圆锥曲线定直线、定曲线、定圆问题六大题型（学生版）-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题38圆锥曲线定直线、定曲线、定圆问题六大题型汇总

题型1斜率相关定直线...............................................................1

题型2点在定直线上.................................................................3

题型3两条直线交点定直线...........................................................5

题型4内心定直线问题...............................................................7

题型5定圆问题......................................................................9

题型6定曲线问题..................................................................10

题型1斜率相关定直线

【例题1】(2023•全国•高三专题练习)在平面直角坐标系中，已知两定点4(-4,0),B

(4,0),M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB,垂足N介于A和B之间，且2|MN『

=\AN\'\NB\.

(1)求动点M的轨迹r；

(2)设过P(0,l)的直线交曲线r于C,D两点，Q为平面上一动点，直线QC,QD,QP的斜

112

率分别为七，k,k,且满足丁+丁=7.问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该

20长1兄2匕0

定直线的方程；若不在，请说明理由.

【变式1-1]1.(2023•河南洛阳统考模拟预测)已知椭圆C:g+g=l(a>b>0)的离心

率为日，右焦点为尸(g,0),A,B分别为椭圆C的左、右顶点.

⑴求椭圆C的方程；

(2)过点D(l,0)作斜率不为0的直线。直线1与椭圆C交于P,Q两点，记直线4P的斜率为好，

直线BQ的斜率为求证：强为定值；

(3)在(2)的条件下，直线4P与直线BQ交于点M,求证：点M在定直线上.

【变式1-1】2.(2022上•江苏徐州•高三期末)已知双曲线E的中心在坐标原点，对称轴

为X轴、y轴，渐近线方程为丫=±岳，且过点”2,或).

⑴求E的方程；

(2)过平面上一点M分别作E的两条渐近线的平行线，分别交E于P、Q两点，若直线PQ

的斜率为2,证明：点M在定直线上.

【变式1-1】3.(2023•上海金山•统考一模)已知椭圆「：5+'=l(a〉b>0)的左、右焦点

分别为

(1)以&为圆心的圆经过椭圆的左焦点％和上顶点B,求椭圆「的离心率；

(2)已知a=5,6=4,设点P是椭圆「上一点，且位于久轴的上方，若△P%F2是等腰三角形,

求点P的坐标；

(3)已知a=2,6=旧，过点?2且倾斜角为知勺直线与椭圆「在》轴上方的交点记作4若动直线

/也过点&且与椭圆「交于M、N两点(均不同于2),是否存在定直线/o：x=*o,使得动直线/

与曲的交点C满足直线AM、"、2N的斜率总是成等差数列？若存在，求常数劭的值；若不存

在，请说明理由.

【变式1-1】4.(2023上•四川成都•高三成都七中校考开学考试)已知G：9+毛=1

(0<a<4),Q吊+若=1(6>4).

⑴证明：y=|用一2总与Q和。2相切；

(2)在(1)的条件下，若y=闭-2与Q在y轴右侧相切于A点，与C?在y轴右侧相切于B

点.直线1与Ci和C2分别交于P,Q,M,N四点.是否存在定直线“吏得对任意题干所给a,

b,总有/QP+^AQ+fcfiP+々BQ为定值？若存在，求出1的方程；若不存在，请说明理由.

【变式1-1】5.(2022上•河南洛阳•高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习)已知椭圆C:

§+g=l(a>b>0)的离心率为孝，”(1考)是C上一点.

⑴求C的方程.

(2)设4,B分别为椭圆C的左、右顶点，过点D(1,O)作斜率不为0的直线>1与C交于P,Q两

点直线4P与直线BQ交于点M,记AP的斜率为七，BQ的斜率为七.证明：①篙为定值；②点

M在定直线上.

⑴求实数a的值.

(2)若点P坐标为(0,4),过点P作动直线I与双曲线右支交于不同的两点M,N,在线段

MN上取异于点M,N的点H,满足需=耦.证明：点H恒在一条定直线上.

【变式2-1】1.(2023上・安徽•高三宿城一中校联考阶段练习)在平面直角坐标系比Oy中,

已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为(1,0),其中一条

渐近线的倾斜角为争

(1)求C的标准方程；

(2)过点7(2,0)作直线I与双曲线C的左右两支分别交于A,B两点，在线段上取一点E

满足|AE|,=\EB\,\AT\,证明：点E在一条定直线上.

【变式2-1]2.(2023•江苏常州•校考一模)已知椭圆C：§+g=l(a>b>0)的短轴长为

2V2,离心率为孝.

⑴求椭圆C的方程；

(2)过点P(4,l)的动直线/与椭圆C相交于不同的4B两点，在线段4B上取点Q,满足|4P|•|QB|

=\AQ\"\PB\,证明：点Q总在某定直线上.

【变式2-1】3.(2023•宁夏银川•校考模拟预测)已知抛物线3：久2=2py(p>0)和圆。2：

(x+l)2+y2=2,倾斜角为45。的直线人过Ci焦点，且人与C2相切.

(1)求抛物线Q的方程；

(2)动点M在Ci的准线上，动点4在Ci上，若Ci在点力处的切线％交y轴于点B,设荻=疝+

MB,证明点N在定直线上，并求该定直线的方程.

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【变式2-1】4.(2023•全国•高三对口高考)设椭圆。今+:=1(£1>6>0)过点见血,1),

且左焦点为91(-V^,0)

(1)求椭圆C的方程；

(2)当过点P(4,l)的动直线I与椭圆C相交于两不同点A,B时，在线段AB上取点Q,满足

\AP\'\QB\&\AQ\­\PB\.证明：点Q总在某定直线上.

【变式2-1】5.(2023・湖北襄阳・襄阳四中校考模拟预测)过抛物线%2=2「>@>0)内部一

点P(nui)作任意两条直线4B,CD,如图所示，连接AC,BD延长交于点Q,当P为焦点并且

AB1CD时，四边形4CBD面积的最小值为32

(1)求抛物线的方程;

(2)若点P(l,l),证明Q在定直线上运动，并求出定直线方程.

【变式2-1】6.(2020•陕西西安・西北工业大学附属中学校考一模)已知抛物线射：/

=2py(p>0^D/C2：Q+l)2+y2=2,倾斜角为45。的直线人过心的焦点且与C?相切.

⑴求p的值：

(2)点M在Ci的准线上，动点A在Ci上，的在A点处的切线I2交y轴于点B,设加=而

+MB,求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程.

题型3两条直线交点定直线

【例题3】(2023下•江苏镇江•高二江苏省镇江中学校考期末)如图，在△ABC中,

BC=25AB+AC=4若以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标

系.设动顶点A®y).

(2)记第(1)问中所求轨迹曲线为M,设。1(—2,0)刀2(2,0),过点(1,0)作动直线/与曲线M交

于P,Q两点(点P在%轴下方).求证：直线。止与直线。2Q的交点E在一条定直线上.

【变式3-1】1.(2023上•山西大同•高三统考阶段练习)从双曲稣—\=l(a>0,6>0)

上一点P向》轴作垂线，垂足恰为左焦点Fi,点分别是双曲线的左、右顶点，点B

(0,|b),且&B〃OP,|F遇2|=2+点

(1)求双曲线的方程；

(2)过点(2但0)作直线L分别交双曲线左右两支于&D两点，直线&C与直线42。交于点“，证

明：点M在定直线上.

【变式3-1]2.(2023•湖南永州•统考一模)已知点A为圆a/+y2_2V10x-6=0上任

意一点，点B的坐标为(-710,0),线段4B的垂直平分线与直线AC交于点D.

⑴求点D的轨迹E的方程；

(2)设轨迹E与x轴分别交于力卜力2两点(力1在42的左侧)，过R(3,0)的直线/与轨迹E交于M,N

两点，直线公”与直线42N的交于P,证明：P在定直线上.

【变式3-1]3.(2022上广东惠州•高三统考阶段练习)已知点4(-1,0),见1,0),动点P(x,y)

满足直线P4与PB的斜率之积为3,记动点P的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程;

(2)过点F(2,0)的直线与曲线C交于两点，直线4M与BN相交于Q.求证：点Q在定直线上.

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【变式3-1】4.(2023•四川成都•校联考二模)已知乙(—3,0)和42(3,0)是椭圆:

=l(a>b>0)的左、右顶点，直线1与椭圆冰目交于M,N两点，直线1不经过坐标原点0,

且不与坐标轴平行，直线与直线42M的斜率之积为-*

(1)求椭圆〃的标准方程；

(2)若直线OM与椭圆〃的另外一个交点为S,直线41S与直线&N相交于点P,直线PO与直

线[相交于点Q,证明：点Q在一条定直线上，并求出该定直线的方程.

【变式3-1】5.(2023上・江苏•高三淮阴中学校联考开学考试)已知双曲线C：/-产=1

(1)求C的右支与直线x=100围成的区域内部(不含边界)整点(横纵坐标均为整数的点)

的个数.

(2)记C的左、右顶点分别为41，A2I过点(—2,0)的直线与C的左支交于M,N两点，M

在第二象限，直线与NA?交于点P,证明：点P在定直线上.

【变式3-1】6.(2021上•广东深圳•高三红岭中学校考期末)已知抛物线C:%2=2py(p>0)

上的点P(%o，l)到焦点尸的距离为2.

(1)求点P的坐标及抛物线C的方程；

(2)过点M(2,2)的任意直线/与抛物线C交于点4B,过点4B的抛物线C的两切线交于点N,证

明：点N在一条定直线上，并求出该定直线的方程.

题型4内心定直线问题

【例题4】(2023•福建漳州•统考模拟预测)已知R是圆M:(%+V3)+产=8上的动点，点

N(8,0),直线NR与圆M的另一个交点为S,点L在直线MR上，MSWNL,动点L的轨迹为曲

线C.

⑴求曲线C的方程；

(2)若过点P(-2,0)的直线1与曲线C相交于4,B两点，目4,B都在x轴上方，问：在x轴上是

否存在定点Q,使得△QAB的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.

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【变式4-1]1.(2023・河南•校联考模拟预测)已知椭圆C:女+^=l(a>0,6>0)过点M

(乎,孚)，且离心率为冬

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线=x+m与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A,B,试问：aMAB的内心是否

在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由.

【变式4-1】2.(2022上•江苏南京高二南京师大附中校考期中)已知椭圆C:§+g=l

{a>b>0),若点Pi(2,2),P2(0,2),P3(-2,V2),「4(2,A②中恰有三点在椭圆C上.

(1)求C的方程；

(2)点F是C的左焦点，过点M(-4,0)且与x轴不重合的直线1与C交于不同的两点4,B,求证：

△4BF内切圆的圆心在定直线上.

【变式4-1]3.(2022上•江苏南通・高三统考期中)作斜率为|的直线I与椭圆若+^=1

交于4B两点，且P(«,孚)在直线I的左上方.

(1)当直线I与椭圆C有两个公共点时,证明直线I与椭圆C截得的线段AB的中点在一条直

线上；

(2)证明：△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上.

【变式4-1]4.(2020上•浙江•高三校联考阶段练习)如图，已知椭圆「：5+'=Ka>b>0)

的上、右顶点分别为4B,F是椭圆厂的右焦点，P(VX1)是椭圆厂上的点，且|。*=|。尸|

(。是坐标原点).

(I)求a,b的值；

(n)若不过点P且斜率为乎的直线/交椭圆「于M,N两点，试问：当点P在直线珀勺上、下方

时，△PMN的内心是否分别位于某条定直线上？若是，请求出两条定直线的方程；若不是,

请说明理由.

【变式4-1】5.(2023•山东沂水县第一中学校联考模拟预测)已知曲线片?+9=1,直

线Z:y=x+爪与曲线E交于y轴右侧不同的两点.

(1)求小的取值范围；

⑵已知点P的坐标为(2,1),试问：a/lPB的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该

直线方程；若不是，请说明理由.

题型5定圆问题

【例题5】(2023上•浙江•高三校联考阶段练习)在平面直角坐标系“Oy中，。为坐标原点,

动点与定点F(2,0)的距离和D到定直线x=3的距离的比是常数2,设动点D的轨迹

为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

(2)已知定点P(t,O),0<t<l,过点P作垂直于x轴的直线二过点P作斜率大于0的直线。

与曲线C交于点G,H,其中点G在x轴上方，点H在x轴下方.曲线C与x轴负半轴交

于点A,直线AG,4”与直线/分别交于点M,N,若A,O,M,N四点共圆，求t的值.

【变式5-1】1.(2023上•河北保定•高三校联考开学考试)已知双曲线C:§-g=l

(a>0,6>0)的离心率为2,其左、右焦点分别为Fi,尸2,点4为C的渐近线上一点，\AF2\

的最小值为板.

⑴求C的方程；

(2)过C的左顶点B且斜率为k(k丰0)的直线1交C的右支于点P,与直线x=3交于点Q,过Fi且

平行于QF2的直线交直线「尸2于点M,证明：点M在定圆上.

【变式5-1]2.(2023•浙江•统考二模)已知双曲线唁—盛=l(a>0)的左、右焦点分别

为FI，F2,且&到C的一条渐近线的距离为

⑴求C的方程；

(2)过C的左顶点且不与x轴重合的直线交C的右支于点B,交直线％点P,过％作PF?的

平行线，交直线BF2于点Q,证明：Q在定圆上.

【变式5-1】3.(2023•山东聊城•统考一模)已知双曲线c：§-g=l(a>0,b>0)的

右焦点为F,一条渐近线的倾斜角为60。，且C上的点到F的距离的最小值为1.

(1)求C的方程；

(2)设点。(0,0),M(0,2),动直线/：y=kx+小与C的右支相交于不同两点力，B,且

AAFM=^BFM,过点。作。“1。”为垂足，证明：动点”在定圆上，并求该圆的方程.

【变式5-1】4.(2023•全国•模拟预测)已知椭圆C「+，=l(a>b>0),离心率e=¥,

左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为2企.

(1)求椭圆C的方程；

(2)M,N,A,B为椭圆上不同的四点，且均与椭圆右顶点P不重合，kMN-kAB=-l,

kPM-kPN=l,kPA+kPB=2,证明：直线MN和直线AB的交点在一个定圆上.

【变式5-1】5.(2020•江苏南通•江苏省西亭高级中学校考模拟预测)已知点F是椭圆E：§+

g=l(a>b>0)的左焦点，椭圆E的离心率为,，点(—1,|)在椭圆E上.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点F的直线交椭圆E于P,Q两点，设椭圆E的左顶点为A,记直线PA,QA的斜率分

别为初％

①求七•的的值；

②过P作垂直于PA的直线I交x轴于点M.则A,P,M,Q四点是否共圆？若共圆，求出

该圆的方程；若不共圆，请说明理由.

题型6定曲线问题

这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有:

(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；

(2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；

(3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证.

【例题6](2022上•河北沧州•高三统考期末)已知双曲线C：§-g=l(a>0,b>0)的左、

右焦点分别为％,&,过尸2作一条渐近线的垂线交C于点B,垂足为A,|4尸2|=8，

|BF1|-|BF2|=2.

⑴求双曲线C的方程；

(2)已知点P是双曲线C的右支上异于右顶点D的任意一点，点Q在直线x=：上，S.OQWPD

(。为坐标原点)，M为PD的中点，求证：直线OM与直线Q七的交点在某定曲线上.

【变式6-1】1.(2022上•江西赣州•高三校联考阶段练习)椭圆C:g+g=1

(a>b>0)的左右焦点分别为用，F2,上顶点为A,且=乙4%&=60。.

(2)若椭圆E:《+看=4(2〉。且什1),则称E为C的4倍相似椭圆，如图，已知E是C

的3倍相似椭圆，直线I:y=kx+m与两椭圆C,E交于4点(依次为M,N,P,Q,如

图).S.\MN\=\NP\,证明：点T(k,m)在定曲线上.

【变式6-1]2.(2022上•江西赣州•高三校联考阶段练习)已知椭圆C：/+5=l(a>b>0)

的一个焦点为％(-1,0),其左顶点为A,上顶点为B,且％到直线的距离为序|OB|(O

为坐标原点).

⑴求C的方程；

22

(2)若椭圆E年+与=4(4>0且4K1),则称椭圆E为椭圆C的4倍相似椭圆.已知椭圆E是

椭圆C的3倍相似椭圆，直线=+m与椭圆C,E交于四点(依次为M,N,P,Q,

如图)，且丽+所=2而，证明：点T(k即)在定曲线上.

【变式6-1】3.(2022上•山西•高三校联考阶段练习)已知中心为坐标原点，焦点在坐标

轴上的椭圆C经过点阳迎鱼),N(历—1).

⑴求C的方程；

(2)已知点D(3,0),直线—=ty+n(n丰3,t丰0)与C交于4B两点，且直线。4DB的斜率之和

为匕证明：点(皿在一条定抛物线上.

【变式6-1】4.(2022上•广东广州•高三统考阶段练习)已知双曲线唔—f1=l(a>0力>0)

的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±V3%.

(1)求双曲线C的方程；

(2)已知点P是双曲线C的右支上异于顶点B的任意点，点Q在直线x=：上，且OQIIPB,M为PB

的中点，求证：直线。”与直线QF的交点在某定曲线上.

【变式6-1】5.(2022•广东深圳•深圳市光明区高级中学校考模拟预测)已知椭圆C：§+g

=l(a>b>0)的右焦点为F(l,0),且过点"(1,.

⑴求椭圆C的方程;

(2)过椭圆C的左顶点力作直线与椭圆相交，另一交点为P,点M是4P的中点，点Q在直线x=4

上，旦OQ//AP,求证：直线。M与直线QF的交点在某定曲线上.

1.(2023•全国•模拟预测)已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线=m久2的焦点?与椭

圆C:5+§=l(G>h>0)的一个顶点重合，抛物线”经过点Q(l,3,点P是椭圆C上任意一

点，椭圆C的左、右焦点分别为七,尸2,且“正尸2的最大值为根

(1)求椭圆C和抛物线M的标准方程；

(2)过抛物线M上在第一象限内的一点N作抛物线M的切线，交椭圆C于4B两点，线段4B的

中点为G,过点N作垂直于x轴的直线，与直线0G交于点E,求证：点E在定直线上.

2.(2023•江苏南京•南京市第九中学校考模拟预测)椭圆E的方程为9+?=1,左、右顶

点分别为力(—2,0),见2,0),点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线I过点P

(1)若直线I分别交x,y轴于C,D两点，若PD=2,求PC的长；

(2)若直线I过点(-1,0),且交椭圆E于另一点Q(异于点A,B),记直线4P与直线BQ交于

点M,试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由.

3.(2023•山东・山东省实验中学校考二模)已知抛物线E:y2=2px(p>0),过点(—1,0)的两

条直线A、a分别交E于4B两点和C、。两点.当匕的斜率为争寸，|?1B|=2VTO.

(1)求E的标准方程；

(2)设G为直线4D与8c的交点，证明：点G在定直线上.

4.(2023•江苏淮安・江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测)已知椭圆C：，+g=l(a>&>0)

右焦点分别为尸2,A(2,1)是C上一点，点8与4关于原点。对称，△力BF2的面积为伤.

⑴求C的标准方程;

(2)直线〃A4B,且交C于点，E,直线4。与BE交于点P.

证明：①直线4。与BE的斜率乘积为定值；

②P点在定直线上.

5.(2023•安徽阜阳・安徽省临泉第一中学校考三模)已知双曲线C：§-§=1

(a>0,b>0),直线I在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A,B两点，直线I交y轴于

点D.当I经过C的焦点时，点A的坐标为(6,4).

⑴求C的方程；

(2)设OD的中点为M,是否存在定直线I,使得经过M的直线与C交于P,Q,与线段AB

交于点N,PM=APN,而=2而均成立；若存在，求出I的方程；若不存在，请说明理

由.

6.(2023•江西•校联考二模)已知过曲线C]+g=l(a,b>0)上一点(x0,yo)作椭圆。的切线

I,则切线珀勺方程为簧+黄=1.若P为椭圆。15+必=1上的动点，过P作Q的切线跟交圆

22

C2：x+y=4于M,N,过M,N分别作C2的切线AG,直线人力交于点Q

(1)求动点Q的轨迹E的方程；

(2)已知R为定直线x=4上一动点，过R的动直线加与轨迹E交于两个不同点4B,在线段4B上

取一点7,满足=|4T||RB|,试证明动点「的轨迹过定点.

7.(2023•辽宁・朝阳市第一高级中学校联考三模)已知圆锥曲线E上有两个定点M(VI1)、

/V(-V2,-l),P为曲线E上不同于M,N的动点，且当直线PM和直线PN的斜率/CPM,

kp/V都存在时，有kpM,kpN=~2'

⑴求圆锥曲线E的标准方程；

(2)若直线I:x=+与圆锥曲线E交于A、B两点，交x轴于点F,点A,F,B在直

线久=2四上的射影依次为点D,K,G

①若直线I交y轴于点T,且包=册而，TB=A2BF,当m变化时，探究羽+弱的值是否

为定值？若是，求出41+%2的值；否则，说明理由;

②连接AG,BD,试探究当m变化时，直线AG与BD是否相交于定点？若是，请求出定

点的坐标，并给予证明；否则，