中考数学一轮复习重难点强化训练：相似三角形（知识串讲+13大考点）原卷版

专题06相似三角形

考点类型

考点1：比例的性质

模块四图形的性质

06讲相似三角形

知识一遍过

（一）图形相似的性质

⑴相似多边形对应边的比叫做相似比.

（2）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形.

（3）相似多边形的性质为:

①对应角相等;

②对应边的比相等.

（4）如果两个多边形的对应角相笠，对应边的比相等,则这两个多边形是相似多边形

（二）平行线平分线段成比例

（1）比例线段在四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即m那么这四条线段a,

b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.

（2）比例的基本性质

①基本性质：-=-<^>ad=bc；（b>d#0）

bd

②合比性质：三=5=竽=岑；（b、*0）

bdbd

③等比性质：-==k（b+d+...+nr0）o”且二i"=k.（b>d、...、nrO）

bdnb+d+--+n-

（3）平行线分线段成比例定理及推论

①两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

即如图所示，若l3〃l4〃h，则”

②平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

即如图所示，若AB〃CD,则空=

③平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.

如图所示，若DE〃BC,贝lUADEs/XABC.

（4）黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果芯==t—=0.618,那么线段AB被点C黄金

ADZ

分割.其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.

।----------------------1---------------1

ACB

（三）相似三角形的判定

J」

相似三角形的判定

石Tgc

如图

判定1:两个三角形对应边成比例，则这两个三角形

相似•.•丝=江=空；.•.AABCSAA，"

A'B'A!CB'C

判定2：两个三角形有两个角对应相等，则这两个三如图

角形相似：ZA=ZA'ZB=ZB'；AABCsM'B'C

如图

判定3：两个三角形有两边成比例，及其夹角相等，

AHAT

则这两个三角形相似・・・——=——；ZA=ZA'；・•・AA5csAA'5'C

A'B'A'C

（四）相似三角形的性质

如图：两个三角形相似，则有对应边成比例

AR4rRC

•••AABCsAA'B'C'；=—=k

A'B'A'CB'C

BC夕c，

如图；两个三角形相似，则有对应角相等

•：AABCsAA，8C.

ZA=NA'ZB=ZB'ZC=ZC

如图：两个三角形相似，则有对应边上中线的比等于

4,相似比

\

―一―，八…AMABAC,

•?AABCsAA\BC；；♦-------=-------=-------=k

A'M'A'B'A'C

BzAMCB/'M'C

如图：两个三角形相似，则有对应边上高线的比等于

r

\相似比

AABCsM^B'C；Z,飞凶==k

R/f<B'Arc1AH'AB'A'C

如图：两个三角形相似，则有对应角的角平分线的比

等于相似比

VAABC^AAB'C；：.^-=^-=^^=k

BDCR'D'C'

AD'A'B'A'C

如图：两个三角形相似，则两个三角形周长的比等于

相似比

」/:AABCsAA，B，C.

BC夕仁，.C.BC__—C_卜

"CZMVI,DR,cr,A'D'~A'B'~A!C'~

如图：两个三角形相似，则两个三角形面积的比等于

相似比

AABC^AAB'C；

'/@-AHxBC

RuB'U2

•-•-AA3C—___________—JVx.

SAA，B，C‘-A'H'XB'C

2

（五）常见的相似模型

模型一：A字模型

模型二：8字模型

模型三：子母模型（射影定理）

模型四：一线三等角模型

模型五：手拉手模型（旋转模型）

旋转相似，成对出现

△ABCsLADEo下=—'NBAD=NCAE=AABD^AACE

（六）相似三角形的应用举例

（1）测量物体的高度.①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似

三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等"的原理解决.②测量方法：在同一时刻测量出

参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度.

（2）测量物体宽度（测量距离）.①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造"A"型或"X"

型相似图，三点应在一条直线上.必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形.②测

量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度.

A.1B.±1C.1或一2D.2

【变式1］（2024上•北京石景山•九年级统考期末）若3久=4y（y丰0）,贝吟的值是（）

【变式2】（2023上•甘肃酒泉•九年级统考期中）如果?=不那么等等于（）.

A.3:2B.2:5C.5:3D.3:5

【变式31（2023上•江西抚州•九年级江西省抚州市第一中学校考期中）已知正数a、6、c,且。=2==

k,则下列四个点中在正比例函数丫=依图象上的点的坐标是（）

A.（1,0B.（1,2）C.D.（1,-1）

考点2：线段的比

典例2：（2023上•浙江绍兴•九年级统考期末）已知点P是线段4B的黄金分割点，AP＞PB,贝MP:PB的值为

（）

A.渔匚B.渔龙C.0.618D.V5-1

22

【变式1］（2023上•四川・九年级校考阶段练习）AABC中，尸是4C的中点，D、E三等分BC、BF^AD,4E分

别交于P、Q，贝l|8P:PQ:QF=（）.

A.5:3:2B.3:2:1C.4:3:1D.4:3:2

【变式2】（2023•河北唐山・统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DEEIEC=2I33,连接

AE、BD,且AE、BD交于点F,则DFEIBF等于（）

A.205B.203C.305D.302

【变式3］（2023上•九年级校考单元测试）把一个矩形剪去一个尽可能大的正方形，若剩下的矩形与原矩形

相似，那么原矩形的长与宽（宽＜长＜2宽）的比为（）

A.（1+V5）:2B.（1+V3）:2C.（1+V2）:2D.（1+V6）:2

考点3：成比例线段

典例3：（2023上•吉林长春•九年级校考阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（）

A.a=l,b=2,c=4,d=6B.a=4,b=6,c=6,d=8

C.a=5,b=6,c=7,d=10D.a=1,b=V2,c=V3,d=V6

【变式1］（2023上•广东佛山•九年级校考阶段练习）下列各组中的四条线段mb,c,d是成比例线段的是

A.a=1,b=1,c=lfd=5B.a=1,b=V2,c=2V2,d=8

C.a=2,b=V5,c=2A/3,d=VT5D.a=V2,b=3,c=2,d=8

【变式2］（2022上•九年级单元测试）下列各组中的四条线段成比例的是（）

A.2cm,3cm,4cm,6cmB.2cm,3cm,4cm,5cm

C.lcm,2cm,3cm,4cmD.3cm,4cm,6cm,9cm

【变式3］（2023上•四川成都・九年级四川省成都列五中学校考阶段练习）下面四条线段成比例的是（）

A.a=1,b=2,c=3,d=4B.a=3,b=6,c=9,d=18

C.a=1,b=V3,c=2,d=V6D.a=1,b=2,c=4,d=6

考点4:平行线平分线段成比例

典例4：（2023上•江苏南通•九年级校考阶段练习）如图，IMUs，若AB=3,BC=2,则ff等于（）

【变式1]（2023上•山西长治•九年级统考期中）如图，AB||CD||EF,直线匕，%与这三条平行线分别交于

点A,C,尸和点8,D,E.若黑=|，则与的值为（）

【变式2】（2023•全国•九年级专题练习）如图，直线/曲/2即3，直线AC,。尸分别交乙，12,/3于点A，B,C

和点。，E,F,连接AF,作BG0AE.若器=|，BG=9,则AF的长为（）

A.12B.13C.14D.15

【变式3］（2023上•河北邯郸•九年级校联考期中）如图，珍珍在横格作业纸（横线等距）上画了个〃X〃，与

横格线交于4B,C,D,。五点，若线段=4cm,则线段CD=（）

C.6cmD.7cm

考点5:相似三角形的判定一一证明题

典例5：（2022上,全国・九年级专题练习）已知：如图，在AABC中，AB=6,AC=8,D、E分另（J在AB、AC

上，BD=2,CE=5.求证：△ZEDSAABC.

【变式1］（2024上•陕西西安・九年级统考期末）如图，在四边形力BCD中，ABAD=90°,对角线4clBC,

过点。作DE14C于点E.

(1)求证：AXBC-ADAE；

(2)若tan/B力C=|,AC=4,DE=3,求CD的长.

【变式2］（2023上•江苏南京•九年级南京外国语学校仙林分校校考期末）如图，在△ABC中，点。、E分别

在力B、AC上，且NBCE+NBDE=180°.

⑴求证：AADEMACB；

（2）连接BE、CD,求证：4AEBFADC.

【变式3］（2023上•广东深圳•九年级深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）如图，四边形4BCD是菱形,

点G是BC延长线上一点，连接力G,分别交BD、CD于点E、F,连接CE.

⑴求证：乙DAE=ADCE-,

(2)求证:AECFs&EGC.

考点6:相似三角形的判定一一添加条件

典例6：（2023上,全国•九年级专题练习）如图,已知41=42,那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与

△力DE相似的是（）

AB_BCAB_AC

A.Z.C—Z-AEDB.Z-B=Z.D

AD-DEAD-AE

【变式1］（2023上•江苏徐州•九年级校考阶段练习）如图，下列条件中不能判定△ACD〜△ZBC的是（）

AB_AD乙

BC-CDB.Z-ADC=ACB

C.Z-ACD=Z-BD.AC2=AD-AB

【变式2】（2023上•北京延庆•九年级统考期中）如图，点E是△ABC的边4B上一点，要使得△ACE与△4BC

相似，添加一个条件，不正确的是（

A.Z-ACE=Z-BB.Z.AEC=Z-ACB

AC_AErACCE

D.­=—

•AB-ACABBC

【变式3）（2022上•湖南株洲•九年级校考期中）如图，已知Nl=Z2,添加下列条件后，仍无法判定△ABC〜△

ADE的是()

.ABADrABBC

A.—=—B.乙B=乙DC.Z.C=Z.AEDD.—=—

ACAEADDE

考点7：相似三角形的性质一一求解

典例7：（2023上•天津和平•九年级统考期末）如图，在△4BC中，DE\\BC,EF\\AB,-=若四边形BDEF

DB2

的面积为16,则△ADE的面积是（）

A

【变式11（2023上•四川成都,九年级成都七中校考阶段练习）如图，在回4BCD中，点E在DC边上，连接2E交

BD于点F,若DE:EC=2:1,则△2BF的面积与△DEF的面积之比为（）

A.1:4B.4:9C.9:4D.2:3

【变式2］（2023上•安徽安庆•九年级统考期中）将一张三角形彩纸力BC按如图所示的方式折叠，使点2落

在边力C上，记为点尸，折痕为DE.已知力B=AC=6,BC=8,若以点C,D,尸为顶点的三角形与△力BC相

似，则8。的长是（）

A12-24-12—“n24-“

A.—B.—C.—或4D.—或4

7777

【变式3】（2023上•福建泉州•九年级统考期中）如图，在△力BC中，D,E分另U是4B,AC的中点，BE,CD相

交于点。，则下列四个结论中，错误的是（）

DE_1OE1

B.

BC~2OB2

的周长_1的面积_1

,—BC的周长—2•四边形BCEQ的面积-4

考点8：相似三角形的性质一一坐标

典例8：（2022上•河南三门峡•九年级统考期末）如图，在直角坐标系xOy中，4（一4,0）,B（0,2）,连接48

并延长到点C,连接CO,若4COBCAO,则点C的坐标为.

【变式1］（2023•黑龙江大庆•统考一模）如图，已知矩形。48c与矩形歹即。是位似图形，尸是位似中心,

若点A的坐标为（0,6）,点E的坐标为（2,3）,则点B的坐标为.

【变式2］（2023•江苏苏州・统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点4B的坐标分别为（-4,0）、（0,4）,

点C（3,n）在第一象限内，连接AC、BC.已知乙BC4=2NC4。，则几=.

【变式3］（2023上•北京通州•九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点4（10,0）,OB=2V5,

乙B=90°,则点B坐标为.

考点9：相似三角形的性质一一网格

典例9:（2022上•广东梅州♦九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格上有6个斜三角形:①4ABC,CDB,

③4DEB,④AFBG,⑤△HGF,⑥XEKF.在②〜⑥中，与①相似的三角形有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1］（2023上・北京•九年级校联考期末）如图，下面方格纸中小正方形边长均相等.448。和/DEP的各

顶点均为格点（小正方形的顶点），若2MBe〜/PDE且两三角形不全等，则P点所在的格点为（）

C.P3D.P4

【变式2］（2024上•上海金山•九年级统考期末）如图在4x1的方格中,每一个小正方形的顶点叫做格点,

以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，0ABe就是一个格点三角形，现从△ABC的三个顶点中选

取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与AaBC相似的有（）

C

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式3］（2023上•河北张家口•九年级张北县第三中学校考阶段练习）如图，在由小正方形组成的方格纸

中，△4BC和AEDP的顶点均在格点上，要使△ABCsaEDP,则点P所在的格点为（）

A.点PiB.点尸2C.点P3D.点04

考点10:相似三角形的性质一一证明

典例10：（2022•广东深圳•校考一模）如图①，在RtaABC中，AC=BC,乙4cB=90。，点。为BC边上的

一点，连接Z。，过点。作CE12。于点尸，交于点连接。E.

(1)若AE=2BE,求证：AF=2CF；

(2)如图②，若AB=a,DE1BC,求器的值.

【变式1】（2023•上海松江•统考一模）如图，已知梯形4BCD中，AD\\BC.E是边2B上一点，CE与对角线8。

交于点尸，S.BE2=EF-EC.

求证:

(!)△ABD—△FCB；

(2)BD•BE=AD•CE.

【变式2］（2023・全国•九年级专题练习）如图，在A4BC中，点M为力C边的中点，点E为力B上一点，且

连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC=2CD.

【变式3］（2023上・江苏•九年级校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，CE是团DCB的角平分线，且交

AB于点E,DB与CE相交于点O,

（1）求证：团EBC是等腰三角形；

（2）已知：AB=7,BC=5,求”的值.

考点11:相似三角形的性质一一尺规

典例11：（2023•山西太原•山西实验中学校考模拟预测）如图，在RtAABC中，乙8=90°,BC=2,AB=4.

⑴实践与操作：利用尺规作4C边上的垂直平分线OE,垂足为E,交4B于点。（要求：尺规作图并保留作图

痕迹，不写作法，标明字母）.

（2）求出线段DE的长.

【变式1】（2023上•山西吕梁•九年级校考期末）如图，在平行四边形力BCD中，E是边4B上的一点，连接CE.

⑴利用尺规作NCDF,使NCDF=NBCE,NCDF的边OF交CE于点尸.（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不

写作法，标明字母）

（2）求证：DF•CE=BC•DC.

【变式2］（2023上•福建三明•九年级统考期末）如图，在A/IBC中，NACB的平分线交于点0.

（1）利用尺规在AC边上求作点E,使得EC=ED（不写作法，保留作图痕迹）;

（2）在⑴的条件下，若票=|，BC=10,求DE的长.

【变式3］（2023上•福建泉州,九年级石狮市石光中学校联考期中）求证：三角形的重心与一边中点的连线

的长是对应中线长的

⑴如图，在A4BC中，用尺规作出力8边上的中线CD,AC边上的中线BE,且CD与BE交于点G（不写做法,

保留作图痕迹）.

（2）在（1）的基础上，写出已知，求证和证明过程.

考点12：相似三角形判定与性质综合

典例12：（2024上•福建泉州•九年级统考期末）在RtAABC中，乙4c8=90。，CH148于点“，点。，H关

于直线AC对称，连接2。，CD,E为AB的中点，连接DE交AC于点工

⑴求证：AC2=AB-AD；

⑵求证:鬻噎；

(3)若2。=4,AB=6,求DE的值.

【变式1】（2023上,安徽合肥•九年级期末）如图，在矩形ZBCD中，AB=6,BC=8,点E是BC边上的一

个动点（不与点8、C重合），连接2E,并作EF1AE,交CD边于点F,连接4F,设BE=久，CF=y.

（1）①求证：4ABEMECF；

②当x为何值时，y的值为2；

（2）当x为何值时，A/IDF也与A/IBE相似.

【变式2］（2023上•九年级单元测试）如图，在正方形4BCD中，尸是4。的中点，BF与4C交于点G.

⑴求证：AAGF^ACGB；

⑵请求出4BGC与四边形CGFD的面积之比.

【变式3］（2