浙江中考数学二轮复习题型专练：手拉手模型（解析版）

题型十一手拉手模型

【要点提炼】

全等型手拉手模型

一、【识别手拉手模型】

下面的图像均为手拉手模型题目中的图像，同学们能观察出两个图像共同的特点吗？

形如：共顶点、双等腰、顶角相等的图形即为手拉手模型

二、【“手”怎么判断】

飘左尹）

想象每个等腰三角形都是一个三角形的桌子，三边旁边分别有一个座位，我们选择面对顶角的座位

坐下，那么左手边的顶点即左手，右手边的顶点即右手

三、【重要结论】

每一个手拉手模型都会共同的重要结论，把这些结论以及推理方法都记住，做题时可以快速求解

结论如下：

①▲ABCw^AB'c’（▲顶左左三▲顶右右）

②BC=B'C'（左左=右右）

③/BOB'=ZBAB'（左左和右右的夹角=等腰三角形的顶角）

@A0平分/BOC'（利用全等三角形对应高线相等以及角平分线性质定理的逆定理证明）

四、【构造手拉手模型】

①什么样的题目需要构造手拉手模型？

如下图，图形中从一点A出发有三条线，其中两条相等，那么可以将AABC看作等腰三角形，那

这个图形就和手拉手模型很像了，就是缺了一个等腰的手拉手

因此，已知共顶点等线段时可以构造手拉手模型

②如何构造手拉手模型？

牢记手拉手模型的特点：共顶点、双等腰、顶角相等，只要把图形补充为符合这些特点即可

即以AD为边、A为顶角、在顶角与AABC相等的情况下构造手拉手模型，如下图

相似型手拉手模型

一、【识别手拉手模型】

和全等型不同的是，相似型手拉手模型没有等腰，但是仍然符合共顶点、“顶角”等的特点，判断左

右手的方式也和全等型相同

二、【重要结论】

①AABC〜AADE、AABD-AAEC（▲顶左左〜▲顶右右）

三、【构造手拉手模型】

①什么时候构造相似型手拉手模型?

已知共顶点三条线，其中两条已知比例关系的，就可以构造手拉手模型，按照图形特点补充即可

【专题训练】

选择题（共3小题）

1.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，ZBAC=ZDAE=90°,BD,CE交于点F,连接

AF.下列结论：①BD=CE；@BF±CF；@AF平分NCAD；@ZAFE=45°.其中正确结论

的个数有（）

【答案】C

【解析】解：如图，作于跖ANLEC于N,设4£）交所于0.

：.ZBAD=ZCAE,

'：AB=AC,AD=AE,

.,.△BAD妾ACAECSAS),

：.EC=BD,ZBDA=ZAEC,故①正确

VZDOF=ZAOE,

：.ZDFO=ZEAO=90°,

：.BD±EC,故②正确，

VABAD^ACAE,AMLBD,ANLEC,

J.AM^AN,

，以平分NEF8,

AZAFE=45°,故④正确，

若③成立，则/E4尸=NBAR

ZAFE=ZAFB,

：.ZAEF=ZABD=ZADB,推出4B=AO,由题意知，AB不一定等于AO,

所以AF不一定平分/C4,故③错误，

故选：C.

2.如图，△ABC和△ECO都是等边三角形，且点2、C、。在一条直线上，连接BE、AD,点、M、

N分别是线段BE、AD上的两点，且AN=^AD,则△CW的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.不等边三角形

【答案】C

【解析】解：:△ABC和都是等边三角形，

：.BC=AC,EC=CD,ZBCA=ZECD=60°,

NBCA+NACE=ZECD+ZACE,

即ZBCE=ZACD,

在△BCE与△AC。中

BC=AC

(BCE=Z.ACDy

CE=CD

：.ABCE^AACD(SAS),

：,/MBC=/NAC,BE=AD,

\'BM=^BE,AN=|XD,

：.BM=AN,

在AMBC与ANAC中

BM=AN

乙MBC=4NAC,

BC=AC

・••△MBC咨ANAC(SAS),

:,MC=NC,NBCM=NACN,

'：ZBCM+ZMCA=60°,

・・・NNG4+NMG4=60°,

AZMCN=60°,

•••△MCN是等边三角形，

故选：C.

3.如图，A、B、。在同一条直线上，4AB/和△3CE均为等边三角形，AE、尸。分别交尸8、EB于

点M、N,下列结论中：©AABE^AFBC,②AB=FN,③BM=BN,@ZADF=60°,@DB

平分NADC,其中正确的有()

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】B

【解析】解：:△AB尸和△3CE均为等边三角形，

：.AB=FB,BC=BE,ZABF=ZCBE=60°,

：.ZMBN=180°-AABF-ZCBE=60°,

VZABE=ZABF+ZMBN=600+60°=120°,

ZFBC=ZCBE+ZMBN=60°+60°=120°,

・•・ZABE=ZFBC,

在△ABE和△bBC中，

AB=FB

Z.ABE=乙FBC,

BE=BC

：.AABE^AFBC(SAS),故①正确;

AABE^AFBC,

:./BAM=/BFN,

在△ABM和△FBN中，

ABAM=乙BFN

AB=FB,

./.ABM=4FBN

:AABM沿AFBN(ASA),

：.AB=FB,BM=BN,故②错误，③正确；

AABE^AFBC,

/AEB=/FCB,

ZADF^ZDAC+ZDCA^ZDAC+ZAEB^ZCBE^60a,故④正确;

BPLAD,BQYCD,

：.ZBPM=ZBQN=9Q°,

,?AABM学4FBN,

:.BM=BN,ZPMB^ZQNB,

在AB尸M和△3QN中，

(NBPM=乙BQN

BM=BN,

NPMB=乙QNB

：./\BPM^/\BQN(ASA),

：.BP=BQ,即点B到AD和DC的距离相等,

8。是NADC的角平分线，故⑤正确；

故选：B.

二.填空题(共1小题)

4.匈牙利著名数学家爱尔特希(P.Erdos,1913-1996)曾提出：在平面内有几个点，其中每三个

点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的〃个点构成的点集称为爱尔特希点集.如图，是

由五个点A、8、C、。、O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的

中心构成），则心的度数是18°

【答案】18。

【解析】解：由题意知点4、8、C、。为正五边形任意四个顶点，且。为正五边形中心,

ZAOB=ZBOC=ZCOD==72°,

AZA（?D=360°-3/402=144°,

又：0A=0。,

180°-乙4。。180°-144°

ZADO==18°,

22

故答案为：18°.

三.解答题（共6小题）

5.如图1,在等腰直角三角形AOC中，NADC=90°,AD=4.点E是A。的中点，以。£为边作

正方形DEFG,连接AG,CE.将正方形DEFG绕点。顺时针旋转，旋转角为a（O0<a<90°）.

（1）如图2,在旋转过程中,

①判断△AG。与△CE。是否全等，并说明理由;

②当CE=C。时，AG与EF交于点H,求G8的长.

（2）如图3,延长CE交直线AG于点P.

①求证：AG±CP；

②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在,求出最大值；若不存在，请说明理

由.

【解析［解：（1）①如图2中，结论：△AGO附△CED

图2

理由：••,四边形EFG。是正方形,

；.DG=DE,NGDE=90°,

'：DA=DC,ZADC=90°,

：.ZGDE=ZADC,

：.ZADG=ZCDE,

：./\AGD^/\CED(SAS).

②如图2中，过点A作AT，GO于T.

■:△AGDQXCED,CD=CE,

.•・AZ)=AG=4,

VAT±GD,

:・TG=TD=3

：.AT=yjAG2-TG2=V15,

,:EF〃DG,

：.ZGHF=ZAGT,

•・・NF=NATG=90°,

:•丛GFHs丛ATG,

.GHFG

••—,

AGAT

.GH2

=币'

.”8715

,.GH=p.

(2)①如图3中，设AD交PC于。.

图3

,?LAGD咨ACED,

:.NDAG=/DCE,

VZDCE+ZCOD=90°,ZCOD=ZAOP,

：.ZA0P+ZDAG=9Q°,

AZAPO=9Q°,

CP±AG.

@'：ZCPA=90°,AC是定值，

...当NAC尸最小时，PC的值最大，

...当DELPC时，NACP的值最小，此时PC的值最大，此时点尸与P重合（如图4中）,

图4

VZCED=90°,CD=4,DE=2,

:.EC=y/CD2-DE2=V42-22=2百,

；'EF=DE=2,

:.CP=CE+EF=2+2W,

PC的最大值为2+2遮.

6.(1)操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC,其中A3=AC,在△ABC的外侧分别

以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABO,ACE,分别取8。，CE,8C的中点M,N,G,

连接GM,GN.小明发现了：线段GM与GN的数量关系是MG=NG；位置关系是MGJ

NG.

(2)类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中A3

>AC,其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由.

(3)深入研究：

如图③，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究.向△A8C的内侧分别作等腰直角三角形

ABD,ACE,其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明.

D、E二A

BG

BG

图①

图②

【解析】解：(1)如图①，连接BE,CO相交于H,

,/AABD和△ACE都是等腰直角三角形，

：.AB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE=90°

：.ZCAD=ZBAE,

：.AACD^AAEB(SAS),

:.CD=BE,ZADC^ZABE,

：.ZBDC+ZDBH=NBDC+/ABD+/ABE=ZBDC+ZABD+ZADC=Z.ADB+ZABD=90°,

:./BHD=90°,

J.CDLBE,

:点M,G分别是8。，BC的中点，

II1

：.MG=^CD,

Il1

同理：NG/BE,

：.MG=NG,MGLNG,

故答案为：MG=NG,MGLNG；

（2）如图②，连接CO,BE相交于点”,

同（1）的方法得，MG=NG,MGJLNG；

（3）如图③，连接班，DC,延长线相交于X,

同（1）的方法得，MG=NG,

同（1）的方法得，AABE^AADC,

：.ZAEB=ZACD,

：.ZCEH+ZECH=ZAEH-ZAEC+180°-ZACD-NACE=ZACD-45°+180°-ZACD-

45°=90°,

；.NDHE=90°,

同（1）的方法得，MGLNG,

：.△MGN是等腰直角三角形.

7.请完成如下探究系列的有关问题：

探究1：如图1,△ABC是等腰直角三角形，N3AC=90°,点。为8C上一动点，连接A。，以

AD为边在AD的右侧作正方形ADEF,连接CR则线段CF,BD之间的位置关系为,

数量关系为CF=BD.

探究2：如图2,当点D运动到线段BC的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否

仍然成立？为什么？（请写出证明过程）

探究3：如图3,如果ABWAC,ZBAC#90°,NBCA仍然保留为45°,点。在线段8C上运

动，请你判断线段CRBD之间的位置关系，并说明理由.

【解析】解：探究1：・・・N84C=90°,

/.ZBAZ)+ZCAZ)=90o,

・・•四边形AOEb为正方形，

/.ZDAF=90°,

：.ZCAD+ZCAF=90°,

：.ZBAD=ZCAF.

AB=AC

・••在△A3。和AAC/中，\^BAD=NG4F,

AD=AF

：.AABD^AACF(SAS),

:・CF=BD,NACF=NB=45°,

AZBCF=90°,

J.CFLBD；

故答案为：CF±BD,CF=BD；

探究2：探究1中的两条结论是否仍然成立.

理由如下：

VZBAC=90°,

：.ZBAD=90°+ZCAD,

•・•四边形ADEF为正方形，

AZDAF=90°,ZCAF=90°+NCAO,

：.ZBAD=ZCAF.

AB=AC

・••在△AB。和△Ab中，UBAD=^CAF,

AD=AF

：.AABD^ACAF(SAS),

：・CF=BD,ZACF=ZB=45

:.NBCF=9Q°,

：.CF±BD.

探究3：线段CF,8。之间的位置关系是CFLBD

理由如下：

如图，过点A作APLAC,交BC于点P.

VZJBCA=45°,AZAPD=45°,AP^AC.

:四边形AOE尸为正方形，

：.AD=AF,

：NC4P=NZMF=90°,

C.APAD^ZCAF,

：.AAPD^AACF(SAS),

AZACF=45°,

：.NBCF=ZBCA+ZACF=90°,

线段CF,BD之间的位置关系是CFLBD.

8.已知，在△ABC中，BC=4.

(1)如图1,将边AC、48同时绕着点A分别按逆时针、顺时针方向旋转/,得A。、AE,连

接BD、CE,求证：BD=CE；

(2)如图2,若NABC=60°,AB=1,将边AC绕着点A逆时针旋转120°,得AD,连接2D,

求8。的长；

(3)如图3,。为2C上一点，。2=1,以。为圆心，。3的长为半径作O。，点M是。。上动

点，连接MC,以MC为腰作等腰RtZkMCR使/MCF=90°,其中M、C、尸三点为逆时针顺

序，连接8R则族的取值范围是4W2PW6.

图3

【解析】解：(1)边AC、AB同时绕着点A分别按逆时针、顺时针方向旋转/,

：.AB=AE,AC=AD,而NEAC==ZBAD=ZBAC+a0,

AAACE^AADB(SAS),

:.BD=CE；

(2)如图：

BC

按照(1)的方法，将边AB逆时针方向旋转120°得AE,连接BE、CE,

由(1)知：AACE^AADB(SAS),：.BD=EC,

,..△ABE是顶角120°的等腰三角形，AB=1,易求：BE=y/3,

而NA8E=30°,即/EBC=90°,

由勾股定理：BD=EC=<BE2+BC2=V19,

答：8。的长为旧；

(3)如图：

将CO顺时针旋转90°,得CE,连接BE、EF、OM,

由(1)知：△OMCWAEFC(SAS),

：.EF=OM=1,EC=OC=4-1=3,

在RtABCE中，BE=7cB2+EC2=5,

BE-EFWBFWBE+EF,

即：4WB尸W6.

9.在△ABC中，ZBAC=60°.

(1)如图1,若AB=AC,点P在△ABC内，且/APC=150°,B4=3,PC=4,把△APC绕着

点A顺时针旋转，使点C旋转到点8,得到连接。P,补完全图，直接写出P8的长.

(2)如图2,若AB=AC,点尸在△ABC外，且B4=3,PB=5,PC=4,求NAPC的度数；

(3)如图3,若A8=2AC,点尸在△ABC内，且B4=b，PB=5,ZAPC=120°,直接写出

PC的长.

图1图2图3

【解析［解：(1)依题意补全图形，如图1所示，

图1

由旋转有，AD=AP,BD=PC,ZDAB=APAC,

：.ZDAP=ZBAC=60°,

为等边三角形，

：.DP=PA=3,ZADP=60°,

,：ZADB=ZAPC=150°,

:.NBDP=90°,

在RtZ\2。尸中，BD=4,DP=3,

：.PB=7BD2+DP2="6+9=5；

(2)如图2,把△APC绕点A顺时针旋转，使点。与点8重合，得到△AO3,连接尸

JAAPC^AADB,

：.AD=AP=3,DB=PC=4,ZFAC=ZDABfZAPC=Z2f

.\ZDAP=ZBAC,

'：ZBAC=60°,

AZDAP=60°,

.'.ADAP是等边三角形，

：.PD=3,Zl=60°,

・•・PC^+DB1=32+42=52=PB2,

：.ZPDB=90°,

・・.N2=30°,

AZAPC=30°；

(3)如图3,作△A3。，使得：ZQAB=ZPAC,ZABQ=ZACP,贝lJ△A3。s△AC尸,

图3

AZAQB=ZAPC=120°,

\9AB=2AC,

/.△ABQ与相似比为2,

.,.AQ=2AP=2V3,BQ=2CP,ZQAP^ZQAB+ZBAP^ZB\C+ZBAPZBAC^60°,

..AQ、

・—=2,

AP

：.ZAPQ=90°,尸。=3,

・•・NA。尸=30°

AZBQP=ZAQB-ZAQP=120°-30°=90°,

根据勾股定理得，BQ=y/PB2-PQ2=V25-16=4,

1

:.PC=^BQ=2.

10.【问题发现】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：

(1)如图1,在等边△ABC中，点P在内部，且B4=3,PC=4,ZAPC=150°,求的长.经

过观察、分析、思考，他对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°,

得到连接尸寻找B4、PB、PC三边之间的数量关系…

请你根据上面分析，完成该问题的解答