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文档简介

2025届江西省顶级名校高三一诊数学试题试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设i是虚数单位,若复数是纯虚数,则a的值为()A. B.3 C.1 D.2.设函数满足,则的图像可能是A. B.C. D.3.已知集合,则的值域为()A. B. C. D.4.已知不同直线、与不同平面、,且,,则下列说法中正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则5.已知集合则()A. B. C. D.6.函数的图象可能为()A. B.C. D.7.在中,“”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数是定义在R上的奇函数,且满足,当时,(其中e是自然对数的底数),若,则实数a的值为()A. B.3 C. D.9.已知双曲线的一条渐近线方程为,,分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且,则()A.9 B.5 C.2或9 D.1或510.如图,正三棱柱各条棱的长度均相等,为的中点,分别是线段和线段的动点(含端点),且满足,当运动时,下列结论中不正确的是A.在内总存在与平面平行的线段B.平面平面C.三棱锥的体积为定值D.可能为直角三角形11.已知定义在上的函数满足,且当时,,则方程的最小实根的值为()A. B. C. D.12.中,角的对边分别为,若,,,则的面积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在的展开式中,的系数为________.14.设为偶函数,且当时,;当时,.关于函数的零点,有下列三个命题:①当时,存在实数m,使函数恰有5个不同的零点;②若,函数的零点不超过4个,则;③对,,函数恰有4个不同的零点,且这4个零点可以组成等差数列.其中,正确命题的序号是_______.15.曲线在点(1,1)处的切线与轴及直线=所围成的三角形面积为,则实数=____。16.已知向量=(1,2),=(-3,1),则=______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,证明:.18.(12分)如图,四棱锥的底面为直角梯形,,,,底面,且,为的中点.(1)证明:;(2)设点是线段上的动点,当直线与直线所成的角最小时,求三棱锥的体积.19.(12分)已知,.(1)解不等式;(2)若方程有三个解,求实数的取值范围.20.(12分)已知椭圆,上、下顶点分别是、,上、下焦点分别是、,焦距为,点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)若为椭圆上异于、的动点,过作与轴平行的直线,直线与交于点,直线与直线交于点,判断是否为定值,说明理由.21.(12分)棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标,某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花,为了评价该品种的棉花质量,在棉花成熟后,分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取21根棉花纤维进行统计,结果如下表:(记纤维长度不低于311的为“长纤维”,其余为“短纤维”)纤维长度甲地(根数)34454乙地(根数)112116(1)由以上统计数据,填写下面列联表,并判断能否在犯错误概率不超过1.125的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.甲地乙地总计长纤维短纤维总计附:(1);(2)临界值表;1.111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828(2)现从上述41根纤维中,按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测,在这8根纤维中,记乙地“短纤维”的根数为,求的分布列及数学期望.22.(10分)本小题满分14分)已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数),求直线被曲线截得的线段的长度

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】

整理复数为的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.【详解】由题,,因为纯虚数,所以,则,故选:D本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.2.B【解析】根据题意,确定函数的性质,再判断哪一个图像具有这些性质.由得是偶函数,所以函数的图象关于轴对称,可知B,D符合;由得是周期为2的周期函数,选项D的图像的最小正周期是4,不符合,选项B的图像的最小正周期是2,符合,故选B.3.A【解析】

先求出集合,化简=,令,得由二次函数的性质即可得值域.【详解】由,得,,令,,,所以得,在上递增,在上递减,,所以,即的值域为故选A本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法,换元法要注意新变量的范围,属于中档题4.C【解析】

根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.【详解】对于,若,则可能为平行或异面直线,错误;对于,若,则可能为平行、相交或异面直线,错误;对于,若,且,由面面垂直的判定定理可知,正确;对于,若,只有当垂直于的交线时才有,错误.故选:.本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析,关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.5.B【解析】

解对数不等式可得集合A,由交集运算即可求解.【详解】集合解得由集合交集运算可得,故选:B.本题考查了集合交集的简单运算,对数不等式解法,属于基础题.6.C【解析】

先根据是奇函数,排除A,B,再取特殊值验证求解.【详解】因为,所以是奇函数,故排除A,B,又,故选:C本题主要考查函数的图象,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.7.C【解析】

由余弦函数的单调性找出的等价条件为,再利用大角对大边,结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.【详解】余弦函数在区间上单调递减,且,,由,可得,,由正弦定理可得.因此,“”是“”的充分必要条件.故选:C.本题考查充分必要条件的判定,同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用,考查推理能力,属于中等题.8.B【解析】

根据题意,求得函数周期,利用周期性和函数值,即可求得.【详解】由已知可知,,所以函数是一个以4为周期的周期函数,所以,解得,故选:B.本题考查函数周期的求解,涉及对数运算,属综合基础题.9.B【解析】

根据渐近线方程求得,再利用双曲线定义即可求得.【详解】由于,所以,又且,故选:B.本题考查由渐近线方程求双曲线方程,涉及双曲线的定义,属基础题.10.D【解析】

A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交,则交线与平面ABC平行;B项利用线面垂直的判定定理;C项三棱锥与三棱锥体积相等,三棱锥的底面积是定值,高也是定值,则体积是定值;D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.【详解】A项,用平行于平面ABC的平面截平面MND,则交线平行于平面ABC,故正确;B项,如图:当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面,故正确;C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确;D项,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误.故选D本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力,意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用,是中档题.11.C【解析】

先确定解析式求出的函数值,然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的,通过计算即可得到答案.【详解】当时,,所以,故当时,,所以,而,所以,又当时,的极大值为1,所以当时,的极大值为,设方程的最小实根为,,则,即,此时令,得,所以最小实根为411.故选:C.本题考查函数与方程的根的最小值问题,涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识,本题有一定的难度及高度,是一道有较好区分度的压轴选这题.12.A【解析】

先求出,由正弦定理求得,然后由面积公式计算.【详解】由题意,.由得,.故选:A.本题考查求三角形面积,考查正弦定理,同角间的三角函数关系,两角和的正弦公式与诱导公式,解题时要根据已知求值要求确定解题思路,确定选用公式顺序,以便正确快速求解.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

根据二项展开式定理,求出含的系数和含的系数,相乘即可.【详解】的展开式中,所求项为:,的系数为.

故答案为:.本题考查二项展开式定理的应用,属于基础题.14.①②③【解析】

根据偶函数的图象关于轴对称,利用已知中的条件作出偶函数的图象,利用图象对各个选项进行判断即可.【详解】解:当时又因为为偶函数可画出的图象,如下所示:可知当时有5个不同的零点;故①正确;若,函数的零点不超过4个,即,与的交点不超过4个,时恒成立又当时,在上恒成立在上恒成立由于偶函数的图象,如下所示:直线与图象的公共点不超过个,则,故②正确;对,偶函数的图象,如下所示:,使得直线与恰有4个不同的交点点,且相邻点之间的距离相等,故③正确.故答案为:①②③本题考查函数方程思想,数形结合思想,属于难题.15.或1【解析】

利用导数的几何意义,可得切线的斜率,以及切线方程,求得切线与轴和的交点,由三角形的面积公式可得所求值.【详解】的导数为,可得切线的斜率为3,切线方程为,可得,可得切线与轴的交点为,,切线与的交点为,可得,解得或。本题主要考查利用导数求切线方程,以及直线方程的运用,三角形的面积求法。16.-6【解析】

由可求,然后根据向量数量积的坐标表示可求.【详解】∵=(1,2),=(-3,1),∴=(-4,-1),则=1×(-4)+2×(-1)=-6故答案为-6本题主要考查了向量数量积的坐标表示,属于基础试题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)证明见解析【解析】

(1),①当时,,②两式相减即得数列的通项公式;(2)先求出,再利用裂项相消法求和证明.【详解】(1)解:,①当时,.当时,,②由①-②,得,因为符合上式,所以.(2)证明:因为,所以.本题主要考查数列通项的求法,考查数列求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.(1)见解析;(2).【解析】

(1)要证明,只需证明平面即可;(2)以C为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,利用向量法求,并求其最大值从而确定出使问题得到解决.【详解】(1)连结AC、AE,由已知,四边形ABCE为正方形,则①,因为底面,则②,由①②知平面,所以.(2)以C为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以,,,设,,则,所以,设,则,所以当,即时,取最大值,从而取最小值,即直线与直线所成的角最小,此时,则,因为,,则平面,从而M到平面的距离,所以.本题考查线面垂直证线线垂直、异面直线直线所成角计算、换元法求函数最值以及等体积法求三棱锥的体积,考查的内容较多,计算量较大,解决此类问题最关键是准确写出点的坐标,是一道中档题.19.(1);(2).【解析】

(1)对分三种情况讨论,分别去掉绝对值符号,然后求解不等式组,再求并集即可得结果;(2).作出函数的图象,当直线与函数的图象有三个公共点时,方程有三个解,由图可得结果.【详解】(1)不等式,即为.当时,即化为,得,此时不等式的解集为,当时,即化为,解得,此时不等式的解集为.综上,不等式的解集为.(2)即.作出函数的图象如图所示,当直线与函数的图象有三个公共点时,方程有三个解,所以.所以实数的取值范围是.绝对值不等式的解法:法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.20.(1);(2),理由见解析.【解析】

(1)求出椭圆的上、下焦点坐标,利用椭圆的定义求得的值,进而可求得的值,由此可得出椭圆的方程;(2)设点的坐标为,求出直线的方程,求出点的坐标,由此计算出直线和的斜率,可计算出的值,进而可求得的值,即可得出结论.【详解】(1)由题意可知,椭圆的上焦点为、,由椭圆的定义可得,可得,,因此,所求椭圆的方程为;(2)设点的坐标为,则,得,直线的斜率为,所以,直线的方程为,联立,解得,即点,直线的斜率为,直线的斜率为,所以,,,因此,.本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了椭圆中定值问题的求解,考查计算能力,属于中等题.21.(1)在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.(2)见解析【解析】试题分析:(1)可以根据所给表格填出列联表,利用列联表求出,结合所给数据,应用独立性检验知识可作出判断;(2)写出的所有可能取值,并求出对应的概率,可列出分布列并进一步求出的数学期望.试题解析:(Ⅰ)根据已知数据得到如下列联

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