圆锥曲线离心率归类（15题型提分练） 解析版-2025年高考数学

圆锥曲线离心率（15题型提分练）

更盘点•置击塔考

目录

题型一：离心率基础计算..........................................................................1

题型二：定义型求离心率..........................................................................3

题型三：第三定义型（点差法）....................................................................5

题型四：双曲线：渐近线型离心率..................................................................8

题型五：中点与离心率...........................................................................11

题型六：a、b、c齐次型..........................................................................13

题型七：焦点三角形：内切圆型...................................................................17

题型八：焦点三角形：焦半径型...................................................................20

题型九：焦点三角形：离心率范围最值.............................................................24

题型十：焦点弦定比分点求离心率.................................................................26

题型十一：焦点三角形：余弦定理.................................................................29

题型十二：焦点三角形：双角度型.................................................................32

题型十三：重心型...............................................................................35

题型十四：双曲线椭圆共焦点型...................................................................39

题型十五：离心率“小题大做”型.................................................................42

^突围・檐;住蝗分

题型一：离心率基础计算

;指I点I迷I津

:圆锥曲线的离心率的常见基本思维方法和基础计算：

；定义法：通过已知条件列出方程组，求得生。得值，根据离心率的定义求解离心率e；

：基础计算：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式,

：结合离心率的定义求解；

：特殊值计算法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.

22

1.（24-25高三•重庆•阶段练习）已知椭圆「言+方=1（。＞6＞0）的焦距为2c,若直线丘-3y+（左+8）c=0恒

与椭圆r有两个不同的公共点，则椭圆「的离心率范围为（）

°4

A.°5B.C.P1D.

【答案】A

【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点8在椭圆内部，整理不等式目c＜且可得离心率

33a

0<e<-.

3

【详解】将直线h—3歹+（左+8）c=0整理可得左（x+c）—3y+8c=0,

易知该直线恒过定点卜,iq,

=0恒与椭圆「有两个不同的公共点，可知点,c,：c）在椭圆内部;

若直线丘-3》+（左+8）c

易知椭圆上的点当其横坐标为-c时，纵坐标为士Q,即可得5c〈工,

a3a

整理可得3c?+8ac-3a2c0,gp3e2+8e-3<0,解得0<e<；.故选：A

2

2.（2025•安徽,模拟预测）已知双曲线。:％2-方=1仅＞0）的左焦点为尸，过坐标原点。作C的一条渐近

线的垂线/,直线/与C交于/,8两点，若尸的面积为38,则C的离心率为（）.

3

A.3B.V5C.2D.V3

【答案】B

IIb

【分析】根据题意可得/：X=-勿，联立方程解得|y|=cj62T,根据面积关系可得6=2,即可得离心率.

则尸（-c,0）,

x=-by

IIb

不妨取一条渐近线为y=6x,贝〃：工=-勿，联立方程2r_)解得,由对称性可知：点。

Ix'W

为线段"的中点，则也一口一小小岛与

即而］=，解得6=2,则c=J1+V=一，所以C的离心率为e=g=退.故选：B.

3.（24-25高三•全国•模拟）设椭圆的两个焦点分别为片，F2,过月作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△£时

为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）

B.C.V2-1D,

AT24

【答案】C

【分析】设椭圆的长轴长为2a,半焦距为c,则由题意可得|尸引=2c,\PFt\=242c,然后结合椭圆的定义

列方程化简可求出椭圆的离心率.

设椭圆的长轴长为2a,半焦距为c,则闺闾=2c,

贝1Pg|=2c,|P7?|=2V2C,于是2a=|尸胤+|尸闾=2也c+2c,.-.e=-|=||=^^^=72-1.故选：C

2222

4.（23-24高三•河南瀑河•阶段练习）已知椭圆G：三r+乙-p=1与双曲线G：上Y-夫p=1（9＜左＜16）,

16916-A-k-9

下列关于两曲线的说法正确的是（）

A.C/的长轴长与G的实轴长相等B.G的短轴长与的虚轴长相等

C.焦距相等D.离心率不相等

【答案】CD

【分析】利用定义分别写出椭圆和双曲线的长短半轴、实半轴虚半轴以及焦虑和离心率，就可以对四个选

项进行判断了.

【详解】椭圆G：长轴半…，短半轴—，焦半距=内离心率

双曲线c：长轴半,=J16-左,短半轴4=五二？，焦半距02=疗，离心率02=2=J;

2出V16—k

W4，•••选项A不正确;•咕W/，工选项B不正确；・・・。1=g，・•・选项C正确;

,W6,.•.选项D正确；故选：CD

22

5.（24-25高三上•北京,阶段练习）已知双曲线。:二-3=1仅＞0）的两条渐近线互相垂直，则C的离心

ab

率为.

【答案】V2

【分析】利用双曲线的对称性得出一条渐近线的倾斜角，从而判定。力关系，再求离心率即可.

jrhTT

【详解】根据双曲线的对称性可知该双曲线的一条渐近线倾斜角为7,所以厂

则其离心率为e=Yd二=VL故答案为：72

a

题型二：定义型求离心率

指I点I迷I津

解题时要把所给的几何特征转化为Ac的关系式.求离心率的常用方法有：

(1)根据条件求得。也c,利用e=£或e=Jl+£求解；

aVa23

(2)根据条件得到关于。力"的方程或不等式，利用e=£将其化为关于e的方程或不等式，然后解方程或不等式

a

即可得到离心率或其范围.

22

1.(23-24高二下•湖南郴州•模拟)已知P为椭圆C:\+2=l(a>6>0)上一动点，原与分别为其左右焦

ab

点，直线用与c的另一交点为用的周长为16.若尸片的最大值为6,则该椭圆的离心率为()

【答案】C

【分析】利用椭圆的标准方程及其参数6、c的关系即可得出结果.

4a=16

【详解】设椭圆的半焦距为C,则由题设得｛

Q+C=6

1

解得｛a=4、，所以椭圆的-离心率为e=Rr=：.故选：C.

c=2a2

22

2.(2023•广西南宁•模拟预测)已知椭圆C:三+[=l(a>b>0),片，耳分别为椭圆的左右焦点，直线y=

ab

与椭圆交于4、8两点，若片、/、耳、8四点共圆，则椭圆的离心率为()

A.且B.V3C.V3-1D.3匚

32

【答案】C

【分析】

根据四点共圆及丁=底的倾斜角得到名为等边三角形，故|。8|=|/月|=。，进而求出恒胤=小，利

用椭圆定义得到方程，求出离心率.

【详解】因为片、/、月、8四点共圆，。为圆心，所以|/同=|耳用=2c,故|/O|=c,又y=氐的倾斜角

为故△/。耳为等边三角形，故叫=|48卜c,由勾股定理得耳|=J闺阊2_恒用2=Gc,由椭

c2/~

圆定义可得HW+H居1=2。,即c+gc=2a,解得「=^^=43-1.故选：C

22

3.（2024・贵州•三模）已知椭圆C:\+A=l（a>b>0）的左、右焦点分别为片，耳，过点月的直线/与椭圆C

ab

交于尸，。两点，若优。|：闺耳：|百。|=1：3:5,则该椭圆的离心率为（）

A.—B.—C.立。.旦

2323

【答案】A

【分析】

根据条件，结合椭圆的定义，可判断点尸的位置，再结合椭圆的几何性质，即可求解.

【详解】由内Q|：阳尸|：闺。|=1：3:5,设区Q|=x,阳P|=3x,阳Q|=5x,

由椭圆的定义可知,闺。|+|8。|=|耳尸|+K/=6X,

所以区尸卜内尸|=3x,所以点尸在短轴端点,如图，则国尸|=3x,|尸Q|=4x,闺Q|=5x

所以尸耳，尸名，贝11|「£|=a|。用，即4=gc，所以椭圆的离心率e=£=正.故选：A

a2

22

4.（23-24高三•云南•阶段练习）椭圆C：I+2=l（“>6>0）的左、右两焦点分别是昂巴，其中

ab

|丹q=2c.过左焦点的直线与椭圆交于42两点.则下列说法中正确的有（）

A.乙的周长为4a

*

B.若的中点为所在直线斜率为3则七.•左=-彳

a

C.若|48|的最小值为3c,则椭圆的离心率e=：

_______,「右1

D.若/片•/工=3°2,则椭圆的离心率的取值范围是—

【答案】ACD

【分析】对于A,根据椭圆的定义即可；对于B,利用点差法结合斜率公式即可；

对于C,根据通经的性质结合离心率即可；对于C,根据向量的数量积整理函数解析式即可.

【详解】•••直线过左焦点耳.•.-3"的周长为|/耳|+|/用+忸耳|+忸阊=4a,A正确;

22

4+处,①

设/（西,弘）,3（%2，%），则「，点•%+马必+%'.,".=富・由'ab

2222

之+共=1,②

、ab

22

①-②得（网+编?「切=（必+%）（%-%）.乂一%（玉+x2）Z?1b762M

------3,•二7左。河•左二—①，故B错

2k

abxx-x2（必+%）/oMa------------a

22i_l

误；当ZB/x轴时，|叫最小，令工=一1+2=1,解得k±幺，

aba

?A21

—=3c,整理得2/+3ac—2a2=0,即2/+3e—2=0,解得。=彳或-2（舍去），故C正确；

a2

__________________________________________2

AF]—（一。—王，一切），AF?=（c-%],一必），.二4F1，A,F2=（-c/）（c一石）+=x；+—c2=-5%；+/—2/—3c2，

•.•》；€「0,1],，/一2024「d+/一2°24/—o2,^a2-2c2<3c2<a2-c2,即可得

1LJa215a24

e=-e当,!，则椭圆的离心率的取值范围是，D正确.故选：ACD.

〃[52J]52

22

5.（20-21•河南驻马店•模拟）已知片，月是双曲线。：彳-）=1（a〉08>0）的左右焦点，过耳且倾斜角

为60。的直线/与C的左、右两支分别交于A、3两点.若3名，耳巴，则双曲线C的离心率为.

【答案】2+百

【分析】依题意可得|明|=4c,忸q=2小,由双曲线定义可得结果.

【详解】在直角片中，NBFE=60。，耳=90。，忻m=2c,则忸团=4c,\BF2\=2^3C.

C]r-

由双曲线定义得|的T优|=2a,即4c-2辰=2a,解得0=厂？一百=2+6.

故答案为:

题型三：第三定义型（点差法）

指I点I迷I津

22

椭圆:设直线和椭圆丫22的两个交点2（再,必），BQ2,%），代入椭圆方程，得飞+"=1；

工+里=1ab

4b2

222222

（匹+%2）（再一12）_（必+%）（.%-%）

与+0=1；将两式相减，可得为二♦+必二必二0；

a2b2a2b2a2

/（%+%）（%-%）

最后整理得：1=

2+%2）（2）2

b（xx占一工bx0

1=".西

同理，双曲线用点差法，式子可以整理成:

2

Z）（X[+X2）（X1-x2）

抛物线：设直线和曲线的两个交点幺（七,必）,8（X2，%），代入抛物线方程，得以2=22再；%2=2网;

尸=（乂+%）（…）-。

可得占一%

22

1.（22-23高三•山西长治•模拟）已知直线>=-龙+1与椭圆:0+4=1（。>6>0）相交于43两点，且线段42

ab~

的中点在直线x-2y=0上，则此椭圆的离心率为（）

A.且B.-C.—D.叵

3222

【答案】C

fV=-X+121工2

【解析】联立c八，得到线段42的中点为（不丁），设尸-X+1与=+4=1的交点分别为心，必）,

[x-2y=033a2b2

B&,为），利用点差法能求出椭圆的离心率.

【详解】联立广。八，得％="一

[1一2>=033

••・直线”-X+1与x-2y=0的交点为“（；2,；1），.•.线段似的中点为（；251），

设N=-x+l与=+2r=1的交点分别为小不，%），B（X2,y2）,则占+马=:，%+%=3,

ab33

I22

玉:%-11

22T+VF-

分别把4%,%）,吃，％）代入椭圆/力13>。），得：22，两式相减得:

二+二=1

（%一％）•（必+%）=_j_=a2=lb2,:.a=Cb=Cc，e=~^'"故选:C

2

（X；-x2）-（Xj+x2）2a

22

2.（20-21高三•江西南昌•模拟）双曲线斗-々=1（°>0,6>0）的右焦点为尸（4,0）,设A、3为双曲线上关

ab

于原点对称的两点，疝7的中点为"，郎的中点为N,若原点。在以线段为直径的圆上，直线48的

斜率为史，则双曲线的离心率为（）

7

A.4B.2C.V5D.V3

【答案】B

【解析】设出再,必）,则8（-再,-“），得到四（土兽片）,N（书心,胃），根据题设条件,化简得到=告,

2222alb/

结合〃=02-/,求得。的值，根据离心率的定义，即可求解.

【详解】设4（再,必）,贝”（一百,一必）,

因为/尸的中点为监研的中点为N,所以火审争以^^,段），因为原点。在线段为直径的

圆上，所以NNOM=90°,可得bI?•而=；（16-=0,①

（22

又因为点A在双曲线上，且直线的斜率为辿，所以"2”,②联立消去王，弘，可得

73y7

r-Xi

19J⑸

二一市一〒③

又由点尸（4,0）是双曲线的右焦点，可得62=。2一/=16一/,代入③，化简整理得/-32/+7X16=0,解

得力=4或/=28,由于/<02=]6,所以02=28（舍去）,

故标=4,解得。=2,所以离心率为e=£=2.故选：B.

a

221

3.（20-21高三・江西抚州・模拟）己知椭圆的方程为三+与=1伍>6>0）,斜率为-二的直线/与椭圆相交

ab2y'3

于A,8两点，且线段的中点为M（1,2）,则该椭圆的离心率为（）

A.-B.-C."

353

【答案】C

2

【解析】由点差法化简可得4A=42,再由椭圆离—心率公式即可得解.

a23

b

【详解】设/（再,%）,巩处％）,则":\,两式作差得）仆+苫2）+（“一%?+%）=0,

工2J2ab

[a2b2

又附:，线段48的中点为M（l,2）,所以再+X2=2，M+%=4,

X]—%3

所以2（丁）+4叱%）=o即!=一2（'-%）=|；所以该椭圆的离心率为e=£=旦.

z

abaxx-x23a\a3

故选：c.

2

4.（202”河北石家庄•二模）已知双曲线C：^-x2=l（a>0）,其上、下焦点分别为片，月，。为坐标原

点.过双曲线上一点作直线/,分别与双曲线的渐近线交于尸，0两点，且点M为尸。中点，则下

列说法正确的是（）

A.若轴，则|尸。|=2.

B.若点M的坐标为（1,2）,则直线/的斜率为［

C.直线P。的方程为誓-x°x=l.

a

D.若双曲线的离心率为1,则三角形。P。的面积为2.

2

【答案】ACD

【分析】利用双曲线基本性质，点差法及三角形面积的表示，即可得到结果.【详解】若/，歹轴，则直线/

过双曲线的顶点，M（0，土.）,双曲线的渐近线方程为>=±办，易得尸，。两点的横坐标为±1,

・・.|尸。|=2,即A正确；

若点M的坐标为。,2）,则人=0,易得双曲线渐近线方程为丁—2x2=0,设尸（西,必）,。（打%）,

利用点差法：疗一2x；=0,y；-2x；=0,两式作差可得，y：-£=2x：-2只，即

弁-2月,二^=2上士红=2x：=l,即B错误；

xrXz必+%2

若利用点差法同样可得用=丛二成=力工±三=爪…直线p。的方程为尸为=£A（x-*

七一工2%%y0

即九丁一了：=//》一片1,为了一02七％=4一/x：=/...誓一,故C正确；

若双曲线的离心率为包，则双曲线方程为片-/=1,.••渐近线方程为>=±2x,设尸（占,2芯）,°卜2，-2%）,

24

1.ill-%%=12-2

S.OPQ=~|X1^2~X2J71|=2l%lX2|，联立方程土4可得演=一，同理可得工2=—，

2y=2x%-%+2xo

2_288

••.5.0如=2,％|=2----------T-=>—.-\=~：=2,故D正确，故选：ACD

%-2xoy+2x0%-4项4

22

5.（23-24高三•黑龙江哈尔滨・模拟）已知直线y=-x+l与椭圆会+会=l（a>6>0）相交于45两点，且

线段的中点在直线八尸4尸0上，则此椭圆的离心率为.

【答案】—/^

22

【分析】

[y=-x+1（41、f

联立k4y=0'得到线段"的中点为「，[，设>=T+1与会方=1（。>6>。）的交点分别为

/（4切），B（x2,y2）,利用点差法能求出椭圆的离心率.

4

X=—

y=-x+\54J

【详解】联立得:所以直线y=-x+l与直线x-4y=0的交点坐标为

%—4y=015?5

22

所以线段42的中点为,设V=T+1与；■+亲■=l（Q>b>0）的交点分别为，（国,必）,B®，%），

所以上产=g,号区=1,则西+%=|,%+%=：,分别把/（七,乂），8（X2,打）代入到椭圆

上+日-1

22

x//b2（%-%）.（"+%）_b

二+”=l（a>6>0）侍：22，两式相减用：/—

x｝x+xa

abx2y2~2）\i2）

L2b2

因为直线为：，=T+1,所以31=一1，且M=所以一%>（t）T'

所以与」，即/=破，所以。2=4（/-2）,所以3/=府，所以9=3,所以

2

a4''a24a2

故答案为：且

2

题型四：双曲线：渐近线型离心率

指I点I迷I津

双曲线渐近线性质：

（1）焦点到渐近线的距离为b

（2）定点到渐近线的距离为5

a

V22A2

（3）一直线交双曲线二-v-二1的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M,则％OM•左”==.

aba

（4）过双曲线5=1上任意一点P做切线，分别角两渐近线于M,N两点，O为坐标原点则有如下结论:

ab

①OM・ON=a2+b2；②ON・（W=a?+b?；③SAo«w=ab

22

1.（2022高三•全国•专题练习）双曲线C:工-与=l（“>0,b>0）的右焦点为尸，若以点尸为圆心，半径

ab

为。的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的离心率等于（）

VfB.V2C.2D.2V2

2

【答案】B

be

【分析】由题意得双曲线方程为±6x-qv=0,则圆心尸到渐近线的距离"==。，化简后可求出离

yja2+b2

心率.

【详解】根据题意得：圆心尸（。,0）,半径为。，双曲线渐近线方程为y=±2x,即±6x-砂=0,

a

••・以点尸为圆心，半径为。的圆与双曲线C的渐近线相切，且°2=/+〃，

be

圆心下到渐近线的距离d即Q=6,

/a2+b2

c=yla2+b2=[a2+/=,2〃?则双曲线C的禺心率e='=,故选：B

22

2.（2022•山西晋中•二模）已知双曲线C：二等=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为片（-c,0）,鸟（c,0）,

4

平面内一点P满足至，桃，△打;鸟的面积为点。为线段尸片的中点，直线。。为双曲线的一条渐近

线，则双曲线C的离心率为（）

A.百B.亚或叵C.—D.2

22

【答案】B

【分析】先求△耳。。边长，然后根据相似三角形求尸边长，再由面积得。、6、c的齐次式，然后可求.

【详解】由题意，可得图象如图所示，因为尸与，P&,。为斗弓的中点，。为尸耳的中点，

\-bc\be

所以。0〃尸£,所以耳。，。0,因为焦点耳（-c,0）到渐近线及+町=0的距离d=J：=一=」,所以

y/b2+a2c

\FlQ\=b,又因为|OG|=c,F.QLOQ,

所以|。。|=后方=a,所以|尸阊=2a,|P周=26,所以S△"百三为磔=2加=，所以

2224

25a（c-a）=4C,所以4e“一25。?+25=0,解得e?=5或/=：,

22

3.（2024•全国,模拟预测）已知双曲线C：^-4=1（。>0,b>0）的左、右焦点分别为月，耳，过不

ab

作以月为圆心，虚半轴长为半径的圆的切线，切点为“，若线段儿阴恰好被双曲线c的一条渐近线平分，

则双曲线C的离心率为（）

A.B.5/3C.2D.yfs

【答案】D

【分析】首先由条件可知〃与《关于双曲线的一条渐近线对称，利用对称性，列式求点n的坐标，再根据

点”在圆上，代入后转化为关系凡。的齐次方程，求双曲线的离心率.

【详解】由题意可知，线段儿明与双曲线C的一条渐近线相交于点N,O,N分别是耳心和孙的中点，所以

ON//MF2,而"E，九阴，所以ON,孙，切点M与片关于双曲线的一条渐近线对称，由对称性不妨取

双曲线C的一条渐近线y=2x,设因为月，月分别是双曲线C的左、右焦点，所以耳（-c,0）,

a

2.2=7b2-a2

X0=(廿2

工(c,0),则尤。a解得3,所以"------.易知以月为圆心，虚半轴长为

%+0_bXQ-C2abIc

y=----

.2~~aT~0

半径的圆的方程为（x—c）2+/=/,将《，一了）弋入圆的方程，得+（-子）=b2,

化简整理得5/=02,所以闫=氐

故选：D.

4.（22-23高三•河北保定•模拟）已知双曲线。：3-4=1（0〉0/〉0）的左、右焦点分别为公，B，点、M

为双曲线C右支上一点，且儿/1_讶，若峥与一条渐近线平行，则（）

A.双曲线C的离心率为石

B.双曲线C的渐近线方程为＞=土瓜

C.△龙用巴的面积为/

D.直线肛与圆。:％2+必相切

【答案】ACD

【分析】设直线M平行于双曲线的渐近线/：了=-2X，得到直线肛的方程为y=：（x+c）,联立方程组

ab

求得坐标，代入方程化简得C2=5/,利用双曲线的离心率公式判断A,利用双曲线渐近线方程判断

B,结合屈纵坐标求得△儿用石面积判断C,利用点到直线的距离公式判断D.

【详解】不妨设直线儿见平行于双曲线的渐近线/：丁=-2孙

a

从而可得/是线段儿阴的垂直平分线，且直线儿用的方程为y=*（x+c）,

b

y=——%X=-------(2

Cab、

设直线M与直线/相交于点N(x,y),联立方程组v0,解得-,即N-----

a(xab

V=Z(x+c)y=~

又％(―c,0),结合中点坐标公式，可得”

22

代入双曲线1-与=1,可得，整理得02=5〃，〃=4〃,

ab

b2

对于A,双曲线的离心率e=£=石，故A正确；

a

对于B,双曲线的渐近线了=±2%=±2尤，故B错误；

a

对于C,的面积S=J片丹JM=；X2C.y=2"=/,故C正确;

acac=a

对于D,圆心(0,0)到直线儿阴：ax-如+ac=0的距离d=一,

/a2+b2c

故直线M片与圆O：x2+V=/相切，故D正确.故选：ACD

5.(21-22高三上•辽宁•阶段练习)等轴双曲线是一种特殊的双曲线，特点是渐近线互相垂直且离心率为

亚,y=~(4w0)的图象是等轴双曲线，设双曲线f=叶|的焦点为N、B,则直线N8的方程为

若O为坐标原点，则的面积为.

【答案】y=-x-22V2

【分析】根据双曲线的图像与性质，结合反比例函数的图像与性质，对比分析即可求得直线N