甘肃省张掖市某校2024-2025学年高三下学期第三次检测数学试卷（原卷版+解析版）

数学（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，若，则（）A. B.C. D.2.若，则（）A. B. C. D.3.已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，且，，则D.，，三个平面最多可将空间分割成个部分4.在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（）A.8 B.12 C.16 D.205.在平行四边形中，分别在边上，，相交于点，则（）A. B.C. D.6.已知是方程的两个根，则（）A. B. C. D.7.直线与曲线交点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.58.如图，B地在A地正东方向处，C地在B地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远．现要在曲线上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用分别是a万元/、万元/，那么修建这两条公路的总费用最低是（）A.万元 B.万元 C.万元 D.万元二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在棱长为3正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.正方体的外接球表面积为；B.直线与所成角的取值范围；C.直线平面；D.三棱锥的体积随着点的运动而不变.10.已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A.若，则是等差数列 B.若，则是等比数列C.若是等差数列，则 D.若是等比数列，且，则11.已知定义在上的函数满足：对，，且，函数为偶函数，则（）A. B.C.为偶函数 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___________．13.设.若是函数的极大值点，则________.14.已知数列满足，，记事件“”的概率为，其中，则______；当时，______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求A；（2）若，内切圆半径，求a.16.为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换.（1）两人进行一次交换后，求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率；（2）两人进行两次交换后，记为“小明手中玩偶的个数”，求随机变量的分布列和数学期望.17.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面是菱形，平面平面，，分别是棱，的中点，是棱上一点，且．（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为1，且二面角的余弦值为，求的值．18.已知抛物线：，在上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为（1）若A到抛物线准线的距离为3，求a的值；（2）当时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线上，求O到直线AB的距离；（3）直线l：，抛物线上有一异于点A的动点P，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为若在P的位置变化过程中，恒成立，求a的取值范围．19.若变量满足：，且，其中且，则称是“型函数”.（1）已知是“2型函数”，求该函数在点处的切线方程；（2）已知是的“型函数”.（i）求的最小值；（ii）求证：.

数学（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，若，则（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】求得，结合，得到，根据集合并集的运算，即可求解.【详解】由集合，因为，可得，所以.故选：C.2.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件，利用复数的运算，得到，再利用复数的模长公式，即可求解.【详解】因为，得到，即，所以，得到，故选：D.3.已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，且，，则D.，，三个平面最多可将空间分割成个部分【答案】D【解析】【分析】对于A，结合条件可得直线，可能平行，相交，异面，判断A，对于B，由条件可得或，由此判断B，结合面面平行判定定理判断C，举例判断D.【详解】对于选项A，若，，则与可能相交、平行或异面，故选项A错误；对于选项B，若，，则或，故选项B错误；对于选项C，若，，且，，因为直线，未必相交，所以与不一定平行，故选项C错误；对于选项D，，，三个平面两两垂直时，可将空间分割成个部分，故选项D正确．故选：D.4.在研究变量与之间关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（）A.8 B.12 C.16 D.20【答案】C【解析】【分析】由题意，求出剔除后的平均数，进而求出剔除前的平均数，根据回归直线必过样本点中心得到，进而得到，将点代入，即可求解.【详解】设没剔除两对数据前的平均数分别为，，剔除两对数据后的平均数分别为，，因，所以，，则，所以，又因为，所以，解得故选：C.5.在平行四边形中，分别在边上，，相交于点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量基本定理及三点共线即可求解.【详解】由题意可得：，，设，则,又三点共线，所以，解得，所以，故选：A6.已知是方程的两个根，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用韦达定理和正切的两角差公式，先求出的值，再利用弦化切思想来求的值即可.【详解】因为是方程的两个根，即也是方程的两个根，所以，且可知，又由，则，再由两角差的正切公式可得：，因为，所以，即，则，故选：D.7.直线与曲线的交点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】由题意知要求交点即求函数的零点，等价于求的零点，等价于求和两函数交点，作出相关图形，利用数型结合从而可求解.【详解】由题意可得，所以其与直线的交点，等价于求的零点，等价于的零点，等价于求函数与函数的交点，易得函数为周期为2的函数，且时，，所以是函数的一个对称中心，对于，，所以关于点对称，且为增函数，为增函数，所以在，上单调递增，所以可以作出和图象如下图，由图可得其有2个交点，故A正确.故选：A.8.如图，B地在A地的正东方向处，C地在B地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远．现要在曲线上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用分别是a万元/、万元/，那么修建这两条公路的总费用最低是（）A.万元 B.万元 C.万元 D.万元【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出曲线PQ的方程，再结合两点间距离公式求解作答.【详解】以线段AB的中点O为原点，射线OB为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，如图，则，令点为曲线PQ上任意一点，则，因此曲线PQ是以点A，B为左右焦点，实轴长为2的双曲线右支，其方程为，显然点C在曲线PQ含焦点B的区域内，设，，有，修建这两条公路的总费用，当且仅当时取等号，由，且，解得，即时，所以修建这两条公路的总费用最低是万元.故选：B【点睛】思路点睛：圆锥曲线上的点与一定点和焦点距离和的问题，借助两点间距离公式及点在曲线上进行化简变形即可推理求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在棱长为3的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.正方体的外接球表面积为；B.直线与所成角的取值范围；C.直线平面；D.三棱锥的体积随着点的运动而不变.【答案】ACD【解析】【分析】求出正方体棱外接球半径求解判断A；由异面直线所成角的定义，特值判断B；利用面面平行的性质判断C；利用线面平行，结合等体积法判断D.【详解】对于A，棱长为3的正方体外接球半径为，此外接球的表面积为，A正确；对于B，在正方体中，连接，，由，得四边形是平行四边形，，则直线与所成的角等于直线与所成的角，当与或重合时，此角等于，B错误；对于C，由选项B知，，而平面，平面，则平面，同理平面，又，平面，因此平面平面，而平面，则平面，C正确；对于D，由平面，得到平面的距离不变，而的面积是定值，因此不变，D正确.故选：ACD10.已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A.若，则是等差数列 B.若，则是等比数列C.若是等差数列，则 D.若是等比数列，且，则【答案】BC【解析】【分析】对于选项A和B，利用与间的关系，求得，再根据等差数列，等比数列的定义，即可求解；选项C，利用等差数列的性质，即可求解；选项D，通过取特例，即可判断.【详解】对选项A，因为，当时，，两式作差可得，当时，；又，不满足上式，故，故数列不为等差数列，所以选项A错误；对选项B，因为，当时，，两式作差可得，当时，；又满足，故，得到为常数，故数列为等比数列，所以选项B正确；对选项C，因为是等差数列，故，所以选项C正确；对选项D，因为是等比数列，且，，不妨取，所以，故选项D错误.故选：BC.11.已知定义在上的函数满足：对，，且，函数为偶函数，则（）A. B.C.为偶函数 D.【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶性与周期，逐项分析可得结果【详解】定义在上的函数满足：对，，对于A，令，则，，A正确；对于C，令，则，于是，则，因此不是偶函数，C错误；对于B，由函数为偶函数，得，即，于是，即，，因此函数的周期为，，B正确；对于D，由，得，因此，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：涉及抽象函数等式求解问题，利用赋值法分析探讨函数的性质是关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】由题意，对椭圆方程进行变形，根据椭圆的焦点在轴上，列出不等式再进行求解即可．【详解】易知该椭圆方程为，因为该椭圆的焦点在轴上，所以，解得，则的取值范围为．故答案为：.13.设.若是函数的极大值点，则________.【答案】【解析】【分析】先对函数求导，再结合函数极大值点导数值为0建立关于a的关系式，最后结合极大值的定义，讨论最终a的取值.【详解】由题意得，，因为是函数的极大值点，所以有，解得或.又当时，，或，，故函数在和递增，在递减，此时是函数的极小值点，不符题意；而当时，，或，，故函数在和递增，在递减，此时是函数的极大值点.故答案为：.14.已知数列满足，，记事件“”的概率为，其中，则______；当时，______．【答案】①.##0.375②.【解析】【分析】根据概率的定义，利用列举法数列的前4项，求得，设，，由题得，若，则中必有个1，个，结合排列组合求概率.【详解】由题意，得，所以，则事件“”的概率为，即．对数列的前4项列举如下：0123012101010100010000则事件“”的概率为，即．设，则，所以．要使，则中必有个1，个，所以事件“”的概率为．【点睛】关键点点睛：第二空解决的关键是去掉绝对值，抽象出数列累加的模型找到等量关系是求解的关键．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求A；（2）若，内切圆半径，求a.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）先由正弦定理得，再应用两角和的正弦公式化简得出结合角的范围得解；（2）先应用内切圆半径表示面积，化简得，再由正弦定理结合余弦定理得解.【小问1详解】由正弦定理得因为，所以所以即，且，所以【小问2详解】又因为所以，即，所以①，由余弦定理得②，所以，所以，解得16.为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有2台不同的玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的2台玩具车和2个玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换.（1）两人进行一次交换后，求小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率；（2）两人进行两次交换后，记为“小明手中玩偶的个数”，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，期望为2【解析】【分析】（1）分两人交换的是玩具车和两人交换的是玩偶求解；（2）可取的值为0、1、2、3、4，分别求得其概率，列出分布列，再求期望.【小问1详解】解：若两人交换是玩具车，则概率为，若两人交换的是玩偶，则概率也为，故两人进行一次交换后，小明仍有2台玩具车和2个玩偶的概率为.【小问2详解】可取的值为0、1、2、3、4，一次交换后，小明有1个玩偶和3台玩具车的概率为，有3个玩偶和1台玩具车的概率也为，经过两次交换后，，，故随机变量的分布列为：01234.17.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面是菱形，平面平面，，分别是棱，的中点，是棱上一点，且．（1）证明：平面；（2）若三棱锥的体积为1，且二面角的余弦值为，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】【分析】（1）取中点，连接，，证明，原题即得证；（2）证明平面，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解．【小问1详解】证明：取中点，连接为的中点，为的中点，，，，，据此可得四边形为平行四边形，，平面，平面，平面．【小问2详解】解：平面平面过作平面，，为中点，，如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，由，设平面和平面的一个法向量分别为，则又，，设二面角的平面角为，，整理得：，解得或（舍）.18.已知抛物线：，在上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为（1）若A到抛物线准线的距离为3，求a的值；（2）当时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线上，求O到直线AB的距离；（3）直线l：，抛物线上有一异于点A的动点P，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为若在P的位置变化过程中，恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先求出点的横坐标，代入抛物线方程即可求解；（2）先通过中点在抛物线上求出点的坐标，进一步求出直线方程，利用点到直线距离公式求解即可；（3）设，表示出直线AP的方程，进一步表示出点Q的坐标，再根据恒成立，结合基本不等式即可得到a的范围．【小