圆锥曲线离心率归类（15题型提分练） 原卷版-2025年高考数学

圆锥曲线离心率（15题型提分练）

更盘点•置击塔考

目录

题型一：离心率基础计算..........................................................................1

题型二：定义型求离心率..........................................................................2

题型三：第三定义型（点差法）....................................................................3

题型四：双曲线：渐近线型离心率..................................................................4

题型五：中点与离心率............................................................................5

题型六：a、b、c齐次型...........................................................................6

题型七：焦点三角形：内切圆型....................................................................7

题型八：焦点三角形：焦半径型....................................................................8

题型九：焦点三角形：离心率范围最值..............................................................9

题型十：焦点弦定比分点求离心率.................................................................10

题型十一：焦点三角形：余弦定理.................................................................10

题型十二：焦点三角形：双角度型.................................................................11

题型十三：重心型...............................................................................12

题型十四：双曲线椭圆共焦点型...................................................................14

题型十五：离心率“小题大做”型.................................................................15

结束...........................................................................................16

英突围・檐谁蝗分

题型一：离心率基础计算

;指I点I迷I津

圆锥曲线的离心率的常见基本思维方法和基础计算：

；定义法：通过已知条件列出方程组，求得生。得值，根据离心率的定义求解离心率e；

：基础计算：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式,

：结合离心率的定义求解；

!特殊值计算法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.

22

1.（24-25高三•重庆•阶段练习）已知椭圆「言+方=1（。＞6＞0）的焦距为2c,若直线丘-3y+（左+8）c=0恒

与椭圆r有两个不同的公共点，则椭圆r的离心率范围为（）

2

2.（2025•安徽・模拟预测）已知双曲线C:/一方=1（6＞0）的左焦点为尸,过坐标原点。作C的一条渐近

线的垂线/,直线/与C交于4,8两点，若尸的面积为宜1,则C的离心率为（）.

3

A.3B.y/sC.2D.石

3.（24-25高三•全国•模拟）设椭圆的两个焦点分别为片，F2,过月作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若AF'PF]

为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）

6-1

A.也c.V2-1

V'4

22

4.（23-24高三•河南，累河•阶段练习，多选）已知椭圆G：土+匕=1与双曲线G：J-J2==1

16916-A：A--9

（9＜左＜16）,下列关于两曲线的说法正确的是（）

A.G的长轴长与的实轴长相等B.G的短轴长与的虚轴长相等

C.焦距相等D.离心率不相等

fv2

5.（24-25高三上,北京•阶段练习）已知双曲线。:=-==1伍＞0）的两条渐近线互相垂直，则C的离心

ab

率为.

题型二：定义型求离心率

指I点I迷I津

解题时要把所给的几何特征转化为a,6,c的关系式.求离心率的常用方法有：

⑴根据条件求得。也c,利用e，或e=Jl+£求解；

aVa'

（2）根据条件得到关于。力,。的方程或不等式，利用e=£将其化为关于e的方程或不等式，然后解方程或不等式

a

即可得到离心率或其范围.

22

1.（23-24高二下•湖南郴州,模拟）已知尸为椭圆。:\+勺=1（°>6>0）上一动点，用、耳分别为其左右焦

ab

点，直线尸片与C的另一交点为6的周长为16.若尸片的最大值为6,则该椭圆的离心率为（）

fv2L

2.（2023・广西南宁•模拟预测）已知椭圆C:「+A=l（〃>b>0）,片，片分别为椭圆的左右焦点，直线y=^3x

ab

与椭圆交于N、8两点，若月、4、月、8四点共圆，则椭圆的离心率为（）

A.也B.V3C.V3-1D.正1

32

22

3.（2024・贵州•三模）已知椭圆。:'+2=1（°>6>0）的左、右焦点分别为耳过点月的直线/与椭圆C

ab

交于尸，。两点，若丁。|：闺尸|：闺。|=1:3:5,则该椭圆的离心率为（）

A.—B.—C.昱D.在

2323

22

4.（23-24高三・云南•阶段练习，多选）椭圆。:\+q=15>6>0）的左、右两焦点分别是4,E,其中

ab

|丹勾=2c.过左焦点的直线与椭圆交于48两点.则下列说法中正确的有（）

A.4/8巴的周长为4a

*

B.若的中点为所在直线斜率为3则自”•左=-4

a

c.若|”|的最小值为3c,则椭圆的离心率e=；

D.若斯•正=3,2,则椭圆的离心率的取值范围是¥，［

22

5.（20-21•河南驻马店•模拟）已知片，月是双曲线。:三-3=1（°>0力〉0）的左右焦点，过大且倾斜角

为60。的直线/与C的左、右两支分别交于A、5两点.若3月，耳月，则双曲线C的离心率为.

题型三：第三定义型（点差法）

指I点I迷I津

22

椭圆：设直线和椭圆丫22的两个交点/（/,必），B（、2,%），代入椭圆方程，得%+4=1；

±_+2J_=1ab

a2bz,2

222222

匹-x%一必（$+%）（占—%）_（必+%）（5一%）

将两式相减，可得2+=0；

务十金ja2b2a2b2

最后整理得：1=一：”2「）nir”

b（玉+%2）（再一工2）b-x0

[=/（M+%）（%一%）nl=k4-^

同理，双曲线用点差法，式子可以整理成:

2（+%2）（再一工2）

bxxbx0

抛物线：设直线和曲线的两个交点/（%,必），5区,%），代入抛物线方程，得必2=2W；乂2=2夕/；

尸=（乂+%）3-幻=麦.%

可得

22

1.（22-23高三•山西长治•模拟）已知直线y=-x+l与椭圆:下方=1（〃>6>0）相交于48两点，且线段48

的中点在直线x-2y=0上，则此椭圆的离心率为（）

A.且B.-C.—D."

3222

22

2.（20-21高三•江西南昌•模拟）双曲线、-2=1（。>0,6>0）的右焦点为尸（4,0）,设A、3为双曲线上关

ab

于原点对称的两点，力厂的中点为〃，8尸的中点为N,若原点。在以线段的V为直径的圆上，直线25的

斜率为£1,则双曲线的离心率为（）

7

A.4B.2C.V5D.V3

221

3.（20-21高三•江西抚州,模拟）已知椭圆的方程为亍+方=1（。>6>0）,斜率为-]的直线/与椭圆相交

于A,8两点，且线段45的中点为M（l,2）,则该椭圆的离心率为（）

2

4.(2021•河北石家庄•二模，多选)已知双曲线C：^-x2=l(a>0),其上、下焦点分别为片，鸟，。为

坐标原点.过双曲线上一点河(%,%)作直线/,分别与双曲线的渐近线交于尸，。两点，且点”为中点,

则下列说法正确的是()

A.若了轴，则|尸。|=2.

B.若点M的坐标为。,2),则直线/的斜率为:

C.直线尸。的方程为警-XQX=1.

a

D.若双曲线的离心率为且，则三角形。尸。的面积为2.

2

22

5.(23-24高三•黑龙江哈尔滨•模拟)已知直线y=r+l与椭圆Xl(a>6>0)相交于48两点，且

线段48的中点在直线/：x-4y=0上，则此椭圆的离心率为.

题型四：双曲线：渐近线型离心率

指I点I迷I津

双曲线渐近线性质：

(1)焦点到渐近线的距离为b

(2)定点到渐近线的距离为2

a

(3)一直线交双曲线二-与=1的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M,则七“小”二与.

aba

(4)过双曲线「-=^=l上任意一点P做切线，分别角两渐近线于M,N两点，0为坐标原点则有如下结论:

ab

①OM-ON=a2+b2；②=a?+b?；③SAo«w=ab

22

1.(2022高三•全国,专题练习)双曲线C:1-方=l(“>0,b>0)的右焦点为尸，若以点尸为圆心，半径

为4的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的离心率等于()

A.'B.72C.2D.272

22

2.（2022•山西晋中•二模）已知双曲线C：£=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为不（-的0）,；s（c,0）,

平面内一点P满足尸耳，尸巴，石的面积为点。为线段期的中点，直线。。为双曲线的一条渐近

线，则双曲线C的离心率为（）

A.V5B.有或昱C."D.2

22

22

3.（2024•全国•模拟预测）已知双曲线C：[-4=1（«>0,b>0）的左、右焦点分别为月，月，过《

ab

作以《为圆心，虚半轴长为半径的圆的切线，切点为“，若线段儿阴恰好被双曲线c的一条渐近线平分，

则双曲线C的离心率为（）

A.-^2B.y/3C.2D.575

4.（22-23高三・河北保定•模拟，多选）已知双曲线。:彳-4=1（。>0力〉0）的左、右焦点分别为片，月，

a"b"

点M为双曲线C右支上一点，且儿阴，〃若“与一条渐近线平行，则（）

A.双曲线C的离心率为石

B.双曲线C的渐近线方程为y=±岳

C.△血用石的面积为/

D.直线孙与圆。:/+了2=力相切

6.（21-22高三上•辽宁•阶段练习）等轴双曲线是一种特殊的双曲线，特点是渐近线互相垂直且离心率为

6,y=-（左/0）的图象是等轴双曲线，设双曲线>=廿1的焦点为/、B,则直线的方程为,

若。为坐标原点，则AOAB的面积为.

题型五：中点与离心率

———————————————————————————————————————————————————————————————————————————―-

"旨I点I迷I津

直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该

:式子。主要有以下几种问题：

；（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；

中点M（Xo，%）,/=,%,=一；8

22

1.（22-23高三上•浙江•模拟）已知双曲线C:三-胃=1（。>0/>0）的左右焦点分别为片，F2,过月的直

线/交双曲线的右支于A,3两点.点M满足京+丽=2施，且万7.函=0,若cos//£B="则双曲

线的离心率是（）

B.V3D.V5

22

2.（23-24高三下,湖北武汉,阶段练习）已知双曲线-2=1（。>0,6>0）的右焦点为尸，其左右顶点分

别为42,过尸且与x轴垂直的直线交双曲线E于",N两点，设线段〃厂的中点为。若直线AP与直线3

的交点在了轴上，则双曲线E的离心率为（）

D.百

22

3.（2024•四川雅安三模）设斗鸟分别为双曲线C:*-A=l（a>0/>0）的左右焦点，过点月的直线交

双曲线右支于点交y轴于点N,且月为线段"N的中点，并满足而，而，则双曲线C的离心率为

B.V3+1D.V5+1

22

4.（23-24高三•内蒙占巴彦淖尔•模拟，多选）已知O为坐标原点，下是椭圆的右

焦点，>=履与C交于42两点，MN分别为N凡好的中点，若OM1ON,则C的离心率可能为（）

A3B&r1口向

4226

22

5.（2025高三•全国•专题练习）已知椭圆*+方=1（°>6>0）的左焦点是片，左顶点为A,直线>=区交

椭圆于尸、。两点（P在第一象限），直线尸耳与直线交于点。，且点。为线段的中点，则椭圆的离心

率为.

题型六：a、b、c齐次型

指I点I迷I津

只需要根据一个条件得到关于a,6,c的齐次式，结合〃=c2一苏转化为°,。的齐次式，然后等式（不等式）

两边分别除以a或/转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

22

1.（2022•山东临沂•模拟）片，月是双曲线C:♦方=1（。>0,6>0）的左、右焦点，直线I为双曲线C的一

条渐近线，耳关于直线I的对称点为转，且点或在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C

的离心率为

A.V2B.V5C.2D.V3

22

2.（2024,湖南•三模）已知耳巴是椭圆。:[+2=1（。>6>0）的左、右焦点，O是坐标原点，过片作直线

ab

与C交于1,8两点，若|/8|=|/切，且A04用的面积为如〃，则椭圆C的离心率为（）

6

A百口Gr6n6

12632

22

3.（2024•内蒙古呼和浩特•一模）已知椭圆C:「+q=1（。>6>0）的左、右顶点分别为43,左焦点为尸,P

ab

为椭圆上一点，直线"与直线交于点的角平分线与直线x交于点N,若PF人AB,

,7

的面积是△NF8面积的万倍，则椭圆C的离心率是（）

4.（22-23高三•辽宁铁岭•阶段练习，多选）如图，已知椭圆C：£+4=1缶>6>1）,4分别为左、

ab

右顶点，可，不分别为上、下顶点，F、,月分别为左、右焦点，点P在椭圆C上，则下列条件中能使C

的离心率为1二1■的是（

2

A.\OF^-\OA^=\OB^B./片44=90°

C.轴，且尸。〃小耳D.四边形44纱2的内切圆过焦点片，月

22

5.（2024・福建•模拟预测）已知双曲线C:二-与=1（。>0,6>0）的左焦点为「过/的直线/交圆X?+/=/

ab

于a2两点，交c的右支于点尸.若M厂H8P,1^1=2|^|,则c的离心率为.

题型七：焦点三角形：内切圆型

22

1.（23-24高三下•重庆沙坪坝•阶段练习）如图，双曲线氏二-4=1的左右焦点分别为月，耳，若存在过

ab

月的直线/交双曲线£右支于A,5两点，且耳玛，&的内切圆半径勺々满足k=4々，则双曲

C.(2,473)D.(1,473)

22

2.（2024•山东济宁•三模）已知双曲线C:=-4=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为耳，巴，根据双曲线

的光学性质可知，过双曲线C上任意一点尸（%,%）的切线/:苦一等=1（。>0,6>0）平分/耳尸耳.直线4过

月交双曲线C的右支于4,5两点，设△，々KQB耳BQ4他的内心分别为A/，/，若4〃1，2与的面

积之比为］,则双曲线。的离心率为（）

A.3B.空C.3D,正

2333

3.（24-25高三上•云南昆明•阶段练习）已知椭圆嗒+居=l（a>b>0）的左、右焦点分别为片，与，点

P（X1，V1）是c上的一点，△尸片外的内切圆圆心为外孙及），当％=2时，X2=V3,则C的离心率为（）

A.@B.V3-1C.叵D.2-V3

23

22

4.（24-25高三•全国•模拟，多选）设。为坐标原点，用工分别是双曲线C：^—5=1（〃〉0乃>0）的左、

ab

右焦点，P是c上的一点，且（丽+丽）•朋=0,若AP片外的内切圆半径为。，设内切圆圆心/（%,%）,

贝I（）

=2

A.x0«B.耳鸟为直角三角形

C.AP耳石的面积为D.C的离心率为百+1

22

5.（23-24高三・广东揭阳•模拟）已知椭圆E卞+*1（"6>0）的左、右焦点分别为耳,耳,尸为E上且不

与顶点重合的任意一点，/为周鸟的内心，。为坐标原点，记直线OR。/的斜率分别为勺，h，若

3

K=-k2,则E的离心率为.

题型八：焦点三角形：焦半径型

指I点I迷I津

圆锥曲线焦半径统一结论I尸川=—丑_（6>=ZPFX（PFY））,其中P为交点到准线的距离，对椭圆和

l-ecos^

^2

双曲线而言P=——

C

|PF|=——,(^=ZPFX(FFY))

对于抛物线，则1-cos。

（21-22高三上•全国•阶段练习）6>0）上的一点，片，鸟是椭圆

的左、右焦点，若△”?；与为等腰三角形，则该椭圆的离心率为（）

A.zB.g

34

c.；或,P，2-y/10—2

D.§或丁

23

22

2.（22-23高二下•重庆沙坪坝,阶段练习）设椭圆C：［+q=l（a>b>0）的右焦点为尸，椭圆C上的两

ab

点/、8关于原点对称，且满足成.丽=0,|F5|<|K4|<3|ra|,则椭圆C的离心率的取值范围是（）

4、

叵Vio冬£一1D.[V3-l,l)

A.B.，'丁C.

7

3.（2024•陕西西安・一模）已知农历每月的第f+1天（O4V29jeN）的月相外边缘近似为椭圆的一半，方

______2________|_2__1

程为，兀r23，其中『为常数.根据以上信息，下列说法中正确的有（）

（29）

①农历每月第d（1<d<30,deN*）天和第30-"天的月相外边缘形状相同；

②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为2厂；

③月相外边缘的离心率第8天时取最大值；

④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间［曰,1］内.

A.①③B.②④C.①②D.③④

22

4.（23-24高三上•江西・模拟，多选）已知。为坐标原点，F”片分别为双曲线C：♦-4=1（。>0,

ab

b>0）的左、右焦点，点"为双曲线右支上一点，设NF,MFi,过"作两渐近线的垂线，垂足分别为

P,Q,则下列说法正确的是（）

A.阳M的最小值为一

B.|四刊・|磔|为定值

C.若当。时△。咋恰好为等边三角形，则双曲线C的离心率为2G-2

D.当。时若直线耳〃与圆x2+/=/相切，则双曲线C的离心率为也1+6百

33

22

5.（23-24高三•河南许昌•阶段练习）已知椭圆斗+4=1（a>6>0）的左、右焦点分别为耳工，尸是椭圆上

ab

一点，居是以外尸为底边的等腰三角形，且60。</咫8〈120。，则该椭圆的离心率的取值范围是.

题型九：焦点三角形：离心率范围最值

;指I点I迷I津

求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：

①求出a，c,代入公式e=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于凡仇c的齐次式，结合〃=/一。2转化为0,c的齐次式，然后等式（不等式）

•两边分别除以。或/转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

22

1.（20-21高三•新疆乌鲁木齐•阶段练习）已知片，月是椭圆会+==1（。>6>0）的两个焦点，若存在点P

为椭圆上一点，使得/月咫=60。，则椭圆离心率e的取值范围是（）.

「血?1八Pi内

0,——----

A.—,1B.C.I_一2,1J|D.[2'2)

_2，\2/

22

2.（22-23高三上•内蒙古呼和浩特•阶段练习）已知椭圆\+4=1（。>6>0）的两个焦点为

ab

片（-c,。）、玛（c,0）,“是椭圆上一点，且满足加求椭圆的离心率e的取值范围为（）

、

A.B.C.

7

3.（22-23高三•广东湛江•模拟）椭圆C的两个焦点分别是匕，F2，若C上的点P满足|PF1|^||F/？卜

则椭圆C的离心率e的取值范围是

A.e<-^B.

c-'《《吉D.0<e<^-<e<l

22

4.（20-21高三•江苏南京•阶段练习，多选）已知椭圆鼻+与=l（a>b>0）的离心率为e,大、片分别为椭圆

ab

的两个焦点，若椭圆上存在点P使得』耳尸且是钝角，则满足条件的一个e的值（）

22

5.（2020•山东枣庄,一模）已知椭圆］+l=l（a>6>0）的左右焦点分别为大（-c,0）,月（。,0）且，〉c,若

ab

在椭圆上存在点尸，使得过点P可作以丹外为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范围为.

题型十：焦点弦定比分点求离心率

指I点I迷I津

性质：过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为

'9,且万砺,（注意方向）则ecosg"」（e为离心率）

4+1

22

1.（2023•湖北•模拟预测）已知片，£分别是双曲线=l（a>0/>0）的左、右焦点，过片的直线

分别交双曲线左、右两支于/,B两点,点C在x轴上，口=3项，B*平分/RBC,则双曲线「的离心

率为（）

A.A/7B.y/sC.VsD.yf2.

22

2.（22-23高二下•湖南岳阳•模拟）已知双曲线C:0-七=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为月，月•点/

ab

在C上，点8在y轴上，F\ALF;B,9=-§石方，则C的离心率为（）

V5„375n273

5533

22

3.（2024•浙江台州•二模）设片，月是双曲线C：a-方=1（q>0/>0）的左、右焦点，点M,N分别在双

TT--------

曲线。的左、右两支上，且满足N"KN=H，NF?=2MF\,则双曲线。的离心率为（）

7l5

A.2B.—C.-73D.一

32

22

4.（23-24高三上•辽宁朝阳•阶段练习，多选）已知双曲线C：二一七=1（。>0）>0）的右焦点为尸，过点

ab~

尸作C的一条渐近线的垂线，垂足为4该垂线与另一条渐近线的交点为2,若|FB|=（2+l）|E4］（/>0）,

则C的离心率e可能为（）

J34+313+3

V3A+1V22

22

5.（23-24高三下•西藏拉萨•阶段练习）设双曲线C:5-』=l（"0,6>0）的左、右焦点分别为4,心,/为

ab

左顶点，过点片的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点（点M在第一象限）.若诙=4丽，则双

曲线C的离心率e=,cosZFtMF2=.

题型十一：焦点三角形：余弦定理

指I点I迷I津

圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：

1.焦点四边形具有中心对称性质。

2.焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。

3.焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解

22

1.（2023•山西•模拟预测）已知双曲线£:三-k=1（〃>0/>0）的左、右焦点分别为片，F2,尸是双曲线£

v5

上一点，PFQg,/耳整的平分线与x轴交于点Q,v=§,则双曲线E的离心率为（）

u△巡0

A.V2B.2c-T

x32

2.（23-24高三•黑龙江哈尔滨•阶段练习）已知"为椭圆:1=1（。〉6〉0）上一点，K,月为左右焦

/+b2

八，凡若Esina-si益na嬴cos言B"则1禺1一心率一八（）

点,设/MF]F2=a,

1112

A.-B.一C.一D.-

4323

3.（23-24高二下•江苏•开学考试）双曲线C的两个焦点为片、月，以C的实轴为直径的圆记为D,过不

作圆。的切线与C的两支分别交于M、N两点，且/片叫=45。，则C的离心率为（）

RD.不--C.V3D.V7

2

22

4.（2024•广东广州•模拟预测，多选）已知椭圆E：[+==1的左、右焦点为片，F],过工

ab

7

的直线与E交于M,N两点.若cos/邛明=%,|〃^=|孙|.则（）

9

A吐।1

A.△片MN的周长为4aB.阔=万

C.MN的斜率为土出D.椭圆E的离心率为必

3

22

5.（2023•浙江嘉兴•二模）已知椭圆C:=+4=l（a>6>0）的左、右焦点分别为片,g,离心率为e,点p

ab

在椭圆上，连接咫并延长交c于点。，连接外，若存在点尸使归。|=|。闾成立，则e2的取值范围

为.

题型十二：焦点三角形：双角度型

;指I点I迷I津

x2y21

---\--=I

:设椭圆片N（a>b>0）的两个焦点为Fl、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中,