中考数学一轮复习重难点强化训练：图形的初步二（知识串讲+15大考点）解析版

专题02图形的初步(2)

厂考点类型

模块四图形的性质

02讲图形的初步(2)

考点15：平行线的性质

WV知识一遍过

(-)角的相关概念

(1)角的概念：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转

而形成的图。

(2)角的分类:

Za锐角直角钝角平角周角

范围0<Za<90°Za=90°90°<Za<180°Za=180°Za=360°

(3)角的表示法(四种):

①角可以用三个大写字母表示，但表示顶点的字母一定要写在中间，如/ABC(B为顶点)

②用一个字母表示角，必须是以这个字母为顶点的角，而且只有一个，如/A

③用一个数字表示角，在靠近顶点处画上弧线，写上数字，如/I

④用一个希腊字母表示,在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母，如/a

（二）角平分线及其性质

角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

如图：AC是/BCD的角平分线，则

：AC平分/BCD

1

ZACD=ZACB=-ZACD

2

（三）角度制

（1）时针和分针所成的角度：钟表一周为360。，每一个大格为30°,每一个小格为6。.（每小时，时针

转过30°,即一个大格，分针转过360。，即一周；每分钟，分针转过6。即一个小格）

（2）角的度量：I，=60'；1'=60"；

1直角=90°；1平角=180°；1周角=360°

（四）相交线所形成的角

两条直线相交所成的四个角中：h

（1）相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长'、

线，性质是邻补角互补;M

①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的

两个角，互为邻补角。如：/1、Z2o

（2）相对的两个角叫做对顶角,特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。

②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有

这种关系的两个角，互为对顶角。如：N1、Z30对顶角相等。

（五）垂线及其性质

（1）垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；交点叫垂足；垂直是特殊的相交。

（2）垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直线外一点与

直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

（六）三线八角

（1）同位角：形如“F”型；在两条直线的上方,又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位

角。如：N1和N5。

（2）内错角：形如“Z”型；在两条直线之间,又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。

如：N3和N5。

（3）同旁内角：形如“U”型；在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁

内角。如：N3和N6]

（七）平行公理及其推论

（1）平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

（2）平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

几何描述:,:b〃a,c//a

：.b//c

____________b

（八）平行线的判定与性质

（1）平行线的判定

判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

简称：同位角相等，两直线平行

判定方法2:两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

简称：内错角相等，两直线平行

判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

简称：同旁内角互补，两直线平行

几何符号语言：

*/Z3=Z2

AB/7CD（同位角相等，两直线平行）

Z1=Z2

AB〃CD（内错角相等，两直线平行）

Z4+Z2=180°

/.AB/7CD（同旁内角互补，两直线平行）

（2）平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补

几何符号语言：

；AB〃CD

.•.Z1=Z2（两直线平行，内错角相等）

VAB/7CD

/.Z3=Z2（两直线平行，同位角相等）

VAB/7CD

；./4+/2=180。（两直线平行，同旁内角互补）

*

一考点一遍过

考点1：角的概念

典例1:（2023上•黑龙江佳木斯•七年级校考期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（）

CC

—一一上

ABAOBABAB

ZABC为。是平角射线48是周角NCAB

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可.

【详解】解：图1中，角的顶点为2,应表示为

图2表示正确；

图3,射线和周角是两个概念，射线不能表示周角；

图4表示正确.

所以表示正确的个数为

故选：B.

【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键.

【变式1］（2023上,北京房山,七年级统考期末）下列四个图中，能用N1、乙0、NMON二种方法表示同一个

角的是（）

【答案】C

【分析】根据角的表示方法和图形选出即可.

【详解】A、图中的13MoN不能用回。表示，故本选项错误；

B、图中的加和团O不是表示同一个角，故本选项错误；

C、图中的41、4。、/M0N表示同一个角，故本选项正确；

D、图中团1、0MON,回。不表示同一个角，故本选项错误；

故选：C.

【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力.

【变式2］（2023下•六年级课时练习）若N&为钝角，为锐角，则乙4—NB是（）

A.钝角B.锐角

C.直角D.都有可能

【答案】D

【分析】根据题意找到范围值钝角是大于90。小于180。的角，锐角是大于0。小于90。的角，然后找到对应的

差的范围值为大于0°小于180°,然后对照选项即可.

【详解】解：因为乙4为钝角，NB为锐角，

所以90。<Z.A<180°,0°<ZB<90°,

所以0°<N4-NB<180°,

所以锐角，直角，钝角均有可能.

故选D.

【点睛】考查范围的求解，学生必须熟悉锐角、直角、钝角的范围，并能够求差所对应的范围值，此为解

题的关键.

【变式3］（2023上,江苏扬州,七年级统考期末）下列四个图中的N1也可以用〃。B/O表示的是（）

【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示.其中顶点字母要

写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母

究竟表示哪个角.角还可以用一个希腊字母（如团a,附，可、...）表示，或用阿拉伯数字（01,02...）表示

进行分析即可.

【详解】A项，N1可以用N40B表示，但NO没有办法表示任何角，故该选项不符合题意；

B项，N1可以用N40B表示，4。也可以表示故该选项符合题意；

C项，N1不能表示N。，故该选项不符合题意；

D项，N1可以用Z40C表示，但N。没有办法表示任何角，故该选项不符合题意.

故选:B.

【点睛】考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法.

考点2：钟面角

典例2：（2023下•山东烟台•六年级统考期中）已知本学期某学校下午上课的时间为14时20分，则此时刻

钟表上的时针与分针的夹角为（）度.

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】B

【分析】分别计算时针、分针旋转的角度，再根据角的和差关系计算即可.

【详解】解：14时20分时，时针指向2和3之间，分针指向4,

2+空

时针从12时到14时20分旋转的角为：常X360°=70°,

分针从14时到14时20分旋转的角为：*X360°=120°,

因此时针与分针的夹角为120。-70°=50°,

故选B.

【点睛】本题考查钟面角，解题的关键是求出时针、分针旋转的角度.

【变式1］（2022上•江苏淮安•七年级校考期末）下列时刻中，时针和分针所成的角为90。的是（）

A.11点20分B.3点C.10点10分D.9点30分

【答案】B

【分析】钟表里，时钟的时针与分针互相垂直的时刻有若干个，本题需要根据所给时间，逐一判断即可.

【详解】11点20分分针与时针夹角为3CTX4+20。=140。，时钟的时针与分针互相垂直，即时针与分针的

夹角是90。，三点，时针指向3,分针指向12,钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30。，因此三

点整分针与时针的夹角为90。，10点10分时针与分针的夹角为30。X4-5。=115。，9点30分时针与分针夹

角为30。义3+15。=105°.

故选B.

【点睛】本题考查了钟面角，把时针与分针所成的角分成所夹的大格子的度数和小格子的度数两部分进行

求解是解题的关键.

【变式2］（2023上•天津东丽•七年级统考期末）钟面上，下列时刻分针与时针构成的角是直角的是（）

A.3点整B.12点15分C.6点45分D.1点20分

【答案】A

【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份是30。，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答

案.

【详解】解：A、30°X3=90°,故A符合题意；

B、30。X（3-粉=82.5°,故B不符合题意；

C、30°x（9-6-i|）=67.5°,故C不符合题意；

D、30°X1）=80°,故D不符合题意；

【点睛】本题考查了钟面角，时针与分针相距的份数乘以乘以每份的度数是解题关键，属于中考常考题型.

【变式3］（2022上•重庆•七年级重庆一中校考阶段练习）图①钟面的角与图②钟面的角分别是（）度

A.20；15B.30；25C.30；22.5D.22.5；15

【答案】C

【分析】根据钟面，每小时一个大格，每个度数为*=30。，即可得出图①钟面的角的度数，从而列式求

解即可得到答案.根据钟面，2:00的时针与2:15时针之间间隔度数为30°X及=7,5。，即可得出2:15时的时

60

针与分针之间间隔度数.

【详解】解：图①钟面的角的度数为：等=30。；

•••2:00的时针与2:15时针之间间隔度数为30。x¥=7.5°,

60

02:15时的时针与分针之间间隔度数为30。-7.5°=22.5°,

回图②钟面的角的度数为：22.5。.

故选：C.

【点睛】本题考查钟面角的应用，掌握钟面每一个大格的角度是解决问题的关键.

考点3：方向角

典例3：（2024上•北京海淀•七年级统考期末）如图，在正方形网格中有4,B两点，点C在点4的南偏东60。方

向上，且点C在点B的东北方向上，则点C可能的位置是图中的（）

A.点G处B.点心处C.点C3处D.点处

【答案】B

【分析】本题考查的是方位角的判定，理解方位角的含义是解本题的关键；先画出图形，结合网格特点可

得：G，C2,C3在B的东北方向，C1在4的南偏东45。的方向，再画等边三角形从而可得答案.

【详解】解：如图，

✓

由网格特点可得：Ci，C2,C3在8的东北方向，

C1在4的南偏东45。的方向，

在网格中画等边三角形AH=AI=HI=2,连接2/并延长，

0ZHX7=60°,

回点C可能的位置是图中的。2，

故选B

【变式1](2023下•河北邢台•七年级校考期中)利用平面直角坐标系画出的某景区示意图如图所示(图中

每个小正方形边长代表100m,每个小正方形的对角线长为100/m),规定正东、正北方向为x轴、y轴的

正方向，并且景点D和景点B的坐标分别是(-200,-100)和(300,300).嘉嘉、淇淇分别对景点C的位置进行

了描述，则下列判断正确的是()

嘉嘉：景点C的坐标是(0,0)；

淇淇：景点C在景点B的南偏东45。方向，相距300&m处

A.只有嘉嘉说得对B.只有淇淇说得对

C.两人说得都对D.两人说得都不对

【答案】A

【分析】根据景点。和景点B的坐标确定平面直角坐标系的原点，即可判定嘉嘉的说法；根据方位角的知识

判定淇淇的说法.

【详解】解:根据景点。和景点B的坐标分别是(-200,-100)和(300,300),可知平面直角坐标系的原点在景

点C处，故嘉嘉的说法正确；

根据所规定的正东、正北方向，可知景点C在景点8的南偏西45。方向，相距300Vlm处，故淇淇的说法不对.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系和方位角的知识，理解并掌握相关知识是解题关键.

【变式2](2023上・江苏•八年级专题练习)如图，从笔直的公路/旁一点P出发，向西走6km到达/；从尸

出发向北走6km也到达/.下列说法错误的是()

北

A

一—►东

A.公路/走向是南偏西45°

B.公路/走向是北偏东45。

C.从点户向北走3km后，再向西走3km到达/

D.从点P向北偏西45。走3km到达/

【答案】D

【分析】先作出图形，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可求解.

【详解】解：如图所示，过尸点作的垂线PC,

北

J东

由题意可得△是腰长6km的等腰直角三角形,

贝U4B=6V^km,NP4B=NPB4=45°,

EIP力=PB,PC1AB,

0PC=|人8=3V2km,

则从点P向北偏西45。走3/km到达I,选项D错误；

则公路/的走向是南偏西45。或北偏东45。，选项A,B正确；

则从点P向北走3km后到达BP中点D,此时CD为AP4B的中位线，故CD=|PA=3km,故再向西走3km到

达/,选项C正确.

故选：D.

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领

会数形结合的思想的应用.

【变式3］（2023上•河北石家庄•九年级校考期中）对于题目团”如图所示，一艘渔船以30海里/时的速度由西

向东航行在4处看见小岛C在船北偏东60。的方向上.40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30。的

方向上.己知以小岛C为中心，10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东航行，有

没有进入危险区的可能？"小明同学在求解这个题过程中，求出了下面4个数据，错误的是（）

A.AB=20海里

B.乙ACB=30°

C.BC=20海里

D.过点C向2B的延长线引垂线，垂足为。，求得CD=8旧，小明得出结论有触礁危险

【答案】D

【分析】本题主要考查方位角与直角三角形的综合，先根据题意可得NC4B=30。，NCBE=30。，AB=20

海里，根据等腰三角形的性质和30。角所对直角边是斜边的一半逐项判断即可，掌握方位角的角度知识，直

角三角形30。角所对直角边是斜边的一半和勾股定理是解题的关键.

【详解】由题意得：^CAB=30°,ACBE=30°,AB=30X—=20,

北

0ZXBC=120°,

0ZC4B+乙ACB+AABC=180°,

0ZCX5=乙4c8=30°,

EL4B=BC=20（海里），则选项A、B、C正确,

0BFIICO,CDLAD,

EINCBE=乙BCD=30°,4BDC=90°,

0BZ）=ifiC=10（海里）

在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD=y/BC2-BD2=V202-102=1073>10,

回没有有触礁危险，故D选项判断错误，符合题意，

故选：D.

考点4：角的单位与角度制

典例4：（2024上•广东揭阳•七年级统考期末）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若N40D=

143.67°,贝UNBOC等于（）

A.36°19'48"B.36°18'108"

C.36°30'33"D.36°30'3"

【答案】A

【分析】本题考查了角的计算的理解和度与度分秒的换算，NBOC的度数正好是两直角相加减去Z40D的度

数，从而问题可解，解题的关键是通过观察图示，发现几个角之间的关系和掌握度与度分秒的换算.

【详解】解：由44OC+乙BOC=90°,/.BOD+乙BOC=90°,

贝此20C+乙BOC+4BOD+乙BOC=180°,

又由=/.AOC+乙BOC+Z.BOD,

故N4。。+Z.BOC=180°,

所以NBOC=36.33°=36°19'48",

故选：A.

【变式1］（2023上•山西运城•七年级统考期末）如图，将一个三角板60。角的顶点与另一个三角板的直角顶

点重合，Z1=26°50,,贝此2的度数是（）

A.56°50'B.33°10,C.26°50'D.63°10,

【答案】A

【分析】利用60。-41求出NE4c的度数，再用90。-4瓦4。求出乙2的度数.

【详解】解：由图可知：/-EAC=Z.BAC-Z1=60°-26°50,=33°10,,

0Z2=90°-/_EAC=56°50'；

故选A.

【点睛】本题考查三角板中角的计算.根据图形，理清角的和差关系，是解题的关键.

【变式2】（2023上・广东广州•七年级统考期末）如图，OC是NAOB的平分线，ZAOC=26°18',则4AOB的

A.42°32'B.52°36'C.48°24'D.50°38'

【答案】B

【分析】根据角平分线定义得出回A0B=2国AOC,代入求出即可.

【详解】解：I3OC是回AOB的平分线，0AOC=26°18,,

fflAOB=20AOC=26°18,x2=52°36,,

故选：B.

【点睛】本题考查了角平分线定义，根据定义得出回A0B=2回AOC是解题的关键.

【变式3](2023上•内蒙古乌海•七年级统考期末)已知13a=21。邮=0.36。,则13a和即的大小关系是()

A.0a=0PB.0a>BPC.Ela<邨D.无法确定

【答案】C

【分析】一度等于60。知道分与度之间的转化，统一单位后比较大小即可求解.

【详解】解:EHa=21',邮=0,36°=21.6',

团团a<0p.

故选：C.

【点睛】考查了度分秒的换算，熟练掌握角的比较与运算，能够在度与分之间进行转化.

考点5：角的大小比较

典例5：(2022上•山东枣庄•七年级校考期末)已知戊=36。18',p=36.18°,y=36.3。，下面结论正确的是

()

A.a<y<^B.y>a=pC.a=y>pD.y<a<^

【答案】C

【分析】将a=36。18'转化为36.3。，即可得出答案.

【详解】由a=36。18'=36°+(18+60)。=36°+0.3°=36.3°,

又因为/?=36.18°,Y=36.3°,

所以a-y>p.

故选：C.

【点睛】此题考查了角的大小的比较，掌握角的度、分、秒之间的转化是解题的关键.

【变式1](2022下•山东烟台•六年级统考期中)若N1=25。15，，N2=25°13'30",43=25.35。,则()

A.z3>zl>z2B.z2>zl>z3C.zl>z3>z2D.zl>z2>z3

【答案】A

【分析】首先回1、团2已经是度、分、秒的形式，故将电化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进行

大小比较，即可得到结论.

【详解】EIN1=25°15',42=25°13'30”,43=25.35°=25°21',

0Z3>zl>Z2.

故选A.

【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关

键.

【变式2]（2023上•七年级课时练习）已知回A=25.12°,0B=25°12Z,%=1518',那么的大小关系为（）

A.0A>0B>fflCB.0A<0B<fflCC.0B>0A>0CD.0C>0A>0B

【答案】B

【分析】根据小单位化成大单位除以进率，可得答案.

【详解】解：她=25.12°,配=25°12'=25.2°,班=1518'=25.3°,

0A<0B<0C,

故选B.

【点睛】本题考查了度分秒的换算，利用不过小单位化大单位除以进率是解题关键.

【变式3]（2023上•北京通州•七年级统考期末）已知乙4=20。50',乙B=20.5°,乙C=19°58,那么（）

A.Z.A>Z-B>ZCB./-A=Z.B>ZC

C.NC>NA=NBD.zB>>zC

【答案】A

【分析】根据度分秒之间的换算，先把阴的度数化成度、分、秒的形式，再根据角的大小比较的法则进行

比较，即可得出答案.

【详解】EHB=20.5°=20°30',

0ZX>NB>ZC,

故选A.

【点睛】此题考查了角的大小比较，先把配的度数化成度、分、秒的形式，再进行比较是本题的关键.

考点6：角度制运算

典例6：（2023上•七年级课时练习）下列关于度、分、秒的换算正确的是（）

A.83.3°=83°30'B.26°12'15”=26.3°C.15°18'18〃=15'36°D.41.15°=41°9,

【答案】D

【分析】根据1°=60，，1'=60"进行计算即可.

【详解】解:A、83.3。=83。18',故A错误;

B、26。12'15”=37.2。，故B错误；

C、15。18'18”=15.31。，故C错误；

D、41.15。=41。9',故D正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了度分秒的换算，掌握1。=60，，1=60"是解题的关键.

【变式1］（2023上•山东枣庄•七年级校联考阶段练习）下列各式计算正确的是（）

-1

A.（-）。=118"B.38。15,=38.15。

C.24.8°x2=49.6°D.90°—85°45'=4°55'

【答案】C

【分析】根据1。=60，，1=60",结合各选项进行判断即可.

【详解】解：A、。。=301故本选项错误；

B、38*15'=38.25°,故本选项错误；

C、24.8。、2=49.6。，计算正确，故本选项正确；

D、90°-85°45'=4°15',故本选项错误；

故选：C.

【点睛】本题考查了度分秒的换算，解答本题的关键是掌握1。=60，，1，=60".

【变式2］（2023上•四川眉山•七年级统考期末）下面等式成立的是（）

A.83.5°=83°50,B.90--57°23'27"=32°37’33"

C.15°48'36〃+37°27’59"=52°16’35"D.41.25°=41°15'

【答案】D

【分析】根据角度的运算法则，以及角的换算，即可得到答案.

【详解】解：A、83.5。=83。30',故A错误；

B、90°-57°23'27"=32°36'33",故B错误；

C、15。4&36〃+37。27’59”=53。16’35”,故C错误；

D、41.25°=41°15z故D正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了角度的加减运算，以及角的单位换算，解题的关键是掌握角度的运算法则和角度的60

进位制.

【变式3］（2023下•山东东营•六年级校考阶段练习）下列各式中，正确的是（）

A.35.5°=35°50'B.15°12'36"=15.48°

C.28°18'18”=28.33°D.65.25°=65°15'

【答案】D

【分析】按照角的度量单位进行转化即可判断.

【详解】解:A.35.5。=35。30',不符合题意;

B.15。12'36"=15.21°,不符合题意;

C.28。18'18"=28.305°,不符合题意；

D.65.25°=65°15',符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了角的单位转化，解题关键是明确1。=6(r,r=60w.

考点7：角平分线计算

典例7：(2023上•全国•七年级专题练习)如图，直线AB、CD相交于点0,射线OE在"08内部，且NDOE=

(1)若NCOF=54°,求N80E的度数；

(2)若NCOF=ADOE,那么。B平分NDOF吗？为什么？

【答案】⑴18。

(2)平分，理由见解析

【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的有关计算；

(1)根据直角的性质，可得NEOF=90。，根据补角的定义得NDOE=180-NEOF-NCOF,再由NDOE=

2乙BOE,即可求解；

(2)根据=4DOE,乙COF+乙DOE=90°,可得N。。尸=4DOE=45°,再由NDOE=24BOE,可得

乙BOE=22.5°,从而得到NDOB=67.5°,乙BOF=90°-22.5°=67.5°,即可求解.

【详解】([)解：OF10E,

•••乙EOF=90°,

•••乙COF=54°,

.­.4DOE=180°-乙EOF-^COF=180°-90°-54°=36°,

乙DOE=2(BOE,

EINBOE=戛DOE=工x36。=18°,

22

•・"OE的度数为18。；

(2)平分，理由如下：

•••Z.COF=乙DOE,乙COF+Z.DOE=90°,

・•.Z.COF=乙DOE=45°,

乙DOE=2Z.BOE,

•••Z-BOE=22.5°,

・•・乙DOB=(DOE+乙BOE=67.5°,

•・•乙BOF=乙EOF-Z.BOE=90°-22.5°=67.5°,

••・乙DOB=Z-BOF,

・•・OB平分乙DOF.

【变式1](2024上•重庆沙坪坝•七年级重庆一中校考期末)如图，乙4OB为钝角，射线。。平分乙4。8,射线

(1)若NCOD=10°,4AOB=140°.求NCOE的度数.

(2储写出乙4。。与“OE度数之间的等量关系，并说明理由.

【答案】⑴30。

(2)乙4。。=2/.COE

【分析】本题考查的是角的计算、角平分线的定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的

射线叫做这个角的平分线.

(1)根据角平分线的定义求出乙BOC,同理求出4。。瓦利用NCOE=4DOE—NC。。计算得至IJ答案；

(2)根据角平分线的定义求出N40B=2ZXOC=2(zCOD+N力。D),乙BOD=2乙DOE=2(zCOE+乙COD),

根据-/.BOD=NA。。计算即可得至！J结论.

【详解】(1)解：OC平分/.AOB=140°,

乙BOCOB=70°,

=L2

•・•(COD=10°,

••・乙BOD=乙BOC+乙COD=80°,

•・.OE平分乙BOD,

•••乙DOE=-^BOD=40°,

2

•••MOE=乙DOE-乙COD=40°-10°=30°；

(2)解：/.AOD=2/.C0E,理由如下：

0c平分N40B,

•••^AOC=^BOC=-^AOB,

2

1•1乙COD+Z.AOD=Z.AOC,

：.4AOB=2ZX0C=2(NC。。+zXOD),

•••OE平分48。。，

.­.乙DOE=4BOEB

=2LOD,

v乙COE+乙COD=Z-DOE,

・•・乙BOD=2乙DOE=2(zCOE+么COD),

•・•乙AOB-乙BOD=Z.AOD,

2Z.C0D+2^AOD-2/-C0E-2Z.C0D=4AOD,

•••Z-AOD=2/.C0E.

【变式2](2024上•江苏•七年级校考周测)已知乙4OB=120。，射线。C在N40B的内部，射线。M是乙4OC靠

近。4的三等分线，射线ON是NBOC靠近。B的三等分线.

(1)若。C平分乙4。8,求NMON的度数；

⑵小明说：当射线OC绕点。在“OB的内部旋转时，NMON的度数始终保持不变，你认为小明的说法是否

正确？说明理由；

(3)若。M、ON、OA,。8中有两条直线互相垂直，请直接写出Z20C所有可能的值.

【答案】⑴80。

(2)正确，理由见解析

⑶30。或90。

【分析】本题考查角平分线和角三等分线，角的和与差.

(1)根据角平分线得到乙4OC=NBOC=60。，再根据三等分线可得4Moe和4NOC的度数，最后利用

乙MON=Z.MOC+NNOC可得答案；

(2)正确，按照(1)的思路计算即可；

(3)分。41ON和。M1OB两种情况，再利用角的和差计算即可.

【详解】(1)回乙408=120。，OC平分乙4OB,

11

^AOC=(BOC=-/.AOB=-\120°=60°,

22

团射线OM是乙4OC靠近。4的三等分线，射线ON是4。。靠近。B的三等分线，

22

团NMOC=-Z-AOC=-X60°=40°,

33

22

Z-NOC=-Z.BOC=-x60°=40°,

33

团4MON=Z.MOC+乙NOC=40°+40°=80°；

(2)小明是说法正确，

团射线OM是乙4OC靠近。4的三等分线，射线。N是NBOC靠近。8的三等分线，

22

回乙MOC=上^AOC,乙NOC=上乙BOC,

33

79

EINMON=乙MOC+乙NOC=|(zMOC+乙NOC)=jx120°=80°；

(3)①当。力J.ON时，

国乙4。8=120°,OA1ON,

0ZBO/V=乙4OB-4AON=120°—90°=30°,

团射线ON是NBOC的三等分线,

0ZBOC=34BON=3X30°=90°,

团乙4OC=^AOB-乙BOC=120°-90°=30°；

②当。M1。8时，

国乙4。8=120°,OM1OB,

0ZAOM=AAOB-乙BOM=120°-90°=30°,

团射线0M是乙4OC的三等分线，

0ZXOC=3乙4OM=3x30°=90°；

综上，NAOC的度数是30。或90。.

【变式3](2022上•河北•七年级校联考期末)定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1:2两个部分的射

线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条.如图LN&OB=2乙BOC,则08是乙4OC的一条三分线.

(2)如图2,若N40B=120。，OC,。。是乙4OB的两条三分线，且NBOC〈乙4OC.

①贝!UC。。=_；

②若以点。为中心，将NCOD顺时针旋转打。(0<n<90)得到NC'。//,当04恰好是NLO)的三分线时,

九的值为一.

【答案】⑴19。

(2)①40。；②等或婴

【分析】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义,

解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏.

(1)根据NAOB=2/8。。，贝=3NBOC,由止匕可得出结论；

(2)①根据。C,。。是44。8的三分线，且48。。＜44。。，可得48。。=(NAOB,4A0D=g4AOB,据

此可得NCOD的度数；

②分两种情况：当。4是4C'。。'的三分线，且乙4。》＞乙40C时，^AOC=(y)°；当。4是NC，。。的三分

线，且4。。'＜Z40C'时,/.AOD'=(y)°＞分别求得n的值.

【详解】(1)vZ.AOB=2Z.B0C,

AAOC=34B0C=57。，

Z.BOC=19°,

故答案为：19。；

(2)①如图2,0C是N40B的一条三分线，S.ABOC＜^AOC,

11

・•・乙BOC=-Z.AOB=40°,^AOD=-^AOB=40°,

33

••・(COD=Z.AOB一(BOC-Z.AOD=40°；

故答案为：40°；

②分两种情况：

当。/是的三分线，且44。。'＞4/。。'时，贝=24/。。'，

•••""'=(学，

.■1Z.DOC=40。-詈)。=管)。，

Z.DOD'=(y)0+40°=(等)°;

当。4是4厂。》的三分线，且乙4。。'＜乙4。。时，乙4。。'=2乙4。。,

^AOD'=^AC'OD'=售)。，

Z.DOD'=40°+谓)。=(等)°；

综上所述，几=詈或等.

考点8：余角和补角

典例8：（2023上•江苏苏州•七年级统考期末）若乙4,NB互为补角，且乙4<NB,贝吐4的余角是（）

A.5（Z_14+Z_B）B.—Z.BC.5（Z_B-Z.X）D.—Z.A

【答案】C

【分析】本题主要考查了互为补角的和等于180。，互为余角的和等于90。的性质.根据互为补角的和得到

乙4,NB的关系式，再根据互为余角的和等于90。表示出的余角，然后把常数消掉整理即可得解.

【详解】解：根据题意得，乙4+NB=180。，

团乙4的余角为：90。一乙4=号-乙4

1

=-（Zi4+4B）一Z-A

故选：C.

【变式1］（2024上•陕西商洛•七年级统考期末）若N1与N2互为余角，N1与N3互为补角，则下列选项，错误

的是（）

A.Z3+Z1=180°B.Z3-Z2=90°

C.Z3+Z2=270°-2Z1D.21+42=180°

【答案】D

【分析】根据余角和补角的定义可判断A选项和D选项，将42和N3用N1表示出来代入B选项和C选项中计

算即可判断B选项和C选项.

本题主要考查了余角和补角的定义.熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键.

【详解】A、回41与N3互为补角，

EIZ3+41=180°,

故A选项正确，不符合题意；

B、I3N1与N2互为余角，N1与43互为补角，

Z3=180°-zl,Z2=90°-zl,

AN3-N2=（180°-Z1）-（90°-Z1）=90°,

故B选项正确，不符合题意；

C、团N1与N2互为余角，N1与N3互为补角,

•••Z3=180°-zl,Z2=90°-zl,

0Z3+Z2=(180°-zl)+(90°-zl)=270°-241,

故C选项正确，不符合题意；

D、EIN1与42互为余角，

国41+42=90°,

故D选项错误，符合题意.

故选：D

【变式2](2023上•湖南长沙•八年级湖南师大附中博才实验中学校考期中)已知:如图,AC=CD,LB=NE=

90°,AC1CD,则正确的结论是()

A.Z-A=Z-DB.Z.A=Z2C.AB=EDD.Zl=Z2

【答案】B

【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，利用同角的余角相等求出乙4=42,再利用"AAS"证明A

ABC=ACED,根据全等三角形对应边相等，对应角相等，即可解答.

【详解】解：a4c1CD,

0ZXCD=90°,

0Z1+z2=90°,则D错误;

0ZB=NE=90°,

0zl+NA=90°,

13/4=42,贝UB正确；

在AABCWCEDdp,

2B=Z.E

/-A—z2,

.AC=CD

0AABC=△CED(AAS),

0Z1=ZD,AB=CE,BC=DE,则A、C错误;

故选：B.

【变式3］（2023上•北京房山•九年级统考期中）已知：在四边形4BCD中，AB||CD,NB=90。，点E是线

段BC上一点，且AE平分NBA。，DE平分N4DC,给出下面四个结论：

①4EJ.DE；②乙AEB=LEDC；（3）AB-CD=BE-EC；@BE-ED=AE-EC

上述结论中，所有正确结论的序号是（

C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】根据||CD和4E平分NBHD,DE平分44DC推出4/L4E+Z.ADE=90。即可证明4E1DE,可证明

①正确；根据乙4ED=90。推出乙4EB+/OEC=90。，根据乙8=90。推出NC=90。，从而推出NEDC+

Z-DEC=90°,即可推出N4E8=乙EDC,可证明②正确；根据两角分别相等的两个三角形相似判定△ABE-

△ECD后根据相似三角形的对应边成比例得到比例式再推出AB-CD=BE-EC可证明③正确，④不正确；

即可选出正确答案.

【详解】EL4B||CD,

^DAB+AADC=180°

EL4E平分NBAD,DE平分乙4DC

11

・•・/,DAE=-Z.BAD,/LADE=-Z.ADC,

22

^\Z.AED=90°,

团/E±DE；

故①正确；

团乙4EO=90°,

回N/EB+Z_OEC=90。，

MB||CD,乙B=90°,

SZC=90°,

国乙EDC+乙DEC=90°,

^\Z-AEB=乙EDC,

故②正确；

0/-AEB=乙EDC,Z,B=Z.C=90°

•••△ABEs'ECD,

tAB_BEBE_AE

••EC-CD'CD-DE'

ABCD=BE-EC,故③正确；

BE•ED=AE-CD故④不正确；

正确的有①②③.

故选:C.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线定义，同角的余角相

等和相似三角形的判定方法与性质定理是解决问题的关键.

考点9：三线八角

典例9：（2024上•江苏南京•七年级校联考期末）如图，AB,CD相交于点0,OE1CD,射线。尸平分NB。。，

下列结论中错误的是（）

A.NB。。与48。。互为补角B.NBOF与NEOF互为余角

C.NB。尸与ZTOF互为补角D.Z710C与NDOF为对顶角

【答案】D

【分析】本题主要考查了垂直、角平分线、补角和余角、对顶角等知识，根据角平分线的定义、垂直的定

义、对顶角的定义以及补角和余角的定义逐项分析判断即可，熟练掌握角平分线的定义、补角和余角的定

义是解题关键.

【详解】解：A.因为NBOO+乙8。。=180。，所以ZB。。与NBOC互为补角，该选项结论正确，不符合题意；

B.因为射线。F平分NB。。，

所以N80F=乙DOF,

又因为OE1CD,

所以NEOF+NDOF=90。，

所以4EOF+乙BOF=90°,即NBOF与/EOF互为余角，

该选项结论正确，不符合题意；

C.因为N80F=40。/，Z.DOF+Z.COF=180°,

所以48。尸+Z.COF=180°,

即NBOF与NCOF互为补角，该选项结论正确，不符合题意；

D.N20C与NDOB为对顶角，该选项结论错误，符合题意.

故选：D.

【变式1］（2023上•黑龙江绥化•七年级校考阶段练习）如图，点。在直线力B上，OC1OD,OC、OF分别

平分NAOE和NBOD,若N40C=20。，贝Ij/BOF=（）

A.20°B.30°C.35°D.45°

【答案】C

【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，根据垂线的定义可得NCOD=90。，由N40C=20。结合邻补角

的性质求得NBOD,再根据角平分线的性质即可求得NBOF.

【详解】解:■■■OC1OD,

：.乙COD=90°,

•••/-AOC=20°,

•••乙BOD=180°-^AOC-乙COD=180°-20°-90°=70°,

•••。尸平分NBOD,

.­.Z.BOF=-/.BOD=工x70。=35°,

22

故选：C.

【变式2］（2022下•上海•七年级期中）如图，下列判断中正确的个数是（）

（1）/A与N1是同位角；（2）/A和NB是同旁内角；（3）/4和N1是内错角；（4）N3和/I是同位角.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截.也就是说，在

辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线.

【详解】解：（1）0A与皿是同位角，正确，符合题意；

（2）0A与回8是同旁内角.正确，符合题意；

（3）团4与如是内错角，正确，符合题意；

（4）如与团3不是同位角，错误，不符合题意.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边

将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系.

【变式3］（2023上•四川巴中•七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图所示，有下列五种说法：①41和

44是同位角；②N3和45是内错角；③42和乙6是同旁内角；④45和42是同位角；⑤Z.1和N3是同旁内角；

其中正确的是（）

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②④⑤

【答案】D

【分析】本题考查了同位角、内错角以及同旁内角的定义，根据内错角、同位角以及同旁内角的定义寻

找出各角之间的关系，再比照五种说法判断对错，即可得出结论.

【详解】解：根据内错角、同位角以及同旁内角的定义分析五种说法.

①41和44是同位角，即①正确；

②43和45是内错角，即②正确；

③N2和N6是内错角，即③不正确；

④45和N2是同位角，即④正确；

⑤N1和43是同旁内角，即⑤正确.

故选：D.

考点10：垂线的应用

典例10：（2023下•七年级课时练习）如图，已知AOI3OB,COHDO,^BOC=P°,则0Ao。的度数为（）

A.尸°一90°B.2/7°-90°C.180°—外D.2/?0-180°

【答案】C

【解析】略

【变式1］（2023・广东清远•统考三模）如图所示，直线a||b,直线c与直线a,b分别交于点D,E,射线DF1

直线c,若Nl=32。，贝吐2的度数是（）

C.32°D.58°

【答案】D

【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行线的性质可得：Z2=Z3,由垂直的定义可求出N3