2025版高考数学大二轮复习命题三创新性-立足求变变中出新学案文

PAGE1-三、创新性——立足求变变中出新迁移与交汇开放与探究新立意与常规求解高考数学试题的创新性是数学试题具有较高生命力和价值的体现，每年的高考试题的特点都呈现稳中求新，具有开放性、新奇性、敏捷性等特点，“年年考题都相像，考题年年有创新”，解决创新性问题注意以下三点：(1)学问的迁移与交汇，将学问的迁移与交汇有机结合．(2)做好“翻译”工作，将创新点“翻译”为数学基础学问．(3)将开放性、探究性问题转化为常规性问题．创新性命题目标真题回顾素养清单迁移与交汇(函数)创新点：函数的奇偶性与导数、切线交汇函数的奇偶性与导数的几何意义，函数方程思想，转化化归思想及运算求解实力1.[2024·全国卷Ⅰ]设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x解析：解法一因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.解法二因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.答案：D[数学建模][数学运算][逻辑推理]创新点：二倍角公式、导数与最值问题交汇或柯西不等式做敏捷运用二倍角公式与三角函数的最值，导数及其应用，转化化归思想，函数方程思想与运算求解实力2.[2024·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．解析：解法一因为f(x)＝2sinx＋sin2x，所以f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝4cos2x＋2cosx－2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(1,2)))(cosx＋1)，由f′(x)≥0得eq\f(1,2)≤cosx≤1，即2kπ－eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，由f′(x)≤0得－1≤cosx≤eq\f(1,2)，即2kπ＋π≥x≥2kπ＋eq\f(π,3)或2kπ－π≤x≤2kπ－eq\f(π,3)，k∈Z，所以当x＝2kπ－eq\f(π,3)(k∈Z)时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)))＝－eq\f(3\r(3),2).解法二：因为f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)＝4sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)·2cos2eq\f(x,2)＝8sineq\f(x,2)cos3eq\f(x,2)＝eq\f(8,\r(3))eq\r(3sin2\f(x,2)cos6\f(x,2))，所以[f(x)]2＝eq\f(64,3)×3sin2eq\f(x,2)cos6eq\f(x,2)≤eq\f(64,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3sin2\f(x,2)＋cos2\f(x,2)＋cos2\f(x,2)＋cos2\f(x,2),4)))4＝eq\f(27,4)，当且仅当3sin2eq\f(x,2)＝cos2eq\f(x,2)，即sin2eq\f(x,2)＝eq\f(1,4)时取等号，所以0≤[f(x)]2≤eq\f(27,4)，所以－eq\f(3\r(3),2)≤f(x)≤eq\f(3\r(3),2)，所以f(x)的最小值为－eq\f(3\r(3),2).答案：－eq\f(3\r(3),2)[数学建模][数学运算][逻辑推理]开放与探究(立体几何)创新点：由静变动、由特别到一般、由平面到空间，由形到数的迁移的开放线面角与平面图形的推断与面积，转化化归和数形结合实力，空间想象与运算求解实力3.[2024·全国卷Ⅰ]已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(3\r(2),4)D.eq\f(\r(3),2)解析：如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD­A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面如图所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)sin60°＝eq\f(3\r(3),4).故选A.答案：A[数学建模][数学抽象][数学运算]创新点：再现了学生到工厂劳动实践的场景，引导学生关注劳动长方体及棱锥的体积公式4.[2024·全国卷Ⅲ]学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3解析：由题易得长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为6×6×4＝144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即eq\f(1,2)×6×4＝12(cm2)，所以V四棱锥O－EFGH＝eq\f(1,3)×3×12＝12(cm3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.8[数学建模][数学抽象][数学运算][数据分析]

高考小题集训(三)1．[2024·河北九校其次次联考]已知集合M＝{x|x<2}，N＝{x|x2－x<0}，则下列选项正确的是()A．M∪N＝RB．M∪∁RN＝RC．N∪∁RM＝RD．M∩N＝M解析：因为N＝{x|x2－x<0}＝{x|0<x<1}，所以∁RN＝{x|x≤0或x≥1}，所以M∪∁RN＝R.故选B.答案：B2．[2024·广东汕头金山中学期中]设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，若z1＝eq\f(1＋3i,1－i)，则z1＋z2等于()A．4iB．－4iC．2D．－2解析：z1＝eq\f(1＋3i,1－i)＝eq\f(1＋3i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(－2＋4i,2)＝－1＋2i，∵复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，∴z2＝－1－2i，则z1＋z2＝－2，故选D.答案：D3．[2024·黑龙江大庆模拟]若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±eq\r(2)，所以函数的定义域可以是{0，eq\r(2)}，{0，－eq\r(2)}，{0，eq\r(2)，－eq\r(2)}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．故选C.答案：C4．[2024·广东佛山一中期中]已知命题p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∧綈qC．綈p∧qD．綈p∧綈q解析：∃x0＝0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0＋1≥0，故命题p为真命题；当a＝1，b＝－2时，a2<b2成立，但a<b不成立，故命题q为假命题．所以命题p∧q，綈p∧q，綈p∧綈q均为假命题，命题p∧綈q为真命题．故选B.答案：B5．[2024·五省六校(K12联盟)联考]某中学有中学生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采纳分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中中学生有24人，那么n＝()A．12B．18C．24D．36解析：由分层抽样知eq\f(n,960＋480)＝eq\f(24,960)，解得n＝36，故选D.答案：D6．[2024·河北保定摸底]已知数列{an}的通项公式为an＝nsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)π))＋1，前n项和为Sn，则S2017＝()A．1232B．3019C．3025D．4321解析：∵an＝nsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)π))＋1，∴a1＝1×0＋1，a2＝2×(－1)＋1，a3＝3×0＋1，a4＝4×1＋1，…，a2017＝2017×0＋1，∴S2017＝2017×1＋(－2＋4－6＋8＋…＋2016)＝2017＋504×2＝3025.故选C.答案：C7．[2024·浙江杭州一中月考]若α是第四象限角，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝－eq\f(5,12)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝()A.eq\f(1,5)B．±eq\f(5,13)C.eq\f(5,13)D．－eq\f(5,13)解析：∵α是第四象限角，∴2kπ－eq\f(π,2)<α<2kπ(k∈Z)，∴2kπ－eq\f(π,6)<eq\f(π,3)＋α<2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝－eq\f(5,12)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))为第四象限角，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(5,13)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(5,13)，故选D.答案：D8．[2024·北京八十中学月考]不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－2y≤4))的解集记为D，若∀(x，y)∈D，则()A．x＋2y≥－2B．x＋2y≥2C．x－2y≥－2D．x－2y≥2解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．设z＝x＋2y，作直线l0：x＋2y＝0，易知z的最小值为0，无最大值．所以依据题意知，∀(x，y)∈D，x＋2y≥0恒成立，故x＋2y≥－2恒成立．故选A.答案：A9．[2024·湖南五市十校联考]已知E，F分别是三棱锥P－ABC的棱AP，BC的中点，AB＝6，PC＝6，EF＝3eq\r(3)，则异面直线AB与PC所成的角为()A．120°B．45°C．30°D．60°解析：设AC的中点为G，连接GF，EG，∵E，F分别是三棱锥P－ABC的棱AP，BC的中点，PC＝6，AB＝6，∴EG∥PC，GF∥AB，EG＝3，GF＝3.∴∠EGF为异面直线AB与PC所成的角(或其补角)．在△EFG中，EF＝3eq\r(3)，∴cos∠EGF＝eq\f(9＋9－27,2×3×3)＝－eq\f(1,2)，∴∠EGF＝120°，∴异面直线AB与PC所成的角均为60°.答案：D10．[2024·北京昌平区期末]《九章算术》是我国古代的数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示，一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有()A．21斛B．34斛C．55斛D．63斛解析：设圆锥的底面eq\f(1,4)圆的半径为r，则eq\f(π,2)r＝8，解得r＝eq\f(16,π)，故米堆的体积为eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,π)))2×5＝eq\f(320,3π)(立方尺)．∵1斛米的体积约为1.62立方尺，∴eq\f(320,3π)÷1.62≈21(斛)，故选A.答案：A11．[2024·山西太原期末]平面对量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，若|a|＝|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝()A．1B．2C.eq\r(5)D．5解析：∵a，b，c不共线且两两所成的角相等，∴a，b，c两两所成的角均为120°，又|a|＝|b|＝2，|c|＝1，∴a·b＝－2，b·c＝a·c＝－1，∴|a＋b＋c|2＝4＋4＋1－4－2－2＝1.∴|a＋b＋c|＝1.故选A.优解一设a＋b＝d，∵a，b，c不共线且两两所成的角相等，∴a，b，c两两所成的角均为120°，∴d＝λc(λ<0)．又|a|＝|b|＝2，∴|d|＝2，又|c|＝1，∴d＝－2c∴|a＋b＋c|＝|－c|＝1.故选A.优解二如图，建立平面直角坐标系，∵a，b，c不共线且两两所成的角相等，∴a，b，c两两所成的角均为120°.又|a|＝|b|＝2，|c|＝1，∴a＝(－1，eq\r(3))，b＝(－1，－eq\r(3))，c＝(1,0)，∴a＋b＋c＝(－1,0)，∴|a＋b＋c|＝1.故选A.答案：A12．[2024·全国卷Ⅱ]设函数f(x)的定义域为R，满意f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对随意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq\f(8,9)，则m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,4)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,3)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,2)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(8,3)))解析：本题主要考查函数的解析式、函数的图象、不等式恒成立问题，意在考查考生的逻辑思维实力、等价转化实力、运算求解实力，考查分类探讨思想、数形结合思想，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算．当－1<x≤0时，0<x＋1≤1，则f(x)＝eq\f(1,2)f(x＋1)＝eq\f(1,2)(x＋1)x；当1<x≤2时，0<x－1≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)；当2<x≤3时，0<x－2≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝22(x－2)(x－3)，……由此可得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(…,\f(1,2)x＋1x，－1<x≤0，,xx－1，0<x≤1，,2x－1x－2，1<x≤2，,22x－2x－3，2<x≤3，,…))由此作出函数f(x)的图象，如图所示．由图可知当2<x≤3时，令22(x－2)(x－3)＝－eq\f(8,9)，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝eq\f(7,3)或x＝eq\f(8,3)，将这两个值标注在图中．要使对随意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－eq\f(8,9)，必有m≤eq\f(7,3)，即实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,3)))，故选B.答案：B13．[2024·东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(一)]为了解天气转冷时期居民电量运用状况，某调查人员由下表统计数据计算出的回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－2.11x＋61.13，现表中一个数据被污损，则被污损的数据为________．(结果保留整数)气温x/℃181310－1用电量y/度2434·64解析：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(18＋13＋10－1,4)＝10，代入回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－2.11x＋61.13得eq\o(y,\s\up6(－))＝40.03，设污损的数据为a，则24＋34＋a＋64＝4×40.03，得a＝38.12≈38.答案：3814．[2024·山东夏津一中月考]过直线2x＋y－1＝0和直线x－2y＋2＝0的交点，且与直线3x＋y＋1＝0垂直的直线方程为________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－1＝0，,x－2y＋2＝0))得交点坐标为(0,1)．因为直线3x＋y＋1＝0的斜率为－3，所求直线与直线3x＋y