中考数学一轮复习强化训练：特殊平行四边形（分层训练）解析版

=专题09特殊平行四边形（分层训练）

匚分层训练

【基础训练】

一、单选题

1.（2023上•河北石家庄•八年级石家庄市第四十二中学校考期中）如图，矩形纸片48CD,7为2。边的中点,

将纸片沿BM、CM折叠，使/点落在4处，。点落在％处，若N8MC=110。，则41是（）

C.45°D.70°

【答案】B

【分析】如图（见解析），先根据折叠的性质可得42=Z3.Z4=Z5,再根据平角的定义可得N2+45=70°,

从而可得43+N4=70。，然后根据角的和差即可得.

【详解】解：如图，由折叠的性质得：42=43,44=45,

•••乙BMC=110°,

N2+乙5=180°-4BMC=70°,

Z3+Z4=70°,

•••zl=zBMC-(z3+z4)=110°-70°=40°,

故选：B.

【点睛】本题考查了折叠的性质、角的和差，熟练掌握折叠的性质是解题关键.

2.（2011・浙江•统考中考模拟）如图，长方形4BCD中，乙4=N4BC=NBC。=ND=90。，AB=CD=6,

4。=BC=10,点£为射线AD上的一个动点，若△4BE与△ABE关于直线BE对称，当AdBC为直角三角

形时，4E的长为（)

AED

\Af

Bc

A.2B.18C.2或18D.以上都不正确

【答案】C

【分析】分点E在线段2D上，点E在线段4D的延长线上两种情况讨论，由题意可得2B=4B=6,NE4B=

90°,AE=A'E,4c=8,根据勾股定理和全等三角形的性质，可求4E的长.

【详解】若点E在线段4。上,

田若△4BE与△关于直线BE对称,

AB=A'B=6,Z.EA'B=90°,AE=A'E,

•・•△ABC为直角三角形,

.­./.BA'C=90°,

A'C=yjBC2-A'B2=V100-36=8,

•••/.EA'B=90°,Z.BA'C=90°,

.­./.CA'E=180°,

团点E,点C,点4共线,

在Rt△CDE中，DC2+DE2=CE2,

•••62+(10-AE)2={A'E+8)2,

SAE=2,

若点E在线段4。的延长线上，且点C在4E上,

A'

•­.AB=A'B=6,NA=N4=90°,

在口△ABC中，

A'C-y/BC2-A'B2=V100-36=8,

v/LBCA'+乙DCE=90°,Z.DCE+乙DEC=90°,

•••/.BCA'=乙DEC,

在AA'BC^ADCE^,

,/.BCA'=/.DEC

7.A'=乙EDC=90°,

.A'B=DC

.-.AA'BCWADCE（AAS）,

DE=A'C=8,

EL4E=18,

综上，AE的长度为2或18,

故选:C.

【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键.

3.（2022下•广西贺州•八年级统考期末）如图,在四边形力BCD中，AB\\CD,BC\\AD,且4。=DC,则下列说

法：①四边形48CD是平行四边形；②AB=BC；（3）AC1BD；④AC平分NB力。；⑤若2C=6,BD=8,

则四边形48CD的面积为24.其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】D

【分析】由N8〃CD,BC//AD,可知四边形/BCD是平行四边形，可判断①的正误；由/O=Z）C,可知平

行四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可判断②③④⑤的正误.

【详解】解：^AB//CD,BC//AD,

回四边形/BCD是平行四边形，故①正确；

^AD=DC,

回平行四边形/BCD是菱形,

SAB=BC,AC^BD,4c平分的。，故②③④正确;

[ZL4c=6,BD=8,

团S菱形"CD="JBD=|x6x8=24,故⑤正确；

正确的个数有5个.

故选：D.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质，解题的关键在于证明四边形/BCD是菱形.

4.（2022•广东深圳•统考二模）下列命题中，是真命题的是（）

A.三角形的外心是三角形三个内角的角平分线的交点

B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

C.连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是矩形

D.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形

【答案】D

【分析】根据三角形的外心、平行线的性质、中点四边形、平行四边形的判定等知识进行判断即可.

【详解】解：A.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形三个内角角平分线的交点是三角形

的内心，故为假命题，不符合题意；

B.在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故为假命题，不符合题意；

C.对角线相等的四边形各边中点连线所得四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故为假命题，不符合题意；

D.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，为真命题，符合题意.

故选D.

【点睛】本题考查判断命题的真假，涉及三角形的外心、平行线的性质、中点四边形、平行四边形的判定

等知识，熟知它们的前提条件是解答的关键.

5.（2023下•广东中山•八年级统考期中）如图，菱形N8CO的两条对角线/C,8。相交于点。，£是N5的

中点，若/C=6,菱形/BCD的面积为24,则OE长为（）

A.3.5B.3C.2.5D.2

【答案】C

【分析】根据菱形的性质可得OB=OD,AOS\BO,从而可判断是皿8的中位线，在RtSAOB中求出AB,

继而可得出OE的长度.

【详解】解：回四边形N5CD是菱形，AC=6,菱形NBC。的面积为24,

05基/ABCD=3C・BD=$6XDB=24,

解得：BD=8,

EL4O=OC=3,03=00=4,AOSBO,

又回点E是48中点，

S\OE是ED/2的中位线，

在必EL4O3中，AB=>J32+42=5,

-1-1

贝UOE=-AD=-AB=2.5.

22

故选：C.

【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分

的性质是解题关键.

6.（2023上•广东河源•九年级统考期中）如图，将矩形N8CD沿跖折叠，使顶点C恰好落在边上的点

C上，且GE=GC,若。£=3,AB=6,BC=9,则8/的长为（）

A.4B.3V2C.4.5D.5

【答案】A

【分析】由矩形的性质可得财=而，由折叠的性质可得。E=DE=3,CF=CF=9-BF,证得

^AC'G^ED'EG,从而得4。=。£=3,从而可求得8。=3,利用勾股定理即可求解.

【详解】解：回四边形/BCD是矩形，

皿=前=勖=90°，

由折叠性质可得：D'E=DE=3,0£>=0£>,,C'F=CF=BC-BF=9-BF,

在EL4CG与虱)EG中，

乙4=乙D'

^AGC=AD'GE,

♦GC=GE

^AC'GSBD'EG(AAS),

^AC'=D'E=3,

^BC'=AB-AC'=3,

在RfS^C'F中,C'F2=BF2+BC'2,

则(9-BF)2=BF?+32,

解得：BF=4.

故选：A.

【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理建立方程是解题的关键.

7.(2023下•浙江杭州,九年级期末)如图，在正方形N8CD中，45=6,点£,尸分别在边CD上，AEFD=

60°.若将四边形E8C/沿昉折叠，点夕恰好落在边上.则的长度为()

A.2B.2V2C.2V3D.4

【答案】D

【分析】由正方形的性质得出贴阳=贴£尸=60。，由折叠的性质得出03£/=加防'=60。，BE=B'E,设BE=x,

则夕E=x,AE=3-x,由直角三角形的性质可得：2(3-x)=x,解方程求出x即可得出答案.

【详解】解：回四边形/BCD是正方形，

0ABEICD,EL4=90°,

尸=60°,

国将四边形EBCF沿防折叠，点=恰好落在AD边上，

回勖跖=瓯£3'=60°,BE=B'E,

^3\AEB'=180°-WEF-^FEB'=E>0°,

^B'E=2AE,

设BE=x,则B'E=x,AE=6-x,

02(6-x)=x,

解得x=4.

故选：D.

【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30。角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性

质进行推理是解此题的关键.

8.(2023・四川成都・统考二模)菱形不具备的性质是()

A.对角线一定相等B.对角线互相垂直

C.是轴对称图形D.是中心对称图形

【答案】A

【分析】根据菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条

对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条

对角线所在直线，即可判断.

【详解】根据菱形的性质可知：

菱形的对角线互相垂直平分，故B正确；

菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C,D正确；

菱形不具备对角线一定相等，故A错误；

故选：A.

【点睛】本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质.

9.(2023•河北石家庄・统考一模)如图，在正方形ABCD中，H是对角线BD的中点，延长DC至E,使得DE=DB,

连接BE,作DFEIBE交BC于点G,交BE于点F,连接CH、FH,下列结论：(1)HC=HF；(2)DG=2EF；(3)

2；正确的个数是()

BE-DF=2CD(4)SABDE=4SADFH;(5)HF0DE,

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】由等腰三角形"三线合一”的性质可得EF=BF,根据H是正方形对角线BD的中点可得CH=DH=BH,

即可证明HF是EIBDE的中位线，可得HF—DE,HF//DE；由BD=DE即可得HC=HF；利用直角三角形两锐角互

余的关系可得EICBE=EICDG,禾（J用ASA可证明EIBCEEBDCG,可得DG=BE,可判定DG=2EF,由正方形的性质可

得BD2=2CD2,根据回CBE=EICDG,EIE是公共角可证明回BCEEHDFE,即可得竺=竺，即BE-DF=DE-BC,可对③

BEBC

进行判定，根据等底等高的三角形面积相等可对④进行判定，综上即可得答案.

【详解】HBD=DE,DFHBE,

0EF=BF,

0H是正方形ABCD对角线BD的中点，

1

团CH二DH=BH二—BD,

2

团HF是回BDE的中位线，

0HF=|DE=|BD=CH,HF//DE,故①⑤正确，

加CBE+回E=90°,团FDE+回E=90°,

MCBE=0FDE,

又回CD=BC,团DCG二团BCE=90°,

加BCE酿DCG,

团DG=BE,

0BE=2EF,

国DG=2EF,故②正确，

MCBE=0FDE,团E二团E,

加BCE酿DFE,

回竺二竺，BPBE-DF=DE-BC,

BEBC

HBD2=CD2+BC2=2CD2

HDE2=2CD2,

HDE-BC^2CD2,

0BE-DF#2CD2,故③错误,

1

团DH二一BD,

2

0SADFH=~SADFB>

1

0BF=-BE,

2

121SADFB="SABDE，

0SADFH=7SABDE，即SABDE=4SADFH，故④正确，

4

综上所述：正确的结论有①②④⑤，共4个，

故选B.

【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性

质及三角形中位线的性质，综合性较强，熟练掌握所学性质及定理是解题关键.

10.（2022•陕西•校联考模拟预测）如图，矩形A8CD的对角线AC的垂直平分线分别交A。、AC,BC于点E、

。、F,若2B=12,BC=16,贝ijEF的长为（）

【答案】B

【分析】连接力F,CE,先证明AAEOiaACF。得。E=OF,再设4E=CE=x,在Rt△CDE中，由CD?十口后？=

。炉得方程122+（16—乃2=%2,求出=从而利用勾股定理求出EF=20E=15.

.­EF是AC的垂直平分线，

•.AO=OC,AAOE=ACOF=90°,

••・四边形4BCD是矩形,

:•AD“BC,

•••Z-EAO=Z-FCO,

在△4E。和△CFO中，

LEAD=乙FCO

AO=CO，

^AOE=Z.COF

.-.△TlEOISACFO（ASA）；

・•.OE=OF,

又•・•OA=OC,

・•・四边形/EC尸是平行四边形，

又•:EFLAC,

・•・平行四边形/ECF是菱形，

•••AE=CE,

设ZE=CE=X,

■■E尸是AC的垂直平分线，

・•.AE=CE=x,DE=16—X,

在Rtz\COE中，由勾股定理得：CD2+DE2=CE2,

122+（16—%）2=%2,

解得X=§，

・・.AE=—,

2

•・•AC=yjAB2+BC2=V122+162=20,

•.AO=-AC=10,

2

OE=yjAE2-AO2=—,

2

•••EF=2OE=15.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、矩形的性质、菱形的判定及性质、以及勾股定理，根据

直角三角形勾股定理构造方程是解题的关键.

11.（2023•河北・统考一模）如图，以点。为圆心，4为半径作扇形已知:4。1B。,点E在。4上，且。E=

2代,CD垂直平分。8,动点P在线段CD上运动（不与点。重合），设AODP的外心为/,则£7的最小值为（）

A.1B.2

C.2V3-1D.V3+1

【答案】B

【分析】先判断E/最短时，/的位置，过/作出1。4于H,过/作/G10B于G,利用三角形的中位线的性质

与勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，•••40CD为直角三角形，

・・•/OCD的外心是0P的中点，

当P,C重合时，E/最短，。/=G=2,

过/作/H104于H,过/作/GJ.OB于G,

•••CD垂直平分。B,

•••OD=BD=2,IG//CD,

0G=DG=1,

IG=V3,

•••乙AOB=90°,IG1OB,IH1OA,

四边形OG/H为矩形，

OH=IG=V3.HI=0G=1,

•••OE=2V3,

•••HE=V3,

•­.EI=J（次尸+12=2.

故选B.

【点睛】本题考查的是圆的基本性质，直角三角形的外接圆的圆心的特点，三角形的中位线的性质，勾股

定理的应用，矩形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.

12.（2022下•河北,八年级期中）如图，在团4BCD中，用圆规和直尺作的平分线力G,若2D=10,DE=12,

【答案】B

【分析】首先证明四边形NOGE是菱形，得出利用勾股定理计算出NO,从而得到NG的长.

【详解】解：连接EG,

团由作图可知NG是的平分线，

001=02,

EL4GSDE,40=10,DE=12.

团四边形ABCD是平行四边形，

0CDEL4B,

盟2=回3,

001=03,

^AD=DG.

EL4G00E,

^OA=lAG,OD^DE.

在RtSAOD中，OA^AD2-OD2=V102-62=8,

EL4G=2/0=16.

故选：B.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平

行四边形的性质，证明四边形/OGE为菱形是解决问题的关键.

13.（2023下,山东荷泽♦八年级统考期中）如图，有一张矩形纸片力BCD,AB=8cm,BC=10cm,点E是CD

上一点，将纸片沿AE折叠，点8,C分别落在点夕，C'处，点。在B'C'上，则线段DE的长为（）

【答案】C

【分析】由折叠的性质可得4B=力9=8cm,BC=B'C=10cm,CE=C'E,在尺也29。中，由勾股定

理可求9D的长，在RtALOE中，由勾股定理可求得。£的长.

【详解】解：•••将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D,

AB=AB'=8cm,BC=B'C=10cm,CE=C'E,

在RMAB'D中

B'D=y/AD2-B'A2="00-64=6cm,

CD=B'C-B'D=4cm,

在RtALDE中，

•••DE2=CD2+CE2,

DE2=16+(8-DE)2,

DE=5cm,

故选：C.

【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是解决本题的关键.

14.（2023•江苏苏州•校联考二模）如图，在矩形4BCD中，AB=4,BC=6,E为BC的中点，将44BE沿力E折

叠，使点B落在矩形内点尸处，连接CF,贝IJCF的长是（）

A.—B.3C.—D.—

555

【答案】D

【分析】连接BF,根据三角形的面积公式求出BH,得到BF,根据直角三角形的判定得到回BFC=90。，根据勾

股定理求出答案.

【详解】连接BF交AE于H,

I3BC=6,点E为BC的中点，

0BE=3,

又EIAB=4,

0AE=7AB2+BE?=V42+32=5,

^AB-BE=-AE-BH,即4x3=5BH,

22

回BH二音，

根据题意知B、F关于AE对称，

则BF=2BH=y,FE=BE,

团FE=BE=EC,

03BFC=9O°,

根据勾股定理得，CF=VBC2-BF2=J62—偿丫=

故选：D.

【点睛】本题考查了翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后

图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键.

15.（2023下•福建泉州,八年级统考期末）如图，在正方形ABCD外取一点E,连接AE,BE,DE.过点4作4E

的垂线交DE于点P.若4E=2P=1,PB=V10,下列结论：①ZL4PD亚ME8；②点B到直线AE的距离为

2;③BP=PD;④S/APO+S44PB=|.其中正确结论的序号是（）

A.①③④B.①②③C.②③④D.①②④

【答案】D

【分析】①利用同角的余角相等，易得的庆明4。，再结合已知条件利用&4S可证两三角形全等；②过8

作AFT34E,交/£的延长线于R利用①中的全等，可得明尸。=明班，结合三角形的外角的性质，易得

05£P=9O。，利用勾股定理可求BE,结合曲£尸是等腰直角三角形，可证鲂E尸是等腰直角三角形，再利用勾

股定理可求班\BF-,③根据①中的全等可进行判断；④连接8。，SAAPD+S^APB^SAAEB+SAAPB^SM

/E2P代入数值计算即可.

【详解】解：①03瓦4尸=血£>=90°

团贴/8+皿尸=90°,汹。+&8/尸=90°,

^EAB^3\PAD,

又AB=AD,

在13Ap。和EL4E2中，

-AE=AP

Z.EAB=Z.PAD,

、AB=AD

^APD^AEB(S4S)；故①成立;

②过5作即立4E,交4E的延长线于R

^\AE=AP9曲尸=90°,

瓯AE*P=财尸氏45°,

励4仍二94尸。=180°-45°=135°,

瓯跳了二135°-45°=90°,

蛇施£7),

勖殖4R

WFEB=^FBE=^5°,

I?1PE=V12+l2=V2,

BBE^BP2-PE2=2A/2,

^BF=EF=^-=2,故②成立；

③aa4P。回的E8,

aPD=EB,

回直角三角形中尸8大于BE,

贴8与3P不相等，

0ap与PD也不一定相等，故③不成立;

④如图，连接3£),

AD

由②得:PE增,BE=2立,

^APDS^AEB,

SSAAPD+SAAPB=SAAEB+SAAPB=S^AEBP=SAAEP+SAEPB

^AE-AP+l-PE-BE

=ixlxH-i-V2x2V2

22

=£故④成立.

故选：D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式

的运用、勾股定理的运用等知识，综合性较强，难度较大，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与

角的关系是解题的关键.

二、填空题

16.(2023•山东威海・统考模拟预测)如图，将矩形纸片力BCD沿BE折叠，使点2落在对角线BD上的4处.若

乙DBC=24°,贝!U4EB等于.

【答案】57。/57度

【分析】由矩形的性质得乙4=NABC=90。，由折叠的性质得到相等的角，再根据图形找到角之间的关系,

即可得出答案.

【详解】解：国四边形N8CD是矩形，

NA=N4BC=90°,

由折叠的性质得：NB4E=N4=90。，£A'BE=LABE,

■：ZDBC=24°,

-I-1

^A'BE^^ABE^-(90°-zC£)B)=乙(90°-24°)=33°,

22

•••N4EB=90°-N4'BE=90°-33°=57°.

故答案为：57°.

【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质；熟练掌握折叠题目中找出相等的角是解题的关键.

17.(2022•山东荷泽•统考一模)如图，正方形/BCD的边长为6.则图中阴影部分的面积为.

D

【答案】18

【分析】根据翻转折叠的性质即可求得结果.

【详解】解：根据题意，得S阳影部分=正方彩4BCD=*62=18.

故答案为：18.

【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，将已知图形翻转到正方形的一侧是解题的关键.

18.（2023下•山东烟台•九年级统考期中）如图，在O。内有一个平行四边形02BC,点4,B,C在圆上，点

N为边48上一动点（点N与点B不重合），。。的半径为1,则阴影部分面积为.

【答案】*兀

【分析】根据题意证得2B=OA=OB,即可得到乙4OB=60。，根据同底等高的三角形面积相等得出雇。四=

S^OBC＞即可得出S阴影=S扇形0枚

【详解】解：•••四边形04BC是平行四边形，04=OC,

四边形是菱形，

•••Z.AOB=Z.BOC,

•・•0cll48,

•••（ABO=Z-BOC,

•••/.ABO=Z.AOB,

AB=0A=OB,

•••Z-AOB=60°,

-ABWOC,

*',S&ONC=S^OBC，

C_C_607rxi2_7T

•*•3阴影=3扇形04B=360=6f

故答案为：

【点睛】本题主要考查的是扇形面积的计算，等边三角形的判断和性质，同底等高的三角形面积相等是解

题的关键.

19.（2023・安徽合肥•统考模拟预测）如图，在矩形ABC。中，点E在BC上，将△ABE沿4E翻折得至U△4FE,

点8的对应点厂恰好落在线段DE上，线段”的延长线交CD于点G,BE:CE=3:2,则黑的值

FG

为________________.

【答案】Y

4

【分析】延长BC,4G交于点H,设BE=3x,贝UEC=2x,再证明△ADF”&HEF,可得EH=早，AF=|F/7,

再根据△ADGSAHCG,可得头=当，即可求解.

GH11

设BE=3%,贝DEC=2%,

团四边形48CD矩形，

EL4D=BC=5x,AD||BC,

^Z-DAE=Z-AEB,

团将△沿ZE翻折得至AFE,

^\Z-AEB=Z.AEF,BE=EF=3x,

团乙0/E=/.AED,

刻o=DE=5x,

BDF=2x,

^AD||BC,

0AADF^△HEF,

团^A--D=-D-F=-A-F

EHEFFH

5x_2x_AF_2

UEH~3x~FH~3

15%2

^\EH=—,AF=-FH

23f

ii

^CH^EH-EC^-x,

团4。IIBC,

I3AADG〜AHCG,

AG

l?F-=—,

CHGH

AG_5x_10

?GH=9=五，

设AG=lOy,贝IJGH=lly,

I2AH=21y,

El”=理x2=经，

55

0FG=AG-AF=^,

21

^AF-FG=—,

4

故答案为：

4

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，正

方形的性质是解题的关键.

20.（2022•宁夏吴忠•校考三模）如图，已知矩形A8CD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处,BC'交4。于=8,

AB=4,则DE的长为

A瓦D

【答案】5

【分析】首先根据矩形的性质可得出4DIIBC,即N1=N3,然后根据折叠知N1=N2,可得至lU2=N3,进而

得出=设DE=x,贝l|EC'=8—x,利用勾股定理求出x的值，即可求出DE的长.

【详解】如图:

回四边形4BCD是矩形，

^ADWBC,即N1=N3,

由折叠知，41=42,

团42=43,

团BE=DE,

设OE=x,则EC'=8-%,

在RtADEC，中，DC'2+EC'2=DE2,

042+（8-x）2=x2,

解得:x=5,

0£>E的长为5.

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查折叠变换的知识点，解答本题的关键是掌握矩形的性质，勾股定理的利用以及折叠

的知识，此题比较简单.

21.（2023上•四川成都•八年级校考期中）如图，将长方形4BCD（纸片）折叠，使点B与4。边上的点K重

合，EG为折痕；点C与力。边上的点K重合，为折痕.已知41=67.5°,Z2=75°,EF=旧+1,则BC的

【答案】3+V2+V3

【分析】由题意知回3=180°-2回1=45°,回4=180°-202=30°，BE=KE,KF=FC,作KM0BC,设KM=x,知EM=x,MF=V5x,

根据EF的长求得x=l,再进一步求解可得.

【详解】解：由题意，得：回3=180°-2回1=45°,团4=180°-202=30°,BE=KE、KF=FC,

如图，过点K作KM0BC于点M,

设KM=x,则EM=x,MF=V3x,

0x+V3x=V3+l,

解得：x=l,

0EK=V2>KF=2,

0BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+V2+V3,

BBC的长为3+V2+V3,

故答案为：3+V2+V3.

【点睛】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，

位置变化，对应边和对应角相等.

22.（2023•河南南阳•统考一模）如图，在矩形2BCD中，BC=4,4B=a,点E为4D的中点，点尸为射线2B上

一点，连接CT,BF=3,若将A4EF沿直线EF折叠后，点2恰好落到CF上的点G处，则a的值为.

【答案】1或4

【分析】连接CE,由已知条件可得CF=5,AE=EG=DE=2,AF=GF=a—3,乙4=乙EGC=4。=90°,

可推出。C=CG=a,画出示意图可得出2a-3=5或2a+3=5,求解即可.

【详解】解：根据矩形的性质可得，4。=8C=4,AB=CD=a

回点E为AC的中点

SAE=DE=2

根据勾股定理可得：CF=5

连接CE,当F点在AB上时，如图：

EIBF=3

EL4F=a-3

根据折叠的性质可得，AF=FG=a-3,AE=EG=DE=2,^A=4EGC=z£>=90°

团CG=CD=a

团a—3+a=5

解得：a=4；

当点F在AB的延长线上时，如图:

F

国BF=3

IH4F=a+3

根据折叠的性质可得，AF=FG=a+3fAE=EG=DE=2t^A=乙EGC=ZD=90°

团CG=CD=a

团a+3+a=5

解得：a=1；

故答案为：1或4.

【点睛】本题考查的知识点是矩形的折叠，根据折叠的性质找出线段间的数量关系是解此题的关键.

23.（2023•新疆乌鲁木齐・乌鲁木齐市第70中校考一模）如图，边长为段的正方形N8CD的对角线/C与AD

交于点。，将正方形沿直线。尸折叠，点。落在对角线AD上的点£处，折痕。9交/C于点M,则

OM=.

【答案】V2-1

【分析】过点M作1CD于H,由翻折性质得到NCDF=乙ODF,继而证明OM=MH,

利用SACDO=SAODM+SACDM，结合三角形面积公式解答即可.

【详解】解：过点〃■作于H,

••,将正方形/BCD沿直线。尸折叠，点C落在对角线8。上的点£处,

・•.Z.CDF=Z.ODF

•・•四边形是正方形，

・•・AC1BD/ODC=45°

・•.匕CDF=^ODF,AC1BD,MH1CD

OM=HM

•・•CD=V2

・•・OD=1

•••S^CDO=S2ODM+^ACDM

11

-xlxl=-xlxOM+-xV2xMH

11「

.•--=-0M(l+V2)

1L

OM=-----=V2-1

1+V2

故答案为：V2-1.

【点睛】本题考查正方形的性质、翻折的性质、角平分线的性质等知识，利用等积法解题是关键.

24.(2023下•山东泰安•八年级统考期末)如图，已知正方形4BCD中，点E在4D上，点尸在CD上，且DE=DF=

3,AE=1,G、H分别是BE、E尸的中点，则AAGH的面积等于.

【分析】根据正方形的性质得到ZBMBCMCDM/DM/E+DEM%^AE=^C=90°,根据勾股定理得到BE

=8/=叱率N=旧，根据直角三角形的性质和三角形的中位线的性质得到ZG=G»=乎，根据全等三

角形的性质得到EABE=囱CAF,推出的GH是等腰直角三角形，于是得到结论.

【详解】解：团四边形N3C。是正方形，

Q

EL4JB=3C=C£)=4D=/E+Z)E=4,SBAE^C^90,

WE=DF=3,

SCF=AE=1,

^BE=BF=y/42+l2=V17,

团G、8分别是BE、斯的中点，

EL4G=3G=部，GH=^BF,GH//BF,

^AG=GH=—,

2

^\AGE=2^\ABG,

^\EGH=^EBF,

^AB=BC,AE=CF,团5/£=团。=90°,

^ABE^BCF(SAS)f

^\ABE=^CBF,

^AGE=^\ABE+^CBF,

^\AGH=^ABC=9Q°,

团西G〃是等腰直角三角形，

02L4G//的面积="竺x包=二

2228

故答案为：!

O

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助

线是解题的关键.

25.（2023•安徽滁州•统考二模）如图,在△4BC中，乙4cB=90。，AC=9,2c=5,点P为△4BC内一动

点.过点P作PD14C于点。，交2B于点£若ABCP为等腰三角形，且S“BC=蔡，贝叩。的长为

A

【答案】1或I

【分析】分以下三种情况：①若BP=CP,过点P作PFE1BC于点F,有DP=CF=BC；②若BP=BC,过点P作

PFEIBC于点F,则在RtEIBPF中先求出BF的长，从而根据DP=CF可得出DP的长；③若BC=CP,由勾股定理

以及相似三角形的判定与性质分别求出DP,DE的长，此时DP>DE,此种情况不存在.综上可得出结果.

【详解】解：团团ACB二90°,PD团AC,

0DE0BC.

115

回S/IPBC=习xBCxCD=—,

又BC=5,ECD=3.

分以下三种情况：

①若BP=CP,如图1,过点P作PFEIBC于F,

图1

则四边形CDPF为矩形,

EIDP=CF,

又CP=BP,PFEBC,

EICF=BFJBC=9,

22

0DP=CF=-；

2

②若BP=BC=5,如图2,过点P作PF回BC于F,

E1PF=CD=3,

在RfflBPF中，由勾股定理可得BF=4,

fflCF=BC-BF=l,

0DP=1；

③若BC=CP=5,如图3,

则在RtElCDP中，根据勾股定理得，DP=4,

又DE0BC,

00ADEE10ACB,

0L-OE=—AD

BCAC

9-310

壁=于'回DE=三

此时DP>DE,不符合题意.

综上所述，PD的长为1

故答案为：1

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质以及平

行线的判定等知识点，解题的关键是综合运用相关性质进行推理并运用分类讨论思想.

三、解答题

26.(2023・广东肇庆•统考二模)如图，在四边形ABCD中，AB0CD,AC.BD相交于点O,且。是BD的中点

(1)求证：四边形/BCD是平行四边形；

(2)若4C1BD,AB=8,求四边形/BCD的周长.

【答案】⑴详见解析;(2)32

【分析】(1)利用全等三角形的性质证明4B=C。即可解决问题.

(2)证明四边形/BCD是菱形，即可求四边形/BCD的周长.

【详解】解：(1)证明："AB//CD,

•••Z.AB0=Z-CD0,

OB=0D,Z-A0B=Z.C0D,

：^A0B=△COD(ASA),

AB=CD.

又,：ABHCD,

回四边形ABCD是平行四边形.

(2)回四边形ABCD是平行四边形，AC1BD,

回四边形ABCD是菱形，

团四边形ABCD的周长=4XAB=32.

【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识

解决问题，属于中考常考题型.

27.(2022上•山东青岛•八年级校考阶段练习)如图，在长方形力BCD中，AB\\CD,AD\\BC,AB=3,BC=4,

将矩形纸片沿8。折叠，使点”落在点E处，设DE与DE相交于点尸.

⑴判断ABDE的形状，并说明理由；

（2）求。E的长.

【答案】（l）ABDE是直角三角形，理由见解析

（2）OE=4

【分析】（1）利用翻折变换的性质及矩形的性质即可求解；

（2）利用翻折变换的性质即可求解.

【详解】（］）ABDE是直角三角形，

回四边形力BCD是矩形，

国乙4=90°,

团将矩形纸片沿BD折叠，使点/落在点E处，

0zF=z4=9O°,

回ABDE是直角三角形；

（2）国将矩形纸片沿BD折叠，使点/落在点E处，

国DE=AD,

回四边形4BCD是矩形，AB=3,BC=4,

^AD=BC=4,

EI£）E=4.

【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键.

28.（2023•北京海淀，北京市师达中学校考模拟预测）如图,在RtAOBC中,ABAC=90°,AB=AC,点。是

BC边上一个动点（不与2,C重合），连接4。，将线段4。绕点4逆时针旋转90。，得到线段4E,连接CE.

⑴求乙4%的度数；

⑵过点。作DG1BC,交B4于点F,交C4的延长线于点G,连接EF,交力C于点//；

①依据题意，补全图形；

②用等式表示线段4G,的数量关系，并证明.

【答案】（1）乙4CE=45°；

⑵①见解析；@AG=AH.理由见解析

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得乙4BC=^ACB=45。,再根据旋转性质可得40=AE,^DAE=

90。，然后利用同角的余角相等求出NBA。=MAC,然后利用“边角边"证明ABaD三ACAE,从而得解；

（2）①根据题意补全图形即可；

②证明四边形CDFE是矩形，推出AGFU是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质即可求解.

【详解】（1）解：在RtAABC中，NB4C=90。，AB=AC,

0ZX5C=Z.ACB=45°,

团将线段4。绕点4逆时针旋转90。，得到线段4E,

SAD=AE,Z.DAE=90°,

0ZBXD+/.DAC=/.CAE+/.DAC=90°,

团zE4O=Z-EAC,

AB=AC

在△BAD和△(?/£*中,匕BAD=Z-CAE，

、AD=AE

0ABAD=△CAEf

^ACE=乙ABC=45°；

（2）解：①补全图形如图;

②4G=4H.理由如下，

由（1）得N4BC=4ACB=45°,^ACE=45°,

0ZFCF=90°,

又DG1BC,

回ABDF是等腰直角三角形，

SBD=DF,

团^

BAD=△CAEf

团BD=CE,

由DF=CE,且DFIICE,

回四边形CDFE是平行四边形，

又LBCE=90°,

回四边形CDFE是矩形，

WFWCD,

0ZGWF=Z.ACB=45°,乙GFH=乙GDC=90°,

GFH是等腰直角三角形，

^Z-BAC=90°,

SAG=AH.

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题

的关键是灵活运用所学知识解决问题.

29.（2023上•福建漳州•八年级校考期中）如图，将长方形沿ZE所在的直线折叠，顶点。恰好落在

8c边上的尸处，若CE=3,/B=8,求C/和4D的长.

【答案】CF=4,AD=10.

【分析】由折叠的性质得出EF=DE=5,力。=AF,在RMCEF中，由勾股定理得出CF=4,设4。=AF=

BC=x,则BF=x-4,在RM4BF中，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案.

【详解】解：回四边形/BCD是矩形，

EL4B=CD=8,BC=AD,NB=ND="=90°,

WE=C。-CE=8—3=5,

由折叠性质知：AD^AF,EF=£)E=5；

在RtZlCEF中，EF=5,CE=3,

0CF=yjEF2-CE2=V52-32=4,

设AD=AF=BC=x,贝ijBF=x-4；

在R"L4B尸中，由勾股定理可得：82+0—4)2=/,

解得：x=10,

EL4D=10.

【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股

定理得出方程是解题的关键.

30.(2023,广东东莞•东莞市厚街海月学校校考模拟预测)如图，在△力BD中，AB=AD.

⑴点C为BD的垂直平分线上一点，且点C在BD下方，CB=4B,求作点C.(要求：尺规作图，不写作法,

保留作图痕迹)

(2)若AC,BD交于点O,点E为BC的中点，连接OE.若。E=5,BD=12,求4C的长.

【答案】⑴见解析

(2MC=16.

【分析】（1）分别以B、。为圆心，4B长为半径作弧，在8D下方交于点C,点。即为所作；

（2）求得四边形48CD是菱形，利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线的性质求得3。=6,BC=10,

利用勾股定理即可求解.

【详解】（1）解：如图，点C即为所作；

（2）解：由作图知，AB=BC=CD=AD

团四边形力BCD是菱形，

0BO=0D=^-1BD=6,AO=OC,BDLAC,即NBOC=90°,

回点E为BC的中点，且OE=5,

0BC=2OE=10,

在RtABOC中，OC=VBC2-OB2=8,

团4c=2OC=16.

【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题.

31.（2023•黑龙江齐齐哈尔•统考三模）综合与实践

动手、发现：（1）数学活动课上，小明进行了下列操作：

"如图①，矩形纸片/BCD中，8。为对角线，将△BCD沿8。折叠，使点C落在点£处，BE交AD于点、F"

则线段,AABF=A；

E

D

①

问题解决：（2）在图①中，若AB=6,BC=8,请你求出：线段/尸的长及tan乙4BF的值;

再动手、延伸：（3）小明在（2）的条件下，找到DE上的点G及AD上的点X,将△沿G8折叠，使

点。落在点/处，G8交/。于点K（如图②），贝UGH=,sinz.GAH=

【答案】（1）DF,EDF；（2）-；（3）士

42465

【分析】（1）由折叠的性质得"8。=NF8D,由平行线的性质得NFD8=即可证明/BDF是等腰三

角形，可得BF=DF；根据44S可证44BF=AEDF；

（2）在Rt△ABF中，设2尸=无，由勾股定理得方程（8-刀）2=6?+/,解方程可得/尸,从而可求出tan乙48F

的值；

（3）根据翻折变换的性质可知KD=4,由a龙尸=三求出GK=：,再由三角形中位线定理得

246

KH=39从而可得G8；证明4L4H=乙480可求出sin4GZ”的值.

【详解】解：（1）回四边形是矩形

^AB=CD,AD=BC,^BAD=^BCD=90°fAD//BC

mADB=^\CBD

由折叠得，^FBD^CBD

^FDB=^\FBD

^\BF=DF;

^BDE由△5。。翻折而成，

团蛇=皿6=90°,ED=CD=AB,^AFB=^DFE,

EH4BR33ED尸(ASA)；

故答案为：DF,EDF；

(2)设力F=%,^AF+FD=AD=BC=8,

I3BF=FD=8—x,

在Rt△ZBF中，由勾股定理得(8