重难点拓展：二次函数综合之四种角度问题（解析版）

第22讲重难点拓展：二次函数综合之四种角度问题

题型一：角相等问题题型二：二倍角关系问题

题型三：两角和与差问题题型四：特殊角问题

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1、角的数量关系处理的一般方法如下：

(1)证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形

和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等；

(2)证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理；

(3)证和差角：常旋转、翻折、平移构造角.

2.特殊角问题处理的一般方法如下：

(1)运用三角函数值；

(2)遇45°构造等腰直角三角形；

(3)遇30°,60°构造等边三角形；

(4)遇90°构造直角三角形.

一、角相等问题

对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题(利用一线三等角模型或者拆分特

殊角来发现等角)，其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。

二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。

二、二倍角关系问题

对于平面直角坐标系中的二倍角问题，往往将其转化成等角问题。对于等角问题，往往有以下解决路径：

等角的构造方法

(1)将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决；

(2)用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系；；

(3)利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构

建数量关系；

(4)利用角平分线的相关性质定理。

二倍角的构造方法

如图，已知N0,我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造21,在BC边上找一点D,使得BD=AD,

则ZADC=2a.

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A

A

，题型归纳

题型一：角相等问题

【例1】（23-24九年级下•内蒙古赤峰•阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点

A和点3,与V轴交于点C,顶点为。.

（1）请直接写出A、B、。三点坐标.

（2）如图1,点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线3c于点N,求线段儿W长

度的最大值；

（3）如图2,若点P在抛物线上且满足/尸CB=/CAD,求点尸的坐标；

【答案】（1）点A的坐标为（-1,0）,点3的坐标为（3,0）,点。的坐标为。，-4）

【分析】（1）由抛物线尸分别令y=0,尤=0,则可确定抛物线与坐标轴的交点坐标，根据顶

点坐标可确定点。的坐标；

（2）设腔_Lx轴于点E,设"（加,加2-2加-3）,确定直线的解析式为＞=x-3,得到N（〃Z,〃L3）,继

而得到=（机-3）-（机2_2机-3）=-1；+',根据二次函数的最值可得结论；

（3）确定直线5。的解析式为y=2x-6,然后分两种情况进行讨论即可.

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【详解】(1)解：：抛物线尸产-2》-3与x轴交于点A和点8,与V轴交于点C,

当y=0时，得/一2》一3=0,解得：x=-l或x=3,

当x=0时，得产-3,

.•.4(—1,0),8(3,0),C(0,-3),

,/抛物线y=x2-2x-3的顶点为D,

."Hl'七］,即MI，

...点A的坐标为点3的坐标为(3,0),点。的坐标为(1,-4)；

(2)设Affi_Lx轴于点£,设加2_27M_3),

设直线BC的解析式为y=Lx+%c，过点3(3,0),C(0,-3),

.pkBC+bBC=0

\bBC=—3

^BC=1

解得:

为c=-3'

直线BC的解析式为y=x-3,

•.•过点M作X轴的垂线，交直线BC于点N,

MN=(m-3)--2%-3)=-m2+3m=-I+r

"：-l<0,

39

...当机=；时，线段跖V的长度取得最大值，此时最大值为：；

图1

(3)设直线8。的解析式为了=左坨尤+%＞，过点8(3,0),0(1,-4),

3kBD+%=0

kBo+%=T

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，直线BD的解析式为y=2x-6,

①如图，

NPCB=ZCBD,

PC//BD,

设直线PC的解析式为y=2x+与c，过点。（0,-3）,

・•・uApc--3U,

直线PC的解析式为y=2x-3,

y=2x-3

联立

y—%2—2.x—3

x=0x=4

解得:k-3或

y=5

此时点尸的坐标为（4,5）；

图2

②如图，设CP交2。于点G,作射线0G交BC于点尸，

,/ZPCB=NCBD,

.GC=GB,

•3(3,0),C(0,-3),

.OC=OB=3,

.OG垂直平分3C,

.点尸是3c的中点,

3+00-3

’.点F的坐标是

设直线OG的解析式为>=自6盯过点尸

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・,・直线OG的解析式为V=-x,

・・•直线OG：V=-x与直线8。：）=2%一6交于点6,

y=-x

y=2x-6

解得:

.\G（2,-2）,

设直线CG的解析式为y=©；x+bcG，过点C（0,-3）,G（2,-2）,

...解得：

bCG=-3

...直线CG的解析式为＞=；x-3,

y=-x-3

-2

y=x2-2x—3

解得:

此时点尸的坐标为［5，一1J；

综上所述，点P的坐标为（4,5）或

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图2

【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，待定系数法确定

函数解析式，平行线的判定，二次函数与一次函数的交点，等角对等边，中点坐标，垂直平分线的判定和

性质等知识点.掌握二次函数的性质、确定二次函数与一次函数交点坐标的方法是解题的关键.

【变式1-1](23-24九年级下•湖南永州•开学考试)综合与探究.

24

如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数2的图象与x轴交于A,B两点(点A在点3的

左侧)，与了轴交于点c,连接BC.

(1)求A,B,C三点的坐标；

(2)若点P是x轴上一点，当ABC尸为等腰三角形时，求点P的坐标；

(3)点。是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点。使=?若存在，请求出点。的坐标;

若不存在，请说明理由.

【答案】⑴8(3,0),C(0,2)

(2)(3-疝))或(3+713,0阈一3,0)或,o]

(3)(2,2)或匕,-2五86J、

74

【分析】(1)当y=0时，即0=-(/+丁+2,解方程可得图象与x轴交于点5(3,0),当x=0

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时，歹=2,从而得图象与V轴交于点C（0,2）；

（2）先利用勾股定理求出BCMVH，再分当BC=BP=5,当尸C=BC时，当尸C=P8时，三种情况讨

论求解即可；

（3）分点。在8c上方时和点P在8C下方两种情况讨论求解即可.

24

【详解】（1）解：当y=0时，即0=-§尤2+§x+2,解得：玉=-1,x?=3.

图象与x轴交于点/（-1,0）,5（3,0）,

当x=0时，y=2,

•••图象与了轴交于点C（0,2）,

（2）解：V5（3,0）,C（0,2）,

二BC=J（3_0）2+（0-2）2=岳,

当BC=BP=匹,则点P的坐标为（3-JHo）或（3+而,0）；

当尸C=8C时，VOCYBP,

：.OP=OB=3,

二点尸的坐标为（-3,0）；

当PC=P5时，设点尸的坐标为（如0）,

pc2=PB2，

A（m-O）2+（O-2）2=（m-3）2,

解得加=3，

点P的坐标为（d，o］；

综上所述，点P的坐标为（3-而■,（））或（3+而；0）或（-3,0）f|,o\

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NQCB=ZABC,

：.CQ//AB,即。0〃x轴，

/.点。与点C关于抛物线的对称轴对称,

74

,••抛物线解析式为"-：/+（+2,

4

...抛物线的对称轴为直线》=一

VC(0,2),

/.2(2,2)；

当点。在BC下方时，设C。交X轴于点K（加,0）,

,/AQCB=ZABC,

：.CK=BK=3-m.

在中，2+

Rt^COK0c0K2=CK2,

22+m2=(3—冽『,

解得：m=y,

6

：.K?0?

设直线CK的解析式为V=履+"，

—k+d=0

6

d=2

解得：k=-%I?,d=2,

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/.直线CK的解析式为y=-—x+2,

12、

y------x+2

5

联立,得

24。

y=—X2+—x+2

33

28

「西=0/-5

解得：1o（舍去），\

bi=2

综上所述，点0的坐标为（2,2）或［拳-管J；

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，勾股定

理，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键.

【变式1-2］（2024•广东•一模）综合应用.

24

如图1,在平面直角坐标系中，已知二次函数歹=-§/+］》+2的图象与x轴交于4,8两点（点N在点3

的左侧），与y轴交于点C,连接BC.

图1图2

（1）求4,B,C三点的坐标，并直接写出直线8C的函数表达式；

（2）点尸是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P使/尸C8=48C?若存在，请求出点尸的坐标；

若不存在，请说明理由；

⑶如图2,作出该二次函数图象的对称轴直线/,交x轴于点D.若点M是二次函数图象上一动点，且点M

始终位于x轴上方，作直线/M,BM,分别交/于点E,F,在点M的运动过程中，尸的值是否为

定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】⑴/（-1，0）,3（3,0）,C（0,2）,yBC=-±x+2

（2）存在，点户的坐标为（2,2）或

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(3)DE+。下的值是定值；DE+DF^—

o4

【分析】⑴当y=0时，即0=-y+(+2,解方程可得图象与x轴交于点/(TO),8(3,0),当x=0

时，＞=2,从而得图象与了轴交于点C(0,2),利用待定系数法即可求解直线BC的函数表达式；

(2)分点尸在3C上方时和点尸在3C下方两种情况讨论求解即可；

(3)由(2)得抛物线的对称轴为直线x=l,从而。(1,0),设河，,-32+。+2]且_1«3,进而利用

待定系数法求得直线/初和直线的解析式，从而得。£=-$+4,。尸=$+：,于是即可得

DE+DF=-t+-+[--t+4^1=

33I3J3

74

【详解】(1)解：当y=o时，即0=-§尤2+§X+2,

解得：再=-1＞尤2=3.

•••图象与X轴交于点/(-1,0),8(3,0),

当x=0时，＞=2,

•••图象与y轴交于点c(o,2),

设直线为：y=mx+n,

把8(3,0),C(0,2)代入y=+”得

[2=〃

[0=3nl+n'

2

m=—

解得3,

n=2

2

直线的函数表达式为为c=-§》+2;

(2)解：存在，理由如下：

当点P在3C上方时，

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CP//AB,即CP〃x轴，

.•.点P与点C关于抛物线的对称轴对称，

24

y——x2H—x+2,

33

4

.••抛物线的对称轴为直线x=--号K=1;

VC（0,2）,

•••尸（2,2）；

当点P在8c下方时，设C尸交x轴于点K（~0）,

则OK=/M,KB=3-m.

'：NPCB=NABC,

：.CK=BK=3—m.

在RtACOK中，OC2+OK?=CK2,

22+m2=(3—加J,

解得：m=y,

6

设直线CK的解析式为y=kx+d,

—k+d=0

<6,

d=2

12

解得：k=~,d=2,

12

...直线CK的解析式为y=-^x+2,

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12。

y------x+2

5

联立，得

24c

y=-x2-\—x+2

33

28

%=05

解得:1c（舍去），

.必=z286'

y-------

2225

.・联,286

25

综上所述，点。的坐标为(2,2)或(段,286

25

(3)解：存在，下的值为定值多理由如下:

由(2)得抛物线的对称轴为直线x=l,

设+§,+2]且,

设直线的解析式为歹=占％+4,

将4(-1,0)和点”的坐标代入得:

—后]+a=0

7724.,

tk、+by=——t2+—t+2

72c

k、=­/+2

13

解得：,

72c

h=——1+2

,13

二直线的解析式为y=1-g/+2)x-g2/+2,

3

4

当x=l时，y=—%+4,

3

***"[1'-丁+4；

—]x+2，+2,

同理，直线期的解析式为：》=—t

33）

44

当x=l时，y=-t+~,

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444

DE=——t+4,DF=-t+-

333f

DE+DF=-t+-t+

Z.3-3+If-34^）1=3

...DE+DF的值是定值，DE+DF^.

【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求一次函数的解析式，二元一次方程组的应用以

及勾股定理，熟练掌握二次函数的图像及性质以及勾股定理是解题的关键.

【变式1-3］（2024•山东日照•二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c过原点O,与x轴正

半轴交于另一点A,且经过点8（-1,-3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若“是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为加，以期为对角线作矩形5CMD,8c垂直于〉轴,

①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出机的取值范围；

②当矩形8cMD内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求加的值；

③如图3,抛物线的顶点为E点，点尸是了轴下方、抛物线对称轴上一点，若/BPE=/EAP,求尸点的坐

标.

【答案】（l）y=—x~+2x

（2）①加£1,且加w-1；②=1或1一20或1+20;③（1,一百）

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）①首先得到y=-x2+2x=-（x-iy+l,抛物线开口向下，对称轴为x=l,当xW-1时，y随x的增大

而增大，进而求解即可；

②根据题意分点M的纵坐标为-3+4=1和点M的纵坐标为-3-4=-7两种情况讨论分别代入抛物线表达式

求解即可；

③过点/作交的延长线于点0,过点0作登，X轴于点令PE交x轴于点“，根据

^APM^QAH（AAS）,得4M=QH=1,PM=AH,求出直线PB解析式，然后把点0的坐标代入即可求

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解.

【详解】(1)•抛物线y="2+2x+c过原点0(0,0),5(-1,-3)

.•.尸

-2+c=—3

=0

解得,

二一1

•••抛物线的解析式为y=-x2+2x；

(2)①：抛物线y=*+2x=-(x-l)2+l；

二抛物线开口向下，对称轴为x=l

.•.当时，＞随x的增大而增大，

是抛物线上一点(不与点3重合)，其横坐标为加，

,当，〃£1,且〃?/-!时，抛物线在矩形3CW内部的图象从左到右逐渐上升；

②•.•台(-1,-3),矩形8CWD内部的图象(包括边界)的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4

二当点M的纵坐标为-3+4=1时，

1=-m2+2m

解得m=1；

当点M的纵坐标为-3-4=-7时，

•*--7=-m2+2m

解得叫=1-2后，刈2=1+2行

综上所述，冽=1或1-20或1+2行;

③过点4作4。，/尸交BP的延长线于点Q,过点。作，x轴于点H,令PE交x轴于点M,顶点石(1，1)，

解—X2~\~2X=0得石=0,%=2,

：.AM=MF=\,

；・/EAO=ZAEP=45。,

VZEAP=ZBPE.ZAEP+/LEAP+ZAPE=180°,NAPQ+NBPE+NAPE=180。,

：.ZAPQ=45°f

・•・A4P。为等腰直角三角形，

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・・.AP=AQ.

・.,/PAM+ZQAH=90°,ZPAM+ZAPM=90P,

：.ZAPM=ZQAH,

・.,ZPMA=ZAHQ=90°,

.•・△力?M义△。/”(AAS),

AM=QH=\,PM=AH,

令点P(T,m),则9=—加=/〃，

*,•。（2-私一1）,

—〃+;/=-3

设直线总解析式为歹=左\+少，则

kr+br=m

m-3

b'=

2

解得，

m+3

k'=

2

IA,1—八、\―r,口1加+3/_\JTl—3

将点。代入可得：-l=（一'（2-%）+下一,

解得：m=±V5,

•.,点尸在y轴下方,

m<0,

n=-V5,

尸点的坐标为。，-石）.

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定，坐标与

图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，数形结合是解答本题的关键.

题型二：二倍角关系问题

【例2】（2024•西藏,二模）已知抛物线了=-Y+6x+c与x轴交于点/（T,0）和点8,对称轴为直线x=l,

抛物线与〉轴交于C点.

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(1)求抛物线的解析式；

(2)如图(甲)，9是抛物线第一象限内的任一点，过点P作POLx轴于D,直线3c与尸。交于点E,当LCEP

是以PE为底的等腰三角形时，求尸点的坐标；

(3)如图(乙)，若点M是抛物线上任意一点，且满足=求朋■的坐标.

【答案】(l)y=--+2x+3；

⑵(1,4)；

【分析】(1)用待定系数法求解即可；

⑴求出直线3c解析式，设点尸坐标为：(X,-/+2X+3),则点E坐标为(X,-X+3),当ACEP是以PE为

底的等腰三角形时，点C在线段尸£垂直平分线上，线段尸£中点的纵坐标为3,由此求出x即可；

(3)如图所示，取点。(1,0),连CD,在CD上取点尸，使得/尸=/。，连4尸并延长交抛物线于点

利用等腰三角形的性质和三角形内角和证明乙3B=NDC4=24C。，再分别用待定系数法依次求出直线

ZX?和直线的解析式，求出直线与抛物线交点M的坐标，再由对称性求出另一•点M的坐标即可.

【详解】(1)解：由题意，得

0=-l-b+c

‘.——=1,

I2x(-1)

，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；

(2)解:由题意点C坐标为(0,3),

由抛物线的对称性，点2的横坐标为1+1-(-1)=3,

则3点的坐标为：(3,0),

设直线3c解析式为：y=kx+b(k^0),

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把8(3,0),C(0,3)代入，得，

[0=3上+6

j3=6'

[k=-l

解得:八2，

[o=3

二直线3C解析式为：y=-x+3,

.•.设点尸坐标为：(X,-X2+2X+3),则点E坐标为(x,-x+3),

当aCEP是以尸E为底的等腰三角形时，

点C在线段PE垂直平分线上，线段尸£中点的纵坐标为3,

解得，西=1,超=0(舍去)，

A-X2+2X+3=-1+2+3=4,

故尸点的坐标为(1,4).

(3)解：取直线x=l与x轴交点(1,0),记为点。，

连CD,在CD上取点尸，使得4F=4D,连4尸并延长交抛物线于点

由题意可知，点4。关于y轴对称，则有ND/C=NCD4,2ZACO=ZDCA,

,?AF=AD,

：.ZAFD=ZCDA,

：.NMAB=ZDCA=2AAeO,

设直线DC解析式为：y=mx+n(m^Q),

把。(1,0),C(0,3)代入,得，

[0=左+b

解得，

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1=-3

[b=3>'

二直线DC解析式为：y=-3x+3

设点尸坐标为(x,-3x+3),

=[X-(-1)]2+(-3X+3)2=(V+1)2+卜3x+3j=(-1-1)2=4,

*.•AF=AD,

；.(尤+1)2+(-3尤+3)2=4,

3

解得，,%2=1(舍去)，

则点尸坐标为：

设直线AM的解析式为V=ex+/(e。0),

把点尸]1,3代入，得

3

e=—

解得，:

I4

33

AM的解析式为y=+:，

44

33

当一x+—=-x2+2x+3时，

44

9

解得石=牙％2=7（舍去）

・••点M的坐标为,

由对称性可知当/坐标为-gj时，直线w与抛物线的另一个交点也满足题意，

同理可以求出此时”的坐标为

1416；

综上，点”的坐标为或

（416）I416）

【点睛】本题是二次函数的综合与一次函数的综合，勾股定理，等腰三角形的性质等等，解题的关键在于

能够利用等腰三角形的性质构造出等角关系.

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【变式2-1]（2024•山西晋城•三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=一3x+4的图象与x轴交

于4,B两点（点/在点3的左侧），与夕轴交于点C,作直线2C.。为直线/C上方抛物线上的一个动

点，横坐标为小，过点。作。尸，x轴于点R交直线/C于点£.

（1）求点B,C的坐标，并直接写出直线/C的函数表达式.

⑵当N4CD=2NBAC时，求点D的坐标.

【答案】⑴/(TO),5(1,0),C(0,4),y=x+4

⑵(-2,6)

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握二次

函数的图象与性质是解题关键.

（1）根据二次函数的性质和待定系数法求解即可得；

（2）过点C作CGLD尸于点G,先求出的长，从而可得点。的坐标，再代入二次函数的解析

式求解即可得.

【详解】（1）解：对于二次函数歹=---3尤+4,

当、=°时，一/-3芯+4=0,解得x=T或x=l,

.•./（-4,0）,5（1,0）,

当x=0时，y=4,

：.C（0,4）,

设直线AC的函数表达式为y=kx+b,

/、（、[—4k+b=0[k=\

将点/（TO）,C（0,4）代入得：，解得

则直线/C的函数表达式为y=x+4.

（2）W：VC（0,4）,

OC=4,

如图，过点C作CGLD尸于点G,

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fit

则四边形OCGb是矩形，

：.GF=OC=4,CG//AB,

:・/ACG=/BAC,

ZACD=2ZBAC,

：.ZACG=NDCG,

：.90°-ZACG=900-ZDCG,即/CED=/CDE,

：.CD=CE,

又・・•CG-LDF,

DG=EG,

TO为直线4。上方抛物线上的一个动点，横坐标为加，。尸，x轴于点厂，

-4<m<0,£（加，加+4）,

EF=m+4,

・•・DG=EG=GF-EF=-m,

：.DF=DG+GF=-m+A,

将点。（加，一加+4）代入y=—/一3》+4得：-m+4=-m2—3m+4，

解得m=-2或加=0（不符合题意，舍去），

.•.点。的坐标为（-2,6）.

【变式2-2］（2024•山东东营•模拟预测）如图1,抛物线>="2+法-3经过4T0）,2（3,0）两点，与了轴

交于点C,尸为第四象限内抛物线上一点，过点尸作尸〃_Lx轴于点M,连接ZC,AP,4P与了轴交于点

D.

第20页共56页

yy,

M

图i图2

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)设四边形的面积为S,求S的最大值.

(3)当=时，求直线AP的函数表达式及点尸的坐标

【答案】⑴尸心_3

(2)$最大值=6

(3)直线4尸的解析式为y=-(4X一4(；点尸的坐标(5为3/2

【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定指数法求函数解析式，二次函数与几何图形，解题的关键

是掌握相关的知识.

(1)将/(-1,0),3(3,0)代入＞=修+版-3,即可求解；

(2)连接。过点。作于点E,尸为第四象限内抛物线上一点，设点尸(加，加2-2加-3),则

2

BM=3-m,PM=\yp\=-m+2m+3,根据。E_LPM,点。在了轴上，可得DE=m,最后根据

1137

s=S"+S.BMP=-MP.DE+-MP-BM得S==-义%-1)一+6,然后根据二次函数的最值求解即可；

(3)根据题意可推出N£MC=NDC/,则4D=CD,设。(0,"),由1+/=(〃+3丫，求出。再

由待定系数法求直线/P的解析式，联立方程组可求出点P的坐标.

【详解】⑴解:将4-1,0),2(3,0)代入丁=。/+乐一3,得：

.[a-b-3=0

••[9〃+3b-3=0'

\a=\

,'[b=-2,

抛物线的解析式为了f2-2x-3；

(2)解：如图，连接DW,过点。作于点E,

第21页共56页

•••8(3,0),抛物线的解析式为了-2x-3,

图2

，设点尸(取力-2m-3),

尸为第四象限内抛物线上一点,

0<m<3,

・••1《_1_;(：轴，点后在尸八，上,

BM=3—m,

DEVPM,点D在歹轴上,

/.DE=m,

DE+BM=m+（3-m）=3,

2

P^=\yP\=-m+2m+3,

•••S=S.P+S,BMP=1Mp.DE+gMP.BM

=；MP.（DE+BM）

3/2cc

=5（—冽+2m+3

2

=-l（m_l）+6

3

—<0,0<m<3,

2

二当m=1时，s有最大值，S最大值一6；

(3)解：如图，

第22页共56页

令x=0,贝!Jy=0-()_3=_3,

C(0,-3),

,•,O0_Lx轴，尸M_Lx轴，

OD//MP,

ZADO=/APM，

•・•/MPA=2/PAC，

ZADO=2ZPAC,

又丁ZADO=ZDAC+ZDCA,

/.ADAC=ADCA,

AD=CD,

设。(O,〃)，贝iJZO=CD=〃一(一3)=〃+3,

又A>=042+002=1+1,

•-1+Z?2=(〃+3)2,

4

•.n——,

3

设直线4尸的解析式为歹=履+6,将4(-1,0),代入得:

b=--

3

-k+b=0

4

解得：；

4

3

44

「•直线AP的解析式为y=-yX-y;

第23页共56页

44

y=——x----

联立，得-33

y=x2-2%-3

5

解得:(不合题意，舍去)，＜

32

m=0y=--

29

(532

点尸的坐标为

【变式2-3】.(2024•山东荷泽・二模)已知抛物线y=a/+6x+3经过点和点3(-3,0),与V轴交于

点C,点尸为第二象限内抛物线上的动点.

(2)如图1,抛物线上是否存在点P,使四边形80C尸的面积为8?若存在，请求出点P的坐标；若不存在,

请说明理由.

(3)如图2,连接OP交BC于点。，当，〃0：5"四=1：2时，请求出点。的坐标;

(4)如图3,点E的坐标为点G为x轴负半轴上的一点，ZOGE=\50,连接PE,若NPEG=2NOGE,

请求出点尸的坐标.

【答案】(l).y=f2-2x+3；(-1,4)

(2)不存在，理由见解析

⑶「L2)

(4)-2-，2~

【分析】(1)将点/。,0)和点3(-3,0)代入＞=°/+为+3得到关于。、b的二元一次方程组，求解即可；

⑵连接3C,求出直线8c的解析式，过点P作尸G〃夕轴交8C于点G,设P(「产-21+3),则G«J+3),

则邑皿=：X3X(-尸_3?)=|,此时f无实数根；

(3)设。点横坐标为〃，由题意可得5.脆=；乂(“+3卜(-/2一3。=一/一3乙求出〃的值即可求。点坐标；

(4)设PE与x轴的交点为由题意可知NGHE=45。，则〃(-1,0),直线HE与抛物线的交点即为所求P

第24页共56页

点.

【详解】(1)解：•••抛物线-=江+上+3经过点/(1,0)和点8(-3,0),

JQ+6+3—0

•陵-36+3=0'

Cl——1

解得:

b=-1,

抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3,

*.*y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

・••抛物线的顶点为(T4),

故答案为：y=-x2-2x+3；(-1,4)；

(2)不存在点P,使四边形5。。2的面积为8.理由如下:

连接BC,

:抛物线歹=-f一2x+3与V轴交于点C,B(-3,0),

当％=0时，得：歹=3,

・・・。(0,3),

・•・OC=OB=3,

19

S的,=—x3x3=—

22

设直线3C的解析式为y=b+"?,过点/TO),C(0,3),

{-3k+m=0

[m=3

k=l

解得:

m=3

・•・直线BC的解析式为y=x+3,

过点夕作尸G〃丁轴交BC于点G,

设P(厂》—2/+3),则G(/,/+3),

22

PG=-t-2t+3-t-3=-t-3t,

若四边形BOCP的面积为8,

in7

则邑BCP=5X3X(T2-3/)=8-5=5,

整理得：3/+%+7=0,

VA=92-4X3X7=-3<0,

此时方程无实数根，

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.,•不存在点P,使四边形30CP的面积为8；

••V•v—]­?

•3CPD,3BPD-,•4,

2]

**•SABPD=1x5x3x(-1?-3/)=-1?—3tf

设。点横坐标为〃，

S&BPD~,x(〃+3)x(—t?—3/)=-1?-3t,

解得：n=-l,

•・,点。在直线5C的解析式为y=％+3,

.*.^=-1+3=2,

・••点。的坐标是(T2)；

(4)设尸E与％轴的交点为H,

VZOGE=15°,ZPEG=2ZOGE,£(0,-1),

：.ZPEG=2x15°=30°,OE=\,

：.ZOHE=ZOGE+/PEG=15。+30。=45°,

ZOEH=90°-ZOHE=90。—45。=45。=ZOHE,

：.OH=OE=1,

A7/(-1,0),

设直线班的解析式为y=%/+如E，过点H(-l,0),£(0,-l),

,b%E+%二°

U[bHE=-l

・・・直线族的解析式为y=-X-1,

联立方程组］;=-x-l

=-x2-2x+3'

第26页共56页

【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，待定系数法确定函数解析式，等角对等边，三角形外角的定义

及性质，一元二次方程的应用，三角形的面积等知识点.熟练掌握二次函数的图像及性质，等腰三角形的

判定，求三角形的面积及函数图像之间的交点坐标是解题的关键.

题型三：两角和与差问题

【例3】（2024•山西临汾•一模）综合与探究

如图，抛物线尸-++c的图像与x轴交于4巩4,0）两点（点/在点3的左侧），与y轴交于点。（0,2）,

备用图

（1）求抛物线表达式及BC所在直线的函数表达式；

（2）若点尸是第一象限内抛物线上的一个动点，连接尸2PC,求APBC面积的最大值及此时点P的坐标;

（3）若点M是抛物线上的点，^.ZOBC+ZOBM=45°,请直接写出点初的坐标.

131

【答案】（1）抛物线解析式为＞=+1_x+2,直线3c的解析式为y=-^x+2,

（2）APBC面积的最大值为4,此时点P的坐标为（2,3）

第27页共56页

(517V]_13

⑶一了一直或

T~9

【分析】(1)设出直线8c解析式，分别把8(4,0),C(o,2)代入抛物线解析式中和直线3C解析式中，利

用待定系数法求解即可;

(2)过点P作〃＞轴交8C于D,设P，?，一:苏+"|机+2),则D1?

——m+2，可得尸。二—,(加一2)+2；

2

=

再由凡PBC凡PCD+S\PBD,得到S&PBC(加-2『+4,利用二次函数的性质即可求出答案;

(3)如图所示，取点〃(-2,-2),连接C4,BH,利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明VM是等腰直

14

角三角形，得到/B〃C=45。，则点M即为5〃为抛物线的交点，同理可得直线解析式为

145

y=—x----x=-

33;或x=4,则点河的坐标为K17114

联立，解得，yI;求出直线歹=1与y

13y=033

y=----X2H-----X+2y=-

229

轴的交点坐标为［。，-：］；取414

则直线BT解析式为y=-+葭由对称性可得=,

3

]_13

则射线5T与抛物线的交点即为点同理可得点M的坐标为

【详解】(1)解：把8(4,0),c(o,2)代入y=_g/+法+c中得:-8+4/?+c=0

c=2

6、

2,

c=2

iQ

・・.抛物线解析式为^=--%I2+-X+2；

设直线3C的解析式为y=履+〃,

4k+bf=0

把3(4,0),。(0,2)代入歹=去+»中得:

br=2

k=--

2,

b'=2

二直线BC的解析式为了=+2；

(2)解：如图所示，过点尸作尸。〃天轴交于，

、\123,贝！J加，一;冽+2),

—m+—m+2

第28页共56页

__12|1_]12c1/_\2.

PD=-—m+—m+2-I-—m+21=-+2m=--(n-2)+2；

=

•SyPBCS'pCD+SvpBD,

••S.PBC=3PD，(Xp-Xc)+~^PD・(XB-Xp)

=2PD

=-(m-2)2+4,

V-l<0,

当初=2时，1pg最大，最大值为4,

・・・此时点尸的坐标为（2,3）

(3)解：如图所示，取点//(-2,-2),连接CH,BH,

V5(4,0),C(0,2),

・•・BO?=(4-0)2+(0_2『=20,BH2=(-2-4『+(—2-0)2=40,

CH2=(-2-。丫+(-2-2『=20,

BC2+CH2=BH2,BC2=CH2,

・・・V戈》是直角三角形，且N〃CB=90。，BC=CH,

・・・V9是等腰直角三角形，

；・NBHC=45。,

I/OBC+/OBH=45。,

*：ZOBC+ZOBM=45°,

・••点M即为BH为抛物线的交点，

14

同理可得直线BH解析式为J=

第29页共56页

5

y=—x----x=——

3

联立2解得

17

y——xH—x+2y=----

I229

・••点M的坐标为

144

在歹=一工——中，当x=0时，y=一一，

333

・•・直线W与y轴的交点坐标为卜-力

取贝I］直线37解析式为y=_gx+g,

由对称性可得ZOBT=ZOBH,

二射线BT与抛物线的交点即为点M,

1

y=x=——

3

联立V解得

13

y=y=一

229

]_13

・•・点河的坐标为

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角

三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于利用线段尸。的长表示出对应三角形的面积，解（3）的关键

在于取出H点证明等腰直角三角形得到45度的角.

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【变式3-1](2024•山东