中考数学重难点题型专训：等腰三角形（14大题型+15道拓展培优）含答案及解析

等腰三角形重难点题型专训

（14大题型+15道拓展培优）

国【题型目录】

题型一等腰三角形的定义

题型二根据等边对等角求角度与证明

题型三根据三线合一求解与证明

题型四格点图中画等腰三角形

题型五根据等角对等边证明等腰三角形

题型六根据等角对等边证明边相等

题型七根据等角对等边求边长

题型八直线上与已知两点组成等腰三角形的点

题型九作等腰三角形

题型十等腰三角形的性质与判定

题型十一等边三角形的性质

题型十二等边三角形的判定

题型十三含30°角的直角三角形

题型十四等腰三角形的综合

【知识梳理】

知识点1等腰三角形的概念与性质

1.等腰三角形概念

有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫

做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.

2.等腰三角形的性质

如图所示，在AABC中，AB=AC,ZkABC是等腰三角形，其

AC为腰，BC为底边/A是顶角，ZB、ZC是底角.

性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”.

知识点2等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三

角形中，等角对等边.

要点诠释：

（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆.判定定理得到的结论是等腰三角形，

性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.

（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形.

知识点3等边三角形的概念与性质

2.等边三角形概念

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.

注意：

（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

Z.A=180°-2z.B,ZB=ZC=180°~^.

2

（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.

2.等边三角形的性质

（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的

直线就是它的对称轴.

（2）三个角都是60°

知识点4等边三角形的判定

（1）三个角相等的三角形是等边三角形.

（2）有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

知识点5含有30。角的直角三角形

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

41经典例题一等腰三角形的定义】

【例1】（2024•全国•八年级竞赛）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（8,8）,现在x轴上找一点3,

使得“02为等腰三角形，则符合条件的点8的个数有（）.

A.2个B.3个C.4个D.5个

■【变式训练】

1.（2023上•湖北黄石•八年级统考期末）如图，A,3为4x4方格纸中格点上的两点，若以N3为边，在方

格中取一点C（C在格点上），使得。3。为等腰三角形，则点C的个数为（）

A.9B.8C.7D.6

2.（2024・全国•八年级竞赛）直线y=x+l上有一点4（3,4）,直线y=T+1上取任一点8（%,%），/、2两点

和原点。恰好可以组成等腰三角形的情况有种.

3.（2024上•河南信阳•七年级统考期末）如图，在直角三角形。5c中，B90,点分别在边以、

5c上，豆BM=BN.

（1）画出直角三角形48c关于直线对称的三角形H8'C'；

（2）如果BC=b,BM=x,用a、b、尤的代数式分别表示三角形力用彳的面积H和四边形44'C'C

的面积S,并化简.

41经典例题二根据等边对等角求角度与证明】

【例2】（2024上•四川内江•八年级统考期末）如图，“8C和AECD都是等腰直角三角形，“5C的顶点/

在AECD的斜边OE上.下列结论：其中正确的有（）

E、

①AACE为BCD@BD+AD=DE

③NDAB=NBCD@AE2+3AD2=2BC2

A.1个B.2个C.3个D.4个

声【变式训练】

1.（2023上•全国•八年级专题练习）如图，2N为NMBC的角平分线，尸为上一点，且P。，8c于。,

ZAPC+AABC=l^0°,给出下列结论：①/MAP=/BCP；②PA=PC；@AB+BC=1BD-④连接/C,

贝IJNCN尸=尸；⑤四边形切尸C的面积是△出£»面积的2倍.其中正确的有（）个

2.（2024上•山西忻州•八年级校联考期末）如图，在RtZX/BC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,F为

的中点，将△3EF沿所所在直线进行翻折，使点B的对应点为点。，连接CD,则8的长为.

3.（2024上•湖南长沙•八年级湖南师大附中博才实验中学校考期末）如图，在等腰“8C中，NACB=90°,

AC=BC,尸为48上一点，BE人CF于点、E.

图1图2

(1)如图1,若/尸=/C,求4BCF的度数.

(2)如图2,过4作/D1CF于点。，求证：LADC当ACEB.

⑶若/BCE=15°,BF=2,AF=6,求/D-8E的值.

41经典例题三根据三线合一求解与证明】

【例3】（2024上•河北沧州•八年级统考期末）如图，等腰”3C的底边5c长为3,面积是6,腰的垂直

平分线所分别交N8,/C于点E,F,若点。为底边2C的中点，点/为线段E尸上一动点，贝黑8DW的

周长最小值为（）

口【变式训练】

1.（2024上•重庆北硝•八年级西南大学附中校考期末）如图把两个腰长相等的等腰三角形拼接在一起，腰

AD=AF=AC,ZDAC^90°,作CELN尸于£,若CE=12,DE=DF,则NC的长为（）

A

A.16B.15C.473D.5A/3

2.（2024上•安徽六安•八年级六安市第九中学校考期末）如图，在“8C中，4B=AC,/A4c=120。，D

为8C的中点，DE上AC于点、E,AE=8,则CE=.

BDC

3.（2024・全国•八年级竞赛）已知/,C,8在同一条直线上，ZX/CE,都是等边三角形，BE交CF

于点N,AF交CE于点、M,MG1CN,垂足为点G.求证：CG=NG.

41经典例题四格点图中画等腰三角形】

【例4】（2023上・安徽合肥•八年级统考期末）在如图的网格中，在网格上找到格点C,使“8C为等腰三

角形，这样的点有（）个

A.5B.7C.8D.10

■【变式训练】

1.（2023上・山东济宁•八年级统考期中）如图，在正方形网格中，网格的交点称为格点.已知点48在格点

上，若点C也在格点上，使得以A,B,C三点为顶点的三角形为等腰三角形，则符合条件的点C的所有

B.8个C.9个D.10个

2.（2023上•河南新乡•八年级统考期中）如图，在正方形网格中，A,5两点都在小方格的顶点上，如果点

C也是图中小方格的顶点，且A48C是等腰三角形，那么点C的个数有个.

3.（2024上•浙江宁波•八年级校联考期末）在方格纸中，点尸、。都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画

（1）在图1中，画一个以尸。为腰的等腰A/尸。（A为格点）;

（2）在图2中，画一个以夕。为底的等腰（3为格点）.

【经典例题五根据等角对等边证明等腰三角形】

【例5】（2024•全国•八年级竞赛）如下图，的三条高相交于点G,CH为角平分线，已知

乙4"=45。,448=60。，则图中的等腰三角形共有（）.

A.5个B.6个C.7个D.8个

【变式训练】

1.（2024上•江苏南京•八年级校联考期中）如图，在RtZUBC中,ZC=90°,ZA=20°.若某个三角形与

能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有（)

B.5种C.6种D.7种

2、（2023上•重庆渝北•八年级统考期末）如图，在直角三角形中，ZACB=90°,。为线段NC上一点,

连接班.过点/作4E过3。，连接。£,当。8平分/CDE时，延长DC至点尸使得DF=DE,连接跳■.若

NBAC=工NBFD且BF=3.6,则8=

2

I)

3.（2024上•湖南常德•八年级校联考期末）如图所示，在。3C中，BE平分NABC,DE过BC.

（1）求证：冕ADE是等腰三角形；

⑵若乙4=30。，ZC-70°,求NADE的度数.

二31经典例题六根据等角对等边证明边相等】

【例6】（2024上•陕西西安•八年级陕西师大附中校考期末）如图，“2C中，/C=90。，44=30。，43=12cm,

点。在边NC上，以出）为边在3。左上方作等边若NCAD=45。，则点E到48边的距离为（）.

A.5cmB.50cmC.6cmD.65/2cm

【变式训练】

1.（2023上•山东聊城•八年级校考阶段练习）如图，在中，Z45逑4CB的平分线交于点。，过点

D作EF过BC交4B于点、E,交ZC于点尸.若48=1飨4?=血。=13,则△/斯的周长是（）

A.15B.18C.20D.22

2.（2023上•福建・八年级专题练习）如图，AASC中，BO平分/4BC,CO平分N/C2,经过点O,

与N3,NC相交于点A/、NaMN过BC,已知N8+/C=15,则A/ACV的周长为.

3.（2020上•江西赣州•八年级统考期末）数学课上，老师出示了如下的题目：

“在等边三角形48C中，点£在48上，点。在C8的延长线上，且ED=EC,如图，试确定线段NE与。8

的大小关系，并说明理由.

图1图2

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为的中点时，如图1,确定线段NE与。8的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填

”〉,,,或"=,,）

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，/E与。5的大小关系是：AEDB（填或"=理由如下：如图2,过点石

作£/过3C,交NC于点尸，请你完成解答过程.

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形A8C中，点E在射线上，点。在射线CB上，且ED=EC.若的边长为1,AE=2,

画出符合条件的图，求CO的长.

【经典例题七根据等角对等边求边长】

【例7】（2023上•湖南邵阳•八年级统考期中）如图，在“8C中，ZABC=3ZC,为。的平分线,

BMLAD,垂足为且28=6,8M=2,则4C=（）.

A

A.10B.7C.8D.9

!*【变式训练】

1.（2023上•广东深圳•八年级深圳市高级中学校考期中）如图，在“8C中，CE平分/ACB交AB于点E,

CF平分//CD,EF过BC,E尸交NC于点若CM=7,则原2+。尸2=（）

A.121B.144C.169D.196

2.（2023上•湖北十堰•八年级统考期末）如图，在AASC中，ED过BC,//3C和/ZC3的平分线分别交

ED于点、G、F,若，£8=7,DC=9,EO=H,则尸G=.

3.（2022下•黑龙江哈尔滨•八年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）已知：03c中，CDL4B于点、D,

ABAC=2NBCD.

（1）如图1,求证：4B=AC；

（2）如图2.点E是NC上一点，连接3E.若NEBC=NBCD+NBEC,求/BEC的度数；

⑶在（2）的条件下，如图3,过点E做所15c于点尸，8=3空食S.CE=6,求线段E尸的长.

j【经典例题八直线上与已知两点组成等腰三角形的点】

【例8】（2023上•湖南长沙•八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，^（10,-1）,若A/BO是等腰三角形,

且B是坐标轴上一点，则符合题意的3点有（）

A.5个B.6个C.7个D.8个

■【变式训练】

1.（2022上•山西晋城•八年级统考期末）如图，在中，NACB=90°,AS^13,AC=5,动点尸

从点8出发沿射线2C运动，当△/尸8为等腰三角形时，这个三角形底边的长不可能是（）

C.V26D.13

24

2.（2023上•河南开封•八年级开封市第十四中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知4（3,0）食5（0,3）,

若坐标轴上取一点C,使得A/8C是等腰三角形，则满足条件的C有.个.

3.（2023上•重庆沙坪坝•八年级重庆一中校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，。是坐标原点，正方

形。N8C的顶点/、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3,点。为x轴上一点，其坐标为（1窗，连

接8,点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C—B—Z的方向向终点工运动，当点尸与点/重合

时停止运动，运动时间为f秒.

善用图

（1）求线段CD的函数解析式;

（2）连接PC燮P。，求△CPO的面积S关于t的函数解析式;

（3）点尸在运动过程中，是否存在某个位置使得△8尸为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不

存在，说明理由.

31经典例题九作等腰三角形】

【例9】（2021上•安徽滁州•八年级校考阶段练习）点4-4,0）,3（2,0）是坐标平面上两定点，＜?是了=-苫的图

像上的动点，则满足上述条件的等腰A43c可以画出（）个.

A.1B.3C.4D.5

■【变式训练】

1.（2020•山东泰安・统考二模）如图是一个直角三角形,若以这个直角三角形的一边为边画一个等腰三角形,

使它的第三个顶点在这个直角三角形的其他边上，那么这样的等腰三角形在图中能够作出的个数为（）

2.（2022上•山东德州•九年级统考期中）已知锐角N/O8=40。，如图，按下列步骤作图：①在ON边取一

点、D,以。为圆心，0D长为半径画MV，交08于点C.②以。为圆心，长为半径画G〃，GH与0B

交于点£,连接DC并延长，使DC的延长线交G”于点尸，连接则NPOC的度数为

3.（2023上•河南漠河•八年级统考期中）如图，在“5C中，AB=4C,/A4c=108。，在线段3c上找一

点、D（与B,C不重合），使得△48。和A/CD均为等腰三角形.

⑴一同学的解法是，如图1,以2为圆心，以A4的长为半径画弧与8c交于点》请根据这种作法说明

和ANCD均为等腰三角形；

（2）尺规作图：请在图2中用另外一种方法找出点。（保留作图痕迹，不写作法）.

一31经典例题十等腰三角形的性质与判定】

【例101（2022上•黑龙江哈尔滨•八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，。为“5C内一点,

CD平分//C8,BELCD,垂足为D交NC于点及ZA=NABE,AC=10,BC=6,则8。的长为（）

C.1D.2.5

【变式训练】

1.（2024上•江苏镇江•八年级统考期末）如图，在RtZ\4BC中，AB=AC,D、E是斜边2C上两点，且

ZDAE=45°,若8。=3,CE=4,则“5C的面积为（）

A.36B.38C.40D.42

2.（2024上•山东临沂•八年级统考期末）如图，在中，AB=AC,NB=40。,。为线段3c上一动点

（不与点3、点C重合），连接AD，作ZADE=40。，交线段NC于点区以下四个结论：①NCDE=/BAD；

②当。为5c中点时，DE1AC-,③若4D=DE,则8O=CE；④当V4DE为等腰三角形时，NEDC=30。.

其中正确的结论有.（填写正确结论的序号）

3.（2024上•黑龙江哈尔滨•八年级统考期末）在AASC中，于点。，NA=2NBCD,

（1）如图1,求证：A8=4C；

⑵如图2,£是上一点，尸是/C延长线上一点，连接C履BF,CE=BF,求证:NBEC=NCFB；

（3）如图3,在（2）的条件下，作EG〃8c交NC于点G,若NCBF=2NACE,EG=2,BC=6,求BF的长.

41经典例题十一等边三角形的性质】

【例11］（2024上•山东济宁•八年级统考期末）如图，已知点。、E分别是等边三角形/8C中BC、边的

中点，40=6,点尸是线段4D上的动点，则8F+E尸的最小值为（）

A.3B.6C.9D.12

■【变式训练】

1.（2022•安徽•模拟预测）已知等边“BC的边3c在直线/上，点4。分别在直线/的两侧，点E在线段3C

上，连接DE,CE=DE.若ZAEB=70。,ZBED=40。,则ND8E的度数是（）.

2.（2024上•海南省直辖县级单位•八年级统考期末）如图，已知等边AA8C,点。为线段2C上一点，△4DC

沿4D折叠得V4DE,连接BE,若N4D8=75。，则ND3E的度数是

B

3.（2023上•湖北十堰•八年级统考期末）如图，点尸、。分别是等边。3C边43、8c上的动点（端点除

外），点尸、点。以相同的速度，同时从点A、

⑴如图1,连接/。、CP.求证：“BQ注ACAP；

（2）如图1,当点尸、。分别在/8、8c边上运动时，AQyC尸相交于点M,/QMC的大小是否变化？若

变化，请说明理由；若不变，求出它的度数;

（3）当点尸、。在射线48、3c上运动时，直线N。、CP相交于M,/QWC的大小是否变化？请画出图形,

并直接写出/QMC的度数.

51经典例题十二等边三角形的判定】

【例12】（2023上•全国•八年级课堂例题）有下列三角形：①有两个角等于60°（则第三个角也为60。.）；

②有一个角等于60。的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上

的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有（）

A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④

■【变式训练】

1.(2023下•山东济南•七年级统考期末)如图，分别以的边/C所在直线为对称轴作“5C的

对称图形△48。和ANC£,NB4c=150°,线段3。与CE相交于点O,连接BE、ED、DC、OA.有如

下结论：①/E4D=90。；②/BOE=60。；③是等边三角形；@BP=EQ.其中正确的结论个数是

2.(2023下•北京海淀•八年级中关村中学校考期中)如图，在“8C中，AB=30cm,BC=35cm,4=60。,

有一动点"自A向8以lcm/s的速度运动，动点N自8向C以2cm/s的速度运动，若M,N同时分别从A,

3出发.

C

(1)经过秒，ABMN为等边三角形;

(2)经过秒，&8MN为直角三角形.

3.(2023上•重庆九龙坡•八年级校联考期中)如图，在“2C中，48=/。且4012。，在线段3c上取E、

尸两点，使BE=CF,连接/E、AF.

⑴求证：4D平分/E4F；

(2)如图，过点E作尸于点X,若DE=MF,求证：△/£尸是等边三角形.

丹【经典例题十三含30°角的直角三角形】

【例13】（2022下•陕西咸阳•八年级校考阶段练习）如图，在O3C中，4B=AC,ABAC=120°,AD±AB,

交BC于点D,4D=3,则BC的长为（）

【变式训练】

1.（2024・全国•八年级竞赛）如图，等边“5C中，BD=CE,AD与BE交于点、P,AQ1BE,垂足为点。,

PD=2^PQ=6,则BE的长为（）.

A.14B.13C.12D.无法求出

2.（2024上•云南曲靖•八年级统考期末）如图，在八4c3中，NC=90。，ZA=15°,点。为NC边上一点,

连接8。，ZDBC=60°.若BC=2,则.

3.（2023上•福建福州•八年级福州三牧中学校考期末）综合与实践：

操作发现：如图，已知“5C和V/DE均为等腰三角形，4B=AC,AD=AE,将这两个三角形放置在一

起，使点8,D,E在同一直线上，连接CE.

(1)如图1,若NDAE=NCAB,求证：BD=CE；

(2)如图1,ZABC=ZADE=550,求NBEC的度数;

拓广探索:

(3)如图2,若NG42=NE4D=120。，BD=4,CFLBE于点F,求Cb的长度.

_\［经典例题十四等腰三角形的综合】

【例14】（2023上•江西赣州•八年级统考期末）如图，/ABC=ZACB,BD,CD,4D分别平分。5c的

内角/48C,外角NACF,外角ZEAC.以下结论:①过8C；②ZACB=2NADB；（3）ZBDC=心/8/C；

④和A/CD都是等腰三角形.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式训练】

1.（2024上•山东聊城•八年级统考期末）如图，在“8C和V/OE中，ZCAB=ADAE=36°,AB=AC,

AD=AE.连接CD,连接BE并延长交/C,4D于点尸,G,若成恰好平分//3C,则下列结论：①

NADC=NAEB；②C。过/3；③CB=BF；④BG=CO+/G中，正确的是（）

C.①②③D,①②③④

2.(2024上・浙江•八年级统考期末)如图，在等边A/8C中，。为8c延长线上一点，E为A8上一点，过点

8作8EIINC,连接。尸，EF,且/。尸£=60。.若BF=5BD=5,则BE的长度是

3.(2024上•江苏泰州•八年级统考期末)数学活动：折纸与证明.

折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法.

如图1,在“5C中，AB>AC,怎样证明呢？

如图2,把NC沿//的平分线4D翻折，因为所以，点C落在上的点C处.于是，由

ZAC'D=ZC,ZAC'D>ZB,可得/C>/2.

感悟与应用：

(1)如图3,4D是“3C的高，ZC=2ZB.^AC=10,CD=4,求助的长.小龙同学的解法是：将△4DC

沿折叠，点C落在3C边上的点C处……，画出图形并写出完整的解题过程；

(2)如图4,4D是A48c的角平分线，NC=2/B.线段48、AC,8之间有怎样的数量关系？写出你

的猜想并证明.

AA

【拓展培优】

1.（2024・全国•八年级竞赛）如图，03c为等边三角形，且8M=CN,NM与8N相交于点P,则44PN（）.

A.等于70。B.等于60。C.等于50。D.大小不确定

2.（2024上•山东荷泽•八年级统考期末）如图，已知等边。5C,48=2,点尸在/C的延长线上，BD=CF,

尸G，8C于G,。8c于点尸;下列结论中：①BE=CG,②八EDP没AGFP；③ZEDP=60。，④PE=1,

一定正确的是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①②④

3.（2024上•山东青岛•八年级统考期末）两个直角三角板如图摆放，其中=488=90。，44=30。,

ZD=45°,CD=2,AB=26AC与BD交于点、P,则点8到/C的距离为（）

A.4B.2C.73D.

2

4.（2024上•山东济宁•八年级统考期末）如图，在“2C中，AB=AC,点E在切的延长线上，EF1BC,

垂足为尸，E尸与NC交于点。，若。1=4食OC=3,则5E的长为（）

t

A.12B.11C.9D.7

5.（2024上•四川宜宾•九年级统考期末）在四边形/BCD中，NABC=90°,,连接对角线NC、8。,

过点C作CE垂直8。于E,且CE=DE.若40=4◊，求的面积（）

A.8B.16C.80D.4夜

6.（2024上•云南曲靖•八年级统考期末）如图所示，aUb,点C在直线分上且在点3右侧运动，ZABC=50°,

作直线NC,若“BC是等腰三角形，贝!!/&=

A

a

a

50°

bBC

7.（2024上•重庆万州•八年级统考期末）如图，在等腰中，AB=AC,2c边上的高=6,腰

上的高CE=8,则/左=

8.（2024上•广西百色•八年级统考期末）如图，等边的周长为12cm,3。为/C边上的中线，动点P,

0分别在线段BC,上运动，连接C。，PQ,当8P的长为cm时，线段CQ+尸。的和最小.

9.（2024上•河南漠河•八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点/在x轴的负半轴上，点3在第三

象限，A/8。是等边三角形，点E在线段上，且/E=2,点尸是线段月8上的动点，点户是》轴负半轴

上的动点，当EP+FP的值最小时，AF=7,则点/的坐标是.

10.（2024上•海南檐州•八年级统考期末）如图，在四边形48。中，BC//AD,和N48c的角平

分线恰好与8交于点P.若ABAD=70°,则ZABP的度数为度,若=8,2C=2,则4D=.

B

11.（2024・全国•八年级竞赛）如图，是等腰直角三角形，44c5=90。，点。是/C的中点，连接AD,

作NADF=NCDB,连接CF交8。于点£.求证：BDLCF.

12.（2024上•浙江宁波•七年级校联考期末）如图，NA=NB,AE=BE,点。在NC边上，N1=N2,AE与

3D相交于点O.

⑴求证：AAEC^ABED

⑵若/2=40。，求NADE的度数.

13.(2024上•山东济宁•八年级统考期末)如图，“3C是边长为12cm的等边三角形，点尸,。分别从顶点4台

同时出发，点尸沿射线N5运动，点0沿折线BC-C/运动，且它们的速度都为lcm/s,当点0到达点A时，

点尸随之停止运动，连接P2尸。，设点尸的运动时间为f(s).

(1)当点。在线段2c上运动时，80的长为(cm),2尸的长为(cm)(用含，的式子表示).

(2)当「。与“5C的一条边垂直时，求「的值.

(3)当点。从点C运动到点A的过程中，连接尸。，直接写出尸。中点。经过的路径长.

14.(2024上•安徽阜阳•八年级统考期末)如图，点。是等边“8C内一点，。是。外的一点,

ZAOB=\\Q°,NBOC=a,ABOCmADC,ZOCD=60°,连接OD.

(1)求证：AOCD是等边三角形；

(2)当a=150。时，试判断△ZOD的形状，并说明理由;

(3)探究：当a为多少度时，是等腰三角形.

15.(2024上•浙江宁波•八年级宁波市海曙外国语学校校考期末)已知。8。和AOEC都是等腰直角三角形,

且ZACB=ZDCE=90°.

⑵如图2,4、D、£三点在同一条直线上，若N8=13&，DE=10,求A/CD的面积;

(3)如图3,若/5=19,点。在边上运动，求AADE周长的最小值.

等腰三角形重难点题型专训

（14大题型+15道拓展培优）

国【题型目录】

题型一等腰三角形的定义

题型二根据等边对等角求角度与证明

题型三根据三线合一求解与证明

题型四格点图中画等腰三角形

题型五根据等角对等边证明等腰三角形

题型六根据等角对等边证明边相等

题型七根据等角对等边求边长

题型八直线上与已知两点组成等腰三角形的点

题型九作等腰三角形

题型十等腰三角形的性质与判定

题型十一等边三角形的性质

题型十二等边三角形的判定

题型十三含30°角的直角三角形

题型十四等腰三角形的综合

【知识梳理】

知识点1等腰三角形的概念与性质

1.等腰三角形概念

有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫

做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.

2.等腰三角形的性质

如图所示，在AABC中，AB=AC,ZkABC是等腰三角形，其

AC为腰，BC为底边/A是顶角，ZB、ZC是底角.

性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”.

知识点2等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三

角形中，等角对等边.

要点诠释：

（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆.判定定理得到的结论是等腰三角形，

性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.

（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形.

知识点3等边三角形的概念与性质

2.等边三角形概念

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.

注意：

（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

Z.A=180°-2z.B,ZB=ZC=180°~^.

2

（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.

2.等边三角形的性质

（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的

直线就是它的对称轴.

（2）三个角都是60°

知识点4等边三角形的判定

（1）三个角相等的三角形是等边三角形.

（2）有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

知识点5含有30。角的直角三角形

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

,41经典例题一等腰三角形的定义】

【例1】（2024•全国•八年级竞赛）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（8,8）,现在x轴上找一点3,

使得“02为等腰三角形，则符合条件的点8的个数有（）.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，以点。为圆心，为半径画圆交X轴于B、与

两点，以点A为圆心，。/为半径画圆交x轴于0、鼻两点，两圆相较于M、N两点，过M、N两点作直

线交x轴为，即可找出符合条件的点数.

【详解】解：如图，以点0为圆心，3为半径画圆交x轴于B、员两点，以点A为圆心，。/为半径画圆

交x轴于0、四两点，两圆相较于M、N两点，过M、N两点作直线交x轴§4,

则A/OH、"°B2、"0员、都是等腰三角形，即满足这样的点一共有4个，

故选：C.

【变式训练】

1.（2023上•湖北黄石•八年级统考期末）如图，A,B为4x4方格纸中格点上的两点，若以43为边，在方

格中取一点C（C在格点上），使得“8C为等腰三角形，则点C的个数为（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】B

【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定

是解题的关键.

【详解】①当“8为腰时，如图，

②当"8为底边时，点°无格点，

综上可知：“8C为等腰三角形，则点C的个数有8个，

故选：B.

2.(2024•全国•八年级竞赛)直线y=x+l上有一点43,4),直线y=-x+l上取任一点/、B两点

和原点。恰好可以组成等腰三角形的情况有种.

【答案】5

【分析】本题主要考查一次函数图象点的坐标特征，两点间距离以及等腰三角形的定义，设点8(x，-x+l),

求出492=25,/笈=18+2/,BO2^2X2-2X+1,再分4°=°B,4B=BO,4°=4B,三种情况列出方程

求解即可.

【详解】解：设4》尸+1),

.0(0,0),4(3,4)

.AB^—（3-x）+（4+x-1）一—18+2%2AO2=32+42=25.BO^—x2,+（-x+1）-2x2—2x+1

当/。二。8时，即/。2=0§2,

整理得，X2-x-12=0

解得，%二-3,%=4；

当=时，则/02=/§2,

,18+2/=25,

V14V14

X]=-----X,

解得，2,2.

当AB=OB时,则AB2=0B2,

.-.18+2x2=2x2-2x+1,

17

x=-----

解得，2,

.・•点B的位置有5处，A、B两点和原点0恰好可以组成等腰三角形，

故答案为：5.

3.(2024上•河南信阳•七年级统考期末)如图，在直角三角形"8C中，B90,点M、N分别在边氏4、

8c上，且,BM=BN.

(1)画出直角三角形48c关于直线对称的三角形H8C'；

(2)如果NB=°,BC=b,BM=x,用a、b、x的代数式分别表示三角形4M4'的面积E和四边形44'CC

的面积S,并化简.

【答案】（1）见解析

S,=_（q—无）=_u"—cixH—x2；S——a~H—b~~ax—bx+ub

（2）2V72222

【分析】本题考查的是画轴对称图形，利用割补法求解图形面积，完全平方公式的应用，等腰直角三角形

的性质，掌握轴对称的性质是解本题的关键.

（1）作出点A、B、C关于直线MN的对称点H,B',C,然后顺次连接即可；

（2）先判断出是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的面积等于直角边的平方的一半列式进

行计算即可得解；再根据四边形的面积S=A/M4'的面积+ACNC'的面积-△/8C的面积

的面积-正方形瓦⑦加的面积，然后列式进行计算即可得解.

【详解】⑴解：如图所示；"Ue'即为所画的三角形，

(2)ZABC=90°,BM=BN,

...△3儿W是等腰直角三角形，

...△/〃才是等腰直角三角形，

1/\21212

o=lH—；

S.V\Cl—X7)=—d—CIXX

，△/K4,的面积222

四边形44VC的面积的面积+ACNC的面积+ZWC的面积的面积.正方形BNB'M

的面积，

=—(Q—x)H—(b—x)H—abT—ab—£,

2V72V722

=一〃2~I—/—ctx—bx+cib.

22

41经典例题二根据等边对等角求角度与证明】

【例2】（2024上•四川内江•八年级统考期末）如图，“5C和AEC。都是等腰直角三角形，“5C的顶点4

在AECD的斜边OE上.下列结论：其中正确的有（）

E、

D

①AACE为BCD@BD+AD=DE

③2DAB=ZBCD@AE2+AD2=2BC2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理.

由和AECD都是等腰直角三角形，可证/BCD=4CE,进而根据“SAS”可证A/C£丝故结

论①正确；由A4CE0ABCD可得BD=4E,进而可证结论②正确；由“3C和AECD都是等腰直角三角形

可得NC4B=NCB4=45。NE=NCDE=45。，从而证得ZD8/=N/CZ),NND3=90°进而得到

ZDBA+ZDAB=90°,ZBCD+ZACD=90°,因此=故结论③正确；在中，

BD2+AD2^AB~,在RtA43C中，AC2+BC2=AB2,因此瓦P+/犷“(^+届?，等量代换即可得到

AE2+AD2=2BC\故结论④正确.

【详解】和△EC。都是等腰直角三角形，

...CA=CBfCE=CD,ZBCA=ZDCE=90°9

...ZBCA-ZDCA=/DCE-ZDCA,

即/BCD=/ACE,

...A4CE为BCD(SAS),故结论①正确.

“ACEOBCD,

.,.BD=AE,

；.BD+AD=AE+AD=DE,故结论②正确；

...NBCA=NDCE=9Q°,

：.NCAB+NCBA=9Q°,NE+NCDE=90。,

-：CA=CB,CE=CD,

,-,ZCAB=NCBA=45°,NE=ZCDE=45°,

“•ACE芬BCD,

...AEAC=ZDBC,

ZEAC=ZADC+ZACD=45°+//CO,

ZDBC=/ABC+/DBA=45°+/DBA,

：./DBA=/ACD,

...AACE会公BCD,

.../BDC=/AEC=45。,

...NADB=ZADC+ZBDC=450+45°=90°,

,,NDB4+NDAB=90。，

.•"BCD+/ACD=ZACB=90°,

...ZDAB=ZDCB,故结论③正确；

...在白△/BO中，BD2+AD2=AB2,

在RtZ\/2C中，AC2+BC2=AB2,

,..BD-+AD2=AC2+BC2,

BD=AE,AC=BC,

■,AE2+AD2=2BC2,故结