中考数学一轮复习重难点强化训练：锐角三角形函数（知识串讲+11大考点）原卷版

专题07锐角三角函数

考点类型

考点1：锐角三角函数定义

模块四图形的性质

07讲锐角三角函数

考点11：解直角三角形应用——实践建模

考点6：同角三角函数关系

匚，^知识一遍过

(-)锐角三角函数

在RtZiABC中，ZC=90°o则/A的三角函数为

定义表达式取值范围关系

.4NA的对边.Aa

正弦sinA=-------------smA=—0<sinA<lsin/二cosB

斜边c

cos/=sin8

.NA的邻边.bsin2A+cos2A=l

余弦cosA=----7--：-----cosA=—0<cosA<l

斜边c

f.NA的对边Aa,sinA

正切tanA=------人、1tanA=—tanX>0tanA=------

NA的邻边bcosA

(二)特殊角三角函数

三角函数30°45°60°

j_亚与

sin。

2T~T

cosaV34i

~T~T2

旦

tan。1V3

3

（三）直角三角形边角关系

设在RtZXABC中，ZC=90°,NA、NB、NC所对的边分别为a、b、c,则有:

①三边之间的关系：1+式=/（勾股定理）.

②锐角之间的关系：ZA+ZB=90°.

边角之间的关系：

..„a..„b.a„b

sinA=cos£?=—,cosA=sine=—tanA=—,tan/j=—

ccba

S^ABC=gab=：ch,h为斜边上的高.

（四）解直角三角形常见类型及解法

已知条件解法步骤

,a

由tanA二一，求NA；

b

两直角边（a,b）ZB=90°-ZA；

c=Va2+b2

两

边

由sinA二一，求NA；

c

斜边，一直角边（如c,a）ZB=90°—NA；

b=Vc2-a2

BZB=90°-ZA,

a锐角、邻边b

a=b-tanAc-

（如/A,b）cosA

Cb八一直角边

RtAABC

边和一锐角

NB=900-ZA,

锐角、对边

aia

（如NA,a）c=------，b=-------

角sinAtanA

ZB=90°-ZA,

斜边、锐角（如c,ZA）

a=c-sinA,b=cco&4

（五）解直角三角形的应用举例

（1）坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母a表示.

h

坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离/的比叫做坡度，用字母，表示，贝收=—=tana,如图,

坡度通常写成，="：/的形式.

IT

（2）仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，

如图.

/视线

眼睛^----水平线

、视线

（3）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA,

PB,PC的方位角分别为是40°,135°,245°.

北|北

①②

（4）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。的水平角，叫做方向角，如图②中的目标

方向线OA,OB,0C,OD的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,南偏西80°,北偏西60°.特别如：

东南方向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是

北偏西45°

亳7考点一遍过

考点1:锐角三角函数定义

典例1：（2024上•湖南娄底•九年级统考期末）在△ABC中，ZC=90°,a、b、c分别为Nd、NB、NC的对边,

下列各式成立的是（）

A.sinS=-B.cosB--C.tanB=2D.tanB=-

ccba

【变式1】（2024上•河北唐山•九年级统考期末）如图，在A/IBC中，^ACB=90°,CDVAB,下列用线段

比表示cos力的值，埼送的是（）

AA.—ADD嚏

ACc*

【变式2］（2022上•上海浦东新•九年级校考阶段练习）在Rt△4BC中，乙B=90°,BC=a,那么43等于（）

A.a-tan?!B.a-cotAC.马Dr.--a-

sm4cosA

【变式3］（2024上•福建泉州•九年级统考期末）在ABC中，"=90。，那么下列结论中错误的是（）

A.BC=—B.BC=AB•sinA

tanA

C.AB=—D.AC=BC-tanB

C0Si4

【变式4］（2022•黑龙江哈尔滨・哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）在△ABC中，乙4=35°,乙B=55°,BC=5,

则边的长是（）

A-募B.5cos550C.5tan55°D.5sin55°

【变式5］（2023下•山东济南•九年级统考阶段练习）在△ABC中，NC=90。，设乙4、Z.B,NC所对的边分别

为a,b,c,则下列各项正确的是（）

B.a—btanAC.b=csinAD.b=ctanA

考点2：特殊角三角函数值

典例2：（2024上•河南商丘•九年级校联考期末）已知实数。=tan30。，b=cos60°,c=sin45°,则下列判

断正确的是（）

A.b>a>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

【变式1］（2023•湖南娄底•统考一模）定义一种运算:cos（a+£）=cosacosS-sinasinS，cos（a—/?）=

cosacosy?+sinasin，.例如：当a=60。，/?=45。时，cos(60。-45。)=[xj+Jx曰=史?^,则cos75。的

值为（）

A连+企V6-V2C展短D连+企

D.-------------

•44.2•2

【变式21（2019上•广东梅州•九年级广东梅县东山中学校考期末）在AaBC中,N4NB都是锐角，且sinA=当

cosB贝"△ABC是().

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形

【变式3］（2023上•辽宁盘锦•九年级校考期末）在△ABC中，乙4、NB均为锐角，且|tanB-遮|+

2

（2cos71-V3）=0,贝必43（7是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【变式4］（2024上•湖南张家界•九年级统考期末）在△ABC中，若回8=90。，sinA=之则NC的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【变式5］（2023上•河南洛阳•九年级统考期末）下列计算错误的个数是（）

（l）sin60o—sin30°=sin30°；②sin245°+cos245°=1；（3）（tan600）2=|；④tan30°=

A.1个B.2个C.3个D.4个

考点3:锐角三角函数增减性

典例3：（2023・上海静安•校考一模）如果0。<n4<60。，那么sin力与cosd的差（）.

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定

【变式1】（2023上•福建泉州•九年级校考期中）三角函数sin40。、cosl6°,tan50。之间的大小关系是（）

A.tan50°>cosl6°>sin40°B.cosl6°>sin40°>tan50°

C.cosl6°>tan50°>sin40°D.tan50°>sin40°>cosl6°

【变式2］（2023•甘肃张掖•统考模拟预测）若0。<a<90°,则下列说法不正确的是（）

A.sina随a的增大而增大B.cosa随a的减小而减小C.tana随a的增大而增大

D.0<sina<l

【变式31（2023上•黑龙江大庆•九年级校联考开学考试）已知：<cosa<sin80。,则锐角a的取值范围是（）

A.30°<a<80°B.10°<a<80°C.60°<a<80°D.10°<a<60°

考点4:解直角三角形一一直接法

典例4：（2023上,山东烟台•九年级统考期中）在以△ABC中，NC=90。，a,hc分别是乙4,NB,NC的对边.若

a=®b=后,试解这个直角三角形.

【变式1］（2023上•江苏徐州•九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，"=90°,点。在4C上，乙BDC=

45°,BD=10V2,AB=20.求sinA的值.

【变式2］（2023上•山东青岛•八年级校联考期中）如图，已知在RtAABC中，ZC=90°,sin/ABC=3点

。在边BC上，BD=6,连接A£),tan皿1C=|.

⑴求边力C的长;

(2)求tan/BAD的值.

【变式31（2023上•安徽滁州•九年级校考阶段练习）在4ABC中，乙4,和“所对的边长分别为a,b,c/C=

90°.若N4—48=30。,（1+匕=4+4值，解这个直角三角形.

考点5：解直角三角形一一化斜为直

典例5：（2023上•安徽六安•九年级校考阶段练习）如图，在AABC中，乙4=30。28=45。,8c=3&.

c

⑴求力c的值.

⑵求△ABC的面积（结果保留根号）

【变式1］（2023上•安徽六安•九年级统考阶段练习）如图，在△力BC中，ZB=30°,sinC=AC=10.

⑴求4B的长；

（2）求△ABC的面积（结果保留根号）.

【变式2］（2023上•重庆,九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，在RtAABC中，^ABC=90°,

点。为BC的中点，DE12C于点E,连接BE.已知DE=2.

(1)若tanC=5求4B的长度;

(2)若NC=30°,求sin/BEA.

【变式3］（2023•河南许昌•校考一模）如图，AD是EIABC的高，cosB=亨,sinC=|,"=10,求0A2C的

周长.

A

考点6：同角三角函数关系

典例6：（2023上•河南鹤壁•九年级校考期中）已知tana=*a是锐角，贝!Jsina的值是（）

A13-12-5r12

A.—B.—C.—D.—

513135

【变式1］（2023上•全国•九年级专题练习）已知4为锐角，tanA=；,则sinA的值为（）

4

3-4-4-5

AA.-B.-C."D.—

5533

【变式2］（2023上•浙江宁波•九年级校考期中）在RtAABC中，ZC=90。，CD是4B边上的高，如果4。=m,

ZX=a,那么BC的长为（）

“.cmcosa

A.m-tancr-cosaB.---------

tana

.m-tana~mtana

C.--------D.---------

cosasina

【变式3］（2023上•四川广元•九年级校考阶段练习）在RtUBC中，ZC=90°,若cosA=*贝UtanA的值

为（）

212

A

B--

313

考点7：互余两角三角函数关系

典例7：（2022・福建南平・统考二模）如图，将矩形ABC。放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平

行线上，已知相邻平行线间的距离为1,若乙DCE=6,则矩形A2C。的周长可表示为（）

【变式11（2022上•河南南阳•九年级南阳市第十三中学校校考期末）在448c中，ZC=90°,如果sinA=|,

那么cosB的值等于（）

【变式2］（2019上•山东威海•九年级统考期中）如图，sina=|,则cos/?等于（）

【变式3］（2019•安徽宿州・统考一模）在RtAABC中，ZC=90°,若tcmA=三，贝UcosB=（）.

4

34

A.B.c.D.

455

考点8：解直角三角形应用一一仰角俯角

典例8：（2023上•吉林长春•九年级统考期末）榕榕在"测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案:

课题测量教学楼高度

A

*

rVi

r1TLi

rVn

rVi

图示rVi

r1TL

rVi

舛

DB

测得数据CD=6.9m,AACG=22°,乙BCG=13°

sin22°q0.37,cos22°«0.93,tan22°«0.40,

参考数据

sinl3°«0.22,cosl3°«0.97,tanl3°«0.23.

请你依据此方案，求教学楼的高度（结果保留整数）.

【变式1］（2024上•安徽合肥,九年级统考期末）"时代之舞，梦想领航"，合肥骆岗中央公园全向信标台成为

合肥新地标.小丽同学想要通过测量及计算了解信标台CD的大致高度，如图1,当他步行至点A处，测得

此时台顶C的仰角为45。，再步行20米至点B处，测得此时台顶C的仰角为56。（点A,B,£＞在同七、一

条直线上），请帮小丽计算信标台CD的高度.（参考数据：sin56。〜0.83,cos56°«0.55,tan56°«1.50,

结果保留整数）

图1

【变式2］（2024上•安徽亳州,九年级统考期末）如图，无人机在A点测得大楼CD的顶端。的仰角为63.4。,

在8点测得底端C的俯角为53.1。，还测得BC两点间的距离为20米，已知ZBIICD,=12米，求大楼高

度CD.参考数据：sin53.1°-0.80,cos53.1°~0.60,tan53.1°«1.33,sin63.4°-0.89,cos63.4°«0.84,

tan63.4°®2.00.

D

军过3.1。

A

；63.4

L______。_'、、

c

【变式3］（2023上•陕西宝鸡•九年级统考期末）如图，某商场大厅阶梯式扶梯48的倾斜角为30。，48的长

为10m,商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯，改造后的斜坡式扶梯的坡

角N4DB=14°,求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度BD.（结果精确到1m,参考数据：sinl4°~0.24,

cosl4°«0.97,tanl4°-0.25,V3-1.73)

DR

考点9：解直角三角形应用一一方位角

典例9：（2023上•广西来宾・九年级统考期末）由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5

月成功完成首次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达B处时，测得小岛A在北偏东60。方向上,

航行20海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东30。方向.

（1）求线段4C的长度；

（2）若小岛A周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由.

【变式1］（2023•广东广州•统考二模）如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在4处测得小

岛P位于其西北方向（北偏西45。方向），2小时后轮船到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东60。方向.求

此时船与小岛P的距离（结果保留整数，参考数据：V2«1.414,V3«1.732）.

【变式2］（2024上•重庆北倍•九年级西南大学附中校考期末）金秋十一月，阳光大草坪4BCD正处于草坪养

护阶段，如图为草坪的平面示意图.经勘测，入口8在入口A的正西方向，入口C在入口8的正北方向，

入口D在入口C的北偏东60。方向400m处，入口D在入口A的北偏西45。方向1000m处.（参考数据企〜

1.41,V3«1.73)

北

⑴求4B的长度；（结果精确到1米）

⑵小明从入口。处进入前往M处赏花，点〃在4B上，距离入口8的500m处.小明可以选择鹅卵石步道

@D-C-B-M,步行速度为50m/min,也可以选择人工步道②。—4-M,步行速度为60m/min,请

计算说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到O.lmin）

【变式3］（2024上•辽宁阜新•九年级统考期末）如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度前行，在A

处测得岛C在东北方向，20分钟后渔船航行到8处，测得岛C在北偏东30。方向，已知该岛C周围25海里

内有暗礁，（参考数据：V3~1.732,V2~1.414,sin75°«0.966,cos75°~0.259.）

⑴如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由.

（2）如果渔船在B处改为向东偏南15。方向航行，有无触礁危险？说明理由.

考点10：解直角三角形应用一一坡比

典例10：（2024上•安徽六安•九年级统考期末）如图，某人在山坡坡脚4处测得电视塔尖点C的仰角为60。,

沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45。，已知。4=100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i=

1:2,且。、4、B在同一条直线上，求此人所在位置点P的铅直高度PB.（测倾器高度不计，结果保留根号

形式）

图1图2

【变式1］（2024上•广东茂名•九年级统考期末）某校数学兴趣小组为了测量建筑物CD的高度，先在斜坡4B

的底部4测得建筑物顶点C的仰角为31。，再沿斜坡4B走了39m到达斜坡顶点8处，然后在点B测得建筑物顶

点C的仰角为53。，已知斜坡4B的坡度”1:2.4.（参考数据：tan53°~$tan31°~|）

⑴求点B到地面的高度;

（2）求建筑物CD的高度.

【变式2］（2023上•山东枣庄•九年级滕州育才中学校考阶段练习）王刚同学在学习了解直角三角形及其应

用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸人树力B的高度，他在点C处测得大树顶端力的仰角为45。，再从C

点出发沿斜坡走4VIU米到达斜坡上。点，在点。处测得树顶端4的仰角为30。，若斜坡CF的坡比为，=1:3（点

E、C、B住同一水平线上）.

⑴求王刚同学从点C到点。的过程中上升的高度;

（2）求大树48的高度（结果保留根号）.

【变式31（2024上•上海崇明・九年级统考期末）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，

开展了测量山坡上某棵大树高度的活动.已知小山的斜坡的坡度i=1:百，在坡面。处有一棵树4D（假

设树2。垂直水平线BN）,在坡底B处测得树梢A的仰角为45。，沿坡面BM方向前行30米到达C处，测得

树梢A的仰角N4CQ为60。.（点8、C、。在一直线上）

⑴求A、C两点的距离；

（2）求树2D的高度（结果精确到0.1米）.（参考数据：75=1.732）

考点11:解直角三角形应用一一实物建模

典例11：（2024上•湖南常德•九年级统考期末）常德市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图

①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中力B、CD都与地面2平行，车轮半径

为32cm/BCD=64。，BC=60cm,坐垫E与点B的距离B