中考数学一轮总复习重难点强化训练：与圆有关的计算（分层训练）解析版

专题12与圆有关的计算（分层训练）

分层训练

【基础训练】

一、单选题

1.（2023・湖南岳阳・统考中考真题）已知扇形的圆心角为60。，半径为1,则扇形的弧长为（）

A.-B.nC.-D.-

263

【答案】D

【详解】解：根据弧长公式知：扇形的弧长为警=[.

lol）3

故选：D.

【点睛】题目主要考查弧长公式的计算，熟练掌握运用弧长公式是解题关键.

2.（2022•山东荷泽・统考一模）一个扇形的半径为3,圆心角为40。，则该扇形的面积是（）

A.TtB.2兀C.471D.87r

【答案】A

【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案.

【详解】解：根据题意，S扇形=嘴==兀

故选：A.

【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式：$=嘤.

3.（2022•浙江宁波•统考中考真题）已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为6cm,则圆锥的侧面积为（）

A.36ircm2B.24Ttem2C.16itcm2D.12-rrcm2

【答案】B

【分析】利用圆锥侧面积计算公式计算即可：S侧=兀包；

【详解】S侧=nrl=兀x4x6=24兀cm2,

故选B.

【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算公式，比较简单，直接代入公式计算即可.

4.（2023•江苏南通•统考一模）若用半径为6,圆心角为120。的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥

的底面圆半径为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用弧长公式易得圆锥侧面展开图的弧长，除以2凡即为圆锥的底面半径.

【详解】解：扇形的弧长=三等=4兀，

团圆锥的底面圆的周长=4兀，

团圆锥的底面圆半径=9=2,

27r

故选：B.

【点睛】本题考查圆锥，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长.

5.（2022•浙江温州•校联考模拟预测）若圆锥的侧面展开图是一个半圆，该半圆的直径是4cm,则圆锥底面

的半径是（）

A.0.5cmB.1cmC.2cmD.4cm

【答案】B

【分析】根据圆锥侧面展开图的半圆的周长等于圆锥底面的周长，从而求出底面半径；

【详解】解：由题意，底面圆的周长为：|X7rx4=2n,

回底面圆的半径为：—=1（cm）,

27r

故选：B

【点睛】此题考查立体图形的侧面展开；圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧

长为圆锥的底面周长.

6.（2022•北京口01中学校考模拟预测）在半径为6cm的圆中，120。的圆心角所对的弧长是（）

A.47rcmB.37TcmC.27rcmD.ncm

【答案】A

【分析】直接把数据代入弧长公式2=黑进行计算即可.

180

【详解】解：由题意得，n=120°,Y-6cm,

曰i7171T，、

故44r可得：I=一=-12-0-7-r-x6=47,T（cm）.

180180'"

故选A.

【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解本题的关键.

7.（2022•辽宁朝阳•校联考一模）如图，回。的半径为6,圆周角4-4c=40。，则战的长为（）

c

.2TTC8Tl

A.—Bc.—D.等

3-T3

【答案】C

【分析】分别连接。2、0C,则由圆周角定理可得BBOC的度数，由弧长公式即可求得结果.

【详解】分别连接08、OC,如图,

fflBOC=20BAC=8O°,

l,7807rx687r

鼠5即=--18-0-=—3

B

故选：c.

【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长的计算公式，圆周角定理的应用是关键.

8.（2022•山东青岛•山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）如图，A/IBC内接于。0/4=60°,BC=28,

贝I」区的长为（）

一4-3

2TTC.-71D.-7T

32

【答案】c

【分析】连接。以0C,过点。作。D1BC于D根据垂径定理求出8D,根据圆周角定理求出NBOC,根据

余弦的定义求出0B,根据弧长公式计算，得到答案.

【详解】解：连接。8、0C,过点。作。D1BC于。，

则BD=DC=^BC=V3,

由圆周角定理得，NBOC=2N4=120。,

团。8=OC,

EINOBC=Z.OCB=30°,

团。0=工。3,OB2=BD2+OD2,

2

即OB?=(V3)2+i052,

团。B=2(负值已舍)，

故选：C.

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、弧长的计算、垂径定理的应用，掌握圆周角定理、垂径定

理、弧长公式是解题的关键.

9.（2004•浙江温州•中考真题）高斯用直尺和圆规作出了正十七边形,如图，正十七边形的中心角回AOB的度

数近似于（）

A.11°B.17°C.21°D.25°

【答案】C

【详解】正多边形一定有外接圆，且每条边所对的中心角相等，即360。+17=21。.

故选c.

10.（2023,广东广州,统考一模）如图，已知蜘BC=90。，AB=nr,AB=2BC,半径为r的回。从点A出发，沿

fC方向滚动到点C时停止.则在此运动过程中，圆心。运动的总路程为（）.

-3r5

A.27irB.37irC.-TITD.-TIT

22

【答案】A

【详解】试题分析：沿A玲B玲C方向滚动到点C时停止，全程路程如图所示:

图易知圆心所走路程S=AB+BC+弧MN

在Rt回MBN中，MN§=7r.所以Swr+'r+"r=2仃

考点：弧长

点评：本题难度中等，主要考查学生对弧长公式知识点解决动点问题综合运算能力.为中考长空题型，要

求学生牢固掌握解题技巧.

11.（2023•福建福州•校考一模）2B是O。的直径，弦CD148,ZC=30°,CD=4四，则S阴影=（）

8

A.nB.2nC.-TTD.4n

3

【答案】c

【分析】先求出NE。。，再根据含30。直角三角形的性质得CE,及4c=24E,然后根据勾股定理求出力E,进

而得出AC,同理求出。E,0D,最后根据S阴影=S扇形a。。得出结论.

【详解】解：0ZC=3O°,

SZ.E0D—2Z.C—60°.

EL4B1CD,4B过圆心。，CD=4y/3,

^\Z.AEC=Z.DEO=90°,CE=DE=2®

在RtAACE中，ZC=3O°,

^\AC=2AE,

根据勾股定理，得（24E）2=（2V3）2+AE2,

解得4E=2（负数舍去），

EL4c=2AE=4,

同理。E=2,0。=4,

£^AEC=^hOED=2X2V3X2=2V3,

u607rx428

口^阴影=Sc扇形4OD=360=37r-

故选：C.

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，扇形的面积等，将求不规则图形面

积转化为求规则图形的面积是解题的关键.

12.（2022•甘肃武威・统考中考真题）大自然中有许多小动物都是"小数学家"，如图1,蜜蜂的蜂巢结构非常

精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.如图2,一个

巢房的横截面为正六边形力BCDEF,若对角线力。的长约为8mm,则正六边形力BCDEF的边长为（）

图2

A.2mmB.2&mmC.2V3mmD.4mm

【答案】D

【分析】如图，连接c厂与AD交于点。，易证团c。。为等边三角形，从而cr）=oc=or>=Ir>,即可得到答

案.

【详解】连接CP与AZ）交于点0,

EL4BCDEF为正六边形，

EBCOD=—=60°,CO=DO,AO=DO=-AD=4mm,

62

酿COO为等边三角形，

回CD=CO=DO=4mm,

即正六边形4BCDEF的边长为4mm,

故选：D.

【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键.

13.（2023•江苏连云港•统考一模）如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧。/和。8的夹角为120。，Q4长

为10cm,贴纸部分的乙4长为5cm,则贴纸部分的面积为（）

A.—irm2B.257rm2C.48ncm2D.75ncm2

4

【答案】B

【分析】贴纸部分的面积实际是扇形045和扇形OCO的面积差，可根据扇形的面积公式分别表示出两部

分的面积，进而可求出贴纸部分的面积.

120-7TX1021207rx52znx

【详解】解：S=S扇形OAB-S扇形OCD=---------=25R(cm2)

360360

故选：B.

【点睛】本题考查了扇形面积的计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差.

14.（2023・四川德阳•统考中考真题）如图，已知回。的周长为4兀，脑的长为兀，则图中阴影部分的面积为（）

A.7T—2B.7T—V3C.7TD.2

【答案】A

【详解】试题分析：EBO的周长为4兀，030的半径是r=4H+2H=2,EIAB的长为兀，13AB的长等于回。的周长的

EBAOB=90°,EIS阴影」X7TX2?-2X2+2=兀-2.故选A.

44

考点：1.扇形面积的计算；2.弧长的计算.

15.（2023•甘肃兰州•统考一模）同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（）

A.在B.三C.渔D.&

2433

【答案】A

【详解】根据题意画出图形,设出圆的半径，再根据垂径定理，由正多边形及直角三角形的性质求解即可.

二、填空题

16.（2023•黑龙江哈尔滨・统考三模）一个扇形的弧长是47icm,面积是lZjrcm?,则此扇形的半径是cm.

【答案】6

【分析】根据扇形面积公式S=3r计算即可.

【详解】解：•.一=?「，

1

127r=-x4兀厂,

2

解得丁=6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查的是扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式5="「是解题的关键.

17.（2023•山东青岛•统考一模）如图，在扇形4。8中，AAOB=120°,OB=V3,0c1OB于点O,交荏于

点C,连接力B,则图中阴影部分的面积为

【答案】—

4

【分析】设48交0C于点凡过点R作RT104于点T,求出RT,OR,根据

S阴=S&ROB+S扇形A0C-S—OR,求解即可.

【详解】解：如图，设交0C于点凡过点R作RT104于点T,

团0C10B,

回匕BOC=90°,

回4408=120。，OA=OB,

团匕OAB=乙OBA=乙AOR=30°,

团RA=RO,

回RT1OA,

回/T=TO=—,

2

回RT=OT-tan30°=

2

团。R=2RT=1,

回S阴=S^ROB+S扇形40C-S—OR

=lxlxV3+22Z2W_lxV3xi

236022

_7T+V3

-4

故答案为：亨.

4

【点睛】本题考查扇形的面积的计算，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积.

18.（2023,浙江温州•温州市第四中学校考二模）已知扇形的圆心角为80。，半径为3,则它的面积为

【答案】2兀

【分析】根据扇形的面积公式直接计算即可.

【详解】解：扇形的面积S=能字=2兀，

360

故答案为：2兀.

【点睛】此题考查了扇形的面积公式：S=喏，熟记公式是解题的关键.

360

19.（2023•江苏无锡•统考一模）已知扇形的圆心角为120。，半径为3,扇形的周长为一.

【答案】6+2n.

【详解】试题分析：直接利用弧长公式求出扇形弧长，进而得出扇形的周长.

团扇形的圆心角为120。，半径为3,

团扇形的弧长为：例詈=2兀，

180

团扇形的周长为：6+2n.

考点：弧长的计算.

20.（2022・广西河池・统考一模）如图，在正六边形2BCDEF中，则sin-lBE的值为.

【答案】y

【分析】根据正六边形的性质得出4WE=60。，然后根据特殊角三角函数值即可得出答案.

【详解】•；4BCDEF为正六边形，

・•.每个外角为"=60°,每个内角为180。-60°=120°,

6

・•・^ABC=120°,

•・•BE平分

1

・•・^ABE=-Z-ABC=60°,

2

・•・sva£.ABE=sin60°=—.

2

故答案为：亨.

【点睛】本题考查正六边形的性质及特殊角的三角函数值，熟练掌握并会应用是解题的关键.

21.（2023•重庆・统考中考真题）如图，在菱形ABC。中，对角线4C=12,BD=16,分别以点A,B,C,

。为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为.（结果保留兀）

【答案】96-25兀

【分析】先根据菱形的性质得出A8的长和菱形的面积，再根据扇形的面积公式求出四个扇形的面积和即可

得出答案

【详解】解：回四边形A2CD是菱形，AC=12,BD=16,

0AO3BD,AO=6,80=8；

EL4B=y/OB2+0A2=10；

El菱形ABCD的面积苫4。XB£）=jx12X16=96

回四个扇形的半径相等，都为TAB=5,且四边形的内角和为360。,

回四个扇形的面积=强浮=25兀，

国阴影部分的面积=96-25兀；

故答案为:96-25兀.

【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键.

22.（2023•河南洛阳•统考一模）如图，在4X4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,若将△40C绕

点。顺时针旋转90。得到△BOD,则肪的长为

【答案】1.5兀

【分析】根据旋转的性质和圆周长即可解得.

【详解】40C绕点。顺时针旋转90。得到△BOD,

EL4B的长是圆周长的;，

4

回筋=-XTTX6=1.5TT,

4

故答案为：1.5n.

【点睛】此题考查了旋转的性质，解题的关键熟悉旋转的性质和圆的周长.

23.（2023•黑龙江齐齐哈尔•统考三模）已知圆锥的侧面积是6兀，母线是4,则圆锥的高为.

【答案】当

【分析】根据S=|比得到扇形弧长，结合圆锥展开图扇形弧长等于底面圆周长解出半径r,根据勾股定理即

可得到答案；

【详解】解：团圆锥的侧面积是6n,母线是4,

06TT=|Zx4,解得：I=3TT,

团37r=2口，解得：r=|,

鼬=J?一（|）2=苧,

故答案为：~

【点睛】本题考查圆锥展开图的面积弧长关系，解题的关键是熟练掌握S=?R,I=2nr.

24.（2010•江苏泰州,中考真题）已知扇形的圆心角为120。，半径为15cm,则扇形的弧长为cm（结果

保留兀）.

【答案】10兀

【详解】试题分析：根据弧长公式计算.

n兀r120兀义15

解：|=180=180=10ncm.

25.（2023,浙江杭州•统考一模）如图，菱形力BCD中，分别以点8,。为圆心，以长为半径画弧，分别

交边BC,4D于点E,F.若AB=4,/.BAD=60°,则图中阴影部分的面积为.（结果不取近似值）

【答案】y

【分析】先根据菱形的性质得到4B=AD,AD||BC,证明△4BD是等边三角形，得到BD=4,NADB=60°,

得到。B=OD=2,Z.DBC=60°,再根据扇形面积公式进行求解即可.

【详解】解：回四边形4BCD是菱形，

EL4B=AD,AD||BC,

EINBAD=60°,AB=4,

团△力BD是等边三角形，

S\BD=AB=4,Z.ADB=60°,

EIOB=OD；BD=2,Z.DBC=ZADB=60°,

2

1as阴影=S扇形0DF+S&OBE

60X7TX2260X7TX22

=360+360

_47r

—,

3

故答案为：y.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，扇形面积，等边三角形的性质与判定，证明△4BD是等边三角形是

解题的关键.

三、解答题

26.（2023,江苏镇江•校联考一模）如图，已知RtAAB。中，0A=90。，将斜边8。绕点8顺时针方向旋转至

BC,使BC^AD,过点C作CEHBD于点E.

（1）求证：AABDBSECB；

⑵若朋30=30。，BE=3,求弧CD的长.

【答案】（1）证明见解析；⑵l^=2n

【分析】（1）由题意得两个三角形是直角三角形，根据旋转的性质得出BOBD,由AD团BC推出团ADB二团EBC,

即可证明回ABD团国ECB；

（2）由全等三角形的性质得出AD=BE=3.根据30。角所对的直角边等于斜边的一半得出BD=2AD=6,根据平

行线的性质求出回DBC=60。，再代入弧长计算公式求解即可.

【详解】（1）证明：团团4=90°，。瓦丑£）团她二团3EC=90°

0BC0AZ）

^ADB=^\EBC

回旋转，

0BD=BC'

团^ABD^\ECB

（2）0^ABD^ECB

^1AD=BE=3

团她二90°,她5。=30°

^\BD=2AD=6

WC^\AD

的4+胤48。=180°

mABC=90,团DBC=60°

［斤=--•TT-6=27r.

CD3602

故答案为⑴证明见解析；（2）2%=2n.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，旋转的性质，弧长的计算，证明出回ABD瓯ECB

是解题的关键.

27.（2023•安徽淮南•统考模拟预测）一个等腰Rt/ABC如图所示，将它绕直线AC旋转一周，形成一个几何

体.

（1）写出这个几何体的名称，并画出这个几何体的三视图.

（2）依据图中的测量数据，计算这个几何体的表面积（结果保留H）.

【答案】（1）圆锥，图详见解析；（2）（4近+4）兀

【分析】（1）由旋转方式可知旋转后的几何体为圆锥，再画出旋转后所得圆锥的三视图即可;

（2）根据圆锥的表面积公式计算即可.

【详解】（1）圆锥

俯视图

（2）几何体的表面积为：|x2TTx2x2V2+7Tx22=（4A/2+4）TT.

【点睛】本题考查了平面图形的旋转问题和圆锥的表面积，掌握知识点是解题关键.

28.（2023•江西南昌•统考一模）如图1是一座拱桥，图2是其侧面示意图，斜道AC的坡度i=1:2,斜道

的坡度i=1：1,测得湖宽力B=85米，AC=156米，BD=20/米，已知弧CD所在圆的圆心。在4B上.（备

注：坡度即坡角的正切值，如47的坡度i=tanA.）

I)

图I图2

⑴分别求拱桥部分C、。到直线4B的距离；

⑵求弧CD的长（结果保留力）.

【答案】⑴点C到直线4B的距离为15米，点。到直线48的距离为20米

⑵等米

【分析】（1）过点C作CE12B于E,过点。作DF于尸，根据坡度的概念分别设出AC、4E、BF的

长，再利用勾股定理即可求出结果；

（2）连接OC,。。，根据勾股定理求。取。凡根据全等三角形的性质求出NDOC=90。，再利用弧长公式

计算即可.

【详解】（1）解：过点C作CE148于E,过点Z）作于R

在Rt△4CE中，,■•tanX=

设CE=x（米），贝!ME=2%（米），

2

由勾股定理得/+（2x）2=（15伺,

解得：x1=15,%2=一15（舍去），

■■.CE=15（米），AE=30（米），

同理可证，在RtABDF中，

BF=DF=20（米）

答：点C到直线4B的距离为15米，点D到直线的距离为20米.

（2）解：连接OC,OD,

■：AB=85（米），AE=30（米），BF=20（米）,

：.EF=85-30-20=35（米）.

设。E=z米，则。F=（35-z）米，

•••152+z2=202+（35-z）2.

解得：z=20,即。E=20（米），OF=15（米）.

在Rt△CE。和Rt△OFD中，

（CE=OF

lOE=DF

•••△CEOSAOFD（HL）.

.-.Z.COO=90°,CO=OD=V202+152=25.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题、弧长的计算，掌握坡度坡角的概念并熟记锐角三角

函数的定义及弧长公式是解决问题的关键.

29.（2023・广东广州•统考一模）如图，在RtlBABC中,fflC=90°,EIBAC的角平分线AD交BC于D.

（1）动手操作：利用尺规作回0,使国。经过点A、D,且圆心。在AB上；并标出回。与AB的另一个交点E

（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）综合应用：在你所作的图中，

①判断直线BC与回。的位置关系，并说明理由；

②若AB=6,BD=2V3,求线段BD、BE与劣弧051所围成的图形面积（结果保留根号和兀）.

【答案】（1）作图见解析；（2）①直线BC与回。的位置关系为相切，理由见解析；02V3-|TT

【分析】(1)根据题意得：作线段A。的垂直平分线交AB于点。，再以点。为圆心，AO长为半径作圆，

则回0即为所求；

(2)①由回54c的角平分线AO交BC边于。，与圆的性质可证得ACE。。，又由EIC=90。，则问题得证；

②设回。的半径为八则在7?公。8。中，利用勾股定理列出关于厂的方程，通过解方程即可求得「的值；然

后根据扇形面积公式和三角形面积的计算，即可求解.

【详解】解：(1)作线段AD的垂直平分线交于点。，再以点。为圆心，长为半径作圆，贝崛。即为

所求，如图1：

(2)①直线8c与回。的位置关系为相切，理由如下:

如图1,连接0D,

004=0£),

^OAD^ADO,

00BAC的角平分线AD交BC边于D,

aacw=回OAQ,

aacw=EA。。，

0AC0OD,

00C=9O",

团00£)8=90°,

^OD^BC,

即直线2C是回。的切线，

团直线BC与00的位置关系为相切；

②如图2,

设回。的半径为r,则03=6-八又BD=2小

在RtLOBD中，

OD12^BD2=OB\

即/+(2A/3)2=(6-r)2,

解得r=2,

团08=6-r=4,

团05=20。，

005=30°,

团团£>03=60°,

「0607rx222

团S扇形ODEUF-：］71，

SA0DB=|0D*BD=^X2X2-\/3=2V3,

团线段8。、BE与劣弧DE所围成的图形面积为：SAODB-S扇形DOE=2A/3-|TT.

【点睛】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握切线的判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理，扇形面

积公式是解题的关键.

30.(2023・辽宁抚顺・统考二模)如图，在平面直角坐标系中，A(-1,4),8(-4,0),C(-1,0).

(1)AA/SG与AABC关于原点。对称，画出△4B/G并写出点4的坐标；

(2)AAzB2c2是AABC绕原点0顺时针旋转90。得到的，画出AA2B2C2并写出点A2的坐标；

(3)连接。4、OA2,在AABC绕原点。顺时针旋转90。得到的△A2&C2的过程中，计算线段OA变换到。42

过程中扫过区域的面积是多少？(直接写出答案)

【答案】（1）图形见解析，点心的坐标为（1,-4）；（2）图形见解析，点上的坐标为（4,1）；（3）¥兀

4

【分析】⑴把"BC的各个顶点关于原点的对称点画出来，连接起来，即可得到答案；

（2）把AABC的各个顶点绕原点。顺时针旋转90。的对应点画出来，连接起来，即可得到答案；⑶根据扇形的

面积公式，即可求解.

【详解】（1）如图所示，即为所求，点4的坐标为（1,-4）；

（2）如图所示，282c2即为所求，点4的坐标为（4,1）；

（3）0线段。4变换到。42过程中扫过区域是扇形，OA="2+42=g,

回线段变换到04过程中扫过区域的面积=空笔包=。

3604

【点睛】本题主要考查图形的中心对称变换和旋转变换，根据题意，画出图形，是解题的关键.

31.（2022,宁夏银川・银川九中校考二模）在方格纸中，线段力B和直线I的位置如图所示：

⑴画出线段4B关于直线/的对称线段44；

（2）若小方格的边长为1,连接4声,画出线段4/绕点儿顺时针方向旋转90。所得到的线段4祝，并求出点B

旋转到B2所经过的路径长.

【答案】⑴图见详解

（2）图见详解，点B旋转到务所经过的路径长为手兀

【分析】（1）根据轴对称的性质可直接进行作图；

（2）由题意先作出图，然后根据弧长公式可求解.

【详解】（1）解：线段44如图所示：

22

刻祝==V2+3=V13,2LBA1B2=90°,

团点B旋转到B2所经过的路径长为嘤亘=孚兀.

1802

【点睛】本题主要考查轴对称图形的性质、旋转的性质、勾股定理与网格问题及弧长计算公式，熟练掌握

轴对称图形的性质、旋转的性质、勾股定理与网格问题及弧长计算公式是解题的关键.

32.（2023•江苏镇江,校联考二模）如图，AB为团0的直径，C为回0上一点，AD和过点C的切线互相垂直,

垂足为D,AB,DC的延长线交于点E.

（1）求证：AC平分EIDAB；

（2）若BE=3,CE=3V3,求图中阴影部分的面积.

【答案】⑴证明见解析；（2）手-殁

【分析】（1）连接。C,如图，利用切线的性质得COEICD,则ADEICO,所以回DAC=mACO,力口上EIACOWCAO,

从而得到EIDAC=I3CAO；

（2）设回O半径为r,利用勾股定理得到・+27=（r+3）2,解得r=3,再利用锐角三角函数的定义计算出回COE=60。，

然后根据扇形的面积公式，利用S阴影二S.OE-S扇形COB进行计算即可.

【详解】解：(1)连接0C,如图，

团CD与团0相切于点E,

团CO团CD,

团AD团CD,

团AD团CO,

团团DAC二团ACO,

mA=oc,

团团ACO二团CAO,

幽DAC二团CAO,

即AC平分团DAB；

(2)设回O半径为r,

在RSOEC中，0OE2+EC2=OC2,

团“+27=(r+3)2,解得r=3,

团003,0E=6,

nri

团cos回COE=一=

0E2

团团COE=60°,

rc1cc石60加329V33

EIS阴影=S^COE_S扇形COB=：7・3・3V3-…F二7r.

NooUNz

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，

构造定理图，得出垂直关系.简记作：见切点，连半径，见垂直.也考查了圆周角定理和扇形的面积公式.

33.(20U•江苏南京•统考中考模拟)如图，在平面直角坐标系中，以A(5,1)为圆心，2个单位长度为半

径的她交无轴于点8、C.解答下列问题：

(1)将0A向左平移一个单位长度与y轴首次相切，得到她八此时点4的坐标为」阴影部分的面积S=_；

(2)求BC的长.

【答案】(1)3、(2、1),6；(2)2V3

【分析】(1)由半径为2可知平移圆心到(2,1)时0A与y轴首次相切，即可得出平移的距离；阴影部分

通过平移后可得一个矩形，利用面积公式计算即可；

(2)利用垂径定理即可求出的长；

【详解】(1)将她向左平移3个单位长度与y轴首次相切，得到0A/.此时点4的坐标为(2,1),阴影部

分的面积5=6；

(2)连接AC,贝！］AC=2,00ADC=9O°,AD=1,0CD=V22-I2=V3,

0BC=2C£)=2V3.

【点睛】本题考查了平移，垂径定理，求扇形的阴影部分面积，掌握以上知识是解题的关键.

34.(2023,辽宁丹东•统考一模)如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度

的正方形，点力，B,C的坐标分别为4(—2,-1),5(-5,-2),C(-l,-3).

（1）将△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度，画出平移后得到的△4/iG，并直接写

出点&的坐标；

（2）将△ABC绕着原点。逆时针旋转90。后得到小儿⑶2c2.

①画出旋转后的△482C2；

②点C旋转到点。2所经过的路径长为个单位长度.

【答案】（1）作图见解析；点4的坐标为（4,3）；（2）①作图见解析；②手兀.

【分析】（1）根据平移的性质作出图形，然后根据图像求解即可；

（2）①根据旋转的性质作出图形即可；②连接。C,OC2,利用网格求出OC,然后根据旋转角是90。，求

出弧长即可.

【详解】解：（1）如图示，AaiBiCi即为所求的三角形，由图像可知，点41的坐标为（4,3）

（2）①如图示，A4B2c2即为所求的三角形.

②如图示，连接。C,OC2,则点C旋转到点C2所经过的路径长是绝，且旋转角是90。

团。C=V12+32=V10

则，绝=2兀-VIU•券=零兀

【点睛】本题考查了平移作图和旋转作图，求弧长等知识点，能准确做出旋转后得图形是解题的关键.

35.（2023•河北保定・统考一模）"垃圾入桶，保护环境从我做起"，如图所示的是某款垃圾桶侧面展示图，4。=

DC=40cm,GD=30cm,GF=20cm,Z71=4GDC=乙DGF=90。,桶盖GFEC可以绕点G逆时针方向旋转，

当旋转角为40。时，桶盖GFEC落在GF'E（，的位置.

⑴求在桶盖旋转过程中，点C运动轨迹的长度.

（2）求点F倒地面4B的距离.（参考数据：sin40°~0.64,cos40"«0.77,tan40°~0.84）

【答案】⑴等cm

9

(2)82.8cm

【分析】（1）连接CG,由旋转知点C,B都在以G为圆心，CG为半径的圆上，则点C运动轨的长度为弧C，的

长，再由勾股定理和弧长公式进行求解即可；

（2）过点/作4B,垂足为点M,交GF于点M先判断四边形2MNG为矩形，再由解直角三角形求

解即可.

【详解】（1）如图，连接CG,由旋转知点C,C'都在以G为圆心，CG为半径的圆上，则点C运动轨的长度

为弧。的长.

在Rt△GDC中，DC—40cm,GD=30cm,

团GC='GD?+DC'2=V302+402=50cm,

._i；jnT—n,八/t[/।>f40X1TX50IOOIT

El弧CC'的长度为=———=--cm,

1809

故点C运动轨迹的长度为等cm；

（2）如图，过点。作48,垂足为点M,交GF于点N,

EINF'M4=90".

0ZX=ADGF=90°,

回四边形力MNG为矩形，

EIF'NG=NMNG=90°,MNAG=GD+DA=70cm,

在RtAF'NG中，M'N=F'G-sin4F'GN=F'G-sin40°a20x0.64=12.8cm,

SF'M=F'N+MN=12.8+70=82.8cm

答：点尸'到地面48的距离约为82.8cm.

【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，弧长公式，旋转的性质，正确理解题

意，熟练掌握知识点是解题的关键.

【能力提升】

36.（2023上•江苏盐城•九年级统考期中）如图，等腰AZBC内接于。0,AB=AC.

（1）如图1,若NB=60。，连接40并延长交。。于点交BC于点H.

①弧BD的度数为：；8H与的数量关系是：.

②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果

用实线表示）；

（2）如图2,若NB4C=36。，£是4B的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个。。的内接正五边

形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）.

【答案】⑴①60。；BH=CH-,②见解析

⑵见解析

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆以及复杂作图等知识.

（1）①连接8。,根据垂径定理逆定理证明4。1BC,再证明AABC是等边三角形可得BH=CH/BAD=30°,

可得NBOD=60°,从而可得结论；②连接CO,延长BO,C。,交。。于点E,F,根据等边三角形的性质得乙4BE=

乙CBE=乙BCF=Z.ACF=^.BAD=Z.CAD=30。,可得4E=EC=CD=DB=BF=FA,/.AFB=乙FBD=

乙BDC=乙DCE=ACEA=Z.EAF=120°,故可得正六边形4FBDCE；

（2）根据圆周角的定理及同弧所对的圆周角相等得到N40B=乙40c=144°,再根据EF是中点得到

Z.A0D=乙COD=乙40H=4B0H=72°,得Z80C=72。,根据三线合一性得到弧相等，弦相等，最后即可

得至!!五边形4HBCD即为所求.

【详解】（1）①连接80,

固4B=AC,

・•・AB=AG,

财。过圆心。，

囿401BC,

24B=AC,乙B=60。，

••・△4BC是等边三角形，

回乙BAC=乙BCA=60。,BH=CH=1BC

^BAD=Z.CAD=-/.BAC=30。，

^BOD=2乙BAD=60°.

故答案为：60°,BH=CH；

②如图，正六边形2尸BDCE即为所作；

(2)如图，正五边形4HBCD即为所求作.

37.(2023上•河北邢台•九年级校考期中)如图，正六边形4BCDEF内接于O。.

⑴若P是CS上的动点，连接BP,FP,求NBPF的度数;

⑵已知△4DF的面积为2百.

①求NZMF的度数；

②求O。的半径.

【答案】⑴60。；

(2)①60°；②2.

【分析】(1)在CS取一点P,连接BP、AP,FP、FO,利用弦和圆周角的关系即可求出4BPF的值；

(2)①证明AaaF是等边三角形即可求出；②利用三角函数求出OF=a。=24/，再根据△aoF的

面积为2百即可求出.

【详解】(1)如图所示，在CS取一点P,连接BP、AP,FP、F0,

回六边形48CDEF是正六边形,

EL4F=AB,Z.AOF=—=60°,

6

EIZXPF=-Z.AOF=30°,

2

24F=AB,

^APB=/-APF=30°,

团NBPF=Z.APB+Z-APF=60°；

(2)①团乙40尸=60。，AO=F0,

0A40F是等边三角形，

SADAF=60°；

②回NZX4F=60°,

WF=V3XF,AD=2AF,

2

团SA®=^AFXDF=^AF=2A