圆的基本性质的常考题型（6大热考题型）解析版-2025年中考数学一轮复习知识清单

难点07圆的基本性质的常考题型

（6大热考题型）

麴型盘点N

题型一：圆的基本和最值问题

题型二：垂径定理及其应用

题型三：圆心角'弦、弧之间的关系

题型四：圆周角定理

题型五：圆周角定理的推论和应用

题型六：圆内接四边形

信精淮握分

题型一：圆的基本和最值问题

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•江苏苏州•中考真题）如图，矩形A3C。中，ABf,BC=1,动点、E,F分别从点A,C

同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB,CD向终点8,。运动，过点E,尸作直线/,过点A作直线

/的垂线，垂足为G,则AG的最大值为（）

C.2D.1

【答案】D

【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角

三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键.

连接AC,BD交于点0,取Q4中点连接G8,根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G的轨迹,

从而求出AG的最大值.

【详解】解：连接AC,应）交于点。，取。4中点连接G〃，如图所示：

•・,四边形ABCD是矩形,

AZABC=90°,OA=OC,AB//CD,

2,

・••在中，AC=^AB2+BC2+F=2,

：.OA=OC=-AC=1,

2

■:AB//CD,

:.NEAO=NFCO,

在ZXAOE与4co尸中,

AE=CF

<ZEAO=ZFCO

OA=OC

△AOE/△COP(SAS),

:.ZAOE=ZCOF,

:.E,0,歹共线，

AG1EF,H是03中点，

...在RtAAGO中，GH=-AO=-,

22

；.G的轨迹为以“为圆心，!为半径即A。为直径的圆弧.

AG的最大值为A0的长，即4GM=AO=1.

故选：D.

【典例2】(2023•山东淄博•中考真题)在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活

动.

(D操作判断

小红将两个完全相同的矩形纸片ABC。和CEFG拼成乜”形图案，如图①.

试判断：△ACR的形状为.

G

图①

(2)深入探究

小红在保持矩形ABC。不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若钻=2,4)=4.

探究一：当点尸恰好落在AD的延长线上时，设CG与£>/相交于点如图②.求CM/的面积.

探究二：连接AE,取AE的中点连接如图③.

求线段DH长度的最大值和最小值.

EE

图②图③

【答案】(1)等腰直角三角形

⑵探究一：I：探究二：线段DH长度的最大值为有+1,最小值为逐-1

【分析】(1)由AC=CR,可知,.ACF是等腰三角形，再由AfiC四一FGC(SAS),推导出/ACF=90。，即

可判断出,ACF是等腰直角三角形,

(2)探究一：证明CDM^FGM(AAS),可得CM=A3,再由等腰三角形的性质可得=b,在

RjCDM中，勾股定理列出方程CM2=2?+(4-CM),,解得CM,即可求_CMF的面积；

探究二：连接DE,取DE的中点尸，连接HP,取力。、3C的中点为M、N,连接MV,MH,NH,分别

得出四边形是平行四边形，四边形HNC尸是平行四边形，则/MHN=90°,可知H点在以MN为直

径的圆上，设的中点为T,DT=E即可得出的最大值与最小值.

【详解】(1)解：两个完全相同的矩形纸片和CEFG,

:.AC=CF,

.；ACF是等腰三角形，

AB=GF,NFGC=ZABC=90°.BC=CG,

「..ABC纪/GC(SAS),

:"BAC=/GFC,

・.,ABCD,

：.ZBAC=ZACG,

：.ZACG=/GFC,

NGCF+NGFC=90。,

:.ZACG+ZGCF=90°,

../AC尸=90。，

ACT是等腰直角三角形，

故答案为：等腰直角三角形；

(2)探究一：CD=GF,NFMG=NDMC,NG=/CDF=90°,

CDM之/GM(AAS),

;.CM=MF,

AC=CFfCD±AF,

:.AD=DF,

AB=CD=2,AD=DF=4f

:.DM=4-CM,

在mCOM中，CM2=CD2+DM2,

CM2=22+(4-CM)2,

解得CM=g,

5

2

的面积=[X2XM=M；

222

探究二：连接DE,取OE的中点P,连接XP,CP,取4。、BC的中点为M、N,连接MN,MH,NH,

“是AE的中点,

图③

MH//DE,且""DE,

CD=CE,

:.CPLDE,DP=PE,

MH//DP,且=

四边形MHPD是平行四边形，

:.MD=HP,MD//HP,

AD//BC,MD=CN,

HP//CN,HP=CN,

四边形HNCP是平行四边形，

NH//CP,

:.ZMHN=90。,

点在以MN为直径的圆上，

设MN的中点为T,

£>T=712+22=V5，

.•••D”的最大值为逐+1,最小值为君-1.

【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性

质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定5点的运动轨迹是解题的关键.

【变式1-1］（2024•江苏连云港•中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在。点，另一端绑一重物.将此重

物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到2点.则此重物移动路径的形状为（）

A.倾斜直线B.抛物线C.圆弧D.水平直线

【答案】C

【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧.

【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点A的运动轨迹是以。为圆心，为半径的一段圆

弧,

故选：c.

【变式1-2］（2023•江苏宿迁・中考真题）在同一平面内，己知。的半径为2,圆心。到直线/的距离为3,

点尸为圆上的一个动点，则点P到直线/的最大距离是（）

A.2B.5C.6D.8

【答案】B

【分析】过点。作。4，/于点A,连接。尸，判断出当点P为AO的延长线与（。的交点时，点尸到直线/的

距离最大，由此即可得.

【详解】解：如图，过点。作Q4，/于点A,连接。尸，

/.OA=3,OP=2,

A

・•・当点尸为AO的延长线与。的交点时，点尸到直线/的距离最大，最大距离为B4=3+2=5,

故选：B.

【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点P到直线/的距离最大时，点尸的位置是解题关键.

【中考模拟即学即练】

1.（2024.安徽合肥•三模）如图，尸为线段A8上一动点（点P不与点A,B重合），将线段AP绕点P顺时

针旋转45。得到线段CP，将线段BP绕点尸逆时针旋转45。得到线段DP,连接AD,,交点为0.若=6,

点H是线段AB的中点，则QH的最小值为（）

A.3B.372-3C.30D.2

【答案】B

【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形手拉手问题、三角形中位线及四点共圆最小值问题，作

且应1=区4,先证APg,CPB,结合旋转角度问题得到4。、B、E四点共圆，结合三角形三边关系即

可得到答案；

【详解】解：•••线段AP绕点P顺时针旋转45。得到线段CP,将线段即绕点尸逆时针旋转45。得到线段。P,

；・AP=CP,DP=BP,ZAPC=ZBPD=45°f

：.ZAPD=ZCPB=135°,

在△APD与△CP3中，

AP=CP

\ZAPD=ZCPB,

DP=BP

：...APD^.CPB(SAS),

・・・AC=ZDAP,

・.・ZCKA=ZC+ZCQA=ZDAP+ZCPA,

ZCQA=45°f

.-.ZAQB=135°f

作E4J_R4且E4=B4,取班的中点。，连接OH,Q4,OQ,

■:AB=6,EA=BA,

：.AE=6fNE=45。,

・・・点”、。是中点，

：.OH=-AE=3OA=OE=OB=-BE=-yj62+62=372,

2f22

・.・ZE+ZAQB=45°+135°=180°,

・・・A、°、B、E四点共圆,

・：OA=OE=OB,

・・・A、Q、B、石是在以点。为圆心。4为半径的圆上，

当。、H、。在同一直线时，

QH=OQ-OH=3y/2-3f

当0、H、。不在同一直线时

QH>OQ-OH=3应-3,

则QH最小值为3忘-3，

故选：B.

2.（2024.浙江嘉兴•一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3,£为边上的一个动点，连接AE,点B关于

AE的对称点为8',连接87）.若3'。的最大值与最小值之比为2,则的长为

［答案】4±77

【分析】本题主要考查了一点到圆上一点距离的最值问题，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，由轴

对称的性质可得AB'=AB=3,则点B'在以A为圆心，半径为3的圆上运动，据此可得当4D、3'三点共

线时，最小,当点E与点2重合时，B7）最大，据此表示出87）的最大值和最小值，再由笈。的最大值

与最小值之比为2列出方程求解即可.

【详解】解；如图所示，连接A9,

由轴对称的性质可得AB'=AB=3,

；•点在以A为圆心，半径为3的圆上运动，

...当A、D、3'三点共线时，斤。最小，

••叫小=|但箝

•.,点E在线段上，

二当点£与点B重合时，最大,最大值即为8。的长,

B'D曷+=yjAD2+AB2=VAD2+9,

取人

:87）的最大值与最小值之比为2,

.J3+9

"\AD-3\~J

/.AD2+9=4（A£>-3）2,

/.AD2-8AD+9^0,

解得4£>=4+夕或4。=4一行,

故答案为：4±币.

3.（2024•江苏南京•模拟预测）如图，点C是A上一动点，8为一定点，。随着C点移动而移动，EG为BD

的垂直平分线，NCBD=9O。,BD=2BC,EG=4BC,若。A半径为2,点2到点A的距离为4,则在C点

【答案】6A/26

【分析】该题主要考查了勾股定理，正方形的性质和判定，垂直平分线的定义，圆中相关知识点，解题的

关键是找到CE取得最大值时点C的位置.

过点C作CFLGE交GE所在直线于点尸，证明四边形BCfG是正方形，设3C=x,则

BD=2x,EG=4x,EF=5x,BG=CF=x,勾股定理得出CE?=26尤2,确定出3C=6时8C最大，求解即可;

【详解】解：过点C作CFLGE交GE所在直线于点尸，

EG为30的垂直平分线，ZCBD=90°,

/.NCBG=ZBGF=NCFG=90°,

BC=BG,

二四边形BCTG是正方形，

设BC=x,则BD=2x,EG=4x,EF=5x,BG=CF=x,

在H/C厂E中，。石2=。尸2+.2=26/，

故当％最大时，CE最大,

,?BC<AB+AC,

二3C=AB+AC=4+2=6时BC最大，即x最大,

止匕时CE=J26X2=6医，

故答案为：6^/26.

4.(2024.河北秦皇岛.一模)某校社团实践活动中，有若干个同学参加.先到的〃个同学均匀围成一个以。点

为圆心，1m为半径的圆圈，如图所示(每个同学对应圆周上一个点).

(1)若〃=6,则相邻两人间的圆弧长是ni.(结果保留兀)

(2)又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移。米，再左右调整位置，使这("+2)个同学之

间的圆弧长与原来鼠个同学之间的圆弧长相等.这("+2)个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重

复前面的操作，则每人须再往后移6米，才能使得这(〃+3)个同学之间的圆弧长与原来〃个同学之间的圆弧

长相同，则b士二.

a

【答案】兀J_

32-

【分析】本题考查圆的周长和弧长，

(1)先计算出圆的周长，再计算出圆的弧长即可；

(2)先计算出半径往后移。米的圆的周长，求出弧长，根据弧长相等建立等式即可求出“，再计算出b,即

可得到答案.

【详解】解：(1)当〃=6时，圆的周长为：2万，

相邻两人间的圆弧长是华=£,

63

故答案为：y;

(2)又来了两个同学后圆的周长为：2万(1+a),

.2万(1+a)_兀

••--------------——,

6+23

••14'-,

3

当又有一个同学要加入队伍后，圆的周长为：2万(1+。+3,

.2%(l+a+h)n

••----------------——,

6+2+13

6

••一——9

a2

故答案为：

5.(2024・浙江•模拟预测)如图，以点A为圆心的圆交数轴于8,C两点(点C在点A的左侧，点8在点A

的右侧)，若48两点表示的数分别为1,百，则点C表示的数是.

【答案】2-V3/-V3+2

【分析】本题主要考查了是数轴上两点之间的距离和圆的性质.根据42两点表示的数可求得A的半径

为6-1,再利用8点表示的数减去rA的直径即可解题.

【详解】解：A,8两点表示的数分别为1,由,

根据圆的性质可得：

AC=BC=A/3-1,

OC=^-2X(A/3-1)=2-^,

•・•点C表示的数是2-

故答案为：2-73.

6.（2024・陕西•模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,〃是平面内一动点，且8M=1，则

线段的最大值为

【答案】713+1/1+A/B

【分析】该题主要考查了矩形的性质，勾股定理，圆相关知识点，解题的关键是明确点M的运动轨迹.

根据勾股定理算出80=而，再根据题意确定点〃在以1为半径的8上运动，ZW的最大值=+

即可求解；

【详解】解：：四边形是矩形,

ZC=90°,CD=AB=2,

,•BD=V22+32=\/13,

VBM=b

.•.点M在以1为半径的，8上运动,

如图当昆丽,。三点共线时，

DM最大，最大值=屈+1.

故答案为：JF+1.

7.（2023・四川乐山•模拟预测）【发现问题】

小明在练习簿的横线上取点。为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆,

描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律.

【提出问题】

小明利用已学知识和经验，以圆心。为原点，过点。的横线所在直线为X轴，过点。且垂直于横线的直线

为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示，当所描的点在半径为5的

同心圆上时，其坐标为.

【解决问题】

请帮助小明验证他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明继续思考：设点尸（O，M，机为正整数，以。尸为直径画，M,是否存在所描的点在CM上，若存在，

求机的值；若不存在，请说明理由.

【答案】【分析问题】（-3,4）或（3,4）,【解决问题】见解析，【深度思考】4

【分析】分析问题：利用垂径定理与勾股定理解答即可；

解决问题：设所描的点在半径为为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为1,再进一步求解横坐标

即可；

深度思考：设该点的坐标为卜3^斤,〃-1）,结合＜M的圆心坐标，利用勾股定理，即可用含"的代数式表示

出加的值，再结合机，,均为正整数，即可得出"J〃的值.

【详解】解：分析问题：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标y=5-l=4,

•横坐标x=±,52—I=±3，

.••点的坐标为（一3,4））或（3,4）；

解决问题：证明：设所描的点在半径为为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为〃-1,

该点的横坐标为,

二该点的坐标为卜"或（。2”1,«-1）,

（±J2"—1）2=2n-l,n-l=2n~^~1,

该点在二次函数y=）（尤2-l）=|x2-1的图象上，

小明的猜想正确；

深度思考：设该点的坐标为（士二l〃T）,M的圆心坐标为

J（±j2〃-1-0）=gwi,

.M=E=（”1+1）2=（”1）2+2（〃T）+1=I+2+J_,

n—1n-1n-1n-1

又•・•，”，”均为正整数，

/.n—1=1,

二.机=1+2+1=4,

・・・存在所描的点在:M上，加的值为4.

【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征以及与圆有关的位置关系,

解题的关键是找出点在二次函数y=的图象上.

8.（2024・湖南•模拟预测）如图，在6x6的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点.A,8两点均为格点,

请仅用无刻度直尺找出经过A,2两点的圆的圆心。，并保留作图痕迹.

【答案】见解析

【分析】根据圆心确定的条件即弦的垂直平分线的交点，再利用垂径定理解答即可.

本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、垂径定理等知识点，灵活运用垂径定理是解题的关键.

【详解】解：根据题意，画图如下:

则点。即为所求.

9.（2025・湖北十堰•模拟预测）如图，。的直径48垂直弦C。于点E,尸是圆上一点，。是的中点,

连接CF交于点G,连接BC.

（1）求证：GE=BE；

（2）若AG=6,BG=4,求CD的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）8

【分析】（1）利用ASA证明△CEG四△CEB,即可得到GE=3E；

（2）连接OC,求出直径A8的长，即得半径OC=O3=5,求出OG,由（1）知GE=BE=」8G=2,再

2

求出OE,利用勾股定理求出CE,根据垂径定理即可求出CZ）.

【详解】（1）证明：•••£）是2尸的中点，

：.ZFCD=ZBCDf即/GCE=NBCE,

•.*CD±ABf

：.NCEG=NCEB=9伊,

又,；CE=CE,

・••一CEG乌CEB(ASA),

：.GE=BE；

*.*AG=6,BG=4,

AB=6+4=10,

Z.OC^OB^-AB=5,

2

：.OG=OB-BG=5-4=1,

由（1）知GE=BE=LBG=2,

2

：.OE=OG+GE=\+2=3,

；•CE=S。-OE。=4,

•.,直径AB_LCD,

CD=2CE=2x4=8.

【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定与性质，垂径定理，勾股定理.熟练掌握圆的基本性

质、三角形全等的判定定理是解题的关键.

题型二：垂径定理及其应用

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•湖南长沙•中考真题）如图，在|。中，弦A8的长为8,圆心。到A8的距离OE=4,贝UO

的半径长为（）

B.4应C.5D.5点

【答案】B

【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到AE,再根据勾股定理求解即可.

【详解】解：：在（。中，弦A3的长为8,圆心。至的距离比=4,

OE1AB,AE=-AB=4,

2

在RtAAOE中，OA=^OEr+AE1=742+42=40，

故选：B.

【变式2-1］（2024•内蒙古通辽•中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，。为A3的中点，C为拱门

最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=lm,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为（）

A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m

【答案】B

【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接先证明CDLAB,

AD=BD=0.5,再进一步的利用勾股定理计算即可；

【详解】解：如图，连接。4,

•..。为的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB=lm,

ACDA.AB,AD=BD=0.5,

设拱门所在圆的半径为「，

Z.OA=OC=r,而CD=2.5m,

OD=2.5-r,

：.r2=0.52+（2.5-r）2,

解得：r=1.3,

二拱门所在圆的半径为L3m；

故选B

【变式2-2X2024•新疆・中考真题）如图，48是的直径，CD是。的弦，ABLCD,垂足为E.若05=8,

00=5,则BE的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键.

根据垂径定理求得。E=goC=4,再对RtVOED运用勾股定理即可求OE,最后3E=03-OE即可求解.

【详解】解：：A8是（。的直径，

ADE=-DC=4,NOED=90°,

2

.•.在RtVOED中，由勾股定理得0E=，亦-a=3,

Z.BE=OB—OE=5—3=2,

故选：B.

【变式2-3］（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，在。中，直径A5LCD于点E,CD=6,BE=l,贝l］弦

AC的长为.

A

【答案】3V10

【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键.

由垂径定理得CE=EO=1a)=3,设。的半径为r,则0打=06-初=/一1,在瓦。即中，由勾股定

理得出方程，求出r=5,即可得出AE=9,在RfAEC中，由勾股定理即可求解.

【详解】解：•••"，CD,C£>=6,

:.CE=ED=-CD=3,

2

设〈，。的半径为厂，则OE=OB—£B=r-l,

在Rf0E力中，由勾股定理得：OE2+DE?=C)D2,即(―1)2+32=/,

解得：r=5,

二.OA=5,OE-4,

:.AE=OA+OE=9,

在心AEC中，由勾股定理得：AC=^CE2+AE2=V32+92=3710,

故答案为：3A/10.

【变式2-4](2024•江西・中考真题)如图，A8是。的直径，AB=2,点C在线段上运动，过点C的弦

DEJ.AB,将O8E沿DE翻折交直线A8于点尸，当DE的长为正整数时，线段尸3的长为.

【答案】2-省或2+g或2

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据可得/定=1或2,利用勾股定理进

行解答即可，进行分类讨论是解题的关键.

【详解】解：钙为直径，DE为弦,

DE<AB,

・•・当DE的长为正整数时，DE=1或2,

当£比=2时，即DE为直径，

-.■DE±AB

将DBE沿DE翻折交直线于点尸，此时产与点A重合,

故FB=2；

当。E=1时，且在点C在线段之间，

如图，连接OD,

22

0C=y/OD2-DC2=—,

2

2-J3

BC=OB-OC=——,

2

BF=2BC=2-y/3；

BF=2BC=2+6

综上，可得线段期的长为2-石或2+后或2,

故答案为：2-6或2+0或2.

【中考模拟即学即练】

1.（2023•广东东莞•一模）如图，是•。直径，点C在CO上，CD,A3垂足为。，点E是。上动点

（不与C重合），点歹为CE的中点，若AD=3,CD=6,则D尸的最大值为.

【答案】7.5

【分析】本题考查了垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，延长8交1。于点G,连接GE、OC,根

据垂径定理得到CD=DG,推出=gGE,得到当GE取最大值时，DF也取得最大值，设：',0的半径为「，

则8=厂-3,利用勾股定理求出「即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：延长C。交；。于点G,连接GE、OC,

VCDLAB,即CGLAB,A8是，。的直径,

CD=DG,

;点尸为CE的中点，

/.DF=-GE,

2

当GE取最大值时，。b也取得最大值，

设。的半径为厂，则8=—3,

在RtAOCD中，OC2=OD2+CD2,

/.r2=(r-3)2+62,解得：r=7.5,

，GE的最大值为15,

/.D尸的最大值为7.5,

故答案为：7.5.

2.（2025・安徽•模拟预测）已知。的半径为5,A8是「。的弦,P是弦A8的延长线的一点，若PA=8,PB=2,

则圆心。到弦A8的距离为（）

A.屈B.6C.730D.4

【答案】D

【分析】本题考查了垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.关键是根据勾股定

理解答.作OC于C,连接Q4,根据垂径定理得至UAC=BC=LAB=LX6=3,然后在Rt..AOC中，利

22

用勾股定理计算OC即可.

【详解】解：作于C,连接。4,如图，

；PA=8,PB=2,

AB=PA-AB=8-2=6,

'：OC±AB,

：.AC=BC=-AB=-x6=3,

22

在RtAOC中，OA=5,

二OC=7tM2-AC2=A/52-32=4，

即圆心。到弦AB的距离为4.

故选：D.

3.（2024•山西长治•模拟预测）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工

具）的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆.已知圆心。在水面上方，且。

被水面截得弦力B长为8米，。半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦4B所在直线的距

离是（）

最修

图1图2

A.2米B.4米C.（6-2⑹米D.（6+2码米

【答案】C

【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理.

连接0c交于点根据垂径定理得到4"=3//=：43=4米，OC1AB,再根据勾股定理得到

OH2+AH2=0^即可得解.

【详解】解：连接0C交力B于点”，

水面%/\HJB

ZZ£>=-=-Tz:

====^E====

图2

依题得：AH=BH=^AB=4^:,OC1AB,O4=0C=6米，

设0"=x,即C”=6—x,

RfAOH中,OH2+AH2=OA2,

即尤2+42=6?,

解得x=2石,

即OH=2小米,

.•.CH=（6-2石）米，

即点C到弦4B所在直线的距离是（6-2斯）米.

故选：C.

4.（2024・云南怒江.一模）如图，A8是,：。的弦，半径OCLAB,垂足为。，设AB=6,CD=1,则。的

半径长为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接。4,由垂径定理可得=设。4=OC=r,则

OD=OC-CD=r-\,再由勾股定理计算即可得解.

：48是（：0的弦，半径OC_LAB,垂足为D,

AD=-AB=3,

2

^OA=OC=r,则OD=OC—CD=—1,

由勾股定理可得：O^^OD-+AD1,即户=（-1）2+3:

解得：r=5,

故选：C.

5.（2024.四川成都・二模）如图，A3是。的弦，若。的半径。1=10,圆心。到弦A8的距离OC=6,

【答案】C

【分析】根据垂径定理，得AC=BC=gAB,且AC=gT-必=713^=8，解答即可.

本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握两个定理是解题的关键.

【详解】解：根据垂径定理，^AC=BC=^AB,

根据勾股定理，WAC=4OJ^-OC1=7102-62=8-

故AB=2AC=16.

故选：C.

6.（2024•湖北武汉•模拟预测）如图，分别是以AB,AC为直径的两个半圆，其中AC是半圆。的一条弦,

E是AC中点，。是半圆ADC中点.若AB=6,DE=1,且AC>3,则AC的长为（）

A.3+73B.4+73C.3+0D.4+0

【答案】D

【分析】本题考查圆的垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，作出合理的辅助线证明。、E、R。在

同一条直线上是解题的关键.连接八4DC,EO,BC.E是AC中点，推。石垂直平分AC,。是半圆AOC

中点，推ED垂直平分AC,D、E、F、。在同一条直线上，尸是AC的中点，。是A8中点，推。厂是VABC

的中位线，在Rt^ABC中，根据勾股定理得AC长.

【详解】解：连接D4,DC,EO,BC,OE交AC于点R

E是AC中点，

垂直平分AC,

是AC的中点.

AC为1歹的直径,

:.ZADC=90°,

。是半圆AOC中点,

田垂直平分AC,

.:D、E、尸、。在同一条直线上，DA=DC,ZDFA=9Q°,

:.ZDAF=45°,

:.DF=AF,

设EF=x,DF=AF=CF=x+l,OF=-x6-x=3-x

2f

/.AC=2x+2,

产是AC的中点，。是AB中点，

尸是VABC的中位线，

\BC=2OF=6-2x,

■为（。直径，

.-.ZACB=90°,

在RtZkABC中，根据勾股定理得，AB2=AC2+BC2,

.-.62=（2+2X）2+（6-2X）2,

:.x=l土也,

2

AO3,

..X=1H----,

2

\AC=2尤+2=4+也.

故选：D.

7.（2024・湖南长沙模拟预测）如图，是。的半径，弦3CLQ4于点。，连接02.若（。的半径为5cm,

BC的长为8cm,则AD的长是cm.

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理和勾股定理求出8的长，进而求出AO的长即可.

【详解】解：由题意，OA=OB=5cm,

:。4是〈。的半径，弦BCLQ4于点D

BD=—BC=4cm,

2

OD=y/OB2-BD2=3cm，

AD=OA—OD=2cm：

故答案为：2.

8.（2024.上海嘉定・二模）如图在圆。中，48是直径，弦CD与48交于点E,如果A£=l,EB=9,ZAEC=45°,

点M是CD的中点，连接OM,并延长Q0与圆。交于点N,那么.

【答案】5-2加/-20+5

【分析】本题主要考查圆有关性质.熟练掌握垂径定理推论，等腰直角三角形性质，是解决问题的关键.

由题意可知AB=10,贝UON=Q4=5,根据垂径定理推论得到。MLCD,结合NAEC=45。可得.EOM是

等腰直角三角形，求得PM=^OE=2也,即可求得MN=5-20.

2

【详解】解：：在圆。中，43是直径，AE=1,EB=9,

AB=10,

OA—5,

：.。石=4,

・・,点M是CO的中点，

：.OMLCD,

・・•ZAEC=45°,

・・.,EOM是等腰直角三角形，

二PM=~OE=2y/2,

2

:.MN=ON-OM=5-2及,

故答案为：5-2志.

9.（2024・湖南・二模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点。为圆心的圆的一部分，如果C是:。中

弦A8的中点，CZ）经过圆心。交:•O于点D,且AB=8m,OC=3m,则8=m.

【答案】8

【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理.连接。4,先根据垂径定理、线段中点的定义可得OC^AB,

AC=4m,设【。的半径长为小，再在RtAOC中，利用勾股定理即可得＜。的半径，进一步计算即可求

解.

【详解】解：如图，连接。4,

＜^是＜。中的弦48的中点,且AB=8m,

：,OCA.AB,AC=-AB=4m,

2

设0。的半径长为rm,则。1=OD=rm,

22

在RtA0C中，r=73+4=5>

则8=0D+0C=8（m）,

故答案为：8.

10.（2024•广东湛江•模拟预测）如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点C,交弦A5

于点。，已知AB=8cm,CD=2cm.

（1）求作此残片所在的圆的圆心0（不写作法，保留作图痕迹）;

⑵求出（1）中所作圆的半径.

【答案】(1)见解析

(2)5cm

【分析】本题考查了垂经定理的应用和基本作图，用到的知识点是线段垂直平分线的作法与性质、垂径定

理、勾股定理的应用，基本作图需要熟练掌握.

(1)在圆形残片上作弦8E的垂直平分线交C£>于点P,连接转，以尸为圆心，转为半径的圆为所

求残片的圆.

(2)先设圆P的半径为r,根据45，。0和已知条件求出4£>=:回，PD=(r-2)cm,在RtAP少中，

根据”2=")2+。尸，得出/2=42+上一2『，求出r即可.

【详解】(1)解：作图如下，

(2)解：设圆尸的半径为r,

VAB1.CD,AB=8cm,CD=2cm,

AD=AB=4cm,PD=(r-2)cm

在RtA尸。中，AP2=AD2+DP2>

：.户=42+(-2?，

解得r=5,

：.尸的半径为5cm.

11.(2024・湖南•模拟预测)某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚.如

图，大棚跨度AB=8m,拱高CD=2m.

同学们讨论出两种设计方案：

方案一，设计成圆弧型，如图1,已知圆心。，过点。作OCAB于点。交圆弧于点C.连接。4.

方案二，设计成抛物线型，如图2,以A8所在直线为x轴，线段A3的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标

系.

(1)求方案一中圆的半径；

(2)求方案二中抛物线的函数表达式；

(3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即AE=M=lm.在大棚内需搭建2m高的

植物攀爬竿，即GM=EW=2m,60，45于点2，HN上AB于点、Q,GH与OC交于点、K.请问哪种设

计的种植宽度(AW)要大些？(不考虑种植间距等其他问题，且四边形GMMf是矩形)

【答案】(l)5m

1,一

(2)y=--x+2

O

(3)方案一中的种植宽度(MN)要大些

【分析】本题考查二次函数与圆的综合，涉及垂径定理、勾股定理、待定系数法求二次函数的解析式，求

得抛物线的函数表达式是解答的关系.

(1)根据垂径定理和勾股定理求解即可；

(2)利用待定系数法求解抛物线的函数表达式即可；

(3)根据题意，分别求得两个方案中的G"长，然后比较大小可得结论.

【详解】(1)解：如图1,设圆的半径为mi,

VOC.LAB,AB=8m,

AD=—AB=4m,

2

在RtAOD中，OD=OC-CD=(r-2)m,

由勾股定理得r=42+(—2)一，解得r=5,

即圆的半径为5m；

(2)解：根据题意，4(—4,0),8(4,0),C(0,2),

设该抛物线的函数表达式为y=ax1+2,

将点B(4,0)代入y=o^+2中，得16。+2=0,解得。=一：,

,该抛物线的函数表达式为y=二必+2；

O

(3)解：如图1,连接OH,

ov

图3

由题意，GH=MN,KD=lm,GK=KH,ZOKH=90°,

在RtOHK中，OH=5m,OK=OD+KD=5—2+l=4m,

由勾股定理得KH=yjOH--OK2=V52-42=3m-

MN=GH=1KH=6m-,

如图4,由题意，点H和点G的纵坐标均为1,

图4

将y=l代入，=-：Y+2得1=-。/+2,解得X=±2点,

OO

:.MN=GH=4叵,

4^2<6,

方案一中的种植宽度(肱V)要大些.

题型三：圆心角'弦'弧之间的关系

【中考母题学方法】

【典例1】（2023•河北・中考真题）如图，点片是。的八等分点.若*,四边形月舄片鸟的周长分

别为a,b,则下列正确的是（）

a

P5

A.a<bB.a=bC.a>bD.a,b大小无法比较

【答案】A

【分析】连接62,8A，依题意得<鸟===*=6舄,4舄B的周长为。=召鸟+4?+b6，

四边形月BEA的周长为6=鸟乙+B乙+乙2+AB，故6-6七+心乙一6乙，根据的三边关系即可

得解.

【详解】连接肥,鸟舄，

P\

尸5

・；点彳~耳是O的八等分点，即4£=鸟£=乙尸4=乙4=心心=冗4=，尸8=44

.•.片鸟=2A=月舄=心片，p4p6=p4p5+p5p6=肛+p^=pfi

AP』6=用

又；片心片的周长为。=片月+片片+心片,

四边形A舄片片的周长为人=乙乙+乙乙+片片+鸟鸟，

b-a=（月A++［片+86）—（46+44+月，）=（42+62+6月+6£）—（4月+4£+月£）

=plp2+p2p3-pip3

在，片中有66+鸟鸟＞66

'.b—a=P}P2+—P}P3>0

故选A.

【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的

关键.

【变式3-1］（2022・山东聊城.中考真题）如图,人2,。是。的弦，延长48,。相交于点P.已知N尸=30。,

NAOC=80。，则80的度数是（）

C.20°D.10°

【答案】C

【分析】如图,连接08,OD,AC,先求解NQ4C+NOG4=100。，再求解NPAO+NPCO=50。，从而可

得NBOA+ZCOD=260°,再利用周角的含义可得ZBOD=360°-80°-260°=20°,从而可得答案.

【详解】解：如图，连接。8,OD,AC,

•：ZAOC=80°,

ZOAC+ZOCA^100°,

■：ZP=30°,

：.ZPAO+ZPCO=50°,

VOA=OB,OC=OD,

：.ZOBA^ZOAB,NOCD=NODC,

：.ZOBA+ZODC=50°,

/.ZBOA+ZCOD^260°,

：.NBOD=360°-80°-260°=20°.

8。的度数20°.

故选：C.

【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆

心角与弧的度数的关系”是解本题的关键.

【变式3-2](2023•山东烟台・中考真题)如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量

角器的外弧分别交于点A,B,C,D,连接AB,则一54。的度数为.

O

【答案】52.5°

【分析】方法一：如图：连接0A由题意可得：OA=OB=OC=OD,

=50°-25°=25°,然后再根据等腰三角形的性质求得钻=65。、ZOAD25°,最后根据角的和

差即可解答.

方法二：连接。8,8,由题意可得：ZBAD=105°,然后根据圆周角定理即可求解.

【详解】方法一：解：如图：连接0Ao氏。C,0r),AD,A3,

由题意可得：OA=OB=OC=O