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文档简介

圆锥曲线离心率(15题型提分练)

更盘点•置击塔考

目录

题型一:离心率基础计算..........................................................................1

题型二:定义型求离心率..........................................................................3

题型三:第三定义型(点差法)....................................................................5

题型四:双曲线:渐近线型离心率..................................................................8

题型五:中点与离心率...........................................................................11

题型六:a、b、c齐次型..........................................................................13

题型七:焦点三角形:内切圆型...................................................................17

题型八:焦点三角形:焦半径型...................................................................20

题型九:焦点三角形:离心率范围最值.............................................................24

题型十:焦点弦定比分点求离心率.................................................................26

题型十一:焦点三角形:余弦定理.................................................................29

题型十二:焦点三角形:双角度型.................................................................32

题型十三:重心型...............................................................................35

题型十四:双曲线椭圆共焦点型...................................................................39

题型十五:离心率“小题大做”型.................................................................42

^突围・檐;住蝗分

题型一:离心率基础计算

;指I点I迷I津

:圆锥曲线的离心率的常见基本思维方法和基础计算:

;定义法:通过已知条件列出方程组,求得生。得值,根据离心率的定义求解离心率e;

:基础计算:由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式,然后转化为关于e的一元二次方程或不等式,

:结合离心率的定义求解;

:特殊值计算法:根据特殊点与圆锥曲线的位置关系,利用取特殊值或特殊位置,求出离心率问题.

22

1.(24-25高三•重庆•阶段练习)已知椭圆「言+方=1(。>6>0)的焦距为2c,若直线丘-3y+(左+8)c=0恒

与椭圆r有两个不同的公共点,则椭圆「的离心率范围为()

°4

A.°5B.C.P1D.

【答案】A

【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点8在椭圆内部,整理不等式目c<且可得离心率

33a

0<e<-.

3

【详解】将直线h—3歹+(左+8)c=0整理可得左(x+c)—3y+8c=0,

易知该直线恒过定点卜,iq,

=0恒与椭圆「有两个不同的公共点,可知点,c,:c)在椭圆内部;

若直线丘-3》+(左+8)c

易知椭圆上的点当其横坐标为-c时,纵坐标为士Q,即可得5c〈工,

a3a

整理可得3c?+8ac-3a2c0,gp3e2+8e-3<0,解得0<e<;.故选:A

2

2.(2025•安徽,模拟预测)已知双曲线。:%2-方=1仅>0)的左焦点为尸,过坐标原点。作C的一条渐近

线的垂线/,直线/与C交于/,8两点,若尸的面积为38,则C的离心率为().

3

A.3B.V5C.2D.V3

【答案】B

IIb

【分析】根据题意可得/:X=-勿,联立方程解得|y|=cj62T,根据面积关系可得6=2,即可得离心率.

则尸(-c,0),

x=-by

IIb

不妨取一条渐近线为y=6x,贝〃:工=-勿,联立方程2r_)解得,由对称性可知:点。

Ix'W

为线段"的中点,则也一口一小小岛与

即而]=,解得6=2,则c=J1+V=一,所以C的离心率为e=g=退.故选:B.

3.(24-25高三•全国•模拟)设椭圆的两个焦点分别为片,F2,过月作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△£时

为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是()

B.C.V2-1D,

AT24

【答案】C

【分析】设椭圆的长轴长为2a,半焦距为c,则由题意可得|尸引=2c,\PFt\=242c,然后结合椭圆的定义

列方程化简可求出椭圆的离心率.

设椭圆的长轴长为2a,半焦距为c,则闺闾=2c,

贝1Pg|=2c,|P7?|=2V2C,于是2a=|尸胤+|尸闾=2也c+2c,.-.e=-|=||=^^^=72-1.故选:C

2222

4.(23-24高三•河南瀑河•阶段练习)已知椭圆G:三r+乙-p=1与双曲线G:上Y-夫p=1(9<左<16),

16916-A-k-9

下列关于两曲线的说法正确的是()

A.C/的长轴长与G的实轴长相等B.G的短轴长与的虚轴长相等

C.焦距相等D.离心率不相等

【答案】CD

【分析】利用定义分别写出椭圆和双曲线的长短半轴、实半轴虚半轴以及焦虑和离心率,就可以对四个选

项进行判断了.

【详解】椭圆G:长轴半…,短半轴—,焦半距=内离心率

双曲线c:长轴半,=J16-左,短半轴4=五二?,焦半距02=疗,离心率02=2=J;

2出V16—k

W4,•••选项A不正确;•咕W/,工选项B不正确;・・・。1=g,・•・选项C正确;

,W6,.•.选项D正确;故选:CD

22

5.(24-25高三上•北京,阶段练习)已知双曲线。:二-3=1仅>0)的两条渐近线互相垂直,则C的离心

ab

率为.

【答案】V2

【分析】利用双曲线的对称性得出一条渐近线的倾斜角,从而判定。力关系,再求离心率即可.

jrhTT

【详解】根据双曲线的对称性可知该双曲线的一条渐近线倾斜角为7,所以厂

则其离心率为e=Yd二=VL故答案为:72

a

题型二:定义型求离心率

指I点I迷I津

解题时要把所给的几何特征转化为Ac的关系式.求离心率的常用方法有:

(1)根据条件求得。也c,利用e=£或e=Jl+£求解;

aVa23

(2)根据条件得到关于。力"的方程或不等式,利用e=£将其化为关于e的方程或不等式,然后解方程或不等式

a

即可得到离心率或其范围.

22

1.(23-24高二下•湖南郴州•模拟)已知P为椭圆C:\+2=l(a>6>0)上一动点,原与分别为其左右焦

ab

点,直线用与c的另一交点为用的周长为16.若尸片的最大值为6,则该椭圆的离心率为()

【答案】C

【分析】利用椭圆的标准方程及其参数6、c的关系即可得出结果.

4a=16

【详解】设椭圆的半焦距为C,则由题设得{

Q+C=6

1

解得{a=4、,所以椭圆的-离心率为e=Rr=:.故选:C.

c=2a2

22

2.(2023•广西南宁•模拟预测)已知椭圆C:三+[=l(a>b>0),片,耳分别为椭圆的左右焦点,直线y=

ab

与椭圆交于4、8两点,若片、/、耳、8四点共圆,则椭圆的离心率为()

A.且B.V3C.V3-1D.3匚

32

【答案】C

【分析】

根据四点共圆及丁=底的倾斜角得到名为等边三角形,故|。8|=|/月|=。,进而求出恒胤=小,利

用椭圆定义得到方程,求出离心率.

【详解】因为片、/、月、8四点共圆,。为圆心,所以|/同=|耳用=2c,故|/O|=c,又y=氐的倾斜角

为故△/。耳为等边三角形,故叫=|48卜c,由勾股定理得耳|=J闺阊2_恒用2=Gc,由椭

c2/~

圆定义可得HW+H居1=2。,即c+gc=2a,解得「=^^=43-1.故选:C

22

3.(2024・贵州•三模)已知椭圆C:\+A=l(a>b>0)的左、右焦点分别为片,耳,过点月的直线/与椭圆C

ab

交于尸,。两点,若优。|:闺耳:|百。|=1:3:5,则该椭圆的离心率为()

A.—B.—C.立。.旦

2323

【答案】A

【分析】

根据条件,结合椭圆的定义,可判断点尸的位置,再结合椭圆的几何性质,即可求解.

【详解】由内Q|:阳尸|:闺。|=1:3:5,设区Q|=x,阳P|=3x,阳Q|=5x,

由椭圆的定义可知,闺。|+|8。|=|耳尸|+K/=6X,

所以区尸卜内尸|=3x,所以点尸在短轴端点,如图,则国尸|=3x,|尸Q|=4x,闺Q|=5x

所以尸耳,尸名,贝11|「£|=a|。用,即4=gc,所以椭圆的离心率e=£=正.故选:A

a2

22

4.(23-24高三•云南•阶段练习)椭圆C:I+2=l(“>6>0)的左、右两焦点分别是昂巴,其中

ab

|丹q=2c.过左焦点的直线与椭圆交于42两点.则下列说法中正确的有()

A.乙的周长为4a

*

B.若的中点为所在直线斜率为3则七.•左=-彳

a

C.若|48|的最小值为3c,则椭圆的离心率e=:

_______,「右1

D.若/片•/工=3°2,则椭圆的离心率的取值范围是—

【答案】ACD

【分析】对于A,根据椭圆的定义即可;对于B,利用点差法结合斜率公式即可;

对于C,根据通经的性质结合离心率即可;对于C,根据向量的数量积整理函数解析式即可.

【详解】•••直线过左焦点耳.•.-3"的周长为|/耳|+|/用+忸耳|+忸阊=4a,A正确;

22

4+处,①

设/(西,弘),3(%2,%),则「,点•%+马必+%'.,".=富・由'ab

2222

之+共=1,②

、ab

22

①-②得(网+编?「切=(必+%)(%-%).乂一%(玉+x2)Z?1b762M

------3,•二7左。河•左二—①,故B错

2k

abxx-x2(必+%)/oMa------------a

22i_l

误;当ZB/x轴时,|叫最小,令工=一1+2=1,解得k±幺,

aba

?A21

—=3c,整理得2/+3ac—2a2=0,即2/+3e—2=0,解得。=彳或-2(舍去),故C正确;

a2

__________________________________________2

AF]—(一。—王,一切),AF?=(c-%],一必),.二4F1,A,F2=(-c/)(c一石)+=x;+—c2=-5%;+/—2/—3c2,

•.•》;€「0,1],,/一2024「d+/一2°24/—o2,^a2-2c2<3c2<a2-c2,即可得

1LJa215a24

e=-e当,!,则椭圆的离心率的取值范围是,D正确.故选:ACD.

〃[52J]52

22

5.(20-21•河南驻马店•模拟)已知片,月是双曲线。:彳-)=1(a〉08>0)的左右焦点,过耳且倾斜角

为60。的直线/与C的左、右两支分别交于A、3两点.若3名,耳巴,则双曲线C的离心率为.

【答案】2+百

【分析】依题意可得|明|=4c,忸q=2小,由双曲线定义可得结果.

【详解】在直角片中,NBFE=60。,耳=90。,忻m=2c,则忸团=4c,\BF2\=2^3C.

C]r-

由双曲线定义得|的T优|=2a,即4c-2辰=2a,解得0=厂?一百=2+6.

故答案为:

题型三:第三定义型(点差法)

指I点I迷I津

22

椭圆:设直线和椭圆丫22的两个交点2(再,必),BQ2,%),代入椭圆方程,得飞+"=1;

工+里=1ab

4b2

222222

(匹+%2)(再一12)_(必+%)(.%-%)

与+0=1;将两式相减,可得为二♦+必二必二0;

a2b2a2b2a2

/(%+%)(%-%)

最后整理得:1=

2+%2)(2)2

b(xx占一工bx0

1=".西

同理,双曲线用点差法,式子可以整理成:

2

Z)(X[+X2)(X1-x2)

抛物线:设直线和曲线的两个交点幺(七,必),8(X2,%),代入抛物线方程,得以2=22再;%2=2网;

尸=(乂+%)(…)-。

可得占一%

22

1.(22-23高三•山西长治•模拟)已知直线>=-龙+1与椭圆:0+4=1(。>6>0)相交于43两点,且线段42

ab~

的中点在直线x-2y=0上,则此椭圆的离心率为()

A.且B.-C.—D.叵

3222

【答案】C

fV=-X+121工2

【解析】联立c八,得到线段42的中点为(不丁),设尸-X+1与=+4=1的交点分别为心,必),

[x-2y=033a2b2

B&,为),利用点差法能求出椭圆的离心率.

【详解】联立广。八,得%="一

[1一2>=033

••・直线”-X+1与x-2y=0的交点为“(;2,;1),.•.线段似的中点为(;251),

设N=-x+l与=+2r=1的交点分别为小不,%),B(X2,y2),则占+马=:,%+%=3,

ab33

I22

玉:%-11

22T+VF-

分别把4%,%),吃,%)代入椭圆/力13>。),得:22,两式相减得:

二+二=1

(%一%)•(必+%)=_j_=a2=lb2,:.a=Cb=Cc,e=~^'"故选:C

2

(X;-x2)-(Xj+x2)2a

22

2.(20-21高三•江西南昌•模拟)双曲线斗-々=1(°>0,6>0)的右焦点为尸(4,0),设A、3为双曲线上关

ab

于原点对称的两点,疝7的中点为",郎的中点为N,若原点。在以线段为直径的圆上,直线48的

斜率为史,则双曲线的离心率为()

7

A.4B.2C.V5D.V3

【答案】B

【解析】设出再,必),则8(-再,-“),得到四(土兽片),N(书心,胃),根据题设条件,化简得到=告,

2222alb/

结合〃=02-/,求得。的值,根据离心率的定义,即可求解.

【详解】设4(再,必),贝”(一百,一必),

因为/尸的中点为监研的中点为N,所以火审争以^^,段),因为原点。在线段为直径的

圆上,所以NNOM=90°,可得bI?•而=;(16-=0,①

(22

又因为点A在双曲线上,且直线的斜率为辿,所以"2”,②联立消去王,弘,可得

73y7

r-Xi

19J⑸

二一市一〒③

又由点尸(4,0)是双曲线的右焦点,可得62=。2一/=16一/,代入③,化简整理得/-32/+7X16=0,解

得力=4或/=28,由于/<02=]6,所以02=28(舍去),

故标=4,解得。=2,所以离心率为e=£=2.故选:B.

a

221

3.(20-21高三・江西抚州・模拟)己知椭圆的方程为三+与=1伍>6>0),斜率为-二的直线/与椭圆相交

ab2y'3

于A,8两点,且线段的中点为M(1,2),则该椭圆的离心率为()

A.-B.-C."

353

【答案】C

2

【解析】由点差法化简可得4A=42,再由椭圆离—心率公式即可得解.

a23

b

【详解】设/(再,%),巩处%),则":\,两式作差得)仆+苫2)+(“一%?+%)=0,

工2J2ab

[a2b2

又附:,线段48的中点为M(l,2),所以再+X2=2,M+%=4,

X]—%3

所以2(丁)+4叱%)=o即!=一2('-%)=|;所以该椭圆的离心率为e=£=旦.

z

abaxx-x23a\a3

故选:c.

2

4.(202”河北石家庄•二模)已知双曲线C:^-x2=l(a>0),其上、下焦点分别为片,月,。为坐标原

点.过双曲线上一点作直线/,分别与双曲线的渐近线交于尸,0两点,且点M为尸。中点,则下

列说法正确的是()

A.若轴,则|尸。|=2.

B.若点M的坐标为(1,2),则直线/的斜率为[

C.直线P。的方程为誓-x°x=l.

a

D.若双曲线的离心率为1,则三角形。P。的面积为2.

2

【答案】ACD

【分析】利用双曲线基本性质,点差法及三角形面积的表示,即可得到结果.【详解】若/,歹轴,则直线/

过双曲线的顶点,M(0,土.),双曲线的渐近线方程为>=±办,易得尸,。两点的横坐标为±1,

・・.|尸。|=2,即A正确;

若点M的坐标为。,2),则人=0,易得双曲线渐近线方程为丁—2x2=0,设尸(西,必),。(打%),

利用点差法:疗一2x;=0,y;-2x;=0,两式作差可得,y:-£=2x:-2只,即

弁-2月,二^=2上士红=2x:=l,即B错误;

xrXz必+%2

若利用点差法同样可得用=丛二成=力工±三=爪…直线p。的方程为尸为=£A(x-*

七一工2%%y0

即九丁一了:=//》一片1,为了一02七%=4一/x:=/...誓一,故C正确;

若双曲线的离心率为包,则双曲线方程为片-/=1,.••渐近线方程为>=±2x,设尸(占,2芯),°卜2,-2%),

24

1.ill-%%=12-2

S.OPQ=~|X1^2~X2J71|=2l%lX2|,联立方程土4可得演=一,同理可得工2=—,

2y=2x%-%+2xo

2_288

••.5.0如=2,%|=2----------T-=>—.-\=~:=2,故D正确,故选:ACD

%-2xoy+2x0%-4项4

22

5.(23-24高三•黑龙江哈尔滨・模拟)已知直线y=-x+l与椭圆会+会=l(a>6>0)相交于45两点,且

线段的中点在直线八尸4尸0上,则此椭圆的离心率为.

【答案】—/^

22

【分析】

[y=-x+1(41、f

联立k4y=0'得到线段"的中点为「,[,设>=T+1与会方=1(。>6>。)的交点分别为

/(4切),B(x2,y2),利用点差法能求出椭圆的离心率.

4

X=—

y=-x+\54J

【详解】联立得:所以直线y=-x+l与直线x-4y=0的交点坐标为

%—4y=015?5

22

所以线段42的中点为,设V=T+1与;■+亲■=l(Q>b>0)的交点分别为,(国,必),B®,%),

所以上产=g,号区=1,则西+%=|,%+%=:,分别把/(七,乂),8(X2,打)代入到椭圆

上+日-1

22

x//b2(%-%).("+%)_b

二+”=l(a>6>0)侍:22,两式相减用:/—

x}x+xa

abx2y2~2)\i2)

L2b2

因为直线为:,=T+1,所以31=一1,且M=所以一%>(t)T'

所以与」,即/=破,所以。2=4(/-2),所以3/=府,所以9=3,所以

2

a4''a24a2

故答案为:且

2

题型四:双曲线:渐近线型离心率

指I点I迷I津

双曲线渐近线性质:

(1)焦点到渐近线的距离为b

(2)定点到渐近线的距离为5

a

V22A2

(3)一直线交双曲线二-v-二1的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M,则%OM•左”==.

aba

(4)过双曲线5=1上任意一点P做切线,分别角两渐近线于M,N两点,O为坐标原点则有如下结论:

ab

①OM・ON=a2+b2;②ON・(W=a?+b?;③SAo«w=ab

22

1.(2022高三•全国•专题练习)双曲线C:工-与=l(“>0,b>0)的右焦点为尸,若以点尸为圆心,半径

ab

为。的圆与双曲线C的渐近线相切,则双曲线C的离心率等于()

VfB.V2C.2D.2V2

2

【答案】B

be

【分析】由题意得双曲线方程为±6x-qv=0,则圆心尸到渐近线的距离"==。,化简后可求出离

yja2+b2

心率.

【详解】根据题意得:圆心尸(。,0),半径为。,双曲线渐近线方程为y=±2x,即±6x-砂=0,

a

••・以点尸为圆心,半径为。的圆与双曲线C的渐近线相切,且°2=/+〃,

be

圆心下到渐近线的距离d即Q=6,

/a2+b2

c=yla2+b2=[a2+/=,2〃?则双曲线C的禺心率e='=,故选:B

22

2.(2022•山西晋中•二模)已知双曲线C:二等=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为片(-c,0),鸟(c,0),

4

平面内一点P满足至,桃,△打;鸟的面积为点。为线段尸片的中点,直线。。为双曲线的一条渐近

线,则双曲线C的离心率为()

A.百B.亚或叵C.—D.2

22

【答案】B

【分析】先求△耳。。边长,然后根据相似三角形求尸边长,再由面积得。、6、c的齐次式,然后可求.

【详解】由题意,可得图象如图所示,因为尸与,P&,。为斗弓的中点,。为尸耳的中点,

\-bc\be

所以。0〃尸£,所以耳。,。0,因为焦点耳(-c,0)到渐近线及+町=0的距离d=J:=一=」,所以

y/b2+a2c

\FlQ\=b,又因为|OG|=c,F.QLOQ,

所以|。。|=后方=a,所以|尸阊=2a,|P周=26,所以S△"百三为磔=2加=,所以

2224

25a(c-a)=4C,所以4e“一25。?+25=0,解得e?=5或/=:,

22

3.(2024•全国,模拟预测)已知双曲线C:^-4=1(。>0,b>0)的左、右焦点分别为月,耳,过不

ab

作以月为圆心,虚半轴长为半径的圆的切线,切点为“,若线段儿阴恰好被双曲线c的一条渐近线平分,

则双曲线C的离心率为()

A.B.5/3C.2D.yfs

【答案】D

【分析】首先由条件可知〃与《关于双曲线的一条渐近线对称,利用对称性,列式求点n的坐标,再根据

点”在圆上,代入后转化为关系凡。的齐次方程,求双曲线的离心率.

【详解】由题意可知,线段儿明与双曲线C的一条渐近线相交于点N,O,N分别是耳心和孙的中点,所以

ON//MF2,而"E,九阴,所以ON,孙,切点M与片关于双曲线的一条渐近线对称,由对称性不妨取

双曲线C的一条渐近线y=2x,设因为月,月分别是双曲线C的左、右焦点,所以耳(-c,0),

a

2.2=7b2-a2

X0=(廿2

工(c,0),则尤。a解得3,所以"------.易知以月为圆心,虚半轴长为

%+0_bXQ-C2abIc

y=----

.2~~aT~0

半径的圆的方程为(x—c)2+/=/,将《,一了)弋入圆的方程,得+(-子)=b2,

化简整理得5/=02,所以闫=氐

故选:D.

4.(22-23高三•河北保定•模拟)已知双曲线。:3-4=1(0〉0/〉0)的左、右焦点分别为公,B,点、M

为双曲线C右支上一点,且儿/1_讶,若峥与一条渐近线平行,则()

A.双曲线C的离心率为石

B.双曲线C的渐近线方程为>=土瓜

C.△龙用巴的面积为/

D.直线肛与圆。:%2+必相切

【答案】ACD

【分析】设直线M平行于双曲线的渐近线/:了=-2X,得到直线肛的方程为y=:(x+c),联立方程组

ab

求得坐标,代入方程化简得C2=5/,利用双曲线的离心率公式判断A,利用双曲线渐近线方程判断

B,结合屈纵坐标求得△儿用石面积判断C,利用点到直线的距离公式判断D.

【详解】不妨设直线儿见平行于双曲线的渐近线/:丁=-2孙

a

从而可得/是线段儿阴的垂直平分线,且直线儿用的方程为y=*(x+c),

b

y=——%X=-------(2

Cab、

设直线M与直线/相交于点N(x,y),联立方程组v0,解得-,即N-----

a(xab

V=Z(x+c)y=~

又%(―c,0),结合中点坐标公式,可得”

22

代入双曲线1-与=1,可得,整理得02=5〃,〃=4〃,

ab

b2

对于A,双曲线的离心率e=£=石,故A正确;

a

对于B,双曲线的渐近线了=±2%=±2尤,故B错误;

a

对于C,的面积S=J片丹JM=;X2C.y=2"=/,故C正确;

acac=a

对于D,圆心(0,0)到直线儿阴:ax-如+ac=0的距离d=一,

/a2+b2c

故直线M片与圆O:x2+V=/相切,故D正确.故选:ACD

5.(21-22高三上•辽宁•阶段练习)等轴双曲线是一种特殊的双曲线,特点是渐近线互相垂直且离心率为

亚,y=~(4w0)的图象是等轴双曲线,设双曲线f=叶|的焦点为N、B,则直线N8的方程为

若O为坐标原点,则的面积为.

【答案】y=-x-22V2

【分析】根据双曲线的图像与性质,结合反比例函数的图像与性质,对比分析即可求得直线N

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