中考数学难点突破与训练：相似三角形中的“K”字型相似模型（含答案及解析）

专题11相似三角形中的“K”字型相似模型

【模型展示】

2

特点AZ）

如图，直角三角形被斜边上的高分成的两，,直角三角形与原三角形相似，即

△ACD^/\ABC^ACBD.

结论C^=ADAB,BC?=BD-BA,C》=DA-DB

【模型证明】

“三垂直”模型

匕

BCD

如图，NB=ND=/ACE=90。,则△A8CS/\CQE

解决方案“一线三等角”模型

A

BCD

如图，NB=NACE=/D,则△ABCs/iCDE

特别地,连接AE,若C为8。的中点，则△ACEs△ABCs△CDE.

【题型演练】

一、单选题

1.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8,E是边CD上一点，连接AE.折叠该纸片，使点A落在AE

上的G点，并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.若DE=4,则AF的长为（）

C.3D.2

2.如图，边长为10的等边AABC中，点。在边AC上，且AD=3,将含30。角的直角三角板（N尸=30。）

绕直角顶点O旋转，DE、。厂分别交边AB、BC于P、Q.连接尸。，当防//PQ时，。。长为（）

A.6B.739C.10D.673

4

3.如图，在矩形A2CD中，CD=4,E是BC的中点，连接AE,tan/AE8=§,尸是A。边上一动点，沿过

点尸的直线将矩形折叠，使点。落在AE上的点"处，当八™，是直角三角形时，尸。的值为（）

.2—608T24

A.§或］B.§或亍

4.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,E、F、G、H分别为矩形边上的点，HF过矩形的中心O,

且毋'=E为A3的中点，G为CO的中点，则四边形匹6尸的周长为（）

2

A.3A/5B.6A/5C.8gD.6#）

5.如图，E、F、G、”分别为矩形ABC。的边A8、BC、CD、D4的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF,

已知AG_LGP,AC=m,则下列结论：®ZDGA=ZCGF；©ADAG^ACGF；③48=2；®BE=^CF.正

确的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

4

6.如图，在AA5C中，ZC=90°,AB=5cm,cosB=-.动点。从点A出发沿着射线AC的方向以每秒1cm

的速度移动，动点E从点8出发沿着射线54的方向以每秒2cm的速度移动.已知点。和点E同时出发，设

它们运动的时间为f秒.连接3D.下列结论正确的有（）个

①3C=4；

②当AD=AB时，tanZABD=2；

25

③以点8为圆心、8E为半径画。8,当"古时，DE与08相切；

④当NCBD=NADE时，t=^.

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

3

7.如图，正方形ABC。的对角线AC,5□相交于点。，AB=5y[2,E为OC上一点，OE=2,连接BE,

过点A作/FLBE于点尸，与BD交于点G,则EF的长是.

8.如图，在矩形ABCD中，AB=9,3c=12,尸是边AD上一点，连接即，将沿8尸折叠使点A落

在G点，连接AG并延长交8于点E,连接GO.若△D£G是以DG为腰的等腰三角形，则”的长为

9.如图，AABC为等边三角形，点D,E分别在边ASAC上，3。=3,将VADE沿直线。E翻折得到VRDE,

当点尸落在边BC上，且3F=4CF时，Z5E-AF的值为.

三、解答题

10.如图，在矩形ABC。中，E为的中点，EF_LEC交AB于尸,延长山与直线CD相交于点G,连接

FC(AB>AE).

4

(1)求证：AAEFs^DCE；

（2）AAEF与△ECP是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

（3）设黑=左，是否存在这样的左值，使得AA斯与尸C相似？若存在，证明你的结论并求出左的值；若

BC

不存在，请说明理由.

11.（1）问题

如图1,在四边形ABC。中，点尸为上一点，当NDPC=NA=/B=90。时，求证：ADBC=APBP.

（2）探究

若将90。角改为锐角或钝角（如图2）,其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由.

（3）应用

如图3,在AABC中，AB=2日ZB=45°,以点A为直角顶点作等腰放&DE.点。在BC上，点E在

AC上，点厂在BC上，且NEFD=45。，若CE=下,求C£）的长.

12.【感知】如图①，在四边形ABCZ）中，点P在边48上（点P不与点重合），NA=N3=NO尸C=90。.易

证△ZMRS^PBC.（不需要证明）

【探究】如图②，在四边形A8C。中，点尸在边A8上（点尸不与点48重合），ZA=NB=ZDPC.若PD=4,

PC=8,BC=6,求AP的长.

【拓展】如图③，在AABC中，AC=BC=8,AB=12,点P在边AB上（点尸不与点A、8重合），连结

CP,作NCPE=NA,PE与边BC交于点、E,当△CPE是等腰三角形时，直接写出AP的长.

5

13.如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，于点/，设=；=/1(彳＞0).

(1)若4=1,求证：CE=FE；

(2)若AB=3,AD=4,且D、B、尸在同一直线上时，求4的值.

14.如图，矩形ABCD中，AB=1,BC=3,点E是边BC上一个动点(不与点B、C重合)，AE的垂线

AF交CD的延长线于点F,点G在线段EF上，满足FG：GE=1：2,设BE=x.

ADDF

(1)求证:

AB-BE

(2)当点G在△ADF的内部时，用x的代数式表示NADG的余切;

(3)当/FGD=/AFE时，求线段BE的长.

15.如图，已知四边形ABCD,ZB=ZC=90°,P是BC边上的一点，ZAPD=90°.

(1)求证：AABP-APCD；

(2)若BC=10,CD=3,PD=36,求AB的长.

6

16.如图，四边形ABC。和四边形AEFG都是矩形，C,F,G三点在一直线上，连接Ab并延长交边C。于

点若/AFG=/ACD.

(1)求证：①AMFCs△MCA；

②若A8=5,AC=8,求竺的值.

BE

(2)若。M=CM=2,AD=3,请直接写出EF长.

17.如图，在正方形ABC。中，点E在A。上，防，BE交8于点尸.

(1)求证：AABE〜ADEF；

(2)连结8尸，若AABE〜AEBF,试确定点E的位置并说明理由.

18.如图，正方形ABCD的边长等于G，尸是BC边上的一动点，/APB、NAPC的角平分线尸£、尸尸分别

交AB、CD于E、尸两点，连接

(1)求证：ABEPs^CPF；

(2)当/抬8=30。时，求△「£1/的面积.

7

19.如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点(不与A、C重合),连接PB,过点P作PELPB,

交射线。C于点E,已知AD=3,AC=5.设AP的长为x.

(1)AB=；当x=1时，――=；

ro

(2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；

(3)当APCE是等腰三角形时，请求出x的值.

20.【推理】

如图1,在正方形ABC。中，点E是C。上一动点，将正方形沿着2E折叠，点C落在点尸处，连结8E,

CF,延长B交4D于点G.

(1)求证：LBCE4CDG.

【运用】

(2)如图2,在【推理】条件下，延长2P交于点若吧=上,CE=9,求线段QE的长.

HF5

【拓展】

(3)将正方形改成矩形，同样沿着2E折叠，连结C尸，延长CF,2尸交直线于G,两点，若行=左，

BC

黑HD4求D名F的值(用含化的代数式表示).

HF5EC

图1图2备用图

8

21.在矩形ABC。中，点E是8边上一点，将VADE沿AE折叠，使点。恰好落在3C边上的点尸处.

H

图2

3

(1)如图1,若tanNEFC=：,求AB：3c的值；

(2)如图2,在线段所上取一点G,使AG平分N54F,延长AG,EF交于点H,若FG=BG+CF,求

的值.

22.问题提出

(1)如图1,在矩形ABCD中，AB=4cm,点E为A2的中点，点尸在2c上，过点E作EG/ABC交ED于

点G.若EG=5cm,则△£1£0的面积为________.

BFCBC

图1图3

问题探究

(2)如图2,在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=9cm,点P是AD边上一动点，点。是CZ)的中点将.^ABP

沿着筋折叠，点A的对应点是A,将沿着尸2折叠，点。的对应点是。6请问是否存在这样的点P,

使得点P、A、M在同一条直线上？若存在，求出此时AP的长度；若不存在，请说明理由.

问题解决

(3)某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3,在四边形ABCD中，

3c=4cm,点。到8C的距离为5cm,AOd.CD,且CO=&AO.若过点。作MN//BC,过点A作的

垂线，交MN于点、E,交CB的延长线于点X,过点C作CFLMN于点尸，连接AC.设AE的长为尤(cm),

四边形ABCD的面积为Men?).

①根据题意求出y与x之间的函数关系式；

②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低.已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你

9

帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用.（石X1.73）

10

专题11相似三角形中的“K”字型相似模型

【模型展示】

C

特点/£）3

如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即

△ACD^AABC^/\CBD.

结论CA^^ADAB,BC2=BDBA,CD'^DADB.

【模型证明】

“三垂直”模型

[

BCD

则△ABCs△CDE

如图，ZB=ZD=ZACE=90°f

解决方

“一线三等角”模型

案

A

二E

BCD

如图，/B=/ACE=ND,则AABCs^CDE.

特别地，连接AE,若C为BD的中点，则△ACEsAABC^△CDE.

【题型演练】

一、单选题

1.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8,E是边CD上一点，连接AE.折叠该纸片,

使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.若DE=4,

则AF的长为（）

C.3D.2

【答案】C

11

【分析】由矩形的性质可得AB=CD=6,AD=BC=8,NBAD=ND=90。，通过证明

AFr）F

△ABF-ADAE,可得——=——,即可求解.

ABAD

【详解】解：・・•矩形ABCD,

ZBAD=ZD=90。,BC=AD=8

ZBAG+ZDAE=90°

・・,折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B,得到折痕BF,

♦BF垂直平分AG

ZABF+ZBAG=90°

.\ZDAE=ZABF,

AAABF^ADAE

.AFABAF6

••=nn即=-

DEAD48

解之：AF=3.

故答案为：C.

【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换

和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键.

2.如图，边长为10的等边“1BC中，点。在边AC上，且AD=3,将含30。角的直角三角

板（々=30。）绕直角顶点。旋转，DE、。尸分别交边AB、于尸、Q.连接PQ,当EFIIPQ

时，。。长为（）

A.6B.739C.10D.6石

【答案】B

【分析】过点。作QK,AC于K,根据等边三角形，和含30。角的直角三角形，易证得

△ADPs^BP。,从而求得线段BP,AP,BQ,CQ,CK,QK,DK的长度,最后在RtzXOQK

中利用勾股定理可以求得的长度.

【详解】解：过点。作。K,AC于K,

在等边AABC中，ZA=N3=NC=60°,AB=BC=AC=10,

在Rt&EFD中，ZE=60°,N尸=30。，

12

,.・EF//PQ,

：.ZDPQ=60°,/。。尸=30。，

ZAPD+ZADP=ZAPD+ZQPB,

：.ZADP=ZQPBf

又,:ZA=ZB=60°,

：./\ADP^/\BPQ,

•AD__A__P__P__D

••BP~BQ~QP9

・••在Rt△尸QD中，ZDQP=30°,

PD=；QP，

PD1

即丽=5,

•_A_D___A__P__P__D__1

**BP-B2-2P-2?

VAZ)=3,

._3__l

BP~29

：.BP=6,

已知AB=10

・•・AP=AB-BP=10-6=4,

•__4____1

,,而一5'

・・・BQ=8,

：.CQ=BC-BQ=10-S=2f

在Rt^CQK中，NC=60。，

・・・NKQC=30。，

・・.KC=4=2=I,

22

・•・DK=AC-AD-KC9

：.0K=10—3—1=6,

而sin“嗡,

560。=殷=g

22

KQ=^/3,

在Rt^OQK中，DQ=1KQ2+DK2,

13

DQ=7(73)2+62=J3+36=回，

即=屈.

故选：B.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，特殊三角函数值，一线三等角的相似模型，正确找

到相似三角形是解题的关键.

4

3.如图，在矩形A8CZ）中，CD=4,E是8C的中点，连接AE,tan/AE8=§,P是边

上一动点，沿过点尸的直线将矩形折叠，使点。落在AE上的点W处，当是直角三

角形时，尸。的值为（）

【答案】B

【分析】根据矩形的性质得到CD乙8=90。，根据勾股定理求得AE,当AAP。是直

角三角形时，分两种情况分类计算即可；

【详解】•••四边形ABC。是矩形，

：.AB=CD,ZB=90°,

4

VCD=4,tanZAEB=-,：.BE=3,

3

在RdABE中，AE=^AB1+BE1=V32+42=5-

是BC的中点，

.".AD—6,

由折叠可知，PD=PD',

14

设P£）=x,贝lJPD'=x,AP=6-x,

当△APZ7是直角三角形时，

①当乙4。尸=90。时，

・•・ZAD'P=ZB=90%

'JAD//BC,

：.ZPAD'=ZAEB,

：.AABEsAPDA,

,APPDf

••族—访‘

.6—xx

•"丁="

._8

••x——,

3

•吁8

''PD-y

②当乙4尸。=90。时，

工ZAPD'=ZB=90°,

'：ZPAE=ZAEBf

：.AAPD^AEBA,

.APPD,

••蔗一万’

.6-x_x

3~4,

._24

••X一,

7

24

:,PD=——；

7

综上所述：当AAPD'是直角三角形时，的值为|或日；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与

性质，准确计算是解题的关键.

4.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,E、F、G、H分别为矩形边上的点，HF

过矩形的中心。，且=E为AB的中点，G为8的中点，则四边形£y6尸的周长

为（）

15

A.3.75B.6A/5C.86D.6石

【答案】B

【分析】连接EG,证明四边形£HGF是矩形，再证明△A£7/SADHG,求得AH与。归的

长度，由勾股定理求得E"与龙，再由矩形的周长公式求得结果.

【详解】解：连接EG,

四边形ABCD是矩形，

:.AB=CD,ABI/CD,

•.•E为AB的中点，G为CO的中点，

:.AE=DG,AE//DG,

.•・四边形AEGD是平行四边形，

:.AD=EG,

•••矩形是中心对称图形，E由过矩形的中心。.

..EG过点0,且OH=OF,OE=OG,

四边形EHGF是平行四边形，

HF=AD=EG,

；・四边形是矩形，

:.ZEHG=90°,

vZA=ZD=90o,

ZAHE+ZAEH=ZAHE+ZDHG=90°,

:.ZAEH=ZDHG,

:△AEHs乙DHG,

.AH_AE

"~DG~~DH，

设=则。H=5-x,

AE=DG=-AB=2,

2

x_2

•'­——----,

25—x

解得，x=l或4,

r.AH=1或4,

16

当=1时，0/7=4,贝I=JAH?+A炉=7TT^=逐，

HG=y/DH2+DG2=V42+22=26，

二四边形EFG”的周长=2、（2迷+屿）=66；

同理，当AH=4时，四边形EFGH的周长=2x（2行+逐）=6百；

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明

四边形EHGF是矩形.

5.如图，E、F、G、X分别为矩形ABC。的边A3、BC、CD、的中点，连接AC、HE、

EC、GA,GF,已知AG±GF,AC=瓜，则下列结论：①/DGA=NCGF；②4Gs△CGF；

③A8=2；@BE=y[2CF.正确的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【分析】由余角的定义可推出/£>G4+/CGP=90。，并不能说明/£>G4=/CGb,说明①

错误；再根据N/MG+"G4=90。，可推出/ZMG=NCGb,进而可证明A/MG〜ACGP,

说明②正确；连接BD,由三角形中位线可知==逅，再由AZMG〜ACGP可进一

22

步推出”=坐，即CP=—CG,即8£=应。b，说明④正确；在MAGCF中，

CGCr2

GF2=CF2+CG2,即可求出CG长度，即可求出AB=2,说明③正确.

【详解】解：・・・NAGF=90。，

・•・NDGA+NCGF=90。,

・••不能说明NQG4=NCG/，故①错误.

9

：ZDAG^ZDGA=90°f

：./DAG=/CGF,

又・・・ZADG=NGCF=90°

17

：.ADAGFCGF,故②正确.

如图连接BD,

■:ADAGFCGF

在加AGCF中，GF2=CF2+CG2,即（当了=（曰CGT+CG?,

解得CG=1

AB=2CG=2,故③正确.

,/BE=CG,

：.CF=—BE,即3E=0C尸，故④正确.

2

综上正确的有②③④共3个.

故选B.

【点睛】本题考查矩形的性质，余角，三角形中位线，三角形相似的判定和性质以及勾股定

理，综合性强.能够连接常用的辅助线和证明A/MG〜ACGF是解答本题的关键.

4

6.如图，在AABC中，ZC=90°,AB=5cm,cosB=-.动点。从点A出发沿着射线AC的方

向以每秒1cm的速度移动，动点E从点B出发沿着射线BA的方向以每秒2cm的速度移动.已

知点。和点E同时出发，设它们运动的时间为》秒.连接3D.下列结论正确的有（）个

@BC=4；

18

②当=时，tan/ABD=2；

③以点B为圆心、跖为半径画。2,当/=%时，与。2相切；

④当NCBD=NAT>E时，/=

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】利用锐角三角函数求出BC可判断①，利用勾股定理求AC,BD,AG,再用正切锐

角三角函数定义求值可判断②，利用相似三角形判定与性质，可判断③，利用相似三角形判

定与性质建构方程，解方程求解可判断④

44

【详解】解：在AABC中，NC=90o,A8=5cm,cosB=w.BC=AHcosB=5x《=4,

故①8C=4正确；

作AG_L8O于G,

在RtAABC中,AC=yjAB2-BC°=&2—4?=3,

'：AD=AB=5,AG±BD

：.CD=AD-AC=5-3=2,DG=BG,

在RtADCB中，BDudcif+BC?=4展+41=2也，

:.DG=BG=非,

在RtABGA中，AG=VAB2-BG2=J52-(A/5)2=275,

，tanZABD=%=半=2,

BG75

故②当=时，tan/ABZ)=2正确；

AC3

AD=t,BE=2t,cosA=——=-

AB5

3"||,BE=2/=2X^=|2

19

・•・AE=AB-BE=5-2t=5--=—

1313

15

13

-3

25-

5

13

AE

——,ZDAE=ZBAC,

ADAB

：.AADE^^ABC,

：.ZAED=ZACB=90°f

：.ZDEB=90°,

：.DE与。3相切，

25

故③以点5为圆心、郎为半径画03,当"一时，。石与相切正确;

过E作即_LAC于〃，

当NC5£>=NAT>£时，

NEHD=NDCB=90。,

:.AEHDsADCB,

,HEDH

'9~CD~~CB'

VAE=5-2r,

・・・AH=|（5-2/）,EH=|（5-2r）,CD=3-t,HD=AD-AH=t-3+^t=^t-3,

•：（5-2.）＞-3

3-t

整理得llr-80t+125=0,

因式分解得0"-25）（-5）=0,

.•"=普或f=5（舍去）,

故④当NCFD=NADE时，一言正确;

20

正确的结论有4个.

故选择D.

【点睛】本题考查锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的切线判定，

一元二次方程的解法，掌握锐角三角函数求边长，勾股定理，相似三角形判定与性质，圆的

切线判定，一元二次方程的解法是解题关键.

二、填空题

7.如图，正方形ABC。的对角线AC,3。相交于点。，AB=5血,E为0C上一点，OE=2,

连接8E,过点A作鹿于点与BZ）交于点G,则EF的长是.

【答案】业史

29

EFAE

【分析】根据正方形的性质求出AO=3O=CO=5,证明△胡尸得到二

OEBE

即可求出答案.

【详解】解：•••四边形ABC。是正方形，AB=5夜，

ZAOB=90°,OA=OB=OC=OD,

2OA2=AB2.

AO=BO^CO=5,

■.■AFYBE,

:.ZEBO=ZEAF,

21

:./\EBO^/\EAF噎嚏

•：OE=2,OB=OA=5,

BE=V29,AE=7,

EF1解得g唱

2~V29

故答案为:嗜.

【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题中熟练掌握并

运用各知识点是解题的关键.

8.如图，在矩形45CD中，AB=9,BC=12,尸是边上一点，连接8尸，将△ABF沿

3尸折叠使点A落在G点，连接AG并延长交CZ)于点E,连接GZ).若△DEG是以DG为腰

的等腰三角形，则AF的长为.

【答案】27-90或？

22

【分析】分两种情形：如图1中，当G£)=GE时，过点G作于M,GN1CD于N.设

ABAF4

AF=x,证明△A4Ps△A£)E,推出一=一，可得£>E=?x,再证明AM=A0=6,在Rt4FGM

DADE3

中，利用勾股定理构建方程求解.如图2中，当。G=OE时，利用相似三角形的性质求解即

可.

【详解】解：如图1中，当GD=G£1时，过点G作GMLAD于M,GN工CD于N.设A尸=x.

图1

..•四边形ABCO是矩形，

：.AD=BC=12,ZBAF=ZADE=90°,

由翻折的性质可知，AF=FG,BFLAG,

：.ZDAE+ZBAE=90°,ZABF+ZBAE=90°,

：.ZABF=ZDAE,

22

,/ZBAF=ZADE=90°f

：./\BAF^/\ADE,

.AB_AF

••=,

DADE

.9_x

••一，

12DE

DE=—x,

3

'：GM±ADfGNLCD,

：.ZGMD=ZGND=ZMDN=90°,

・•・四边形GM0N是矩形，

：.GM=DN=EN=-x

3f

•；GD=GE,

：・/GDE=NGED,

ZGDA+ZGDE=90°,ZGAD+ZGED=90°,

：.ZGDA=ZGADf

：.GA=GD=GE,

,:GM〃DE,

：.AM=MD=6,

22

在放△/GM中，则有V=（6-x）+（-x）2,

解得.幺理或江曳1（舍弃），

22

：.AF=27一9辨

2

由翻折的性质可知，BA=BG,

：.ZBAG=ZBGA,

■:DG=FE,

：.ZDGE=ZDEG,

U：AB//CD,

23

/BAE=/DEG,

：.ZAGB=ZDGE,

：.B,G,D共线，

VBD=VAB2+AT>2=V92+122=15,BG=BA=9,

：.DG=DE=6,

VABAF^AADE,

.AFAB

**DE-AD，

.AF_9

••=，

612

综上所述，AF的值为27一9百或3

22

【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，

解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

9.如图，AABC为等边三角形，点。，E分别在边AB,AC上，%)=3,将VADE沿直线

DE翻折得到VEDE,当点尸落在边8C上，且踮=4C「时，DE-AF的值为.

【分析】根据△ABC为等边三角形,△4。石与4FDE关于。E成轴对称，可证△BDFSACFE,

根据BF=4CF,可得CF=4,根据AF为轴对称图形对应点的连线QE为对称轴,可得DELAF,

根据S承形ADFE=^DEAF=SACEF=-SAABC-SACEF,进而可求DE,AF=.

【详解】解：如图，作AABC的高A3作△8〃尸的高。”，

24

•••△ABC为等边三角形，XADE与X关于。E成轴对称,

AZDFE=ZDAE=60°,AD=DF,

：.ZCFE+ZFEC=ZCFE+ZDFB=120°,

AZDFB=/CEF,

又N5=NC=60。，

△BDFs^CFE,

.BDCF

••=,

BECE

设CF=x(x>0),

VBF=4CF,

：.BF=^x,

'：BD=3,

•CE-^

3

*.*BC=BF+CF=^x-\-x=5x,

・・・AD=AB-BD=BC-BD=DF=5x-3,AE=EF=5x--

3f

*.*△BDFs△CFE,

.DF_BD

••百一#'

5x-3_3

_4x2x

5x-------

3

解得：x=2,

.'.CF=4,

.*.BC=5x=10,

在Rt>ABL中，Z5=60。,

心A8sin60°=1Ox@=53

2

ASzABC=-x10x5>/3=25■，

2

:在RfAB/TO中，BD=3,ZB=60°,

DH=BDsm600=3x3=地，

22

：.SABDF=-BF-DH=-x8x^^=6y[3,

222

,:△BDFsMFE,

25

SCFEyCF)⑶4

•:SABDF=66,

：.SACEF=^-,

3

又：A尸为轴对称图形对应点的连线,。E为对称轴，

：.AD=DF,AAD尸为等腰三角形，DEVAF,

：.S瞰形ADFE=^DEAF=SACEF=-SAABC-SACEF

=25&6也-正=2,

33

・m人09873

3

故答案为:也i.

3

【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明人型相似，以及“垂美

四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积=对角线乘积的一半.

三、解答题

10.如图，在矩形ABCD中，E为的中点，EF工EC交AB于F,延长尸E与直线CD相

交于点G,连接BC(AB>AE).

(1)求证：AAEFs^DCE；

(2)AAEP与AECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

(3)设黑=%，是否存在这样的左值，使得AAEP与ABEC相似？若存在，证明你的结论并

BC

求出女的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)相似，证明见解析

26

(3)存在,k吟

【分析】(1)由题意可得NAE尸+NDEC=90。，又由NAEF+NA尸E=90。，可得NDEC=

ZAFE,据此证得结论；

(2)根据题意可证得7?柩AE尸g7?公£)EG(ASA),可得EF=EG,ZAFE=ZEGC,可得CE

垂直平分PG,aCGF是等腰三角形，据此即可证得AAEF与AECF相似；

(3)假设△AE尸与△8FC相似，存在两种情况：①当/AFE=NBCF,可得/EFC=90。，根

据题意可知此种情况不成立；②当/AFE=NBFC,使得△AEF与△8FC相似，设BC=a,

1?

则42=3，可得BF=-ka,再由△AEFs^ocE,即可求得左值.

(1)

证明：'：EFA.EC,

：.ZFEC=90°,

：.ZAEF+NDEC=90。,

ZAEF+ZAFE=90°,

：.4DEC=ZAFE,

又,:ZA=ZEDC=90°,

：.△AEFsLDCE；

(2)

解：&\EFsXECF.

理由：为AD的中点，

：.AE=DE,

■:/AEF=NDEG,NA=/EDG,

：.AAEF^AZ)EG(ASA),

：.EF=EG,NAFE=/EGC.

又,：EFLCE,

垂直平分FG,

...△CGF是等腰三角形.

ZAFE=ZEGC=ZEFC.

又：ZA=ZFEC=90°,

：.AAEFsAECF；

(3)

解：存在后=好使得AAEP与△BFC相似.

理由：

假设AAEB与△相似，存在两种情况：

27

①当/AFE=NBCF,则有/AFE与N8FC互余，于是/E"=90。，因此此种情况不成立；

②当NBFC,使得△AEF与A8FC相似，

设BC=m则

,/AAEFs^BCF,

.AF_AE_1

,*BF-BC-2'

12,

AF=—ka,BF=—ka,

33

・・・AAEF^ADCE,

11,

.•・任=竺，即。》

DCDEka一1a

2

解得，k=号.

；•存在左邛使得△4所与小“C相似.

【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，

等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键.

11.（1）问题

如图1,在四边形ABC。中，点P为A3上一点，当/DPC=NA=N8=90。时，求证：

ADBC=APBP.

（2）探究

若将90。角改为锐角或钝角（如图2）,其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由.

（3）应用

如图3,在AABC中，AB=2近,ZB=45°,以点A为直角顶点作等腰放ZvlDE.点。在

BC上，点E在AC上，点尸在BC上，且NE/Z>=45。，若CE=杷,求CD的长.

【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）CD=5

【分析】（1）由/£>PC=/A=B=90。，可得/ADP=/BPC,即可证到△ADP。△^PC,然

后运用相似三角形的性质即可解决问题；

（2）由oS^ZADP=ZBPC,即可证到△AOP"△^尸。，然后运用

相似三角形的性质即可解决问题；

（3）先证△ABDs△DFE,求出。户=4,MffiAEFC^△DEC,可求FC=1,进而解答即

28

可.

【详解】(1)证明：如题图1,

*：ZDPC=ZA=ZB=90°f

：.ZADP+ZAPD=9Q°,ZBPC+ZAPD=90°,

ZADP=ZBPC,

：.△AOPs△BPC,

.ADAP

一而一法’

：.AD-BC=APBP,

(2)结论仍然成立，理由如下，

・・・ZBPD=ZDPC+ZBPC,

又・.・ZBPD=ZA+ZADP,

/DPC+/BPC=ZA+ZAD尸,

vZDPC=ZA,

设NDPC=ZA=a,

.\ZBPC=ZADP,

:.△ADPs/\BPC,

.ADAP

一而一法’

：.ADBC=APBPf

(3)ZEFD=45。,

:.ZB=ZADE=45°,

:.ZBAD=ZEDF,

:^DFE，

.ABAD

,•丽-

・•・VAT见是等腰直角三角形，

:.DE=CAD,

・・・AB=2垃，

:.DF=4,

•・・ZEFD=45°,ZADE=45°,

ZEFC=ZDEC=135°9

.△EFCSADEC,

FCEC

'~EC~~CD'

；EC=5CD=DF+FC=4+FC,

:.EC°=FC•CD=FC{4+FC)=5,

29

:.FC=\,

CD—5.

【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45。角将问题转化为

一线三角是解题的关键.

12.【感知】如图①，在四边形ABC。中，点尸在边上（点P不与点A、B重合），

ZA=ZB=ZDPC=90°.易证△ZMPs^pgc.（不需要证明）

【探究】如图②，在四边形ABC。中，点尸在边A3上（点尸不与点A、2重合），

ZA=NB=NDPC.若尸D=4,PC=8,BC=6,求AP的长.

【拓展】如图③，在AABC中，AC=BC=8,AB=12,点尸在边A8上（点P不与点A、

8重合），连结CP,作NCPE=NA,PE与边BC交于点E,当是等腰三角形时，直

接写出AP的长.

【答案】【探究】3；【拓展】4或半.

【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；

拓展：证明△ACPS^BPE,分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性

质计算即可.

【详解】探究：证明：•••“尸3是的外角，

ZDPB^ZA+ZPDA,

即ZDPC+ZCPB=ZA+ZPDA,

•/ZA=ZDPC,

：.ZPDA=ZCPB,

又：ZA=ZB,

LDAPs公PBC,

.PDAP

**PC-BC?

VPD=4,PC=8,BC=