圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题【六大题型】原卷版-2025年新高考数学一轮复习

同锥曲线中的三角形（四边形）面积问题

【六大题型】

►题型归纳

【题型1三角形面积问题】.....................................................................2

【题型2四边形面积问题】.....................................................................2

【题型3三角形面积之比问题】................................................................4

【题型4三角形面积之和、之差问题】..........................................................5

【题型5已知面积求其他量】...................................................................7

【题型6三角形（四边形）面积的最值、范围问题1.....................................................................8

►命题规律

1、圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题

圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，圆锥曲线中的三角形（四边形）面积

问题考查热度较高，考查形式多种多样，主要考查三角形、四边形的面积及其最值（范围）问题、面积之

比问题、已知面积求其他量等问题，各种题型都有考查，在解答题中，计算量大，难度较高；复习时要加

强此类问题的训练，灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1圆锥曲线中的面积问题及其解题策略】

1.三角形面积问题的解题策略

（1）利用三角形面积公式求解：

①SA=:♦底X高（一般选弦长做底，点到直线的距离为高）；

②鼠=：•水平宽X铅垂高.

2.四边形面积问题的解题策略

面积的拆分：不规则的多边形的面积问题通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和

高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形.

3.三角形面积之比问题的解题策略

（1）三角形面积公式：利用三角形面积公式分别求出各个三角形的面积，再研究它们之间的比值问题.

（2）面积的关系的转化：寻找这些三角形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面

积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化.

4.圆锥曲线中面积的最值（范围）问题的解题策略

一般都是利用三角形面积公式表示面积，然后将面积的关系式转化为某个变量的一个函数，再求解函

数的最值（常用方法有：单调性法、换元法、基本不等式、三角函数求最值、利用导数求最值等），在计算面

积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活求解，简化计算.

►举一反三

【题型1三角形面积问题】

［例1］（2024•湖北武汉•二模）已知抛物线C:y2=2PMp>0）的焦点为F,过F作直线交抛物线C于4B两点,

过4,8分别作准线/的垂线，垂足分别为M,N,若△4FM和aBF'的面积分别为8和4,则△MFN的面积为

（）

A.32B.16C.8V2D.8

2

【变式1-1］（2024•湖南长沙•三模）已知点/为双曲线今一步=1的左顶点，点8和点c在双曲线的左支

上，若△ABC是等腰直角三角形，则△ABC的面积是（）

•“C8-16-32

A.4B.-C.—D.—

【变式1-2］（2024•陕西商洛•模拟预测）已知椭圆C:《+看=l（a〉6>0）的长轴长为20,离心率为，左、

右焦点为％巴，若C上的点P满足NF1P&=宗则的面积是（）

【变式1-3］（2024•全国•模拟预测）己知点4为椭圆M：3+9=1的一点，F1，尸2分别为椭圆M的左，右

4J

焦点，4尸遇尸2的平分线交y轴于点B（o,—9，则△AF/2的面积为（）

A.IB.乎C.1D.2

【题型2四边形面积问题】

【例2】(2024•贵州毕节・二模)在椭圆C:9+?=1上任取一点P,过点P作无轴的垂线段PD,D为垂足，点

M在线段PD上，且满足|DP|=四|DM|.

(1)当点P在椭圆C上运动时，求点M的轨迹E的方程；

(2)若曲线E与无，y轴的正半轴分别交于点4B,点N是E上第三象限内一点，线段4N与y轴交于点H,线段BN

与x轴交于点G,求四边形力BG”的面积.

【变式2-1](2024•安徽芜湖•模拟预测)如图，直线A：x=my+几1与直线，2：龙=my+电，分别与抛物线

7:产=2p久(p>0)交于点4,8和点C,D(/,。在x轴同侧).当人经过7的焦点尸且垂直于x轴时，

\AB\=1.

(1)求抛物线T的标准方程;

⑵线段NC与AD交于点X,线段48与CD的中点分别为"，N

①求证：M,H,N三点共线;

②若21HMi==2,求四边形/BCD的面积.

【变式2-2](2024•全国•模拟预测)已知椭圆E:/+V=l(a>b>0)的离心率为净且点(1,孚)在椭圆£

上.

(1)求椭圆E的方程；

(2)已知4B,C为椭圆上三个点，。为坐标原点，若四边形。48c为矩形，求四边形。ABC的面积.

2

【变式2-3](2024•山东济南・二模)已知点B(4,g)是双曲线7专一步=1上一点，7在点B处的切线与x轴

交于点4

(1)求双曲线T的方程及点4的坐标；

(2)过4且斜率非负的直线与T的左、右支分别交于N,M.过N做NP垂直于x轴交T于P(当N位于左顶点时认为N

与P重合).C为圆1)2+(y+2/=1上任意一点，求四边形MBPC的面积S的最小值.

【题型3三角形面积之比问题】

[例3](2024・重庆•模拟预测)已知心(—c,0)尸2(c,0)分别是椭圆。偌+餐=l(a>0,b>0)的左右焦点,

如图，抛物线C2：V=—2px(p>0)的焦点为Fi(—c,0),且与椭圆在第二象限交于点P,|PFi|=",延长PFi

⑵设△PF/2和△的面积分别为SiS，求

【变式3-1](2024•四川南充•二模)如图，已知四边形力BCD的四个顶点都在抛物线久2=4y上，且4,B

在第一象限，4。/久轴，抛物线在点力处的切线为/,且BD〃/.

(1)设直线CB,CD的斜率分别为人和求k+匕的值；

C

(2)P为4C与B。的交点，设△BCD的面积为Si，△P2D的面积为S2，若tan/BCA=2,求/的取值范围.

【变式3-2](2024•辽宁•模拟预测)设动点G(Xy)到点F(1,0)的距离与它到直线以=4的距离之比为今记

点G的轨迹为曲线C.

⑴求C的方程；

(2)4为C与x轴的负半轴的交点，B为直线x=1与C在第一象限的交点，直线「过点(—2,3),且与C相交于M,N

两点，过点N作垂直于%轴的直线分别与直线力B,4M相交于点P,Q,分别记△4VQ与的面积为Si与S2,

求证：S、=2sz.

【变式3-3](2024•新疆•三模)已知椭圆Q：5+'=l(a>6>0)的左右焦点分别为％,F2,离心率为

I，过抛物线C2：y2=2ax焦点的直线交抛物线于M,N两点，|MN|的最小值为4.连接MO,NO并延长分别

交的于4,2两点，且点/与点〃，点2与点N均不在同一象限，△OMN与△04B的面积分别记为

S^OMN，^/\OAB-

⑴求Ci和C2的方程；

(2)记4=/，求2的最小值.

、4OAB

【题型4三角形面积之和、之差问题】

【例4】(23-24高二下•福建泉州•期中)已知抛物线C:y2=2px(0<p<3),其焦点为P,点Q(m,2g)在抛

物线C上，且|QF|=4.

(1)求抛物线。的方程；

(2)0为坐标原点，4B为抛物线上不同的两点，且。410B,

(i)求证直线4B过定点；

(ii)求△2F0与△48。面积之和的最小值.

【变式4-1](2024•上海•模拟预测)如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆n[+y2=i的左，右焦点外别

为％尸2，设P是第一象限内吐的一点，PF1、PF2的延长线分别交「于点Qi、Q2-

(1)求aPFiQ2的周长；

⑵求△PF1Q2面积的取值范围；

(3)求S^PFIQZ—S^paQi的最大值・

【变式4-2](23-24高二下・四川泸州•阶段练习)已知抛物线C:y2=2p久(p>0)的焦点为F,"(犯―|)为C

3

上一'点，且|MF|=],

⑴求C的方程；

(2)过点P(4,0)且斜率存在的直线/与C交于不同的两点4B,且点8关于x轴的对称点为D,直线4D与x轴交于

点Q.

(i)求点Q的坐标；

(ii)求△04Q与△。4B的面积之和的最小值.

【变式4-3](2024•陕西西安•模拟预测)在平面直角坐标系中，。为坐标原点，动点M(x,y)到定点F(l,0)的

距离和它到定直线-=4的距离之比是常数去设动点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

⑵过点N(—1,0)的直线与曲线C相交于点8(不在x轴上)，记线段/尸的中点为P,连接尸。，并延长PO

交曲线C于点D,求△FPN与△BND的面积之和的取值范围.

【题型5已知面积求其他量】

【例5】(2024•全国•模拟预测)已知椭圆E:/+\=l(a>b>0)的左、右焦点分别为尸1尸2，离心率为

乎，点4在椭圆E上，且I2F1I=2|4&1，△4F1&的面积为4V7，则椭圆E的焦距为()

A.4V2B.8V2C.6D.12

【变式5-1](2024•四川德阳•模拟预测)已知双曲线/：《一看=1缶>0,6>0)的焦距为2°,右顶点为

2

A,过/作x轴的垂线与E的渐近线交于M、N两点，若SM0N>^-c,则E的离心率的取值范围是

4

()

A.图忖B.[竽同C.[V2(V3]D.[V3,2]

【变式5-2](2024・山东•二模)已知双曲线的中心为坐标原点。，点P(2,—际在双曲线上，且其两条渐近

线相互垂直.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若过点Q(0,2)的直线，与双曲线交于E,F两点，△OEF的面积为2vL求直线1的方程.

【变式5-3](2024•广东茂名•一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0),F为抛物线的焦点，P,Q其为准线上的

两个动点，且PF1QF.当|PF|=2|QF|时，|PQ|=5.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)若线段PF,QF分别交抛物线C于点4B,记的面积为Si，的面积为S2,当Si=9S?时，求|PQ|

的长.

【题型6三角形(四边形)面积的最值、范围问题】

【例6】(2024•陕西安康•模拟预测)已知椭圆C：/=1(a>1)的离心率为等，椭圆c的动弦4B过椭

圆C的右焦点F,当2B垂直久轴时，椭圆C在4B处的两条切线的交点为M.

(1)求点M的坐标；

1777

(2)若直线4B的斜率为其，过点M作久轴的垂线I,点N为/上一点，且点N的纵坐标为一万，直线NF与椭圆C交

于P,Q两点，求四边形4PBQ面积的最小值.

【变式6-1](2024•北京•模拟预测)已知O为坐标原点，椭圆。/+4必=2上一点。的横坐标为1,斜率

存在的直线/交椭圆C于/,8两点，且直线D4,的斜率之和等于1.

⑴求|。0;

(2)若点。在第一象限，探究△48。的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由.

【变式6-2](2024•全国•模拟预测)已知双曲线C核一,=l(a>06>0)过点E(青)(其中c=

析中)，且双曲线C上的点到其两条渐近线的距离之积为崇.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)记。为坐标原点，双曲线C的左、右顶点分别为4B,P为双曲线C上一动点(异于顶点),M为线段AP的中

Q

点，Q为直线x=g上一点，且2P〃0Q,过点Q作QN1OM于点N,求△48N面积的最大值.

【变式6-3](2024•江苏南通•三模)已知抛物线C:%2=2py(p>0)的焦点为F,直线/过点产交C于AB两点,

C在4B两点的切线相交于点P/B的中点为Q,且PQ交C于点E.当Z的斜率为1时，\AB\=8.

⑴求C的方程；

(2)若点P的横坐标为2,求|QE|；

⑶设C在点E处的切线与P4PB分别交于点M,N,求四边形4BNM面积的最小值.

►过关测试

一、单选题

1.（2024•内蒙古赤峰•二模）设点尸是椭圆C卷+竟=1上一点，%,七分别为椭圆C的左、右焦点，且

3。

△PF1F2的重心为G,若|P&]=2|PFz|/△「一卷的面积为（）

A.16V7B.|V7C.12V7D.

2.（2024•河北•模拟预测）点％（―2,0）尸2（2,0）为等轴双曲线C的焦点，过尸2作刀轴的垂线与C的两渐近线分

别交于4B两点，则△力。B的面积为（）

A.2V2B.4C.4V2D.8

3.（2024•四川宜宾•模拟预测）已知抛物线。产=6久，过动点P作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C相

切于点4B,则△P48面积的最小值是（）

A.6B.9C.12D.18

4.（2024•江西九江三模）已知椭圆喏+餐=l（a>b>0）的左右焦点分别为八,&,过％且倾斜角为抽直

线交C于第一象限内一点4若线段4F1的中点在y轴上,△4FF2的面积为2遮，则C的方程为（）

A.f+y2=1B.f+1

C尤+注=1D式+比=1

J9十3,J9十6工

5.（2024•辽宁•一模）已知双曲线C:/—%2=1的下焦点和上焦点分别为Fi，F2,直线y=x+zn与c交于

A,8两点，若△尸248面积是面积的4倍，则爪=（）

A.3B.-3C.-D.——

6.（2024•广东广州•一模）双曲线C：%2—y2=4的左，右焦点分别为％万2，过&作垂直于X轴的直线交双

曲线于4B两点，△4尸192以8尸1尸2必&48的内切圆圆心分别为01,。2,。3，则△。1。2。3的面积是（）

A.6V2-8B.6V2-4C.8-4夜D.6-4鱼

7.（2024・云南•模拟预测）已知抛物线=4x的焦点为F,过点F的两条互相垂直的直线九％分别与抛物

线C交于点4B和D,E,其中点4D在第一象限，则四边形4DBE的面积的最小值为（）

A.64B.32C.16D.8

8.（2024•重庆•模拟预测）已知抛物线C:*=4%的焦点为尸，过尸且斜率为1的直线与抛物线交于4、B

两点（4在x轴上方），过点4、B作准线的垂线，垂足分别为4、B'线段4夕中点为E,四边形24EF和四边形

BB,EF的面积分别记为SiS，则引=（）

A.3-2V2B.3-V2C.3+V2D.3+2企

二、多选题

22

（・云南・二模）已知点为双曲线会-上任意一点，过点分别作的两条渐近线的垂线，垂

9.2024PE:4go=1PE

足分别为M、N,记△PMN的面积为S,贝I」（）

A.AMPN=B.\PM\'\PN\=y

C.TM-~PN=D.s=空渔

4949

10.（2024•江西•模拟预测）已知4（—2,0）,B（2,0）,C（l,0）,动点“满足AM与MB的斜率之积为—“动点M

的轨迹记为「，过点C的直线交「于P,Q两点，且P,Q的中点为R,则（）

A.M的轨迹方程为3+9=1

B.|MC|的最小值为1

C.若。为坐标原点，则△OPQ面积的最大值为|

D.若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D,贝底点的横坐标是D点的横坐标的4倍

11.（2024・广东•二模）抛物线△%2=2py（p>0）焦点为尸，且过点4（4,4）,斜率互为相反数的直线4C,AD

分别交T于另一点C和。，则下列说法正确的有（）

A.直线CD过定点

B.T在C,。两点处的切线斜率和为一4

C.T上存在无穷多个点到点尸和直线y=5的距离和为6

D.当C,。都在/点左侧时，△4CD面积的最大值为空

三、填空题

12.（2024•海南•模拟预测）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F,过尸且斜率为1的直线I交C于4B

两点，若△AOB的面积为近，则。=.

13.（2024•内蒙古呼和浩特・二模）已知椭圆M^+y2=i,经过坐标原点的两条直线分别与椭圆M相交于

4、B、C、。四个点，若该两条直线的斜率分别为七、的，且七42=—今则△a。。的面积为