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文档简介
第09讲有理数的乘方(4种题型)
二》【知识梳理】
一、有理数的乘方
1、求〃个相同因数。的积的运算叫乘方,乘方的结果叫幕。。叫底数,〃叫指数,屋读作:。的几次幕(a
的〃次方)。
、指数
“底数
2、乘方的意义:a"表示〃个a相乘。a-
〃个Q
,-----------------------A-----------------------x
axaxax--xa=an
3、写法的注意:
当底数是负数或分数时,底数一定要打括号,不然意义就全变了.
如:(—)~=(—)x(—),表示两个—相乘.
3333
227x2
而——=------,表示2个2相乘的积除以3的相反数.
33
4、a"与一a"的区别.
(1)a"表示〃个a相乘,底数是a,指数是〃,读作:a的〃次方.
⑵一屋表示〃个。乘积的相反数,底数是a,指数是“,读作:a的〃次方的相反数.
如:(-2)3底数是—2,指数是3,读作(-2)的3次方,表示3个(-2)相乘.
(-2)3=(-2)X(-2)X(-2)=-8.
一23底数是2,指数是3,读作2的3次方的相反数.—23=—(2X2X2)=—8.
注:(-2)3与-23的结果虽然都是一8,但表示的含义并不同。
5、乘方运算的符号规律.
(1)正数的任何次暴都是正数.
(2)负数的奇次幕是负数.
(3)负数的偶次暴是正数.
(4)0的奇数次幕,偶次幕都是0.
所以,任何数的偶次幕都是正数或0。
二、有理数的混合运算
1、有理数的混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,先算括号里面的,再算括号
外面的。
2、括号前带负号,去掉括号后括号内各项要变号,即
一(<?+/?)=—ci—b,—(a—b)=—ci+b
三.科学记数法一表示较大的数
(1)科学记数法:把一个大于10的数记成。义10"的形式,其中a是整数数位只有一位的数,n是正整数,
这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式:aXIO",其中"为正整数.】
(2)规律方法总结:
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键,由于10的指数比原来的整数位数少1;按此规
律,先数一下原数的整数位数,即可求出10的指数小
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示,实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示,只是
前面多一个负号.
W【考点剖析】
一.有理数的乘方(共11小题)
1.(2022秋•南涛区期末)下列各组数中,运算结果相等的是()
A.(-5)3与-53B.23与32
2
C.-22^(-2)2D.号)2与名
【分析】利用乘方运算法则计算后判断即可.
【解答】解:A、(-5)3=-125,-53=-125,故相等,符合题意;
B、23=8,32=9,故不相等,不符合题意;
C、-22=-4,(-2)2=4,故不相等,不符合题意;
D、(鼻)2上,21=旦,故不相等,不符合题意;
1644
故选:A.
【点评】本题考查了有理数的乘方,关键是掌握有理数的乘方的意义.
2.(2022秋•苍南县期中)把2x2x2x2x2写成赛的形式是(2)5.
333333
【分析】根据有理数的乘方得出结论即可.
【解答】解:—X—X—X—X—=(2)5,
333333
故答案为:(2)5.
3
【点评】本题主要考查有理数的乘方,熟练掌握有理数的乘方计算是解题的关键.
3.(2022秋•柯桥区月考)如果mb,c是整数,且才=6,那么我们规定一种记号Q,6)=c,例如3?=
9,那么记作(3,9)=2,根据以上规定,求(-3,-27)=3.
【分析】利用规定记号的意义将式子表示出乘方的形式,利用有理数乘方的意义解答即可.
【解答】解:设(-3,-27)=x,
Vac=b,那么我们规定一种记号(a,b)=c,
:.(-3)』-27.
(-3)3=-27,
.,.尤=3.
故答案为:3.
【点评】本题主要考查了有理数的乘方,本题是新定义型题目,理解题干中的新规定并列出算式是解题
的关键.
4.(2023•西湖区校级二模)-33=()
A.-9B.9C.-27D.27
【分析】运用乘方知识进行计算、求解.
【解答】解:-33=-27,
故选:C.
【点评】此题考查了实数的立方运算能力,关键是能准确理解并运用该知识进行计算.
5.(2022秋•青田县期末)一张纸的厚度为0.09〃m,假设连续对折始终都是可能的,那么至少对折”次后,
所得的厚度可以超过厚度为0.9cm的数学课本.则w的值为()
A.5B.6C.7D.8
【分析】一张纸的厚度为0.09〃制,对折1次后纸的厚度为0.09X2〃制;对折2次后纸的厚度为0.09X2
><2=0.09X22机机;对折3次后纸的厚度为0.09义23%加;对折w次后纸的厚度为0.09X2"加以据此列出
不等式,求出〃的取值范围即可.
【解答】解:..•折一次厚度变成这张纸的2倍,
折两次厚度变成这张纸的22倍,
折三次厚度变成这张纸的23倍,
折〃次厚度变成这张纸的2〃倍,
设对折n次后纸的厚度超过9mm,
则0.09X2n>9,
解得2">100.
而26<100<27.
:.n为7.
故选:C.
【点评】本题考查从实际中寻找规律的能力,乘方是乘法的特征,乘方的运算可以利用乘法的运算来进
行,乘方的意义就是多少个某个数字的乘积.
6.(2022秋•文成县期中)下面的计算错在哪里?指出错误步骤的序号,并给出正确的解答过程.
工+(-2)3X(—)=9+(-8)X(―)……①
OO
=94-1.......②=9........③
错误步骤的序号:①;
正确解答:-a;
—64―
【分析】根据有理的乘除法则及运算顺序进行判断,并计算便可.
【解答】解::-32=-9,
;・步骤①错误;
正确的解答如下:
3
*+(-2)X(4)
O
=-9+(-8)X
'8'
=-9X-1.x—
88
一9
64,
故答案为:①;
64
【点评】本题考查了有理数的乘除法,关键是熟记运算法则与运算顺序.
7.(2019秋•萧山区期中)计算:23=8.
【分析】根据有理数的乘方计算即可
【解答]解:23=8.
故答案为:8.
【点评】本题主要考查有理数的乘方,解题的关键是掌握有理数的乘方的定义.
8.(2020秋•义乌市校级月考)定义:如果10,=〃,那么称Z?为〃的劳格数,记为b=d.
(1)根据劳格数的定义,可知:d(10)=1,d(102)=2,那么:d(IO3)=3.
(2)劳格数有如下运算性质:若m,几为正数,则d(加?)=d(m)+d(n);d(—)=d(m)-d(n).若
n
d(3)=0.48,d(4)=06根据运算性质,填空:d(12)=1.08,d(3)=-0.12,d(目)
42
=0.66.
【分析】(1)根据劳格数的定义,可知:d(103)求得是10〃=1。3中的6值;
(2)由劳格数的运算性质可知,两数积的劳格数等于这两个数的劳格数的和;两数商的劳格数等于这两
个数的劳格数的差,据此可解.
【解答】解:(1)根据劳格数的定义,可知:d(103)=3;
故答案为:3.
(2)由劳格数的运算性质:
若d(3)=0.48,d(4)=0.6,
贝!(12)=d(3)+d(4)=0.48+0.6=1.08,
则d(W)=d(3)-d(4)=0.48-0.6=-0.12,
4
,:d(4)=d(2X2)=d(2)+d(2)=0.6,
:.d(2)=0.3,
d(a)=d(9)-d(2)=d(3X3)-d(2)=d(3)+d(3)-d(2)=0.48+0.48-0.3=0.66,
2
故答案为:1.08,-0.12,0.66.
【点评】本题考查了有理数的乘方,定义新运算,读懂题中的定义及运算法则是解题的关键.
9.(2021秋•吴兴区期中)已知三个互不相等有理数a,b,c,既可以表示为1,a,a+b的形式,又可以表
示为0,电,6的形式,则/020*21值是1.
a
【分析】由土有意义,则则应有a+b=O,电=-b故只能b=l,。=-1了,再代入代数式求解.
aa
【解答】解:因为三个互不相等的有理数1,a,a+b分别与0,上,b对应相等,土为有理数,
aa
Q+Z?=O,
=-1,b=l,
a
・・-1f
...屋。20/21=(7)2020xl2021=b
故答案为:L
【点评】本题主要考查了实数的运算,属于探索性题目,关键是根据已知条件求出未知数的值再计算.
10.(2020秋•吴兴区校级期中)请你研究以下分析过程,并尝试完成下列问题.
13=12
13+23=9=32=(1+2)2
13+23+33=36=62=(1+2+3)2
13+23+33+43=100=102=(1+2+3+4)2
(1)13+23+33+-+103=3025
(2)13+23+33+-+203=44100
22
(3)l3+23+33+--+n3=—~_
一4—
(4)计算:1/+123+133+…+2()3的值.
【分析】根据已知一系列等式,得出一般性规律,计算即可得到结果.
【解答】解:⑴13+23+33+-+103=3025;
(2)13+23+33+-+203=44100;
(3)l3+23+33+--+n3=___In+1J_.
4
(4)113+123+133+-+203=44100-3025=41075.
故答案为:(1)3025;(2)44100;(3)♦(n+1)[4J075.
4
【点评】此题考查了有理数的乘方,熟练掌握乘方的意义是解本题的关键.
11.(2020秋•萧山区期中)阅读下列各式:(a・b)2=a2b2,(a%))=a%3,(〃•》)4=〃%4….
回答下列三个问题:①验证:(2X1)100=1,2100X(1)100=1;
22
②通过上述验证,归纳得出:n-anbn;(a*b・c)"=c1nb"";
③请应用上述性质计算:(-0.125)2O19X22O18X42O17.
【分析】①根据有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题.
②通过猜想归纳解决此题.
③根据积的乘方、有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题.
[解答]解:①(2X、)2100x(y)100=2100X―奈=L
故答案为:1,1.
②Qa,b)n=anbn,Ca-b-c)n=anbn^.
故答案为:0nb",0nb5
③(-0.125)2019X22018X42017
2017
=/\2019x22018x4
=(-^)2X(4产17X2X22017x42017
88
=(2x2)x(一X2X4)2°17
648
=ix(<)
_—-•i
32
【点评】本题主要考查有理数的乘法、积的乘方,熟练掌握有理数的乘法法则、积的乘方是解决本题的
关键.
二.非负数的性质:偶次方(共5小题)
12.(2022秋•丽水期中)已知a,b满足|a+3|+(6-2)2=0,贝!1a+6的值为()
A.1B.5C.-1D.-5
【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出a,6的值,进而得出答案.
【解答】解::|a+3|+(6-2)2=O,
.•・“+3=0,b-2=0,
解得:a=-3,b=2,
故a+b=-3+2=-1.
故选:c.
【点评】此题主要考查了非负数的性质,正确得出a,b的值是解题关键.
13.(2022秋•青田县期中)若依+1|+(«-3)2=0,则/的值为()
A.1B.-1C.3D.-3
【分析】利用非负数的性质求出,〃与“的值,代入所求式子计算即可得到结果.
【解答】解:V|m+l|+(n-3)2=0,|〃7+1]20,(〃-3)220,
・••根+1=0,n-3=0,
即m=-1,n=3,
则m"=(-1)3=-1.
故选:B.
【点评】此题主要考查了非负数的性质,正确得出出w的值是解题关键.
14.(2021秋•兰山区校级月考)若|x-2|+(y+3)2=0,则干=9.
【分析】根据非负数的性质可求出尤、y的值,再将它们代入炉中求解即可.
【解答】解::尤、y满足|x-2|+(y+3)2=0,'.x-2=0,尤=2;y+3=0,y=-3;则.=(-3)2=9.
故答案为:9.
【点评】本题考查了非负数的性质:有限个非负数的和为零,那么每一个加数也必为零.
15.(2022秋•兰溪市期中)已知(a-2)2与族+1|互为相反数,求(a-6)。+〃的值.
【分析】根据偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方解决此题.
【解答】解:由题意得:(a-2)2+步+1|=0.
(a-2)220,|6+1|20,
'•a-2=0,Z?+l=0.
・・a=2,b~~~1.
Ca-b)a+b=[2-(-1)]2+(-11=31=3.
【点评】本题主要考查偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方,熟练掌握偶次方的非负性、
绝对值的非负性、有理数的乘方是解决本题的关键.
16.(2022秋•衢州期中)已知(a」)2+|b+2|=0'则Qab)2022=1.
【分析】根据绝对值和偶次方是非负数的性质列式求出。、6的值然后代入代数式计算即可.
【解答】解::(a-2+|b+2|=0,
a——=0,6+2=0,
2
a=1'b="2,
2
(ab)2022=[yX(-2)]2022=1
故答案为:1.
【点评】本题考查了非负数的性质:根据几个非负数的和等于零,则每一个算式都等于零求出八6的值
是解此类题的关键.
三.科学记数法一表示较大的数(共9小题)
17.(2022秋•临海市期末)我国倡议的“一带一路”惠及约为4400000000人,用科学记数法表示该数为
4.4义1。9・
【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为aXl(T,其中lW|a|<10,〃为整数,且〃比原来的
整数位数少1,据此判断即可.
【解答】解:4400000000=4.4X109,
故答案为:4.4X109.
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法,用科学记数法表示较大的数时,一般形式为。义10”,其中
iwia<io,”为整数,且”比原来的整数位数少1,解题的关键是要正确确定。和”的值.
18.(2023•杭州)杭州奥体中心体育场又称“大莲花”,里面有80800个座位.数据80800用科学记数法表
示为()
A.8.8X104B.8.08X104C.8.8X105D.8.08X105
【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式,其中〃为整数.确定〃的值时,要看把原
数变成。时,小数点移动了多少位,〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时,〃是
正整数;当原数的绝对值<1时,〃是负整数.
【解答】解:80800=8.08X104,
故选:B.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10〃的形式,其中lW|a|<10,
w为整数,表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.
19.(2023•路桥区校级二模)2022年12月28日,台州市域铁路S1线开通运营,标志着台州城市发展迈入
轨道时代台州市域铁路S1线全长约52.4公里,总投资约228.19亿元,是连接椒江区、路桥区及温岭市
之间重要的城市快速通道.其中数据228.19亿用科学记数法表示为()
A.O.22819X1O10B.0.22819X1011
C.2.2819X1O10D.2.2819X1011
【分析】科学记数法的表示形式为。义10"的形式,其中〃为整数.确定〃的值时,要看把原
数变成。时,小数点移动了多少位,〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时,〃是
正整数;当原数的绝对值<1时,〃是负整数.
【解答】解:228.19亿=22819000000=2.2819X101°.
故选:C.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为。义10"的形式,其中lW|a|<10,
"为整数,表示时关键要正确确定a的值以及〃的值.
20.(2023•邮阳区模拟)2022年5月10日凌晨,长征7号火箭托举着天舟四号货运飞船发射升空,在距地
面390000米的高度,与空间站完成自主交会对接任务.390000用科学记数法表示为3.9X1()5.
【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式,其中,”为整数.确定”的值时,要看把原
数变成。时,小数点移动了多少位,”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时,〃是
正整数;当原数的绝对值<1时,"是负整数.
【解答】解:390000=3.9X1()5
故答案为:3.9X105.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10〃的形式,其中lW|a|<10,
w为整数,表示时关键要正确确定。的值以及w的值.
21.(2022秋•拱墅区月考)北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆“冰丝带”近12000平方米的冰面采用分模
块控制技术.可根据不同项目分区域、分标准制冰.将数据12000用科学记数法表示为1.2X104.
【分析】科学记数法的表示形式为。义10"的形式,其中"为整数.确定”的值时,要看把原
数变成a时,小数点移动了多少位,w的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时,〃是
正整数;当原数的绝对值<1时,〃是负整数.
【解答】解:12000=1.2X104.
故答案为:1.2X104.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10〃的形式,其中lW|a|<10,
力为整数,正确确定。的值以及w的值是解决问题的关键.
22.(2023•余姚市二模)中国空间站2022年建成,轨道高度为400〜450千米.“450千米”用科学记数法
表示是()
A.4.5X1()5米B.045X1()7米C.45X1()5米D.4.5XIff米
【分析】科学记数法的表示形式为。义10"的形式,其中1W间<10,〃为整数.确定w的值时,要看把原
数变成a时,小数点移动了多少位,〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值N10时,”是
正整数,当原数绝对值<1时,力是负整数.
【解答】解:“450千米”等于“450000米”,用科学记数法表示是4.5X105米.
故选:A.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10〃的形式,其中lW|a|<10,
”为整数,表示时关键要正确确定。的值以及"的值.
23.(2021秋•越城区校级月考)一次自然灾害导致大约20万人受困,急需准备一批帐篷和粮食进行援助.估
计每顶帐篷可以住10人,平均每人每天需要粮食().4千克,共维持15天,那么有关部门需要筹集多少
顶帐篷?多少吨粮食?(结果用科学记数法表示)
【分析】根据题意列式计算,并用科学记数法表示结果即可.
【解答】解:根据题意得:
20万=200000,
所以有关部门需要筹集200000+10=20000(顶)帐篷,即2X1()4顶帐篷;
需要筹集200000X0.4X15=1200000(千克)粮食,1200000千克=1200吨
即1200=1.2X103吨粮食.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为"X10"的形式,其中lW|a|<10,
”为整数,表示时关键要正确确定。的值以及"的值.
24.(2022秋•慈溪市期中)在宇宙之中,光速是目前知道的最快的速度,可以达到3X10%/5,如果我们用
光速行驶3.6X10\,请问我们行驶的路程为多少m?
【分析】科学记数法的表示形式为aX10〃的形式,其中lW|a|<10,”为整数.确定”的值时,要看把原
数变成a时,小数点移动了多少位,〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时,〃是
正数;当原数的绝对值<1时,”是负数.
【解答】解:3X108X3.6X103=3X3.6X108X103=10.8X10u=1.08X1012(m).
答:行驶的路程为1.08Xiojw.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10〃的形式,其中lW|a|<10,
w为整数,表示时关键要正确确定。的值以及w的值.
25.(2022秋•永嘉县校级月考)已知一个U盘的名义内存为10GB,平均每个视频的内存为512M3,平均
每首音乐的内存为10.24MB,平均每篇文章的内存为10.24KB.现该U盘已存16个视频,50首音乐.若
该U盘的内存的实际利用率为90%,求还可以存文章的最多篇数(用科学记数法表示).(注:已知1GB
=1024MB,1024KB)
【分析】根据题意列式求解,最后化成科学记数法.
【解答】解:(10X1024X1024X0.9-512X1024X16-10.24X50X1024)4-10.24=5.12X104,
答:还可以存文章的最多篇数是5.12义1。4.
【点评】本题考查了科学记数法,掌握科学记数法的形式是解题的关键.
四.科学记数法一原数(共1小题)
26.(2021秋•平阳县期中)用科学记数法表示的数为4.315X1()3,这个数原来是()
A.4315B.431.5C.43.15D.4.315
【分析】将小数点向右移动3位即可得出原数.
【解答】解:用科学记数法表示的数为4.315X103,这个数原来是4315,
故选:A.
【点评】本题主要考查科学记数法一原数,科学记数法aX10〃表示的数,“还原”成通常表示的数,就是
把a的小数点向右移动“位所得到的数.若科学记数法表示较小的数a义10”,还原为原来的数,需要
把a的小数点向左移动n位得到原数.
V【过关检测】
一、单选题
1.(2023•浙江•七年级假期作业)(-3)2的相反数为()
A.-3B.3C.-9D.9
【答案】C
【分析】根据乘方运算以及相反数的定义进行计算即可得到答案.
【详解】解:(-3)、9,
根据相反数的定义可知:9的相反数是-9.
故选:C.
【点睛】本题考查了乘方运算以及相反数的定义,一个数的相反数就是在这个数前面添上号;正数的相
反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是①
2.(2022秋,浙江•七年级期末)23的意义是()
A.2x3B.2+3C.2+2+2D.2x2x2
【答案】D
【分析】根据募的意义即可得出答案.
【详解】解:,23=2x2x2
故选:D.
【点睛】本题考查了有理数的乘方,掌握能表示几个a相乘是解题的关键.
〃个2
3.(2023•浙江•七年级假期作业)代数式丁广----可以表示为()
,X,X,X,•,X,
A.2+几B.2nC.2〃D.n2
【答案】C
【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得.
〃个2
【详解】解:代数式5—^——R可以表示为2";
2x2x2x---x2
故选:C.
【点睛】本题考查了有理数的乘方,理解乘方的意义是关键.
4.(2023春•浙江衢州•七年级校考阶段练习)若|。+5|与弧-6|互为相反数,则(a+6)2°2的值为()
A.-2021B.2021C.1D.-1
【答案】C
【分析】由相反数的定义和非负数的性质求出6的值,代入计算即可.
【详解】解:国“+5|与卜-6|互为相反数,
/.|«+5|+|Z?-6|=0,
「.々+5=0,人一6二0,
解得a=-5,b=6,
.•.3+5)2021=(—5+6)2021=12021=1.
故选C.
【点睛】本题考查了相反数的定义和非负数的性质,解题的关键是求出a、b的值.
5.(2022春•浙江金华•七年级统考期末)下列对于式子(-3)2的说法,错误的是()
A.指数是2B.底数是-3C.嘉为-3D.表示2个-3相乘
【答案】C
【分析】根据乘方的定义解答即可.
【详解】A.指数是2,正确;
B.底数是-3,正确;
C.幕为9,故错误;
D.表不2个-3相乘,正确;.
故选C.
【点睛】此题考查了乘方的意义,熟练掌握乘方的意义是解本题的关键.乘方的定义为:求〃个相同因数
。的积的运算叫做乘方,乘方运算的结果叫做事.在屋中,它表示“个。相乘,其中。叫做底数,”叫做指
数.
6.(2023•浙江•七年级假期作业)观察下列等式:7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,
75=16807,…,根据其中的规律可得70+7+7?+…+72团的结果的个位数字是()
A.0B.1C.7D.8
【答案】A
【分析】由已知可得尾数1,7,9,3的规律是4个数一循环,则70+7]+7?+…+72阳的结果的个位数字
与7°+了+72+73的个位数字相同,即可求解.
【详解】解:07°=1,71=7,72=49,7^=343,74=2401,75=16807,
团尾数1,7,9,3的规律是4个数一循环,
町+7+9+3=20,
07°+7]+7?+73的个位数字是0,
又132024+4=506,
国7°+7]+7?+…+72023的结果的个位数字与70+7]+7?+73的个位数字相同,
团7°+71+7?+…+7283的结果的个位数字是0.
故选:A.
【点睛】本题考查数的尾数特征,能够通过所给数的特点,确定尾数的循环规律是解题的关键.
7.(2022秋•浙江绍兴•七年级校联考期中)某种细胞每过15秒便由1个分裂成2个.经过3分钟,这种细胞
由2个分裂成()个.
A.210B.211C.212D.213
【答案】C
【分析】根据题意可得3分钟有12个15秒,进而根据有理数乘方的意义即可求解.
【详解】解:回3分钟=3x60=12x15秒,
团经过3分钟,这种细胞由2个分裂成产个,
故选:C.
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用,理解题意是解题的关键.
8.(2023•浙江•七年级假期作业)已知〃为正整数,计算(-1广-(-1广+’的结果是()
A.1B.-1C.0D.2
【答案】D
【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可.
【详解】解:(-1)2"-(-1)2"+,=1+1=2,
故选:D.
【点睛】本题考查了有理数的乘方,熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关
键.
9.(2023•浙江•七年级假期作业)已知8.62?=74.3044,=0.743044,贝”的值()
A.86.2B.0.862C.±0.862D.±86.2
【答案】C
【分析】根据两式结果相差2位小数点,利用乘方的意义即可求出尤的值.
【详解】解:回8.62,=73.96,4h0.7396,
Elx2=0.8622,
则x=±0.862.
故选C.
【点睛】本题考查了有理数的乘方,熟练掌握乘方的意义是解题的关键.
二、填空题
10.(2022秋,浙江•七年级专题练习)计算:-32乂(-2丫=.
【答案】72
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案.
【详解】解:-32x(-2)3=-9x(-8)=72.
故答案为:72.
【点睛】此题主要考查了有理数的乘方运算,正确化简各数是解题关键.
11.(2022秋•浙江绍兴•七年级校考期中)把2x2x2x2x2写成幕的形式是.
【答案】25
【分析】根据有理数的乘方的定义及累的定义解答即可.
【详解】解:2x2x2x2x2写成幕的形式为:25.
故答案为:25.
【点睛】本题考查了有理数的乘方及塞的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键.
12.(2023•浙江•七年级假期作业)若|3-4+(6+2)2=0,则①+^侬的值等于.
【答案】1
【分析】先根据|3-4+9+2)2=0求出0和b的值,再把a和。的值代入⑺+疗侬即可求解.
【详解】解:回|3-a|+(6+2)2=0,
团>—a=0,0+N=0,解得:a=3,b=—2,
回(a+6产=(>-Z产=7,
故答案为:1.
【点睛】本题主要考查了绝对值与偶次基的非负性,累的运算,熟练掌握绝对值与偶次哥的非负性是解题
的关键.
13.(2022秋・浙江,七年级专题练习)的底数是指数是,计算的结果是
327
【答案】-3
64
【分析】根据有理数的乘方的定义和意义,在屋中,。叫做底数,〃叫做指数;屋表示"个。相乘,即
可.
【详解】回在屋中,。叫做底数,〃叫做指数
3
的底数是“指数是3
Ela”表示〃个。相乘
27
64
【点睛】本题考查了有理数的乘方,解题的关键是掌握有理数的乘方的定义和意义.
14.(2023•浙江•七年级假期作业)已知2"'=4,则机=.
【答案】2
【分析】把4写成2。即可求出机的值.
【详解】解:回2"'=4且4=22,
132'"=2?,
团机=2,
故答案为:2.
【点睛】本题主要考查了乘方的意义,正确把4写成22是解答本题的关键.
15.(2023•浙江•七年级假期作业)一根1米长的木棒,小明第一次截去全长的;,第二次截去余下的;,
依次截去每一次余下的;,则第五次截去后剩下的木棒长为米.
【答案】羌32
2
【分析】根据题意可求出第一次截去全长的:1,剩下1X2;米,第二次截去余下的1:,剩下1x?4,从而即可
3333
得出第五次截去余下的《,剩下1x2,=卫米.
33243
【详解】解:第一次截去全长的g,剩下1x11-J=lxg米,
第二次截去余下的《,剩下lx[l--/=1义22=壮米,
3I3)I3J39
第五次截去余下的《,剩下心丁二卫米.
33243
32
故答案为:——.
【点睛】本题考查有理数乘方的应用,数字类规律探索.理解乘方的定义是解题关键.
三、解答题
16.(2023•浙江•七年级假期作业)判断下列各式计算结果的正负:
(D(-6)12;
⑵(-0.0033)9;
(3)-58;
【答案】⑴正
(2)负
⑶负
⑷负
【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可.
【详解】(1)解:团(-6严的指数是12,为偶数,负数的偶次幕是正数,
回(-6产的结果为正;
(2)解:团(-0.0033)9的指数是9,为奇数,负数的奇次塞是负数,
团(-0.0033)9的结果为负;
(3)解:团-58表示的是58的相反数,正数的任何次嘉都是正数,
5'的结果为正,所以-58的结果为负;
(4)解:回,I]"的指数是11,为奇数,负数的奇次幕是负数,
11"的结果为负.
【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律,掌握负数的偶次幕为正、奇次幕为负成为解答本题的关
键.
17.(2023•浙江•七年级假期作业)计算:
⑴(-5)4;
23
⑵---;
⑶-(-CW.
【答案】⑴625
(2)-|
(3)0.027
【分析】(1)(-5)4表示4个-5相乘,即可得出答案;
(2)先计算2的立方,即可得出答案;
(3)根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数,乘方是几个相同因数的简便运算,可得答案.
【详解】(1)(一5)4=(-5)x(-5)x(-5)x(-5)=625;
232x2x28
(2)---=--------=---;
555
(3)-(-0.3)3=_[(_o.3)x(-0.3)x(-0.3)]=-(-0.027)=0.027.
【点睛】本题考查了乘方的定义,理解乘方的意义是解题的关键.
18.(2023•浙江•七年级假期作业)(1)计算下面两组算式:
①(3x5)2与3?x5?;②[(-2)x3]2与(-2)2x32;
(2)根据以上计算结果想开去:(“6)3等于什么?(直接写出结果)
(3)猜想与验证:当”为正整数时,(演)"等于什么?请你利用乘方的意义说明理由.
(4)利用上述结论,求(-4)2°2°义。.25皿1的值.
【答案】(1)
①225,225,(3x5)2=32x5z@36,36,[(-2)x3]2=(-2)2x32,
(2)a3b3
(3)见详解
(4)0.25.
【分析】(1)①先算括号内的数,再算平方;先算平方,再计算乘法即可,比较计算结果,
②先算括号内的数,再算平方;先算平方,再计算乘法即可,比较计算结果,
(2)直接按(1)写结果即可,
(3)利用乘方(")”的意义写成n个数相乘,利用交换律转化为竺上二巴与竺出乘积即可.
n个n个
(4)利用积的乘方的逆运算把Q25诬(-4)2020xO.252021=(-lxO.25)2020x0.25,再简便
运算即可.
【详解】(1)①(3x5)2=152=225,
32x52=9x25=225,
(3X5)2=32X52,
②[(-2)x3『=(-6)2=36,
(-2)2*32=4x9=36,
[(-2)X3]2=(-2)2X32,
(2)(ab)3=a3b3
(\/、
(3)(。6)"=(。6).(必)..(a/?)=a・a•…吗•b4j----b=anbn.
'环'k"个/V—7
(4)(-4)2020X0.252021=(-4X0.25)202°xO.25=1x0.25=0.25.
【点睛】本题考查有理数乘法法则问题,先通过不同形式的计算,验证结果相同,达到初步认证,再次认
证结果,通过证明先算计积再算乘法,与先算每个数的乘方再算积,验证结论成立,会逆用积的乘方运算
来简便运算是解题关键.
19.(2023,浙江•七年级假期作业)阅读计算:
阅读下列各式:Qab>2=a2b2,(,ab)3=a3b3,(ab)4=a4b4...
回答下列三个问题:
⑴验证:(4x0.25)100=;4looxO.25loo=.
(2)通过上述验证,归纳得出:(_)n—;(_)n—.
(3)请应用上述性质计算:(-0.125)2。15'22。1仪42。14.
【答案】(1)1,1;
(2)ab,anbn,abc,anbncn-
(3)-0.125
【分析】(1)先算括号内的,再算乘方;先乘方,再算乘法.
(2)根据有理数乘方的定义求出即可;
(3)根据根据阅读材料可得(-0.125x2x4)2。取(-0.125),再计算,即可得出答案.
【详解】(1)解:(4x0.25)ioo=lioo=l;
4looxO.25loo=l,
故答案为:1,1.
(2)解:(ab)n-anbn,(abc)n—anbncn,
故答案为:ab,anbn,abc,anbncn.
(3)解:原式=(-0.125)2014X22014X42014X(_0.125)
=(-0.125x2x4)2014X(-0.125)
=(-1)2叫(-0.125)
=1X(-0.125)
=-0.125
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用,主要考查学生的计算能力,理解阅读材料是解题的关键.
20.(2022秋•浙江•七年级专题练习)先阅读下列材料,再解答后面的问题
材料:一般地,九个相同的因数a相乘23,记为即.如2x2x2=23=8,此时,3叫做以2为底8的
〃个
对数,iE^log28(Bpiog28^3).
一般地,若a"=6(。>0且awl,b>0),则“叫做以。为底6的对数,记为log.6(即log06=〃).如
3,=81,贝I4叫做以3为底81的对数,记为1嗝81(即1唯81=4).
问题:
(1)计算以下各对数的值:
log24=,log216=,log264=.
(2)通过观察(1),思考:logZ"log216、log?64之间满足怎样的关系式?
⑶由(2)的结果,你能归纳出一个一般性的结论吗?logflM+logaN=(a>0且
axl,M>0,N>0).
⑷利用(3)的结论计算Iog42+log432=.
【答案】(1)2,4,6
(2)log,4+log,16=log264
⑶log")
(4)3
【分析】(1)根据对数的定义求解;
(2)认真观察,即可找到规律:4x16=64,log24+log216=log264;
(3)由特殊到一般,
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