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文档简介
圆锥曲线离心率(15题型提分练)
更盘点•置击塔考
目录
题型一:离心率基础计算..........................................................................1
题型二:定义型求离心率..........................................................................2
题型三:第三定义型(点差法)....................................................................3
题型四:双曲线:渐近线型离心率..................................................................4
题型五:中点与离心率............................................................................5
题型六:a、b、c齐次型...........................................................................6
题型七:焦点三角形:内切圆型....................................................................7
题型八:焦点三角形:焦半径型....................................................................8
题型九:焦点三角形:离心率范围最值..............................................................9
题型十:焦点弦定比分点求离心率.................................................................10
题型十一:焦点三角形:余弦定理.................................................................10
题型十二:焦点三角形:双角度型.................................................................11
题型十三:重心型...............................................................................12
题型十四:双曲线椭圆共焦点型...................................................................14
题型十五:离心率“小题大做”型.................................................................15
结束...........................................................................................16
英突围・檐谁蝗分
题型一:离心率基础计算
;指I点I迷I津
圆锥曲线的离心率的常见基本思维方法和基础计算:
;定义法:通过已知条件列出方程组,求得生。得值,根据离心率的定义求解离心率e;
:基础计算:由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式,然后转化为关于e的一元二次方程或不等式,
:结合离心率的定义求解;
!特殊值计算法:根据特殊点与圆锥曲线的位置关系,利用取特殊值或特殊位置,求出离心率问题.
22
1.(24-25高三•重庆•阶段练习)已知椭圆「言+方=1(。>6>0)的焦距为2c,若直线丘-3y+(左+8)c=0恒
与椭圆r有两个不同的公共点,则椭圆r的离心率范围为()
2
2.(2025•安徽・模拟预测)已知双曲线C:/一方=1(6>0)的左焦点为尸,过坐标原点。作C的一条渐近
线的垂线/,直线/与C交于4,8两点,若尸的面积为宜1,则C的离心率为().
3
A.3B.y/sC.2D.石
3.(24-25高三•全国•模拟)设椭圆的两个焦点分别为片,F2,过月作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若AF'PF]
为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是()
6-1
A.也c.V2-1
V'4
22
4.(23-24高三•河南,累河•阶段练习,多选)已知椭圆G:土+匕=1与双曲线G:J-J2==1
16916-A:A--9
(9<左<16),下列关于两曲线的说法正确的是()
A.G的长轴长与的实轴长相等B.G的短轴长与的虚轴长相等
C.焦距相等D.离心率不相等
fv2
5.(24-25高三上,北京•阶段练习)已知双曲线。:=-==1伍>0)的两条渐近线互相垂直,则C的离心
ab
率为.
题型二:定义型求离心率
指I点I迷I津
解题时要把所给的几何特征转化为a,6,c的关系式.求离心率的常用方法有:
⑴根据条件求得。也c,利用e,或e=Jl+£求解;
aVa'
(2)根据条件得到关于。力,。的方程或不等式,利用e=£将其化为关于e的方程或不等式,然后解方程或不等式
a
即可得到离心率或其范围.
22
1.(23-24高二下•湖南郴州,模拟)已知尸为椭圆。:\+勺=1(°>6>0)上一动点,用、耳分别为其左右焦
ab
点,直线尸片与C的另一交点为6的周长为16.若尸片的最大值为6,则该椭圆的离心率为()
fv2L
2.(2023・广西南宁•模拟预测)已知椭圆C:「+A=l(〃>b>0),片,片分别为椭圆的左右焦点,直线y=^3x
ab
与椭圆交于N、8两点,若月、4、月、8四点共圆,则椭圆的离心率为()
A.也B.V3C.V3-1D.正1
32
22
3.(2024・贵州•三模)已知椭圆。:'+2=1(°>6>0)的左、右焦点分别为耳过点月的直线/与椭圆C
ab
交于尸,。两点,若丁。|:闺尸|:闺。|=1:3:5,则该椭圆的离心率为()
A.—B.—C.昱D.在
2323
22
4.(23-24高三・云南•阶段练习,多选)椭圆。:\+q=15>6>0)的左、右两焦点分别是4,E,其中
ab
|丹勾=2c.过左焦点的直线与椭圆交于48两点.则下列说法中正确的有()
A.4/8巴的周长为4a
*
B.若的中点为所在直线斜率为3则自”•左=-4
a
c.若|”|的最小值为3c,则椭圆的离心率e=;
D.若斯•正=3,2,则椭圆的离心率的取值范围是¥,[
22
5.(20-21•河南驻马店•模拟)已知片,月是双曲线。:三-3=1(°>0力〉0)的左右焦点,过大且倾斜角
为60。的直线/与C的左、右两支分别交于A、5两点.若3月,耳月,则双曲线C的离心率为.
题型三:第三定义型(点差法)
指I点I迷I津
22
椭圆:设直线和椭圆丫22的两个交点/(/,必),B(、2,%),代入椭圆方程,得%+4=1;
±_+2J_=1ab
a2bz,2
222222
匹-x%一必($+%)(占—%)_(必+%)(5一%)
将两式相减,可得2+=0;
务十金ja2b2a2b2
最后整理得:1=一:”2「)nir”
b(玉+%2)(再一工2)b-x0
[=/(M+%)(%一%)nl=k4-^
同理,双曲线用点差法,式子可以整理成:
2(+%2)(再一工2)
bxxbx0
抛物线:设直线和曲线的两个交点/(%,必),5区,%),代入抛物线方程,得必2=2W;乂2=2夕/;
尸=(乂+%)3-幻=麦.%
可得
22
1.(22-23高三•山西长治•模拟)已知直线y=-x+l与椭圆:下方=1(〃>6>0)相交于48两点,且线段48
的中点在直线x-2y=0上,则此椭圆的离心率为()
A.且B.-C.—D."
3222
22
2.(20-21高三•江西南昌•模拟)双曲线、-2=1(。>0,6>0)的右焦点为尸(4,0),设A、3为双曲线上关
ab
于原点对称的两点,力厂的中点为〃,8尸的中点为N,若原点。在以线段的V为直径的圆上,直线25的
斜率为£1,则双曲线的离心率为()
7
A.4B.2C.V5D.V3
221
3.(20-21高三•江西抚州,模拟)已知椭圆的方程为亍+方=1(。>6>0),斜率为-]的直线/与椭圆相交
于A,8两点,且线段45的中点为M(l,2),则该椭圆的离心率为()
2
4.(2021•河北石家庄•二模,多选)已知双曲线C:^-x2=l(a>0),其上、下焦点分别为片,鸟,。为
坐标原点.过双曲线上一点河(%,%)作直线/,分别与双曲线的渐近线交于尸,。两点,且点”为中点,
则下列说法正确的是()
A.若了轴,则|尸。|=2.
B.若点M的坐标为。,2),则直线/的斜率为:
C.直线尸。的方程为警-XQX=1.
a
D.若双曲线的离心率为且,则三角形。尸。的面积为2.
2
22
5.(23-24高三•黑龙江哈尔滨•模拟)已知直线y=r+l与椭圆Xl(a>6>0)相交于48两点,且
线段48的中点在直线/:x-4y=0上,则此椭圆的离心率为.
题型四:双曲线:渐近线型离心率
指I点I迷I津
双曲线渐近线性质:
(1)焦点到渐近线的距离为b
(2)定点到渐近线的距离为2
a
(3)一直线交双曲线二-与=1的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M,则七“小”二与.
aba
(4)过双曲线「-=^=l上任意一点P做切线,分别角两渐近线于M,N两点,0为坐标原点则有如下结论:
ab
①OM-ON=a2+b2;②=a?+b?;③SAo«w=ab
22
1.(2022高三•全国,专题练习)双曲线C:1-方=l(“>0,b>0)的右焦点为尸,若以点尸为圆心,半径
为4的圆与双曲线C的渐近线相切,则双曲线C的离心率等于()
A.'B.72C.2D.272
22
2.(2022•山西晋中•二模)已知双曲线C:£=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为不(-的0),;s(c,0),
平面内一点P满足尸耳,尸巴,石的面积为点。为线段期的中点,直线。。为双曲线的一条渐近
线,则双曲线C的离心率为()
A.V5B.有或昱C."D.2
22
22
3.(2024•全国•模拟预测)已知双曲线C:[-4=1(«>0,b>0)的左、右焦点分别为月,月,过《
ab
作以《为圆心,虚半轴长为半径的圆的切线,切点为“,若线段儿阴恰好被双曲线c的一条渐近线平分,
则双曲线C的离心率为()
A.-^2B.y/3C.2D.575
4.(22-23高三・河北保定•模拟,多选)已知双曲线。:彳-4=1(。>0力〉0)的左、右焦点分别为片,月,
a"b"
点M为双曲线C右支上一点,且儿阴,〃若“与一条渐近线平行,则()
A.双曲线C的离心率为石
B.双曲线C的渐近线方程为y=±岳
C.△血用石的面积为/
D.直线孙与圆。:/+了2=力相切
6.(21-22高三上•辽宁•阶段练习)等轴双曲线是一种特殊的双曲线,特点是渐近线互相垂直且离心率为
6,y=-(左/0)的图象是等轴双曲线,设双曲线>=廿1的焦点为/、B,则直线的方程为,
若。为坐标原点,则AOAB的面积为.
题型五:中点与离心率
———————————————————————————————————————————————————————————————————————————―-
"旨I点I迷I津
直线与曲线相交,涉及到交线中点的题型,多数用点差法。按下面方法整理出式子,然后根据实际情况处理该
:式子。主要有以下几种问题:
;(1)求中点坐标;(2)求中点轨迹方程;(3)求直线方程;(4)求曲线;
中点M(Xo,%),/=,%,=一;8
22
1.(22-23高三上•浙江•模拟)已知双曲线C:三-胃=1(。>0/>0)的左右焦点分别为片,F2,过月的直
线/交双曲线的右支于A,3两点.点M满足京+丽=2施,且万7.函=0,若cos//£B="则双曲
线的离心率是()
B.V3D.V5
22
2.(23-24高三下,湖北武汉,阶段练习)已知双曲线-2=1(。>0,6>0)的右焦点为尸,其左右顶点分
别为42,过尸且与x轴垂直的直线交双曲线E于",N两点,设线段〃厂的中点为。若直线AP与直线3
的交点在了轴上,则双曲线E的离心率为()
D.百
22
3.(2024•四川雅安三模)设斗鸟分别为双曲线C:*-A=l(a>0/>0)的左右焦点,过点月的直线交
双曲线右支于点交y轴于点N,且月为线段"N的中点,并满足而,而,则双曲线C的离心率为
B.V3+1D.V5+1
22
4.(23-24高三•内蒙占巴彦淖尔•模拟,多选)已知O为坐标原点,下是椭圆的右
焦点,>=履与C交于42两点,MN分别为N凡好的中点,若OM1ON,则C的离心率可能为()
A3B&r1口向
4226
22
5.(2025高三•全国•专题练习)已知椭圆*+方=1(°>6>0)的左焦点是片,左顶点为A,直线>=区交
椭圆于尸、。两点(P在第一象限),直线尸耳与直线交于点。,且点。为线段的中点,则椭圆的离心
率为.
题型六:a、b、c齐次型
指I点I迷I津
只需要根据一个条件得到关于a,6,c的齐次式,结合〃=c2一苏转化为°,。的齐次式,然后等式(不等式)
两边分别除以a或/转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
22
1.(2022•山东临沂•模拟)片,月是双曲线C:♦方=1(。>0,6>0)的左、右焦点,直线I为双曲线C的一
条渐近线,耳关于直线I的对称点为转,且点或在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上,则双曲线C
的离心率为
A.V2B.V5C.2D.V3
22
2.(2024,湖南•三模)已知耳巴是椭圆。:[+2=1(。>6>0)的左、右焦点,O是坐标原点,过片作直线
ab
与C交于1,8两点,若|/8|=|/切,且A04用的面积为如〃,则椭圆C的离心率为()
6
A百口Gr6n6
12632
22
3.(2024•内蒙古呼和浩特•一模)已知椭圆C:「+q=1(。>6>0)的左、右顶点分别为43,左焦点为尸,P
ab
为椭圆上一点,直线"与直线交于点的角平分线与直线x交于点N,若PF人AB,
,7
的面积是△NF8面积的万倍,则椭圆C的离心率是()
4.(22-23高三•辽宁铁岭•阶段练习,多选)如图,已知椭圆C:£+4=1缶>6>1),4分别为左、
ab
右顶点,可,不分别为上、下顶点,F、,月分别为左、右焦点,点P在椭圆C上,则下列条件中能使C
的离心率为1二1■的是(
2
A.\OF^-\OA^=\OB^B./片44=90°
C.轴,且尸。〃小耳D.四边形44纱2的内切圆过焦点片,月
22
5.(2024・福建•模拟预测)已知双曲线C:二-与=1(。>0,6>0)的左焦点为「过/的直线/交圆X?+/=/
ab
于a2两点,交c的右支于点尸.若M厂H8P,1^1=2|^|,则c的离心率为.
题型七:焦点三角形:内切圆型
22
1.(23-24高三下•重庆沙坪坝•阶段练习)如图,双曲线氏二-4=1的左右焦点分别为月,耳,若存在过
ab
月的直线/交双曲线£右支于A,5两点,且耳玛,&的内切圆半径勺々满足k=4々,则双曲
C.(2,473)D.(1,473)
22
2.(2024•山东济宁•三模)已知双曲线C:=-4=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为耳,巴,根据双曲线
的光学性质可知,过双曲线C上任意一点尸(%,%)的切线/:苦一等=1(。>0,6>0)平分/耳尸耳.直线4过
月交双曲线C的右支于4,5两点,设△,々KQB耳BQ4他的内心分别为A/,/,若4〃1,2与的面
积之比为],则双曲线。的离心率为()
A.3B.空C.3D,正
2333
3.(24-25高三上•云南昆明•阶段练习)已知椭圆嗒+居=l(a>b>0)的左、右焦点分别为片,与,点
P(X1,V1)是c上的一点,△尸片外的内切圆圆心为外孙及),当%=2时,X2=V3,则C的离心率为()
A.@B.V3-1C.叵D.2-V3
23
22
4.(24-25高三•全国•模拟,多选)设。为坐标原点,用工分别是双曲线C:^—5=1(〃〉0乃>0)的左、
ab
右焦点,P是c上的一点,且(丽+丽)•朋=0,若AP片外的内切圆半径为。,设内切圆圆心/(%,%),
贝I()
=2
A.x0«B.耳鸟为直角三角形
C.AP耳石的面积为D.C的离心率为百+1
22
5.(23-24高三・广东揭阳•模拟)已知椭圆E卞+*1("6>0)的左、右焦点分别为耳,耳,尸为E上且不
与顶点重合的任意一点,/为周鸟的内心,。为坐标原点,记直线OR。/的斜率分别为勺,h,若
3
K=-k2,则E的离心率为.
题型八:焦点三角形:焦半径型
指I点I迷I津
圆锥曲线焦半径统一结论I尸川=—丑_(6>=ZPFX(PFY)),其中P为交点到准线的距离,对椭圆和
l-ecos^
^2
双曲线而言P=——
C
|PF|=——,(^=ZPFX(FFY))
对于抛物线,则1-cos。
(21-22高三上•全国•阶段练习)6>0)上的一点,片,鸟是椭圆
的左、右焦点,若△”?;与为等腰三角形,则该椭圆的离心率为()
A.zB.g
34
c.;或,P,2-y/10—2
D.§或丁
23
22
2.(22-23高二下•重庆沙坪坝,阶段练习)设椭圆C:[+q=l(a>b>0)的右焦点为尸,椭圆C上的两
ab
点/、8关于原点对称,且满足成.丽=0,|F5|<|K4|<3|ra|,则椭圆C的离心率的取值范围是()
4、
叵Vio冬£一1D.[V3-l,l)
A.B.,'丁C.
7
3.(2024•陕西西安・一模)已知农历每月的第f+1天(O4V29jeN)的月相外边缘近似为椭圆的一半,方
______2________|_2__1
程为,兀r23,其中『为常数.根据以上信息,下列说法中正确的有()
(29)
①农历每月第d(1<d<30,deN*)天和第30-"天的月相外边缘形状相同;
②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为2厂;
③月相外边缘的离心率第8天时取最大值;
④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间[曰,1]内.
A.①③B.②④C.①②D.③④
22
4.(23-24高三上•江西・模拟,多选)已知。为坐标原点,F”片分别为双曲线C:♦-4=1(。>0,
ab
b>0)的左、右焦点,点"为双曲线右支上一点,设NF,MFi,过"作两渐近线的垂线,垂足分别为
P,Q,则下列说法正确的是()
A.阳M的最小值为一
B.|四刊・|磔|为定值
C.若当。时△。咋恰好为等边三角形,则双曲线C的离心率为2G-2
D.当。时若直线耳〃与圆x2+/=/相切,则双曲线C的离心率为也1+6百
33
22
5.(23-24高三•河南许昌•阶段练习)已知椭圆斗+4=1(a>6>0)的左、右焦点分别为耳工,尸是椭圆上
ab
一点,居是以外尸为底边的等腰三角形,且60。</咫8〈120。,则该椭圆的离心率的取值范围是.
题型九:焦点三角形:离心率范围最值
;指I点I迷I津
求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
①求出a,c,代入公式e=£;
a
②只需要根据一个条件得到关于凡仇c的齐次式,结合〃=/一。2转化为0,c的齐次式,然后等式(不等式)
•两边分别除以。或/转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
22
1.(20-21高三•新疆乌鲁木齐•阶段练习)已知片,月是椭圆会+==1(。>6>0)的两个焦点,若存在点P
为椭圆上一点,使得/月咫=60。,则椭圆离心率e的取值范围是().
「血?1八Pi内
0,——----
A.—,1B.C.I_一2,1J|D.[2'2)
_2,\2/
22
2.(22-23高三上•内蒙古呼和浩特•阶段练习)已知椭圆\+4=1(。>6>0)的两个焦点为
ab
片(-c,。)、玛(c,0),“是椭圆上一点,且满足加求椭圆的离心率e的取值范围为()
、
A.B.C.
7
3.(22-23高三•广东湛江•模拟)椭圆C的两个焦点分别是匕,F2,若C上的点P满足|PF1|^||F/?卜
则椭圆C的离心率e的取值范围是
A.e<-^B.
c-'《《吉D.0<e<^-<e<l
22
4.(20-21高三•江苏南京•阶段练习,多选)已知椭圆鼻+与=l(a>b>0)的离心率为e,大、片分别为椭圆
ab
的两个焦点,若椭圆上存在点P使得』耳尸且是钝角,则满足条件的一个e的值()
22
5.(2020•山东枣庄,一模)已知椭圆]+l=l(a>6>0)的左右焦点分别为大(-c,0),月(。,0)且,〉c,若
ab
在椭圆上存在点尸,使得过点P可作以丹外为直径的圆的两条互相垂直的切线,则椭圆离心率的范围为.
题型十:焦点弦定比分点求离心率
指I点I迷I津
性质:过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴(椭圆是长轴,双曲线是实轴)的夹角为
'9,且万砺,(注意方向)则ecosg"」(e为离心率)
4+1
22
1.(2023•湖北•模拟预测)已知片,£分别是双曲线=l(a>0/>0)的左、右焦点,过片的直线
分别交双曲线左、右两支于/,B两点,点C在x轴上,口=3项,B*平分/RBC,则双曲线「的离心
率为()
A.A/7B.y/sC.VsD.yf2.
22
2.(22-23高二下•湖南岳阳•模拟)已知双曲线C:0-七=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为月,月•点/
ab
在C上,点8在y轴上,F\ALF;B,9=-§石方,则C的离心率为()
V5„375n273
5533
22
3.(2024•浙江台州•二模)设片,月是双曲线C:a-方=1(q>0/>0)的左、右焦点,点M,N分别在双
TT--------
曲线。的左、右两支上,且满足N"KN=H,NF?=2MF\,则双曲线。的离心率为()
7l5
A.2B.—C.-73D.一
32
22
4.(23-24高三上•辽宁朝阳•阶段练习,多选)已知双曲线C:二一七=1(。>0)>0)的右焦点为尸,过点
ab~
尸作C的一条渐近线的垂线,垂足为4该垂线与另一条渐近线的交点为2,若|FB|=(2+l)|E4](/>0),
则C的离心率e可能为()
J34+313+3
V3A+1V22
22
5.(23-24高三下•西藏拉萨•阶段练习)设双曲线C:5-』=l("0,6>0)的左、右焦点分别为4,心,/为
ab
左顶点,过点片的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点(点M在第一象限).若诙=4丽,则双
曲线C的离心率e=,cosZFtMF2=.
题型十一:焦点三角形:余弦定理
指I点I迷I津
圆锥曲线具有中心对称性质,内接焦点四边形性质:
1.焦点四边形具有中心对称性质。
2.焦点四边形可分割为两个焦点三角形,具有焦点三角形性质。
3.焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形,可以用双余弦定理求解
22
1.(2023•山西•模拟预测)已知双曲线£:三-k=1(〃>0/>0)的左、右焦点分别为片,F2,尸是双曲线£
v5
上一点,PFQg,/耳整的平分线与x轴交于点Q,v=§,则双曲线E的离心率为()
u△巡0
A.V2B.2c-T
x32
2.(23-24高三•黑龙江哈尔滨•阶段练习)已知"为椭圆:1=1(。〉6〉0)上一点,K,月为左右焦
/+b2
八,凡若Esina-si益na嬴cos言B"则1禺1一心率一八()
点,设/MF]F2=a,
1112
A.-B.一C.一D.-
4323
3.(23-24高二下•江苏•开学考试)双曲线C的两个焦点为片、月,以C的实轴为直径的圆记为D,过不
作圆。的切线与C的两支分别交于M、N两点,且/片叫=45。,则C的离心率为()
RD.不--C.V3D.V7
2
22
4.(2024•广东广州•模拟预测,多选)已知椭圆E:[+==1的左、右焦点为片,F],过工
ab
7
的直线与E交于M,N两点.若cos/邛明=%,|〃^=|孙|.则()
9
A吐।1
A.△片MN的周长为4aB.阔=万
C.MN的斜率为土出D.椭圆E的离心率为必
3
22
5.(2023•浙江嘉兴•二模)已知椭圆C:=+4=l(a>6>0)的左、右焦点分别为片,g,离心率为e,点p
ab
在椭圆上,连接咫并延长交c于点。,连接外,若存在点尸使归。|=|。闾成立,则e2的取值范围
为.
题型十二:焦点三角形:双角度型
;指I点I迷I津
x2y21
---\--=I
:设椭圆片N(a>b>0)的两个焦点为Fl、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,
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