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文档简介

圆的综合证明问题20题专题训练

1.(2024•定海区三模)如图,P为。。的直径A4延长线上的一点,PC为。。的切线,切点为C,CDLAB

于。,连接/C.

(1)求证:NC平分/PCD;

(2)若上4=3,AC=V3.求。。的半径.

【分析】(1)连接OC,则/OC8=/8,由切线的性质得尸CLLOC,而8/是。。的直径,CDJ_48于

D,则NADC=N/C2=NOCP=90。,可证明N0C8=N/CP,则N/CP=/2,因为//CD=/2=90。-

ZBAC,所以//CP=N/CD,即可证明/C平分NPCA

(2)设。。的半径为%则P8=3+2r,可证明△P/Cs△尸eg得骂_=毁=竺_,则9。2=尸衣必,推

PBPCCB

导出PC=MCB,贝!|(V3CS)2=3(3+2r),所以。5=3+2/,由勾股定理得(%)2+3+2r=(2r)

2,即可求得。。的半径长为3.

2

【解答】(1)证明:连接。C,则。。=。2,

:.ZOCB=ZB,

与。。相切于点C,

C.PCLOC,

:台/是0。的直径,CDL4B于D,

:.NADC=ZACB=ZOCP=90°,

:.ZOCB=ZACP=90°-AOCA,

:./ACP=NB,

":/4CD=/B=90°-ABAC,

:.ZACP=ZACD,

;.NC平分/尸。).

(2)解:设。。的半径为r,则48=2r,

;尸/=3,AC=M,

;.P2=3+2r,

由(1)和N/CP=NB,

,//P=/P,

:.△PACs^pcB,

•PC=PA=AC

"PBPCCB'

:.PC2=PA,PB,PC=PA'CB=&CB=«C3,

ACV3

二(V3CS)2=3(3+2r),

;.C52=3+2r,

':AC2+CB2^AB2,

:.(V3)2+3+2r=⑵)2,

解得广=3,『2=-1(不符合题意,舍去),

2

2.(2024春•淳安县期中)如图,AABC内接于。O,是。。的直径,过点C作。。的切线交48的延长

线于点。,BELCD,£8的延长线交。。于RCF交AB于点、G,ZBCF=ZBCD.

(1)求证:BE=BG;

(2)若BE=l,求。。的半径.

【分析】(1)由切线的性质可得N0C3+/3c0=90。,由/2CF+N02C=90。,可证2G_LC凡可得BE

=BG;

(2)由是。。的直径,可知3c=5尸,又因为/3CF=N2CD,可知NO2C=60。,△03C为等边三

角形,即可求出答案.

【解答】(1)证明:如图,连接OC,

•「CD是。。的切线,

0C1CD,

:・/OCB+/BCD=90。,

•:OC=OB,

:.ZOCB=ZOBC,

丁/BCF=/BCD,

:.ZBCF+ZOBC=90°,

:.ZBGC=90°f即5G_LCR

VZBCF=ZBCDfBELCF,

:,BE=BG:

(2)解:・・ZB是。。的直径,CFLAB,

•••BC=BF>

;・BC=BF,

:./BCF=/F,

■:BELCD,NBCF=NBCD,

:.ZBCF=ZBCD=ZF=30°,

AZO5C=60°,

:.BC=2,

':OB=OC,ZO5C=60°,

:./\OBC为等边三角形,

;.OB=BC=2,

即。。的半径为2.

3.(2024春•温州月考)如图,45是。。的直径,AC=BG£是。5的中点,连结C£并延长到点产,使

EF=CE.连结/歹交。。于点。,连结AD,BF.

(1)求证:直线8尸是。。的切线.

(2)若/尸=5,求AD的长.

C

A

【分析】(1)连接。C、OF,证明四边形OE8C是平行四边形,贝尸〃。C,由众=和得NC=8C,贝。

OCVAB,ZABF=ZBOC=90°,可证明8尸是。。的切线;

(2)由是。。的直径得NADB=N/CB=90。,则NC2/=45。,可证明用=。5=。/=工

2

AB,根据勾股定理求出48、3斤的长,再证明/24DS/E42,根据相似三角形的对应边成比例即可求

出BD的长.

【解答】(1)证明:如图,连接OC、OF,

C

A

•:EF=CE,OE=BE,

四边形OE8C是平行四边形,

J.BF//OC,

VAC=BC.

:.AC=BC,

'COA^OB,

:.OCLAB,

:.ZABF=ZBOC=90°,

是。。的半径,且跳LL02,

直线8厂是。。的切线.

(2)解:如图,・・ZB是。。的直径,

NADB=/ACB=90。,

:・NCAB=NCBA=45。,

•:OC=OB,

:・/OCB=/OBC=45。,

:./BFO=/OCB=45。,

YOF//BC,

:./BOF=/OBC=45。,

:.ZBFO=ZBOF,

:.FB=OB=OA=LB,

2

9:FB2+AB2=AF2,且/广=5,

.・・(LB)2+432=52,

2

:・AB=2遍,

:.FB=1~AB=后

2

ZADB=NABF=90°,/BAD=ZFAB,

:.ABADsAFAB,

・BD=AB2V5.

"FBAF5

:・BD=FB^2V5XA/5=2,

55

:.BD的长为2.

4.(2023秋•黄岩区期中)如图,在A48C中,AC=BC,以8C为直径的半圆。交N8于点。,过点。作

半圆。的切线,交4c于点、E.

(1)求证:/ACB=2/ADE;

(2)若DE=3,/ADE=30。,求而的长.

A

/\E

B0C

【分析】(1)连接。。、CD,根据切线的性质得到NODE=90。,根据圆周角定理得到N5Z)C=90。,求

得NADE=NODC,根据等腰三角形的性质即可得到结论;

(2)根据勾股定理得至lj的二]§2+(«)2=2A/^,tanA=V3»求得N4=60。,推出A45C是等边三角

形,得到N5=60。,BC=AB-2AD=4V3,根据弧长公式即可得到结论.

【解答】解:(1)连接CD,

•「DE是。。的切线,

;・/ODE=90。,

:.ZODC+ZEDC=90°,

•:5C是。。的直径,

/BDC=9U。,

:.ZADC=90°f

:.NADE+/EDC=90。,

:.ZADE=ZODC,

•:AC=BC,

:.ZACB=2ZDCE=2ZOCD,

•:OD=OC,

:,/ODC=/OCD,

(2)由(1)可知,ZADE+ZEDC=90°,NADE=/DCE,

:.ZAED=90°f

YDE=3,AE二百,

AAD=V32+(V3)2=2V3,tanA=V3,

・•・NN=60。,

•:AC=BC,

J.AABC是等边三角形,

•••ZB=60°,BC=AB=2AD=4a,

:.ZCOD=2ZB=nQo,0C=2«,

...而的长=n兀r=120•兀x2\反=4相二

1801803

5.(2022秋•临海市期末)知识重现:如图1,我们已经分三种情况探究了一条弧所对的圆周角NA4C和它

所对的圆心角ZBOC的数量关系.

图2

①直接写出ZBAC和ZBOC的数量关系—ZBAC=yZBOC—;

②任选一种情况进行证明.

迁移应用:如图2,已知―台。内接于。O,直线。E是。。切线,切点为N,求证:ZCAE=ZABC.

【分析】知识重现:①猜想:/BAC='/BOC;

②利用三角形外角性质及角的和差求解即可.

迁移应用:作直径/尸,根据切线性质得:04LDE,则NC4E+NE4c=90。,由直径所对的圆周角为直

角,则//C尸=90。,即//尸C+NE4c=90。,由同角的余角得出结论.

【解答】知识重现:①解:猜想:NBAC="^NBOO

故答案为:ZBAC=-j-ZBOC;

②证明:情况①,作直径

A

情况①

•;OA=OB,

・・・N1=N3.

:.Z5OZ)=Z1+Z3=2Z1,

同理NCOZ)=2N2,

ZBOC=ZBOD+ZCOD=2ZBAC,

*/1/

••ZBAC=yZBOC»

情况2,当点。在NR4C的一边上时,

情况②

*:OA=OC,

AZ1=Z2,

由外角可得,N5OC=N1+N2,

・•・ZBOC=2Z1,

­•ZI^-ZBOC-即NBAC=/NBOC,

情况③

":OA=OB,

;・/OAB=NOBA,

:.ZBOD=NOAB+NOBA=2NOAB,

同理NCOD=2N£UC,

ZBOC=ZCOD-NBOD=2NDAC-2NOAB=2NBAC,

•/1/

••ZBAC=yZBOC-

迁移应用:证明:作直径NR交。。于尸,连接CR如图2,

图2

•・・。£为。。的切线,

C.OALDE,

:.ZCAE+ZFAC=90°,

•・Zb为。。的直径,

ZACF=90°f

:.ZAFC+ZFAC=90°,

:.ZAFC=ZCAE,

,:/CBA=/AFC,

:.ZCAE=ZABC.

6.(2024•镇海区校级模拟)如图①,。。是△45。的外接圆,点。在上,延长力8至点。,使得NQCB

=ZCAB.

(1)求证:。。为。。的切线;

(2)若N4C5的角平分线CE交线段45于点产,交源于点£,连接如图②,其中CD=4,tanN

CEB=工,求CF・CE.

2

cc

E

图①图②

【分析】(1)连接OC,则NOC4=NC45,而/DCB=NC4B,所以NDC2=NOC4由48是。。的

直径,得//CB=90。,则/。。=/。。8+/。。8=/。。8+/。。/=//&9=90。,即可证明DC是。O

的切线;

(2)作切_L/C于点“,可证明N77CF=N〃FC=45。,则F〃=C〃,由NN=/CE5,得胆=22=taiL4

HACA

=tan/CE3=_l,则型=_1,HA=2FH,由FH〃BC,得巫=史=工,所以E4=25R再证明△DC5

2HA2FAHA2

s^DAC,得毁=型=区=_1,所以8D=LCD=2,AD=2CD=S,AB=AD-BD=6,可求得3尸=

CDADCA22

2,FA=4,由五炉+(2FH)2=42,求得CH=FH=^^,则。尸=而西莉?=空9匝_,再证明△EFS

55

s△力/C,得巫=鸣,求得FE=BF,FA=妨3,所以CE=CF+FE=歙了,于是得0尸・"=必_.

CFFACF55

【解答】(1)证明:如图①,连接OC,则oc=cu,

:.ZOCA=ZCAB,

•・・/DCB=/CAB,

:./DCB=/OCA,

•・ZB是。。的直径,

・・・/4CB=90。,

JZOCD=ZOCB+/DCB=4OCB+ZOCA=ZACB=90°,

•「OC是。。的半径,>z)c±oc,

・・・OC是。。的切线.

(2)解:如图②,作FHJ_4C于点H,则NCHF=N4HF=90。,

VZACB=90°,CE平分NACB,

:./ACE=NBCE=45。,

:.ZHCF=ZHFC=45°,

;.FH=CH,

,//A=NCEB,

_52_=tanA=tanZCEB=A,

HACA2

.•.史=JL,HA=2FH,

HA2

,/ZAHF=ZACB=90°,

J.FH//BC,

•BF=CH=1

^FAHA~2

:.FA=2BF,

VZDCB=ZDAC,ND=/D,

:.△DCBs^DAC,

•BD=CD=BC=1

"CDADCA

:.BD=l-CD=l.x4=2,/D=2CD=2x4=8,

22

:.AB=AD-BD=S-2=6,

:.2BF+BF=6,

:.BF=2,FA=4,

:.FH2+(.2FH)2=42,

:.CH=FH=^H-,

5

.S而俞J唔)唔产=耍

•:NE=/A,/EFB=NAFC,

:.△EFBs^AFC,

•BF=FE

*'CFFA'

依,

CF4V10

5

;・CE=CF+FE=±ZIL+VTO=-^-;

55

.•.C-C£=@x@=逊.

555

c

H

E

图②

图①

7.(2023•鹿城区校级三模)如图,在八42。中,F为AC上一点,以CF为直径的半圆。与48相切于点

E,与8c相交于点。,且£为命的中点,连结DE,DF,过点尸作尸G〃£»E交4E于点G.

(1)求证:四边形OEG尸为平行四边形.

(2)若。为5c中点,AG=&,求半圆。的半径.

【分析】(1)连接OE,OD,根据切线的性质得到根据圆周角定理得到NE0F=J*/D0F,根

据平行线的性质得到3CL/2,根据平行四边形的判定定理即可得到结论;(2)如图,设OE与DF交于

H,根据平行四边形的性质得到。尸〃EG,DF=EG,求得根据垂径定理得到。

2

DF,得到CF=/尸,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】(1)证明:连接O£,OD,

:48与。。相切,

:.OELAB,

为命的中点,

•••EF=DE,

*/1/

・・NEOF=彳/DOF,

丁NC卷NDOF,

:.ZC=/EOF,

J.OE//BC,

:.BCLAB,

•:B是。。的直径,

C.DFLBC,

C.AB//DF,

•:FG〃DE,

・・・四边形DEGF为平行四边形;

(2)解:如图,设OE与DF交于H,

・・・四边形DEGF为平行四边形,

:.DF//EG,DF=EG,

9:OE±AB,

:.OE±DF,

:.DH=FH=LDF,

2

•.•。为2C中点,

:.BD=CD,

:.CF=AF,

.1

••DFJAB=AG+BE,

,//B=ZBEH=/DHE=90°,

四边形是矩形,

/.BE=DH=1~DF=AG=®,

2

:.DF=2®,

设CD=BD=x,

则EH=x,

":CO=OF,

rri=Ax,

2卬2

2

:.CF=AF=2OE=3x,

:.AC=6x,

•:AB2+BC2=AC2,

:.(V2+2V2+V2)2+(2x)2=(6x)2

解得x=l(负值舍去),

半圆。的半径为3.

2

8.(2023春•下城区校级月考)如图,在RtA48C中,ZABC=90°,以N8为直径作。O,交NC于点£),

点E是2c的中点,连结DE,BD.

(1)判断。£与。。的位置关系,并证明你的结论.

(2)若sinC=3,DE=4,求S&QE.

5

A

BEC

【分析】(1)连接。。,由圆周角定理,等腰三角形的性质推出NOD2+NADE=90。,得到半径

DE,即可证明问题;

(2)作EXL/C于由相似三角形的性质求出/D,3。长,由三角形中位线定理求出的长,即可

求解.

【解答】解:(1)。£与。。相切,理由如下:

连接OD,

是。。的直径,

ZADB=90°,

.\Z5Z)C=180°-/ADB=90。,

是BC的中点,

:.DE=LBC,

2

,:BC=2BE

:.DE=BE,

:./EBD=ZBDE,

":OD=OB,

;./OBD=/ODB,

:./ODB+/BDE=ZABD+ZDBE^ZABC^90°,

二半径ODLDE,

二。£与。。相切;

(2)作E〃_L/C于",

由(1)知

2

:.BC=2DE=2x4=8,

sinC=-^-=—,

AC5

令AB=3xAC=5x,

22

:・BC=7AC-AB=以,

,4x=8,

•・x=2,

:.AB=3x=6,AC=5x=10

ZABD+ZBAD=ZC+ZBAD=90°,

/ABD=/C,

•・•/ADB=NABC=9。。,

:.AABD^AACB,

:.AD:AB=BD:BC=AB;AC,

:.AD:6=BD:8=6:10,

・・・4。=迪,BD=丝,

55

•:BDL4C,EHA.AC,

:.BD//EH,

:.DH:HC=BE:EC,

■:BE=EC,

:.DH=HC,

・・・£7/是△C5。的中位线,

:.EH=坦

25

-c_1«E_lx18x12-108

21m25525

9.(2023•西湖区校级三模)如图,以A18C的一边为直径作OO,。。与3c边的交点。恰好为8c的

中点,DELAC.

(1)求证:DE为圆。的切线;

(2)连接。C交。E于点尸,若cos/ABC驾,求里的值.

8FC

【分析】(1)连接40、0D,则由是。。的直径,得N4D2=90。,则40垂直平分

BC,所以NC=/8,则/3=//C8,所以MOD//AC,所以/。。£=/。£^=90。,

即可证明DE为。。的切线;

(2)由N/OC=//D8=90°,ZACB=ZB,得患=I^=cosN/C8=cosN/8C=&,设C£=3〃?,

DCAC8

则DC=8m,所以/C=&。。=男,由三角形的中位线定理得0Z)=Lc=丝切,即可求得见=毁=

3323FCCE

32

V

【解答】(1)证明:连接OD,则。。=。8,

:./B=/0DB,

是。。的直径,

ZADB=90°,

•.•。是2C的中点,

:.AD垂直平分BC,

:.AC=AB,

:./B=NACB,

:.AODB=AACB,

J.OD//AC,

;DELAC,

:.ZODE=ZDEC=90°,

是。。的半径,且DE_L。。,

...£)£为。。的切线.

(2)解:VZADC=ZADB=90°,ZACB=ZB,

强_=匹_=cosZACB=cos/ABC=—,

DCAC8

设C£=3m,则DC=8加,

4C=旦0。=&x8加=胆力,

333

;点。、。分别是8/、8c的中点,

/.OD=A-4C——x,

2233

,?ZODF=NFEC=90°,ZOFD=ZCFE,

更1=sin/OFD=sinZCFE=雪,

OFFC

32

OF=OD=丁,32

FCCET,

业的值为丝.

10.(2023•绍兴模拟)如图,。是以为直径的。。上一点,过点。的切线交的延长线于点£,过点8

作即U0E,垂足为点R延长AF交4D的延长线于点C.

(1)求证:AB=BC;

C,从而得到8/=3C;

(2)连接2,如图,先根据圆周角定理得到N4D3=90。,则利用正弦的定义计算出8。=3,再证明N

BDF=ZA,则在RtaaC/中利用正弦的定义求出"=旦,然后证明△EB/则利用相似比可

5

求出的长.

【解答】(1)证明:切。。于。,

:.OD±DE,

":BF±DE,

:.OD//BC,

:.ZODA=ZCf

*:OA=OD,

:./A=NODA,

:.ZA=ZCf

;・BA=BC;

(2)解:连接班,如图,

为直径,

/ADB=90。,

在RtAADB中,*.*siiL4=地>=3,

AB5

50=3x5=3,

5

VZBDF+ZBDO=90°,ZBDO+ZODA=90°,

:./BDF=/ODA,

而NOZX4=N4,

:.ZBDF=ZA,

在RtABDF中,Vsin/BDF=巫=3,

BD5

・・・w=gx3=a,

55

YBF〃OD,

:.△EBFs^EOD,

.BE=BF即BE「5

OEOD1+BEA

2邓匕2

解得8E=至,

7

即线段8尸的长为且,BE的长为生.

57

IF

11.(2023春•东阳市期中)如图,是。。的切线,8为切点,直线NO交。。于C,。两点,连接3C,

BD.过圆心。作8C的平行线,分别交N8的延长线、。。及8。于点£,F,G.

(1)求证:尸是面的中点;

(2)求证:/D=/E;

(3)若尸是的中点,。。的半径为6,求阴影部分的面积.

【分析】(1)根据圆周角定理,平行线的性质,垂径定理即可得到结论;

(2)连接。5,由切线的性质得出NE+/3OE=90。,由圆周角定理得出/。+/。。3=90。,证出N30E

=ZOCB,则可得出结论;

(3)求出N3OG=60。,由三角形面积公式及扇形的面积公式可得出答案.

【解答】(1)证明:是。。的切线,

:.NOBE=90°,

'COE//BC,

:.ZDGO=ZDBC=90°,

C.BDLOF,

.•.DF=BF-

是面的中点;

(2)证明:连接。3,

:・NOBE=90。,

:.ZE+ZBOE=90°,

•「CD为。。的直径,

:.ZCBD=9Q0,

:.ZD+ZDCB=90°f

U:OE//BC,

:.ZBOE=ZOBC,

•:OB=OC,

:.ZOBC=ZOCB,

:./BOE=/OCB,

:.ND=NE;

(3)解:•・,斤为OE的中点,OB=OF,

:・OF=EF=6,

:.OE=12,

:.BO=LOE,

2

•・・/OBE=90。,

・•・NE=30。,

NBOG=60。,

9:OE//BC,ZDBC=90°,

・・・NOG5=90。,

AOG=3,8G=3%,

••S^B(JG=^OG9BG=—X3X3^/3=^X±L,S扇形BOF=旺31=6兀,

222360

,S阴影部分=S扇形BOF-SABOG=6TI-------

2

12.(2023•永康市一模)如图,A45C内接于。O,N8为。。的直径,点尸在。。上,连接CF交加?于点

E,延长C尸至点D,连接/D已知8C=C£=3,AB=9,ZDAF=ZACD.

(1)求证:ND为。。的切线;

(2)求A48C的N8边上的高;

(3)求。尸的长.

【分析】(1)连接瓦先证得/〃D=//8R再证得口+N8/尸=90。,可得/E4O+/8/尸=90。,

即可证明/。为。。的切线;

(2)作CT_L42于点T,先证明aBC7s△3/c,可得£工整_,再求出27=1,最后可得结果;

BCAB

(3)先求出/E=7,再证△BCES/\F4E,可得出型_,ppJA,然后再证明△CETS^DE/,可得

AEEF3

出出里,金_』,求出的长,最后可求得结果.

DEAEDE7

【解答】(1)证明:连接8尸

AF=AF,

・•・NACD=NABF,

ZFAD=ZACD,

:./FAD=NABF,

・・Z5为。。的直径,

・•・NAFB=NACB=90。,

:.ZABF+ZBAF=90°f

/.ZFAD+ZBAF^90°,

为。。的切线;

(2)解:作C7U/8于点T.

:.BT=ET,

,?ZCBT=/ABC,ZACB=NBTC=90。,

:.△BCTS^BAC,

•••BT=BC,oanpBT=—3,

BCAB39

:・BT=\,

:.BE=2,CT=2V2,

・•・AABC的AB边上的高是2V2;

(3)・;4B=9,BE=2,

:.AE=9-2=7,

•:BC=CE,

:./ABC=NBEC,

VAC=AC)

ZABC=/AFE,

':/BEC=ZAEF,

:.ZAFE=ZAEF,

:.AF=AE=rl,

VZABC=ZAFE,NBEC=/FEA,

:.△BCEs^FAE

・CEBE由14

AEEF3

VCT//AD,

/.ZCTE=/DAE,NECT=ZEDA,

;.4CETS4DEA,

•■•CE=ET

DEAE

BP-LJL,

DE7

:.DE=2\,

,DF=21-券粤

13.(2023•镇海区校级一模)如图,AB,BC,CD分别与。。相切于E,F,G三点,且EG为。。的直径.

(1)延长。凡仍交于点尸,若2E=1,2EBF=2/0PC,求图中阴影部分的面积;

(2)连结8G,与。尸交于点M,若BE=1,OE=2,求她的值.

【分析】(1)如图1,连接08、OC,根据切线性质可得:NOBE=NOBF,ZBOE=ZBOF,ZOCF=

ZOCG,NC0F=NCOG,直径EG_L/2,半径。尸_L2C,直径EG_LCD,结合NEBF=2/0PC,可得

ZCOF=ZOPC,推出CP=C。,利用三角函数定义可得sin/OPE=2L=」,即/0尸£=30。=

OP2

进而可得OE—OF—OG—Vs,再利用解直角三角形求得CG=3,即可得出S四边形CFOG=S^COKSACOG=

3^/3,再运用扇形面积公式求得S扇形OFG=』"。兀'=兀,利用S阴影=S四边形CFOG-S扇形0FG,

360

即可求得答案;

(2)如图2,连接。2,0C,过点8作于点X,交。尸于点尸,设CF=CG=无,由四边形2EG8

是矩形,可得:BH=EG=2OE=4,GH=BE=\,CH=CG-GH=x-1,利用勾股定理可得:CH=4-1

=3,5C=x+l=4+l=5,再由△PBFsacBH,/\MOG^^MPB,即可得出答案.

【解答】解:(1)如图1,连接。2、OC,

图1

•;AB,BC,CD分别与。O相切于E,F,G三点,

:・/OBE=/OBF,/BOE=/BOF,ZOCF=ZOCGf/COF=/COG,

直径EG_L/8,半径。尸_L5C,直径EG_LCD,

:.AB〃CD,/OBE+/BOE=9G。,/OBF+/BOF=90。,ZOCF+ZCOF=90°f/OCG+/COG=90。,

/BOE+/BOF+/COF+/COG=180。,

:.ZBOF+ZCOF=90°,

:.ZOBE=ZOBF=ZCOF=ZCOG,

・•・ZEBF=2ZOBF=2ZCOF,

*.*/EBF=2/OPC,

:.ZCOF=ZOPC,

:・CP=CO,

•:OF1BC,

:.OP=2OF=2OE,

sinZOPE=_Q5_=工

OP2

・・・NO尸£=30。,

・•・/POE=60。,

:./BOE=30。,

在RtaOBE中,^L=tmZBOEf

0E

OE=--------=---1---=^3,

tan/BOEtan300

:・OF=OG=M,

VZCOF+ZCOG=ZF(9G=180°-60。=120。,ZCOF=ZCOGf

:.ZCOF=ZCOG=60°,

在R3COG中,tan/COG=",

0G

CG=OG«tanZCOG=A/3tan60°=3,

在△CO尸和△COG中,

,ZC0F=ZC0G

<OF=OG,

1ZOFC=ZOGC=90°

:.△COF冬ACOG(ASA),

••SACOF=SACOG=

2

二,S四边形CFOG=SAc。卢SACOG=3^^+3^^=3

22

120兀•(“产

,S扇形OFG兀,

360

「•S阴影=S四边形BOG-S扇形NG=3-71;

(2)如图2,连接03,OC,过点8作瓦/,Z)C于点凡交。厂于点P,

由(1)知:AOEB=ZOFB=ZOFC=ZOGC=90°,OE=OF=OG,

■:AB,BC,CD分别与。。相切于£,F,G三点,

:・BE=BF=\,CF=CG,

设CF=CG=x,

ZGEB=ZEGH=/BHG=90°,

・•・四边形BEG”是矩形,

:・BH=EG=2OE=4,GH=BE=\,

:.CH=CG-GH=x-1,

在中,BH1+CH1=BC1,

:.42+(X-1)2=(x+1)2,

解得:x=4,

:.CH=4-1=3,8c=x+l=4+l=5,

ZPFB=NBHC=90°,ZPBF=ZCBH,

:.△PBFsMBH,

•BP=BF

,,而BH,

•RP=BF・BC=1X5=5

一BH4丁

':EG//BH,

:"MOG=/MPB,NMGO=NMBP,

:.AMOGsAMPB,

5_

•BM=BP=1=5

MG0G28

14.(2023•义乌市校级模拟)如图,45是圆。的直径,PB,尸C是圆O的两条切线,切点分别为8,C.延

长24尸C相交于点D.

(1)求证:ZCPB=2ZABC.

(2)设圆。的半径为2,sin/P8C=2,求PC的长.

【分析】(1)连接OC,根据切线的性质,四边形的内角和,圆周角定理即可证明;

(2)连接OP,OC,OP和2C交于点E,根据切线长定理求得2ELP。,再利用三角函数,勾股定理解

RtAOBE和RtAPBE即可解答.

【解答】(1)证明:如图连结OC,

,:PB,PC是圆。的两条切线,

:・PC=PB,ZPCO=ZPBO=90°,

:.ZCPB+ZBOC=1SO0,

ZDOC+Z5OC=180°,

:.ZCPB=ZCOD,

•;NC0D=2NABC,

;・/CPB=2/ABC;

(2)解:如图连接。尸,OC,。尸和5C交于点E,

由切线长定理可得尸3=PC,ZCPO=ZBPO,

•;PE=PE,

:.^PEC^/\PEB("S),

・•・NPEC=NPEB=90。,

/尸50=90。,

NPOB=NPBE,

♦:OB=2,sin/P5C=2,

3

・•・BE=OBsinZPOB=A,

3

0£=22

•*-VOB-BE=-|V5,COS/POB=黑噂,

15.(2023秋•拱墅区校级月考)如图,△/2C是以48为直径的。。的内接三角形,3。与。。相切于点3,

与NC的延长线交于点D,E是AD的中点,CE交A4的延长线于点?

(1)求证:FC是。。的切线;

(2)若AD=4,2EF=3BE.求2尸的长和。。的半径.

【分析】(1)连接OC,根据切线的性质得到//AD=90。,根据直角三角形的性质得到2E=C£,求得

ZBCE=ZCBE,根据等腰三角形的性质得到NOC8=/O8C,求得/OCE=90。,根据切线的判定定理

即可得到结论;

(2)根据直角三角形的性质得到8E=CE=U3。=2,根据勾股定理即可得到结论.

2

【解答】(1)证明:连接OC,

与。。相切于点8,

NABD=90°,

:./CBE+NOBC=90。,

是。。的直径,

ZACB=ZBCD=90°,

,:E是BD中点,

:.BE=CE,

NBCE=NCBE,

,:OC=OB,

:.ZOCB=ZOBC,

/./BCE+/OCB=9。。,

:.ZOCE=90°,

':0c是。。的半径,

是。。的切线;

(2)解:;BD=4,N2CD=90。,点E是AD中点,

;.BE=CE=LBD=2,

2

•:2EF=3BE,

:.EF=3,

在中,51=五,2_而2=遥,

由(1)得NOCF=N4BD=90。,

设OC=x,贝UOF=BF-OB=4S-x,

,:OF2-OC2=FC2,

(5/5_x)2-x2=I2,

解得:x=2VL,

5

;.。。的半径为2娓.

16.(2023•萧山区校级一模)如图,在A48C中,AB=AC.以N8为直径的。。与线段8c交于点。,过点

。作。EL/C,垂足为E,ED的延长线与N2的延长线交于点尸.

(1)求证:直线PE是。。的切线;

(2)若。。的半径为6,/尸=30。,求CE的长.

A

【分析】(1)连接。。,根据AB=/C,OB=OD,得N4CB=N0DB,从而0O〃NC,由DE_L4C,即

可得P£J_。。,故P£是。。的切线;

(2)连接4D,连接OD,由DE_L4C,NP=30。,得/P4E=60。,又4B=AC,可得A42C是等边三角

形,即可得8c=A8=12,ZC=60°,而45是。。的直径,得//。8=90。,可得Br>=CD=」JC=6,

2

在RtZiCDE中,即得CE的长是3.

【解答】(1)证明:连接0。,如图:

•;4B=4C,

:.ZABC=ZACB,

,;OB=OD,

:.NABC=NODB,

:.ZACB=ZODB,

:.OD//AC,

'JDELAC,

C.DELOD,§PPELOD,

是。。的半径,

;.尸£是。。的切线;

(2)解:连接连接。。,如图:

A

:DEL4C,

:./AEP=90。,

•・•N尸=30。,

・•・ZPAE=60%

*:AB=AC,

:.AABC是等边三角形,

・・・NC=60。,

・・,。。的半径为6,

:.BC=AB=U,

是。。的直径,

/ADB=90。,

:・BD=CD=1~BC=6,

2

在RtaCDE中,

CE—CZ>cosC=6xcos60°=3,

答:CE的长是3.

17.(2024•西湖区校级二模)如图,A48C内接于OO,是。。的直径,过点力的切线交BC的延长线于

点、D,E是。。上一点,点C,E分别位于直径48异侧,连接BE,CE,S.ZADB=ZDBE.

(1)求证:CE=CB;

(2)求证:/BAE=2NABC;

(3)过点C作C户,N2,垂足为点尸,若求tan/4BC的值.

SAABE3

D

【分析】(1)根据是。。的直径,AD为。。的切线,^ADLAB,ZAEB=90°,则=

90°,ZAEC+ZCEB=90°,MtMJgZABD=ZAECZADB=ZCEB,进而再由//£>8=408£■得/CE5

=/DBE,据此可得出结论;

(2)连接C。并延长交于〃,贝1J//OC=2N/5C,由(1)的结论可知C£=C8,则令=窟,由垂

径定理得NXLBE,再根据N2是。。的直径得N/£2=90。,由此可得NE〃CH,则/R4E=N/OC,据

此可得出结论

(3)证A48E和△OCF相似得/£:OF=BE:CF=AB-.OC=2,贝U/E=2ORBE=2CF,设。。的半

径为r,OF=x,则4E=2x,BF=OB+OF=r+x,由,&ECF得上!主上_,由此解出》=2二,则%?=

SAABE84x87

,=如,然后在RtaOC尸中,由勾股定理求出C尸=2运三,最后再根据锐角三角形的定义可得tan/

77

48c的值.

【解答】(1)证明:是。。的直径,为。。的切线,

:.ADLAB,ZAEB=90°,

:.ZADB+ZABD=90°,NAEC+/CEB=9G0,

,?ZABD=/AEC,

:./ADB=/CEB,

ZADB=ZDBEf

:・/CEB=/DBE,

:.CE=CB;

(2)证明:连接CO并延长交5E于X,如图所示:

D

E\/

•;OB=OC,

:./ABC=/OCB,

:.ZAOC=ZABC+ZOCB=2AABC,

由(1)的结论可知:CE=CB,

ACE=CB,

:.AHLBE,

是。。的直径,

・•・/AEB=90。,

即AELBE,

:.AE//CH,

:.NBAE=/AOC,

:.ZBAE=2ZABC;

(3)解:・.78是。。的直径,CFLAB,

:・/BEA=NCFO=90。,AB=2OC,

又・・ZE〃C〃,

・•・/BAE=NAOC,

:.AABESAOCF,

:.AE:OF=BE:CF=AB:OC=2,

:.AE=2OF,BE=2CF,

设。。的半径为八OF=x,

则Z£=2x,BF=OB+OF=r+x,

:・SMCF=LBF・CF=L(H-X)•CF,%M=LE・5E=_LX2X・2CF=2X・CR

2222

S

.•.--A-B-C-F---9-,

SAABE'

y(r+x)*CFq

2x<FT

即也3

4x8

解得:x=立,

7

".BF—r+x—r+-^-=^-,

77

在Rt^OC/中,。尸

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