安徽省阜阳市颍州区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题（原卷版+解析版）

2024-2025学年度第一学期期末考试九年级数学试题卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．下列图形中，属于中心对称图形的是（）A.笛卡尔心形线 B.赵爽弦图C.刘徽割圆术 D.中国七巧板2.用配方法解方程x2＋1=8x，变形后的结果正确的是()A.(x＋4)2=15 B.(x＋4)2=17 C.(x－4)2=15 D.(x－4)2=173.若，则的值为（）A. B. C. D.4.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例关系，已知400度近视眼镜镜片的焦距为，则y与x的函数关系式为（）A. B.C. D.5.将抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是（）A. B.C. D.6.如图，若是的直径，是的弦，，则度数为（）A. B. C. D.7.小明在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（）A.掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率 B.抛一枚硬币，出现反面的概率C.任意写一个正整数，它能被3整除的概率 D.从一副扑克牌中任抽一张牌，取到“大王”的概率8.如图，相交于点，点都在格点上，则的值为（）A. B. C. D.9.已知关于的反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的二次函数的图象不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.如图，在中，点P从点C出发，以速度沿折线C－A－B做匀速运动，到达点B时停止运动．点P出发一段时间后，点Q从点B出发，以相同的速度沿做匀速运动，到达点C时停止运动．已知当点P到达点B时，点Q恰好到达点C．设的面积为，点P的运动时间为，则能反映S与t之间的函数关系的图象是（）A B. C. D.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）11.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是______．12.半径为，圆心角为的扇形面积是________．13.如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则_____．14.在平面直角坐标系内，某函数的自变量取值范围，函数值的取值范围为，定义：若，称该函数为“纵型函数”．（1）函数_____（填“是”或“不是”）“纵型函数”；（2）已知关于的二次函数是“纵型函数”，则的取值范围是_____．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.解方程：．16.如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图：（1）以坐标原点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出，并写出点的对应点的坐标；（2）以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.已知关于x的一元二次方程有两个实数根．（1）求的取值范围；（2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值．18.如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点和点，交轴于点．（1）求反比例函数解析式及点B的坐标；（2）请结合图象直接写出不等式的解集．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，点，在线段上，是等边三角形，．（1）求证：；（2）若，，求的长度．20.如图，以点为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．六、（本题满分12分）21.【项目式学习】项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．项目素材：素材一：凸透镜成像规律：（）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（）表示像到凸透镜的距离，规律如下表物体到凸透镜距离u像到凸透镜距离v像的大小像的正倒缩小倒立等大倒立放大倒立与物同侧放大正立素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．项目任务：（1）任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①_________，②_________，③_________；（2）任务二：某实验小组取焦距为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距时，测量蜡烛的成像的高，①以为自变量，为因变量，写出与的关系式：；②当时，随的增大而（选填“增大”或“减小”）（提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）．七、（本题满分12分）22.手工制品在当今市场上越来越受欢迎．某大学生团队对成本为20元/个的某手工制品进行40天试营销，其销量（个）与销售的时间（天）满足一次函数关系，部分数据如下表：时间（天）1234．．．销量（个）49484746团队制定的销售单价（元）与销售的时间（天）关系如下：当时，，当时，．（1）直接写出关于的函数关系式；（2）求该团队第天获得的利润关于的函数关系式；（3）这40天中该团队第几天获得的利润最大？最大利润是多少？八、（本题满分14分）23.我们把由不平行于底边直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形即为“准等腰梯形”．其中．（1）在图1所示的“准等腰梯形”中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形分割成一个有两边相等的梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）．（2）如图2，在“准等腰梯形”中，，为边上一点，若，，求证：；（3）在（2）条件下，取中点，连接，交于点，连接，若，求的值．

2024-2025学年度第一学期期末考试九年级数学试题卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响．下列图形中，属于中心对称图形的是（）A.笛卡尔心形线 B.赵爽弦图C.刘徽割圆术 D.中国七巧板【答案】B【解析】【分析】本题考查中心对称图形的辨别，根据中心对称图形的定义：将图形沿一个点旋转得到新图形，如果新图形与原图形重合，那么该图形叫中心对称图形．据此逐个判断即可．【详解】解：A、它不是中心对称图形，故不合题意；B、它是中心对称图形，故符合题意；C、它不是中心对称图形，故不合题意；D、它不是中心对称图形，故不合题意．故选：B2.用配方法解方程x2＋1=8x，变形后的结果正确的是()A.(x＋4)2=15 B.(x＋4)2=17 C.(x－4)2=15 D.(x－4)2=17【答案】C【解析】【详解】x2＋1=8x，移项，得x2－8x=－1，配方，得x2－8x+42=－1+42，即（x－4）2=15．故选：C．点睛：移项得时候注意将含有未知数的项全部移到等号左边，常数项全部移到等号右边．3.若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握比例的性质，根据比例的性质即可得到答案．【详解】解：∵，∴故答案选A．4.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例关系，已知400度近视眼镜镜片的焦距为，则y与x的函数关系式为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查反比例关系，根据题意设，再把数值代入求出即可．【详解】解：∵近视眼镜度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例关系∴设∵已知400度近视眼镜镜片的焦距为∴解得：∴故选：C．5.将抛物线向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．【详解】解：由拋物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是，故选：．6.如图，若是的直径，是的弦，，则度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查圆中求角度，涉及直径所对的圆周角是，圆周角定理及直角三角形两锐角互余等知识，先由直径所对的圆周角是得到，再由得到，在中，由两锐角互余即可得到答案，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决问题的关键．【详解】解：是的直径，，，，在中，，故选：B．7.小明在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（）A.掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率 B.抛一枚硬币，出现反面的概率C.任意写一个正整数，它能被3整除的概率 D.从一副扑克牌中任抽一张牌，取到“大王”的概率【答案】C【解析】【分析】本题主要考查频率估算概率，理解图示中频率的值，掌握概率的计算方法是解题的关键．根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率；B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为；C、任意写出一个正整数，能被3整除的概率为；D、从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率．故选：C．8.如图，相交于点，点都在格点上，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.取格点和，点和恰好在直线上，利用网格特征得到，，再证明，然后根据相似三角形的性质求解.【详解】解：根据网格特点取格点和，则点和恰好在直线上，则，，∵，，.故选：D．9.已知关于的反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的二次函数的图象不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】本题考查反比例函数图象与性质、二次函数图象与性质，先由反比例函数图象与性质得到，再由二次函数图象与性质从四个方面得到草图即可确定答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．【详解】解：关于的反比例函数的图象位于第一、三象限，，解得，关于的二次函数为，由知，它的图象开口向上；由对称轴知，它的对称轴在负半轴上；由知，它与轴交于正半轴上；由知，它与轴有两个不相同的交点；由上面的结论，作出草图，如图所示：即关于的二次函数的图象不经过第四象限，故选：D．10.如图，在中，点P从点C出发，以的速度沿折线C－A－B做匀速运动，到达点B时停止运动．点P出发一段时间后，点Q从点B出发，以相同的速度沿做匀速运动，到达点C时停止运动．已知当点P到达点B时，点Q恰好到达点C．设的面积为，点P的运动时间为，则能反映S与t之间的函数关系的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可得点Q是在点P出发后开始运动的，然后分三种情况：当，，时，画出图形，用含t的式子表示出相关线段，再根据三角形的面积公式可求得相应的函数关系式，即可求解．【详解】解：∵在中，∴，∴点P运动的路程是cm，运动的时间是，又∵点P到达点B时，点Q恰好到达点C，且点Q、P的运动速度相同，∴点Q是在点P出发后开始运动的，当时，点Q未动，点P在上运动，如图1所示：，是正比例函数关系；当时，点Q未动，点P上运动，如图2所示：此时，，作于H，则，∴，∴，是一次函数关系；当时，点Q在上，点P在上，如图3所示：作于H，同理可得，，∴；是二次函数关系，且抛物线的开口向上；综合各选项，符合题意的是选项A；故选：A．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正确分类、灵活应用数形结合思想、求出三种情况下的相应函数关系式是解题的关键．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）11.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标的特征，即可求解．【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是．故答案为：12.半径为，圆心角为的扇形面积是________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用．根据扇形的面积计算公式计算即可．【详解】解：扇形的面积，故答案为：．13.如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则_____．【答案】【解析】【分析】根据相似三角形的判定结合正方形的性质证得，求得，根据相似三角形的性质求得，，证得，根据相似三角形的性质得到，证得，求出，根据勾股定理即可求出．【详解】解：∵四边形是正方形，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，则，即，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：．点睛】本题考查求线段长，涉及正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．14.在平面直角坐标系内，某函数的自变量取值范围，函数值的取值范围为，定义：若，称该函数为“纵型函数”．（1）函数_____（填“是”或“不是”）“纵型函数”；（2）已知关于的二次函数是“纵型函数”，则的取值范围是_____．【答案】（1）不是（2）或【解析】【分析】本题考查二次函数图象与性质，新定义函数及不等式，熟练掌握新定义函数及二次函数图象与性质是解决问题的关键．（1）由“纵型函数”定义，结合二次函数性质求出最值，列不等式求解即可得到答案；（2）由“纵型函数”定义，结合二次函数性质分类讨论求出最值，列不等式求解即可得到答案．【小问1详解】解：函数的对称轴为，开口向上，函数有最小值为，与的函数值均是，，，函数不是“纵型函数”，故答案为：不是；【小问2详解】解：关于的二次函数的对称轴为，当时，抛物线开口向上，当时，的最小值为；当时，的最大值为，即，关于的二次函数是“纵型函数”，，解得；当时，抛物线开口向下，当时，的最大值为；当时，的最小值为，即，关于二次函数是“纵型函数”，，解得；综上所述，的取值范围是或，故答案为：或．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.解方程：．【答案】，【解析】【分析】本题考查解一元二次方程，涉及因式分解法解一元二次方程，将利用十字相乘法分解因式得到，求解即可得到答案，熟练掌握十字相乘法分解因式解一元二次方程是解决问题的关键．【详解】解：，，则或，解得，．16.如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图：（1）以坐标原点为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出，并写出点的对应点的坐标；（2）以坐标原点为位似中心，在轴下方，画出的位似图形，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标．【答案】（1）作图见解析，；（2）作图见解析，．【解析】【分析】本题考查了作图﹣位似变换，作图﹣旋转变换，解决本题的关键是按要求做出图形．根据网格结构找出点、、以原点为旋转中心顺时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接即可，并写出的坐标；利用位似的性质，找出点、、的位置，然后画出图形，并写出的坐标．【小问1详解】解：如图所示，分别作出点、、以原点为旋转中心顺时针旋转的对应点、、，连接点、、得到，即为所求．由图可知，的坐标为；【小问2详解】解：如图所示，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接点、、得到，即为所求，由图可知，点的坐标为．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.已知关于x的一元二次方程有两个实数根．（1）求的取值范围；（2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了根的判别式，掌握方程根的情况与跟的判别式的关系是解题的关键．（1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围；（2）由方程根的定义，可用表示出，代入已知等式可得到关于的方程。则可求得的取值范围．【小问1详解】根据题意，得，，；【小问2详解】是方程的一个实数根，，则，，，，解得或（舍）．18.如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于点和点，交轴于点．（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）请结合图象直接写出不等式的解集．【答案】（1）反比例函数的解析式为，（2）或【解析】【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，从函数的图象获取信息等知识点，运用数形结合思想并从函数的图象获取正确信息是解题的关键．（1）将点代入，即可求出的值，进而可得反比例函数的解析式，将点代入反比例函数的解析式，可得，进而可得，于是可得点坐标；（2）观察图象即可得出不等式的解集．【小问1详解】解：点在反比例函数的图象上，，反比例函数的解析式为；将点代入反比例函数的解析式，可得：，，；【小问2详解】解：观察图象可知，不等式的解集为：或．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，点，在线段上，是等边三角形，．（1）求证：；（2）若，，求的长度．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】此题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．（1）根据等边三角形的性质可得，由三角形的内角定理证明，即可证明结论；（2）根据相似三角形的性质及等边三角形的性质可得答案．【小问1详解】证明：为等边三角形，．，，．，，，．【小问2详解】解：，，为等边三角形，设，，解得（负值舍去），．20.如图，以点为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角，再由互余定义得到，从而，即，从而判断是的切线；（2）连接，如图所示，先由勾股定理求出圆的半径及直径长，再判定得到，最后由勾股定理求解即可得到答案．【小问1详解】证明：连接，如图所示：为直径，，即，又，，，，则，即，是的半径，是O的切线；【小问2详解】解：连接，如图所示：，，，，，，，，，，，解得：．【点睛】本题考查圆综合，涉及圆的性质、圆周角定理及其推论、切线的判定、勾股定理及直角三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握圆的性质及相关结论求出线段长度是解决问题的关键．六、（本题满分12分）21.【项目式学习】项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．项目素材：素材一：凸透镜成像规律：（）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（）表示像到凸透镜的距离，规律如下表物体到凸透镜距离u像到凸透镜距离v像的大小像的正倒缩小倒立等大倒立放大倒立与物同侧放大正立素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点．项目任务：（1）任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①_________，②_________，③_________；（2）任务二：某实验小组取焦距为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距时，测量蜡烛的成像的高，①以为自变量，为因变量，写出与的关系式：；②当时，随的增大而（选填“增大”或“减小”）（提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）．【答案】（1），，；（2）①；②减小【解析】【分析】本题考查了，相似三角形的性质与判定，画反比例函数，反比例函数的性质（1）任务一：①由矩形，得到的长，由，得到，即：，设，用含的代数式，表示出、，由，得到，解出，即可求解，（2）任务二：①由，整理得到，根据描点法，画出函数图象，②根据反比例函数的增减性，即可求解，【小问1详解】解：任务一：①根据题意得：矩形，∴，根据题意得：与平行，则，∴，即：，设，则，，由题意得，∴，∴，即：，解得：，∴，故答案为：，，；．【小问2详解】任务二：①依题意得：四边形为矩形，，，由任务一可知：，，即，解得：；②用描点法可得该函数的图象，如下图所示：当当时，随的增大而减小，故答案为：减小．七、（本题满分12分）22.手工制品在当今市场上越来越受欢迎．某大学生团队对成本为20元/个的某手工制品进行40天试营销，其销量（个）与销售的时间（天）满足一次函数关系，部分数据如下表：时间（天）1234．．．销量（个）49484746团队制定的销售单价（元）与销售的时间（天）关系如下：当时，，当时，．（1）直接写出关于的函数关系式；（2）求该团队第天获得的利润关于的函数关系式；（3）这40天中该团队第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）（3）这40天中第21天获得的利润最大，最大利润是725元【解析】【分析】（1）根据表格数据，由待定系数法确定函数关系式即可得到答案；（2）由团队制定的销售单价（元）与销售的时间（天）关系计算出单个手工制品的利润，再由总利润单个商品利润销量即可得到利润关于的函数关系式；（3）由（2）