圆（考点清单12个考点）解析版

专题08圆（考点清单）

⑤考点归纳

【考点D圆的相关概念【考点2】垂径定理及应用

【考点3】点与圆的位置关系【考点4】直线与圆的位置关系

【考点5】圆心角和圆周角的关系【考点6】圆内接四边形

【考点7】三角形的外接圆【考点8］切线的判定和性质

【考点9】三角形内切圆【考点10］切线长定理

【考点11］圆内接正多边形【考点12］弧长和扇形的面积

域真题精练

【考点1］圆的相关概念

1.下列说法正确的是（）

A.长度相等的弧是等弧

B.相等的圆心角所对的弧相等

C.劣弧一定比优弧短

D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴

【答案】D

【分析】本题考查了圆的相关性质；根据圆的相关性质，逐项分析判断，即可求解.

【详解】解：A.在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧；故本选项错误；

B.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；

C.在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短.故本选项错误；

D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.

故选：D.

2.如图，0半径为5,那么图中到圆心。距离为7的点可能是（）

A.P点B.Q点C.Af点D.N点

【答案】D

【分析】本题考查了点与圆心的位置关系，难度较小，根据图中的点在圆的分布位置，即可

作答.

【详解】解：A、因为点P在圆上，所以点尸到圆心。距离即为半径，为5,故该选项是错

误的；

B、因为点。在圆内，所以点。到圆心。距离小于半径5,故该选项是错误的；

C、因为点M在圆内，所以点〃到圆心。距离小于半径5,故该选项是错误的；

D、因为点N在圆外，所以点N到圆心。距离大于半径5,那么图中到圆心。距离为7的点

可能是点N,故该选项是正确的；

故选：D

3.如图，A3是。的直径，C是54延长线上一点，点。在。上，且CD=Q4,CO的

延长线交（。于点E,若NC=20。，求/BOE的度数.

【答案】60°

【分析】本题考查了圆的认识、等腰三角形的性质及三角形外角的定义和性质等知识，熟练

掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键.连接。。，利用半径相等和等腰三角形的

性质求得NDOC=NC=20。，进而根据"三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和"

可得/ODE的度数，从而利用三角形的外角的性质，由/=求解即可.

【详解】解：连接。。，

^CD=OA=OD,ZC=20°,

0NDOC=NC=2O。,

团/ODE=ZDOC+NC=40。，

团OD=OE,

^ZE=ZODE=40°f

团ZEOB=NC+N后=40。+20。=60°.

【考点2】垂径定理及应用

4.如图，A3是O的弦，半径OCJLAB,垂足为。，设。的半径为5,8=1,则的

A.4B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接。4,再求出OD=4,根据勾股定理得出

AD=VOA2-OD2=3，最后根据垂径定理即可得出AB=2AZ>=6.

【详解】解：连接Q4,

团。4=。。=5,CD=1,

0O£>=4,

EOC1AB,

0AD=7OA2-O£>2=3>

团AB=2AD=6,

5.一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦43长20厘米，弓形高CO为

2厘米，则镜面半径是（）

D

A.24厘米B.26厘米C.28厘米D.30厘米

【答案】B

【分析】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，令圆。的半径为。8=厂，则=2,

根据勾股定理求出OC2+3C2=og2,进而求出半径.

【详解】解：如图，由题意，得。。垂直平分AB,

3c=10厘米，

令圆。的半径为。8=「，则OC=r—2,

在RtBOC中，OC2+BC2=OB2,

.-.(r-2)2+102=r2,

解得厂=26.

故选：B.

6.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁"的问题："今有圆材埋在壁

中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，

埋在墙壁中，不知其大小.用锯去锯这木材，如图，锯口深CE=l寸，锯道长4?=1尺(1

尺=10寸).问这根圆形木材直径CD是寸.

【答案】26

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；连接。4,可得。石=。4-1,AE=5,由

4序+0序=0/42即可求解；能构建由半径、弦的一半、弦心距组成的直角三角形是解题的

关键.

【详解】解：如图，连接。4,

:.OA=OC,

:.OE=OC-CE

=04-1,

CD±AB,

:.ZAEO=9Q°,

AE=-AB=5,

2

在Rt0E4中：

AE2+OE2=OAr,

.•.52+(ft4-l)2=OA2,

解得：OA=13,

r.CD=204=26,

故答案：26.

7.将半径为5的)。如图折叠，折痕AB长为6,C为折叠后A2的中点，则0C长为

【答案】3

【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系和勾股定理.延长0C交。于。点，

交AB于E点,连接。4、OB、AC.BC,如图根据圆心角、弧、弦的关系由AC=8C得到

CA=CB,则可判断OC垂直平分A3,则AE=3E=3,再利用勾股定理计算出OE=4,所

以。E=l,然后利用C点和。点关于A3对称得到CE=1,最后计算0E-CE即可.

【详解】解:延长0C交。于。点，交A3于E点，连接OB、AC,BC,如图，

回C为折叠后AB的中点,

0AC=BC>

®C4=CB,

S\OA=OB,

回。。垂直平分A3,

E1AE=BE」AB=3,

2

在RtZXAOE中，OE=doA—AE2=4于一乎=4,

EIDE=OD-C>E=5-4=1,

回A£>B沿AB折叠得至UACB，8垂直A3，

配点和D点关于A3对称，

^iCE=DE=l,

0(9C=OE-CE=4-1=3.

故答案为：3.

8.如图这是一个残缺的圆形部件，已知A民C是该部件圆弧上的三点.

⑴利用尺规作图作出该部件的圆心；(保留作图痕迹)

(2)若」1BC是等腰三角形，底边3C=16cm,腰AB=10cm,求该部件的半径R.

【答案】⑴见解析

25

⑵圆片的半径R为了cm

【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，垂径定理及勾股定理，熟记相关结论是解题关

键.

(1)弦AB和AC的垂直平分线交点。即为所求的圆心，据此即可完成作图；

(2)连接AO,QB,BC,根据垂径定理可得&)=8cm,再结合勾股定理可得AD；设圆片的

半径为K,在Rt.B。。中利用勾股定理即可求解.

【详解】(1)解：如图所示：分别作弦和AC的垂直平分线交点。即为所求的圆心；

(2)解：连接AO,QB,3C,3c交。4于£).

QBC=16cm,

/.BD=8cm,

AB=10cm,

AD=^AB--BD-=6cm，

设圆片的半径为R,

在Rt中，OD=(R-6)cm,

.-.7?2=82+(/?-6)2

25

解得：R=gcm,

25

圆片的半径R为宁cm.

9.某村为了促进农村经济发展，建设了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚.如图是蔬菜大棚

的截面，形状为圆弧型，圆心为。，跨度A3(弧所对的弦)的长为8米，拱高CO(弧的

中点到弦的距离)为2米.

D

（1）求该圆弧所在圆的半径；

（2）在修建过程中，在距蔬菜大棚的一端（点5）1米处将竖立支撑杆EF,求支撑杆环的

高度.

【答案】（1）该圆弧所在圆的半径为5米

⑵支撑杆EF的高度为1米

【分析】此题考查了矩形判定和性质、勾股定理、垂径定理的应用：

（1）根据垂径定理的推论得到圆心。在DC的延长线上，设」。的半径为「米，则

0c=（r-2）米.由垂径定理得到C4=4米.在Rt_Q4c中，由勾股定理得AC?+OC?=,

得到方程，解方程即可求出该圆弧所在圆的半径；

（2）过产点作FHLCD于//点，连先求出CE=3,证明四边形EFHC为矩形，则

FH=CE=3.在RtZkOM中，OHHOF-FH?=4,求出"C=L根据四边形£尸/北为

矩形即可得到答案.

【详解】（1）4?垂直平分CO,

，圆心。在OC的延长线上.

设。。的半径为「米，则。。=（厂-2）米.

ODLAB,

;.CA=BC=：AB=4（米）.

在RtQ4C中，

由勾股定理得：AC2+OC2=AO2,

即4?+（厂一2）2=,，

解得r=5.

即该圆弧所在圆的半径为5米；

(2)过歹点作FHJLCD于H点，连接OF.

.-.CE=4-1=3.

0ZFHC=ZHCE=ZCEF=90°,

团四边形E户HC为矩形，

:.FH=CE=3,EF=HC

在中，OH=ylOF2-FH2=4.

OC=3,

:.HC=1.

；.EF=HC=1.

即支撑杆收的高度为1米.

【考点3】点与圆的位置关系

10.若1。的半径为6cm,PO-8cm,则点P与。的位置关系是()

A.点尸在。外B.点尸在。上C.点在。内D.不能确定

【答案】A

【分析】本题考查了点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆

心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外，根据点到圆心的距

离即可得出答案.

【详解】解：团点尸到圆心的距离PO=8cm大于圆的半径6c,

团点尸在圆外，

故：A.

11.在平面直角坐标系中，以点(-3,4)为圆心，半径为5作圆，则原点一定()

A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.与圆相交

【答案】C

【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，求出原点到圆心的距离，再与半径作比较，即

可解答.

【详解】解：根据题意可得：

原点到圆心的距离=J（-3『+42=5,

团半径为5,

团原点在圆上，

故选：C.

【点睛】

12.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点3、

C、。三点中，存在一点在圆内，一点在圆外，则r的取值范围为（）

A.3<r<5B.r>3C.3<r<5D.3<r<4

【答案】C

【分析】根据题意，使点C在圆外才满足条件，根据点与圆的位置关系求解即可.

【详解】解：连接AC,

在RfABC中，AC=V32+42=5-

若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点夙C、D三点、,有一点在圆内，一点在圆外,

则使点C在圆外才满足条件，

03<r<5,

故选：C.

【点睛】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键.

13.已知。的半径为5,点A在O内，则Q4长度可能是（）

A.2.5B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟知在圆内的点到圆心的距离一定小于半径是

解题的关键.

【详解】解：回的半径为5,点A在1。内，

0OA<5,

回。4长度可能是2.5,

故选A.

14.如图，A,B,C是某社区的三栋楼，若在AC中点。处建■个5G基站，其覆盖半径

为200m,则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（）

A.A,B,C都不在B.只有8C.只有A,CD.A,B,C

【答案】A

【分析】根据勾股定理的逆定理证得ABC是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的

性质求得瓦）的长，然后与200m比较大小，即可解答本题.本题考查勾股定理的逆定理，

直角三角形斜边上的中线的性质，点。与圆的位置关系，解题的关键是求出三角形三个顶

点到点的距离.

【详解】解：AB=300m,3C=400m,AC=500m,

:.AB-+BC2=AC2,

.二ABC是直角三角形，且ZABC=90。，

；点D是斜边AC的中点，

AD=CD=250m,BD=-AC=250m,

2

如图，以。为圆心，200m为半径画圆,

c

.•.点A,B,C都不在覆盖范围内，

故选:A.

【考点4】直线与圆的位置关系

15.在平面直角坐标系尤Oy中，以点(-2,4)为圆心，4为半径的圆()

A.与x轴相切，与y轴相交B.与x轴相离，与y轴相交

C.与x轴相交，与y轴相切D.与x轴相切，与y轴相离

【答案】A

【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离.由已知点(-2,4)可求该

点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系.

【详解】解：点(-2,4)到无轴为4,等于半径4,

点(-2,4)到y轴的距离为2,小于半径4,

故该圆与x轴相切，与y轴相交，

故选：A.

16.在平面直角坐标系xQy中，以点4(1,3)为圆心，2为半径作：A,下列判断正确的是()

A.A与无轴相交B.A与》轴相切

C.点。在A外D.点(1,1)在A内

【答案】C

【分析】此题主要考查了直线与圆和点与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点，根据点

的坐标得到圆心到X轴的距离是3,到y轴的距离是I,根据直线与圆的位置关系即可求出

答案，熟练掌握运用直线与圆和点与圆的位置关系是解题的关键.

【详解】解：12圆心4(1,3),

回到x轴的距离是3,到》轴的距离是1,

04的半径为2,

04与x轴相离，A与》轴相交，故选项A、B错误;

由。4=5/产+3?=回＞2,

则点。在「A外，故选项C正确；

设

^AB=2,

则点(LI)在一A上，故选项D错误；

故选：C.

17.如图，在.ABC中，AB=AC=5,3C=8,以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结

论中正确的是()

C.直线与A相切D.直线BC与A相离

【答案】C

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，勾股定理;过A点作AH_LBC

于H,如图，利用等腰三角形的性质得到B"=CH=g8C=4,则利用勾股定理可计算出

AH=3,然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和8选项进行判断；根据直线与

圆的位置关系对C选项和D选项进行判断.

【详解】解：过A点作AH,3c于H,如图，

：.BH=CH=WBC=4,

在MAB"中，AH=JAB2_BH?=旧-举=3,

AB^5>3,

点在A外，所以A选项不符合题意；

AC=5>3,

C点在CA外，所以8选项不符合题意；

AHrBC,AH=3=半径，

.,・直线BC与「A相切，所以C选项符合题意，D选项符不合题意.

故选：C.

4

18.如图，在RtABC中，/C=90。，sinB=g,AC=5cm,若以点C为圆心，3cm长为

半径作圆，则C与A3的位置关系是（）

A.相离B.相交C.相切D.相切或相交

【答案】C

【分析】计算C点到A3上的高即可判断；

【详解】解：如图，过C作。0，至于0,

-425

由题意得：AC=A&sin3=ABx—=5,AB=—cm,

54

由勾股定理得：BC=YIAB2-AC2=—cm,

4

Rt.3CD中，CD=BCsin^B=3cm,

团圆与AB相切，

故选：C.

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，利用勾股定理和三角函数解直角三角形是解题关

键.

19.如图已知P的半径为3,圆心P在抛物线y=-1上运行，当P与，轴相切时，圆

心P的坐标为.

【答案】(3,2)或(-3,2)

【详解】当P与＞轴相切时可求得尸点的横坐标，代入抛物线解析式可求得尸点坐标.

【解答】解：回P与》轴相切，尸的半径为3,

回P到y轴的距离等于半径3,

回点尸的横坐标为3或-3,

当x=3时，代入可得y=；x32-l=2,此时尸点坐标为(3,2)；

19

当x=—3时，代入可得y=§x(-3)--l=2,此时P点坐标为(-3,2)；

综上可知尸点坐标为(3,2)或(-3,2),

故答案为:(3,2)或(-3,2).

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及二次函数的性质，此题注意应考虑两种情况.熟

悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键.

【考点5】圆心角和圆周角的关系

20.如图，已知O中，A3是直径，AC是弦，ABAC^32°,过点C作弦H为

垂足，则-30。的度数是()

A.32°B.64°C.58°D.26°

【答案】B

【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，由圆周角定理即可求解.由

垂径定理得到BCuBD，由圆心角、弧、弦的关系推出=由圆周角定理求出

ZBOC=64°,即可作答.关键是由圆心角、弧、弦的关系得到NBOr>=NBOC,

【详解】解：连接0C,

^BC=BD，

团NBOD=NBOC,

B1ZBAC=-ZBOC,ZBAC=32°,

2

0ZBOC=64°,

0300=64°.

故选：B.

21.如图，A3是回。的直径，C是，O上一点.若NBOC=66。，则NC的度数为（）

【答案】B

【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理:

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

【详解】解：ZA=：N3OC,ZBOC=66°,

.-.ZA=33°,

又•OA=OC,

.-.ZC=ZA=33°,

故选：B.

22.如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点尸处安装了一台监视器，它的监

控角度是55。，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器()台.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】此题考查了要圆周角定理.解答时，注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学

和生活联系起来.

根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是

3

110°,则共需安装360。+110。=3五。4台.

【详解】解：0ZP=55°,

EIN73所对弧所对的圆心角度数是no。，

3

0360°<110°=3—

团最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台.

故选C.

23.如图，点A,B,C均在。上，若NA=68。，则NOCB=()

A.22°B.23°C.24°D.28°

【答案】A

【分析】本题考查了圆周角定理及等腰三角形的性质，由圆周角定理得到=

即可求出/BOC=136。，由等腰三角形的性质得到？OCB:亶180-？BOC)22?熟练掌

握圆周角定理及等腰三角形的性质是解题的关键.

【详解】解：ZA=-ZBOC,ZA=68°,

2

ZBOC=136°,

QOC=OB,

\?OCB1^180-?BOC)22?.

故选：A.

24.如图，四边形ABC。内接于|O,连接对角线AC与BD交于点E,且BD为。的直径，

已知/3£>C=40°,1AEB110?,则/ABC=()

A.65°B.70°C.75°D.80°

【答案】D

【分析】本题考查的是圆周角定理.根据圆周角定理得到N3CD=90。，根据直角三角形的

性质求出〃)3C,进一步计算即可求解.

【详解】解：团3。为，。的直径，

0ZBCD=9O°,

0NDBC=90°-40°=50°,

由圆周角定理得，ZBAC=ZBDC=40°,

EZABD=180°-ZAEB-ABAC=30°,

0ZABC=ZABD+ZDBC=80°,

故选：D.

【考点6】圆内接四边形

25.如图，四边形ABCQ内接于O,它的一个外角NCBE=70。，则NADC的度数为()

c

A.110°B.70°C.140°D.160°

【答案】B

【分析】本题主要考查圆的内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质即可.得到

/AOC=/CBE即可得到答案.

【详解】解：四边形A8CD内接于IO,它的一个外角NCBE=70。，

ZADC=NCBE=70。

故选B.

26.如图，AB为。的直径，点C、。在。上，若NA8=30。，则/3CD的度数是（）

A.75°B.95°C.105°D.115°

【答案】C

【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，由3=8,求出

ZA=ZADO=75°,然后根据圆内接四边形的性质即可求解，解题的关键是掌握圆内接四边

形的对角互补.

【详解】®OA=O£>,ZAOD=30°,

回NA=NAT>O=75。，

回四边形ABCD是圆内接四边形，

0ZC+ZBAD=18O°,

EZfiCD=180°-ZA=180°-75°=105°,

故选：C.

27.如图，A3是O的直径，点C,D,石在（。上，若NAED=15。,则/BCD的度数为（）

A

D

B

A.125°B.120°C.105°D.75°

【答案】C

【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90度，圆的内接四边形,

连接AO,BD,得出NABD=NA£D=15。，ZADB=90°,进而可得出答案.

【详解】解：连接AD,BD,

回同弧所对的圆周角相等,

团43是＜。的直径，

团NAD3=90°,

0Z&4D=9O0-15O=75°,

回Z.BCD=180°—75°=105°,

故选：C.

【考点7】三角形的外接圆|

28.已知।。是,ABC的外接圆，那么点。一定是ABC的（）

A.三个顶角的角平分线交点B.三边高的交点

C.三边中线交点D.三边的垂直平分线的交点

【答案】D

【分析】本题考查三角形外接圆圆心的确定，掌握三角形外接圆圆心的确定方法，结合垂直

平分线的性质，是解决问题的关键.

【详解】解：已知。是ABC的外接圆，那么点。一定是，ABC的三边的垂直平分线的交

点,

故选：D.

29.如图，ABC中，NA=60。，BC=2cm.能够将ABC完全覆盖的最小圆形纸片的半

径为（）

2A/3

-----cmC.2cmD.2如cm

3

【答案】B

【分析】连接。2、0C,作级＞，3c于点。，根据圆周角定理得到/3OC=120。，根据

等腰三角形的性质得到々。0=60。，根据正弦的定义计算即可.

【详解】解：设圆的圆心为点。，能够将3ABe完全覆盖的最小圆是11ABe的外接圆,

连接。8、OC,作8,3c于点D,

贝|JN85=9O。，

ZA=60°,

.-.ZBOC=120°,

.\ZBOD=6Q°,

OB=OC,OD_LBC,

:.BD=-BC=1,

2

:.OB=BD=班,

sinZBOD3

即一ABC外接圆的半径是2叵cm,

3

故选：B.

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念、圆周角定理、

垂径定理、解直角三角形是解题的关键.

30.如图，在1ABe中，AC=BC,。是；ABC的外接圆，43是＜。的直径，点。在。

上，连接交A3于点E,连接若468=120。，则NEED的度数为（）

【答案】D

【分析】连接3。，根据等腰三角形的性质得到班＞=/。汨=30。，根据平角的定义得

到400=180。-120。=60。，根据圆周角定理得到NACB=90。，求得NA=45。，根据圆周角

定理得到NCDB=ZA=45。，根据三角形内角和定理即可得到结论.

【详解】解：连接3D,

OD=OB,ZBOD=120°,

：.ZOBD=ZODB=30°,ZAOD=180°-120°=60°,

AB是：。的直径，

:.ZA=ZABC=45°,

AC=BC,

r.NA=45。，

ZCDB=ZA=45°,

ZCDO=ZCDB-ZODB=15°,

ABED=180°-60°-15°=105°,

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，正确地

作出辅助线是解题的关键.

31.如图，在平面直角坐标系中,A（3,6）,C（1,O）,贝%ABC外接圆的圆

心_______________.

【答案】（5,2）

【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，作A3和5c的垂直平分线，它们的交点

为；ABC的外接圆的圆心，然后根据坐标系直接写出，相C的外接圆的圆心坐标.

【详解】解：如图所示：点P即为，ABC外接圆的圆心；

所以点尸的坐标为（5,2）.

故答案为：（5,2）.

32.已知平面直角坐标系中的三个点分别为4（1,-1）、氏-2,5）、C（4,-6）,则A、B、C这

三个点确定一个圆（填何以"或"不可以"）.

【答案】可以

【分析】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆.用待定系数法求一

次函数解析式.先利用待定系数法求出直线A3的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标

特征判断点C是否在直线A3上，然后根据确定圆的条件进行判断.

【详解】解：设直线的解析式为>=区+》，

把3（-2,5）代入得,

k+b=-l

-2k+b=5

[k=-2

解得，…，

[o=l

所以直线钻的解析式为y=-2x+l,

当％=4时，y=—2x+1=—8+l=—7w—6,

所以点C（4,-6）不在直线AB±.,

即点A、B、C不在同一条直线上，

所以过A、B、C这三个点能确定一个圆.

故答案为：可以

33.已知：ABC.

（1）求作：ABC的外接圆0（保留作图痕迹，不写做法）.

⑵若。的半径为5,8c=8,求点。到BC的距离.

【答案】①见解析

⑵点。到BC的距离为3

【分析】本题主要考查外接圆及垂径定理，熟练掌握垂径定理及三角形外接圆的性质是解题

的关键.

（1）分别作A3、BC的垂直平分线，交于一点。，然后以。8为半径画圆，然后问题可求

解;

(2)过点。作8，于。，连接。8,由题意易得2£>=CD=13C=4,然后根据勾股

2

定理可进行求解.

【详解】(1)解：如图所示，。即为所求

(2)解：过点。作8，3c于D,连接。2,

EIBC=8,

QBD=CD=-BC=4,

2

回03=5,

^OD=yJOB2-BD1=752-42=3>

回点。到8C的距离为3.

【考点8］切线的判定和性质

34.如图，在.ABC中，AB^AC,以A3为直径的圆交8C于点，交AC于点E,连接。。.

C

(1)求证：OD//AC；

(2)若AE=8,CE=2,求9的长.

【答案】①证明见解析

⑵而

【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判

定，关键是由圆周角定理，等腰三角形的性质推出NC4£»=ZBAD,由一CED-一蟀，得到

CECD

BC-G4'

(1)由圆周角定理推出AD人3C,由等腰三角形的性质得到NC4D=/BAO/54D=

ZADO,因此NG4D=NAT>O,即可证明O£>〃AC；

(2)由圆内接四边形的性质，邻补角的性质推出/CED=/B,即可证明aCEEbCBA,

得到*=挈，代入有关数据即可求出5。的长•

nCCA

【详解】(1)回A5为直径，

^ADIBC.

团AB=AC,

国NBAD=NCAD.

回。4=OD,

^\ZBAD=ZADO,

^\ZCAD=ZADO.

^OD//AC.

(2)解：连接。石,

QAD±BC,AB=AC,

@CD=BD,

国四边形ABDE是圆内接四边形,

0ZB+ZA£D=18O°,

0ZCED+ZAED=180°,

⑦NCED=NB,

国NECD=NACB,

回一CEX.CBA,

CECD

团---=---

BCCA

0AC=AE+CE,=8+2=lO,Cr)=BD,

2BD

团----=---

2BD10

^BD=y/10.

35.如图，A3是；O的直径，点C,。在圆上，BC=CD，过点C作CELAD交的延

长线于点E.

⑴求证：CE是O的切线;

(2)若4)=10,49=13,求CE的长.

【答案】（1）见详解

(2)CE=12

【分析】本题考查了切线的判定定理和勾股定理，垂径定理：

（1）连接OC,AC,OA^OC,则NOC4=NQ4C,再由已知条件，可得NOCE=90。；

（2）作OF_LAD,得到四边形OCE歹是矩形和AF=5,根据矩形性质可得CE长.

【详解】（1）解：连接OC,AC,如图所示：

回OA—OC,

0ZOC4=ZOAC,

^BC=CD

^\ZBAC=ZCADf

0ZOG4=ZG4D,

团OC〃AE,

⑦NE=90。,

0ZOCE=ZE=9O°,

团OC_LCE,

回0。是(。的半径，

团C£是：。的切线；

(2)解：如图，作OW_LAD,

^\AF=-AD=5

2

团ZOFE=ZFEC=ZECO=90°,

团四边形OCE尸是矩形，

田CE=OF,

在Rt_AO尸中，由勾股定理得：

OF=^132-52=12

0CE=12.

36.在RtZXABC中，ZACS=90°,BE平分/ABC交AC于点E,。是边A3上一点，以30

为直径的O经过点E,且交8C于点尸.

'D

CEA

⑴求证：AC是：。的切线;

⑵若C7=3,CE=3拒,求图中阴影部分的面积.

【答案】①证明详见解析

(2)18若一6万

【分析】(1)连接0E,证明NO£X=90。即可；

(2)由勾股定理求出半径，根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可.

【详解】(1)证明：连接0E,

回以为直径的。经过点E,ZACB=90°,

团OB-OE,

国NOBE=NOEB,

团郎平分/ABC,

⑦NOBE=NCBE,

⑦NOEB=NCBE,

国OE〃BC,

^ZOEA=ZACB=90°,

回。后是《。的半径，

团4。是(。的切线；

(2)连接作OM_L5C于设；O的半径为我,

回ZOMC=ZACB=AOEC=90°,BM=FM,

回四边形QWCE是矩形，

0CF=3,CE=3«,

0CM^OE=R,OM=CE=3y/3,

团在RtaOMF中，OM-+FM~=OF2,

回卜⑸'+（R-3）2=R2,

解得：R=6,

^\BM=FM=CM-CF=3,

BOB=OF=BF=6,

回_OBF是等边三角形，

团NOB尸=60。，

国OE〃BC,

^\ZAOE=ZOBF=60°,

团24=90。-24。石=90。—60。=30。,

团Q4=2OE=12,

^AE=y/o^-OE2=A/122-62=673，

回S阴影=S44OE-S扇形ODE

60•万《2

X6X6A/3-

2360

=18A/3-6^.

【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，垂径定理，

矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形面积计算，掌握圆

的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

37.如图，D为0上一点，点C在直径54的延长线上，＞ZCZM=ZCBD.

⑴求证：CD2=CACB；

(2)求证：CD是。。的切线;

r)A7

⑶过点B作)。的切线交CO的延长线于点E,^BC=n,-==-,求BE的长.

DD3

【答案】(1)见解析

⑵见解析

(3)BE=5

【分析】(1)证明△ADCS^DBC,根据相似三角形的对应边成比例求解即可；

(2)连接。。，根据等边对等角证得NODB=/CBD=/aM,根据圆周角定理得到

ABDA-Z.ODB+ZODA=90°,进而可证得NODC=90。，根据切线的判定定理可得结论;

(3)先求得CD=8,CA=y,进而求得。O==证明△CBEs2\a>o,根据相

似三角形的对应边成比例求得跖=10即可.

【详解】(1)证明：回NCDA=NCBD,NC=NC,

HAADC^ADBC,

CDCA

0—-=—,BPCD92-CACB;

CnCD

(2)证明：连接OD,

SOD=OB,

aZODB=Z.CBD=ZCDA,

回区4是1。的直径，

0ABDA=ZODB+ZODA=90°,

fflZODC=ZCDA+ZODA=ZODB+ZODA=90°,又。。是。的半径,

回。是〈O的切线；

(3)解：S\Z\ADC^Z\DBC,

CDAD寸“DA2

0—=—,又BC=l2,——=-

CBBDBD3

CD2e

0一=-,贝lJCD=8,

123

0CD2=CACB,

0AB=BC-CA=—,则==

323

回班是（O的切线，

EACBE=ZCDO=90°,又NC=NC,

SCBEsACDO,

BEBC^=—

回历=布’则三8，

团BE=5.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、圆的切线的判定与性质、圆周角定理、等腰三

角形的性质，熟练掌握圆的切线的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键.

38.在ABC中，以AC为直径的。交AB于点D,边BC与。相切于点C,点E是边BC

的中点，连结DE.

⑴求证：/汨是（。的切线；

（2）若A£>=3,BD=5,求。的半径.

【答案】（1）见解析

（2）。的半径为几

【分析】（1）连接。。，8,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE,

可得/3=/4,根据半径相等可得N1=N2,根据已知条件可得，1+/3=90。，然后可得

/2+/4=90。，即可得证；

（2）证明根据相似三角形的性质可得8的长，勾股定理求得AC的长,

进而即可求解.

【详解】（1）证明：连接CD,如图，

A

团边5C与。相切于点C,

0ZABC=9O°,即，ABC是直角三角形，

团AC是（。的直径，

团NADC=NCD5=90。，

团在RtZ\CAD中，点E为5c上的中点，

^\DE=-BC=EC,

2

回/3=/4,

出OC=OD,

团N1=N2,

0ZACB=9O°,即Nl+/3=90。，

回/2+/4=90。，

即NODE=9伊,

团。。为（。的半径，

团OE是卜。的切线；

（2）团AC是O的直径，

国NADC=NCDB=90°,

ZCAD=90°-ZACD=ZDCB,ZADC=ZCDB=90°f

^Z\ADC^Z\CDB,

ADCD

一而一丽’

^\CD2=ADxDB,

团AD=3,BD=5,

回。=岳，

在RtAACZ）中，AC=SJAD2+CD2=.+（而j=2屈,

0,。的半径为花.

【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，综合运用以上知识

是解题的关键.

39.如图，点。为(。上一点，BE为。的直径，延长BE到点A,连接AD,并过

点8作交(。于点R交AD的延长线于点C,已知恰好为NCBA的平分线.

(1)求证：AC为。的切线；

(2)若BC=2,AB=6,求线段的长.

【答案】⑴证明见解析

(2)BF=1

【分析】(1)根据角平分线定义及等边对等角易证=从而证得3C〃OD,

再由利用平行线的性质及切线定义即可得出结论；

(2)连接收，根据三角函数$皿/013=些=:=变，可得03=00=2,BE=2OB=3,

AB30A2

再根据平行线的判定可得正〃C4,根据平行线的性质可得/EEB=/C4B,再根据三角函

BF1

数sin/FEB=sinZCAB=—=—,即可得到BF=\.

BE3

【详解】(1)证明：如图1,连接OD,

mi

Q5D平分/ABC,

:.ZABD=ZCBD,

OD=OB,

:.ZABD=ZBDO,

:.ZBDO=ZCBD,

/.BC//OD,

BCLAD,

:.ZBCA=90°,

:.ZODA=ZBCA=90°,

:.OD±AC,

又・OD是(。的半径，

.•.八。为《。的切线；

(2)解：如图2,连接EF,

ZBCA=90°,BC=2,AB=6,

sinNCAB=—,

63

设OB=OD-r,则CM=6-r,

AC是。的切线，

:.ZADO=90°,

sinNCAB=sinZDAO=-=

OA3

...；=：，解得r=j,

6-r32

3

：.OB=OD=~,BE=3,

2

BE为1O直径，

.\ZBFE=9Q°,

:.FE//CA,

:.NFEB=NCAB,

1DE11

/.smZFEB=-,gp—

3BE3

:.BF=1.

【点睛】本题考查切线的性质与判定、锐角三角函数，平行线的判定和性质、角平分线的定

义和等腰三角形的性质，熟练运用平行线的性质和判定证明AC是:。的切线是解题的关键.

【考点9】三角形内切圆

40.如图，点。是.ABC的内切圆的圆心，若/痴C=80。，则/30C度数等于（）

A

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】D

【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理.利用内心的性质得出

XABO=NCBO=gzABC,ZACO=ZBCO=^ZACB,进而利用三角形内角和定理得出

ZOBC+ZOCB,进而求出答案.

【详解】解：0。是ABC的内心，

^\ZABO=ZCBO=-ZABC,ZACO=ZBCO=-ZACB,

22

0ZSAC=8O°,

团ZASC+ZACB=180°—80°=100°,

0ZOBC+ZOCB=1(ZABC+ZACB)=50°,

0ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=130°.

故选：D.

41.如图所示，。内切于A8C,切点分别为点。，点E,点尸，已知AB=3C,4=40。,

连接DE,EF,则NDE5的度数为（）

A.40°B.55°C.65°D.70°

【答案】B

【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出NA=70。，连接OF,利用

切线的性质得到NADO=NAFO=90。，则根据四边形内角和计算出NDOW=110。，然后利

用圆周角定理得到ADEF的度数.

【详解】解:^BA=BC,

0ZA=ZC,而/3=40°,

ElZA=1(180o-ZB)=70o,

连接OF,

回。内切于ABC,切点分别为点。，点E,

QOD±AB,OFLAC,

@ZADO=ZAFO=90°,

0ZDOF=360°-2x90°-70°=110°,

^ZDEF=-ZDOF=55°.

2

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角

形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了切线的性质和圆周角定理.

42.如图，点。为；ABC的内心，ZA=60°,OB=2,0c=4,则△03C的面积是()

A.4A/3B.2垂＞C.2D.4

【答案】B

【分析】过点C作C〃_L80的延长线于点H,根据点。为ABC的内心，NA=60。，可得

ZBOC=180°-ZOBC-ZOCB=90°+1ZA=120°,所以NCOH=60。，利用含30度角的直角三

角形可得CH的长，进而可得△03C的面