中考数学专项复习：几何之相交线与平行线热考模型（含答案及解析）

第四章三角形

重难点07几何热考题一相交线与平行线热考模型

（10种题型汇总+专题训练+10种模型解析）

【题型汇总】

已知图示结论（性质）

1）同位角有4组，如：/I与N5、N2与/6、N3与N

E

直线AB、CD被直线7、/4与N8；

EF所截，且AB与CDA2）内错角有2组，如：N3与/5、N6与N8；

不平行3）同旁内角有2组，如：N3与N6、N4与N5；

4）对顶角有4组，如：N1与N3、/2与/4、N5与/

7、/6与N8.

F

1）同位角相等：/1=/5、N2=/6、N3=N7、N4=N8；

E

2）内错角相等：/3=/5、Z6=Z8；

直线AB、CD被直线3）同旁内角互补：Z3+Z6=180°、Z4+Z5=180°；

4-匏，B

EF所截，且AB〃CD4）对顶角相等：/1=/3、/2=/4、/5=/7、Z6=Z

8.

F

解题方法：运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线

的性质及其他有关角的性质、定义进行计算.

1.（2022.青海・中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被

截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（）

A.同旁内角、同位角、内错角

B.同位角、内错角、对顶角

C.对顶角、同位角、同旁内角

D.同位角、内错角、同旁内角

2.（2023•河北唐山•二模）下列图中，N1和42不是同位角的是（）

3.（2024•内蒙古•中考真题）如图，直线k和%被直线片和〃所截，zl=Z2=130°,Z3=75°,贝吐4的度数

105°C.115°D.130°

4.（2024・陕西・中考真题）如图，ABWDC,BCWDE,乙B=145°,则AD的度数为（）

A

A.25°B.35°C.45°D.55°

题型02猪蹄模型

猪蹄模型猪蹄模型-进阶（又称“锯齿”模型）

条件AB/7DEa//b

图示ABABaAi

上*

DE

DEA”1

b

•--------------------------^4

结论NB+NE=NBCENB+NCMN+NE=NBCM+ZMNE

左拐角之和二右拐角之和

辅助线作法：过拐点作平行线，有多少拐点就作多少平行线.

【补充】选、填题结论直接套用，解答题需写过程.

1.（2024•江苏南通・中考真题）如图，直线a||b,矩形力BCD的顶点A在直线6上，若N2=41。，则N1的度

数为（）

A.41°B.51°C.49°D.59°

2.（2021九年级.全国.专题练习）在图中，AB//CD,NE+/G与NB+NF+又有何关系？

3.（2024抚顺市模拟预测）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.

小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答,

今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”.即

已知：如图1,ABWCD,E为AB、之间一点，连接AE,CE得至UNAEC.

求证：N4EC=ZX+ZC

小明笔记上写出的证明过程如下:

证明：过点E作EFIIAB

Vzl=NA

'：AB\\CD,EFWAB

：.EF\\CD

."2=ZC

AAEC=Z1+Z2

Z.AEC=n4+NC

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.

（1）如图，若ABIICD,Z.E=60°,求N8+NC+NF；

B

(2)如图，AB\\CD,BE平分上ABG,C尸平分NDCG,NG=NH+27°,求NH.

A.630°B.720°C.800°D.900°

2.如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输.如图

2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB||CD,CG||EF,乙BAG=150°,z£)EF=130°,

则乙4GC的度数是.

3.如图①所示，四边形MNBD为一张长方形纸片.如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（NB4E、

“EC、乙ECD),贝!UB4E+N4EC+NECD=(度)；

N.-------------.R

MD

图①

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（NB2E、乙4第、4EF、乙FCD）,则NB4E+“EF+

/.EFC+ZFCD=（度）；

（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角QB4E、AAEF,乙EFG、乙FGC、乙GCD）,则NBAE+

Z.AEF+乙EFG+ZFGC+乙GCD=（度）；

（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪71刀，剪出n+1个角，那么这71+1个角的和是（度）.

4.（1）如图（1）AB||CD,猜想NBP。与48、乙0的关系，说出理由.

（2）观察图（2）,已知4B||CD,猜想图中的NBPD与NB、AD的关系，并说明理由.

(3)观察图(3)和(4),已知4B||CD,猜想图中的N8PD与N8、的关系，不需要说明理由.

(3)(4)

题型04大脚模型

类型大脚模型骨折模型

已知AB〃CD

1.（20-21八年级上•贵州六盘水•阶段练习）如图，已知2BIID八，乙4BC=80°,^CDE=140°,则NBCO=.

2（2021九年级•全国・专题练习）已知A8//CD,求证：NB=NE+/D

3.（2021•全国•九年级专题练习）如图，如果A8〃EREF//CD,则Nl,Z2,/3的关系式

4.①如图1,AB//CD,贝l|NA+NE+NC=36O。；②如图2,AB//CD,贝l|NP=NA-NC；③如图3,AB

//CD,则NE=NA+Zl；④如图4,直线//跖，点。在直线所上，则4-々+々=180。.以

上结论正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

题型05蛇形模型

条件AB〃CD

图示ABAB

c上.

<DLE

DE

结论ZBCD+ZD-ZB=180°ZBCD+ZB-ZD=180°

1.(21-22八年级上•黑龙江哈尔滨•期中)已知直线4B||CD,P为平面内一点，连接P4、PD.

(1)如图1,已知乙4=50。，ND=150。，求"PD的度数;

(2)如图2,判断NP4B、乙CDP、"PD之间的数量关系为

(3)如图3,在(2)的条件下，APLPD,DN平分4PDC,若/PAN+g4PAB=4APD,求乙4ND的度数.

图①图②图③

(1)求证：ZB+ZC-ZX=180°：

(2)如图②，AQ.BQ分别为ADAC、NEBC的平分线所在直线，试探究NC与乙4QB的数量关系;

(3)如图③，在(2)的前提下，且有4CIIQB,直线AQ、8C交于点P,QP1PB,直接写出

Z-DAC：Z.ACB：(CBE=.

3.(23-24七年级下•辽宁营口•阶段练习)如图，AB||DC,点E在直线48,DC之间，连接DE,BE.

AB

⑴写出N4BE,乙BED,NEDC之间的数量关系，并说明理由;

（2）若NEDC=21°,乙BED=24B,求NB的度数；

题型06平行平分三等角

解题大招：平行平分得三等角.

1.（2024•山东淄博•中考真题）如图，已知2D||BC,BD平分NABC.若=110。，则AD的度数是（）

2.（2024•四川・中考真题）如图，ABWCD,4。平分N84C,N1=30。，则乙2=（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

3.（2023・湖南张家界•中考真题）如图，已知直线48||CD,EG平分N8EF,Z1=40°,则42的度数是（）

4.（2023・四川资阳•模拟预测）如图，直线力B||CD,BC平分A4BD,41=54。，则42=

记住三句话：①折叠前后对应角，对应边相等.

②折叠不改变原先的平行关系.

③以折线为对称轴.

1.（2024•黑龙江大庆•中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和

小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿4B折叠，量得Nl=N2=59。；小铁把纸带②沿GH折叠，发

现GD与GC重合，HF与HE重合.且点C,G,。在同一直线上，点E,H,P也在同一直线上.则下列判断

A.纸带①、②的边线都平行

B.纸带①、②的边线都不平行

C.纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行

D.纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行

2.（2024・山西大同•模拟预测）如图1,四边形ABCD是一张矩形纸片，点。是BC上一点，将矩形纸片2BCD折

叠得到图2,使得。8与。C重合.若42=50。，则N1的度数为（）

D.55°

3.（2023•江苏盐城•二模）如图,将平行四边形2BCD折叠，使点C落在力。边上的点C'处,N1=58。,42=42°,

则NC的度数为（）

B.109°C.126.5°D.130°

4.（2024・四川凉山•模拟预测）如图，把矩形4BCD纸片沿EF折叠后，点C分别落在。，C，的位置.若

4AED'=50°,则的度数为.

题型08三角板拼接模型

常见的三角板与三角板（平行）拼接模型:

【提示】根据平行线的性质及三角形内角和进行角度计算，计算线段长时会用到特殊角的三角函数值.

1.（2023•江苏盐城・中考真题）小华将一副三角板（NC=ND=90。，NB=30。，ZE=45°）按如图所示的

方式摆放，其中4BIIEF,则41的度数为（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

2.（2024・四川凉山・中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在的延长线上，当DF||时,

NEDB的度数为（）

A.10°B.15°C.30°D.45°

3.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则N1的大小为（）

4.（2023•黑龙江绥化•中考真题）将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，41=25。，42=30。，则

43的度数为（）

A.55°B.65°C.70°D.75°

题型09直尺与三角板拼接模型综合

类型一直尺与30°角的三角板拼接

图示

I/、

------1-----------1

解题方利用三线八角求解

法

结论Zl+Z2=90°Z1=Z2Zl+Z2=90°

类型二直尺与45°角的三角板拼接

图不

JZ1

解题方遇拐点作平行线三线八角+三角板特殊角求解三角板特殊角求解

法

结论Zl+Z2=90°Z1=Z2=75°Zl=105°

【提示】直尺本身含平行线，根据平行线性质及三角形的内角和进行角度计算.

1.（2024・四川巴中・中考真题）如图，直线znllzi,一块含有30。的直角三角板按如图所示放置.若乙1=40。,

A.70°B.60°C.50°D.40°

2.（2024•内蒙古通辽・中考真题）将三角尺力BC按如图位置摆放，顶点A落在直线匕上，顶点8落在直线%上,

若⑷电，41=25。，则42的度数是（）

A.45°B.35°C.30°D.25°

3.（2024.海南.中考真题）如图，直线加山，把一块含45。角的直角三角板48C按如图所示的方式放置，点、B

在直线〃上，ZX=90°,若41=25。，贝吐2等于（）

A.70°B.65°C.25°D.20°

4.（2024山东东营.中考真题）已知，直线矶6,把一块含有30。角的直角三角板如图放置，N1=30。，三角

板的斜边所在直线交b于点4贝叱2=（）

5.（2024.山东济南.中考真题）如图，已知All。，△力BC是等腰直角三角形，ABAC=90°,顶点4B分别

在Zi，G上，当41=70。时，Z2=.

6.（2023•江苏・中考真题）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若N1=56°,贝此2的度数是（）.

1

A.26°B.30°C.36°D.56°

7.（2024•江苏盐城•中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若41=55。，贝此2的度数为（）

1.如图，P是直线m上一动点，A,B是直线n上的两个定点，且直线小|忻，对于下列各值：①点尸到直线打的

距离；②APAB的周长；③AP/IB的面积；④N4PB的度数.其中不会随点P的移动而变化的是（）

A.①③B.①②C.②③D.③④

2.（2024•宁夏吴忠二模）如图，ADWBC,AC.BD相交于点E,ATIBE的面积等于3,ABEC的面积等于5,

那么△BCD的面积是.

15.（23-24七年级下.上海松江•期中）如图，在四边形4BCD中，ADWBC,对角线AC、BD交于点0,若A4BC

的面积为8,ABOC的面积为5,则AC。。的面积是.

3.（2024・四川乐山•中考真题）如图，在梯形力BCD中，AD||BC,对角线4c和BD交于点O,若登胆=工,

S&BCD3

则迎”2

S^BOC

4（23-24七年级下.湖南永州.期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用

LABC=5xABxh.

（1）【问题探究】如图2,若点C平移到点。，求证：S^A0C=S^B0D；

（2）【深化拓展】如图3,记S—oc=SI'S^BOO=SZ'S^COD=*^3^LBOA=$4,根据图形特征，试证明：SrxS2=

S3XS4；

（3）【灵活运用】如图4,在平行四边形"CD中，点E是线段/D上的一点,BE与ZC相交于点0,已知S—BE=1。，

且EO:EB=2:5,求四边形CDE。的面积.

5.（2022.吉林・中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整.

【作业】如图①，直线川电，△ZBC与△DBC的面积相等吗？为什么？

D

图①

解：相等.理由如下：

设乙与%之间的距离为九,贝IJS-BC=1BC,h,SMBC=3BC.h.

••S—BC=S2DBC•

【探究】

(1)如图②，当点。在k,"之间时，设点4。到直线12的距离分别为％，h',则产=9

S^DBC"

图②

证明：

(2)如图③，当点。在4,%之间时，连接4。并延长交％于点M,则受匹AM

b^DBCDM

图③

证明：过点4作4EIBM,垂足为E,过点。作DFIBM,垂足为尸，贝!U4EM=NDFM=90。,

：.AE\\_.

/.△AEM

.AE_AM

**OF-DM'

由【探究】(1)可知沁£=,

SADBC~

・S—BC_-M

S^DBCOM

(3)如图④，当点。在已下方时，连接4D交，2于点E.若点a，E,。所对应的刻度值分别为5,1.5,0,衿垄的

S^DBC

值为

图④

第四章三角形

重难点07几何热考题一相交线与平行线热考模型

（10种题型汇总+专题训练+10种模型解析）

【题型汇总】

已知图示结论（性质）

1）同位角有4组，如：/I与N5、N2与/6、N3与N

E

直线AB、CD被直线7、/4与N8；

EF所截，且AB与CDA2）内错角有2组，如：N3与/5、N6与N8；

不平行3）同旁内角有2组，如：N3与N6、N4与N5；

4）对顶角有4组，如：N1与N3、/2与/4、N5与/

7、/6与N8.

F

1）同位角相等：/1=/5、N2=/6、N3=N7、N4=N8；

E

2）内错角相等：/3=/5、Z6=Z8；

直线AB、CD被直线3）同旁内角互补：Z3+Z6=180°、Z4+Z5=180°；

4-匏，B

EF所截，且AB〃CD4）对顶角相等：/1=/3、/2=/4、/5=/7、Z6=Z

8.

F

解题方法：运用平行线的性质计算角的度数，要正确地辨认同位角、内错角、同旁内角，同时结合平行线

的性质及其他有关角的性质、定义进行计算.

1.（2022.青海・中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被

截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（）

A.同旁内角、同位角、内错角

B.同位角、内错角、对顶角

C.对顶角、同位角、同旁内角

D.同位角、内错角、同旁内角

【答案】D

【分析】两条线人b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称

为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；

两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角.据此作答即

可.

【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知

第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角.

故选：D.

【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区

别它们.

2.（2023•河北唐山二模）下列图中，N1和N2不是同位角的是（）

A.B.C.一D.

【答案】B

【分析】根据同位角的定义（在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角）进行判断.

【详解】A选项：41与N2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，

B选项：N1与N2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，

C选项：N1与42有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，

D选项：41与42有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角.

故选：B.

【点睛】本题考查了同位角的定义，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被

截线的同一方的两个角是同位角.

3.（2024•内蒙古・中考真题）如图，直线k和办被直线G和〃所截，41=42=130。，43=75。，贝叱4的度数

为（）

C.115°D.130°

【答案】B

【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质是解题的关键.先利用N1=42=

130。判定人||12,再利用对顶角的性质和平行线的性质即可求解.

【详解】解：・."1=42=130。，

・・・45+44=180°,

VZ3=Z5=75°,

・"4=180°-75°=105°,

故选：B.

4.(2024・陕西・中考真题)如图，ABWDC,BC\\DE,Z,B=145°,则ND的度数为()

A.25°B.35°C.45°D.55°

【答案】B

【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.先根据“两直线平行，同旁内角

互补”，得到/。=35。，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案.

【详解】-ABWDC,

・•・乙B+LC=180°,

•・•乙B=145°,

・•・ZC=180°-ZB=35°,

•・•BCWDE,

Z.D—Z-C—35°.

故选B.

题型02猪蹄模型

猪蹄模型猪蹄模型-进阶（又称“锯齿”模型）

条件AB〃DEa〃b

图示AB

•/ABaAi

*A21

^.A3

A4，＜^-A

上5

DE

DE

b

-----------------

结论ZB+ZE=ZBCENB+NCMN+NE=NBCM+NMNE

4++Z4+...+Z24n

—/4+/4+…+/A-i

左拐角之和二右拐角之和

辅助线作法：过拐点作平行线，有多少拐点就作多少平行线.

【补充】选、填题结论直接套用，解答题需写过程.

1.（2024•江苏南通・中考真题）如图，直线a||6,矩形A8CD的顶点A在直线6上，若42=41。，则41的度

数为（）

A.41°B.51°C.49°D.59°

【答案】C

【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点B作BE||a,得到BE||a||b,推出乙4BC=zl+Z2,

进行求解即可.

【详解】解：：矩形

：./-ABC=90°,

过点8作BE||a,

c

a

一

A

*•a||b,

：.BE||a||b,

Az.1=/.ABE,Z2=乙CBE,

:•（ABC=Z.ABE+Z.CBE=Z1+Z.2,

Vz2=41°,

Azi=90°-41°=49°；

故选c.

2.（2021九年级•全国・专题练习）在图中，AB//CD,NE+NG与NB+NF+ND又有何关系？

【分析】此类题要过各个分点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质进行推导.

【详解】分别过E,F,G作的平行线，

AB//EM//FN//GH//CD,

则41=Z.B,z2=z3,z.4=z.5,z.6=乙D,

z.1+z.2+z.5+z.6=Z-B+z.3+z.4+乙D,

即，Z-E+Z-G=Z-B+Z-F+Z.D.

【点睛】此类题主要注意构造辅助线：平行线，解题的关键是充分运用平行线的性质进行证明.

3.（2024抚顺市模拟预测）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.

小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答,

今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”.即

已知：如图1,ABWCD,E为AB、CD之间一点，连接AE,CE1得至UN/EC.

求证：/.AEC=^A+^C

小明笔记上写出的证明过程如下：

证明：过点E作EFIMB

VZ1=

VXBIIC/),EFWAB

：.EF\\CD

Az2=ZC

J.Z.AEC=Z1+Z2

Z.AEC=Z-A+Z-C

请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.

(1)如图，若ABIICD,ZE=60°,求NB+NC+NF；

(2)如图，ABWCD,BE平分4ABG,CF平分NDCG,NG=N”+27。，求NH.

H

【答案】（1）240°

（2）51°

【分析】（1）作EMIL48,FNWCD,如图，根据平行线的性质得EM|4B||FN|£D,所以48=N1,42=43,

44+NC=180°,然后利用等量代换计算ZB+Z.F+ZC=240°；

（2）分别过G、"作48的平行线和RS,根据平行线的性质和角平分线的性质可用乙4BG和NDCG分别

表示出N”和NG,从而可找到NH和NG的关系，结合条件可求得N"=51。.

【详解】（1）作EMII4B,FNWCD,如图，且4BIICD

：.EM\\AB\\FN\\CD

."8=N1,N2=N3,N4+NC=180°

乙B+Z.CFE+zC=zl+z3+z4+zC=乙BEF+z4+zC=乙BEF+180°,

■:4BEF=60°,

:.乙B+乙CFE+ZC=60°+180°=240°；

(2)如图，分别过G、〃作AB的平行线MN和RS,

RH

平分N4BG,CF平分NDCG,

11

:•(ABE=-/.ABG,乙SHC=乙DCF=LDCG,

22

9：AB\\CD

：.AB\\CD\\RS\\MN

:'乙RHB=/.ABE=-Z.ABG,乙SHC=乙DCF=-A.DCG,

22

:•乙NGB+乙ABG=乙MGC+乙DCG=180°,

."BHC=180°-乙RHB-Z.SHC=180°+乙DCG),

乙BGC=180°-乙NGB-4MGC=180°-(180°-/.ABG')-(180°-zPCG)=^ABG+乙DCG-180°

:'乙BGC=360°-2乙BHC-180°=180°-2(BHC,

VZ.BGC=乙BHC+27°,

：.180°-2乙BHC=乙BHC+27°,

•"BHC=51°.

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，

注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦

然.

题型03铅笔头模型

铅笔头模型铅笔头模型-进阶

条件AB//DEAB〃DEa〃b

A.630°B.720°C.800°D.900°

【答案】D

【详解】分别过E点万点,G点,H点作L1,L2,£3,L4平行于AB

观察图形可知，图中有5组同旁内角，

则N1+42+43+N4++N6=180°x5=900".

故选D

【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键

2.如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输.如图

2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知4B||CD,CG||EF,乙BAG=150。/。"=130°,

则乙4GC的度数是.

CED

图1图2

【答案】80。/80度

【分析】过点/作FMIICD,因为4BIICD,所以4BIICDIIFM,再根据平行线的性质可以求出NM凡4,乙EFM,

进而可求出NER4,再根据平行线的性质即可求得乙4GC.

【详解】解：如图，过点B作FMIICD,

'：AB\\CD,

：.AB\\CD\\FM,

：.Z.DEF+Z.EFM=180°,/.MFA+^BAG=180°,

'：LBAG=150°,/.DEF=130°,

J.Z.MFA=30°,Z.EFM=50°,

LEFA=Z.EFM+Z.AFM=80°,

VCG||EF,

J.Z.AGC=/.EFA=80°.

故答案为80。.

【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算.

3.如图①所示，四边形MNBD为一张长方形纸片.如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（AB4E、

/-AEC,乙ECD),贝此BAE+/.AEC+乙ECD=（度）;

NB

—，B，力B，B

Mr

DCD~~~C2D~~c-D-------

图①图②图③图④

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角QB4E、乙AEF、LEF、乙FCD）,贝此艮46+N4EF+

乙EFC+乙FCD=（度）；

（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（NB2E、^AEF.AEFG、NFGC、NGCD）,则NB2E+

乙AEF+乙EFG+乙FGC+乙GCD=（度）；

（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪九刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是（度）.

【答案】360540720180w

【分析】过点E作EHII4B,再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180。的2倍；

（1）分别过E、F分别作4B的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180。的三

倍；

（2）分别过E、F、G分别作48的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180。的

四倍；

（3）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180几度.

【详解】过E作EHII4B（如图②）.

•.•原四边形是长方形，

：.AB\\CD,

：.CD\\EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）.

：.^BAE+Z1=180。（两直线平行，同旁内角互补）.

,/CDWEH,

.•.N2+NOCE=180。（两直线平行，同旁内角互补）.

：.^BAE+zl+Z2+4ECD=360°,

又•.21+N2=N4EC,

AL.BAE+Z.AEC+4ECD=360°；

(1)分别过E、F分别作4B的平行线，如图③所示,

用上面的方法可得NB4E+/.AEF+4EFC+乙FCD=540°；

(2)分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，

用上面的方法可得NB4E+4AEF+Z.EFG+乙FGC+乙GCD=720°；

(3)由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这？i+1个角的和是180n度.

故答案为:360；540；720；180n.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键,

总结规律求解是本题的难点.

4.(1)如图(1)AB||CD,猜想N8PD与48、4。的关系，说出理由.

(2)观察图(2),已知||CD,猜想图中的NBPD与NB、AD的关系，并说明理由.

(3)观察图(3)和(4),已知4B||CD,猜想图中的乙BPD与乙8、ND的关系，不需要说明理由.

【答案】（1）ZB+Z.BPD+^D=360°,理由见解析；（2）乙BPD=AB+乙D,理由见解析；（3）图（3）

乙BPD=£D—乙B,图（4）乙BPD=NB-ND

【分析】（1）过点Pi^EF||AB,得至IJ/8+/.BPE=180°,由2B||CD,EF||AB,得至IjEF||CD,得至【J/EPD+

AD=180°,由此得到NB+乙BPD+ND=360°；

（2）过点尸作PE||AB,由PE||AB||CD,得至！Ul=NB,N2=ND,从而得至!）结论NBPD=zl+z2=zS+

ND；

（3）由AB||CD,根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得N8P0与NB、的关系.

【详解】（1）解：猜想N8+4BPD+N。=360。.

理由：过点尸作EFII48,

ALB+Z-BPE=180°,

9：AB||CD,EF||AB,

：.EF||CD,

:•乙EPD+乙D=180°,

/.ZB+乙BPE+乙EPD+ZD=360°,

:•乙B+乙BPD+=360°；

(2)(BPD=+乙D.

理由：如图，过点尸作PE||48

AB

4…一E

CD

(2)

*：AB||CD,

：.PE||AB||CD,

z.1=乙B,z2=乙D,

Z-BPD=zl+z2=Z-B+Z-D；

（3）如图（3）：乙BPD=AD一4B.

理由：\'AB||CD,

P

⑶

zl=Z.D,

,/Zl=NB+NP,

Z.D=Z.B+乙P,

即NBPD=CD—乙B；

如图（4）：/.BPD=/.B-Z.D.

理由：'：AB||CD,

⑷

/.z.1=乙B,

Vz.1=zD+zP,

Z-B=Z-D+乙P,

即乙BPO=—乙D.

【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解

题的关键.

题型04大脚模型

类型大脚模型骨折模型

已知AB/7CD

1.（20-21八年级上•贵州六盘水•阶段练习）如图，已知2BIID八，乙4BC=80°,^CDE=140°,则NBCO=.

【答案】40。/40度

【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质.过点C作CFIL4B,根据平行线的性质和角的和差，求解即可

得到结论.

【详解】解：如图，过点C作CFIIAB,

•••乙BCF=AABC=80°,

^■：AB\\DE,

：.DEWCF,

•••乙DCF+Z.CDE=180°,

•••乙DCF=40°,

•••乙BCD=4BCF-乙DCF=80°-40°=40°.

故答案为：40°.

2（2021九年级•全国・专题练习）已知AB//CZ）,求证：ZB=ZE+ZD

AB

D

E

【答案】见解析

【分析】过点E作斯〃C。，根据平行线的性质即可得出根据平行线的性质即可得出

/BOD=NBEF、ZD=ZDEF,结合角之间的关系即可得出结论.

【详解】证明：过点E作所〃CD如图

'CAB//CD,

：.ZB=ZBOD,

■：EF//CD（辅助线），

（两直线平行，同位角相等）；（两直线平行，内错角相等）；

ZBEF=ZBED+ZDEF=ZBED+ZD（等量代换），

：.ZBOD=ZE+ZD（等量代换），即N8=/E+N。.

【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角.

3.（2021•全国•九年级专题练习）如图，如果EF//CD,则/I,Z2,/3的关系式.

【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可.

【详解】解：EF//CD,

AZ2+ZBO£=180°,Z3+ZCOF=180°,

Z2+Z3+ZBOE+ZCOF=360°,

ZBOE+ZCOF+Zl=180°,

ZBOE+ZCOF=180°-Zl,

AZ2+Z3+(180°-Zl)=360°,

即N2+N3-Zl=180°.

故答案为：Z2+Z3-Zl=180°.

【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键.

4.①如图1,AB//CD,贝l]NA+NE+NC=360。；②如图2,AB//CD,贝!|NP=NA-NC；③如图3,AB

//CD,则NE=NA+/1；④如图4,直线AB〃8//EF,点0在直线E尸上，则4-4+々=180。.以

上结论正确的个数是()

图4

图1图2图3

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】①过点E作直线