浙教版七年级数学下册同步训练：平行线中的四大基本模型（4类题型+20道拓展培优题）原卷版

第06讲平行线中的四大基本模型（4类题型+20道拓展培优题）

旨【题型目录】

题型一平行线基本模型之M模型

题型二平行线四大模型之铅笔模型

题型三平行线四大模型之“鸡翅”模型

题型四平行线四大模型之“骨折”模型

丹【经典例题一平行基本模型之M模型】

【结论1]若AB〃CD,贝l]NB0C=NB+NC

【结论2］若NB0C=NB+NC,则AB〃CD.

【结论3】如图所示，AB/7EF,贝l]NB+ND=NC十NE

朝向左边的角的和=朝向右边的角的和

1名

锯齿模型的变换解题思路

拆分成猪蹄模型和内错角拆分成2个猪蹄模型

【例1】（2023下•福建莆田•七年级校联考期中）如图，ABCD,则么“、&N尸满足的数量关系为

()

B.ZA+NC+NE+N尸=360。

C.ZA+ZC+ZE—ZF=180°D.ZA+NC—NE+N尸=180。

【变式训练】

1.（2023下•安徽•九年级专题练习）如图，已知：AB//EF,ZB=NE,求证：BC//DE.在证明该结论

时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（）

A.延长交所的延长线于点G

B.连接BE

C.分别作NBCD,NCDE1的平分线CG,DH

D.过点C作CG〃AB（点G在点C左侧），过点D作DH〃EF（点”在点。左侧）

2.（2023下•山东泰安•六年级统考期末）如图，已知直线AB〃CD,尸为平面内一点，连接,/>£>.则NA、

ND、NAPD之间的等量关系为.

3.（2023下•山东聊城•七年级校考阶段练习）如图，已知直线4、。和4、4分别交于点A、B、C、

。，点尸在直线。或乙上且不与点A、B、C、。重合.记NAEP=21,ZPFB=Z2,ZEPF=Z3-

⑴若点P在图（1）位置时，求证：？3?1?2；

（2）若点P在图（2）位置时，写出Nl、N2、N3之间的关系并给予证明.

$【经典例题二平行基本模型之铅笔模型】

【结论1】如图所示，AB〃CD,贝l]NB+NB0C+NC=360°

【结论2】如图所示，NB+NB0C+NC=360°,贝I]AB〃CD.

C.Zl+Z2+Z3=270°D.Zl-Z2+Z3=90°

产【变式训练】

1、（2023下•甘肃白银•七年级校考期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架,

其主要作用是动力传输.如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知A5CD,CG//EF,

NA4G=150。，NAGC=80。，则"EF的度数为（）

CED

图2

A.110°B.120°C.130°D.140°

2、（2023下•浙江杭州•七年级统考期末）如图，AB//CD,射线FE,尸G分别与A3,8交于点M,N,

若NF=/FND=3NEMB,则N尸的度数是

3、（2023下•内蒙古鄂尔多斯•七年级统考期中）探究题

⑴如下图，AB//CD,ZPAB=130°,ZPCD=120°.求/APC度数;

⑵如下图，AD〃3C,点尸在射线上运动，ZADP=Za,NBCP=".

①当点P在A,8两点之间运动时，ZCPD,/a,"之间的数量关系为

②当点尸在A,8两点外侧运动时（点P与点A,B,。三点不重合），请写出NCPD,Ztz,〃之间的数量

关系，并说明理由.

M

备用图

j[经典例题三平行基本模型之“鸡翅”模型】

【例3】（2023秋•全国•八年级专题练习）①如图1,AB//CD,贝l|ZA+ZE+ZC=360°；②如图2,AB//

CD,贝!]NP=NA—NC；③如图3,AB//CD,则/E=NA+/1；④如图4,直线45〃CD//EF,点、

。在直线斯上，则Na-NP+Ny=180。.以上结论正确的个数是（)

4B-B.4BHB

£（Z=E二E—上;

O

飞D7PCD

图

图1图2图34

A.1B.2C.3D.

产【变式训练】

1、（2023秋•八年级课时练习）（13已知:如图（a）,直线求证：ZABC+ZCDE=ZBCD；

（2）如图（b）,如果点C在AB与E。之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么

新的猜想?

（。）

2、（2023春•广东东莞•七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）ABSCD,猜想回BPO与回8、0。的关

系，说出理由.

（2）观察图（2）,已知ARSC。，猜想图中的勖尸。与配、回。的关系，并说明理由.

（3）观察图（3）和（4）,已知ABI3CD猜想图中的回与勖、回。的关系，不需要说明理由.

(1)(2)(3)

3、(2023•全国•七年级假期作业)已知，AE//BD,ZA=ZD.

(1)如图1,求证：AB//CD-,

(2)如图2,作—BAE的平分线交8于点F，点G为上一点，连接FG,若NCRG的平分线交线段AG

于点H,连接AC,若ZACE=ZBAC+/BGM,过点H作交FG的延长线于点V,且

3ZE-5ZAFH=18°,求/E1F+NGMH的度数.

「51经典例题四平行基本模型之“骨折”模型】

【例4】(2023・全国•九年级专题练习)如图所示,42回。,回£=37。,0。=20。，贝崛EA8的度数为

【变式训练】

1、(2023春・湖北黄冈•七年级校考期中)如图，已知AB//Z)£；0ABC=8O。，fflCD£=140o,则勖CD=

2、(2023春•江苏盐城•七年级景山中学校考阶段练习)如图，若ABHCD,贝崛1+回3-回2的度数为

E

1

B

3、(2023春・全国•七年级专题练习)(1)如图，AB//CD,CP平分EIOCE,若回。。歹=30。，0£=20°,求E1A8E

的度数；

(2)如图，AB//CD,SEBF=2^ABF,CP平分EIOCE,若M的2倍与I3E的补角的和为190。，求E1ABE的度数.

(3)如图，P为(2)中射线BE上一点，G是。上任一点，尸。平分I38PG,GN//PQ,GM平分EIOGP,

若回8=30。，求EIMGN的度数.

【拓展培优】

1.(2024上•重庆沙坪坝•九年级重庆南开中学校考期末)如图，AB//CD,ZG=90°,NBEG=x,则NDFU

可以表示为（）

A.180°-xB.90°+xC.90°-xD.1800-2%

2.（2022下•浙江宁波•七年级统考期末）如图，AB//DE,BCLCD,设=ACDE=/3,则a与

a+/?=90

c.«+^=180D.a与4没有数量关系

3.（2022下•河北邯郸•七年级统考期中）如图，若ABCD,则/a、4、/y之间关系是（）

A\a-------------------------------B

C---------------------

A.Na+N分+N7=180。B.Za+Z/?-Z/=360°

C.Za+Z/7-Z/=18O°D,Na—/6+//=360。

4.（2023下,江苏泰州•七年级泰州市第二中学附属初中校考阶段练习）如图，已知AB〃。凡OE和AC分

别平分NCD尸和N3AE,若NDE4=40。，ZACD=59°,则NCDF的度数为（）

FD

二

BA

A.26°B.36°C.46°D.52°

5.（2023下•广东深圳•七年级校考期中）如图,E在线段及1的延长线上，/应㈤=N。，/B=ND,EFHC,

连FH交AD于G,，尸G4的余角比“GH大16。，K为线段BC上一点，连CG,使/CKG=/CGK,在

—AGK内部有射线GM,GM平分NTGC.则下列结论：①ADBC；②GK平分/AGC；③NTGA=42。；

@^MGK=21°.其中正确结论的个数有（）

6.（2023下•重庆北暗七年级西南大学附中校考期中）如图，已知AB〃CD,4BEH=4CFG,EI、bK分别

为NAEH、NCFG的角平分线，FKLFJ,则下列说法正确的有（）个.

①EH〃GF

@ZCFK=ZH

③E7平分/G7D

④ZAEI+ZGFK=90°

A.4B.3C.2D.1

7.（2021下•重庆九龙坡•七年级重庆市杨家坪中学校考期中）如图，AB〃CD,点E在。上，点G,F,I

在AB,C。之间，且GE平分/CE/，BI平分NFBH,GF//BI.若NBFE=52。,则NG的度数为（）.

A.112°B.114°C.116°D.118°

8.（2022下•河北唐山•七年级统考期中）如图，已知ABCD,于点E,ZAEH=ZFGH=20°,

ZH=50°,则/EPG的度数是（）

EB

c1

A.120°B.130°C.140°D.150°

9.（2023下•湖南长沙•七年级统考期末）（1）如图一，ABCD,—3=70。，/。=30。，则

22

（2）如图二，ABCD,ZABF=-ZABE,ZCDF=-ZCDE,DQ,8。分别平分/GDE和

则—DEB,满足的数量关系为.

10.（2023下•湖北武汉•七年级校考阶段练习）如图，AB〃CD,点、E,歹在直线AB上（F在E的左侧），

点G在直线8上，EHLHG,垂足为“，尸为线段EH上的一动点，连接GP,GF,NFGH与NBFG的

角平分线交于点Q,且点。在直线A3,8之间的区域，下列结论：

①ZBEH+ZDGH=90°；

②ZCGH+2ZFQG=270°；

③若NPGH=3ZDGH,贝lj3N3EH+NEPG=360。；

④若NPGH=nNDGH,贝|/B£7f+-1-/PGD=90。，其中“为正整数.

n+1

上述说法正确的是（写出所有正确结论的序号）.

11.（2022上•广东广州•八年级广州市黄埔军校纪念中学校考开学考试）如图①所示，四边形肋VBD为一张

长方形纸片.如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（/BAE、/AEC、NECD）,则

/BAE+/AEC+/ECD=（度）；

B.----A-------R4RA

N—B

M

DCD~~~CD~~c-D-------

图①图②图③图④

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（NBAE、NAEF、NEF、NFCD）,则

ZBAE+ZAEF+ZEFC+ZFCD=（度）；

（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（NBAE、ZAEF./EFG、NFGC、/GCD）,

则ZBAE+ZAEF+ZEFG+ZFGC+ZGCD=（度）；

（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪"刀，剪出"+1个角，那么这〃+1个角的和是（度）.

12.（2022下•四川成都・七年级四川省成都市七中育才学校校考期末）已知直线射线防、OG分

别平分/ABC,ZEDC,两射线反向延长线交于点“，请写出N〃，/C之间的数量关系：.

13.（2021下•上海浦东新•七年级期中）如图，已知AO〃CE,ZBCF=ZBCG,C尸与NBA”的平分线交于

点R若/AFC的余角等于2/ABC的补角，则的度数是.

14.（2021下•黑龙江哈尔滨•七年级统考期中）已知AB〃C。，点V、N分别为A3、8上的点，点E、F、

3

G为AB、8内部的点，连接月欣、FN、EM、EN、CM、GN,ME工NE于E,ZBMF=-ZBMEf

3

ZDNF=-ZDNEfMG平分NAMF,NG平分/CNF,则NMGN（小于平角）的度数为.

AMB

G

ND

15.（2023上•黑龙江哈尔滨•七年级校考期中）已知：直线A3与直线内部有一个点P,连接3P.

⑴如图1,当点E在直线8上，连接PE,若ZB+NPEC=NP,求证：ABCD；

（2）如图2,当点E在直线A3与直线CD的内部，点H在直线CO上，连接团，若

ZABP+ZPEH=ZP+Z.EHD,求证：ABCD.

（3汝口图3,在（2）的条件下，BG、E尸分别是NABP、NPE"的角平分线，3G和EF相交于点G,EF

和直线A3相交于点F，当5P_LPE时，若ZBFG=NEHD+10。,ZBGE=36°,求）的度数.

16.（2023上•全国,八年级专题练习）已知，MN//PQ,直线A3交MN于点A,交PQ于点B,点C在线段

（D如图1,当CE_LB时，求NAEC+/班C的度数;

(2)如图2,若ZMEC和ZPFT的角平分线交于点G,求ZECF和NG的数量关系;

⑶如图3,在（2）的基础上，当CELCF,且/ABP=60。，NACE=20。时，射线FT绕点厂以5。每秒的

速度顺时针旋转，设运动时间为/秒，当射线FG与△AEC的一边互相平行时，请直接写出r的值.

17.(2023上•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习)已知，MN〃PQ,点、A、点B

分别在线段MN、PQ上.

⑴如图1,点C在直线MMPQ之间，ZACB=ZNAC+ZQBC.

(2)如图2,分别过点A和点C作直线AG,C〃，使AG〃CH,以点B为顶点作直角,并且4®/的两

边分别与直线S、AG交于点尸和点E,贝|NCFB+NA£B=.(直接写出角度和)

(3)如图3,在(2)的条件下，若8。和AE恰好分别平分/C2Q和NCW,并且NACB=106。，求NCEB的

度数.

18.(2022下•湖南长沙•七年级校考阶段练习)如图1,ABCD,G为AB、8之间一点.

29

(2)如图2,^ZAEP=-ZAEF,ZCFP=jZEFC,且FP的延长线交的角平分线于点M,EP的延长线

交ZCFP的角平分线于点N,猜想+/N的结果并且证明你的结论；

(3)如图3,若点H是射线EB之间一动点，FG平分NEFH,MF平分NEFC,过点G作GQ_LFM于点Q,

请猜想NE”F与/FG。的关系，并证明你的结论.

19.(2022下•江苏连云港•七年级统考期中)已知钻CD.

［知识回顾］(1)如图1,点E在两平行线之间，试说明：/B