重难点训练 立体几何初步-2025年高考数学一轮复习

高考仿真重难点训练07立体几何初步

一、选择题

1.下列命题中正确的是()

A.三点确定一个平面

B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

C.圆的一条直径与圆上一点可确定一个平面

D.四边形可确定一个平面

【答案】B

【分析】根据确定平面的依据，判断选项.

【解析】A.由确定平面的依据可知，不共线的三点确定一个平面，故错误；

B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故正确；

C.根据确定平面的依据，直线和直线外一点确定一个平面，所以应改为圆的一条直径和圆上除直径端点外的

一点，可确定一个平面，故错误；

D.空间四边形，四点不在同一个平面，故错误；

故选：B

2.已知a,P,7是平面，a,b,c是直线，ar\/3=a,0Cy=b,y[\a=c,若ap|6=尸，贝U()

A.PecB.尸金。

C.cca=0D.ccy/3=0

【答案】A

【分析】根据空间中点线面之间的位置关系结合平面的基本性质逐一判断四个选项的正误，即可得正确选

项.

【解析】因为=/3Cy=b,所以aua,buy,

由=可得尸ea且

所以尸ea且尸e?,

因为7rler=c,所以尸ec,故选项A正确，选项B不正确；

因为尸ec,Pea,所以。、。有公共点尸，故选项C不正确；

因为尸bu/3,所以因为尸ec,所以c与/有公共点P,故选项D不正确；

故选：A.

3.水平放置的“8C的斜二测直观图如图所示，已知HC'=3,B'C'=2,则。8C的面积是（）

【答案】C

【分析】根据直观图与斜二测画法的定义求解.

【解析】由题可知，03c为直角三角形，

S.AC1BC,AC=A'C=3,BC=2B'C=4,

4.已知底面边长为2的正四棱柱/BCD-44GA的体积为16,则直线/C与4台所成角的余弦值为（）

入百回

2DV5rMn3

551010

【答案】C

【分析】如图，确定4cA（或其补角）为直线/C与42所成的角，求出CG，进而求解.

【解析】如图，连接则42//DC，取/C的中点。，连接。n，则。

所以乙1CA（或其补角）为直线4c与48所成的角,

又正四棱柱的体积为16,则该棱柱的高为

2x2

又AC=2&肛=CD,=V42+22=275，

所以…W差懵

即直线AC与A}B所成角的余弦值为巫.

5.已知/、加是不重合的两条直线，"、尸是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（）

A.若aCl尸=/,mua,H/m,则加//£

B.若/utz,mu（3,alip,则〃/加

C.若aCl/=/,mua,〃？_!_/,则a_L£

D.若/_!_加，机//a,则/J_a

【答案】A

【分析】对于A,先判断机（Z〃，然后由线面平行判定定理可判断；对于BCD,通过正方体模型举反例即可

判断

【解析】对于A,因为［□£=/,mua,所以加0分,

又〃/机，lu。，所以加//£,A正确；

对于B,在正方体48co中,

记平面48c为］，平面为尸，4B为I,AR为m,

贝U/ua,7〃U£,a邛,但/与加不平行，B错误；

对于C,记平面48GA为1，平面48co为尸，AB为I,AR为m,

由正方体性质可知，平面AD］U平面所以

则々口尸=/,mua,m±l,但a,尸不垂直，C错误;

对于D,记幺2为/，4B为m,平面44CQ1为a,

贝”/_1_加，mlla,但/与a不垂直，D错误.

故选：A

6.漏刻是中国古代的一种计时系统，"漏"是指计时器一一漏壶，"刻”是指时间，《说文解字》中记载："漏以

铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器，如图，计时器由三个圆台

形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0,当

最上层漏水壶中水全部漏完时，浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为5:3,则当最上层漏水

壶水面下降到其高度的一半时，浮箭刻度约为（）（四舍五入精确到个位）

A.38B.60C.61D.62

【答案】D

【分析】根据题意结合台体体积公式运算求解.

【解析】由题意可知：最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，

设最上层漏水壶的口径与底径分别为5a,3a,高为〃，

则体积为忆=;[兀(5。)2+兀(3〃)2+J兀(54x兀(3a)2]〃=na2h,

当最上层漏水壶水面下降到高度的一半时，设此时浮箭刻度为N,

因为已漏水体积匕=；［兀(5a)2+兀(4。)2+Jji(5a)2X7t(4a)2卜：='■兀,

—7ia2h4

可得『；=而,解得户丁10八62,

—Tiah

3

所以浮箭刻度约为62.

故选：D.

7.如图是一个四棱锥的平面展开图，其中四边形/BCD为正方形，四个三角形为正三角形，旦尸,“分别

是尸4PD2C的中点，在此四棱锥中，则()

A.BE与CF是异面直线，且BE//平面

B.BE与CF是相交直线，且〃平面尸尸M

C.BE与CF是异面直线，且2£_L平面尸FM

D.BE与CF是相交直线，且8E_L平面PFA/

【答案】B

【分析】画出几何体尸-/8CA,证得四边形五E为梯形，得到BE与CF为相交直线，再由线面平行的

判定定理，证得8E//平面PEW.

【解析】根据题意，画出几何体尸-/8C。，如图所示，

因为瓦尸分别是尸4PD的中点，可得EF//4D且斯=g40,

又因为4J//BC且/Z)=8C,所以跖//8C且£尸=,3。，

2

所以四边形8。芯为梯形，所以瓦?与CF为相交直线，

因为M为3C的中点，可得EF//BM且EF=BM,

所以四边形2A/FE■为平行四边形，可得BE//MF,

又因为BEa平面PEA/,MFu平面尸EM,所以AE7/平面PEM.

故选：B.

8.如图，将边长为1的正“8C以边为轴逆时针翻转。弧度得到△/5C',其中构成一个三

棱锥C'-42C.若该三棱锥的外接球半径不超过恒，则。的取值范围为（）

【答案】C

【分析】作辅助线，则。即为三棱锥的外接球球心，翻折的角0即为/CDC'的大小，设。。=及，结合题意

R2=1--1

分析可知4+2。，结合题意分析求解即可.

11?2cos—

2

【解析】取线段42的中点。，线段。。上靠近点。的三等分点G,CC'的中点E,

连接C2C7ZDE,则G为正“8C的外心，CD=CD,可知为线段CC'的中垂线,

在平面C'CD内过G作的垂线交即于0,连接0C,

c

则o即为三棱锥的外接球球心,翻折的角。即为/CDC'的大小.

设OC=R,则。C=DC'=巨

2

可得叵cosZ=DE=DO+OE=-^^+Noc2-EC?

220

R?=j_]

化简得412cos之2

2

又因为AW恒，即及-二^+:—7e~36,解得COS'^N],

612cos—24

结合可得COSeN且，则0＜红£,所以0＜亦£.

I2J22263

故选：C.

【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法

1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把

空间问题转化为平面问题求解;

2.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置,

弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

二、多选题

9.已知空间两条异面直线。力所成的角等于60。，过点尸与”力所成的角均为。的直线有且只有一条，则e

的值可以等于（）

A.30°B.45°C.75°D.90°

【答案】AD

【分析】过点尸作。7/“力'//6,求得直线/与必6'所成角的范围为。eK或。e,结合选项，即

o2J|_32_

可求解.

【解析】过点P作“'//。,6'〃6,

ITJTTTTT

从两对角的角平分线开始，直线/与储产所成角的范围为或,

_ozJ|_32_

而均为。的直线有且仅有一条，根据对称性，可得6=30。或。=90。.

故选：AD.

10.阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，截角四面体是阿基米德多面体其中

的一种.如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为。的截

角四面体，则下列说法中正确的是（）

B.直线DE与平面/8C所成角的正切值为2

C.该截角四面体的表面积为7氐2

D.该截角四面体存在内切球

【答案】AC

【分析】如图，将该截角四面体补成正四面体对于A：由平面/8CII平面可知点£到平面

N5C的距离即为点S到平面/3C的距离，运算求解即可；对于B：由。EIIPN,可知直线。£与平面/8C

所成角即为PN与平面所成角NPNS,运算求解即可；对于C：根据正三角的面积结合比例关系运算求

解；对于D：假设存在内切球根据对称性可知该球心为正四面体P-九W。的中心。，求点。到平面/8C的

距离即可判断.

【解析】如图，将该截角四面体补成正四面体P-九W0,取底面的中心S,连接

修中1'、底

QFHM

可知PS,平面跖V。，则NS=.叱。=板,可得PS7PN「PS2=咽，

2sin600

对于选项A：由题意可知：平面45CII平面"AQ,

则点E到平面ABC的距离即为点S到平面ABC的距离d=ZpS=3^a,故A正确;

33

对于选项B：由题意可知：DE||PN,

则直线DE与平面ABC所成角即为PN与平面所成角ZPNS,

可得tan/P7VS=前=a,

所以直线DE与平面N2C所成角的正切值为血，故B错误；

对于选项C：由题意可知：S=^9x-xaxax—=—a2,

△AMMNNO09SIAXOlJEtLFr224

贝ISEFHILK~SAMNQ~，

所以该截角四面体的表面积为3SE阳〃K+3sMEF=4x”^a2+4xYia2=76故c正确；

i^rnLL,i\.LX\JtLr24'

对于选项D：若该截角四面体存在内切球，根据对称性可知该球心为正四面体尸-MN0的中心O,

可知。尸=ON=&a-OS,

因为ON?=NS?+OS?,即（而-OS『=3/+。52,解得。S=^a,

由选项A可知：点S到平面ABC的距离"=2/>s=2①a,

33

则点。到平面/5C的距离为"一0s=侦々/os,

12

所以该截角四面体不存在内切球，故D错误;

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将该截角四面体补成正四面体尸-"HQ,结合正四面体的性质分析

求解.

11.（多选）如图，在棱长为I的正方体/BCD-44G。中，点P是线段4。上的动点，则（）

A.A%。的面积为Y2

2

B.三棱锥4-R8C的体积为!

0

C.存在点P,使得8尸1PG

D.存在点尸，使得4。1平面依G

【答案】BD

【分析】选项A：当点尸与4重合，APBG为边长是血的等边三角形，求出三角形面积，即可判断；选项

B：利用等体积转化法求解即可；选项C：以8G为直径的球面与直线没有公共点，即可判断；选项D：当尸

为4。的中点时，根据线面垂直的判定定理即可得证.

【解析】A选项，在棱长为I的正方体/BCD-4用中，

点尸是线段4。上的动点，当点P与4重合时，△网G为等边三角形,

边长为及，

故JBG的面积为gX（近『sin60。=乎/等，故A错误；

B选项,因为—B'-PBC、=%-B、BG=qS"B、BCJhP，

其中心明44G•即=；xixi=；,

电，表示点尸到平面BpBQ的距离，故％=1,

所以三棱锥用-依a的体积为[x]xi=，，故B正确；

326

C选项：在正方体/BCD-44GA中，以8G为直径的球面，半径R=1<1,

2

则直线4。与该球面没有公共点，故不存在点尸，故c错误;

D选项：取8G的中点新，连接

当尸为4。的中点时，即尸为ND1,AXD的交点时，

因为2G〃/8,DXCX=AB,所以四边形2GA4为平行四边形,

故D\PUC\M,

又DF=3M,

所以四边形RPMG为平行四边形，

所以尸M//2。，

因为平面

易知PM，平面ADDXAX,

因为&Du平面4DA4，

所以

又因为在正方体中，AD1BQ,

而所以4D1平面P2G，故D正确.

故选：BD.

三、填空题

12.已知底面半径为2的圆锥的侧面积为4石兀，则该圆锥的外接球的表面积为

【答案】257t

【分析】求出圆锥的母线/=2逐，求出圆锥的高，设圆锥外接球的半径，列出方程，求出半径，得到表面

积.

【解析】设圆锥的母线为/,又r=2,故n〃=2/兀=46Ji,

解得/=2右，

圆锥的高为6=J"一/=4,

设该圆锥的外接球的半径为五,

故/O=OC=R,故0尸=4-尺，

由勾股定理得尸?+/，即灭2=(4一尺＞+4,

解得灭=：，

故该圆锥的外接球的表面积为4兀斤=25兀.

13.已知正四面体/—38的棱长为6,尸是四面体/—3CD外接球球面上的动点，。是四面体/一BCD内

切球球面上的动点，则尸。的取值范围是.

【答案】［跖2周

【分析】依据题意作出图形，再求出外接球半径，再求目标式范围即可.

【解析】

如图，NE是正四面体/-BCD的高，由对称性知其外接球与内切球的球心重合，为。，且在/£上,

则£是底面正三角形BCD的中心，8E=|x?x6=26,/£=«2-(2折2=2",

设外接球的半径为凡即3=。8=火，由。笈=。炉+3£2,得R?=Q&-W+(2后,解得R=孚,

因此内切球的半径为r=OE=*,显然有|。尸一。0归尸04OP+。。，即及一rVPQWR+r,

又R+r=2y/6,R—r=V6,所以#)<PQ<2«>.

故答案为：［6,2病］

14.如图，在四棱柱/BCD-中，底面/BCD为正方形，AB=4,9=3孰,BBJBR,且二面

角q-89-G的正切值为血.若点尸在底面/BCD上运动，点。在四棱柱/BCD-44GA内运动，

D、Q=寺,则PB、+PQ的最小值为.

【分析】

先求得B到平面44G2的距离，然后利用对称法以及三点共线等知识求得尸耳+尸。的最小值.

【解析】连接4G，交BR于E,设尸是82的中点，连接ERG尸.

由于48=8G，K是4G的中点，所以4GJ_8E,

由于4C_LBR,BEcB\D\=E,BE,耳Ru平面BBQ、,

所以_L平面BBR,由于,E尸u平面BBR,所以4。_L2。，4cl1EF,

由于E,尸分别是BR,8"的中点，所以EF//BB{,

由于8月，8〃，所以Eb，8",由于4Gc跖=E，4G，£Fu平面MG，

所以平面跳G，由于QPu平面MG，所以尸，

所以ZEFQ是二面角Bt-BD「G的平面角，

所以tan/E尸G===马&=&,斯=2,所以84=4,

EFEF

由于用2=472,所以82=J(4用一4?=4=BB],

所以三角形8BQ是等腰直角三角形，所以用A，

由于4cle81A=E,4G，BRu平面AXBXCXD1,

所以BEL平面且8E=gBQ]=2jI.

由于20=弓，所以。点的轨迹是以。为球心，

半径为也的球面在四棱柱/8CD-44GA内的部分，

2

与关于平面ABCD的对称点为B',BB，=26x2=46,

连接3。，交平面A8C。于尸，

所以尸4+PQ的最小值为="4亚『+(4/『_*8-?

故答案为：8--

2

【点睛】求解二面角有关问题，关键是找到二面角的平面角，二面角的平面角的定义是：在二面角的交线

上任取一点，然后在两个半平面内作交线的垂线，所得角也即是二面角的平面角.

四、解答题

15.如图，在四棱锥P-48co中，尸/_L平面/BCD,ABIICD,PA=AB=2CD=2,PC=*>,

ZADC=90°,E,F分别为PB,的中点.

⑴求三棱锥E-尸C尸的体积；

(2)求直线CE与平面PCF所成线面角的正弦值.

【答案】⑴，；

0

(2)巫.

10

【分析】(1)根据七再根据棱锥的体积计算公式，求解即可；

(2)根据(1)中所求棱锥£-PC尸的体积，求得点E到平面PC尸的距离，结合CE的长度，利用公式，直

接求解即可.

【解析】(1)尸/面/BCD,故P/J./C,故AC=飞PC?-PA2=也，

又在直角梯形48CD中，AD=yJAC?-CD。=41^1=1，CB=>!AD2+BF1=42；

又E为心中点，故"一忆=上一/

?

=-xlxJB^xC/xP^=—xlxlx2=-.

62126

(2)因为CF〃4D,故CFJ.AB,又尸/_L面NBC。,CFu面/BCD,故CFJ_P4,

又4BcPA=A,AB,PAu面PAB,

故CP,面P48,尸尸u面P48,则CFLP尸，则△(?"为直角三角形；

易知CF=AD=1,PF=yJPA2+AF2=74+1=下，

故SrFP=-xCFxPF=-xlxy/5=—,

“c"222

设点E到面尸3的距离为d,

由(可得/=—解得d=;

1)Jb-PrCrFcSACFrrP^X<5?=—cXcX<5?=—/,r

33265

因为E,尸分别为网,48的中点，板EF“PA,

则E尸上面N3C。，又CRu面/BCD,则EF_LFC,

故△£人?为直角三角形，则£C=严+0产=JF+F=C,

设直线C£与平面PCF所成角为。，则$亩6=4=好*1=叵.

CE5210

16.如图，三棱柱N3C-44。所有棱长都为2,NBiBC=60。,。为4c与交点.

(1)证明：平面8CZ)，平面44G；

(2)若。耳=半，求二面角4-C5,-Q的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)由面面垂直判定定理证明，即先证明4片，平面BCD,再证明面8。，平面/4G.

(2)先建系，然后求解出平面4c4的一个法向量万和平面GC司的一个法向量玩，代入公式

I玩.司

COSe=Icosm,同=I'即可.

Hrl

【解析】(1)取8c中点。，取/片中点E,连接DE,BE,OE,

因为三棱柱NBC-44G所有棱长都为2,3BC=60。,

有A0=BQ=6,AB=BBl,E为/耳的中点，8CDE四点共面，

所以OE_LAB|,且BE、OEu平面BCD,OERBE=E,

所以48i_L平面BCD,又4B]U平面ABC，故平面BCD_L平面NgG.

(2)因为8C//81G，所以用。，平面，/4匚平面/。4,

所以4G用，所以△/8G为直角三角形，所以而，

所以/耳=[AC；-BiC；=3,在A/Og中，COSZ4O6=3；3；9=1.

以。为原点，作Oz_L平面BCGA，以砺，OB、,反方向为x,修z轴正方向,

建立空间直角坐标系，如图所示，

则c(T,o,o),(o,V3,o),q(-2,73,0)#A0,一千,5，

I22)

由五k西，所以所以/西=(1,道,0),

x+小y=0

CB,•元=0

设平面4c4的一个法向量为五=(%//),贝"，即《

CAn=0旦+工=0

cI22

令z=l,解得方=(3,-石,1),所以平面G。片的一个法向量为而=(0,0,1),

记二面角4-的大小为凡且。为锐角，

贝(Jcos6=Icosm,n\=产,

11\m\-\n\13

17.如图，在四棱锥P/8CD中，底面N8CD是边长为2的正方形，£为8c的中点，且4DLPE.

⑴求证：ZPAD=ZPDA；

(2)若四棱锥P-AED的体积为独，直线AB与PE所成角为30。，求二面角P-AD-E的正切值.

3

【答案】⑴证明见解析

(2)-^3

【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直，利用等腰三角形的三线合一证明即可;

（2）利用垂直关系，易得线面角和二面角的平面角，即可计算求解.

【解析】（1）取的中点。，因为四边形是正方形，.•.EOL4D.

-：ADLPE,EOcPE=E,E0,尸£u平面尸0E,AD_L平面POE.

又尸Ou平面尸AD1PO,

又因为。是4D的中点，所以可得尸/=尸£»,即=

（2）作PQ_LEO于点0,

平面尸OE,尸。u平面POE,.•.尸0_L/O.

又EQC4D=0,£。,ADu平面/BCD,.,.尸。_L平面/BCD.

P

由嚷回=；&皿/。=|尸。=竽，得PQ=5

因为EO///3,所以所成角为/尸£。=30。，

故tan/PEQ=-^-=^,解得00=1.

2+OQ3

因为4DLE。，AD1PO,所以/尸。£为二面角尸-/O-E的平面角.

tanZPOE=-tanZPOQ=-

即所求二面角尸-NO-E的正切值为-VL

18.如图，在四棱锥P-48C£>中，AB=BC=DC=DA=AP=PD,PC=PB=®AB.

⑴证明：平面尸4D_L平面48CD；

⑵在棱PC上是否存在点E,使得平面NE5与平面2CE夹角的正弦值为回I?若存在，求名的值；若不

7EC

存在，请说明理由.

【答案】⑴证明见解析

PF

（2）存在，f1=l.

Hl

【分析】（1）通过DC_L尸。，OC_L/尸证。C_L平面尸40,即可证面面平行；

PF

（2）通过建立空间直角坐标系，计算各点坐标，设会=沈（九＞0）得5点坐标，并计算平面ZEB和平面8CE

的法向量，根据向量垂直确定，再根据向量的夹角公式计算即可.

【解析】（1）证明：%^AB=BC=DC=DA=AP=PD,PC=PB=4iAB，

所以PQ2+OC2=P。2,AP2+AB2=pBit

所以。C_LPD,AB±AP,

又AB=BC=DC=DA,

所以四边形NBCD为菱形，

所以42〃DC,DCLAP,

又4P,PDu平面尸40,

AP[}PD=P,

所以DC_L平面P/。，

又。Cu平面/BCD,

所以平面PAD_L平面4BCD.

（2）由（1）得DC_L平面尸ND,

因为ZUu平面「40,

所以DCLZM,

故四边形/BCD为正方形.

不妨设正方形ABCD的边长为2,

AD的中点为。，连接尸。.

因为人尸40为等边三角形，

所以尸0L4D,

又尸Ou平面P/。，

又平面PADc平面ABCD=AD,

且平面PAD±平面ABCD,

所以尸0/平面/BCD.

以。为坐标原点，OA,DC,方的方向分别为x,y,z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则尸(0,0,石)，/(1,0,0),5(1,2,0),C(-l,2,0).

假设存在点E,使得平面AEB与平面BCE夹角的正弦值为正,

7

且等=2（彳＞0）,E（Xo，%,Zo）,

AC

PF一

由=得诙=4反,

AC

即ko/o/o=4(—1——%，—Zo),

近/土—正、

所以方=(0,2,0),就=(-2,0,0),方=(1,2,-6)11+A1+21+2J

设平面ZEB的法向量为力=（无

n•AB=2y1=0,

则

.—=(-l-22)xL-2ji+A=Q

1+2

可取万=（括,0,1+

设平面BCE的法向量为而=（Z，%/2）,

m-BC=-2X=0,

则2

-\/3z=

m-PB=x2+2y2-20

所以在棱尸C上存在点£,使得平面ZEB与平面8CE夹角的正弦值为史,

7

>—=1.

EC

19.在棱长均为2的正三棱柱ABC-A^C^,E为3c的中点.过/£的截面与棱BB.4。分别交

于点F,G.

(1)若尸为88的中点，求三棱柱被截面/G斯分成上下两部分的体积比)；

，2

⑵若四棱锥4-/GEF的体积为拽,求截面AGEF与底面N8C所成二面角的正弦值;

12

⑶设截面NFEG的面积为S°,A4&G面积为S,△/斯面积为Sz当点尸在棱8囱上变动时，求不/的取

值范围.

【答案】⑴£13

(2)?

「“9

(3)4,-

【分析】(1)可以连接EF,并延长，通过三角形相似得出G为4G靠近G的三等分点，然后将要求的几

何体分割成几个锥体，转换底面计算即可；

(2)先求出点G到平面阳石的距离，得到G为4G靠近G的四等分点.然后通过平面与平面垂直的性质

证所做出的角是二