中考数学一轮复习重难点强化训练：三角形及基本性质（知识串讲+8大考点）解析版

M考点类型专题03三角形及基本性质

考点1：三角形相关线段

—三角形分类、稳定性

考点2：三角形相关线段

——三边关系

模块四图形的性质

03讲三角形及基本性质

考点3：三角形相关线段

——高线

考点4：三角形相关线段

——中线

知识一遍过

(-)三角形的分类

三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连接所组成的图形是三角形

直角三角形

(1)按角的关系分类:三角形锐角三角形

斜三角形<

钝角三角形

，不等边三角形

(2)按边的关系分类：三角形一舄寸，［底和腰不相等的等腰三角形

等腰二角形《/华一5,

------等边二角形

<1-------

(二)三角形的三边关系

三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小王第三边

(三)三角形的相关线段

(1)角平分线：

①角平线上的点到角两边的距离相等一到角两边距离相等的点在角平分线上(角平分线的判定)

②三角形的三条角平分线的相交于一点叫内心，内心到三边的幽相等.

(2)中线：

①三条中线交于三角形内部一点，叫其重心:每条中线平分三角形的面积

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的二生

(3)rWj线:

①三条高线所在的直线交于一点，叫其为垂心

②高线参考应用：互余关系的等量代换，等面积法求高线

(4)中位线：三角形两边中点的连线段.平行于第三边,且等于第三边的一半

(四)三角形相关角的性质

(1)内角和定理：

①三角形的内角和等租等；

②推论：直角三角形的两锐角互余.

(2)外角的性质：

①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.

②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内嵬.

(3)三角形内外角角平分线模型总结：

如图①，AD平分/BAC,AE±BC,贝U/a=工/BAC-/CAE=1(180°-ZB-ZC)-(90°-ZC)=-(Z

222

C-ZB)；

如图②，BO,CO分别是NABC、NACB的平分线，则有/0=1/A+90°；

2

如图③，BO、CO分别为/ABC、ZACD,/OCD的平分线，则/0='/A,NO'=-ZO；

22

如图④，BO、CO分别为NCBD、/BCE的平分线，则N0=90°--ZA.

2

考点1:三角形相关线段一一三角形分类、稳定性

典例1:(2023上・安徽亳州•八年级统考期中)在下列条件中：①乙4+NB=Z_C,②乙4=2NB=34C,

③乙4:NBZC=1:2:3,(4)zX=90°-ZB,⑤乙4=AB=3NC中，能确定△4BC是直角三角形的条件有

()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】本题考查了三角形内角和定理；根据三角形内角和为180。，求出三角形中角的度数，再根据直角

三角形的定义判断从而得到答案.

【详解】①••,N4+NB=NC,

•••Z-A+（B+Z.C=2Z.C=180°,

・•・ZC=90°,

・・.△4BC是直角三角形，故①正确；

②〃=2AB=34

11

*'•Z-A+Z-B+Z-C—Z-A4—Z-AH—Z.A=180°,

23

,1080°

••・Z-A=------，

11

.,・△48C不是直角三角形，故②不正确；

③：Z.A：Z.B：Z.C=1：2：3,

二最大角NC=180°x五|石=90°；故③正确；

④•••LA=90°-zB,

Z.A+/.B-90°,

ZC=180°-90°=90°,故④正确；

⑤；=ZC,

11

Z-A+Z-B+Z-C——Z.C+-Z-C+Z.C=2z.C—180°,

22

zC=90°,故⑤正确；

综上所述，是直角三角形的是①③④⑤共4个.

故选：C.

【变式1］（2022上•陕西渭南•八年级校考阶段练习）在AABC中，若NZ=30。，Z.B=2乙4,则△4也是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法判断

【答案】A

【分析】根据三角形内角和为180。，结合已知条件求出乙4,乙B,NC的度数即可得到答案.

【详解】0ZX=30°,ZB=2/4,

0ZB=60°,

+NB+NC=180°,

0ZC=90°,

0A力BC是直角三角形，

故选：A.

【点睛】此题考查了三角形内角和定理和直角三角形，解题的关键是掌握三角形内角和定理和直角三角形

判定的应用.

【变式2］（2022上•海南省直辖县级单位•八年级统考期末）若一个三角形两个外角之和为280。，那么这个

三角形是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

【答案】C

【分析】根据三角形的外角和为360。，两个外角之和为280。，则第三个外角的度数为360。-280。=80。，

则其相邻内角是100°,从而判定形状.

【详解】团三角形的外角和为360。，两个外角之和为280。，

国第三个外角的度数为360。—280°=80°,

回其相邻内角是180。-80。=100°,

回该三角形是钝角三角形.

故选：C.

【点睛】本题注意考查了三角形的外角和、三角形的形状判定，熟练掌握三角形外角和，准确判定三角形

的形状是解题的关键.

【变式3］（2022上•北京•八年级人大附中校考期中）如图，对于△ABC,若存在点0,E,F分别在ZB,BC,4C上，

使得N1=N2,N3=N4,N5=N6,则称△DEF为△ABC的"反射三角形下列关于"反射三角形”的说法中，

错误的是（）.

A.若△ABC的"反射三角形"存在，则A/IBC必为锐角三角形

B.等边三角形的"反射三角形"必为等边三角形

C.直角三角形的"反射三角形”必为直角三角形

D.等腰三角形的"反射三角形"必为等腰三角形

【答案】C

【分析】设N1=N2=x,得出43=N4=180。-乙4一%,Z5=Z6=180°-zB-x,根据三角形内角和

定理得出NC=x,从而得出Nl=42=zC=x,进而得出z_3=N4=乙B,z_5=46=Z.A,然后根据选项

中情况进行讨论即可.

【详解】解：设41=N2=x,

则43=N4=180°-AA-X,Z5=Z6=180°-4B-x,

0Z4+45+NC=(180°-zX-x)+(180°-NB—％)+NC=180°,

即：360°—(N4+NB)+NC-2x=180°,

fflzX+NB+zC=180°,

ElzC=x,

0Z1=z2=zC=%,z3=z4=180°-z.A-x=180°-乙A-4C=4B,

45=46=180°一4B—x=180°-48—NC=

0Z5+46+4DEF=180°,

0ZDFF=180°-45—N6=180°-2乙4,

0180°-2/.A>0,

解得：乙4<90°,同理NB<90°,ZC<90°,

故只有锐角三角形存在"反射三角形"，故A正确，不符合题意；

当公ABC为等边三角形，贝此4=ZB=ZC=60°,

则N1=42=N3=N4=乙5=N6=60°,

B1Z.DFE-乙DEF—Z.FDE—60°,

团△DEF为等边三角形，故B正确，不符合题意；

当乙4=90°,乙DEF=180°-2乙4=0°,不符合题意，

同理NB=90。，NC=90。均不符合题意，

回直角三角形不存在"反射三角形"，故C错误，符合题意；

当z_4=Z.B,则z_3=z4=z5=46,

贝！UDEF=乙DEF,

团△DEF为等腰三角形，故D正确，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的分类，等腰三角形的性质，直角三角形的定义，等边三角形的性质，解题的

关键是读懂题意，理解"反射三角形"的意义，根据以上三角形的性质及定义解题.

【变式4］（2022上•湖北武汉•八年级校考期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（）

A.

【答案】C

【分析】窗框与钉上的木条形成三角形，是利用三角形稳定性；张开的梯腿地面形成三角形，是利用三角

形稳定性；伸缩门的结构是平行四边形，不是利用三角形稳定性；张开的马扎腿形成三角形，是利用三角

形稳定性.

【详解】A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定

性；

B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上变形，是利用三角形的稳定性;

C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，不是利用三角形的

稳定性；

D、小马扎的座面与张开的马扎腿形成三角形，三边与三角固定，防止坐上变形，是利用三角形的稳定性.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性的应用，解决问题的关键是熟练掌握生活现象构成的几何图形，

三角形的稳定性，四边形的不稳定性.

【变式5］（2022上•四川自贡•八年级富顺第二中学校校考阶段练习）下列生活实物中，没有应用到三角形

的稳定性的是（）

愉

D.活动衣架

【答案】D

【分析】根据三角形的稳定性解答即可.

【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形，

由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性，

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键.

【变式6］（2022•吉林长春•统考二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上

的细木条的数量至少为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据三角形的稳定性及多边形对角线的条数即可得答案.

【详解】团三角形具有稳定性，

回要使五边形不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，

回过五边形的一个顶点可作对角线的条数为5-3=2（条），

团要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为2条，

故选：B.

【点睛】本题考查三角形的稳定性及多边形的对角线，熟记三角形具有稳定性是解题的关键.

【变式7］（2022上•广西南宁,八年级南宁市天桃实验学校校考期中）要使四边形木架不变形，至少要再钉

几根木条（）

A.4B.2C.1D.3

【答案】C

【分析】根据三角形具有稳定性可得：沿对角线钉上1根木条即可.

【详解】解：根据三角形的稳定性可得，至少要再钉上1根木条.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了三角形具有稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一

确定下来，故三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性.

考点2：三角形相关线段一一三边关系

典例2：（2024上•黑龙江哈尔滨•八年级统考期末）以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（）

A.3,5,9B.4,6,12C.2,2,4D.5,6,8

【答案】D

【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形

三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键.

【详解】A、由3+5<9,此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意；

B、由4+6<12,此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意；

B、由2+2=4,此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意；

D、由5+6=11〉8,此选项三条线段能构成三角形，符合题意；

故选：D.

【变式1】（2024上•湖北恩施•八年级统考期末）如图，在A/IBC中，AB=8,AC=6,点。是BC边上的中

点，则4。的长山满足的条件是（）

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，在4D延长线上截取=连接BE,

证明A2DCmAEDB,得到4C=EB=6,在AABE中，根据三角形三边关系得到2<4E<14,即可得到

1<m<7.

【详解】解：如图，在4。延长线上截取DE=4。，连接BE.

A

团点。是BC边上的中点，

MD=CD,

在△40C和AEDB中，

CD=BD

/-ADC=乙EDB,

AD=ED

0AADCEDB,

国AC=EB=6,

团在△ABE*中，AB-BE<AE<AB+BE

团48=8,

团2V4EV14,

团1V40V7,

即1VmV7.

故选：D

【变式21(2024上•广东广州•八年级统考期末)如图，在△ABC中，点。为BC的中点，DE、DF分别是“DB、

44DC的角平分线，分别交48、4C于点E、F,且4B=7,AE=4,CF=2,连接EF,贝UEF的取值范围为

()

A.5<EF<9B.3<EF<11C.2<EF<6D.1<EF<5

【答案】D

【分析】如图所示，延长EC至I」H,使得EZ)=HD,连接CH,FH,先求出BE=4B—AE=3,再证明△80E三

△CDH(SAS)得到CH=BE=3,利用三角形三边的关系得到1<FH<5,再证明NEDF=90。，得到DF垂

直平分EH,则EF=FH,即可得到1<EF<5.

【详解】解；如图所示，延长ED到“，使得ED=HD,连接CH,FH,

EL4B=7,AE=4,

^BE=AB-4E=3,

回点。为BC的中点，

团BD=CD,

X^BDE=Z.CDH,

BDE3△CW/(SAS),

团CH=BE=3,

团CF=2,CH-CF<FH<CF+CH,

团3-2VFHV3+2,即1VFHV5,

EIDE、DF分另lj是4ADB、440c的角平分线，

^ADE=-Z.ADB,/.ADF=-/.ADC,

22

国匕ADB+4ADC=180°,

0ZXDF+Z.ADF^-^ADB+-/.ADC=90°,

22

EIZFDF=90°,

又EIE。=DH,

EIDF垂直平分EH,

0£F=FH,

01<FF<5,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，角平分线的定义，线段垂直平分

线的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

【变式3】(重庆市合川区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题)已知等腰△ABC的底边长为其腰长

恰好是方程％2—2(m+l)x+6m—2=0的根，则m的值是()

A.2B.4C.1D.3

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，以及三角形的三边关系.根据一元二次

方程根的判别式，求得m=1或m=3,再将zn的分别代入一元二次方程求出腰长，结合三角形的三边关系，

即可确定根的值.

【详解】解：%2-2(m+l)x+6m-2=0,

•••a=1,b=—2(m+1),c=6m—2,

△=炉—4加=4(m+I)2—4(6m-2)=0,

解得：m=1或zn=3,

当zn=1时，%2—4%+4=0,解得：％=2,

•・•2+2<5,不满足三角形的三边关系，

•••m=1(舍去)；

当m=3时，%2—8%+16=0,解得：％=4,

4+4>5,满足三角形的三边关系，

即机的值是3,

故选：D.

考点3：三角形相关线段一一高线

典例3：(2023上•陕西西安・八年级统考期末)如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△4BC的顶点4

B,C均在格点上.若2D1BC于点D,则线段4D的长为()

【分析】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，利用勾股定理得出的长，再利用等面积法得出4。

的长.

22

【详解】解：由图可知：S^ABC=4x4-|x2xl-|x2x4-|x3x4=5,FC=V4+3=5,

国SAABC=2BC,4。,

国SFBC=5X5XAD=5,

解得：AD=2.

故选：D.

【变式1］（2023上•全国•九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点P在4。上，PE1AC于

E,PF1BD于F,贝！JPE+PF等于（）

【答案】B

【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理的应用、三角形的面积公式，连接OP,过。作DM14C于M,求

出AC长，根据三角形的面积公式求出DM的值，根据SA”O+SA”。=S“OD代入数据求解即可.解题的关键

是得出PE+PF=DM.

【详解】解:连接。P,过。作于M,

回四边形48co是矩形，28=3,40=4,

11

^\0A=OC=-AC,OB=0D=-BD,AC=BD,CD=AB=3,乙40c=90。，

22

团。4=OD,AC=yjAD2+CD2=V42+32=5,

ii

团S—DC=•DM=^AD-CD,

■x5xDM=-x4x3,

22

12

回DM=

回S—OD=S〉APO+S〉DPO9

展04•PE+-0D•PF=-0A•DM,

222

12

OPE+PF=OM

5

故选：B.

【变式21（2023上•安徽安庆・八年级统考期末）如图，在AABC中，NB=55。，ZC=25°,2D是BC边的高,

AE平分NB4C,贝此/ME的度数为（）

【答案】B

【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180。是解答此题的关键.先根据三角

形内角和定理求出乙847的度数，再根据4E平分乙B4C求出NBAE的度数，根据40LBC求出NB4D的度数,

由ACME=^BAE-4比4。即可得出结论.

【详解】在AABC中，NB=55。，ZC=25°,

.­.aBAC=180°-55°-25°=100°.

•••力E平分NB4C,

乙BAE=-ABAC=50°.

2

40是边3C上的高，

・•.Z,ADB=90°,

・•・乙BAD=90°一乙B=90°-55°=35°,

・•.Z,DAE=^BAE一乙BAD=50°-35°=15°.

故选：B

【变式31（2023上•山东日照•八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，乙4BC和乙4cB的平分线相交于点。，

过点。作£7可8C交AB于点E,交/C于点F,过点。作OD1AC于点D,已知0。=4,AE+AF=8,贝!UAET

的面积为（）

A

A.32B.16C.8D.20

【答案】B

【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，过点。作。于M,作。N1BC于N,连接。4,根

据角平分线的性质可得。"=ON=。。=4,再根据SUEF=SA4OE+SAA°F，代入计算即可.解题的关键是

注意角平分线性质的应用.

【详解】解:过点。作。M-LAB于M,作。N1BC于N,连接04

国乙4BC和乙4cB的平分线相交于点。，0D=4,AE+AF8,

回。M=ON=OD=4,

回S—EF=S0OE+SLA0F

11

=—TIE•OM+—-OD

1

=-OD-{AE+AF）

1

=-x4x8

=16,

IEAZEF的面积为16.

故选：B.

【变式4］（2022上•全国•九年级专题练习）如图，梯形ABCD中，已知受些=工，则衿匹=_______

S&BCD2S^BCD

【答案】I

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的

面积的特点是解题的关键.先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出券=；，再根据&4。£＞瓯C02

BC2

得出器=黑=再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可

UBBC2.

【详解】解：作4E1BC,CF1BD

必织=3△48。和48。。等高，高均为2E

S^BCD2

团S"BD==AD=1

S^BCD-^BC-AE~BC~2

团4。||BC

回△A。。八COB

「IE-0。=-AD=-1

OBBC2

回△BOC和△0。。等iWj,IWJ均为CF

团SABOC==OB=2

S^DOC^ODCFOD1

团S^BOC=3

S&BCD3

故答案为：|

【变式5](2023•全国•八年级课堂例题)在△ABC中，已知BC边上的高/D=8cm,BD=15cm,CD=6cm,

则aABC的面积为.

【答案】84cm2或36cm之

【分析】本题考查了三角形的高，利用分类讨论的思想解决问题是关键.分两种情况讨论：①40在△ABC

内部；②4。在外部，分别求出的长，即可求出△48C的面积.

【详解】解：①如图，当40在内部时，BC=BD+CD=21cm,

SAABC=|BC-ylD=1x21x8=84(cm2)；

A

S^ABC=卯C-4。=卜9义8=36（cm2）；

综上可知，△ABC的面积为84cm2或36cm2,

答案：84cm2或36cm2.

【变式6］（2024上•北京朝阳•八年级北京市陈经纶中学分校校考期中）如图，在AABC中，ZC=90°,4D是

NC48的平分线，己知AC=4cm,48=5cm,贝（ISA4CD：SAABD=。

【答案】4:5

【分析】本题考查了三角形面积公式以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和面积公式是解题的

关键.过点D作。E1AB于E,由角平分线的性质得DE=DC,再由三角形面积公式得到答案.

【详解】解：过点£＞作DE148于E,

•••4。是NC4B的平分线，ZC=90°,

DE=DC,

1

,,eS^ACD=•DE,

S^ABD=•DE9

^^ACD-^LABD=NC："8=4：5,

故答案为：4:5.

c

D

--------------EB

L变式7］（2024上・安徽合肥•八年级统考期末）如图，点。是△4BC内一点，连接2。、BD、，其中BD1CD,

BD平分乙4BC,若AaB。的面积为4,则△ABC的面积是.

【答案】8

【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质，三角形的面积公式，角平分的性质，证明DE=CD可得到

SABDE=SABDC,是解题关键•

【详解】解:延长CD交4B于点E如图：

BD1CD,8。平分N48C,

.­.乙BDE=4BDC=90°,/-DBE=乙DBC,

BD=BD,

.*.△BDE三ABDC(ASA),

*'•DE=CD9S^BDE=S^BDC，

^LADE=S^ACD9

•••△ZBO的面积为4,

^LABD=S^BDE+S^AOE=4

•••^^ABC=2SABD=8,

故答案为：

考点4:三角形相关线段一一中线

典例4：（2023上,全国,八年级专题练习）如图，△ABC的中线2D,BE相交于点F,FH1BC,垂足为若

SAABC=15，BC=6,贝!|FH长为

【答案】9

【分析】本题主要考查三角形的中线与面积的关系，熟练掌握三角形的中线与面积的关系是解题的关键.连

接FC,由二角形的中线与面积的关系可得SABEC=S&4BE=SAABD=5SAABC=3,然后可得SACEF—S&DBF=

SACDF，则有SABCF=gS^BEC=5,进而问题可求解.

【详解】解：连接FC,如图所示:

•••AD.8E是AaBC的中线，SQABC15,

115

，•S&BEC~=S&ABD=QS^ABC=~

•••S»ABF+=SAAB尸+S^BDF，

SA/EF=S»BDF，

S"EF=S&AEF，S&DBF=*^ACDF，

•••S»CEF=S&DBF=S&CDF，

2

，•S〉BCF=[SABEC=5，

11

VSRBCF=±BC-FH=-x6FH=5,

“s22

・•.FH=

3

故答案为：

【变式1】（2024上•吉林四平•八年级统考期末）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、4D的中点，BF=2EF,

SAABC=10，则4CEF的面积为

【答案】|/1|

【分析】本题考查三角形的面积的计算，利用三角形的中线可以把三角形面积平分的性质求三角形的面积，

根据三角形的一条中线可以把三角形的面积平分，得出SAABE=S^DBE=S^CDE=SAACE，然后再利用点BF=

2EF,从而得出△CEF是△BCE面积的

【详解】解：•.•点。是BC的中点，

S^ABD-SAACD，

・••点E是力。的中点，

ShABE=S^DBE=3s4ABD，S^CDE=S&ACE=3sA4CD，

5

S&ABE=SADBE=SACDE=S&ACE=[SAABC=12’

•••S^BCE~S^DBE+=5+5

•・•BF=2EF,

S〉CEF=§S"CE=§X5=9

故答案为：

【变式2］（2023上•广东肇庆•八年级校考期中）如图，点。是△ABC的三条中线AD,BE,CF的交点，若阴

影部分的面积S"℃=2,则的面积为.

【答案】6

【分析】本题考查三角形的中线，根据中线的性质可得4。=20D,由此得到SMOE=S^C0E=5sMe尸，

【详解】解：团点。是A4BC的三条中线力£>,BE,CF的交点,

团4。=2。0,

团S^AOE=S^COE~3*^Ai4CF，S〉BOD~^^COD=1.CF，LBOF~LAOF=3^LBAD9LACF~LBCF»

团S^AOE+S^BOD=S阴影=2,S^A0F+S^BOF=S阴影=2,

团S-BC=2+2+2=6，

故答案为：

【变式3]（2023上•河北沧州•九年级统考期中）如图，E为平行四边形ABCD边上一点，RG分别为DE,

4E的中点，若△DCE与△ABE的面积之和为6,则四边形1MGF的面积是.

【答案】4.5

【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中线的性质，由平行四边形的性质可知S-QE=]SMBCO,结

合SXDCE+^LABE=6,S^DE+S^DCE+LABE=^ABCD1可得Su0E=6,连接。G,由尸、G分别为。E、NE的

中点，可得S—OG=S^EDG=5sMDE=3,S^DFG=S^EFG=QSAEDG=L5,进而可得四边形£MGF的面积.

【详解】解：团四边形/8C0是平行四边形，

团401出C,

团S^ADE=7^ABCDf

^AADE=6,

aF、G分别为DE、AE的中点，

国SMDG=S^EDG=yS—DE=3,S&DFG=^AEFG=/AEDG=L5，

回四边形D4G尸的面积=ShADG+S“DFG=4.5,

故答案为：4.

【变式4]（2023上•山东荷泽•八年级校考阶段练习）如图所示，CE,C8分别是AABC,△ADC的中线，AB=

AC,^ACB=/.ABC,CE=1.5,则CD的长度为（）

【答案】B

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，遇到与三角形的中线有关的问题时，常

将中线延长一倍（这种方法称为倍长中线法），然后连接相应的点，构造全等三角形，通过全等三角形的性质

将线段的关系进行转化，从而达到解决问题的目的.本题延长CE至兄使得EF=CE,贝UCF=2CE=3,

分别证明△&EC=△B£F（SAS）^ACBD=△CBF（SAS）得至l]CD=CF=2CE即可求解.

【详解】解：延长CE至兄使得EF=CE,贝UCF=2CE,

ME是△ABC的中线，

EL4E=BE,又乙4EC=4BEF,

团△力ECSABEF(SAS),

EL4c-BF,Z.A-Z.EBF,

EICB是△4DC的中线，AB=AC,

EIBD=AB,贝U8D=BF,

SZ.CBD=Z.A+Z.ACB,Z.CBF=Z.EBF+Z.ABC,Z.ACB=/.ABC,

田4CBD=4CBF,又BC=BC,

0ACBD=ACB尸(SAS),

0C£)=CF=2CE=3,

故选：B.

【变式5］（2023上•湖南长沙•八年级校联考期末）如图，4D是AABC的中线，ACAD=60°,AD=4,AB-

AC=2,贝的长为（）

A.V21B.5C.2V21D.V26

【答案】C

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握相关定理性质，

根据题意，作正确的辅助线，是解答本题的关键.

过点C作CEII4B交4D的延长线于点E,过点C作CF14D于点F,证明△BADSACED（ASA）,得到4B=EC,

AD=ED,设4C=a,则EC=4B=a+2,利用勾股定理得到CF=fa,XF=ja,再根据等量关系，得

到AC=5,AF=I，6=第，最后再利用勾股定理得到答案.

【详解】解：过点C作CEIL4B交4。的延长线于点E,过点C作CF14。于点尸，如图所示，

•••CEWAB,

•••Z-E=乙BAD,Z.DCE=乙B,

•・•40是的中线，

BD=CD,

在△B40和中，

2E=乙BAD

BD=CD,

zDCE=Z-B

ABADSACFO（ASA）,

AB=EC,AD=ED,

设AC=a,则EC=AB=a+2,

在RtzkAFC中，

AC=a,/.CAF=60°,/.AFC=90°,

•••CF=—a,AF=-a,

22

・・•AD=ED=4,EF=AE-AF9

i

.・.EF=8--a,

2

由勾股定理得：CF2=CE2-EF2,

即;a2=（a+2）2-（8-1a）,

解得：a=5,

故/C=5,AF=-,CF=—,

22

FD=AD-AF=

2

由勾股定理得：

CD2=CF2+FD2=21,

BC=2CD=2VH.

故选：C.

【变式61（2023上•贵州铜仁•八年级校考期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成6cm和12cm两

部分，则等腰三角形的腰长为（）

A.4cm或8cmB.4cmC.8cmD.2cm或10cm

【答案】C

【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，解二元一次方程组和三角形三边关系的综合运用，设等腰三角

形的腰长、底边长分别为%cm,ycm,根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为12cm,

故应该列两个方程组求，解题的关键是分两种情况分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验.

【详解】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm,ycm,

riri

x+-x=6%+-%=12

由题意得412或h2,

-%+y=12-%+y=6

12k2

团4+4<10,

团不能构成三角形，

故等腰三角形的底边长为8cm,

故选：C.

【变式7](2023上•江苏泰州•九年级校考阶段练习)如图,4。是44BC的中线,E是2D上一点,4E:AD=l-.n

连接BE并延长交AC于点R贝为()

A.1:(n-1)B.1:(2n—1)C.1:(n+1)D.1:(2n—2)

【答案】B

【分析】作DHIIBF交AC于点H,根据力£>是4ABC的中线，可得BD=CD,根据平行线分线段成比例可得F”

HC,有已知条件可得=4F:FH=1:(九—1)，进而可得4F：AC=1:(2n-1).

【详解】解：作。印出产交4c于点X,

EL4D是AABC的中线，

BD=CD,

•••DH\\BFf

・•.FH=HC,

vAE\AD=l:n,

・•・AE\ED=l:(n-1),

•••DHWBF,

团4E:DE=AF\FH=l:(n-l),

・•・AF\FC=l:(2n-2),

・•.AF-.AC=l:(2n-1).

故选:B.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中线的性质，比例的性质，添加辅助线是解题的关键.

考点5：三角形的相关线段一一重心性质

典例5：（2023•上海虹口•统考一模）如图，点G是△ABC的重心，GEII4C交于点E.如果AC=12,那么

GE的长为（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中

线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键.连接BG并延长交4C于。，根

据点G是AABC的重心，得到CD=）C=；X12=6,黑根据相似三角形的判定和性质即可得到结

22BD3

论.

【详解】解：连接并延长交4C于。，

回CD=-AC=-x12=6,—

22BD3

BGEWAC,

舐BEG-△BCD,

BGE=4,

故选:B.

【变式1】（2023上,湖南怀化•八年级校联考期末）如图，F是AABC的重心，连接4F并延长交BC于。，连

接BF并延长交AC于E.若AABF的面积是4,则四边形CDFE的面积是（）

A.2B.5C.3D.4

【答案】D

【分析】本题考查了重心的概念：重心是三角形三边中线的交点，三角形中线的性质；

根据重心的概念，得到2。,8后是448。的中线，故可得SAABD=SAEBC=^SA4BC，进而推出A4BF的面积和

四边形CDFE的面积相等，即可解答.

【详解】解：F是A48C的重心，

•••力D,BE是"BC的中线，

1

SAABD=S^EBC=5sAABC，

四边形CDFE的面积=S^EBC-SAFBD=^^ABD~^^FBD=S^ABF=4,

故选：D.

【变式2］（2023上•浙江宁波•九年级校考期中）如图，在RtAABC中，乙4c8=90。，AC=8,BC=6,点

G是△力BC的重心，贝l|CG等于（）

【答案】C

【分析】本题考查了重心的定义，中位线的性质，勾股定理；延长CG交48于点。，在GO的延长线上取一点

E,使GD=DE,连接力E,BE,延长BG交4c于点F,先证四边形4EBG为平行四边形，再证（；尸为4C4E的

中位线，从而得CG=GE=2GD,进而得CG=|CD,然后在Rt△ABC中由勾股定理求出力B,再根据直角三

角形斜边中线的性质求出C。即可得到CG的长.

【详解】解：延长CG交48于点D,在GD的延长线上取一点E,使GO=DE,连接ZE,BE,延长BG交4c于

点尸,

•・•点G为AABC的重心，

•••CD,BF为△ABC的中线，

AD=BD,AF=CF,

又GD=DE,

•••四边形4EBG为平行四边形,

•••BG||AE,

即GF||AE,

•：AF=CF,

GF为ACZE的中位线，

・••点G为CE的中点，

•••CG-GE=2GD,

•.GD^-CG,

2

1Q

・•・CD=CG+GD=CG+-CG=-CG,

22

2

ACG=-CD

3f

在中，AC=8,BC=6,

由勾股定理得：AB=y/AC2+BC2=10

・・・CD为RtZkABC斜边AB上的中线，

CD=-AB=5

2

团CG=2x5=丝

33

故选：c.

【变式3］（2023上•山西太原•九年级校联考阶段练习）如图，在△Z8C中，中线BE,C。相交于点。，连接DE,

下列结论：①案=，②亨=3③喋=器；④0=，其中正确的个数为（）

乙'ACOB乙ASUBU>ABDC§

A

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】本题考查了中位线，重心的性质.熟练掌握中位线的性质，重心的性质是解题的关键.

DE是AABC的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断①的正误；根据中线交点将中线

分成2:1的部分，以及等高，求面积比值，进而可判断②④的正误；根据比值进行判断③的正误即可.

【详解】解：回中线BE,CD,

EIDE是A4BC的中位线，

回装=；,DE||BC,①正确，故符合要求；

DC2

回。是中线交点，即重心，

10D1

0--=「--=一，

0B20C2

EIADOB与AC08、ABDC等高，

畔四=华=，产=察=3②、④正确，故符合要求；

JACOB乙^^BDC§

处―工OE__1

'AB2'OB2'

映=舄③正确，故符合要求；

ADUD

故选：D.

考点6:三角形的相关线段一角平分线

典例6：（2023上•浙江金华•八年级校考阶段练习）如图，△4BC的面积为18cm2,BP平分N4BC,AP1BP于

P,连接PC,则APBC的面积为（）

A

BC

D

A.7cm2B.8cm2C.9cm2D.10cm2

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的中线的性质，延长4P交于。，

证明ZB=再由等腰三角形的性质可得4P=PD,根据三角形的中线的性质可得S.PO=SLBPA,SLCPD=

S.pz，由此进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键・

【详解】解：如图，延长/P交于。，

•・•8尸平分乙

・•・Z.ABP=乙DBP,

•••AP1BP,

・•・乙APB=乙DPB=90°,

・•・乙BAP=90°-乙ABP,乙BDP=90°-乙DBP,

•••Z-BDP=Z.BAP,

AB=DB,

•・•AP1BP,

・・.4P=DP,

S^BPD=^LBPA9S^cPD=S^cPA，

1112

S阴影=S4BPD+SACPD-]SAABD+]5“（；£>=2^AJ4BC=9cm,

故选：C.

【变式1]（2023上•辽宁丹东•九年级统考期中）如图，在AABC中，以点B为圆心，以2为半径画弧，交边

4B于点D,交边BC于点E,分别以点D,E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在乙48c内部交于点P,

画射线BP与边4C交于点F,过点F作BC的平行线恰好经过点0,贝IMD-CE的值为（）

A

A.2A/6B.4A/3C.4D.3汽

【答案】C

【分析】本题主要考查了作图一基本作图、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与

性质，由作图可得，2P是乙4BC的平分线，BD=BE=2,由角平分线的定义以及平行线的性质得出NOFB=

乙DBF,从而得出BD=DF=2,设力。=a,CE=b,AB=BD+AD=a+2,BC=BE+CE=2+b,

证明AADFs△力BC,由相似三角形的性质可得2=三，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用

a+2b+2

是解此题的关键.

【详解】解：由作图可得，BP是乙48。的平分线，BD=BE=2,

•••Z-ABF=Z.CBF,

•・•DE||BC,

Z.DFB=乙CBF,

•••zJDFB=乙DBF,

.・.BD=DF=2,

设=