圆 压轴题辅助线作法（十四种题型综合分析与联系）原卷版-2024-2025学年浙教版九年级数学上册

圆压轴题辅助线作法

（十四种题型综合分析与联系）

目录:

题型1:“有直径现直角”

题型2：“有垂径现三角形”

题型3：题型1和题型2综合

题型4：构造出圆心角、圆周角之间的关系

题型5：题型1-4综合

题型6：截长补短作垂直

题型7：构造全等三角形

题型8：构造圆内接四边形

题型9：作垂线

题型10：构造特殊平行四边形

题型11：平面直角坐标系中作垂线求数量关系

题型12：构造垂直，拆解线段

题型13：二次函数中作圆寻求数量关系

题型14：内心有关的辅助线作法

题型1：“有直径现直角”

1.如图1,在O。中，AB、CD是直径，弦BELCD,垂足为足

⑵如图2,点G在CD上，S.ZCAG=ZABE.

①求证：AG=BC；

②若尸G=2,BE=4回,求。G的长.

题型2：“有垂径现三角形”

2.如图1,点£是OO直径48上一点，AE=2,BE=8,过点E作弦CO1,点G在初上运动，连

接CG.

⑴求cz＞的长.

(2)如图2,连接/G,作〃CG的角平分线交4G于点尸，在点G运动的过程中，力尸的长度是否会发生变

化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值.

(3)如图3,过点8作8//LCG于4,连接。H,求。”的最小值.

题型3：题型1和题型2综合

3.己知：48是。。的直径，弦8交于点E,且弧36=弧8。.

A

(1)如图1,求证：CE=DE；

(2)如图2,连接NC,点尸为/C上的一点，连接3尸，过点C作尸，垂足为点G,若点〃为弧48的

中点，求NQ由的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接尸〃交于点N,若AF=AN,FG=4,求。。的半径.

题型4：构造出圆心角、圆周角之间的关系

4.如图，在△/BC中，48=BC,42c=90。,。是48上一动点，连接CD,以CD为直径的。〃■交/C于

点E,连接期并延长交NC于点尸，交。M于点G,连接8E.

⑴若/E5G=45。，求证：点E是前的中点.

(2)当点。移动到使CD时，求8C:AD的值.

⑶当点。到移动到使岔=30。时，求证：AE-+CF2=EF-.

题型5：题型1-4综合

5.如图，在△N3C中，点。是4C的中点，以。为圆心，04为半径作。。，交BC于点D,交4B于点E,

弧ED与弧DC相等，点尸在线段5E上，NBAC=2NBDF.

(1)求证：AB=AC；

(2)判断。尸与。。的位置关系，并加以证明；

(3)若。。的半径为5,EB+DF=AO,求AD的长.

题型6：截长补短作垂直

6.如图，△48C为。。的内接三角形，AB=AC,/R4C=50。，点P为弧上一点，连接CP.

⑴如图1,当CP，48时，垂足为E,连接49并延长分别交CP,8c于点色G.

①NBCP=°；

②求证：EF=PE.

⑵如图，若CP与不垂直，过点A作垂足为E,连接PB,如果尸8=3,PE=1求线段CE的

长.

题型7：构造全等三角形

7.【感知】如图①，点/、B、P均在OO上，402=90。，则锐角N4P8的大小为度.

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O。是等边三角形/2C的外接圆，点P在弧/C上（点尸不与

点/、C重合），连接尸/、PB、PC.求证：P8=P4+PC.小明发现，延长尸/至点E,使/E=PC,连

接BE,通过证明可推得△ME是等边三角形，进而得证.下面是小明的部分证明过程：

证明：延长P4至点E,使4E=PC,连接BE.

•••四边形/2CP是OO的内接四边形，:+NBCP=180。，

ZBAP+NBAE=180°,ZBCP=NBAE,

•・•△NBC是等边三角形，氏4=3C,

：.APBCAEB4（SAS）.

请你补全余下的证明过程.

【应用】如图③，。。是△4BC的外接圆，ZABC=90°,48=3C,点P在。。上，且点尸与点3在NC

的两侧，连接尸/、PB、PC,若PB=3gPA，则=;的值为多少？

8.是。。上的一条不经过圆心的弦，MN=4在劣弧MN和优弧MN上分别有点/,8（不与M,N重

合），且京=丽，连接4W,BM.

A

(1)如图1,4B是直径，AB交MN于点、C,ZABM=3Q°,求NCMO的度数;

(2)如图2,连接。M,AB,过点。作0。〃48交于点。，求证：/MOD+2/DM0=90。；

(3)如图3,连接㈤V,BN,试猜想+•沏的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请

说明理由.

题型8：构造圆内接四边形

9.如图，△ABC内接于。。，弦C。、8E相交于点尸，ZDFB-ZEDC=90°-ZACD.

(1)如图1,求证：48为。。的直径;

(2)如图2,过点、D作DG"BE,求证：DE=BG；

(3)如图3,在(2)的条件下，8与4B相交于点〃，连接并延长交。。于点K,连接DK,沿DK所

在直线作劣弧DK的轴对称图形经过点H,DG=5,AC=8,求线段DE的长度.

题型9：作垂线

10.已知，/、F、E、C四点在。。上，延长CE,AF交于点、B,S.BE=CE=4.

A

备用图

⑴若4E=BE,

①求证：BF=CF；

②当28=30。时，求ZFC4的度数；

(2)若。。的半径为3,求Nl+NC?的最大值.

题型10：构造特殊平行四边形

11.已知△4BC内接于OO,1.4。于点D.

图1

⑴如图1,求证：NABD=NACB；

⑵如图2,改变点A的位置，延长BD依次交/C,。。于点E,F,若/ABC=2NC,求证：BF=AC；

⑶在(2)的条件下，连接FO并延长，交8c边于点4,若CE=5,AE=3,求线段OH的长.

题型11:平面直角坐标系中作垂线求数量关系

12.在平面直角坐标系x帆中，已知点P(4,3),O。经过点P,过点尸作x轴的平行线交。。于点E.

(1)如图1,求线段。尸的长；

⑵点N为y轴正半轴上的一动点，点8和点N关于直线PE对称，连接P4PB.直线尸4尸8分别交。0

于点C,D.直线CD交x轴于点尸，交直线PE于点G.

①点N运动到如图2位置，连接CE,DE.求证：ZDGP=NECP.

②在点/运动过程中，当。尸=OP时，求点。的坐标.

题型12：构造垂直，拆解线段

13.如图1,在△4BC中，。在边/C上，圆。为锐角△3。)的外接圆，连接C。并延长交4B于点R设

NDBC=a.

⑴若c=60。，求/DCE的度数;

(2)如图2,作8尸垂足为R时与CE交于点G,已知N45Z)=/CAF.

①求证：EB=EG；

②若CE=5,NC=8,求/G+F8的值.

题型13：二次函数中作圆寻求数量关系

14.已知抛物线y=；/+6x+c与x轴交于次4,0),8(—2,0),与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式及c点坐标；

（2）点。为第四象限抛物线上一点，设点。的横坐标为小，四边形/BCD的面积为S,求S与加的函数

关系式，并求S的最值；

（3）点尸在抛物线的对称轴上，且/BPC=45。，请直接写出点尸的坐标.

题型14：内心有关的辅助线作法

15.如图，48为。。的直径，点C是直线48上方的OO上一点，点M是△ABC的内心，连接/M,BM,

CM.延长CM交。。于点。.

D

(1)若/3=10,AC=6,求8c的长；

⑵求乙IMS的度数；

(3)当点C在直线48上方的。。上运动时，求证：DM若AB.

16.如图：已知等腰RtA^CD,