中考数学重难点题型之函数专练：二次函数与销售利润问题（解析版）

专题03二次函数与销售利润问题

解题点拨

知识要点1：二次函数y=+6x+c（«<0）最大值求法

配方法：

y=ax2+bx+c

（bY4ac-b2

—cAx~\---H-----------

<2a）4a

当X=—2时，y取最大值也主。

2a4a

代入法：

ZiA

当%=---时，y取最大值。（把％=----带入y=+Zzx+c求出最大值）

2a2a

公式法：

借助顶点坐标公式一2,土上2带入求出最大值.

、2。4。,

直击中考

1.（2022•河南郑州•统考一模）春节即将到来，某水果店进了一些水果，在进货单上可以看

到：每次进货价格没有变化，第一次进货苹果400千克和梨500千克，共支付货款6200

元；第二次进货苹果600千克和梨200千克，共支付货款6000元；为了促销，该店推出

一款水果礼盒，内有3千克苹果和2千克梨，包装盒每个4元.市场调查发现：该礼盒的

售价是70元时，每天可以销售80盒；每涨价1元，每天少销售2盒.

（1）求每个水果礼盒的成本（成本=水果成本+盒子成本）；

（2）若每个礼盒的售价是。元是整数），每天的利润是w元，求w关于a的函数解析式（不

需要写出自变量的取值范围）；

⑶若每个礼盒的售价不超过加元（利是大于70的常数，且是整数），直接写出每天的最大

利润.

【答案】（1）40元

⑵w=-2.2+3004-8800

⑶当机.75时，每天的最大利润为2450元；当70<相<75时，每天的最大利润为

—2m2+300m—8800

【分析】（1）设苹果进货价格为x元/千克，梨进货价格为y元/千克，根据题意列出方程

组可求出x和y的值，进而得出结论；

（2）根据卬=（售价-成本）x数量可得结论；

（3）根据二次函数的性质可直接得出结论.

【详解】（1）解：设苹果进货价格为x元/千克，梨进货价格为y元/千克,

400x+500y=6200

依题意可列方程组:

600.x+200y=6000

解得x=8,y=6,

••.苹果进货价格为8元/千克，梨进货价格为6元/千克

每个礼盒的成本为：8x3+6x2+4=40（元）.

（2）解：w=（o-40）［80-2（a-70）］=-2a2+300a-8800.

（3）解：由（2）知，w=-2a2+300a-8800=-2（a-75）2+2450,

，当"?..75时，每个礼盒取75元时，每天能够获得最大利润，且最大利润为2450元；

团当机＜75时，w随机的增大而增大，

回当70＜小＜75时，每个礼盒的售价取m元时，每天的最大利润为-2根2+300〃L8800.

【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及二元一次方程组的应用，二次函数的性质等

知识，关键是根据题意得出相关函数式.

2.（2022•江苏淮安•统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、3两种品牌

的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变.第一次购进A品牌粽子100袋和5品牌

粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费

用为8100元.

⑴求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；

⑵当8品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对8品

牌粽子进行降价销售.经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加

5袋.当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出8品牌粽子所获得的利润最

大？最大利润是多少元？

【答案】⑴A种品牌粽子每袋的进价是25元，8种品牌粽子每袋的进价是30元

（2）当8品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大

利润是980元

【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；

（2）设8品牌粽子每袋的销售价降低。元，利润为w元，列出w关于“的函数关系式，求

出函数的最值即可.

【详解】（1）解：设A种品牌粽子每袋的进价是x元，8种品牌粽子每袋的进价是y元，

100.r+150y=7000

根据题意得,

180x+120j=8100

故A种品牌粽子每袋的进价是25元，8种品牌粽子每袋的进价是30元；

（2）解：设8品牌粽子每袋的销售价降低。元，利润为W元，

根据题意得，

w=（54-30）（20+5。）=-5a2+100。+480=-5（a-10）2+980,

0-5<0,

回当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出8品牌粽子所获得的利润最大，最大

利润是980元.

【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析

式和二元一次方程组是解题的关键.

3.（2022・四川巴中•统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进

价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元.

⑴求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；

（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价

提高1元，则每天少售出2盒.设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求

该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润.

【答案】⑴每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元

（2）1800元

【分析】（1）设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元，根据猪肉粽进价比

豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元列出方程组，解出即可.

（2）根据当a=50时，每天可售出100盒，每盒猪肉粽售价为。元时，每天可售出猪肉粽

［100-2（4-50）］盒，列出二次函数关系式，再化成顶点式即可得解.

（1）

设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为>元，由题意得：

［x+2y=100

,每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元.

（2）

w=（a-40）［100-2（。-50）］

=-2（a-70）2+1800.

，当a=70时，w最大值为1800元.

国该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意

列出相应的函数关系式是解此题的关键.

4.（2022•辽宁朝阳•统考中考真题）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售

过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中

8<x<15,且x为整数）.当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消

毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件.

⑴求y与x之间的函数关系式.

（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？

⑶设该商店销售这种消毒用品每天获利桃（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天

的销售利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（l）y=_5x+150

⑵13

⑶每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元.

【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；

（2）根据每件的销售利润x每天的销售量=425,解一元二次方程即可；

（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润x每天的销售量，即可得出w

关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题.

【详解】（1）解：设了与x之间的函数关系式为y=优片0）,根据题意得：

19上+6=1051左=-5

[11k+6=95[6=150

即与x之间的函数关系式为y=-5x+150；

（2）解：（-5X+150）（x-8）=425,

整理得：尤2—38X+345=0,

解得：石=13,%=25,

08<x<15,

团若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；

（3）解：根据题意得:w=y（x-8）=（-5x+150）（x-8）

=-5x2+190%-1200

=-5（X-19）2+605

08<x<15,且x为整数，

当x<19时，卬随x的增大而增大，

回当x=15时，w有最大值，最大值为525.

答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找

准题目的等量关系，

5.（2022•辽宁鞍山•统考中考真题）某超市购进一批水果，成本为8元/kg,根据市场调研

发现，这种水果在未来10天的售价"，（元/kg）与时间第x天之间满足函数关系式

m=+（l<x<10,x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量y（kg）与时间

第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值.

时间第X天259

销售量y/kg333026

（1）求y与x的函数解析式；

⑵在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？

【答案】（l）y=-x+35（l<x<10,x为整数）;

（2）在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元.

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）设销售这种水果的日利润为w元，得出w=（f+35）（；x+18-8）=

--fx-—+生空，，再结合1支410,x为整数，利用二次函数的性质可得答案.

212J8

【详解】（1）解：设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函数关系式为y=H+6,

2后+6=33

根据题意，得:

5k+b=30

k=-l

b=35

取=-x+35（l<x<10,x为整数）；

（2）解：设销售这种水果的日利润为坟元,

--x2+—x+350

22

ffll<x<10,x为整数，

团当x=7或x=8时，w取得最大值，最大值为378,

答：在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元.

【点睛】本题主要考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握

二次函数的性质是解题的关键.

6.（2022・湖北荆门•统考中考真题）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x

（元/个）满足40Vx<80时，其销售量了（万个）与x之间的关系式为尸-1x+9.同时

销售过程中的其它开支为50万元.

（1）求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多

少时净利润最大，最大净利润是多少？

⑵若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽

可能大，销售价格尤应定为多少元？

【答案】（l）z=--320,当x=60时，z最大，最大利润为40

（2）45比75,x=45时，销售量最大

【分析】（1）根据总利润=单价利润x销量-40,可得z与x的函数解析式，再求出

b12/八

X=-----=----7---▼=OU

2a2O时，z最大，代入即可.

（2）当z=17.5时，解方程得出x的值，再根据函数的增减性和开口方向得出x的范围,

结合y与x的函数关系式，从而解决问题.

（1）

由题可知:

z=y(x-30)-50

=(-—x+9)(x-30)-50

10

12

——X2+12X-320,

10

b

JQ------■7---T-=60

团当2aQ时，Z最大,

〔ioj

国最大利润为：-'xGO?+12x60-32。=40；

（2）

当7=17.5时，17.5=--X2+12X-320,

10

0X7=45,X2—75,

国净利润预期不低于17.5万元，且。<0,

045<x<75,

眇=-，x+9.y随x的增大而减小，

取=45时，销售量最大.

【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质等知

识，正确列出z关于x的函数的解析式是解题的关键.

7.（2022・广东佛山•校考三模）某精品店购进甲、乙两种商品，已知购进2件甲商品和1件

乙商品共需36元，购进3件甲商品与2件乙商品共需64元.

⑴求甲商品的和乙商品的进价.

⑵甲商品售价是10元一件，可售出200件，据商家统计，甲商品每涨价0.5元，其销售量

就减少10件，请问售价定为多少时，才能使利润最大，并求出最大利润.

【答案】（1）甲、乙两种商品进价分别为8元/件，20元/件

（2）甲商品售价为14元/件时，获得利润最大，最大利润为720元

【分析】对于（1）,根据2件甲商品的价格+1件乙商品的价格=36,3件甲商品的价格+2

件乙商品的价格=64,列出方程组，再求出解即可；

对于（2）,根据总利润=单件利润x销售量列出二次函数关系式，再根据二次函数图像的性

质讨论极值得出答案.

【详解】（1）设甲、乙两种商品进价分别为。元/件，匕元/件,

[2a+b=36

根据题意得

(3a+2Z?=64

Q=8

解得

b=20

答：甲、乙两种商品进价分别为8元/件，20元/件;

（2）设甲商品售价为x元/件，利润为>元,

Y—1Q

由题意得，y=(x-8)(200-------x10)=-20(x-14)2+720,

0.5

v-20<0,

.•・当％=14时，y的值最大，

即甲商品售价为14元/件时，获得利润最大，最大利润为720元.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二次函数讨论极值的问题等，确定等量

关系是解题的关键.

8.（2022•内蒙古鄂尔多斯•统考中考真题）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花

了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比

第一批多购进50个.

⑴求第二批每个挂件的进价；

⑵两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查

发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货

源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大

利润是多少？

【答案】⑴第二批每个挂件的进价为40元

（2）当每个挂件售价定为58元时，每周可获得最大利润，最大利润是1080元

【分析】（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为l.lx元，根据

题意列出方程，求解即可；

（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，则可列出w关于y的函数关系式，再根

据“每周最多能卖90个"得出y的取值范围，根据二次函数的性质可得出结论.

【详解】（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为l.lx元，

根据题意可得，

6600“8000

-------+50=-------,

l.lxx

解得x=40.

经检验，x=40是原分式方程的解，且符合实际意义，

回1.1%=44.

团第二批每个挂件的进价为40元.

（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，

根据题意可知，w=（y-40）[40+10（60-y）]=-10（J-52）2+1440,

0-10>0,

团当x252时，y随x的增大而减小，

040+10（60-y）<90,

团庐55,

团当歹=55时，w取最大,此时w=-10（55-52）2+1440=1350.

团当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元.

【点睛】本题综合考查分式方程和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关

键.

9.（2022・辽宁锦州•中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程

中发现.，日销售量了（个）与销售单价无（元）之间满足如图所示的一次函数关系.

（1）求了与x的函数关系式（不要求写出自变量尤的取值范围）；

（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？

⑶设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大

利润是多少元？

【答案】⑴y=-2元+1。。；

（2）40元或20元；

⑶当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；

【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；

（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出

答案；

（3）根据题意，列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案.

【详解】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为'=区+》，

把点（25,50）和点（35,30）代入，得

[25左+6=50\k=-2

左+6=30'解得=100'

国一次函数的解析式为y=-2x+100；

（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是无元，则

（x-10）x（-2x+100）=600,

解得：玉=40,3=20,

国当天玩具的销售单价是40元或20元；

（3）解：根据题意，则

w=（x-10）x（-2%+100）,

整理得：w=-2(x-30)2+800；

0-2<0,

回当x=30时，w有最大值，最大值为800；

国当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方

程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题.

10.(2022・辽宁盘锦・中考真题)精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的

帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售.在30天的试销中，每

天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表：

X(天)123X

每天的销售量(千

101214

克)

设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如下图像：已知种植销售草莓的成

本为5元/千克，每天的利润是w元.(利润=销售收入-成本)

⑴将表格中的最后一列补充完整；

⑵求了关于x的函数关系式；

⑶求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元?

【答案】⑴见解析

--x+19(0<x<20)

(2)y=2

9(20<x<30)

⑶销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最大利润是272元

【分析】(1)设每天的销售量为z,则用待定系数法可求出每天的销售量与销售天数x的一

次函数关系式，根据关系式填表即可；

(2)根据图像写出分段函数即可；

（3）根据函数关系列出x和卬之间的关系式，利用二次函数的性质求最值即可.

【详解】（1）设每天的销量为z,

团每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，

团当x=l时，z=10,x=2时z=12,

f5+r=10

团《，

[2s+/=12

5=2

解得

♦=8

即z=2x+8,

当％=30时，销售量z=68,

则将表格中的最后一列补充完整如下表:

X（天）12330

每天的销售量（千

10121468

克）

(2)由函数图像知，当0<建20时，y与x成一次函数，且函数图像过(10,14),(20,

9)，

设3/=京+6,

(10k+b=14

回《，

[20左+Z?=9

\k=--

解得2,

.6=19

明=』x+19(0<x<20),

当20<x<30时，y=9,

、，”--x+19(0<x<20)

助关于x的函数关系式为了=2；

9(20<x<30)

(3)由题意知，当0cx420时，

w=(2x+8)(—gx+19-5)=-X2+24X+112=-(X-12)2+256,

回此时当x=12时，iv有最大值为256,

当20<x<30时，

w=(2x+8)x(9-5)=18x+32,

因此时当x=30时，TV有最大值为272,

综上所述，销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最大利润是272元.

【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握一次函

数的图像和性质及二次函数的应用是解题的关键.

11.（2022•山东青岛•统考中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种

水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购

买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元.根据李大爷

的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，

每天可多销售1箱.

⑴请求出这种水果批发价了（元/千克）与购进数量无（箱）之间的函数关系式；

（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少

箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）'=-。2%+8.4（"xVlO且x为整数）.

（2）李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元.

【分析】（1）根据题意列出，=8.2-得到结果.

（2）根据销售利润=销售量x（售价-进价），利用（工）结果，列出销售利润0与x的函数

关系式，即可求出最大利润.

【详解】（1）解：由题意得y=8.2-0.2（x-l）

=-0.2x+8.4

团批发价y与购进数量x之间的函数关系式是y=-0.2x+8.4（l<x<10,且x为整数）.

（2）解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元

则w=[12-0.5（x-l）-y]-10x

=[12-0.5（x-l）-（-0.2x+8.4）|-10.x

=—3尤2+41尤

回a=-3<0

回抛物线开口向下

41

团对称轴是直线

6

41

团当14x4工时，取的值随x值的增大而增大

以为正整数，回此时，当x=6时，w最大=138

41

当时，w的值随x值的增大而减小

O

以为正整数，回此时，当x=7时，w最大=140

0140>138

国李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元.

【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用二

次函数的增减性来解答，解题关键是理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际

选择最优方案进行解决.

12.（2022・广西贺州•统考中考真题）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬

奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品，某商家以每套34元的价

格购进一批冰墩墩和雪容融套件，若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若

每套售价提高2元，则每天少卖4套.

⑴设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量了与x之间的函数关系

式；

（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润少最大，最大利润是多少元？

【答案】（1）>=-2尤+296；

（2）每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元.

【分析】（1）根据“该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2

元，则每天少卖4套."列出函数关系式，即可求解；

（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，可得到函数关系式，再利用二次函数的性质，

即可求解.

【详解】（1）解:根据题意，得y=200-白4（尤-48）

=—2x+296

与x之间的函数关系式是y=-2x+296.

（2）解：根据题意,得W=（x-34）（-2x+296）

=-2（X-91）2+6498

a=-2<0

国抛物线开口向下，沙有最大值

当x=91时，%大=6498

答：每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元.

【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等

量关系是解题的关键.

13.（2022・广西•统考中考真题）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗，某特产公司近期

销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y

（盒）与销售单价x（元）之间的函数图像如图所示.

(1)求y与X的函数解析式，并写出自变量X的取值范围；

(2)当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大?求出最大禾U润.

【答案】(Dy=-5x+500,50Vx<100

(2)75元，3125元

[80左+6=100

【分析】(1)设直线的解析式为方丘+6,根据题意，得“，人”八，确定解析式，结合

图像，确定自变量取值范围是50cx<100.

(2)设销售单价为x元，总利润为w元，根据题意构造二次函数，根据函数的最值计算即

可.

【详解】(1)设直线的解析式为方履+6,根据题意，得

俨0k+6=100

160左+6=200'

解得J快=一5。

0函数的解析式为y=-5x+500,

当产0时，-5x+500=0,

解得x=100,

结合图像，自变量取值范围是50Vx<100.

(2)设销售单价为x元，总利润为w元，根据题意，得：

W=(x-50)(-5X+500)

=-5(x-75y+3125,

E-5<0,

回w有最大值，且当x=75时，w有最大值，为3125,

故销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大；最大利润是3125元.

【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，构造二次函数求最值，熟练掌握

待定系数法，正确构造二次函数是解题的关键.

14.(2022•湖北十堰•统考中考真题)某商户购进一批童装，40天销售完毕.根据所记录的

数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是

12x,0<x<30

y=/八,/c，销售单价P（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如

［一6彳+240,30<x440

图所示.

p（元/的

⑴第15天的日销售量为件；

（2）当0<xV30时，求日销售额的最大值；

⑶在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为"火热销售期”，则“火热销售期”共有

多少天？

【答案］⑴30

（2）2100元

⑶9天

【分析】（1）将x=15直接代入表达式即可求出销售量；

（2）设销售额为卬元，分类讨论，当0<x<20时，由图可知，销售单价p=40；当

20<x430时，有图可知，。是x的一次函数，用待定系数法求出。的表达式；分别列出函

数表达式，在自变量取值范围内求取最大值即可；

（3）分类讨论，当20<x43。和0<xW30时歹U出不等式，解不等式，即可得出结果.

【详解】（1）解：当片15时，销售量y=2x=30；

故答案为30；

（2）设销售额为W元，

①当0V尤W20时，由图可知，销售单价0=40,

止匕时销售额w=4。xy=4。x2%=80x

080>0,

回w随x的增大而增大

当x=20时，w取最大值

此时3=80x20=1600

②当20<xV30时，有图可知，。是x的一次函数，且过点（20,40）、（40,30）

设销售单价2=履+〃（左彳0）,

将（20,40）、（40,30）代入得：

20k+6=40k=--

40k+b=30解得'2

b=50

回p=-gx+50

——x+50j,2x=-尤2+100%=一

回w=py=(尤-50『+2500

团一1<0,

回当20<xV30时，w随x的增大而增大

当x=30时，放取最大值

止匕时w=一(30—SO)?+2500=2100

01600<2100

回w的最大值为2100,

国当0<XV30时，日销售额的最大值为2100元;

(3)当0W0时，2x248

解得x224

团244尤430

当30<x440,-6.x+240>48

解得x<32

团30〈尤432

S24<x<32,共9天

回日销售量不低于48件的时间段有9天.

【点睛】本题考查一元一次方程、一次函数、一元一次不等式、二次函数，是初中数学应

用题的综合题型，解题的关键在于利用题目中的等量关系、不等关系列出方程、不等式，

求出函数表达式，其中自变量取值范围是易错点、难点.

15.（2022•浙江金华•统考中考真题）"八婺"菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下

信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1）,发现该蔬菜需求量%（吨）关于

售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为%=a/+c,部分对应值如

表:

售价X

（元汗2.533.54

克）

需求量X

7.757.26.555.8

（吨）

②该蔬菜供给量为（吨）关于售价X（元/千克）的函数表达式为%=x-l,函数图象见

图1.

③1~7月份该蔬菜售价A（元/千克），成本巧（元/千克）关于月份f的函数表达式分别为

请解答下列问题：

（1）求4,C的值.

⑵根据图2,哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由.

⑶求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润.

【答案】（l）a=-gc=9

⑵在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大，见解析

⑶该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000

元

【分析】（1）运用待定系数法求解即可；

（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据卬=为售价-x成本列出函数关系式，由二次函数的性

质可得结论；

（3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可.

(1)

%=3,X=4,2/

把。代入y需求=依+c可得

y=7.2'y=5c.8

9a+c=7.2,①

16Q+C=5.8.②

②-①，得7a=-1.4,

解得〃=一!

把"T代入①，得c=9,

回。=-^,c=9.

(2)

设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意,

有w=x售价-X成本=g'+2-

化简，^w=--t2+2t-l=--(t-4)2+3,

44

回-；＜0,/=4在1VCW7的范围内，

4

回当/=4时，w有最大值.

答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大.

(3)

由y供绐=y需求，^x-i=--x2+9,

化简，得/+5%-50=0,解得%=5,%=-1。（舍去）,

回售价为5元/千克.

此时，y供绐=y需求=x-i=4（吨）=4000（千克），

才巴x=5代入x售价=；f+2,得r=6,

把r=6代入w=」2+2f_i,得…」X36+2X6-1=2,

44

回总利润==2x4000=8000（元）.

答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为

8000元.

【点睛】此题主要考查了函数的综合应用，结合函数图象得出各点的坐标，再利用待定系

数法求出函数解析式是解题的关键.

16.（2022•浙江温州•温州市第三中学校考模拟预测）某商店决定购进A,8两种"冰墩墩"

纪念品进行销售.已知每件A种纪念品比每件8种纪念品的进价高30元.用1000元购进

A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同.

⑴求A,8两种纪念品每件的进价分别是多少元？

⑵该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，

售价X（元/

50W6060<x<80

件）

销售量（件）100400—5%

①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？

②该商场购进A,B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于8型纪念品的件数，

但不小于50件.若8型纪念品的售价为加（加＞30）元/件时，商场将A,8型纪念品均全部

售出后获得的最大利润为2800元，求加的值.

【答案】（1）A,8两种纪念品每件的进价分别是50元和20元

（2）①当x=65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元；②加=—

【分析】（1）设8纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是（x+30）元，根据用

1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进8种纪念品的数量相同，列出分式方程，进

行求解即可；

（2）①设利润为w,根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系

式，根据函数的性质，求出最值即可；②设该商场购进A型纪念品。件，则购进B型纪念

品（200-a）件，根据题意列出不等式组，求出。的取值范围，进而得到A型纪念品的最大

利润，设总利润为九求出函数关系式，根据函数的性质，求出当尸2800时，加的值即

可.

【详解】（1）解：设B纪念品每件的进价是尤元，则A纪念品每件的进价是（x+30）元，由

1000400

题意，得:

x+30x

解得：x=20,

经检验：x=20是原方程的解;

当x=20时：x+30=20+30=50；

回A,8两种纪念品每件的进价分别是50元和20元;

（2）解：①设利润为w,由表格，得：

当500x460时，w=（x-50）xl00=100x-5000,

回左=100>0,

回w随着x的增大而增大，

回当售价为：60元时，利润最大为：100x60-5000=1000元；

当60vxW80,w=（%—50）（400—5%）——5x2+65Ox—20000——5（兀-652）+1125,

0a=—5<0>

团当％=65时，利润最大为：1125元；

综上：当了=65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元.

②设该商场购进A型纪念品。件，则购进8型纪念品（200-。）件，由题意，得：

50<々<200-a,

角军得：50<tz<100,

由①可知：当A型纪念品的售价为60元时，售出A型纪念品的利润最大；

设A,8型纪念品均全部售出后获得的总利润为：儿

则:y=（60-50）a+（zn-20）（200-a）,

整理，得：y=（30—tnjci+200/iz—4000,

Em>30,

030—m<0,

回，随。的增大而减小，

国当a=50时，）有最大值，最大值为：

y=（30-/71）x50+200m-4000=150/n-2500=2800,

106

Bm=.

3

【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用.根据题意，正确

的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值，是解题的关键.

17.（2022•山东滨州•模拟预测）重庆潼南某一蔬菜种植基地种植的一种蔬菜，它的成本是

每千克2元，售价是每千克3元，年销量为10万千克•多吃绿色蔬菜有利于身体健康，因而

绿色蔬菜倍受欢迎，十分畅销.为了获得更好的销量，保证人民的身体健康，基地准备拿

出一定的资金作绿色开发，根据经验，若每年投入绿色开发的资金X万元，该种蔬菜的年

销量将是原年销量的加倍，它们的关系如下表：

X万元01234

m11.51.81.91.8

⑴试估计并验证加与X之间的函数类型并求该函数的表达式；

（2）若把利润看着是销售总额减去成本费和绿色开发的投入资金，试求年利润卬万元与绿色

开发投入的资金x万元的函数关系式；并求投入的资金不低于3万元，又不超过5万元时，

x取多少时，年利润最大，求出最大利润.

⑶基地经调查：若增加种植人员的奖金，从而提高种植积极性，又可使销量增加，且增加

的销量y万千克与增加种植人员的奖金z万元之间满足y=-z2+4z,若基地将投入5万元

用于绿色开发和提高种植人员的奖金，应怎样分配这笔资金才能使年利润达到17万元且绿

色开发投入大于奖金？72=1.4.

【答案】⑴根=-O.ld+OSx+l

⑵x=3时，W最大为16万元

⑶用于绿色开发的资金为3.7万元，奖金为1.3万元

【分析】⑴根据题意判断出函数解析式的形式，再利用待定系数法求二次函数解析式，可

求出m与x的二次函数关系式.

（2）根据题意可知S=（3—2）xl0m-尤=—V+5无+io,利用顶点坐标公式解题即可；

（3）将冽代入⑵中的W=—d+5x+10,故卬=一疗+5机+io；再将（5-代）代入

y=-z2+4z,fty=-（5-wt）2+4（5-m）=-m2+6m-5,由于单位利润为1,所以由增加奖

金而增加的利润就是-m2+6m-5,进而求出总利润

W'=+5m+10）+m2+6m—5）—（5—ni）=—Inr+12/n,即可得出答案.

【详解】（1）根据不是一次函数（不是线性的），也不是反比例函数（%xx的值不是常数），

所以选择二次函数，

设机与x的函数关系式为加=依2+6尤+c,

由题意得：

c=1

<a+b+c=l.5,

4〃+2b+c=1.8

a=—0.1

解得：，6=0.6,

c=1

，机与X的函数关系式为：加=-0.1尤2+o.6x+1；

（2）•••利润=销售总额减去成本费和绿色开发的投入资金，

:.W=（3-2）xl0m-x=-x2+5x+10；

b

当无=一丁=2.5时，W最大，

2a

,•・由于投入的资金不低于3万元，又不超过5万元，所以3WxV5,

而。=-1<0,抛物线开口向下，且取值范围在顶点右侧，W随x的增大而减小，故最大值

在x=3处，

，当x=3时，W最大为：16万元；

（3）设用于绿色开发的资金为加万元，则用于提高奖金的资金为（5-加）万元，

将m代入②中的W=—必+5x+10,故W=-m2+5加+10;

将（5-代入y=-z2+4z,故y=-（5-%）2+4（5-=-m2+6/71-5,

由于单位利润为1,所以由增加奖金而增加的利润就是-疗+6加-5；

所以总利润W'=+5〃2+10）+（-〃?2+6m—5）—（5—ZM）=~2m2+12m,

因为要使年利润达到17万,所以_2/+I2m=17,

整理得2疗-12m+17=0,

解得：加=—1。3.7或加=上巫。2.3,而绿色开发投入要大于奖金，

22

所以=3.7,5=1.3.

所以用于绿色开发的资金为3.7万元，奖金为1.3万元.

【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，以及待定系数法求二次函数解析式和一元二次

方程的解法等知识，根据已知得出由增加奖金而增加的利润是解题关键.

18.（2022•辽宁大连•校考模拟预测）新冠肺炎疫情后期，我县某药店进了一批口罩，成本

价为2元/个，投入市场销售，其销售单价不低于成本，按物价局规定销售利润率不高于

so%.经一段时间调查，发现每天销售量y（个）与销售单价了（元/个）之间存在一次函

数关系，且有两天数据为：销售价定为2.3元，每天销售1080个；销售价定为2.5元，每天

销售1000个.

⑴直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

⑵如果该药店销售口罩每天获得800元的利润，那么这种口罩的销售单价应定为多少元？

⑶设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润

是多少元？

【答案】（1）y=-400.X+2000（2<X<3.6）

（2）3元

⑶3.5元，900元

【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为1=区+万，用待定系数法可得y与x之间的函数

关系式为y=-400x+2000,根据销售单价不低于成本，按物价局规定销售利润率不高于

80%,可得2<x<3.6；

(2)根据题意得：(x-2)(T00x+2000)=800,即可解得答案；

(3)由题意得：w=(x-2)(T00x+2000),整理计算，再利用二次函数的性质可得答

案.

【详解】(1)设y与X之间的函数关系式为>=区+。，将销售价定为2.3元，每天销售1080

个；销售价定为2.5元，每天销售1000个代入得：

[2.3左+6=1080“，曰|上=-400

(2.5左+6=1000,解得[6=2000'

・••y与X的函数关系式为y=-400%+2000,

•­•销售单价不低于成本，按物价局规定销售利润率不高于80%,

1-242x80%'

解得24x43.6,

y=-400x+2CXX)(2<x<3.6)；

(2)根据题意得：(x-2)(T00x+2000)=800,

整理得：Y-7X+12=0,

解得：占=3,%=4(不合题意，舍去)，

答：如果每天获得800元的利润，销售单价应定为3元；

(3)由题意得：w=(x-2)(^l00x+2000)

2

w=400x+2800.x-4000

.=50卜2-7工+12.25-12.25)-4000

w=-400(x-3.5)2+900

•IOOVO,

抛物线开口向下，w有最大值，

;.x=3.5时，w最大值是900,

答：销售单价定为3.5元时，每天的利润最大，最大利润是900元.

【点睛】本题考查一元二次方程及二次函数的应用，解题关键是读懂题意，找到等量关系

列方程和函数关系是.

19.(2022・贵州遵义・三模)红星公司销售一种成本为4元/件的产品，若月销售单价不高于

5元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0」万件.其中月

销售单价不低于成本.设月销售单价为无(单位：元/件)，月销售量为y(单位：万件).

⑴直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

⑵当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？

⑶为响应国家"乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款。元，

已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求«的值

5(40<%<50)

【答案】（i）y=

一0.1尤+10(50<尤4100)

（2）7元/件，最大利润为9万元

⑶a=4

【分析】（1）分404x450和尤>50两种情况，根据