圆的综合证明问题专训（解析版）-2024-2025学年浙教版九年级数学下册

圆的综合证明问题20题专题训练

1.(2024•定海区三模)如图，P为。。的直径A4延长线上的一点，PC为。。的切线，切点为C,CDLAB

于。，连接/C.

(1)求证：NC平分/PCD；

(2)若上4=3,AC=V3.求。。的半径.

【分析】(1)连接OC,则/OC8=/8,由切线的性质得尸CLLOC,而8/是。。的直径，CDJ_48于

D,则NADC=N/C2=NOCP=90。，可证明N0C8=N/CP,则N/CP=/2,因为//CD=/2=90。-

ZBAC,所以//CP=N/CD,即可证明/C平分NPCA

(2)设。。的半径为％则P8=3+2r,可证明△P/Cs△尸eg得骂_=毁=竺_,则9。2=尸衣必，推

PBPCCB

导出PC=MCB,贝!|(V3CS)2=3(3+2r),所以。5=3+2/，由勾股定理得(%)2+3+2r=(2r)

2,即可求得。。的半径长为3.

2

【解答】(1)证明：连接。C,则。。=。2,

：.ZOCB=ZB,

与。。相切于点C,

C.PCLOC,

:台/是0。的直径，CDL4B于D,

：.NADC=ZACB=ZOCP=90°,

：.ZOCB=ZACP=90°-AOCA,

：./ACP=NB,

"：/4CD=/B=90°-ABAC,

：.ZACP=ZACD,

；.NC平分/尸。).

(2)解:设。。的半径为r,则48=2r,

；尸/=3,AC=M，

；.P2=3+2r,

由（1）和N/CP=NB,

,//P=/P,

：.△PACs^pcB,

•PC=PA=AC

"PBPCCB'

:.PC2=PA,PB,PC=PA'CB=&CB=«C3,

ACV3

二（V3CS）2=3（3+2r）,

；.C52=3+2r,

'：AC2+CB2^AB2,

：.（V3）2+3+2r=⑵）2,

解得广=3,『2=-1（不符合题意，舍去），

2

2.(2024春•淳安县期中)如图，AABC内接于。O,是。。的直径，过点C作。。的切线交48的延长

线于点。，BELCD,£8的延长线交。。于RCF交AB于点、G,ZBCF=ZBCD.

(1)求证：BE=BG；

(2)若BE=l,求。。的半径.

【分析】(1)由切线的性质可得N0C3+/3c0=90。，由/2CF+N02C=90。，可证2G_LC凡可得BE

=BG；

(2)由是。。的直径，可知3c=5尸，又因为/3CF=N2CD,可知NO2C=60。，△03C为等边三

角形，即可求出答案.

【解答】（1）证明：如图，连接OC,

•「CD是。。的切线，

0C1CD,

：・/OCB+/BCD=90。,

•：OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC,

丁/BCF=/BCD,

：.ZBCF+ZOBC=90°,

：.ZBGC=90°f即5G_LCR

VZBCF=ZBCDfBELCF,

:,BE=BG：

(2)解：・・ZB是。。的直径，CFLAB,

•••BC=BF>

；・BC=BF,

：./BCF=/F,

■:BELCD,NBCF=NBCD,

：.ZBCF=ZBCD=ZF=30°,

AZO5C=60°,

:.BC=2,

'：OB=OC,ZO5C=60°,

：./\OBC为等边三角形，

；.OB=BC=2,

即。。的半径为2.

3.（2024春•温州月考）如图，45是。。的直径，AC=BG£是。5的中点，连结C£并延长到点产，使

EF=CE.连结/歹交。。于点。，连结AD,BF.

(1)求证：直线8尸是。。的切线.

(2)若/尸=5,求AD的长.

C

A

【分析】(1)连接。C、OF,证明四边形OE8C是平行四边形，贝尸〃。C,由众=和得NC=8C,贝。

OCVAB,ZABF=ZBOC=90°,可证明8尸是。。的切线；

(2)由是。。的直径得NADB=N/CB=90。，则NC2/=45。，可证明用=。5=。/=工

2

AB,根据勾股定理求出48、3斤的长，再证明/24DS/E42,根据相似三角形的对应边成比例即可求

出BD的长.

【解答】(1)证明：如图，连接OC、OF,

C

A

•：EF=CE,OE=BE,

四边形OE8C是平行四边形,

J.BF//OC,

VAC=BC.

：.AC=BC,

'COA^OB,

：.OCLAB,

：.ZABF=ZBOC=90°,

是。。的半径，且跳LL02,

直线8厂是。。的切线.

(2)解：如图，・・ZB是。。的直径，

NADB=/ACB=90。,

：・NCAB=NCBA=45。,

•：OC=OB,

：・/OCB=/OBC=45。,

：./BFO=/OCB=45。,

YOF//BC,

：./BOF=/OBC=45。,

：.ZBFO=ZBOF,

:.FB=OB=OA=LB,

2

9：FB2+AB2=AF2,且/广=5,

.・・(LB)2+432=52,

2

:・AB=2遍,

:.FB=1~AB=后

2

ZADB=NABF=90°,/BAD=ZFAB,

：.ABADsAFAB,

・BD=AB2V5.

"FBAF5

:・BD=FB^2V5XA/5=2,

55

：.BD的长为2.

4.(2023秋•黄岩区期中)如图，在A48C中，AC=BC,以8C为直径的半圆。交N8于点。，过点。作

半圆。的切线，交4c于点、E.

(1)求证：/ACB=2/ADE；

(2)若DE=3,/ADE=30。,求而的长.

A

/\E

B0C

【分析】(1)连接。。、CD,根据切线的性质得到NODE=90。，根据圆周角定理得到N5Z)C=90。，求

得NADE=NODC,根据等腰三角形的性质即可得到结论；

(2)根据勾股定理得至lj的二］§2+(«)2=2A/^，tanA=V3»求得N4=60。,推出A45C是等边三角

形，得到N5=60。，BC=AB-2AD=4V3，根据弧长公式即可得到结论.

【解答】解：(1)连接CD,

•「DE是。。的切线，

；・/ODE=90。,

：.ZODC+ZEDC=90°,

•:5C是。。的直径，

/BDC=9U。,

：.ZADC=90°f

：.NADE+/EDC=90。,

：.ZADE=ZODC,

•：AC=BC,

：.ZACB=2ZDCE=2ZOCD,

•：OD=OC,

：,/ODC=/OCD,

(2)由(1)可知，ZADE+ZEDC=90°,NADE=/DCE,

：.ZAED=90°f

YDE=3,AE二百，

AAD=V32+(V3)2=2V3,tanA=V3,

・•・NN=60。，

•：AC=BC,

J.AABC是等边三角形,

•••ZB=60°,BC=AB=2AD=4a，

：.ZCOD=2ZB=nQo,0C=2«，

...而的长=n兀r=120•兀x2\反=4相二

1801803

5.（2022秋•临海市期末）知识重现：如图1,我们已经分三种情况探究了一条弧所对的圆周角NA4C和它

所对的圆心角ZBOC的数量关系.

图2

①直接写出ZBAC和ZBOC的数量关系—ZBAC=yZBOC—;

②任选一种情况进行证明.

迁移应用：如图2,已知―台。内接于。O,直线。E是。。切线，切点为N,求证：ZCAE=ZABC.

【分析】知识重现：①猜想：/BAC='/BOC；

②利用三角形外角性质及角的和差求解即可.

迁移应用：作直径/尸，根据切线性质得：04LDE,则NC4E+NE4c=90。，由直径所对的圆周角为直

角，则//C尸=90。，即//尸C+NE4c=90。，由同角的余角得出结论.

【解答】知识重现：①解：猜想：NBAC="^NBOO

故答案为：ZBAC=-j-ZBOC;

②证明：情况①，作直径

A

情况①

•；OA=OB,

・・・N1=N3.

:.Z5OZ)=Z1+Z3=2Z1,

同理NCOZ)=2N2,

ZBOC=ZBOD+ZCOD=2ZBAC,

*/1/

••ZBAC=yZBOC»

情况2,当点。在NR4C的一边上时,

情况②

*：OA=OC,

AZ1=Z2,

由外角可得，N5OC=N1+N2,

・•・ZBOC=2Z1,

­•ZI^-ZBOC-即NBAC=/NBOC，

情况③

"：OA=OB,

；・/OAB=NOBA,

：.ZBOD=NOAB+NOBA=2NOAB,

同理NCOD=2N£UC,

ZBOC=ZCOD-NBOD=2NDAC-2NOAB=2NBAC,

•/1/

••ZBAC=yZBOC-

迁移应用：证明：作直径NR交。。于尸，连接CR如图2,

图2

•・・。£为。。的切线，

C.OALDE,

：.ZCAE+ZFAC=90°,

•・Zb为。。的直径，

ZACF=90°f

：.ZAFC+ZFAC=90°,

：.ZAFC=ZCAE,

,:/CBA=/AFC,

：.ZCAE=ZABC.

6.(2024•镇海区校级模拟)如图①，。。是△45。的外接圆，点。在上，延长力8至点。，使得NQCB

=ZCAB.

(1)求证：。。为。。的切线；

(2)若N4C5的角平分线CE交线段45于点产，交源于点£,连接如图②，其中CD=4,tanN

CEB=工,求CF・CE.

2

cc

E

图①图②

【分析】(1)连接OC,则NOC4=NC45,而/DCB=NC4B,所以NDC2=NOC4由48是。。的

直径，得//CB=90。，则/。。=/。。8+/。。8=/。。8+/。。/=//&9=90。，即可证明DC是。O

的切线；

(2)作切_L/C于点“，可证明N77CF=N〃FC=45。，则F〃=C〃，由NN=/CE5,得胆=22=taiL4

HACA

=tan/CE3=_l,则型=_1,HA=2FH,由FH〃BC,得巫=史=工，所以E4=25R再证明△DC5

2HA2FAHA2

s^DAC,得毁=型=区=_1,所以8D=LCD=2,AD=2CD=S,AB=AD-BD=6,可求得3尸=

CDADCA22

2,FA=4,由五炉+(2FH)2=42,求得CH=FH=^^,则。尸=而西莉?=空9匝_,再证明△EFS

55

s△力/C,得巫=鸣，求得FE=BF，FA=妨3,所以CE=CF+FE=歙了,于是得0尸・"=必_.

CFFACF55

【解答】(1)证明：如图①，连接OC,则oc=cu,

：.ZOCA=ZCAB,

•・・/DCB=/CAB,

：./DCB=/OCA,

•・ZB是。。的直径，

・・・/4CB=90。,

JZOCD=ZOCB+/DCB=4OCB+ZOCA=ZACB=90°,

•「OC是。。的半径，＞z)c±oc,

・・・OC是。。的切线.

(2)解：如图②，作FHJ_4C于点H,则NCHF=N4HF=90。，

VZACB=90°,CE平分NACB,

：./ACE=NBCE=45。,

：.ZHCF=ZHFC=45°,

；.FH=CH,

,//A=NCEB,

_52_=tanA=tanZCEB=A,

HACA2

.•.史=JL,HA=2FH,

HA2

,/ZAHF=ZACB=90°,

J.FH//BC,

•BF=CH=1

^FAHA~2

：.FA=2BF,

VZDCB=ZDAC,ND=/D,

：.△DCBs^DAC,

•BD=CD=BC=1

"CDADCA

：.BD=l-CD=l.x4=2,/D=2CD=2x4=8,

22

：.AB=AD-BD=S-2=6,

：.2BF+BF=6,

：.BF=2,FA=4,

：.FH2+(.2FH)2=42,

：.CH=FH=^H-,

5

.S而俞J唔)唔产=耍

•:NE=/A,/EFB=NAFC,

：.△EFBs^AFC,

•BF=FE

*'CFFA'

依，

CF4V10

5

；・CE=CF+FE=±ZIL+VTO=-^-；

55

.•.C-C£=@x@=逊.

555

c

H

E

图②

图①

7.（2023•鹿城区校级三模）如图，在八42。中，F为AC上一点,以CF为直径的半圆。与48相切于点

E,与8c相交于点。，且£为命的中点，连结DE,DF,过点尸作尸G〃£»E交4E于点G.

（1）求证：四边形OEG尸为平行四边形.

（2）若。为5c中点，AG=&，求半圆。的半径.

【分析】（1）连接OE，OD,根据切线的性质得到根据圆周角定理得到NE0F=J*/D0F，根

据平行线的性质得到3CL/2,根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）如图，设OE与DF交于

H,根据平行四边形的性质得到。尸〃EG,DF=EG,求得根据垂径定理得到。

2

DF,得到CF=/尸，根据勾股定理即可得到结论.

【解答】（1）证明：连接O£,OD,

：48与。。相切，

：.OELAB,

为命的中点，

•••EF=DE，

*/1/

・・NEOF=彳/DOF，

丁NC卷NDOF，

：.ZC=/EOF,

J.OE//BC,

：.BCLAB,

•:B是。。的直径，

C.DFLBC,

C.AB//DF,

•:FG〃DE,

・・・四边形DEGF为平行四边形；

(2)解：如图，设OE与DF交于H,

・・・四边形DEGF为平行四边形，

：.DF//EG,DF=EG,

9：OE±AB,

：.OE±DF,

:.DH=FH=LDF,

2

•.•。为2C中点，

：.BD=CD,

：.CF=AF,

.1

••DFJAB=AG+BE，

,//B=ZBEH=/DHE=90°,

四边形是矩形，

/.BE=DH=1~DF=AG=®,

2

:.DF=2®,

设CD=BD=x,

则EH=x,

"：CO=OF,

rri=Ax,

2卬2

2

:.CF=AF=2OE=3x,

：.AC=6x,

•：AB2+BC2=AC2,

：.(V2+2V2+V2)2+(2x)2=(6x)2

解得x=l(负值舍去)，

半圆。的半径为3.

2

8.(2023春•下城区校级月考)如图，在RtA48C中，ZABC=90°,以N8为直径作。O,交NC于点£),

点E是2c的中点，连结DE,BD.

(1)判断。£与。。的位置关系，并证明你的结论.

(2)若sinC=3,DE=4,求S&QE.

5

A

BEC

【分析】（1）连接。。，由圆周角定理，等腰三角形的性质推出NOD2+NADE=90。，得到半径

DE,即可证明问题；

（2）作EXL/C于由相似三角形的性质求出/D,3。长，由三角形中位线定理求出的长，即可

求解.

【解答】解：（1）。£与。。相切，理由如下：

连接OD,

是。。的直径，

ZADB=90°,

.\Z5Z）C=180°-/ADB=90。,

是BC的中点，

:.DE=LBC,

2

,:BC=2BE

：.DE=BE,

：./EBD=ZBDE,

"：OD=OB,

；./OBD=/ODB,

：./ODB+/BDE=ZABD+ZDBE^ZABC^90°,

二半径ODLDE,

二。£与。。相切；

（2）作E〃_L/C于"，

由（1）知

2

:.BC=2DE=2x4=8,

sinC=-^-=—,

AC5

令AB=3xAC=5x,

22

:・BC=7AC-AB=以，

，4x=8,

•・x=2,

：.AB=3x=6,AC=5x=10

ZABD+ZBAD=ZC+ZBAD=90°,

/ABD=/C,

•・•/ADB=NABC=9。。,

：.AABD^AACB,

：.AD：AB=BD：BC=AB；AC,

：.AD：6=BD：8=6：10,

・・・4。=迪，BD=丝,

55

•：BDL4C,EHA.AC,

：.BD//EH,

:.DH：HC=BE：EC,

■:BE=EC,

：.DH=HC,

・・・£7/是△C5。的中位线，

：.EH=坦

25

-c_1«E_lx18x12-108

21m25525

9.（2023•西湖区校级三模）如图，以A18C的一边为直径作OO,。。与3c边的交点。恰好为8c的

中点，DELAC.

（1）求证：DE为圆。的切线；

（2）连接。C交。E于点尸，若cos/ABC驾，求里的值.

8FC

【分析】(1)连接40、0D,则由是。。的直径，得N4D2=90。，则40垂直平分

BC,所以NC=/8,则/3=//C8,所以MOD//AC,所以/。。£=/。£^=90。，

即可证明DE为。。的切线；

(2)由N/OC=//D8=90°,ZACB=ZB,得患=I^=cosN/C8=cosN/8C=&,设C£=3〃?，

DCAC8

则DC=8m,所以/C=&。。=男，由三角形的中位线定理得0Z)=Lc=丝切，即可求得见=毁=

3323FCCE

32

V

【解答】(1)证明：连接OD,则。。=。8,

:./B=/0DB,

是。。的直径，

ZADB=90°,

•.•。是2C的中点，

：.AD垂直平分BC,

:.AC=AB,

：./B=NACB,

：.AODB=AACB,

J.OD//AC,

；DELAC,

：.ZODE=ZDEC=90°,

是。。的半径，且DE_L。。，

...£)£为。。的切线.

(2)解：VZADC=ZADB=90°,ZACB=ZB,

强_=匹_=cosZACB=cos/ABC=—,

DCAC8

设C£=3m,则DC=8加，

4C=旦0。=&x8加=胆力，

333

;点。、。分别是8/、8c的中点，

/.OD=A-4C——x,

2233

,?ZODF=NFEC=90°,ZOFD=ZCFE,

更1=sin/OFD=sinZCFE=雪,

OFFC

32

OF=OD=丁，32

FCCET，

业的值为丝.

10.(2023•绍兴模拟)如图，。是以为直径的。。上一点，过点。的切线交的延长线于点£,过点8

作即U0E,垂足为点R延长AF交4D的延长线于点C.

(1)求证：AB=BC；

C,从而得到8/=3C；

(2)连接2,如图，先根据圆周角定理得到N4D3=90。，则利用正弦的定义计算出8。=3,再证明N

BDF=ZA,则在RtaaC/中利用正弦的定义求出"=旦，然后证明△EB/则利用相似比可

5

求出的长.

【解答】(1)证明：切。。于。，

：.OD±DE,

"：BF±DE,

：.OD//BC,

：.ZODA=ZCf

*：OA=OD,

:./A=NODA,

：.ZA=ZCf

；・BA=BC；

(2)解：连接班，如图，

为直径，

/ADB=90。,

在RtAADB中，*.*siiL4=地＞=3,

AB5

50=3x5=3,

5

VZBDF+ZBDO=90°,ZBDO+ZODA=90°,

：./BDF=/ODA,

而NOZX4=N4,

:.ZBDF=ZA,

在RtABDF中，Vsin/BDF=巫=3,

BD5

・・・w=gx3=a,

55

YBF〃OD,

：.△EBFs^EOD,

旦

.BE=BF即BE「5

OEOD1+BEA

2邓匕2

解得8E=至，

7

即线段8尸的长为且，BE的长为生.

57

IF

11.（2023春•东阳市期中）如图，是。。的切线，8为切点，直线NO交。。于C,。两点，连接3C,

BD.过圆心。作8C的平行线，分别交N8的延长线、。。及8。于点£,F,G.

（1）求证：尸是面的中点；

（2）求证：/D=/E；

（3）若尸是的中点，。。的半径为6,求阴影部分的面积.

【分析】（1）根据圆周角定理，平行线的性质，垂径定理即可得到结论；

（2）连接。5,由切线的性质得出NE+/3OE=90。，由圆周角定理得出/。+/。。3=90。，证出N30E

=ZOCB,则可得出结论；

（3）求出N3OG=60。，由三角形面积公式及扇形的面积公式可得出答案.

【解答】（1）证明：是。。的切线,

：.NOBE=90°,

'COE//BC,

：.ZDGO=ZDBC=90°,

C.BDLOF,

.•.DF=BF-

是面的中点；

（2）证明：连接。3,

：・NOBE=90。,

：.ZE+ZBOE=90°,

•「CD为。。的直径，

：.ZCBD=9Q0,

：.ZD+ZDCB=90°f

U：OE//BC,

：.ZBOE=ZOBC,

•：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

：./BOE=/OCB,

：.ND=NE；

(3)解：•・,斤为OE的中点，OB=OF,

：・OF=EF=6,

：.OE=12,

:.BO=LOE,

2

•・・/OBE=90。,

・•・NE=30。，

NBOG=60。，

9：OE//BC,ZDBC=90°,

・・・NOG5=90。，

AOG=3,8G=3%，

••S^B(JG=^OG9BG=—X3X3^/3=^X±L,S扇形BOF=旺31=6兀,

222360

,S阴影部分=S扇形BOF-SABOG=6TI-------

2

12.(2023•永康市一模)如图，A45C内接于。O,N8为。。的直径，点尸在。。上，连接CF交加？于点

E,延长C尸至点D,连接/D已知8C=C£=3,AB=9,ZDAF=ZACD.

(1)求证：ND为。。的切线；

(2)求A48C的N8边上的高；

(3)求。尸的长.

【分析】(1)连接瓦先证得/〃D=//8R再证得口+N8/尸=90。，可得/E4O+/8/尸=90。,

即可证明/。为。。的切线；

(2)作CT_L42于点T,先证明aBC7s△3/c,可得£工整_,再求出27=1,最后可得结果；

BCAB

(3)先求出/E=7,再证△BCES/\F4E,可得出型_,ppJA,然后再证明△CETS^DE/,可得

AEEF3

出出里，金_』，求出的长，最后可求得结果.

DEAEDE7

【解答】(1)证明：连接8尸

AF=AF，

・•・NACD=NABF,

ZFAD=ZACD,

：./FAD=NABF,

・・Z5为。。的直径，

・•・NAFB=NACB=90。,

：.ZABF+ZBAF=90°f

/.ZFAD+ZBAF^90°,

为。。的切线；

(2)解：作C7U/8于点T.

:.BT=ET,

,?ZCBT=/ABC,ZACB=NBTC=90。,

：.△BCTS^BAC,

•••BT=BC,oanpBT=—3,

BCAB39

:・BT=\,

：.BE=2,CT=2V2，

・•・AABC的AB边上的高是2V2；

(3)・；4B=9,BE=2,

：.AE=9-2=7,

•:BC=CE,

：./ABC=NBEC,

VAC=AC)

ZABC=/AFE,

'：/BEC=ZAEF,

：.ZAFE=ZAEF,

：.AF=AE=rl,

VZABC=ZAFE,NBEC=/FEA,

：.△BCEs^FAE

・CEBE由14

AEEF3

VCT//AD,

/.ZCTE=/DAE,NECT=ZEDA,

；.4CETS4DEA,

•■•CE=ET

DEAE

BP-LJL,

DE7

：.DE=2\,

，DF=21-券粤

13.（2023•镇海区校级一模）如图，AB,BC,CD分别与。。相切于E,F,G三点，且EG为。。的直径.

（1）延长。凡仍交于点尸，若2E=1,2EBF=2/0PC,求图中阴影部分的面积;

（2）连结8G,与。尸交于点M,若BE=1,OE=2,求她的值.

【分析】（1）如图1,连接08、OC,根据切线性质可得：NOBE=NOBF,ZBOE=ZBOF,ZOCF=

ZOCG,NC0F=NCOG,直径EG_L/2,半径。尸_L2C,直径EG_LCD,结合NEBF=2/0PC,可得

ZCOF=ZOPC,推出CP=C。，利用三角函数定义可得sin/OPE=2L=」，即/0尸£=30。=

OP2

进而可得OE—OF—OG—Vs，再利用解直角三角形求得CG=3,即可得出S四边形CFOG=S^COKSACOG=

3^/3,再运用扇形面积公式求得S扇形OFG=』"。兀'=兀，利用S阴影=S四边形CFOG-S扇形0FG，

360

即可求得答案；

（2）如图2,连接。2,0C,过点8作于点X,交。尸于点尸，设CF=CG=无，由四边形2EG8

是矩形，可得：BH=EG=2OE=4,GH=BE=\,CH=CG-GH=x-1,利用勾股定理可得：CH=4-1

=3,5C=x+l=4+l=5,再由△PBFsacBH,/\MOG^^MPB,即可得出答案.

【解答】解：（1）如图1,连接。2、OC,

图1

•；AB,BC,CD分别与。O相切于E,F,G三点，

：・/OBE=/OBF,/BOE=/BOF,ZOCF=ZOCGf/COF=/COG,

直径EG_L/8,半径。尸_L5C,直径EG_LCD,

:.AB〃CD,/OBE+/BOE=9G。,/OBF+/BOF=90。,ZOCF+ZCOF=90°f/OCG+/COG=90。,

/BOE+/BOF+/COF+/COG=180。,

：.ZBOF+ZCOF=90°,

：.ZOBE=ZOBF=ZCOF=ZCOG,

・•・ZEBF=2ZOBF=2ZCOF,

*.*/EBF=2/OPC,

：.ZCOF=ZOPC,

:・CP=CO,

•：OF1BC,

：.OP=2OF=2OE,

sinZOPE=_Q5_=工

OP2

・・・NO尸£=30。，

・•・/POE=60。,

：./BOE=30。,

在RtaOBE中，^L=tmZBOEf

0E

OE=--------=---1---=^3，

tan/BOEtan300

：・OF=OG=M，

VZCOF+ZCOG=ZF(9G=180°-60。=120。，ZCOF=ZCOGf

：.ZCOF=ZCOG=60°,

在R3COG中，tan/COG="，

0G

CG=OG«tanZCOG=A/3tan60°=3,

在△CO尸和△COG中，

，ZC0F=ZC0G

<OF=OG，

1ZOFC=ZOGC=90°

:.△COF冬ACOG(ASA),

••SACOF=SACOG=

2

二,S四边形CFOG=SAc。卢SACOG=3^^+3^^=3

22

120兀•(“产

,S扇形OFG兀，

360

「•S阴影=S四边形BOG-S扇形NG=3-71;

(2)如图2,连接03,OC,过点8作瓦/，Z)C于点凡交。厂于点P,

由(1)知：AOEB=ZOFB=ZOFC=ZOGC=90°,OE=OF=OG,

■:AB,BC,CD分别与。。相切于£,F,G三点,

:・BE=BF=\,CF=CG,

设CF=CG=x,

ZGEB=ZEGH=/BHG=90°,

・•・四边形BEG”是矩形，

:・BH=EG=2OE=4,GH=BE=\,

：.CH=CG-GH=x-1,

在中，BH1+CH1=BC1,

：.42+(X-1)2=(x+1)2,

解得:x=4,

：.CH=4-1=3,8c=x+l=4+l=5,

ZPFB=NBHC=90°,ZPBF=ZCBH,

：.△PBFsMBH,

•BP=BF

,,而BH，

•RP=BF・BC=1X5=5

一BH4丁

'：EG//BH,

:"MOG=/MPB,NMGO=NMBP,

：.AMOGsAMPB,

5_

•BM=BP=1=5

MG0G28

14.(2023•义乌市校级模拟)如图，45是圆。的直径，PB,尸C是圆O的两条切线，切点分别为8,C.延

长24尸C相交于点D.

(1)求证：ZCPB=2ZABC.

(2)设圆。的半径为2,sin/P8C=2,求PC的长.

【分析】（1）连接OC,根据切线的性质，四边形的内角和，圆周角定理即可证明；

（2）连接OP,OC,OP和2C交于点E,根据切线长定理求得2ELP。，再利用三角函数，勾股定理解

RtAOBE和RtAPBE即可解答.

【解答】（1）证明：如图连结OC,

,:PB,PC是圆。的两条切线,

:・PC=PB,ZPCO=ZPBO=90°,

：.ZCPB+ZBOC=1SO0,

ZDOC+Z5OC=180°,

：.ZCPB=ZCOD,

•；NC0D=2NABC,

；・/CPB=2/ABC；

(2)解：如图连接。尸，OC,。尸和5C交于点E,

由切线长定理可得尸3=PC,ZCPO=ZBPO,

•；PE=PE,

：.^PEC^/\PEB("S),

・•・NPEC=NPEB=90。,

/尸50=90。，

NPOB=NPBE,

♦：OB=2,sin/P5C=2,

3

・•・BE=OBsinZPOB=A,

3

0£=22

•*-VOB-BE=-|V5，COS/POB=黑噂,

15.(2023秋•拱墅区校级月考)如图，△/2C是以48为直径的。。的内接三角形，3。与。。相切于点3,

与NC的延长线交于点D,E是AD的中点，CE交A4的延长线于点?

(1)求证：FC是。。的切线；

(2)若AD=4,2EF=3BE.求2尸的长和。。的半径.

【分析】(1)连接OC,根据切线的性质得到//AD=90。，根据直角三角形的性质得到2E=C£,求得

ZBCE=ZCBE,根据等腰三角形的性质得到NOC8=/O8C,求得/OCE=90。，根据切线的判定定理

即可得到结论；

(2)根据直角三角形的性质得到8E=CE=U3。=2,根据勾股定理即可得到结论.

2

【解答】(1)证明：连接OC,

与。。相切于点8,

NABD=90°,

：./CBE+NOBC=90。,

是。。的直径，

ZACB=ZBCD=90°,

,:E是BD中点，

：.BE=CE,

NBCE=NCBE,

,：OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC,

/./BCE+/OCB=9。。,

：.ZOCE=90°,

'：0c是。。的半径，

是。。的切线；

(2)解：；BD=4,N2CD=90。，点E是AD中点,

;.BE=CE=LBD=2,

2

•：2EF=3BE,

：.EF=3,

在中，51=五,2_而2=遥，

由(1)得NOCF=N4BD=90。,

设OC=x,贝UOF=BF-OB=4S-x,

,：OF2-OC2=FC2,

(5/5_x)2-x2=I2,

解得：x=2VL,

5

；.。。的半径为2娓.

16.(2023•萧山区校级一模)如图，在A48C中，AB=AC.以N8为直径的。。与线段8c交于点。，过点

。作。EL/C,垂足为E,ED的延长线与N2的延长线交于点尸.

(1)求证：直线PE是。。的切线；

(2)若。。的半径为6,/尸=30。，求CE的长.

A

【分析】(1)连接。。，根据AB=/C,OB=OD,得N4CB=N0DB,从而0O〃NC,由DE_L4C,即

可得P£J_。。，故P£是。。的切线;

(2)连接4D,连接OD,由DE_L4C,NP=30。，得/P4E=60。,又4B=AC,可得A42C是等边三角

形，即可得8c=A8=12,ZC=60°,而45是。。的直径，得//。8=90。，可得Br>=CD=」JC=6,

2

在RtZiCDE中，即得CE的长是3.

【解答】(1)证明：连接0。，如图：

•；4B=4C,

：.ZABC=ZACB,

,；OB=OD,

：.NABC=NODB,

：.ZACB=ZODB,

：.OD//AC,

'JDELAC,

C.DELOD,§PPELOD,

是。。的半径，

；.尸£是。。的切线；

(2)解：连接连接。。，如图:

A

:DEL4C,

：./AEP=90。,

•・•N尸=30。，

・•・ZPAE=60%

*：AB=AC,

：.AABC是等边三角形，

・・・NC=60。，

・・,。。的半径为6,

：.BC=AB=U,

是。。的直径，

/ADB=90。,

:・BD=CD=1~BC=6,

2

在RtaCDE中，

CE—CZ>cosC=6xcos60°=3,

答：CE的长是3.

17.(2024•西湖区校级二模)如图，A48C内接于OO,是。。的直径，过点力的切线交BC的延长线于

点、D,E是。。上一点，点C,E分别位于直径48异侧，连接BE,CE,S.ZADB=ZDBE.

(1)求证：CE=CB；

(2)求证：/BAE=2NABC；

(3)过点C作C户，N2,垂足为点尸，若求tan/4BC的值.

SAABE3

D

【分析】（1）根据是。。的直径，AD为。。的切线，^ADLAB,ZAEB=90°,则=

90°,ZAEC+ZCEB=90°,MtMJgZABD=ZAECZADB=ZCEB,进而再由//£>8=408£■得/CE5

=/DBE,据此可得出结论；

（2）连接C。并延长交于〃，贝1J//OC=2N/5C,由（1）的结论可知C£=C8,则令=窟，由垂

径定理得NXLBE,再根据N2是。。的直径得N/£2=90。，由此可得NE〃CH,则/R4E=N/OC,据

此可得出结论

（3）证A48E和△OCF相似得/£：OF=BE：CF=AB-.OC=2,贝U/E=2ORBE=2CF,设。。的半

径为r,OF=x,则4E=2x,BF=OB+OF=r+x,由,&ECF得上!主上_,由此解出》=2二，则%?=

SAABE84x87

，=如，然后在RtaOC尸中，由勾股定理求出C尸=2运三，最后再根据锐角三角形的定义可得tan/

77

48c的值.

【解答】（1）证明：是。。的直径，为。。的切线，

：.ADLAB,ZAEB=90°,

：.ZADB+ZABD=90°,NAEC+/CEB=9G0,

,?ZABD=/AEC,

：./ADB=/CEB,

ZADB=ZDBEf

:・/CEB=/DBE,

：.CE=CB；

（2）证明：连接CO并延长交5E于X,如图所示：

D

E\/

•；OB=OC,

：./ABC=/OCB,

：.ZAOC=ZABC+ZOCB=2AABC,

由(1)的结论可知：CE=CB,

ACE=CB，

：.AHLBE,

是。。的直径，

・•・/AEB=90。,

即AELBE,

：.AE//CH,

：.NBAE=/AOC,

：.ZBAE=2ZABC；

(3)解：・.78是。。的直径，CFLAB,

：・/BEA=NCFO=90。,AB=2OC,

又・・ZE〃C〃，

・•・/BAE=NAOC,

：.AABESAOCF,

：.AE：OF=BE：CF=AB：OC=2,

：.AE=2OF,BE=2CF,

设。。的半径为八OF=x,

则Z£=2x,BF=OB+OF=r+x,

:・SMCF=LBF・CF=L(H-X)•CF,%M=LE・5E=_LX2X・2CF=2X・CR

2222

S

.•.--A-B-C-F---9-，

SAABE'

y(r+x)*CFq

2x<FT

即也3

4x8

解得：x=立，

7

".BF—r+x—r+-^-=^-,

77

在Rt^OC/中，。尸