中考数学重难点题型之函数专练：二次函数与图形问题（原卷版）

专题04二次函数与图形问题

考法一：定长围面积最大

1.（2022•辽宁沈阳•统考中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个"日"字型框架

ABCD,铁丝恰好全部用完.

⑴若所围成矩形框架/BCD的面积为144平方厘米，则N2的长为多少厘米?

⑵矩形框架ABCD面积最大值为平方厘米.

2.（2022•山东威海•统考中考真题）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三

边用木栅栏围成.已知墙长25m,木栅栏长47m,在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口

（另选材料建出入门）.求鸡场面积的最大值.

出入口

3.如图，某养殖户利用一面长20"?的墙搭建矩形养殖房，中间用墙隔成两间矩形养殖

房，每间均留一道宽的门.墙厚度忽略不计，新建墙总长34%，设的长为x米，养殖

房总面积为S.

20m

AED

BFC

(1)求养殖房的最大面积.

(2)该养殖户准备400元全部用于购买小鸡和小鹅养殖，小鸡每只5元，小鹅每只7元，并

且小鸡的数量不少于小鹅数量的2倍.该养殖户有哪几种购买方案？

4.(2022・江苏无锡•统考中考真题)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资

源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m),另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把

它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为xm(如

图).

(1)若矩形养殖场的总面积为36m2,求此时x的值；

(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

5.北重一中计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，墙的最大可用长度

为12米.另三边用总长为26米的木板材料围成.车棚形状如图中的矩形A3CD。为了方

便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门。

AD

BC

（1）求这个车棚的最大面积是多少平方米？此时AB与AD的长分别为多少米？

⑵如图2,在（1）的结论下，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的

小路，使得停放自行车的面积为70平方米，那么小路的宽度是多少米？

6.（2022・湖南湘潭•统考中考真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的

意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成回、回两块矩形劳

动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费

篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：

41〃〃/〃〃〃/〃/〃///〃〃/〃/〃：/?

H

F

I区Il区

DG

图①图2

⑴方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在回区中留一个宽度A£=1m的水池且需

保证总种植面积为32m2,试分别确定CG、DG的长；

（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问2c应设计为多长？此时最

大面积为多少？

考法二：动点函数图象判断

7.（2022•山东荷泽•统考中考真题）如图，等腰Rt.MC与矩形。跖G在同一水平线上，

AB=DE=2,DG=3,现将等腰Rt45c沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C

到达。E之时开始计算，至离开GF为止.等腰RtABC与矩形。斯G的重合部分面积

记为乃则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）

8.（2022・辽宁鞍山•统考中考真题）如图，在Rt_ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,

AB=473cm,CD1AB,垂足为点。，动点M从点A出发沿A3方向以gcm/s的速度匀

速运动到点3,同时动点N从点C出发沿射线。C方向以Icm/s的速度匀速运动.当点M

停止运动时，点N也随之停止，连接MN,设运动时间为fs,的面积为Sen?,则

下列图象能大致反映S与/之间函数关系的是（）

9.（2022•广东东莞・东莞市万江第三中学校考三模）如图，等边ABC的边长为6,尸沿

CfBfA运动，。沿BfAfC运动,且速度都为每秒2个单位，VBPQ面积为y,则

》与运动时间x秒的函数的图象大致为（）

10.（甘肃•模拟预测）如图，矩形中，AB=3,BC=4,动点尸由点/出发，沿

/玲2好C的路径匀速运动，过点尸向对角线/C作垂线，垂足为0,设a4P0的面

积为丹则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

11.（2022•辽宁锦州•中考真题）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点£,点产

分别为边AD,8中点，点。为正方形的中心，连接OE,。尸，点尸从点£出发沿

E-O-尸运动，同时点。从点8出发沿BC运动，两点运动速度均为lcm/s,当点尸运动

到点尸时，两点同时停止运动，设运动时间为左，连接8aPQ,V3PQ的面积为Sen?,

下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（）

AED

12.（2022・辽宁盘锦・中考真题）如图，四边形4BC。是正方形，4B=2,点P为射线2c

上一点，连接DP,将。尸绕点尸顺时针旋转90。得到线段£尸，过台作£尸平行线交DC延

长线于足设8P长为x,四边形8EE尸的面积为y,下列图象能正确反映出y与x函数关

系的是（）

13.（2022・辽宁・统考中考真题）如图，在等边三角形4BC中，BC=4,在必能历尸中，

0£7）尸=90。，0F=3O。，DE=4,点、B,C,D,E在一条直线上，点C,。重合，EL42c沿

射线方向运动，当点8与点£重合时停止运动.设西8C运动的路程为x,西8c与

尺地斯重叠部分的面积为S,则能反映S与x之间函数关系的图象是（）

14.（2022•辽宁锦州•统考中考真题）如图，在RtABC中，NABC=90。,AB=23C=4,动

点尸从点/出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段A2匀速运动，当点P运动到点3

时，停止运动，过点尸作尸QIA3交AC于点0,将△AP。沿直线PQ折叠得到A'PQ,

设动点尸的运动时间为1秒，一APQ与二ABC重叠部分的面积为S,则下列图象能大致反映

S与，之间函数关系的是（）

15.（2022•辽宁本溪•统考三模）如图，在A/BC中，酎8c=90。，EUC5=30°,AB=2,BD

是NC边上的中线，将ABCD沿射线方向以每秒百个单位长度的速度平移，平移后的

三角形记为设△8/GD/与重叠部分的面积为乃平移运动时间为x,当点

。与点3重合时，△8/GD停止运动，则下列图象能反映夕与x之间函数关系的是

16.（2022春•九年级课时练习）如图，Rt^ABC中，NC=90。，AC=4cm,3c=3cm,

动点P沿折线C4-AB运动，到点8停止，动点0沿BA-AC运动到点C停止，点P运动

速度为2cm/s,点。的运动速度为2.5cm/s,设运动时间为心），△APQ的面积为S,则S

与《0WK4.5）对应关系的的图象大致是（）.

17.（2022•辽宁抚顺•统考三模）如图，在矩形48CD中，AB=2cm,BC=4用cm,E是AD

的中点，连接BE,CE.点尸从点2出发，以gcm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，

同时点0从点B出发，以lcm/s的速度沿方向运动到点C停止，若EBPQ的面积为

7（cm2）,运动时间为x（s）,则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）

AED

BpfC

4

18.（2022•河南周口•统考二模）如图，ABC中，tanZB=耳，点。为边8C上一个不与

B、C重合的一个动点，过点。作与点E,作RtZYDEA的中线£F,当点。从B

点出发匀速运动到点C时，设△AEF的面积为y,BD=x,y与尤的函数图象如图2所

示，则ABC的面积为（）

A.—B.——C.19D.18

55

19.（2022•安徽合肥•统考二模）如图，在矩形/BCD中，AB=3,/。=2,点£是CO的

中点，射线/£与2c的延长线相交于点尸，点M从/出发，沿/玲3玲厂的路线匀速运动

到点尸停止.过点〃作M何尸于点N.设NN的长为x,S4MV的面积为S,则能大致反

映S与x之间函数关系的图象是（）

20.（2022・安徽芜湖・芜湖市第二十九中学校考二模）如图，YABCD中，4B=4,BC=8,

的=60。，动点尸沿48-C-。匀速运动，运动过速度为2cm/s,同时动点。从点/向点。匀

速运动，运动速度为lcm/s,点0到点。时两点同时停止运动.设点。走过的路程为

x（s）,△AP。的面积为Mem,能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）

21.如图，正方形A3CD的边长为4,EFG中，EF=EG=/,FG=2,BC和FG在一条

直线上，当aEFG从点G和点8重合时开始向右平移，直到点尸与点C重合时停止运动，

设二EFG平移的距离为x,£FG与正方形ABCD重叠部分的面积为乃则下列图象中能大

致反映y与x的函数关系的图象是（）

22.（2022•新疆昌吉•统考一模）如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过点P

作垂直于AC的直线交菱形A3CD的边AB-BC于"点，AZ5-DC于N点.设AC=2,

BD=1,AP=x,的面积为y,则y关于x的函数图像的大致形状是（）

考法三：图形综合问题

23.（2022•江苏南通•统考二模）如图1,ABC中，ZACB=90°,tanA=-.点尸从点/

出发，沿边42向点2运动.过点尸作尸Q1A3,垂足为P,P。交.ABC的边于点。，设

AP=x,△AP。的面积为y.y与x之间的函数关系大致如图2所示，则当x=4时，y的值

为（）

图2

24.（2022•内蒙古赤峰•统考中考真题）【生活情境】

为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD=4m,宽AB=lm的长

方形水池A3CD进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水

池工），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFG8（如图②，以下简称水池2）.

£|-----------------------------------------

水池2

尸1-----------------------------------------1G

图②

【建立模型】

如果设水池ABC。的边AO加长长度D/W■为Mm）（x>0）,加长后水池1的总面积为

则为关于尤的函数解析式为：％=x+4（x>0）；设水池2的边E厂的长为

2

x（m）（O<x<6）,面积为力仙?），则为关于x的函数解析式为：y2=-x+6x（0<x<6）,

上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③.

(1)若水池2的面积随E尸长度的增加而减小，则所长度的取值范围是(可省略

单位)，水池2面积的最大值是m2;

⑵在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是，此时的x(m)值是

⑶当水池1的面积大于水池2的面积时，x(m)的取值范围是；

⑷在1〈尤<4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时无的值；

⑸假设水池ABCD的边AD的长度为6(m),其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称

水池3),则水池3的总面积为(m?)关于x(m)(x>0)的函数解析式为：

y3=x+b(x>0).若水池3与水池2的面积相等时，x(m)有唯一值，求6的值.

25.已知：如图，在RtABC中，ZACB=90°,AB=8cm,AC=4cm,8为A3边上的

高，点0从点/出发，沿AC方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，点尸从点8出发，沿

方向匀速运动，速度为2cm/s.设运动时间为《s)(O<t<4).解答下列问题：

c

⑴当/为何值时，PQ//BC.

(2)当尸。中点在C。上时，求才的值；

⑶设四边形QP8C的面积为S(cm2),求S与/的函数关系式，并求S最小值.

26.(2022•宁夏吴忠•校考一模)已知：如图，在RtA6C中，ZC=90°,AC=3cm,

BC=4cm,点尸从点8出发，沿BC向点C匀速运动，速度为la〃/s；过点尸作

PD//AB,交AC于点。，同时，点。从点A出发，沿向点2匀速运动，速度为

2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ.设运动时间为

*s)(0<r<2.5),解答下列问题：

⑴当/为何值时，四边形ADP。为平行四边形？

(2)设四边形ADP。的面积为了(cm2),试确定y与f的函数关系式；

⑶在运动过程中，是否存在某一时刻3使细边心《丝：5吃=13:2?若存在，请说明理由，若

存在，求出/的值.

27.(2022•宁夏银川•银川唐徐回民中学校考三模)如图，在ABC中，3c=10,BC边上

的高AM=6,D,E分别是边A3,AC上的两个动点(点。不与点A、5重合)，DE与

AM交于点N,且OE〃8C,以DE为边,在点A的下方做正方形。跳G.

(1)当正方形DEFG的边GF在BC上时,求正方形DEFG的边长.

(2)设。E=x,ABC与正方形。£FG重叠部分的面积为兀则当x为何值时，y有最大

值，最大值是多少？

28.(2022・四川绵阳・统考中考真题)如图，平行四边形48co中，DB=2日4B=4,AD

=2,动点E,尸同时从/点出发，点E沿着/玲3的路线匀速运动，点厂沿着

/玲8玲。的路线匀速运动，当点E,尸相遇时停止运动.

2

(1)如图1,设点£的速度为1个单位每秒，点尸的速度为4个单位每秒，当运动时间为］

秒时，设CE与DF交于点、P,求线段£尸与CP长度的比值；

⑵如图2,设点E的速度为1个单位每秒，点尸的速度为石个单位每秒，运动时间为x

秒，//E尸的面积为外求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最

大值为多少？

(3)如图3,H在线段上且M为DF的中点，当点E、下分别在线段

AB上运动时，探究点E、厂在什么位置能使并说明理由.

29.（2020•吉林长春•统考二模）如图，在△4BC中，勖C4=90。，AB=5cm,3c=3cm.动

点£从8出发沿线段四方向以每秒lcm的速度向终点N运动.过点£作EDS8/交射线

BC于点、D,以和。C为邻边作平行四边形EDC凡过点。作。8〃。，交射线A4于

点、H,过点〃作8G回C4,交射线C4于点H.设点E的运动时间为f（秒）.

（1）直接写出CD的长度（用含/的代数式表示）.

（2）当点尸落在。〃上时，求f的值.

⑶求平行四边形EDCF与矩形CZ3HG重合图形部分的面积S与时间t之间的函数解析式.

⑷若。〃将平行四边形皮＞CF分成两部分的面积之比为匕当0〈心g时，请直接写出f的

取值范围.

30.已知，如图，在，ABC中，AB=AC=6,BC=8,ZDEF=ZABC.将NDEF与

/ABC重合在一起，让NDEF在边3C上以每秒1个单位长度的速度从8向C运动（不含

端点），且在运动过程中满足：始终经过点4所与/C交于点G.解决下列问题：

⑴求证：ABEs,ECG；

⑵当NDEF运动几秒时，△AEG为等腰三角形;

⑶当线段NG最短时，求AMG的面积.

31.（2022•天津滨海新•统考二模）在平面直角坐标系中，.CDO为等边三角形，点。在第

二象限，点C在x轴负半轴上，一ABO为直角三角形，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正

半轴上，OB=OC,ZABO=30°,OA=2.

（2）将CDO沿x轴向右平移，得到△CD。'，点C,D,。的对应点分别为C',

O',设。△CD'。与.ABO重叠部分的面积为S.

①如图②，当△CDO与.ABO重叠的部分为四边形时，与A3相交于点E,试用含

有/的式子表示S,并直接写出/的取值范围；

②当坦叵《出电必时，求s的取值范围（直接写出结果即可）.

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32.如图，在矩形/5CD中，BOCD,BC、CD分别是一元二次方程，一7》+12=0的两

个根，连接2D,并过点C作CWHSD,垂足为N,点尸从2出发，以每秒1个单位的速度

沿3。方向匀速运动到。为止；点M沿线段ZX4以每秒1个单位的速度由点。