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文档简介
PAGE1-其次节古典概型[最新考纲]1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事务所包含的基本领件数及事务发生的概率.(对应学生用书第191页)1.古典概型具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型).(1)试验的全部可能结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;(2)每一个试验结果出现的可能性相同.2.古典概型的概率公式P(A)=eq\f(事务A包含的可能结果数,试验的全部可能结果数)=eq\f(m,n).eq\o([常用结论])确定基本领件个数的三种方法(1)列举法:此法适合基本领件较少的古典概型.(2)列表法(坐标法):此法适合多个元素中选定两个元素的试验.(3)树状图法:适合有依次的问题及较困难问题中基本领件个数的探求.一、思索辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)“在相宜条件下,种下一粒种子视察它是否发芽”属于古典概型,其基本领件是“发芽与不发芽”. ()(2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个事务是等可能事务. ()(3)某袋中装有大小匀称的三个红球、两个黑球、一个白球,那么每种颜色的球被摸到的可能性相同. ()(4)“从长为1的线段AB上任取一点C,求满意AC≤eq\f(1,3)的概率是多少”是古典概型. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1.从1,2,3,4,5中随机取出三个不同的数,则其和为偶数的基本领件个数为()A.4 B.5C.6 D.7C[任取三个数和为偶数共有:(1,2,3),(1,2,5),(1,3,4),(1,4,5),(2,3,5),(3,4,5)共6个,故选C.]2.袋中装有6个白球,5个黄球,4个红球,从中任取一球,则取到白球的概率为()A.eq\f(2,5) B.eq\f(4,15)C.eq\f(3,5) D.eq\f(2,3)A[从袋中任取一球,有15种取法,其中取到白球的取法有6种,则所求概率为P=eq\f(6,15)=eq\f(2,5).]3.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参与某项活动,则甲被选中的概率为________.eq\f(2,3)[从甲、乙、丙3人中随机选派2人参与某项活动,有甲乙,甲丙,乙丙三种可能,则甲被选中的概率为eq\f(2,3).]4.口袋里装有红球、白球、黑球各1个,这3个球除颜色外完全相同,有放回地连续抽取2次,每次从中随意取出1个球,则2次取出的球颜色不同的概率是________.eq\f(2,3)[由题意,知基本领件有(红,红),(红,白),(红,黑),(白,红),(白,白),(白,黑),(黑,红),(黑,白),(黑,黑),共9种,其中2次取出的球颜色相同有3种,所以2次取出的球颜色不同的概率为1-eq\f(3,9)=eq\f(2,3).](对应学生用书第191页)⊙考点1古典概型的概率计算求古典概型概率的步骤(1)推断本试验的结果是否为等可能事务,设出所求事务A;(2)分别求出基本领件的总数n与所求事务A中所包含的基本领件个数m;(3)利用公式P(A)=eq\f(m,n),求出事务A的概率.(1)(2024·全国卷Ⅱ)生物试验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)(2)(2024·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)(1)B(2)D[(1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1,a2,a3,未测量过这项指标的2只为b1,b2,则从5只兔子中随机取出3只的全部可能状况为(a1,a2,a3),(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a1,b1,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),(a2,b1,b2),(a3,b1,b2),共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的状况为(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),共6种可能.故恰有2只测量过该指标的概率为eq\f(6,10)=eq\f(3,5).故选B.(2)设两位男同学分别为A,B,两位女同学分别为a,b,则用“树形图”表示四位同学排成一列全部可能的结果如图所示.由图知,共有24种等可能的结果,其中两位女同学相邻的结果(画“√”的状况)共有12种,故所求概率为eq\f(12,24)=eq\f(1,2).故选D.](3)(2024·天津高考)2024年,我国施行个人所得税专项附加扣除方法,涉及子女教化、接着教化、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采纳分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受状况.①应从老、中、青员工中分别抽取多少人?②抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受状况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目ABCDEF子女教化○○×○×○接着教化××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○a.试用所给字母列举出全部可能的抽取结果;b.设M为事务“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事务M发生的概率.[解]①由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采纳分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人.②a.从已知的6人中随机抽取2人的全部可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.b.由表格知,符合题意的全部结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.所以,事务M发生的概率P(M)=eq\f(11,15).求古典概型概率的关键是列出全部可能的结果.[老师备选例题]某旅游爱好者安排从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.[解](1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本领件有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事务所包含的基本领件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,则所求事务的概率为P=eq\f(3,15)=eq\f(1,5).(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本领件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.包括A1但不包括B1的事务所包含的基本领件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个,则所求事务的概率为P=eq\f(2,9).1.(2024·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参与志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________.eq\f(7,10)[法一:设3名男同学分别为A,B,C,2名女同学分别为a,b,则全部等可能事务分别为AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共10个,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本领件分别为Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共7个,故所求概率为eq\f(7,10).法二:同方法一,得全部等可能事务共10个,选出的2名同学中没有女同学包含的基本领件分别为AB,AC,BC,共3个,故所求概率为1-eq\f(3,10)=eq\f(7,10).]2.(2024·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参与献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学担当敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出全部可能的抽取结果;②设M为事务“抽取的2名同学来自同一年级”,求事务M发生的概率.[解](1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学,所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的全部可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.②不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的全部可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.所以事务M发生的概率P(M)=eq\f(5,21).⊙考点2古典概型与其他学问的交汇问题求解古典概型的交汇问题,关键是把相关的学问转化为事务,然后利用古典概型的有关学问解决,其解题流程为:古典概型与平面对量相结合从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a,从集合{1,2,3}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(2,1)共线的概率为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)A[由题意可知,向量m=(a,b)的全部可能结果有:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),共12个,∵向量m=(a,b)与向量n=(2,1)共线,∴a-2b=0,即a=2b,∴有(2,1),(4,2),共2个,故所求概率为eq\f(1,6).]解答本题的关键是依据向量m与n共线,得到a与b的关系,再从全部基本领件中找出满意条件的基本领件的个数.古典概型与解析几何相结合将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为________.eq\f(7,12)[依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共36种,其中满意直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点,即满意eq\f(2a,\r(a2+b2))≤eq\r(2),即a≤b,则当a=1时,b=1,2,3,4,5,6,共有6种,当a=2时,b=2,3,4,5,6,共5种,同理当a=3时,有4种,a=4时,有3种,a=5时,有2种,a=6时,有1种,故共6+5+4+3+2+1=21种,因此所求的概率等于eq\f(21,36)=eq\f(7,12).]解答本题的关键是依据直线与圆有公共点得到a≤b.再从全部基本领件中找出满意a≤b的基本领件的个数.古典概型与方程、不等式、函数相结合已知a=log0.55,b=log32,c=20.3,d=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up14(2),从这四个数中任取一个数m,使函数f(x)=eq\f(1,3)x3+mx2+x+2有极值点的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.1B[f′(x)=x2+2mx+1,由题意知Δ=4m2-4>0,解得m>1或m<-1,而a=log0.55<-2,0<b=log32<1,c=20.3>1,0<d=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up14(2)<1,满意条件的有两个,分别是a,c.因此所求的概率为P=eq\f(2,4)=eq\f(1,2),故选B.]解答本题的关键是依据函数f(x)有极值点得到m的取值范围,再依据m的取值范围确定满意条件的个数.1.已知a∈{-2,0,1,2,3},b∈{3,5},则函数f(x)=(a2-2)ex+b为减函数的概率是()A.eq\f(3,10) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)C[函数f(x)=(a2-2)ex+b为减函数,则a2-2<0,又a∈{-2,0,1,2,3},故只有a=0,a=1满意题意,又b∈{3,5},所以函数f(x)=(a2-2)ex+b为减函数的概率是eq\f(2×2,5×2)=eq\f(2,5).故选C.]2.设平面对量a=(m,1),b=(2,n),其中m,n∈{1,2,3,4},记“a⊥(a-b)”为事务A,则事务A发生的概率为()A.eq\f(1,8) B.eq
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