中考数学一轮复习重难点强化训练：实数及其运算（知识串讲+10大考点）解析版

专题01实数及其运算

考点类型

考点1:实数的分类

模块一数与式

01讲实数

匚，^知识一遍过

（-）实数的分类

（1）实数分类

「正整数-

-整数-Q自然数

「有理数-L负整数-

小粕「正分数］有限小数

实数-分数I负菠j或无限循环小数

4］「藁正无应理数｝1无限不循环小数

（2）无理数的几种常见类型

①开方开不尽的数，如G，工巧等;

②有特定意义的数，如圆周率口，或化简后含有”的数，如生7T+2等;

3

③有特定结构的数，如0.1010010001…等无限不循环小数；

（二）实数的相关概念

（1）绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|.a|》0。零的绝对值是它本身，也可看

成它的相反数，成〔巴1=且，—,则且三若1且|=二21,,则义屋0：。

（2）相反数：实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）.丛数

轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0,a=-b,反之

亦成立。

(3)倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

(4)数轴：①数轴的三要素为原点、正方向和单位长度,数轴上的点与实数构成一一对应.

②数轴上a,b两点之间的距离=|a—b]

(三)科学计数法

(1)形式：aX10n,其中1W|a|<10,n为整数

(2)确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成axl°一“，

lW|a|<10,n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前面的一个)

(四)实数的大小比较

有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。

(1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

(2)求差比较：设a、b是实数，

a-b>boa>b,

a—b=Ooa=b,

a—b<Q^a<b

(3)求商比较法：设a、b是两正实数，g>loa>Z?；q=loa=b；q<loa<A;

bbb

(4)绝对值比较法：设a、b是两负实数,则同>网0。<泉

(5)平方法：设a、b是两负实数，则〃，/.。(人。

备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。

(五)开方运算

(1)平方根、算数平方根：

如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。一个数有两个平方根，他们互为相

反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“±后

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“&

正数和零的算术女方根都只有一个,.―零的算术里方根是雯一

a(a>0)

■\[a^=同=<

-a(a<0)

(2)立方根:

如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一个正数有一个正的立方根;

二个负数有一个负的立方根零的立方根是零。

注意：#金=-短，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

(六)实数运算

常考的运算法则：

(1)乘方:(-2)--8

(2)T的奇偶次幕：(偶次为1,奇次为T)

(3)零次幕：a°=l(aWO)

(4)负指数幕：a-=4(按正指数，再倒数)

a

(5)绝对值运算：r——(。>。)

|a\10(a=O)

L(aVO)

(6)特殊角的三角函数：sin3O°=,等

2

实数的运算顺序：

实数的运算顺序是先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减.如果有括号，一般先算小括号里面的，再算

中括号里面的，最后算大括号里面的,同级运算应从左到右依次进行.

运算律：

(1)加法交换律：a+b=b+a.

(2)加法结合律：(〃+。)+。=。+(b+c).

(3)乘法交换律：ab-ba,

(4)乘法结合律：(ab)c=a(be).

(5)分酉己律：a(5+c)=ab+ac.

点一遍过

考点1:实数的分类

典例1:(2223下•长沙•模拟预测)在实数一5,0,1,遍中，为负数的是()

A.-5B.0C.1D.V3

【答案】A

【分析】根据负数是比。小的数，对各个选项中的数进行判断即可.

【详解】解：A.-5<0,是比0小的数，故此选项符合题意;

B.0既不是正数也不是负数，故此选项不符合题意；

C.1是正数，故此选项不符合题意；

D.百是正数，故此选项不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了正数和负数，掌握负数小于零、零既不是正数也不是负数是解题的关键.

【变式1］（2223下•温州•三模）小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格

的是（）

［―正整数一例：5

厂整数----零

-有理数一一负整数一例：▲

________（I分数

实数

L正无理数

、一无理数一

一负无理数一例：▲

A.—2；—ITB.9；-V17C.-9；-V8D.2；-5

【答案】A

【分析】根据实数的分类判断各项，即可得到答案.

【详解】解：A.-2是负整数，-IT是负无理数，故A选项符合题意；

B.9是正整数，-g是负无理数，故B选项不符合题意；

C.-9是负整数，-遮=-2是负整数，故C选项不符合题意；

D.2是正整数，-5是负整数，故D选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了实数的分类，掌握基本概念是解题的关键.

【变式2］（2223下•金华•三模）在实数一2,y,通，0.1122中，无理数的是（）

A.-2B谓C.V5D-0.1122

【答案】C

【分析】根据无理数的概念即可求解.

【详解】A、-2是一个负整数，不是无理数;

B、£是一个正分数，不是无理数；

C、小是一个开方开不尽的数，是无理数；

D、0.1122是一个有限小数，不是无理数；

故选：C.

【点睛】此题考查了无理数的知识，解题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数；②无限不

循环小数；③含有兀的数.

【变式3］（2223下•长沙•模拟预测）实数-2023.2023,V7,0,怀，一兀，O.iE中，有理数的个数为

a,无理数的个数为b,则a-b的值是（）

A.1B.3C.5D.7

【答案】B

【分析】根据实数的分类可得a=5,b=2,即可求解.

【详解】解：764=4,

有理数有一2023.2023,0,V64,—,0.i5,有5个，

11

无理数有旧，—兀，有2个，

即。=5,b=2,

团a-b=3.

故选：B

【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键.

考点2：数轴的相关计算

典例2：（2223下•朔州•模拟预测）a,b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列数量关

系中正确的是（）

ba

____II.I.1III.

-4-3-2-1012

A.ab<0B.a—b<0C.a+Z?<0D.\a\>\b\

【答案】c

【分析】由数轴可知b<a<-1,再结合选项进行判断即可.

【详解】解：由图可知，b<a<-l,

ab>0,故A不符合题意；

•：a>b,

a-/?>0,故B不符合题意；

a<0,h<0,

a+h<0,故C符合题意；

vZ?<a<0,

\a\<\b\,故D不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的性质是解题的关键.

【变式1］（2223下•安徽・二模）数轴上表示数6+2和3m-10的点到原点的距离相等，则加为（）

A.2B.-2C.6D.6或2

【答案】D

【分析】表示数6+2和3血-10的点到原点的距离相等可以表示为|加+2|=|3血-10|,然后，进行分类

讨论，即可求出对应的血的值.

【详解】解：由题意得：+2|=|3?n-10|,

0m+2=±（3m-10）,

0m=2或6,

故选：D.

【点睛】本题考查的是数轴.在根据绝对值的几何意义列出方程之后，在解方程的时候要注意分类讨论.

【变式2］（2223下•西城•二模）实数a在数轴上的位置如图所示，则a,—a,a2,1中最大的是（）

,,,a,,、

-io'~i'

1

A.ciB.C.ci7D.一

-CLa

【答案】D

【分析】由数轴可知0<a<1,移项和两边除以a分别得到-a<0,>1,两边同时乘以a得到0<a?<a,

a

从而得到一a<0<a2<a<l<-,由此选出答案.

a

【详解】解：由数轴可知：。<”1,

0—CL<0,->1.

a

又团0<a<1,

El两边乘以a得：0<a?<a,

o1

0-CL<0<CL<。V1<一,

a

团〃，—fl,G2,-中，最大的是-.

aCL

故选：D

【点睛】本题考查不等式的性质，有数轴上的点确定式子的大小关系，掌握不等式的性质是解题的关键.

【变式3】(22・23上♦昆明•期中)已知数a,hc的大小关系如图，下列说法:①ab+ac>0；②-a-b+c<0；

(3)-^y+77i+Fi=-1;④若X为数轴上任意一点，则反-b|+阿-a|的最小值为a-从其中正确结论的个

|a|1。11，1

数是()

_____I_________I1____________I___

b0ac

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由数轴可得b<0,a>0,c>0且|c|>\b\>|a|,将所给式子进行适当变形即可求解.

【详解】解：由数轴可得：b<0,a>0,c>0且|c|>\b\>\a\

①ab+ac=a(fo+c),回a>0,b+c>0,回ab+ac>0,故①正确；

(2)—CL-b+c=—(a+b)+c,团a+bV0,c>0,0—CL-b+c>0,故(J)错误；

③亩+F+亩=1T+1=L故③错误;

④1%-b|+|%-a|表示数%表示的点到数表示的点的距离之和，其最小值为数a,b表示的点的距离，即

为|a-b|=a-b,故④正确；

故选：B

【点睛】本题考查了通过数轴判断式子的值或正负.对式子进行适当变形是解题关键.

考点3：相反数

典例3：(22・23下•广州•模拟预测)下列各对数中，互为相反数的是()

A.一(+5)和—5B.+(-5)和—5

C.+(—8)和一(+8)D.+(-8)和一(一8)

【答案】D

【分析】先将各数化简，再根据相反数的定义逐个进行判断即可.

【详解】解：A、-(+5)=-5与-5不是互为相反数，故A选项不符合题意；

B、-(+5)=-5与-5不是互为相反数，故B选项不符合题意；

C、+(-8)=-8与一(+8)=-8不是互为相反数，故C选项不符合题意；

D、+(-8)=-8与-(-8)=8,是互为相反数，故D选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了多重符号的化简，相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的数是相反数.

【变式1](2223下•西安•二模)下列各组数中，互为相反数的组是()

A.|-2023|^-2023B.2023和募

-1

C.I-20231和2023D.-2023和康

【答案】A

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可.

【详解】解：A.|-2023|=2023和-2023互为相反数，故A选项符合题意；

B.2023和短互为倒数，故B选项不符合题意；

C.|-2023|=2023和2023不互为相反数，故C选项不符合题意；

D.-2023和康不互为相反数，故D选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查相反数，正确理解相反数的定义是解答的关键.

【变式2](2223下•包头•三模)若a,b互为相反数，c的倒数是2,贝U3a+3b-4c的值为()

A.-8B.-5C.-2D.16

【答案】C

【分析】根据a,6互为相反数，可得a+6=0,c的倒数是2,可得c=(,代入即可求解.

【详解】团a,6互为相反数，

团a+b=0,

配的倒数是2,

0c=r

团3a+3b—4c=3(a+b)-4c=3x0—4x—=—2,

故选：C.

【点睛】本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得a+6=0,c=[是解题的关键.

【变式3](2223上•江苏•专题练习)下列各组数中，互为相反数的是()

A.|+1|与|—1|B.—(―1)与1C.|—(―3)|与—|一引D.—1+2|与+(—2)

【答案】C

【分析】根据相反数和绝对值的定义化简各选项中的数即可得出答案.

【详解】解：A.|+1|=1,|-1|=1,1与1不是相反数，故该选项不符合题意；

B.-(-1)=1,1与1不是相反数，故该选项不符合题意；

C.|—(—3)|=3,—|—3|=—3,3与—3是相反数，故该选项符合题意；

D.-|+2|=-2,+(-2)=-2,-2与-2不是相反数，故该选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了相反数，绝对值，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键.

考点4：绝对值

典例4：(22・23上•成都・期末)若|m|=5,㈤=2,且zn,n异号，则的值为()

A.7B.3或一3C.3D.7或3

【答案】A

【分析】由|巾|=5,|n|=2,可得zn=±5,n=±2,由zn,n异号，分当m=5,n=—2时，当m=-5

n=2时，两种情况，代入求解即可.

【详解】解：0|m|=5,|n|=2,

m=+5,n=+2,

X"m,九异号，

田当m=5,n=—2时，—九|=|5一(—2)|=7；

当m=-5,n=2时，=|-5—2|=7；

综上所述，|rn-n|的值为7,

故选：A.

【点睛】本题考查了绝对值，代数式求值.解题的关键在于熟练掌握绝对值的求解.

【变式1](2223下•呼伦贝尔•三模)已知x,y两个实数在数轴上位置如图所示，则化简|y-x|+衣与

的结果是()

xyo

A.2xB.2yC.2y—2xD.2%—2y

【答案】C

【分析】先根据％、y在数轴上的位置确定出其符号与绝对值的大小，再代入所求代数式进行计算即可.

【详解】解：•.・由图可知，%<y<0,

%—y<0,y—%>0,

，原式=y-x+\x-y\

=y—x—x+y

=2y—2x.

故选：c.

【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解

答此题的关键.

【变式2］（2324上•包头•期末）若卜+1+（6—3）2=0,则侬严】的值为（）

A.1B.-1C.0D.2

【答案】B

【分析】根据非负数的性质列式求出a、6的值，然后代入代数式进行计算即可得解.

【详解】解：因为|a+1+（b—3）2=0,

所以a+§=0,b-3=0,

解得a=b=3,

所以（山））2。21=|X3）2021=一i.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值.解题的关键是掌握非负数的性质，即几个非负数的

和为0时，这几个非负数都为0.

【变式3】（22・23下•济南•三模）如图，在数轴上，点A、8分别表示a、b,且a+b=0,若|a-6|=8,

则点A表示的数为（）

---------1----------------

AB

A.-4B.0C.4D.-8

【答案】A

【分析】由。+匕=0可得6=-。，代入|a-b|=8,可求出a=±4,再结合题意即得答案.

【详解】解：回a+b=0,

加=-a,点A、B分别在原点的两侧，

m|a-b\=8,

回|a—（—CL）|=8,

解得：a=+4,

团点A在原点的左侧，

0a=-4,即点A表示的数是一4,

故选：A.

【点睛】本题考查了数轴，正确理解题意、得出。=-4是解题的关键.

考点5：科学计数法

典例5：（2223下•深圳•模拟预测）国家统计局2022年12月12日发布公告，2022年全国粮食总产量13731

亿斤，粮食产量连续8年稳定在1.3万亿斤以上，其中1.3万亿用科学记数法表示为（）

A.1.3X1012B.13X1011C.1.3X1011D.0.13X1012

【答案】A

【分析】科学记数法的表现形式为ax的形式，其中lw|a|<10,几为整数，确定律的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，ri是

非负数，当原数绝对值小于1时，九是负数.

【详解】解：•.•1.3万亿=1300000000000,

.•.1.3万亿用科学记数法表示为13X1012,

故选：A.

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为ax的形式，其中1<⑷<10,

n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值.

【变式1］（2324下•深圳•模拟预测）2023年4月4日，从南方电网深圳供电局了解到，今年一季度，深圳

市全社会用电量205.4亿千瓦时，同比增长2.1%,反映出深圳经济活力正全面恢复.将205.4亿用科学记数

法表示为（）

A.205.4x108B.2.054X102C.2.054XIO10D.0.2054x1011

【答案】C

【分析】科学记数法的表示形式为ax10兀的形式，其中lW|a|<10,〃为整数.确定w的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，”是正

数；当原数的绝对值小于1时，w是负数.

【详解】解：205.4亿用科学记数法表示为2.054x101。.

故选：C.

【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为ax10%其中"可以用整数位数

减去1来确定.用科学记数法表示数，一定要注意。的形式，以及指数w的确定方法.

【变式2]（2223・滁州・一模）中央财政给某市投入"全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项

补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应是（）

A.0.1692X1012B.1.692X1012

C.1.692X1011D.16.92x1O10

【答案】C

【分析】科学记数法的表示形式为aX1071的形式，其中1<⑷<10,〃为整数.确定w的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：将169200000000用科学记数法表示应是1.692xIO%

故选：C.

【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，解答本题的关键是熟记科学记数法表示较大数的特征.

【变式3]（2223下•河北•模拟预测）据央广网2023年5月19日报道：山东莱州市西岭村金矿勘查项目通

过专家评审，初步认定西岭金矿新增金金属量近200吨，累计金金属量达580吨，按照5月18日国内黄金价

格448.1元/克，以此计算，西岭金矿的潜在经济价值为（）元.

A.2598.4X107B.2598.4X108C.2598.4X109D.2598.4x1O10

【答案】B

【分析】580吨=5.8x108克，然后乘以单价即可求解.

【详解】解：580x106x448=259840x106=2598.4x108.

故选：B.

【点睛】本题考查了运算的乘方运算，转换单位是解题的关键.

考点6：近似数

典例6：（2223下•长沙•二模）湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于

三一大道与营盘路之间，总投资53.278亿元.其中数据53.278亿元精确到哪位？（）

A.万位B.十万位C.百万位D.亿位

【答案】B

【分析】根据近似数的精确度求解即可.

【详解】解：数据53.278亿精确到的位数是十万位.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示.一般有，

精确到哪一位，保留几个有效数字等说法.

【变式1］（2223•青岛•中考真题）由四舍五入法得到的近似数8.8x103,下列说法中正确的是（）.

A.精确到十分位，有2个有效数字B.精确到个位，有2个有效数字

C.精确到百位，有2个有效数字D.精确到千位，有4个有效数字

【答案】C

【分析】1。3代表1千，那是乘号前面个位的单位，那么小数点后一位是百.有效数字是从左边第一个不是

0的数字起后面所有的数字都是有效数字，用科学记数法表示的数axion的有效数字只与前面的a有关，与

10的多少次方无关.

【详解】解：8.8x103精确到百位，

乘号前面的数从左面第一个不是0的数字有2个数字，那么有效数字就是2个.故选C.

【变式2］（2L22下•沧州•一模）网聚正能量，构建同心圆.以“奋斗的人民奋进的中国”为主题的2021中

国正能量"五个一百"网络精品征集评选展播活动进入火热的展播投票阶段.截至2021年H月26日18点，

“五个一百"活动投票量累计13909615次，数据13909615用科学记数法表示并精确到百万位为（）

A.0.139X108B.1.39X107C.0.14X108D.1.4X107

【答案】D

【分析】首先精确到百万位，再用科学记数法表示.科学记数法的表示形式为“IO。的形式，其中141al<10,

”为整数.确定”的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，。是正数；当原数的绝对值<1时，"是负数.

【详解】解：原数精确到百万位为：

13909615=14000000,

再用科学记数法表示为：

14000000=1.4xl07,

故选D.

【点睛】本题考查取近似数和科学记数法的综合应用，熟练掌握精确度的意义和四舍五入的方法、科学记

数法的意义和算法是解题关键.

【变式3】（22・23上•十堰,期中）下列结论:①-24的底数是-2；②若有理数a,b互为相反数,那么a+b=0；

③把1.804精确到0.01约等于1.80；@-2xy2+2xy2=0；⑤式子|a+2|+6的最大值是6,其中正确的

个数有（）

A.3个B.2个C.5个D.4个

【答案】A

【分析】根据乘方定义可判定①；根据相反数性质可计算得a+b=0,从而可判定②；由近似数的精确度

可求得近似数从而可判定③；根据合并同类项法则计算并判定④；根据绝对值的非负性可得式子|a+2|+6

的最小值是6,从而可判定⑤.

【详解】解：-2,的底数是2,故①错误；

若有理数a,6互为相反数，那么a+b=0,故②正确；

把1.804精确到0.01约等于1.80,故③正确；

化简-2xy2+24/2合并同类项得0,故④正确；

式子|a+2|+6的最小值是6,故⑤错误，

则其中正确的个数3个，

故选：A.

【点睛】此题考查了整式的加减，以及绝对值的性质，近似数的求解，熟练掌握相关运算法则是解本题的

关键.

考点7:实数的大小比较

典例7：（2”22下•烟台•一模）下列各数：一（一2）,|-5|,0,-V8,其中比一3小的数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数；④两个负数，

绝对值大的其值反而小，据此判断即可.

【详解】一（一2）=2>—3,|-5|=5>-3,0>-3,-V8>-V9=-3,=-4<-3

故选：A

【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，化简各个数字是解答本题的关键.

【变式1］（2223•深圳•二模）数形结合是解决代数类问题的重要思想，在比较a+1与逐的大小时，可以

通过如图所示几何图形解决问题：若要比较近+3与g的大小，以下数形结合正确的是（）

A

【答案】D

【分析】根据勾股定理逐一判断即可求解.

【详解】解：A.由图形无法利用勾股定理求得表示VT7与&的线段长度，

则无法判断大小，那么A不符合题意；

B.由图形无法利用勾股定理求得表示旧与夜的线段长度，

则无法判断大小，那么B不符合题意；

C.由图形可得4C=V12+i2=VL但无法求得表示旧的线段长度，

则无法判断大小，那么c不符合题意；

D.由图形可得2C=Vl2+I2=V2,AF=Vl2+42=V17，

0CF=3,AC+CF>AF,

0V2+3>V17,

那么D符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了数形结合进行无理数的大小比较，利用勾股定理求得对应线段的长度是解题的关键.

【变式2］（2223下・泰州•二模）下列各数中，比逐大，比g小的数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

【分析】估算无理数的大小即可得出答案.

【详解】解：02<V5<3,3cg<4,

回比日大，比后小的数是3,

故选：C.

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键.

【变式3]（2223下•中山•一模）在百，0,一2这四个数中，最小的数是（）

A•8B-1C.0D,-2

【答案】D

【分析】根据正数大于0,负数小于0,正数大于一切负数进行比较，即可得到答案.

【详解】解：在百，p0,一2这四个数中，一2<0<[<^，

最小的数是一2,

故选D.

【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题关键.

考点8：平方根、算术平方根、立方根

典例8：（22・23下•深圳•模拟预测）生活中，我们常用到长方形样、不同型号的打印纸.基于满足影印（放

大或缩小后，需保持形状不变）及制作各型号纸张时，既方便又省料等方面的需要，对于纸张规格，存有

一些通用的国际标准.其中，把4。纸定义为面积为1平方米，长与宽的比为鱼：1的纸张；沿及纸两条长边

中点的连线裁切，就得到两张4纸；再沿4纸两条长边中点的连线裁切得&纸…依此类推，得4,A4,4等

等的纸张（如图所示）.若设4纸张的宽为X米，贝卜应为（）

B.1的算术平方根C.噂D.啜的算术平方根

163232

【答案】D

【分析】由①纸张的宽为尤米，表示出4。纸的宽和长，根据A）纸面积为1平方米求出x的值即可.

【详解】解：由图得，当4纸张的宽为x米时，4。纸的宽为4尤米，

回纸张长与宽的比为企:1,

囿40纸的长为4鱼久米，

团友纸面积为1平方米，

国4夜x-x=1,

0X2=—,

32

队的值为■的算术平方根.

故选：D.

【点睛】本题考查了平方根的计算，根据图形表示出A0的长宽是解题关键.

【变式11（2223下•省直辖县级单位•阶段练习）若回的整数部分为小，则小的算术平方根的值最接近整数

（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】先估算出同的值的范围，从而求出巾=7,然后再估算出V7的值的范围，即可解答.

【详解】049<51<64,

07<V51<8,

团盾的整数部分为7,

团m=7,

0m的算术平方根为近，

02.52<7<32,

02.5<V7<3,

回收的值最接近整数3,

故选：B.

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键.

【变式2］（2L22下•凉山•阶段练习）已知点（a+2,a-16）在x轴上，则论的平方根等于（）

A.2B.-4C.±4D.±2

【答案】D

【分析】根据在X轴上点的纵坐标为0得到0-16=0,求解得a=16,从而可求出正=4,继而由平方根定义

可求解.

【详解】解:回点（a+2,a-16）在x轴上，

0a-16=0,解得：<2=16,

Eh/H=A/T6=4,

团的平方根等于士〃=±2,

故选：D.

【点睛】本题考查坐标轴上点的坐标特征，算术平方根，平方根，熟练掌握在x轴上点的纵坐标为0,在y

轴上点的横坐标为0是解题的关键.

【变式3］（2L22下•闵行•期中）下列说法正确的是（）

A.1的平方根是1B.3次方根是本身的数有0和1

C.一m的3次方根是一标D.a<0时，—a的平方根为士迎

【答案】C

【分析】根据平方根，立方根的概念理解分析选项即可.

【详解】解：A.1的平方根是1,如的平方根是±1,故选项说法错误，不符合题意；

B.3次方根是本身的数有0和1,回3次方根是本身的数有0和1和-1,故选项说法错误，不符合题意；

C.的3次方根是-标，选项说法正确，符合题意；

D.a<0时，-a的平方根为±6，Ela<0时，-a的平方根为士产^，故选项说法错误，不符合题意；

故选：C

【点睛】本题考查平方根，立方根的相关概念，解题的关键是要熟练掌握相关概念.

考点9：无理数的估算

典例9：（22・23•巴南•一模）估算2«+3的值在（）

A.8和9之间B.7和8之间C.6和7之间D.5和6之间

【答案】A

【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数2夕+3的大小即可.

【详解】解：2b="3T7=同，

052=25,62=36,而25<28<36,

05<V28<6,

即5<2d7<6,

08<2V7+3<9,

故选：A.

【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提.

【变式1］（2223下•沙坪坝•二模）估计或（事—位）的值应在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【答案】C

【分析】先计算二次根式，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数

的范围即可求解.

【详解】解：V2（V28-V7）=2V14-V14=V14,

EI9<14<16,

03<V14<4,

03<V2（V28-V7）<4,

ElV2（V28-夕）的值应在3和4之间，

故选：C.

【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算以及无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我

们具备的数学能力，"夹逼法"是估算的一般方法，也是常用方法.

【变式2］（2223下•珠海,一模）设同的整数部分为如小数部分为6,贝叫"U+a）b的值是（）

A.6B.2-V10C.-1D.1

【答案】D

【分析】首先根据VIU的整数部分可确定a的值，进而确定6的值，然后将a与6的值代入计算即可得到所

求代数式的值.

【详解】解：03<V10<4,

回同的整数部分a=3,

团小数部分b=同一3,

0（V1O+a）b=（VlO+3）（710-3）=10-9=1.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定VIU的整数部分。与小数部分6的值是解题关键.

【变式3］（2223•广东•中考真题）设6—"U的整数部分为a,小数部分为6,则（2a+"U）b的值是（）

A.6B.2V10C.12D.9V10

【答案】A

【分析】首先根据VTU的整数部分可确定a的值，进而确定b的值，然后将a与b的值代入计算即可得到所求

代数式的值.

【详解】EI3<V10<4,

02<6-V10<3,

06-4IU的整数部分a=2,

回小数部分b=6-V10-2=4-V10,

0（2a+V10）b=（2x2+V10）（4-V10）=（4+V10）（4-V10）=16-10=6.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6-旧的整数部分a与小数部分b的值是解题关键.

考点10：实数的运算

典例10：（2223下•遂宁•一模）计算：J（—3）2+（兀-2022）°-|2cos45。一2|+\

【答案】V2

【分析】根据算术平方根的性质、零指数塞、特殊角的三角函数值和绝对值运算及负整数指数幕分别