圆与正多边形 知识归纳与题型突破（21类题型清单）解析版-2024-2025学年沪教版九年级数学下册

同与正多边形知识归纳与题型突破（21类题型）

01思维导图

02知识速记

知识点01.圆的认识

（1）圆的定义

定义①：在一个平面内，线段。/绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点/所形成的图形叫做圆.固

定的端点。叫做圆心，线段。/叫做半径.以。点为圆心的圆，记作读作“圆O”.

定义②：圆可以看做是所有到定点。的距离等于定长r的点的集合.

(2)与圆有关的概念

弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等.

连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意

一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣

弧.

(3)圆的基本性质：①轴对称性.②中心对称性.

知识点02.圆心角、弧、弦的关系

(1)定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

(2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余

各组量都分别相等.

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣

弧.

(3)正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推

二”，一项相等，其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原

图形完全重合.

(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分.

知识点03.点与圆的位置关系

(1)点与圆的位置关系有3种.设。。的半径为r,点尸到圆心的距离OP=d,则有：

①点P在圆外Qd>r

②点P在圆上Qd=r

①点P在圆内

(2)点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该

点与圆的位置关系.

(3)符号“o”读作“等价于”，它表示从符号的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端.

知识点04.三角形的外接圆与外心

(1)外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

(2)外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

(3)概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而

一个圆的内接三角形却有无数个.

知识点05.垂径定理

（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

知识点06.垂径定理的应用

垂径定理的应用很广泛，常见的有：

（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.

这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.

知识点07.直线与圆的位置关系

（1）直线和圆的三种位置关系：

①相离：一条直线和圆没有公共点.

②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫

切点.

③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线.

（2）判断直线和圆的位置关系：设。。的半径为r,圆心。到直线/的距离为d.

①直线I和。。相交=40

②直线/和。。相切=d=r

③直线/和。O相离

知识点08.切线的性质

（1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

（2）切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆

心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直.

（3）切线性质的运用

运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角

形解决问题.

知识点09.切线的判定

（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

（2）在应用判定定理时注意：

①切线必须满足两个条件：°、经过半径的外端；6、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线.

②切线的判定定理实际上是从“圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的.

③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线

的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出

直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作

半径，证垂直”.

知识点10.切线的判定与性质

（1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

（3）常见的辅助线的：

①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；

②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”.

知识点11、正多边形与圆

（一）正多边形及有关概念

（1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。

（2）正多边形的画法：把圆〃等分23）,顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这

个圆就是这个正多边形的外接圆。------、

O

中心

(3)正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。

(4)正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。

(5)正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。

(6)正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。

(二)正多边形的有关计算

(1)正n边形的每个内角都等于(“-2)T80°=i80°—处.

nn

360°

(2)正〃边形的每个中心角都等于——.

n

(3)正〃边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示,

设正〃边形的半径为民一边46=。，边心距(W=r,则有/80河=幽,氏2=72+]|]，正〃边

形

的周长/=na,面积S=然"=2nSABOM=gk

知识点12、弧长及扇形的面积

设。。的半径为R,"。圆心角所对弧长为/,

(一)弧长的计算

(1)弧长公式：/=上述

180

(2)公式推导：在半径为火的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2»R,所以1。的圆心

角所

对的弧长是红即巫，于是n°的圆心角所对的弧长为1=—

360°180°180

注意：(1)在弧长公式中，〃表示1。的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径尺=6c优，计算20°的圆

心角

20。x6xTC

所对弧长/时，不要错写成/=---------(cm).

(2)在弧长公式中，已知，/，〃，氏中的任意两个量，都可以求出第三个量。

(二)扇形面积的计算

(1)扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。

(2)扇形的面积：S扇形=嚼^=^/凡我为扇形所在圆的半径，/为扇形的弧长。

(3)公式推导：

①在半径为R的圆中，因为360。的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积5=乃氏2,所以圆心角是1。的扇形

而工曰乃火2工曰尸1、缶平，0曲卢谊石工□日。rurR2

面积是----，于是圆心角为〃的扇形面积是S扇刑=------.

360扇形360

②s扇花="之="4・'氏=！/氏，即无形=1次，其中/为扇形的弧长，R为半径。

扇形36018022扇格2

点拨：(1)扇形面积公式S=」出与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧

2

长/看成底，半径火看成高即可。

(2)在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式S扇形=嘿^还是S扇形;/R

(3)已知S扇形,/,尺,〃四个量中任意两个，都可以求出另外两个。

(4)公式中的“〃”与弧长公式中的“〃”的意义是一样的，表示“1。”的圆心角的倍数，计算时不带单位。

已知S,L〃，/?四个量中的任意两个，都可以求出另外两个量.

03题型归纳

题型一圆的基本概念

1.下列说法中，不正确的是()

A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

B.圆的每一条直径都是它的对称轴

C.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合

D.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个

【答案】B

【分析】本题主要考查圆的对称性，掌握圆的轴对称和旋转不变性是解题的关键.

【详解】解：A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，说法正确；

B.圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误；

C.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合，说法正确；

D.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个，说法正确；

故选：B.

2.如图，点B,。在OO上，乙4=36。，ZC=28°,则().

【答案】A

【分析】此题考查了圆的半径相等，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点.

连接CM,根据等边对等角得到/CMC=/C=28。，然后求出/Q/3=/A4C+/CMC=36o+28o=64。，然

后利用等边对等角求解即可.

【详解】解：连接04,

c

OA=OC,

：.NOAC=NC=28°,

ZOAB=ZBAC+AOAC=36°+28°=64°,

OA=OB,

：.NB=NOAB=64°.

故选：A.

3.如图，在RtA^SC中，ZC=90°,AC=6,8c=8,QO是"BC的外接圆，则下列说法正确的

个数是（）

①不？和前都是劣弧；

②AB是QO中最长的弦；

③A,O,B三点能确定一个圆；

【答案】C

【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及劣弧的定义，弦长，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关的

知识.根据劣弧的定义，弦长，勾股定理逐一判断即可.

【详解】①元和前都用两个字母表示，是小于半圆的弧，是劣弧，故①正确；

②•.•/C=90°,二48是。。的直径，又直径是圆中最长的弦，故②正确；

③过同一条直线上的三个点不能作圆，故③错误；

④••・ZC=90°,AC=6,BC=8,：.AB=^AC2+BC2=762+82=10­，的半径为5,故④正确.

故选:C.

巩固训练

1.下列命题中，正确的是（）

A.相等的圆心角所对弦相等B.同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的弧相

等

C.平分弦的直径平分弦所对的弧D.同圆或等圆中，圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等

【答案】D

【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦，弦心距的关系，垂径定理，熟记定理是解本题的关键.

【详解】解：•••同圆或等圆中，相等的圆心角所对弦相等，

••.A选项的结论不正确，不符合题意；

•••同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的优弧或劣弧分别相等，

•••B选项的结论不正确，不符合题意；

•.•平分弦（不是直径）的直径平分这条弦所对的两条弧，

•••C选项的结论不正确，不符合题意；

•••同圆或等圆中，圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等，

•••D选项的结论正确，符合题意.

故选：D.

2.如图，N3是。。的直径，C是A4延长线上一点，点。在。。上，且CD=O4C£＞的延长线交。。于E,

若NBOE=72。,则，。的度数是.

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，圆的性质，先证明

CD=OA=OD,则NC=/DOC,由三角形外角的性质得到NODE=2NC,则可证明/E==2NC,

再由三角形外角的性质可得NBOE=NC+NE=3ZC=72°,据此可得答案.

【详解】解：如图所示，连接8,

E

CD=OA=OD,

：.ZC=/DOC,

・•・/ODE=NC+/DOC=2ZC,

OD=OE,

：.N£=/EDO=2ZC,

・・・/BOE=NC+/E=3ZC=72°,

ZC=24°,

故答案为：24°.

3.如图，。。的弦4民C。的延长线交于点尸，连接OP,且O尸平分N/PC.求证：PA=PC.

【答案】见解析

【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线

是解题的关键.

过点。作OG,45于点G,OH,CD于点连接。4。。，则可证明Rt△尸。G之RMPQH(HL),则

PG=PH,再证明区区/。6段11M。。7/(111),则/G=C〃，继而得以求证.

【详解】证明：过点。作OGL/3于点G,OH，CD于点打，连接。4。。.

•.•0尸平分N4PC,

OG=OH,

P0=P0

RMPOG义RtAPW(HL),

.­.PG=PH

又：OA=OC,

RtA/OGgRtACO〃(HL)

AG=CH,

PA=PC.

题型二求一点到圆上点距离的最值

4.已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm,到圆的最远距离是7cm,则圆的半径为（）

A.3cmB.4cmC.3cm或4cmD.6cm

【答案】A

【分析】圆外一点，直径所在直线经过此点，直径的远端点与此点的距离最远，近端点与此点距离最近.

【详解】解：P为圆外一点，且尸点到圆上点的最近距离为1cm,到圆上点的最远距离为7cm,则圆的直径

是7-1=6（cm）,因而半径是3cm.

故选：A.

【点睛】本题考查了圆外一点与圆上点的距离问题，理解何时距离最远、最近是解题的关键.

5.在平面内，在Rt448C中，=过点N作2C边上的垂线/D平面内一点E到点/的距离

AE=AD,若BE最长为2+枝,则LBC=（）

A.4B.2C.V2D.272

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，得出点E的轨迹是以点/为圆心，2。为半径的圆上，并

且结合勾股定理列式得以=/&京=x&，因为8/+/O=3/+/E=xV^+x=2+后，进行计算，即可

作答.

【详解】解：：在Rta/BC中，=过点/作8C边上的垂线平面内一点E到点/的距离

AE=AD,

.♦.点E的轨迹是以点/为圆心，为半径的圆上，如图：

B,

E

上图，此时点E在A4的延长线上，满足BE最长为2+夜，

设AD=x,

•..在RtZi/BC中，AB=AC,

：.ZABD=45°,DB=AD=x,

,,BA=y/x2+x2—x\[2,

^BA+AD=BA+AE=X42+X^2+42>

解得x=V2,

:•BA=x®=2=AC，

贝！I^^ABC=2x2x—=2,

故选：B.

6.在同一平面内，已知。。的半径为4,圆心。到直线/的距离为6,P为圆上的一个动点，则点尸到直线

/的距离不可能是（）

A.2B.6C.10D.14

【答案】D

【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据题意可知圆上的点尸到直线/的最短距离为2,最长距离为

10,据此判断即可，掌握直线与圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系是解题的关键.

【详解】解：如图，

由题意得，OA—4,OB=6,

当点P在2。的延长线与QO的交点时，点尸到直线/的距离最大,

此时，点尸到直线/的最大距离是6+4=10,

当点P在2。与。。的交点时，点、P到直线/的距离最小,

此时，点尸到直线/的最小距离是6-4=2,

点尸到直线/的距离2WdW10,

故点P到直线/的距离不可能是14,

故选：D.

巩固训练

1.若O。所在平面内一点尸到O。上的点的最大距离为8,最小距离是2,则此圆的半径是（）

A.5B.3C.5或3D.10或6

【答案】C

【分析】由于点尸与。。的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论.

【详解】解：设O。的半径为「，

当点尸在圆外时，r=等=3；

当点尸在。。内时，r=等=5.

综上可知此圆的半径为3或5.

故选：C.

【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，对题目进行分类讨论，然后求得结果是解题的关键.

2.如果。。外一点P到。。上所有点的距离中，最大距离是8,最小距离是3,那么OO的半径长等于.

【答案】2.5

【分析】根据最大距离与最小距离之差等于直径即可得.

【详解】解：:。。外一点P到。。上所有的点的距离中，最大距离是8,最小距离是3,

Q_"2

QO的半径长等于丁=2.5,

故答案为：2.5.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，理解最大距离与最小距离之间的关系是解题关键.

3.如图所示，在。O上有一点C（C不与A、B重合），在直径AB上有一个动点P（P不与A、B重合）.试判

断PA、PC、PB的大小关系，并说明理由.

【答案】当点尸在。4上时尸/<PC<P2,02上时依<PC<P/,当点P在点。处时尸N=P8=PC

【详解】试题分析：分类讨论：当点P在点。处，易得PA=PB=PC；当点P在0A上，同样方法可得PA<

PC<PB；连接OC,如图，当点P在OB上，由三角形三边的关系得到OP+OOPC,则OA+OP>PC,所

以PA>PC,再由OC=OB得至!J/B=NOCB,则/B>NPCB,

所以POPB,于是得到PB<PB<PA；

试题解析：

当点尸与点。重合时，PA=PB=PC,

当点尸在。/上时，PA<PC<PB.

理由：连接OC,

在ZPOC中，oc-OP<PC<OP+OC,

,/OA^OB^OC,

：.OA-OP<PC<OP+OB,.,.PA<PC<PB,

同理，当P点在。2上时，PB<PC<PA.

【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念.也考查了三角形三边的关系和分类讨论的思想.

题型三圆的周长和面积问题

7.如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1,则圆的面

积约为正方形面积的（）

A.27倍B.14倍C.9倍D.3倍

【答案】B

【分析】设则O4=3x,BC=2x,根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解.

【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD,OB=OC,

•••圆的直径与正方形的对角线之比为3：1,

.,.设O8=x,则O/=3x,BC=2x,

i、,

.♦.圆的面积=兀（3》）2=9口2,正方形的面积=］（2x）=2x2,

9

/.9itx2^2x2=-~14,即：圆的面积约为正方形面积的14倍，

故选B.

【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积,

是解题的关键.

8.如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2,则图中阴影部分的面积是（）

A.兀B.2兀C.3itD.4兀

【答案】B

【分析】由圆的旋转对称性，可知阴影部分的面积刚好拼成大圆的一半，据此解题.

【详解】解：根据题意，大圆、小圆都被两条互相垂直的直径平均分成4份，由圆的旋转对称性，可得阴

影部分的面积刚好拼成大圆的一半，阴影部分面积：；"22=2兀,

故选：B.

【点睛】本题考查圆的旋转对称性等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

9.如图，圆环中内圆的半径为。米，外圈半径比内圆半径长1米，那么外圆周长比内圆周长长（）

A.2万米B.（2万+a）米C.（2万+2。）米D.万米

【答案】A

【分析】根据圆的周长公式可以得到解答.

【详解】解：由题意可得：

外圆周长=2%（。+1）,内圆周长=2万。，

2%+=Ina+1n-Ina=2万（加）,

故选A.

【点睛】本题考查圆的应用，熟练掌握圆周长的计算公式是解题关键.

巩固训练

1.如图，分别以正方形的三条边为直径画了三个半圆，那么，正方形的面积与阴影部分面积的比是（）

A.3:1B.4:1C.3:2D.2:1

【答案】D

【分析】如解图所示，作辅助线，将下方阴影部分补到箭头所指位置，即可得出结论.

【详解】解：如下图所示，作辅助线，将下方阴影部分补到箭头所指位置，可得正方形的面积与阴影部分

面积的比是2:1.

故选D.

【点睛】此题考查的是求面积的比，掌握分割法和平移法是解决此题的关键.

2.滚铁环有助于提高人体的平衡性、肢体的协调性以及眼力，可以提高四肢活动能力.如图，直径为4分

米的铁环从原点。沿数轴滚动一周（无滑动）到达点。，则—分米.

【分析】根据铁环从原点。沿数轴滚动一周（无滑动）到达点。，可知。O'为圆的周长，即可得出答案.

【详解】•••铁环从原点。沿数轴滚动一周（无滑动）到达点。，

。。'=4万分米

故答案为：4万

【点睛】本题考查圆的周长，正确理解题意，理解圆的周长的公式是解题的关键.

3.随着城市的发展，住宅小区的建设也越来越人性化.为响应国家“加强全民健身设施建设，发展全民体

育”的号召.哈市某小区在一片足够大的空地中，改建出一个休闲广场，规划设计如图所示.（兀取3）

（1）求塑胶地面休闲区的面积；

（2）求广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值.

【答案】（1）塑胶地面休闲区的面积为350平方米；（2）|

【分析】根据圆的面积公式和长方形的面积公式计算相应的面积即可.

2

【详解】解：（1）5„„=S„=10x20+-7TX（三）=200+507i~350（平方米）,

答：塑胶地面休闲区的面积为350平方米;

（2）S种花南二S长方形一S半窗=200-150=50（平方米）,

S种草坪=S羊圉=5071x150（平方米），

所以，广场中种植花卉的面积与种植草坪的面积的比值为普=g.

【点睛】本题考查平面图形面积的计算方法，掌握圆、长方形、扇形的面积计算方法是得出正确结果的关

键.

题型四利用垂径定理求值

10.如图，在OO中，0c，弦43于点C,AB=4,0c=1,则08的长为（）

A.17B.15C.V5

【答案】C

【分析】本题考查垂径定理及勾股定理.利用垂径定理得到“C=8C=g/3=2,然后根据勾股定理求解即

可.

【详解】解：OC，弦于点C,AB=4,

又0c=1,

OB=^BC2+OC2=VF+F=石•

故选c.

11.如图，在。。中，弦48的长为2,点C在48上移动，连接。C,过点C作COLOC交。。于点D,

则CD的最大值为（）

A.4B.2c.V2D.1

【答案】D

【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先由勾股定理得至=一,则当。C的值最小时,

。的值最大，再由垂线段最短可得当时，0C最小，即此时8的值最大，止匕时。、8两点重合,

据此利用垂径定理可得答案.

【详解】解：连接。。，如图,

...ZDCO=90°,

•*-CD=ylOD2-OC2，

当。C的值最小时，CD的值最大,

.•.当时，OC最小，即此时CD的值最大，此时。、3两点重合,

：.CD=CB=-AB=1,

2

即CD的最大值为1,

故选：D.

12.如图，已知的半径为5cm,弦48的长为8cm,P是48的延长线上一点，BP=2cm,则。尸等

3也cmC.25/5cniD.3石cm

【答案】D

【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分弦.过点。作于点

C,根据垂径定理求出ZC、BC,在RM/OC中，根据勾股定理求出。C,在RtaPOC中，根据勾股定理求

出OP即可.

【详解】过点。作oc，AB于点C,

VOC1AB,OC过圆心O,

：.AC=BC=-AB=4cm,

2

在RM/OC中，0c=Jo/2-4C2=,52-42=3cm，

,/BP=2cm,

PC=BC+BP=6cm,

在RtA.POC中，op=Sc。+PC?="+6?=3限m，

故选：D.

巩固训练

1.如图，在。。中，已知。4。8是O。的半径，OC_L/3于点C,48=8,。。的直径为10,则OC=

()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此

题的关键.由垂径定理得/C=3C=；/2=4,然后利用勾股定理即可求解.

【详解】解：于点C,AB=8,

：.AC=BC=-AB=4.

2

•・・。。的直径为10,

OA=5,

,OC=yJOA2-AC2=3.

故选A.

2.如图，是RtA42C的外接圆，。£_148于点。，交。。于点£,若48=8,。£=2,则CM的长为.

E

【答案】5

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理得=ZADO=ZBDO=90°,设

半径为『，由勾股定理得OT=002+求出厂=5即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：

/.AD=BD=-AB=4,ZADO=ZBDO=90°,

2

设半径为『，贝l]OD=OE-0£=r—2,

在Rt”。。中，由勾股定理得：OA2=OD2+AD2,

：.r2=(r-2)2+4\解得r=5,

/.OA-5.

3.如图，已知AB为O。直径，C。是弦，且连接NC、BC.

(1)求证：/CAB=/BCD；

(2)若8E=1,CD=6,求OO的半径.

【答案】（1）证明见解析

（2）5

【分析】（1）根据圆周角定理，垂径定理证明即可；

（2）设。。的半径为尺，利用勾股定理解答即可.

本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握三个定理是解题的关键.

【详解】（1）证明：为。。直径，8是弦，AB1CD,

-'-BC=BD^

：.ZCAB=/BCD；

（2）解：设。。的半径为凡根据题意，得

贝l」OE=O8-班=及一1,

XC£,=-CD=-x6=3,

22

在Rt^CE。中，由勾股定理可得，

OC2=CE2+OE2,

即7?2=32+（7?-1）2,

解得R=5,

即：OO的半径为5.

题型五垂径定理的推论

13.下列命题中是真命题的为（）

A.弦是直径

B.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

C.相等的弧所对的弦相等

D.相等的圆心角所对的弧相等

【答案】C

【分析】本题考查的是命题的真假，解题关键是掌握相关的概念、定理等.依次根据弦的概念，垂径定理

的推论，圆心角、弧与弦的关系判断即可.

【详解】解：A、弦不一定是直径，故本选项命题是假命题，不符合题意；

B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故本选项命题是假命题，不符合题意；

c、相等的弧所对的弦相等，是真命题，符合题意；

D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项命题是假命题，不符合题意.

故选：D.

14.如图，在△48C中，AABC=40°,以4B为直径的。。交8c于点。，交。的延长线于点E,若点E

在的垂直平分线上，则NC的度数为（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】A

【分析】本题考查了垂径定理以及垂直平分线的性质.过点£作即，8。于点下，由点£在8。的垂直平

分线上可知靛=是，直线E尸必过圆心，再根据直角三角形的性质求出48。万的度数；根据乙48。=40。

得出/49E的度数，根据等腰三角形的性质得出NCEF的度数，由三角形内角和定理即可得出结论.

【详解】解：过点E作铲18。于点F,连接4D,

:点、E在BD的垂直平分线上,

:•箴=击，直线E尸必过圆心，EFLBD,

NABC=40°,

ABOF=NAOE=ABAD=50°,

AO=OE,

ZOEA=1(180°-50°)=65°,

ZC=90°-ZOEA=90°-65°=25°.

故选：A.

15.如图，42是OO的直径，CO是（DO的弦，48，。于点£,则下列结论不一定正确的是要（）

A.CE=EDB.BC=BDC.OE=BED.OA=OB

【答案】c

【分析】本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容.由于根据垂径定理有

CE=ED,BC^BD，因为。4、02都为圆的半径，可得。4=。2,不能得出0E=2E.

【详解】解：

：.CE=ED,BC=^D，所以A选项、B选项正确，不符合题意；

只有当8垂直平分03时，0E=BE,所以C选项符合题意；

0A>02都为圆的半径，

/.OA=OB,所以D选项正确，不符合题意.

故选：C.

巩固训练

1.如图，点48是。。上两点，48=10,点尸是。。上的动点（P与48不重合），连接4P、PB,过点

。分别作OE_L4P交相于点£,OFLPB交PB于点、F,则E尸等于（)

A.2B.3C.5D.6

【答案】C

【分析】先根据垂径定理得出NE=PE，PF=BF,故可得出E尸是阳的中位线，再根据中位线定理即

可得出结论.

【详解】解：,••。石，/尸于E，OFLPB于F,48=10,

AE=PE,PF=BF,

.1E尸是八4尸5的中位线，

:.EF=-AB=-x\Q=5.

22

故选：C.

【点睛】本题考查的是垂径定理，中位线定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键.

2.如图，AB为OO的直径，E为弦C。的中点，若NBAD=30°,且2E=2,则8c的长是.

【答案】4

【分析】先由垂径定理的推论得出AB±CD,从而得/BEC=90°，再由圆周角定理得出ZBCE=ABAD=30°,

然后由直角三角形的性质得出答案.

【详解】解：：45为。。的直径，E为弦8的中点，

/.AB±CD,

：./BEC=90°,

NBCE=ABAD=30°,

BC=2BE=2x2=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理的推论，圆周角

定理，含量30度角的直角三角形的性质是解题词的关键.

3.如图，已知在半圆/O8中，AD=DC,ZCAB=30°,4B=8,求的长.

【答案】AD=4

【分析】连接。。交4c于E,根据垂径定理的推论得出814C,根据题意得出//。£=60。，继而得出

△3。为等边三角形，即可求解.

【详解】解：连接0。交/。于E,如图，

•・•AD=CD,

-9-AD=CD^

：.0DLAC,

.'.ZAEO=90°f

,：ZCAB=30°f

：.ZAOE=60°,

而04=0。，

・・・△040为等边三角形，

AD=AO=—AB=—x8=4.

22

【点睛】本题考查了垂径定理的推论，等边三角形的性质与判定，得出814C是解题的关键.

题型六垂径定理的实际应用

16.某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径.小敏同学想到了如下

方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、3、C、。四点，然后利用

刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm,45=4cm,8=3cm.请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（）

D.6cm

【答案】B

【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理.由垂径定理求出配，CN的长，设ON=x,由勾股定理

得至UX2+22=（3.5-X）2+1S,求出x的值，得到ON的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长.

【详解】解：如图，MN1AB,过圆心。，连接。。，OB,

'：AB//CD,

:.MNLCD,

.-.CAf=|cD=1x3=1.5(cm),BN=；/8=gx4=2(cm),

设ON=xcm,

:.OM=MN-ON=(3.5-x)cm,

■：OM~+MC1=OC1,ON1+BN2=OB2,

OM'+MC2=ON2+BN"

.-.(3.5-X)2+1.52=X2+22,

x—1.5,

.-.O7V=1.5(cm),

OB=y/ON2+MB2=A/1,52+22=2.5(cm),

，纸杯的直径为2.5x2=5（cm）.

故选：B.

17.我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图,

筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆，已知圆心。在水面的上方，。。的半径长为5米，。。被水

面截得的弦4B长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦N3的距离为（）

A.5米B.4米C.3米D.2米

【答案】D

【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键.连接。4、

oc,OC交4B于点D,由垂径定理得/D=8O=g/8=4（米），再由勾股定理得。。=3（米），然后求

出。的长即可.

【详解】解：如图，连接04、OC,OC交AB于点、D,

图2

由题意得：CM=0C=5米，OC1AB,

,-.AD=BD=^AB=4（:米），ZAD0=90°,

OD=>JOA2-AD2=V52-42=3（米），

:.CD=OC-OD=2^z,

故选：D

18.赵洲桥是我国建筑史上一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙.如图,

若桥跨度约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧所在圆的半径为（）

A.25米B.30米C.35米D.50米

【答案】A

【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，先求解=再利用勾股定理

建立方程求解即可.

【详解】解：vOCLAB,AB=40,

：.AD=BD=^AB=20^z.

设圆的半径是R,则。。=R-10,

7?2=202+（7?-10）2,

解得及=25米.

故选A

巩固训练

1.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一

尺，问径几何？”根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，己知：锯口深为1寸，锯道N8=l尺（1尺=10

C.13寸D.50.5寸

【答案】A

【分析】过点。作。£1/3,交48于点。，交。。于点E,设。。的半径为八在中,

40=5,OD=r-l,OA=r,由勾股定理得出方程/=5?+（―，解方程即可.

本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.

【详解】解：过点。作。交48于点。，交。。于点£,

设。。的半径为r.

在RtZXNOO中，AD=5,OD=r-\,OA=r,

由勾股定理得出方程r=52+（一球，

解得：r=13,

。。的直径为26寸，

故答案为：26.

2..筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1,点P表示筒车的

一个盛水桶.如图2,当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心。为圆心，6m为半径的圆，且圆心在水

面上方.若圆被水面截得的弦42长为6房，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为

图1图2

【答案】3

【分析】此题考查垂径定理，解题关键在于作辅助线利用勾股定理进行计算.根据题意作于E,

交。。于点。，再利用勾股定理得出OE,即可解答.

【详解】解：作。。JL45于E,交。。于点。，

AE=3A/3

在RtZk/EO中，AO=6,

OE=yj0A2-AE2=3，

ED=OD-OE=3m,

二.筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为3m,

故答案为：3.

3.如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽N5为0.6米，污水的最大深度为

(1)求此下水管横截面的半径：

(2)随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？

【答案】⑴0.5米

(2)0.2米

【分析】(1)过点。作于点C,交圆。于点D,连接02,则8=01米，根据垂径定理可得

=米，设止匕下水管横截面的半径为「米，则08=0D=r米，可得。C=(厂一0.1)米，在RMBOC

中，由勾股定理，即可求解；

(2)过点。作欣于点”，根据垂径定理可得MH=NTf=,再由勾股定理求出的长，即

可求解.

【详解】(1)解：过点。作于点C,交圆。于点。，连接03,则。。=0.1米，

/.8C=；/8=0.3米，

设此下水管横截面的半径为r米，则@=OD=r米,

℃=(—0.1)米，

在RtAB。。中，OB2=OC2+BC2,

：.r2=(r-0.1)2+0.32,

解得：r=0.5,

即此下水管横截面的半径为0.5米；

（2）解：如图，过点。作。于点”,

根据题意得：8=0.7米，ON=0.5米，

/.C〃=0.7-（0.5-0.1）=0.3米，

NH=y/ON2-OH2=0.4米，

W8米，

此时水面的宽度增加了0.8-0.6=0.2米.

【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂径定理的推论是解题的关键.

题型七圆心角概念

19.如图，在。。中，N8是弦，C是弧上一点.若/。48=25。，NOC4=40。，则的度数为（）

【答案】A

【分析】根据等腰三角形的性质求出NOA4=/OAB=25。，ZOAC=ZOCA=40°,再根据三角形内角和定

理求出N4OB和N4OC,再求出答案即可.

【详解】解：,.・CU=05,NOAB=25。,

：.ZOBA=ZOAB=25°,

：.ZAOB=\SO°-NOAB-NO84=130。，

•：OA=OCfZOCA=40°,

：.ZOAC=ZOCA=40°,

：.ZAOC=180°-AOAC-ZOCA=100°,

：.ZBOC=ZAOB-N40c=130。-100°=30°,

故选：A.

【点睛】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义.

20.如图，在。。中，ZABC=20°fNZX4C=24。，则N4DO的度数为（）

A.43°B.44°C.45°D.46°

【答案】D

【分析】连接CM,OC,根据圆周角定理得到N/OC=2N/8C=40。，ZCOD=2ZCAD=4S°,根据等腰三

角形的性质即可得到结论.

C

如图，连接04,OC,

VZABC=2009ZDAC=24°,

：.ZAOC=2ZABC=40°f/COD=2NCAD=48。,

・•・Z^OD=40°+48°=88°,

9

\OA=ODf

1

/.//。0=/0/。=3*（180°-88°）=46°,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质与圆周角定理的运用，熟练掌握相关方法是解题关键.

21.下列说法正确的是（）

A.等弧所对的圆心角相等B.优弧一定大于劣弧

C.经过三点可以作一个圆D.相等的圆心角所对的弧相等

【答案】A

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件相关概念进行判断即可

【详解】A：等弧所对的圆心角相等，故A正确；

B：如果不在同一个圆内的话，优弧不一定大于劣弧，故B错误；

C：经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故C错误；

D：相等的圆心角所对的弧不一定相等，故D错误.

所以答案为A选项.

【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件等相关概念，熟练掌握以上概念是解题关

键.

巩固训练

1.数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着点。旋转多少度后和它自身重合？甲同学说:

45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135。.以上四位同学的回答中，正确的是（）

A.甲B.