江苏省南通市海门区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 （原卷版+解析版）

2024~2025学年第一学期期末试卷九年级数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项：1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.如图所示的几何体的主视图是（）A. B. C. D.2.一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，掷一次小正方体，朝上一面数字为“5”的概率是（）A. B. C. D.3.已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（）A. B. C. D.4.若，且，，，则的长为（）A. B. C. D.5.在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为（）A.180m B.60m C.45m D.30m6.如图，中，弦、相交于，，，则（）A. B. C. D.7.著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是二次函数的图象，那么无论为何值，函数值恒为正的条件是（）A. B. C. D.8.从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是（）A. B. C. D.9.如图所示，的顶点都是正方形网格的格点，则的值为（）A. B. C. D.10.如图，直线交反比例函数的图象于点和点，交轴于点，，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若的面积为6，则的值为（）A.6 B.8 C.9 D.18二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11.将抛物线向下平移3个单位长度，得到新抛物线的解析式是________．12.如图，和位似，位似比为，位似中心是原点，点坐标是，则点的坐标为________．13.如图，草坪上的自动喷水装置能旋转220°，若它的喷射半径是20m，则它能喷灌的草坪的面积为___m2．14.气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部B的仰角为．着这栋楼底部的俯角为，若这栋楼的楼高，则热气球与该楼的水平距离为_________m（结果保留根号）．15.如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是____mm．16.在中，，，则的内切圆的半径为____．17.已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的值为________．18.如图，在平面直角坐标系中，点，点（为实数，且），则的最大值为___________．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.解方程：（1）；（2）．20.已知抛物线经过点，．（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出这条抛物线的对称轴和顶点坐标．21.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=.解这个直角三角形.22.如图，一次函数图象与反比例函数的图象相交于和两点．（1）求的值；（2）点为反比例函数图象上位于第四象限内一点，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，若的面积为4，求点的坐标．23.如图，在中，，点在边上，以为圆心，为半径作，交于点，与边相切于点，连接．（1）求证：平分；（2）若，，求半径．24.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落在距离池中心处（包含和）．（1）选择适当的点为原点，画出平面直角坐标系．（2）求水管长度的取值范围．25.如图，正方形边长为4，是边的中点，点在射线上，过点作于点，垂足为，连接．（1）求证：；（2）设，是否存在实数，使得与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．26.【动手操作】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，完成以下作图步骤：①连接，作的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为；②在轴上多次改变点的位置，用①的方法得到相应的点．线段与的数量关系为________，其理由为：________；问题探究】通过上述方法得到一系列的点，把这些点用平滑的曲线连接起来，记为曲线．对于曲线上的任意一点，试求出，满足的函数关系式；【拓展延伸】若点（为任意实数），点为曲线上任意一点，当的周长最小时，求点的坐标．

2024~2025学年第一学期期末试卷九年级数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项：1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.如图所示的几何体的主视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三视图，熟识三视图的特点是解题的关键；观察给出的图形可知，从正面看有两列，左边有2个正方形，右边有1个正方形．【详解】解：从正面看，该几何体的主视图为：故选：A．2.一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，掷一次小正方体，朝上一面数字为“5”的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查简单事件的概率计算，根据求概率公式求解即可．【详解】解：一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，∴掷一次小正方体，朝上一面数字为“5”的概率是．故选：D．3.已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．【详解】解：根据题意有：v•t＝s，∴，故t与v之间的函数图象为反比例函数图象，且根据实际意义v＞0、t＞0，∴其图像第一象限，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．4.若，且，，，则的长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．根据相似三角形的性质得到，代入数值计算即可．【详解】解：，，，，，，，故选：D．5.在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为（）A.180m B.60m C.45m D.30m【答案】C【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．【详解】解：设这栋楼的高度为，∵在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，∴，解得：．故选：C．6.如图，中，弦、相交于，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等及三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆周角相等可知，即可利用外角性质求出．【详解】解：∵，∴，又∵，，∴．故选：C．7.著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是二次函数的图象，那么无论为何值，函数值恒为正的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象在x轴上方，可得抛物线开口向上，与x轴无交点，即可判断．【详解】解：二次函数的图象在x轴上方，抛物线开口向上，与x轴无交点，即，，解得，故选：C．8.从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的应用．先将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数性质即可求解．【详解】解：，∵，，∴当时，有最大值，最大值为45，∴小球运动中的最大高度是．故选：C．9.如图所示，的顶点都是正方形网格的格点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查勾股定理及三角函数，熟练掌握勾股定理及正弦的定义是解题的关键；如图，，则有，然后根据正弦的定义可进行求解．【详解】解：如图，∴，∴，∴，∴．故选：A10.如图，直线交反比例函数的图象于点和点，交轴于点，，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若的面积为6，则的值为（）A.6 B.8 C.9 D.18【答案】D【解析】【分析】本题为反比例函数综合题，考查了三角形相似、用字母表示坐标等基本数学知识，利用了数形结合的数学思想．证明，得到，即，求出点，则点，由即可求解．【详解】解：过点B分别作于点M，于点N，设点，，则，则，则，即，∴，则，则，则点，则点，设直线的表达式为：，由点B、D的坐标得，，解得，∴直线的表达式为：，令，则，∴点；设直线的表达式为：，由点A、B的坐标得，，解得，∴直线的表达式为：，令，则，解得：，∴点，则，∵，则，故选：D．二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11.将抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了抛物线的平移规律．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是：，故答案为：．12.如图，和位似，位似比为，位似中心是原点，点坐标是，则点的坐标为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出对应点坐标．【详解】解：∵和位似，位似中心是原点O，和的相似比为，B点坐标是，∴点D的坐标为：即．故答案为：．13.如图，草坪上的自动喷水装置能旋转220°，若它的喷射半径是20m，则它能喷灌的草坪的面积为___m2．【答案】【解析】【分析】根据题意可得它能喷灌的草坪是扇形，半径为20m，圆心角为220°，再根据扇形面积公式，即可求解．【详解】解：∵草坪上的自动喷水装置能旋转220°，它的喷射半径是20m，∴它能喷灌的草坪是扇形，半径为20m，圆心角为220°，∴它能喷灌的草坪的面积为：=m2．故答案为：【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．14.气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部B的仰角为．着这栋楼底部的俯角为，若这栋楼的楼高，则热气球与该楼的水平距离为_________m（结果保留根号）．【答案】【解析】【分析】过作于点，设，则，在和中分别表示出，则可解出的值，继而得出答案．【详解】解：过作于点，设，则，在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴解得：，∴（m），则热气球与该楼的水平距离为m．故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，注意掌握仰角、俯角的定义．解答本题的关键是通过作辅助线构造直角三角形．15.如图，ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是____mm．【答案】48【解析】【详解】试题分析：设该正方形边长是a，则符合题意得式子=考点：比例分析点评：本题主要考查了图形的线段比例的分析，通过比例的大小从而列比例式求解16.在中，，，则的内切圆的半径为____．【答案】1【解析】【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径，勾股定理求出的长，设内切圆的半径为，根据切线长定理，得到，进行求解即可．【详解】解：∵，，∴，设的内切圆与三边的切点分别为，内切圆的半径为，如图，则：四边形为正方形，，，∴，∴，∴；故答案为：1．17.已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的值为________．【答案】【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式，从而可得抛物线开口方向及顶点坐标，将代入函数解析式求出的值，进而求解．解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．【详解】解：，抛物线开口向上，顶点坐标为，将代入得，解得，，，当时，，故答案为：．18.如图，在平面直角坐标系中，点，点（为实数，且），则的最大值为___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了两点间的距离公式，二次根式的除法法则，一元二次方程根的判别式，图象法解一元二次不等式等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．先根据两点间距离公式求出，，然后求出，令，整理得，当时，原方程为，解得：，符合题意；当时，方程为一元二次方程，且有实数根，所以，即，解得，所以的最大值为，即可求解．【详解】解：点，点（为实数，且），，，，令，则，整理得，当时，原方程为，解得：，符合题意；当时，方程为一元二次方程，且有实数根，，整理得，即，，的最大值为，，故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．（1）利用因式分解法解答即可；（2）运用配方法解答即可．【小问1详解】解：，，，或，，；【小问2详解】解：，，，，．20.已知抛物线经过点，．（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出这条抛物线的对称轴和顶点坐标．【答案】（1）（2）抛物线的对称轴为直线；抛物线的顶点坐标为【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）将点，代入，求出，即可得到二次函数的解析式；（2）将二次函数配成顶点式，求出对称轴和顶点坐标．【小问1详解】解：将点，代入，得：，，；小问2详解】解：，这条抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．21.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=.解这个直角三角形.【答案】，，.【解析】【分析】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理，可以求得AB的长，根据锐角三角函数可以求得∠A的度数，进而求得∠B的度数，本题得以解决．【详解】∵，，，∴，.∴，.∴.答：，，.【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和数形结合的思想解答．22.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点．（1）求的值；（2）点为反比例函数图象上位于第四象限内一点，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，若的面积为4，求点的坐标．【答案】（1）（2）或或【解析】【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．（1）先把点A代入一次函数解析式，求出m的值，得出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式求出k的值即可；（2）设设点的横坐标为，则，，根据的面积可求出，解关于a的方程即可．【小问1详解】解：一次函数的图象过点，，点，反比例函数的图象经过点，；【小问2详解】解：设点的横坐标为，则，∴的面积为4．当时解得，当时解得，（不合题意，舍去）综上所述点或或23.如图，在中，，点在边上，以为圆心，为半径作，交于点，与边相切于点，连接．（1）求证：平分；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（）连接，由切线的性质推导出，因为，所以，则，所以，又，所以，则，从而求证；（）过点作，垂足为，则四边形四边形是矩形，则，设的半径为，则，然后由垂径定理和勾股定理即可求解．【小问1详解】解：如图，连接，∵是的切线，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分；【小问2详解】解：如图，过点作，垂足为，，∴四边形是矩形，∴，设的半径为，则，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，即的半径为．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行线的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，垂径定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．24.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落在距离池中心处（包含和）．（1）选择适当的点为原点，画出平面直角坐标系．（2）求水管长度的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，待定系数法求二次函数解析式，解题关键是利用顶点式求出解析式．（1）以喷水池中心为坐标原点，以水管所在直线为y轴，以垂直水管水平直线为x轴建立平面直角坐标系；（2）设抛物线的解析式为，将顶点坐标为代入得，分别将，代入求得a值，再令时得的y值即为水管的长，然后求出d的取值范围．【小问1详解】解：以喷水池中心为坐标原点，以水管所在直线为y轴，以垂直水管的水平直线为x轴建立平面直角坐标系，如图：【小问2详解】解：设抛物线的解析式为，由题意可知抛物线的顶点坐标为，所以抛物线解析式为，当水柱落地点为时，，抛物线的解析式为：，当时，；当水柱落地点为时，，抛物线的解析式为：，当时，；的取值范围是：．25.如图，正方形的边长为4，是边的中点，点在射线上，过点作于点，垂足为，连接．（1）求证：；（2）设，是否存在实数，使得与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）存在实数，使得与相似，或5【解析】【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；（1）由题意易得，则有，然后问题可求