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文档简介

2025届江苏省苏州市张家港市高三下期4月模拟考试数学试题试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量,,且,则()A. B. C.1 D.22.已知向量,,且与的夹角为,则x=()A.-2 B.2 C.1 D.-13.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,那么该双曲线的离心率为()A. B. C. D.4.已知各项都为正的等差数列中,,若,,成等比数列,则()A. B. C. D.5.已知等差数列的前项和为,若,,则数列的公差为()A. B. C. D.6.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为().A. B. C. D.7.设函数的定义域为,命题:,的否定是()A., B.,C., D.,8.已知函数,则()A.函数在上单调递增 B.函数在上单调递减C.函数图像关于对称 D.函数图像关于对称9.已知函数,,若成立,则的最小值是()A. B. C. D.10.一物体作变速直线运动,其曲线如图所示,则该物体在间的运动路程为()m.A.1 B. C. D.211.某个命题与自然数有关,且已证得“假设时该命题成立,则时该命题也成立”.现已知当时,该命题不成立,那么()A.当时,该命题不成立 B.当时,该命题成立C.当时,该命题不成立 D.当时,该命题成立12.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,其中左视图中三角形为等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知是偶函数,则的最小值为___________.14.若,则_________.15.下图是一个算法的流程图,则输出的x的值为_______.16.若,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查,每位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参与问卷调查的100人的得分(满分:100分)数据,统计结果如表所示:组别男235151812女051010713(1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”,请完成答题卡中的列联表,并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下,认为是否为“环保关注者”与性别有关?(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”.视频率为概率.①在我市所有“环保达人”中,随机抽取3人,求抽取的3人中,既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率;②为了鼓励市民关注环保,针对此次的调查制定了如下奖励方案:“环保达人”获得两次抽奖活动;其他参与的市民获得一次抽奖活动.每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表:红包金额(单位:元)1020概率现某市民要参加此次问卷调查,记(单位:元)为该市民参加间卷调查获得的红包金额,求的分布列及数学期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818.(12分)某大型公司为了切实保障员工的健康安全,贯彻好卫生防疫工作的相关要求,决定在全公司范围内举行一次普查,为此需要抽验1000人的血样进行化验,由于人数较多,检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①:将每个人的血分别化验,这时需要验1000次.方案②:按个人一组进行随机分组,把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验,如果每个人的血均为阴性,则验出的结果呈阴性,这个人的血只需检验一次(这时认为每个人的血化验次);否则,若呈阳性,则需对这个人的血样再分别进行一次化验,这样,该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为,且这些人之间的试验反应相互独立.(1)设方案②中,某组个人的每个人的血化验次数为,求的分布列;(2)设,试比较方案②中,分别取2,3,4时,各需化验的平均总次数;并指出在这三种分组情况下,相比方案①,化验次数最多可以平均减少多少次?(最后结果四舍五入保留整数)19.(12分)已知,,,.(1)求的值;(2)求的值.20.(12分)某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.方案一:每满100元减20元;方案二:满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球(逐个有放回地抽取),所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别)红球个数3210实际付款7折8折9折原价(1)该商场某顾客购物金额超过100元,若该顾客选择方案二,求该顾客获得7折或8折优惠的概率;(2)若某顾客购物金额为180元,选择哪种方案更划算?21.(12分)已知椭圆过点,设椭圆的上顶点为,右顶点和右焦点分别为,,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线交椭圆于,两点,设直线与直线的斜率分别为,,若,试判断直线是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.22.(10分)已知数列的通项,数列为等比数列,且,,成等差数列.(1)求数列的通项;(2)设,求数列的前项和.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】

根据向量垂直的坐标表示列方程,解方程求得的值.【详解】由于向量,,且,所以解得.故选:A本小题主要考查向量垂直的坐标表示,属于基础题.2.B【解析】

由题意,代入解方程即可得解.【详解】由题意,所以,且,解得.故选:B.本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角,属于基础题.3.A【解析】

由抛物线的焦点得双曲线的焦点,求出,由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为,由焦半径公式,联立求解.【详解】解:由抛物线,可得,则,故其准线方程为,抛物线的准线过双曲线的左焦点,.抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,,又,,则双曲线的离心率为.故选:.本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率.弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.4.A【解析】试题分析:设公差为或(舍),故选A.考点:等差数列及其性质.5.D【解析】

根据等差数列公式直接计算得到答案.【详解】依题意,,故,故,故,故选:D.本题考查了等差数列的计算,意在考查学生的计算能力.6.D【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以,解得,所以二项式中奇数项的二项式系数和为.考点:二项式系数,二项式系数和.7.D【解析】

根据命题的否定的定义,全称命题的否定是特称命题求解.【详解】因为:,是全称命题,所以其否定是特称命题,即,.故选:D本题主要考查命题的否定,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.8.C【解析】

依题意可得,即函数图像关于对称,再求出函数的导函数,即可判断函数的单调性;【详解】解:由,,所以函数图像关于对称,又,在上不单调.故正确的只有C,故选:C本题考查函数的对称性的判定,利用导数判断函数的单调性,属于基础题.9.A【解析】分析:设,则,把用表示,然后令,由导数求得的最小值.详解:设,则,,,∴,令,则,,∴是上的增函数,又,∴当时,,当时,,即在上单调递减,在上单调递增,是极小值也是最小值,,∴的最小值是.故选A.点睛:本题易错选B,利用导数法求函数的最值,解题时学生可能不会将其中求的最小值问题,通过构造新函数,转化为求函数的最小值问题,另外通过二次求导,确定函数的单调区间也很容易出错.10.C【解析】

由图像用分段函数表示,该物体在间的运动路程可用定积分表示,计算即得解【详解】由题中图像可得,由变速直线运动的路程公式,可得.所以物体在间的运动路程是.故选:C本题考查了定积分的实际应用,考查了学生转化划归,数形结合,数学运算的能力,属于中档题.11.C【解析】

写出命题“假设时该命题成立,则时该命题也成立”的逆否命题,结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.【详解】由逆否命题可知,命题“假设时该命题成立,则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立,则当时该命题也不成立”,由于当时,该命题不成立,则当时,该命题也不成立,故选:C.本题考查逆否命题与原命题等价性的应用,解题时要写出原命题的逆否命题,结合逆否命题的等价性进行判断,考查逻辑推理能力,属于中等题.12.C【解析】

作出三视图所表示几何体的直观图,可得直观图为直三棱柱,并且底面为等腰直角三角形,即可求得外接球的半径,即可得外接球的体积.【详解】如图为几何体的直观图,上下底面为腰长为的等腰直角三角形,三棱柱的高为4,其外接球半径为,所以体积为.故选:C本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意球心的确定.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.2【解析】

由偶函数性质可得,解得,再结合基本不等式即可求解【详解】令得,所以,当且仅当时取等号.故答案为:2考查函数的奇偶性、基本不等式,属于基础题14.【解析】

因为,所以.因为,所以,又,所以,所以..15.1【解析】

利用流程图,逐次进行运算,直到退出循环,得到输出值.【详解】第一次:x=4,y=11,第二次:x=5,y=32,第三次:x=1,y=14,此时14>10×1+3,输出x,故输出x的值为1.故答案为:.本题主要考查程序框图的识别,“还原现场”是求解这类问题的良方,侧重考查逻辑推理的核心素养.16.13【解析】

由导函数的应用得:设,,所以,,又,所以,即,由二项式定理:令得:,再由,求出,从而得到的值;【详解】解:设,,所以,,又,所以,即,取得:,又,所以,故,故答案为:13本题考查了导函数的应用、二项式定理,属于中档题三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)不能;(2)①;②分布列见解析,.【解析】

(1)根据题目所给的数据可求2×2列联表即可;计算K的观测值K2,对照题目中的表格,得出统计结论.(2)由相互独立事件的概率可得男“环保达人”又有女“环保达人”的概率:P=1﹣()3﹣()3,解出X的分布列及数学期望E(X)即可;【详解】(1)由图中表格可得列联表如下:非“环保关注者”是“环保关注者”合计男104555女153045合计2575100将列联表中的数据代入公式计算得K”的观测值,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下,不能认为是否为“环保关注者”与性别有关.(2)视频率为概率,用户为男“环保达人”的概率为.为女“环保达人”的概率为,①抽取的3名用户中既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为;②的取值为10,20,30,40.,,,,所以的分布列为10203040.本题考查了独立性检验的应用问题,考查了概率分布列和期望,计算能力的应用问题,是中档题目.18.(1)分布列见解析;(2)406.【解析】

(1)计算个人的血混合后呈阴性反应的概率为,呈阳性反应的概率为,得到分布列.(2)计算,代入数据计算比较大小得到答案.【详解】(1)设每个人的血呈阴性反应的概率为,则.所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为,呈阳性反应的概率为.依题意可知,,所以的分布列为:(2)方案②中.结合(1)知每个人的平均化验次数为:时,,此时1000人需要化验的总次数为690次,时,,此时1000人需要化验的总次数为604次,时,,此时1000人需要化验的次数总为594次,即时化验次数最多,时次数居中,时化验次数最少,而采用方案①则需化验1000次,故在这三种分组情况下,相比方案①,当时化验次数最多可以平均减少次.本题考查了分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.19.(1)(2)【解析】

(1)先利用同角的三角函数关系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可;(2)由(1)可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【详解】解:(1)因为,所以又,故,所以,所以(2)由(1)得,,,所以,所以,因为且,即,解得,因为,所以,所以,所以,所以本题考查已知三角函数值求值,考查三角函数的化简,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.20.(1)(2)选择方案二更为划算【解析】

(1)计算顾客获得7折优惠的概率,获得8折优惠的概率,相加得到答案.(2)选择方案二,记付款金额为元,则可取的值为126,144,162,180.,计算概率得到数学期望,比较大小得到答案.【详解】(1)该顾客获得7折优惠的概率,该顾客获得8折优惠的概率,故该顾客获得7折或8折优惠的概率.(2)若选择方案一,则付款金额为.若选择方案二,记付款金额为元,则可取的值为126,144,162,180.,,则.因为,所以选择方案二更为划算.本题考查了概率的计算,数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.21.(1)(2)直线过定点,该定点的坐标为.【解析】

(1)因为椭圆过点,所以①,设为坐标原点,因为,所以,又,所以②,将①②联立解得(负值舍去),所以椭圆的标准

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