIICD

:.EM\\AB\\FN\\CD

."8=N1,N2=N3,N4+NC=180°

乙B+Z.CFE+zC=zl+z3+z4+zC=乙BEF+z4+zC=乙BEF+180°,

■:4BEF=60°,

:.乙B+乙CFE+ZC=60°+180°=240°;

(2)如图,分别过G、〃作AB的平行线MN和RS,

RH

平分N4BG,CF平分NDCG,

11

:•(ABE=-/.ABG,乙SHC=乙DCF=LDCG,

22

9:AB\\CD

:.AB\\CD\\RS\\MN

:'乙RHB=/.ABE=-Z.ABG,乙SHC=乙DCF=-A.DCG,

22

:•乙NGB+乙ABG=乙MGC+乙DCG=180°,

."BHC=180°-乙RHB-Z.SHC=180°+乙DCG),

乙BGC=180°-乙NGB-4MGC=180°-(180°-/.ABG')-(180°-zPCG)=^ABG+乙DCG-180°

:'乙BGC=360°-2乙BHC-180°=180°-2(BHC,

VZ.BGC=乙BHC+27°,

:.180°-2乙BHC=乙BHC+27°,

•"BHC=51°.

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用,能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键,

注意:①两直线平行,同位角相等,②两直线平行,内错角相等,③两直线平行,同旁内角互补,反之亦

然.

题型03铅笔头模型

铅笔头模型铅笔头模型-进阶

条件AB//DEAB〃DEa〃b

A.630°B.720°C.800°D.900°

【答案】D

【详解】分别过E点万点,G点,H点作L1,L2,£3,L4平行于AB

观察图形可知,图中有5组同旁内角,

则N1+42+43+N4++N6=180°x5=900".

故选D

【点睛】本题考查了平行线的性质,添加辅助线是解题的关键

2.如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架,其主要作用是动力传输.如图

2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图,已知4B||CD,CG||EF,乙BAG=150。/。"=130°,

则乙4GC的度数是.

CED

图1图2

【答案】80。/80度

【分析】过点/作FMIICD,因为4BIICD,所以4BIICDIIFM,再根据平行线的性质可以求出NM凡4,乙EFM,

进而可求出NER4,再根据平行线的性质即可求得乙4GC.

【详解】解:如图,过点B作FMIICD,

':AB\\CD,

:.AB\\CD\\FM,

:.Z.DEF+Z.EFM=180°,/.MFA+^BAG=180°,

':LBAG=150°,/.DEF=130°,

J.Z.MFA=30°,Z.EFM=50°,

LEFA=Z.EFM+Z.AFM=80°,

VCG||EF,

J.Z.AGC=/.EFA=80°.

故答案为80。.

【点睛】本题考查平行线的性质,解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算.

3.如图①所示,四边形MNBD为一张长方形纸片.如图②所示,将长方形纸片剪两刀,剪出三个角(AB4E、

/-AEC,乙ECD),贝此BAE+/.AEC+乙ECD=(度);

NB

—,B,力B,B

Mr

DCD~~~C2D~~c-D-------

图①图②图③图④

(1)如图③所示,将长方形纸片剪三刀,剪出四个角QB4E、乙AEF、LEF、乙FCD),贝此艮46+N4EF+

乙EFC+乙FCD=(度);

(2)如图④所示,将长方形纸片剪四刀,剪出五个角(NB2E、^AEF.AEFG、NFGC、NGCD),则NB2E+

乙AEF+乙EFG+乙FGC+乙GCD=(度);

(3)根据前面的探索规律,将本题按照上述剪法剪九刀,剪出n+1个角,那么这n+1个角的和是(度).

【答案】360540720180w

【分析】过点E作EHII4B,再根据两直线平行,同旁内角互补即可得到三个角的和等于180。的2倍;

(1)分别过E、F分别作4B的平行线,根据两直线平行,同旁内角互补即可得到四个角的和等于180。的三

倍;

(2)分别过E、F、G分别作48的平行线,根据两直线平行,同旁内角互补即可得到四个角的和等于180。的

四倍;

(3)根据前三问个的剪法,剪n刀,剪出n+1个角,那么这n+1个角的和是180几度.

【详解】过E作EHII4B(如图②).

•.•原四边形是长方形,

:.AB\\CD,

:.CD\\EH(平行于同一条直线的两条直线互相平行).

:.^BAE+Z1=180。(两直线平行,同旁内角互补).

,/CDWEH,

.•.N2+NOCE=180。(两直线平行,同旁内角互补).

:.^BAE+zl+Z2+4ECD=360°,

又•.21+N2=N4EC,

AL.BAE+Z.AEC+4ECD=360°;

(1)分别过E、F分别作4B的平行线,如图③所示,

用上面的方法可得NB4E+/.AEF+4EFC+乙FCD=540°;

(2)分别过E、F、G分别作AB的平行线,如图④所示,

用上面的方法可得NB4E+4AEF+Z.EFG+乙FGC+乙GCD=720°;

(3)由此可得一般规律:剪n刀,剪出n+1个角,那么这?i+1个角的和是180n度.

故答案为:360;540;720;180n.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和,作平行线并利用两直线平行,同旁内角互补是解本题的关键,

总结规律求解是本题的难点.

4.(1)如图(1)AB||CD,猜想N8PD与48、4。的关系,说出理由.

(2)观察图(2),已知||CD,猜想图中的NBPD与NB、AD的关系,并说明理由.

(3)观察图(3)和(4),已知4B||CD,猜想图中的乙BPD与乙8、ND的关系,不需要说明理由.

【答案】(1)ZB+Z.BPD+^D=360°,理由见解析;(2)乙BPD=AB+乙D,理由见解析;(3)图(3)

乙BPD=£D—乙B,图(4)乙BPD=NB-ND

【分析】(1)过点Pi^EF||AB,得至IJ/8+/.BPE=180°,由2B||CD,EF||AB,得至IjEF||CD,得至【J/EPD+

AD=180°,由此得到NB+乙BPD+ND=360°;

(2)过点尸作PE||AB,由PE||AB||CD,得至!Ul=NB,N2=ND,从而得至!)结论NBPD=zl+z2=zS+

ND;

(3)由AB||CD,根据两直线平行,内错角相等与三角形外角的性质,即可求得N8P0与NB、的关系.

【详解】(1)解:猜想N8+4BPD+N。=360。.

理由:过点尸作EFII48,

ALB+Z-BPE=180°,

9:AB||CD,EF||AB,

:.EF||CD,

:•乙EPD+乙D=180°,

/.ZB+乙BPE+乙EPD+ZD=360°,

:•乙B+乙BPD+=360°;

(2)(BPD=+乙D.

理由:如图,过点尸作PE||48

AB

4…一E

CD

(2)

*:AB||CD,

:.PE||AB||CD,

z.1=乙B,z2=乙D,

Z-BPD=zl+z2=Z-B+Z-D;

(3)如图(3):乙BPD=AD一4B.

理由:\'AB||CD,

P

zl=Z.D,

,/Zl=NB+NP,

Z.D=Z.B+乙P,

即NBPD=CD—乙B;

如图(4):/.BPD=/.B-Z.D.

理由:':AB||CD,

/.z.1=乙B,

Vz.1=zD+zP,

Z-B=Z-D+乙P,

即乙BPO=—乙D.

【点睛】此题考查了平行线的性质,平行公理的推论,三角形的外角的性质定理,熟记平行线的性质是解

题的关键.

题型04大脚模型

类型大脚模型骨折模型

已知AB/7CD

1.(20-21八年级上•贵州六盘水•阶段练习)如图,已知2BIID八,乙4BC=80°,^CDE=140°,则NBCO=.

【答案】40。/40度

【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质.过点C作CFIL4B,根据平行线的性质和角的和差,求解即可

得到结论.

【详解】解:如图,过点C作CFIIAB,

•••乙BCF=AABC=80°,

^■:AB\\DE,

:.DEWCF,

•••乙DCF+Z.CDE=180°,

•••乙DCF=40°,

•••乙BCD=4BCF-乙DCF=80°-40°=40°.

故答案为:40°.

2(2021九年级•全国・专题练习)已知AB//CZ),求证:ZB=ZE+ZD

AB

D

E

【答案】见解析

【分析】过点E作斯〃C。,根据平行线的性质即可得出根据平行线的性质即可得出

/BOD=NBEF、ZD=ZDEF,结合角之间的关系即可得出结论.

【详解】证明:过点E作所〃CD如图

'CAB//CD,

:.ZB=ZBOD,

■:EF//CD(辅助线),

(两直线平行,同位角相等);(两直线平行,内错角相等);

ZBEF=ZBED+ZDEF=ZBED+ZD(等量代换),

:.ZBOD=ZE+ZD(等量代换),即N8=/E+N。.

【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算,解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角.

3.(2021•全国•九年级专题练习)如图,如果EF//CD,则/I,Z2,/3的关系式.

【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可.

【详解】解:EF//CD,

AZ2+ZBO£=180°,Z3+ZCOF=180°,

Z2+Z3+ZBOE+ZCOF=360°,

ZBOE+ZCOF+Zl=180°,

ZBOE+ZCOF=180°-Zl,

AZ2+Z3+(180°-Zl)=360°,

即N2+N3-Zl=180°.

故答案为:Z2+Z3-Zl=180°.

【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义,熟练掌握平行线的性质是解答的关键.

4.①如图1,AB//CD,贝l]NA+NE+NC=360。;②如图2,AB//CD,贝!|NP=NA-NC;③如图3,AB

//CD,则NE=NA+/1;④如图4,直线AB〃8//EF,点0在直线E尸上,则4-4+々=180。.以

上结论正确的个数是()

图4

图1图2图3

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】①过点E作直线

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