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文档简介
圆的综合证明问题20题专题训练
1.(2024•定海区三模)如图,P为。。的直径A4延长线上的一点,PC为。。的切线,切点为C,CDLAB
于。,连接/C.
(1)求证:NC平分/PCD;
(2)若上4=3,AC=V3.求。。的半径.
【分析】(1)连接OC,则/OC8=/8,由切线的性质得尸CLLOC,而8/是。。的直径,CDJ_48于
D,则NADC=N/C2=NOCP=90。,可证明N0C8=N/CP,则N/CP=/2,因为//CD=/2=90。-
ZBAC,所以//CP=N/CD,即可证明/C平分NPCA
(2)设。。的半径为%则P8=3+2r,可证明△P/Cs△尸eg得骂_=毁=竺_,则9。2=尸衣必,推
PBPCCB
导出PC=MCB,贝!|(V3CS)2=3(3+2r),所以。5=3+2/,由勾股定理得(%)2+3+2r=(2r)
2,即可求得。。的半径长为3.
2
【解答】(1)证明:连接。C,则。。=。2,
:.ZOCB=ZB,
与。。相切于点C,
C.PCLOC,
:台/是0。的直径,CDL4B于D,
:.NADC=ZACB=ZOCP=90°,
:.ZOCB=ZACP=90°-AOCA,
:./ACP=NB,
":/4CD=/B=90°-ABAC,
:.ZACP=ZACD,
;.NC平分/尸。).
(2)解:设。。的半径为r,则48=2r,
;尸/=3,AC=M,
;.P2=3+2r,
由(1)和N/CP=NB,
,//P=/P,
:.△PACs^pcB,
•PC=PA=AC
"PBPCCB'
:.PC2=PA,PB,PC=PA'CB=&CB=«C3,
ACV3
二(V3CS)2=3(3+2r),
;.C52=3+2r,
':AC2+CB2^AB2,
:.(V3)2+3+2r=⑵)2,
解得广=3,『2=-1(不符合题意,舍去),
2
2.(2024春•淳安县期中)如图,AABC内接于。O,是。。的直径,过点C作。。的切线交48的延长
线于点。,BELCD,£8的延长线交。。于RCF交AB于点、G,ZBCF=ZBCD.
(1)求证:BE=BG;
(2)若BE=l,求。。的半径.
【分析】(1)由切线的性质可得N0C3+/3c0=90。,由/2CF+N02C=90。,可证2G_LC凡可得BE
=BG;
(2)由是。。的直径,可知3c=5尸,又因为/3CF=N2CD,可知NO2C=60。,△03C为等边三
角形,即可求出答案.
【解答】(1)证明:如图,连接OC,
•「CD是。。的切线,
0C1CD,
:・/OCB+/BCD=90。,
•:OC=OB,
:.ZOCB=ZOBC,
丁/BCF=/BCD,
:.ZBCF+ZOBC=90°,
:.ZBGC=90°f即5G_LCR
VZBCF=ZBCDfBELCF,
:,BE=BG:
(2)解:・・ZB是。。的直径,CFLAB,
•••BC=BF>
;・BC=BF,
:./BCF=/F,
■:BELCD,NBCF=NBCD,
:.ZBCF=ZBCD=ZF=30°,
AZO5C=60°,
:.BC=2,
':OB=OC,ZO5C=60°,
:./\OBC为等边三角形,
;.OB=BC=2,
即。。的半径为2.
3.(2024春•温州月考)如图,45是。。的直径,AC=BG£是。5的中点,连结C£并延长到点产,使
EF=CE.连结/歹交。。于点。,连结AD,BF.
(1)求证:直线8尸是。。的切线.
(2)若/尸=5,求AD的长.
C
A
【分析】(1)连接。C、OF,证明四边形OE8C是平行四边形,贝尸〃。C,由众=和得NC=8C,贝。
OCVAB,ZABF=ZBOC=90°,可证明8尸是。。的切线;
(2)由是。。的直径得NADB=N/CB=90。,则NC2/=45。,可证明用=。5=。/=工
2
AB,根据勾股定理求出48、3斤的长,再证明/24DS/E42,根据相似三角形的对应边成比例即可求
出BD的长.
【解答】(1)证明:如图,连接OC、OF,
C
A
•:EF=CE,OE=BE,
四边形OE8C是平行四边形,
J.BF//OC,
VAC=BC.
:.AC=BC,
'COA^OB,
:.OCLAB,
:.ZABF=ZBOC=90°,
是。。的半径,且跳LL02,
直线8厂是。。的切线.
(2)解:如图,・・ZB是。。的直径,
NADB=/ACB=90。,
:・NCAB=NCBA=45。,
•:OC=OB,
:・/OCB=/OBC=45。,
:./BFO=/OCB=45。,
YOF//BC,
:./BOF=/OBC=45。,
:.ZBFO=ZBOF,
:.FB=OB=OA=LB,
2
9:FB2+AB2=AF2,且/广=5,
.・・(LB)2+432=52,
2
:・AB=2遍,
:.FB=1~AB=后
2
ZADB=NABF=90°,/BAD=ZFAB,
:.ABADsAFAB,
・BD=AB2V5.
"FBAF5
:・BD=FB^2V5XA/5=2,
55
:.BD的长为2.
4.(2023秋•黄岩区期中)如图,在A48C中,AC=BC,以8C为直径的半圆。交N8于点。,过点。作
半圆。的切线,交4c于点、E.
(1)求证:/ACB=2/ADE;
(2)若DE=3,/ADE=30。,求而的长.
A
/\E
B0C
【分析】(1)连接。。、CD,根据切线的性质得到NODE=90。,根据圆周角定理得到N5Z)C=90。,求
得NADE=NODC,根据等腰三角形的性质即可得到结论;
(2)根据勾股定理得至lj的二]§2+(«)2=2A/^,tanA=V3»求得N4=60。,推出A45C是等边三角
形,得到N5=60。,BC=AB-2AD=4V3,根据弧长公式即可得到结论.
【解答】解:(1)连接CD,
•「DE是。。的切线,
;・/ODE=90。,
:.ZODC+ZEDC=90°,
•:5C是。。的直径,
/BDC=9U。,
:.ZADC=90°f
:.NADE+/EDC=90。,
:.ZADE=ZODC,
•:AC=BC,
:.ZACB=2ZDCE=2ZOCD,
•:OD=OC,
:,/ODC=/OCD,
(2)由(1)可知,ZADE+ZEDC=90°,NADE=/DCE,
:.ZAED=90°f
YDE=3,AE二百,
AAD=V32+(V3)2=2V3,tanA=V3,
・•・NN=60。,
•:AC=BC,
J.AABC是等边三角形,
•••ZB=60°,BC=AB=2AD=4a,
:.ZCOD=2ZB=nQo,0C=2«,
...而的长=n兀r=120•兀x2\反=4相二
1801803
5.(2022秋•临海市期末)知识重现:如图1,我们已经分三种情况探究了一条弧所对的圆周角NA4C和它
所对的圆心角ZBOC的数量关系.
图2
①直接写出ZBAC和ZBOC的数量关系—ZBAC=yZBOC—;
②任选一种情况进行证明.
迁移应用:如图2,已知―台。内接于。O,直线。E是。。切线,切点为N,求证:ZCAE=ZABC.
【分析】知识重现:①猜想:/BAC='/BOC;
②利用三角形外角性质及角的和差求解即可.
迁移应用:作直径/尸,根据切线性质得:04LDE,则NC4E+NE4c=90。,由直径所对的圆周角为直
角,则//C尸=90。,即//尸C+NE4c=90。,由同角的余角得出结论.
【解答】知识重现:①解:猜想:NBAC="^NBOO
故答案为:ZBAC=-j-ZBOC;
②证明:情况①,作直径
A
情况①
•;OA=OB,
・・・N1=N3.
:.Z5OZ)=Z1+Z3=2Z1,
同理NCOZ)=2N2,
ZBOC=ZBOD+ZCOD=2ZBAC,
*/1/
••ZBAC=yZBOC»
情况2,当点。在NR4C的一边上时,
情况②
*:OA=OC,
AZ1=Z2,
由外角可得,N5OC=N1+N2,
・•・ZBOC=2Z1,
•ZI^-ZBOC-即NBAC=/NBOC,
情况③
":OA=OB,
;・/OAB=NOBA,
:.ZBOD=NOAB+NOBA=2NOAB,
同理NCOD=2N£UC,
ZBOC=ZCOD-NBOD=2NDAC-2NOAB=2NBAC,
•/1/
••ZBAC=yZBOC-
迁移应用:证明:作直径NR交。。于尸,连接CR如图2,
图2
•・・。£为。。的切线,
C.OALDE,
:.ZCAE+ZFAC=90°,
•・Zb为。。的直径,
ZACF=90°f
:.ZAFC+ZFAC=90°,
:.ZAFC=ZCAE,
,:/CBA=/AFC,
:.ZCAE=ZABC.
6.(2024•镇海区校级模拟)如图①,。。是△45。的外接圆,点。在上,延长力8至点。,使得NQCB
=ZCAB.
(1)求证:。。为。。的切线;
(2)若N4C5的角平分线CE交线段45于点产,交源于点£,连接如图②,其中CD=4,tanN
CEB=工,求CF・CE.
2
cc
E
图①图②
【分析】(1)连接OC,则NOC4=NC45,而/DCB=NC4B,所以NDC2=NOC4由48是。。的
直径,得//CB=90。,则/。。=/。。8+/。。8=/。。8+/。。/=//&9=90。,即可证明DC是。O
的切线;
(2)作切_L/C于点“,可证明N77CF=N〃FC=45。,则F〃=C〃,由NN=/CE5,得胆=22=taiL4
HACA
=tan/CE3=_l,则型=_1,HA=2FH,由FH〃BC,得巫=史=工,所以E4=25R再证明△DC5
2HA2FAHA2
s^DAC,得毁=型=区=_1,所以8D=LCD=2,AD=2CD=S,AB=AD-BD=6,可求得3尸=
CDADCA22
2,FA=4,由五炉+(2FH)2=42,求得CH=FH=^^,则。尸=而西莉?=空9匝_,再证明△EFS
55
s△力/C,得巫=鸣,求得FE=BF,FA=妨3,所以CE=CF+FE=歙了,于是得0尸・"=必_.
CFFACF55
【解答】(1)证明:如图①,连接OC,则oc=cu,
:.ZOCA=ZCAB,
•・・/DCB=/CAB,
:./DCB=/OCA,
•・ZB是。。的直径,
・・・/4CB=90。,
JZOCD=ZOCB+/DCB=4OCB+ZOCA=ZACB=90°,
•「OC是。。的半径,>z)c±oc,
・・・OC是。。的切线.
(2)解:如图②,作FHJ_4C于点H,则NCHF=N4HF=90。,
VZACB=90°,CE平分NACB,
:./ACE=NBCE=45。,
:.ZHCF=ZHFC=45°,
;.FH=CH,
,//A=NCEB,
_52_=tanA=tanZCEB=A,
HACA2
.•.史=JL,HA=2FH,
HA2
,/ZAHF=ZACB=90°,
J.FH//BC,
•BF=CH=1
^FAHA~2
:.FA=2BF,
VZDCB=ZDAC,ND=/D,
:.△DCBs^DAC,
•BD=CD=BC=1
"CDADCA
:.BD=l-CD=l.x4=2,/D=2CD=2x4=8,
22
:.AB=AD-BD=S-2=6,
:.2BF+BF=6,
:.BF=2,FA=4,
:.FH2+(.2FH)2=42,
:.CH=FH=^H-,
5
.S而俞J唔)唔产=耍
•:NE=/A,/EFB=NAFC,
:.△EFBs^AFC,
•BF=FE
*'CFFA'
依,
CF4V10
5
;・CE=CF+FE=±ZIL+VTO=-^-;
55
.•.C-C£=@x@=逊.
555
c
H
E
图②
图①
7.(2023•鹿城区校级三模)如图,在八42。中,F为AC上一点,以CF为直径的半圆。与48相切于点
E,与8c相交于点。,且£为命的中点,连结DE,DF,过点尸作尸G〃£»E交4E于点G.
(1)求证:四边形OEG尸为平行四边形.
(2)若。为5c中点,AG=&,求半圆。的半径.
【分析】(1)连接OE,OD,根据切线的性质得到根据圆周角定理得到NE0F=J*/D0F,根
据平行线的性质得到3CL/2,根据平行四边形的判定定理即可得到结论;(2)如图,设OE与DF交于
H,根据平行四边形的性质得到。尸〃EG,DF=EG,求得根据垂径定理得到。
2
DF,得到CF=/尸,根据勾股定理即可得到结论.
【解答】(1)证明:连接O£,OD,
:48与。。相切,
:.OELAB,
为命的中点,
•••EF=DE,
*/1/
・・NEOF=彳/DOF,
丁NC卷NDOF,
:.ZC=/EOF,
J.OE//BC,
:.BCLAB,
•:B是。。的直径,
C.DFLBC,
C.AB//DF,
•:FG〃DE,
・・・四边形DEGF为平行四边形;
(2)解:如图,设OE与DF交于H,
・・・四边形DEGF为平行四边形,
:.DF//EG,DF=EG,
9:OE±AB,
:.OE±DF,
:.DH=FH=LDF,
2
•.•。为2C中点,
:.BD=CD,
:.CF=AF,
.1
••DFJAB=AG+BE,
,//B=ZBEH=/DHE=90°,
四边形是矩形,
/.BE=DH=1~DF=AG=®,
2
:.DF=2®,
设CD=BD=x,
则EH=x,
":CO=OF,
rri=Ax,
2卬2
2
:.CF=AF=2OE=3x,
:.AC=6x,
•:AB2+BC2=AC2,
:.(V2+2V2+V2)2+(2x)2=(6x)2
解得x=l(负值舍去),
半圆。的半径为3.
2
8.(2023春•下城区校级月考)如图,在RtA48C中,ZABC=90°,以N8为直径作。O,交NC于点£),
点E是2c的中点,连结DE,BD.
(1)判断。£与。。的位置关系,并证明你的结论.
(2)若sinC=3,DE=4,求S&QE.
5
A
BEC
【分析】(1)连接。。,由圆周角定理,等腰三角形的性质推出NOD2+NADE=90。,得到半径
DE,即可证明问题;
(2)作EXL/C于由相似三角形的性质求出/D,3。长,由三角形中位线定理求出的长,即可
求解.
【解答】解:(1)。£与。。相切,理由如下:
连接OD,
是。。的直径,
ZADB=90°,
.\Z5Z)C=180°-/ADB=90。,
是BC的中点,
:.DE=LBC,
2
,:BC=2BE
:.DE=BE,
:./EBD=ZBDE,
":OD=OB,
;./OBD=/ODB,
:./ODB+/BDE=ZABD+ZDBE^ZABC^90°,
二半径ODLDE,
二。£与。。相切;
(2)作E〃_L/C于",
由(1)知
2
:.BC=2DE=2x4=8,
sinC=-^-=—,
AC5
令AB=3xAC=5x,
22
:・BC=7AC-AB=以,
,4x=8,
•・x=2,
:.AB=3x=6,AC=5x=10
ZABD+ZBAD=ZC+ZBAD=90°,
/ABD=/C,
•・•/ADB=NABC=9。。,
:.AABD^AACB,
:.AD:AB=BD:BC=AB;AC,
:.AD:6=BD:8=6:10,
・・・4。=迪,BD=丝,
55
•:BDL4C,EHA.AC,
:.BD//EH,
:.DH:HC=BE:EC,
■:BE=EC,
:.DH=HC,
・・・£7/是△C5。的中位线,
:.EH=坦
25
-c_1«E_lx18x12-108
21m25525
9.(2023•西湖区校级三模)如图,以A18C的一边为直径作OO,。。与3c边的交点。恰好为8c的
中点,DELAC.
(1)求证:DE为圆。的切线;
(2)连接。C交。E于点尸,若cos/ABC驾,求里的值.
8FC
【分析】(1)连接40、0D,则由是。。的直径,得N4D2=90。,则40垂直平分
BC,所以NC=/8,则/3=//C8,所以MOD//AC,所以/。。£=/。£^=90。,
即可证明DE为。。的切线;
(2)由N/OC=//D8=90°,ZACB=ZB,得患=I^=cosN/C8=cosN/8C=&,设C£=3〃?,
DCAC8
则DC=8m,所以/C=&。。=男,由三角形的中位线定理得0Z)=Lc=丝切,即可求得见=毁=
3323FCCE
32
V
【解答】(1)证明:连接OD,则。。=。8,
:./B=/0DB,
是。。的直径,
ZADB=90°,
•.•。是2C的中点,
:.AD垂直平分BC,
:.AC=AB,
:./B=NACB,
:.AODB=AACB,
J.OD//AC,
;DELAC,
:.ZODE=ZDEC=90°,
是。。的半径,且DE_L。。,
...£)£为。。的切线.
(2)解:VZADC=ZADB=90°,ZACB=ZB,
强_=匹_=cosZACB=cos/ABC=—,
DCAC8
设C£=3m,则DC=8加,
4C=旦0。=&x8加=胆力,
333
;点。、。分别是8/、8c的中点,
/.OD=A-4C——x,
2233
,?ZODF=NFEC=90°,ZOFD=ZCFE,
更1=sin/OFD=sinZCFE=雪,
OFFC
32
OF=OD=丁,32
FCCET,
业的值为丝.
10.(2023•绍兴模拟)如图,。是以为直径的。。上一点,过点。的切线交的延长线于点£,过点8
作即U0E,垂足为点R延长AF交4D的延长线于点C.
(1)求证:AB=BC;
C,从而得到8/=3C;
(2)连接2,如图,先根据圆周角定理得到N4D3=90。,则利用正弦的定义计算出8。=3,再证明N
BDF=ZA,则在RtaaC/中利用正弦的定义求出"=旦,然后证明△EB/则利用相似比可
5
求出的长.
【解答】(1)证明:切。。于。,
:.OD±DE,
":BF±DE,
:.OD//BC,
:.ZODA=ZCf
*:OA=OD,
:./A=NODA,
:.ZA=ZCf
;・BA=BC;
(2)解:连接班,如图,
为直径,
/ADB=90。,
在RtAADB中,*.*siiL4=地>=3,
AB5
50=3x5=3,
5
VZBDF+ZBDO=90°,ZBDO+ZODA=90°,
:./BDF=/ODA,
而NOZX4=N4,
:.ZBDF=ZA,
在RtABDF中,Vsin/BDF=巫=3,
BD5
・・・w=gx3=a,
55
YBF〃OD,
:.△EBFs^EOD,
旦
.BE=BF即BE「5
OEOD1+BEA
2邓匕2
解得8E=至,
7
即线段8尸的长为且,BE的长为生.
57
IF
11.(2023春•东阳市期中)如图,是。。的切线,8为切点,直线NO交。。于C,。两点,连接3C,
BD.过圆心。作8C的平行线,分别交N8的延长线、。。及8。于点£,F,G.
(1)求证:尸是面的中点;
(2)求证:/D=/E;
(3)若尸是的中点,。。的半径为6,求阴影部分的面积.
【分析】(1)根据圆周角定理,平行线的性质,垂径定理即可得到结论;
(2)连接。5,由切线的性质得出NE+/3OE=90。,由圆周角定理得出/。+/。。3=90。,证出N30E
=ZOCB,则可得出结论;
(3)求出N3OG=60。,由三角形面积公式及扇形的面积公式可得出答案.
【解答】(1)证明:是。。的切线,
:.NOBE=90°,
'COE//BC,
:.ZDGO=ZDBC=90°,
C.BDLOF,
.•.DF=BF-
是面的中点;
(2)证明:连接。3,
:・NOBE=90。,
:.ZE+ZBOE=90°,
•「CD为。。的直径,
:.ZCBD=9Q0,
:.ZD+ZDCB=90°f
U:OE//BC,
:.ZBOE=ZOBC,
•:OB=OC,
:.ZOBC=ZOCB,
:./BOE=/OCB,
:.ND=NE;
(3)解:•・,斤为OE的中点,OB=OF,
:・OF=EF=6,
:.OE=12,
:.BO=LOE,
2
•・・/OBE=90。,
・•・NE=30。,
NBOG=60。,
9:OE//BC,ZDBC=90°,
・・・NOG5=90。,
AOG=3,8G=3%,
••S^B(JG=^OG9BG=—X3X3^/3=^X±L,S扇形BOF=旺31=6兀,
222360
,S阴影部分=S扇形BOF-SABOG=6TI-------
2
12.(2023•永康市一模)如图,A45C内接于。O,N8为。。的直径,点尸在。。上,连接CF交加?于点
E,延长C尸至点D,连接/D已知8C=C£=3,AB=9,ZDAF=ZACD.
(1)求证:ND为。。的切线;
(2)求A48C的N8边上的高;
(3)求。尸的长.
【分析】(1)连接瓦先证得/〃D=//8R再证得口+N8/尸=90。,可得/E4O+/8/尸=90。,
即可证明/。为。。的切线;
(2)作CT_L42于点T,先证明aBC7s△3/c,可得£工整_,再求出27=1,最后可得结果;
BCAB
(3)先求出/E=7,再证△BCES/\F4E,可得出型_,ppJA,然后再证明△CETS^DE/,可得
AEEF3
出出里,金_』,求出的长,最后可求得结果.
DEAEDE7
【解答】(1)证明:连接8尸
AF=AF,
・•・NACD=NABF,
ZFAD=ZACD,
:./FAD=NABF,
・・Z5为。。的直径,
・•・NAFB=NACB=90。,
:.ZABF+ZBAF=90°f
/.ZFAD+ZBAF^90°,
为。。的切线;
(2)解:作C7U/8于点T.
:.BT=ET,
,?ZCBT=/ABC,ZACB=NBTC=90。,
:.△BCTS^BAC,
•••BT=BC,oanpBT=—3,
BCAB39
:・BT=\,
:.BE=2,CT=2V2,
・•・AABC的AB边上的高是2V2;
(3)・;4B=9,BE=2,
:.AE=9-2=7,
•:BC=CE,
:./ABC=NBEC,
VAC=AC)
ZABC=/AFE,
':/BEC=ZAEF,
:.ZAFE=ZAEF,
:.AF=AE=rl,
VZABC=ZAFE,NBEC=/FEA,
:.△BCEs^FAE
・CEBE由14
AEEF3
VCT//AD,
/.ZCTE=/DAE,NECT=ZEDA,
;.4CETS4DEA,
•■•CE=ET
DEAE
BP-LJL,
DE7
:.DE=2\,
,DF=21-券粤
13.(2023•镇海区校级一模)如图,AB,BC,CD分别与。。相切于E,F,G三点,且EG为。。的直径.
(1)延长。凡仍交于点尸,若2E=1,2EBF=2/0PC,求图中阴影部分的面积;
(2)连结8G,与。尸交于点M,若BE=1,OE=2,求她的值.
【分析】(1)如图1,连接08、OC,根据切线性质可得:NOBE=NOBF,ZBOE=ZBOF,ZOCF=
ZOCG,NC0F=NCOG,直径EG_L/2,半径。尸_L2C,直径EG_LCD,结合NEBF=2/0PC,可得
ZCOF=ZOPC,推出CP=C。,利用三角函数定义可得sin/OPE=2L=」,即/0尸£=30。=
OP2
进而可得OE—OF—OG—Vs,再利用解直角三角形求得CG=3,即可得出S四边形CFOG=S^COKSACOG=
3^/3,再运用扇形面积公式求得S扇形OFG=』"。兀'=兀,利用S阴影=S四边形CFOG-S扇形0FG,
360
即可求得答案;
(2)如图2,连接。2,0C,过点8作于点X,交。尸于点尸,设CF=CG=无,由四边形2EG8
是矩形,可得:BH=EG=2OE=4,GH=BE=\,CH=CG-GH=x-1,利用勾股定理可得:CH=4-1
=3,5C=x+l=4+l=5,再由△PBFsacBH,/\MOG^^MPB,即可得出答案.
【解答】解:(1)如图1,连接。2、OC,
图1
•;AB,BC,CD分别与。O相切于E,F,G三点,
:・/OBE=/OBF,/BOE=/BOF,ZOCF=ZOCGf/COF=/COG,
直径EG_L/8,半径。尸_L5C,直径EG_LCD,
:.AB〃CD,/OBE+/BOE=9G。,/OBF+/BOF=90。,ZOCF+ZCOF=90°f/OCG+/COG=90。,
/BOE+/BOF+/COF+/COG=180。,
:.ZBOF+ZCOF=90°,
:.ZOBE=ZOBF=ZCOF=ZCOG,
・•・ZEBF=2ZOBF=2ZCOF,
*.*/EBF=2/OPC,
:.ZCOF=ZOPC,
:・CP=CO,
•:OF1BC,
:.OP=2OF=2OE,
sinZOPE=_Q5_=工
OP2
・・・NO尸£=30。,
・•・/POE=60。,
:./BOE=30。,
在RtaOBE中,^L=tmZBOEf
0E
OE=--------=---1---=^3,
tan/BOEtan300
:・OF=OG=M,
VZCOF+ZCOG=ZF(9G=180°-60。=120。,ZCOF=ZCOGf
:.ZCOF=ZCOG=60°,
在R3COG中,tan/COG=",
0G
CG=OG«tanZCOG=A/3tan60°=3,
在△CO尸和△COG中,
,ZC0F=ZC0G
<OF=OG,
1ZOFC=ZOGC=90°
:.△COF冬ACOG(ASA),
••SACOF=SACOG=
2
二,S四边形CFOG=SAc。卢SACOG=3^^+3^^=3
22
120兀•(“产
,S扇形OFG兀,
360
「•S阴影=S四边形BOG-S扇形NG=3-71;
(2)如图2,连接03,OC,过点8作瓦/,Z)C于点凡交。厂于点P,
由(1)知:AOEB=ZOFB=ZOFC=ZOGC=90°,OE=OF=OG,
■:AB,BC,CD分别与。。相切于£,F,G三点,
:・BE=BF=\,CF=CG,
设CF=CG=x,
ZGEB=ZEGH=/BHG=90°,
・•・四边形BEG”是矩形,
:・BH=EG=2OE=4,GH=BE=\,
:.CH=CG-GH=x-1,
在中,BH1+CH1=BC1,
:.42+(X-1)2=(x+1)2,
解得:x=4,
:.CH=4-1=3,8c=x+l=4+l=5,
ZPFB=NBHC=90°,ZPBF=ZCBH,
:.△PBFsMBH,
•BP=BF
,,而BH,
•RP=BF・BC=1X5=5
一BH4丁
':EG//BH,
:"MOG=/MPB,NMGO=NMBP,
:.AMOGsAMPB,
5_
•BM=BP=1=5
MG0G28
14.(2023•义乌市校级模拟)如图,45是圆。的直径,PB,尸C是圆O的两条切线,切点分别为8,C.延
长24尸C相交于点D.
(1)求证:ZCPB=2ZABC.
(2)设圆。的半径为2,sin/P8C=2,求PC的长.
【分析】(1)连接OC,根据切线的性质,四边形的内角和,圆周角定理即可证明;
(2)连接OP,OC,OP和2C交于点E,根据切线长定理求得2ELP。,再利用三角函数,勾股定理解
RtAOBE和RtAPBE即可解答.
【解答】(1)证明:如图连结OC,
,:PB,PC是圆。的两条切线,
:・PC=PB,ZPCO=ZPBO=90°,
:.ZCPB+ZBOC=1SO0,
ZDOC+Z5OC=180°,
:.ZCPB=ZCOD,
•;NC0D=2NABC,
;・/CPB=2/ABC;
(2)解:如图连接。尸,OC,。尸和5C交于点E,
由切线长定理可得尸3=PC,ZCPO=ZBPO,
•;PE=PE,
:.^PEC^/\PEB("S),
・•・NPEC=NPEB=90。,
/尸50=90。,
NPOB=NPBE,
♦:OB=2,sin/P5C=2,
3
・•・BE=OBsinZPOB=A,
3
0£=22
•*-VOB-BE=-|V5,COS/POB=黑噂,
15.(2023秋•拱墅区校级月考)如图,△/2C是以48为直径的。。的内接三角形,3。与。。相切于点3,
与NC的延长线交于点D,E是AD的中点,CE交A4的延长线于点?
(1)求证:FC是。。的切线;
(2)若AD=4,2EF=3BE.求2尸的长和。。的半径.
【分析】(1)连接OC,根据切线的性质得到//AD=90。,根据直角三角形的性质得到2E=C£,求得
ZBCE=ZCBE,根据等腰三角形的性质得到NOC8=/O8C,求得/OCE=90。,根据切线的判定定理
即可得到结论;
(2)根据直角三角形的性质得到8E=CE=U3。=2,根据勾股定理即可得到结论.
2
【解答】(1)证明:连接OC,
与。。相切于点8,
NABD=90°,
:./CBE+NOBC=90。,
是。。的直径,
ZACB=ZBCD=90°,
,:E是BD中点,
:.BE=CE,
NBCE=NCBE,
,:OC=OB,
:.ZOCB=ZOBC,
/./BCE+/OCB=9。。,
:.ZOCE=90°,
':0c是。。的半径,
是。。的切线;
(2)解:;BD=4,N2CD=90。,点E是AD中点,
;.BE=CE=LBD=2,
2
•:2EF=3BE,
:.EF=3,
在中,51=五,2_而2=遥,
由(1)得NOCF=N4BD=90。,
设OC=x,贝UOF=BF-OB=4S-x,
,:OF2-OC2=FC2,
(5/5_x)2-x2=I2,
解得:x=2VL,
5
;.。。的半径为2娓.
16.(2023•萧山区校级一模)如图,在A48C中,AB=AC.以N8为直径的。。与线段8c交于点。,过点
。作。EL/C,垂足为E,ED的延长线与N2的延长线交于点尸.
(1)求证:直线PE是。。的切线;
(2)若。。的半径为6,/尸=30。,求CE的长.
A
【分析】(1)连接。。,根据AB=/C,OB=OD,得N4CB=N0DB,从而0O〃NC,由DE_L4C,即
可得P£J_。。,故P£是。。的切线;
(2)连接4D,连接OD,由DE_L4C,NP=30。,得/P4E=60。,又4B=AC,可得A42C是等边三角
形,即可得8c=A8=12,ZC=60°,而45是。。的直径,得//。8=90。,可得Br>=CD=」JC=6,
2
在RtZiCDE中,即得CE的长是3.
【解答】(1)证明:连接0。,如图:
•;4B=4C,
:.ZABC=ZACB,
,;OB=OD,
:.NABC=NODB,
:.ZACB=ZODB,
:.OD//AC,
'JDELAC,
C.DELOD,§PPELOD,
是。。的半径,
;.尸£是。。的切线;
(2)解:连接连接。。,如图:
A
:DEL4C,
:./AEP=90。,
•・•N尸=30。,
・•・ZPAE=60%
*:AB=AC,
:.AABC是等边三角形,
・・・NC=60。,
・・,。。的半径为6,
:.BC=AB=U,
是。。的直径,
/ADB=90。,
:・BD=CD=1~BC=6,
2
在RtaCDE中,
CE—CZ>cosC=6xcos60°=3,
答:CE的长是3.
17.(2024•西湖区校级二模)如图,A48C内接于OO,是。。的直径,过点力的切线交BC的延长线于
点、D,E是。。上一点,点C,E分别位于直径48异侧,连接BE,CE,S.ZADB=ZDBE.
(1)求证:CE=CB;
(2)求证:/BAE=2NABC;
(3)过点C作C户,N2,垂足为点尸,若求tan/4BC的值.
SAABE3
D
【分析】(1)根据是。。的直径,AD为。。的切线,^ADLAB,ZAEB=90°,则=
90°,ZAEC+ZCEB=90°,MtMJgZABD=ZAECZADB=ZCEB,进而再由//£>8=408£■得/CE5
=/DBE,据此可得出结论;
(2)连接C。并延长交于〃,贝1J//OC=2N/5C,由(1)的结论可知C£=C8,则令=窟,由垂
径定理得NXLBE,再根据N2是。。的直径得N/£2=90。,由此可得NE〃CH,则/R4E=N/OC,据
此可得出结论
(3)证A48E和△OCF相似得/£:OF=BE:CF=AB-.OC=2,贝U/E=2ORBE=2CF,设。。的半
径为r,OF=x,则4E=2x,BF=OB+OF=r+x,由,&ECF得上!主上_,由此解出》=2二,则%?=
SAABE84x87
,=如,然后在RtaOC尸中,由勾股定理求出C尸=2运三,最后再根据锐角三角形的定义可得tan/
77
48c的值.
【解答】(1)证明:是。。的直径,为。。的切线,
:.ADLAB,ZAEB=90°,
:.ZADB+ZABD=90°,NAEC+/CEB=9G0,
,?ZABD=/AEC,
:./ADB=/CEB,
ZADB=ZDBEf
:・/CEB=/DBE,
:.CE=CB;
(2)证明:连接CO并延长交5E于X,如图所示:
D
E\/
•;OB=OC,
:./ABC=/OCB,
:.ZAOC=ZABC+ZOCB=2AABC,
由(1)的结论可知:CE=CB,
ACE=CB,
:.AHLBE,
是。。的直径,
・•・/AEB=90。,
即AELBE,
:.AE//CH,
:.NBAE=/AOC,
:.ZBAE=2ZABC;
(3)解:・.78是。。的直径,CFLAB,
:・/BEA=NCFO=90。,AB=2OC,
又・・ZE〃C〃,
・•・/BAE=NAOC,
:.AABESAOCF,
:.AE:OF=BE:CF=AB:OC=2,
:.AE=2OF,BE=2CF,
设。。的半径为八OF=x,
则Z£=2x,BF=OB+OF=r+x,
:・SMCF=LBF・CF=L(H-X)•CF,%M=LE・5E=_LX2X・2CF=2X・CR
2222
S
.•.--A-B-C-F---9-,
SAABE'
y(r+x)*CFq
2x<FT
即也3
4x8
解得:x=立,
7
".BF—r+x—r+-^-=^-,
77
在Rt^OC/中,。尸
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