2024高考数学一轮复习第11章概率第2节古典概型教学案文北师大版

PAGE1-其次节古典概型[最新考纲]1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事务所包含的基本领件数及事务发生的概率．(对应学生用书第191页)1．古典概型具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．(1)试验的全部可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能性相同．2．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事务A包含的可能结果数,试验的全部可能结果数)＝eq\f(m,n).eq\o([常用结论])确定基本领件个数的三种方法(1)列举法：此法适合基本领件较少的古典概型．(2)列表法(坐标法)：此法适合多个元素中选定两个元素的试验．(3)树状图法：适合有依次的问题及较困难问题中基本领件个数的探求．一、思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“在相宜条件下，种下一粒种子视察它是否发芽”属于古典概型，其基本领件是“发芽与不发芽”． ()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事务是等可能事务． ()(3)某袋中装有大小匀称的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同． ()(4)“从长为1的线段AB上任取一点C，求满意AC≤eq\f(1,3)的概率是多少”是古典概型． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改编1．从1,2,3,4,5中随机取出三个不同的数，则其和为偶数的基本领件个数为()A．4 B．5C．6 D．7C[任取三个数和为偶数共有：(1,2,3)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,4,5)，(2,3,5)，(3,4,5)共6个，故选C.]2．袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为()A.eq\f(2,5) B.eq\f(4,15)C.eq\f(3,5) D.eq\f(2,3)A[从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).]3．现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参与某项活动，则甲被选中的概率为________．eq\f(2,3)[从甲、乙、丙3人中随机选派2人参与某项活动，有甲乙，甲丙，乙丙三种可能，则甲被选中的概率为eq\f(2,3).]4．口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2次，每次从中随意取出1个球，则2次取出的球颜色不同的概率是________．eq\f(2,3)[由题意，知基本领件有(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，红)，(白，白)，(白，黑)，(黑，红)，(黑，白)，(黑，黑)，共9种，其中2次取出的球颜色相同有3种，所以2次取出的球颜色不同的概率为1－eq\f(3,9)＝eq\f(2,3).](对应学生用书第191页)⊙考点1古典概型的概率计算求古典概型概率的步骤(1)推断本试验的结果是否为等可能事务，设出所求事务A；(2)分别求出基本领件的总数n与所求事务A中所包含的基本领件个数m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事务A的概率．(1)(2024·全国卷Ⅱ)生物试验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)(2)(2024·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)(1)B(2)D[(1)设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的全部可能状况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的状况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故选B.(2)设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列全部可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的状况)共有12种，故所求概率为eq\f(12,24)＝eq\f(1,2).故选D.](3)(2024·天津高考)2024年，我国施行个人所得税专项附加扣除方法，涉及子女教化、接着教化、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采纳分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受状况．①应从老、中、青员工中分别抽取多少人？②抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受状况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．员工项目ABCDEF子女教化○○×○×○接着教化××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○a.试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；b．设M为事务“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事务M发生的概率．[解]①由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采纳分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．②a.从已知的6人中随机抽取2人的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．b．由表格知，符合题意的全部结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以，事务M发生的概率P(M)＝eq\f(11,15).求古典概型概率的关键是列出全部可能的结果．[老师备选例题]某旅游爱好者安排从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．[解](1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本领件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事务所包含的基本领件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，则所求事务的概率为P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本领件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．包括A1但不包括B1的事务所包含的基本领件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事务的概率为P＝eq\f(2,9).1.(2024·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参与志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．eq\f(7,10)[法一：设3名男同学分别为A，B，C,2名女同学分别为a，b，则全部等可能事务分别为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本领件分别为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，故所求概率为eq\f(7,10).法二：同方法一，得全部等可能事务共10个，选出的2名同学中没有女同学包含的基本领件分别为AB，AC，BC，共3个，故所求概率为1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).]2．(2024·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参与献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学担当敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；②设M为事务“抽取的2名同学来自同一年级”，求事务M发生的概率．[解](1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以事务M发生的概率P(M)＝eq\f(5,21).⊙考点2古典概型与其他学问的交汇问题求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的学问转化为事务，然后利用古典概型的有关学问解决，其解题流程为：古典概型与平面对量相结合从集合{1,2,3,4}中随机抽取一个数a，从集合{1,2,3}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(2,1)共线的概率为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)A[由题意可知，向量m＝(a，b)的全部可能结果有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12个，∵向量m＝(a，b)与向量n＝(2,1)共线，∴a－2b＝0，即a＝2b，∴有(2,1)，(4,2)，共2个，故所求概率为eq\f(1,6).]解答本题的关键是依据向量m与n共线，得到a与b的关系，再从全部基本领件中找出满意条件的基本领件的个数．古典概型与解析几何相结合将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．eq\f(7,12)[依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满意直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满意eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，即a≤b，则当a＝1时，b＝1,2,3,4,5,6，共有6种，当a＝2时，b＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a＝3时，有4种，a＝4时，有3种，a＝5时，有2种，a＝6时，有1种，故共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).]解答本题的关键是依据直线与圆有公共点得到a≤b.再从全部基本领件中找出满意a≤b的基本领件的个数．古典概型与方程、不等式、函数相结合已知a＝log0.55，b＝log32，c＝20.3，d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up14(2)，从这四个数中任取一个数m，使函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋mx2＋x＋2有极值点的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D．1B[f′(x)＝x2＋2mx＋1，由题意知Δ＝4m2－4＞0，解得m＞1或m＜－1，而a＝log0.55＜－2,0＜b＝log32＜1，c＝20.3＞1，0＜d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up14(2)＜1，满意条件的有两个，分别是a，c.因此所求的概率为P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，故选B.]解答本题的关键是依据函数f(x)有极值点得到m的取值范围，再依据m的取值范围确定满意条件的个数．1.已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是()A.eq\f(3,10) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)C[函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数，则a2－2＜0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1满意题意，又b∈{3,5}，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是eq\f(2×2,5×2)＝eq\f(2,5).故选C.]2．设平面对量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，记“a⊥(a－b)”为事务A，则事务A发生的概率为()A.eq\f(1,8) B.eq