2025版高考数学二轮复习第二部分专题四概率与统计第2讲概率与统计练习文含解析

PAGE1-第2讲概率与统计A级基础通关一、选择题1．(2024·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7解析：依题意P＝1－(0.15＋0.45)＝0.4.答案：B2．在长为16cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP的长为邻边的长作一矩形，则该矩形的面积大于60cm2的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,3) D.eq\f(3,4)解析：设MP＝xcm，则NP＝(16－x)cm，0<x<16，由x(16－x)>60，得6<x<10.所以所求概率为P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).答案：A3．(2024·全国卷Ⅱ)生物试验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,5) C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机抽出3只的全部可能状况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的状况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).答案：B4．博览会支配了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机依次前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若其次辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：干脆乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则()A．P1·P2＝eq\f(1,4) B．P1＝P2＝eq\f(1,3)C．P1＋P2＝eq\f(5,6) D．P1<P2解析：三辆车的出车依次可能为：123、132、213、231、312、321，共6种．方案一坐到“3号”车的可能：132、213、231，所以P1＝eq\f(3,6)；方案二坐到“3号”车的可能：312、321，所以P2＝eq\f(2,6)；所以P1＋P2＝eq\f(5,6).答案：C5．(2024·广东广州综合测试)刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”、所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限靠近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内投放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内(a，b∈N*，b<a)，则圆周率的近似值为()A.eq\f(b,a) B.eq\f(a,b) C.eq\f(3a,b) D.eq\f(3b,a)解析：由题意可得eq\f(S正十二边形,S圆)＝eq\f(b,a)，易求S正十二边形＝12×eq\f(1,2)×2×2×sin30°＝12，S圆＝4π，所以eq\f(12,4π)＝eq\f(b,a)，即π＝eq\f(3a,b).答案：C二、填空题6．(2024·长郡中学模拟)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采纳随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．解析：三次投篮恰有两次命中的事务有：191，271，932，812，393，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率P＝eq\f(5,20)＝0.25.答案：0.257．(2024·安徽合肥一模)部分与整体以某种相像的方程呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．详细操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图．现在图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为________．解析：设题图(3)中一个小阴影三角形的面积为S，则整个三角形的面积为16S，阴影部分的面积为9S，由几何概型，在题图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为eq\f(9,16).答案：eq\f(9,16)8．(2024·江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参与志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．解析：法1：设3名男同学分别为A，B，C，2名女同学分别为a，b.则全部等可能事务分别为(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本领件分别为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共7个．故所求事务的概率P＝eq\f(7,10).法2：同法1，得全部等可能事务共10个，选出的2名同学中没有女同学包含的基本领件分别为(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．故所求概率为1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).答案：eq\f(7,10)三、解答题9．(2024·北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类其次类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟变更投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变更．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变更，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率削减0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)?解：(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部，这部电影是获得好评的第四类电影”为事务A.电影公司共收集电影140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000(部)．第四类电影中获得好评的有200×0.25＝50(部)，故P(A)＝eq\f(50,2000)＝0.025.(2)设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事务B.没有获得好评的电影共有140×0.6＋50×0.8＋300×0.85＋200×0.75＋800×0.8＋510×0.9＝1628(部)，故P(B)＝eq\f(1628,2000)＝0.814.(3)增加第五类电影的好评率，削减其次类电影的好评率．10．(2024·湖南郴州第三次质量检测)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类学问的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分(满分：100分)数据，统计结果如下表所示．组别[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]男235151812女051010713(1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成下面的2×2列联表，并推断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是不是“环保关注者”与性别有关；分类非“环保关注者”是“环保关注者”总计男女总计(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．现在从本次调查的“环保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保学问问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率．附表及公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d，P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)2×2列联表如下：分类非“环保关注者”是“环保关注者”合计男104555女153045合计2575100将2×2列联表中的数据代入公式计算得K2＝eq\f(100×（30×10－45×15）2,25×75×55×45)≈3.03<3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为是不是“环保关注者”与性别有关．(2)由题可知，利用分层抽样的方法抽得男“环保达人”3人，女“环保达人”2人．设3个男“环保达人”分别为A，B，C；2个女“环保达人”分别为D，E.从中抽取2人的全部状况为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种状况．既有男“环保达人”又有女“环保达人”的情形有(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)共6种．所以所求事务的概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).B级实力提升11．定义min(a，b)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≤b,b，a>b))，由集合{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}确定的区域记作Ω，由曲线C：y＝min{x，－2x＋3}和x轴围成的封闭区域记作M，向区域Ω内投掷12000个点，则落入区域M的点的个数为()A．4500 B．4000 C．3500 D．3000解：依题设(如图)，区域Ω确定的面积SΩ＝S矩形＝2×1＝2.又曲线C和x轴围成的封闭区域M的面积SM＝S△OAB＝eq\f(1,2)×1×eq\f(3,2)＝eq\f(3,4).所以落入区域M的概率为P＝eq\f(SM,SΩ)＝eq\f(\f(3,4),2)＝eq\f(3,8)，从而落入区域M的点的个数为12000×eq\f(3,8)＝4500.答案：A12．某书店为了了解销售单价(单位：元)在[8，20)内的图书销售状况，从2024年上半年已经销售的图书中随机抽取100本，获得的全部样本数据依据[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)，[18，20)分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．已知样本中销售单价在[14，16)内的图书数是销售单价在[18，20]内的图书数的2倍．(1)求出x与y，再依据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)用分层抽样的方法从销售单价在[8，20)内的图书中共抽取40本，分别求出单价在各组样本数据中的图书销售的数量；(3)从(2)中价格低于12元的书中任取2本，求这2本书价格都不低于10元的概率．解：(1)样本中图书的销售单价在[14，16]内的图书数是x×2×100＝200x，样本中图书的销售单价在[18，20]内的图书数是y×2×100＝200y，依据题意，有200x＝2×200y，即x＝2y，①依据频率分布直方图可知(0.1×2＋0.025＋x＋0.05＋y)×2＝1，②由①②得x＝0.15，y＝0.075.依据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数为9×0.025×2＋11×0.05×2＋13×0.1×2＋15×0.15×2＋17×0.1×2＋19×0.075×2＝0.45＋1.1＋2.6＋4.5＋3.4＋2.85＝14.9(元)．(2)因为销售单价在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)，[18，20)的图书的分层抽样比为1∶2∶4∶6∶4∶3，故在抽取的40本图书中，销售单价在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)，[18，20)内的图书分别为40×eq\f(1,20)＝2(本)，40×eq\f(2,20)＝4(本)，40×eq\f(4,20)＝8(本)，40×eq\f(6,20)＝12(本)，40×eq\f(4,20)＝8(本)，40×eq\f(3,20)＝6(本)．(3)这40本书中价格低于12元的共有6本，其