中考数学一轮复习重难点强化训练：与圆有关的位置关系（知识串讲+9大考点）原卷版

专题11与圆有关的位置关系

考点类型

口^」知识一遍过

(-)与圆有关的位置关系

(1)点与圆的位置关系

位置关系图形定义性质及判定

点在圆外点在圆的外部d>r。点P在O。的外

点在圆上&点在圆周上d=r=点P在。。上

点在圆内(V)点在圆的内部d<ro点P在O。的内

(2)直线与圆的位置关系

位置关系图形定义性质及判定

相离€直线与圆没有公共点d>rQ直线/与O。相离

d1___1

直线与圆有唯一公共

相切6立点，直线叫做圆的切d=r=直线/与。。相切

线，公共点叫做切点

直线与圆有两个公共

相交£点，直线叫做圆的割d<r=直线/与O。相交

线

（二）切线的判定与性质

（1）切线的定义：直线和圆只有一个公共点时,这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.

（2）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径;

（3）切线的判定：①作垂直，证半径；②连半径，证垂直

（三）切线长定理

（1）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的

夹角.

（四）三角形与圆

（1）三角形与外接圆

①经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做

三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

②三角形外心的性质：

★三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点的距离相等；

★三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数

个，这些三角形的外心重合.

③直角三角形外接圆的圆心在直角三角形斜边的中点

（2）三角形与内切圆

①概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心；内心是三角形

三个角平分线的交点;它到三角形的三边的距离相等，这个三角形叫做圆的外切三角形，

②普通三1角形与内切圆的关系：R为内切圆的半径

SAABC=-XRX（AB+BC+AC）

③直角三角形的三边与内切圆的关系

R=|（两直角边和-斜边长）

点一遍过

考点1:点与圆的位置关系

典例1:（2022上•陕西商洛•九年级统考期末）如图，在△48c中，乙4=90。，AB=3,AC=4,AD1BC,

以点A为圆心，3.5为半径画圆，则点。与。4的位置关系是（）

A.点。在外B.点。在。力上C.点。在内D.不能确定

【变式1］（2024上•广东广州,九年级统考期末）在RtAABC中，乙4cB=90。，AC=5,AB=10,以点C

为圆心，BC为半径作OC,则点A与OC的位置关系是（）

A.点A在。C内B.点A在OC上C.点A在OC外D.无法确定

【变式2］（2023下•上海•九年级专题练习）如图，在RtA48C中，NC=90。，AC=4,BC=7,点。在边BC

上，CD=3,04的半径长为3,与02相交，且点B在O。外，那么的半径长r可能是（）

A.r=1B.r=3C.r=5D.r=7

【变式3】（2022•广东江门•统考一模）如图，A5是半圆O的直径，点。在半圆。上，04=10,BC=16,D

是弧AC上一个动点，连接BZ）,过点C作连接AM,在点。移动的过程中，AM的最小值为（）

A.2V10-6B.3V26-10C.4V6—4D.4V13-8

考点2：三角形的外接圆

典例2：（2023上•江苏南通•九年级南通市实验中学校考期末）如图，点。是△ABC的内心，也是△DBC的外

心，若N4=84°,贝吐。的度数为（）

【变式1］（2024上•河北唐山•九年级统考期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点力、B、C、

D、E、F、G在小正方形的顶点上，则AABC的外心是（）

A.点DB.点EC.点FD.点G

【变式2］（2023上•浙江温州•九年级校联考期中）如图，直角坐标系中4（0,4）,8（4,4）,C（6,2）,经过4B,C

三点的圆，圆心为M,若线段DM=4,则点。与的位置关系为（）

A.点。在OM上B.点。在OM外C.点。在OM内D.无法确定

【变式3］（2023上•浙江湖州•九年级校考阶段练习）《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容

圆径几何？"其意思是："今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步.问该直

角三角形的容圆（外接圆）直径是多少？"（）

A.14步B.15步C.16步D.17步

考点3：直线与圆的位置关系

典例3：（2023上•河北廊坊•九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，Z.B=90°,BC=3,以点C为圆心,

3为半径作圆，则下列判断正确的是（）

A.点8在OC内B.点A在OC上

C.边2B与OC相切D.边力。与。C相离

【变式1］（2023•陕西西安•高新一中校考一模）在^ABC中，ZC=90°,乙4=60°,BC=4.若。C与4B相

离，则半径为r满足（）

A.r>2B.r<2C.0<r<2D.0<r<2v5

【变式2］（2012•北京海淀•统考中考模拟）如图，已知。。是以数轴原点。为圆心,半径为1的圆，乙4OB=45°,

点P在数轴上运动，若过点P且与。4平行的直线与。。有公共点，设OP=x,则x的取值范围是（）

A.—V2<x<V2B.0<x<V2

C.-1<%<1D.x>V2

【变式3］（2023•辽宁盘锦・统考二模）如图，半径r=2/的13M在x轴上平移，且圆心M在x轴上，当I3M

与直线丫=久+2相切时，圆心M的坐标为（）

(-6,0)D.(2,0)或(-6,0)

考点4:切线的判定综合

典例4：(2023上•辽宁盘锦•九年级统考期末)如图，在△力BC中，AB=AC=10,4D1BC于点D,BE1AC

于点E,AD,BE相交于点0,再以。为圆心，OE为半径作一圆.

(1)求证：48是。。的切线;

(2)当月E=6时，求。。的半径.

【变式1X2024上•湖南长沙•九年级湖南师大附中博才实验中学校考期末)如图,在等腰△ABC中4B=AC,

以力B为直径的。。交BC于点0,£^14。于点乩ED的延长线与4B的延长线交于点尸.

F

(1)求证：EF是。。的切线；

(2)若CE=1,BD=V5,tanF=£求的值.

【变式2】(福建省龙岩市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题)如图，在。。中，是直径，点C

是BD的中点，过点C作CE1AB于点£,连接BD,交CE于点凡在EC的延长线上取一点P,使PF=PD,

连接4C.

⑴求证：PD是。。的切线;

(2)若PDII4C,求乙4BD的度数.

【变式3](2024上•重庆合川・九年级统考期末)如图，四边形48CD是。。的内接正方形，E是。。外一点,

4D平分NC4E,连接ED并延长交。。于点尸，连接BF交AC于点G.

(1)求证：4E为。。的切线;

⑵求证：AE=AG.

【变式4](2024上•山西吕梁•九年级统考期末)如图,4B是。。的直径,4C是弦，点D是。。上一点,。D14B,

连接CD交4B于点E,F是4B延长线上的一点，且CF=EF.

⑴求证：CF是。。的切线；

(2)若CF=8,BF=4,求弧BD的长度.

【变式5](2024上•广东肇庆•九年级统考期末)如图所示，在以△ABC中，点。在斜边力B上，以。为圆心,

08为半径作圆0,分别与BC、4B相交于点D、E,连接2D,已知NC4O=NB.

⑴求证：4。是。。的切线;

(2)若4。=2CD=3时，求阴影部分的面积.

【变式6](2023上•江西新余•九年级统考期末)如图，4B为回。的直径，过圆上一点。作国。的切线C。交B4的

延长线于点C,过点。作。E,0EII4D交CD于点E,连接BE.

(1)求证：直线BE与回。相切.

(2)若C4=4,CD=6,求DE的长.

【变式7］（2024上•四川绵阳,九年级校考期末）如图，4B为。。的直径，CE为。。的弦，AC||OE,延长4C

至D,且DE14D,。。的半径为6.

（1）求证：直线DE与。。相切；

（2）如图1,若。4=2CD,求阴影部分面积;

⑶如图2,若等=手，求CD的值.

考点5：切线的性质综合

典例5：（2024上•陕西渭南•九年级统考期末）如图，直线4C与。。相切于点C,射线力。与。。交于点

E,连接CD,CE.

(1)求证：AACD=乙E；

(2)若4C=2g,AD=2,求C0的长.

【变式11（2022上•北京•九年级清华附中校考阶段练习）如图，4B为。。的直径，DE切。。于点E,BD1DE

于点。，交O。于点C,连接8E.

⑴求证：BE平分N4BC；(2)若AB=10,BC=6,求CD的长.

【变式2](2024上,湖北武汉,九年级统考期末)菱形力BCD的顶点8,C,。在。。上，。在线段4C上.

⑴如图1,若4B是。。的切线，求44DC的大小；

⑵如图2,若AB=2#),AC=8,AB与。。交于点E,求BE的长.

【变式3](2024上•新疆吐鲁番•九年级统考期末)如图，点2,B,C在。。上，4C是直径，2B是弦，点P是

。。外一点，分别作射线P4PB,其中P4是。。的切线，线段P4=PB.

(1)求证：PB是。。的切线.

(2)若NC4B=25°,求乙P的度数.

【变式4](2024上•河南洛阳•九年级统考期末)如图，。。与ANBC的BC边相切于点2,与4C边相切于点

D,与AB边交于点E,EB是。。的直径.

(1)求证：DEWOC-,

(2)若O。的半径是|,AD=2,求CD的长.

【变式5】(2023上•河北张家口•九年级统考期末)如图，在AABC中，AB=AC,。为BC的中点，2C与半

圆。相切于点D.

⑴求证：4B是半圆。的切线；

(2)若乙4=60。，点P是△ABC的内心，点。与点P之间的距离是2,则半圆。的半径是

考点6：切线的判定与性质综合

典例6：(2023上•吉林松原•九年级校考期末)如图，在AABC中，AB=AC,。在48上，以。为圆心，OB为

半径的圆与力C相切于点F,交BC于点、D,交力B于点G,过。作0E14C,垂足为E.

(1)DE与。。有什么位置关系，请写出你的结论并证明;

⑵若。。的半径长为3,AF=4,求CE的长.

【变式1](2023上,江苏南京,九年级校联考期末)如图，AC,BD是。。的切线，C,D为切点，连接2B.

⑴若力B与。。相切于点E,求证AC+BD=AB；

(2)^AC+BD=AB,求证力B与。。相切.

【变式2](2024上•天津河西•九年级统考期末)如图，△48C中，AB=AC,。为AC上一点，以CD为直径

的。。与4B相切于点E,交BC于点RFG1AB,垂足为G.

(2)若O。的半径长为2a,BF=3,求BE的长.

【变式3］（2024上•北京昌平,九年级统考期末）如图，是。。的直径，点C在。。上，点。为At的中点,

过点。作。。的切线，交BC延长线于点P,连接。。交力C于点E.

⑴求证：四边形DECP是矩形；

（2）作射线4D交BC的延长线于点F,若tan/CAB=：,BC=6,求DF的长.

4

考点7：切线长定理

典例7：（2023上,全国•九年级期末）如图，。。是△ABC的内切圆，点D、E分别为边力B、AC上的点，且DE为

。。的切线，若△ABC的周长为25,BC的长是9,贝必ADE的周长是（）

【变式1］（2023上•安徽六安•九年级校考阶段练习）如图，PA.PB、CD分别与。。相切于点A,B,E,CD与

PA,PB分别相交于C,。两点，若4P=48。，则NP4E+NPBE的度数为（）

A.50°B.62°C.66°D.70°

【变式2］（2023上,九年级课时练习）如图，P4PB是。。的两条切线，切点分别为4B,OP交。。于点C.下

列结论中，错误的是（）

A.Zl=Z2B.PA=PBC.AB1OPD./.PAB=2Z1

【变式3】（2022•内蒙古包头•二模）已知：如图，4B为。。的直径，。。,。8为。。的切线，D、2为切点,

OC交O。于点E,4E的延长线交BC于点F连接以下结论：@AD||OC-,②点E为ACDB的内

心；③FC=FE；@CE-FB=AB-CF.其中正确的只有（)

A.①②B.②③④C.①③④D.①②④

考点8:三角形的内切圆

典例8：（2023上•广东深圳•九年级校考阶段练习）如图，在RtzkABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,QO

是AABC的内切圆，则阴影部分面积是（）

D.TC—2

【变式1］（2022上•福建福州•九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，AABC中，^BAC=90°,

BC=5,AC=3,点。是AABC的内心，贝UBD的长度为（）

A

A.2B.3C.V10D.等

【变式2］（2023上,广西南宁,九年级南宁十四中校考期中）如图，AABC的内切圆。。与ZB,BC,4C分别

相切于点D，E,F,Z,B=90°,AB=6,BC=8,则△4BC的内切圆半径r为（）

【变式3］（2023上•全国•九年级专题练习）已知AABC中，ZC=90°,BC=a,CA=b,AB=c.。。是

△力8C的内切圆，下列选项中，。。的半径为（）

考点9：圆的切线应用一一尺规作图

典例9：（2023下•山西晋城•九年级校联考阶段练习）阅读与思考

下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.

x年x月x日星期日晴

过圆外一点作圆的切线

我学习了圆的有关定理，知道"经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线"，并学会了如何用尺规

过圆上一点作圆的切线，那么能否用尺规过圆外一点作出圆的切线呢？经过反复思考，我想出了两种作

法.具体如下（已知点p是O。外的一点）:

作法一（如图1）:

连接。P,作线段0P的垂直平分线，交。P于点A；

以点A为圆心，以4。的长为半径作弧，交。。于点&

作直线PB,则直线PB是。。的切线