中考数学一轮复习重难点强化训练：三角形及基本性质（分层训练）解析版

专题03三角形及基本性质（分层训练）

分层训练

【基础训练】

一、单选题

1.（2023下•辽宁大连•七年级统考期末）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）

A.1,2,4B.2,3,4C.3,5,8D.8,4,4

【答案】B

【分析】根据三角形的三边关系"任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析.

【详解】/、1+2<4,不能组成三角形，故此选项错误；

8、2+3>4,能组成三角形，故此选项正确；

C、3+5=8,不能够组成三角形，故此选项错误；

D、4+4=8,不能组成三角形，故此选项错误.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大

于第三个数.

2.（2023•山东淄博•统考二模）已知平行四边形ABCD的一边长为5,则对角线AC,BD的长可取下列数据中

的（）

A.2和4B.3和4C.4和5D.5和6

【答案】D

【分析】由三角形三边关系可得三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

【详解】解：由于两条对角线的一半与平行四边形的一边组成一个三角形，

所以;（AC-BD）<5<|（AC+BD）,

由题中数据可得，AC和BD的长可取5和6,

故选D.

【点睛】本题考查了平行四边形对角线互相平分及三角形三边关系问题，能够熟练求解此类问题.

3.（2023下•河北保定•七年级统考期末）如图，为估计池塘岸边48两点的距离，小方在池塘的一侧选取

一点。，测得。A=7米，OB=5米，A,8间的距离不可能是（）

o

A.12米B.10米C.5米D.8米

【答案】A

【分析】根据三角形的三边关系即可判断结果.

【详解】解：根据三角形三边关系得：。4一OB<4B<+OB,

即：2<AB<12,

故选：A.

【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟记基本性质并灵活判断是解题关键.

4.（2023•山东泰安•模拟预测）如图，一副三角板叠在一起，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的

斜边AB上，AC与DE交于点M,如果NBDF=105。，则乙的度数为（）

A.80°B.85°C.90°D.95°

【答案】C

【分析】先根据平角的概念求出乙40M的度数，然后利用三角形内角和定理即可得出答案.

【详解】4BDF=105°,AEDF=30°

•••/.ADM=180°-Z.EDF-乙BDF=180°-30°-105°=45°

•••^CAB=45°

•••^AMD=180°-ACAB-AADM=180°-45°-45°=90°

故选：C.

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理及平角的概念，掌握三角形内角和定理是解题的关键.

5.（2023•河北秦皇岛•统考一模）如图，在中，AB=AC,点。为线段BC上一动点（不与点5,C重

合），连接4D,作NADE=NB=40°,DE交线段AC于点E.

下面是某学习小组根据题意得到的结论:

甲同学：4ABD〜ADCE；

乙同学：若=则BD=CE；

丙同学：当DEL2C时，。为BC的中点.

则下列说法正确的是（）

A.只有甲同学正确B.乙和丙同学都正确

C.甲和丙同学正确D.三个同学都正确

【答案】D

【分析】在AABC中，依据三角形外角及已知可得N84D=NCOE,结合等腰三角形易证A4BD~AOCE；

结合an=DE,易证△ABDSADCE,得至=CE；当DE1AC时，结合已知求得NEDC=50°,易tiE4D1

BC,依据等腰三角形"三线合一"得BD=CD

【详解】解：在AABC中，

•••AB=AC,

Z-C=Z-B=40°,

vZ.B+Z-BAD=Z.CDE+Z-ADE,Z.ADE=z_B=40°,

•••Z-BAD=乙CDE,

ABD—△DCE,

甲同学正确；

vZ-C=Z-B,乙BAD=Z.CDE,AD=DE,

ABD=△DCE,

BD=CE,

乙同学正确；

当。E1/C时，

・•・（DEC=90°,

・・・(EDC=90°-ZC=50°,

・・・^ADC=Z.ADE+乙EDC=90°,

・•・AD1BC,

vAB=AC,

BD=CD,

。为BC的中点，

丙同学正确；

综上所述：三个同学都正确

故选：D.

【点睛】本题考查了二角形外角、相似二角形的判定、全等二角形的判定和性质、等腰二角形的性质；解

题的关键是通过"三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和"得到484。=MDE.

6.（2023•陕西西安•校考二模）如图，已知直线a||b,与直线c分别交于/、8两点，点C在直线6上，点。

在线段4B上，连接CD,若41=45。，42=70。，则NBDC的度数为（）

A.65°B.55°C.50°D.45°

【答案】A

【分析】由平行线的性质得到ADBC=42=70。，由三角形内角和定理即可求出NBDC的度数.

【详解】解：圈allb,

S/.DBC=42=70°,

0Z1+Z.DBC+Z.BDC=180°,Z1=45°,

0ZBDC=65°.

故选：A.

【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关

键.

7.（2023•北京•校考一模）如图，C表示灯塔，轮船从A处出发以每时30海里的速度向正北（AN）方向航

行，2小时后到达B处，测得C在A的北偏东30。方向，并在B的北偏东60。方向，那么B处与灯塔C之间

的距离为（）海里.

A.60B.80C.100D.120

【答案】A

【分析】将方位表示的角度转化为题目中对应角的度数，由三角形外角的性质可求出回C=30。，再根据等腰

三角形的性质即可得到答案.

【详解】解：00NBC=[3A+0C,0NBC=60°,HA=30°

03C=3O°.

EEABC为等腰三角形.

船从A到B以每小时30海里的速度走了2小时，

0AB=BC=6O海里.

故答案选A.

【点睛】本题考查了方向角的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是

解答本题的关键..

8.（2023•北京丰台•二模）如图，在A/BC中，05=60°,13c=50。，如果平分皿C,那么EL4D8的度数

是（）

A

BDC

A.35°B.70°C.85°D.95°

【答案】c

【分析】先据三角形内角和定理求出回BAC的度数,再据角平分线定义求得朋AD的度数，最后求得回ADB度

数.

【详解】在E1ABC中：

fflB+ElC+0BAC=18Oo,ES=60°,fflC=50°

0EBAC=18O°-60°-50°=70°；

又HAD平分aa4c

11

m^BAD=-Z.BAC=±x70°=35°

22

在IBBAD中：

00B+0ADC+0BAD=18O°

EEADB=180°-60°-35°=85°.

故选：C.

【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线意义.灵活运用三角形内角和定理、角平分线意义进行角

的计算是解题关键.

9.（2023•安徽淮南•校联考二模）已知三角形纸片4BC,其中NB=45。，将这个角剪去后得到四边形4DEC,

则这个四边形的两个内角乙4DE与NCED的和等于（）

A.235°B.225°C.215°D.135°

【答案】B

【分析】先由三角形内角和定理结合回B的度数即可得出EIBDE+EIBED的度数，再根据（3BDE与国ADE互补、回BED

与IBDEF互补，即I3BDE+EIADE+13BED+EIDEF=36O°,即可求得NZDE+NCED的大小.

【详解】解：EZB=45°

00BDE+0BED=18O°-45°=135°

又REBDE与mADE互补、UIBED与I3DEF互补

EBBDE+回ADE+E1BED+EIDEF=36O°,即NADE+NCED=360°-135°=225°.

故答案为B.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及补角的定义，根据三角形内角和定理求出回BDE+田BED的度数是

解答题本题的关键.

10.（2023•新疆乌鲁木齐・乌鲁木齐八一中学校考二模）如图，在△ABC中，^BAC=108°,将AABC绕点2按

逆时针方向旋转得到△44C，，若点夕恰好落在边上，且a9=。9，则的大小为（）

c

B’

A.20°B.24°C.28°D.32°

【答案】B

【分析】根据图形的旋转性质，得454夕，已知/夕二。夕，结合等腰三角形的性质及三角形的外角性质，

得勖二的夕庆2回C,再根据三角形内角和定理即可求出回。度数，再由旋转性质得出回C度数.

【详解】解：四"二CQ,

团团C=。8',

回胤45'5=团。+团。5'=2回C,

团将445。绕点4按逆时针方向旋转得到夕C,

团团CMEC,AB=AB,,

团勖二回国C,

团财+回C+团C45=180°,

团3团。=180°-108°,

团团。二24°,

团团C=回。=24°,

故选：B.

【点睛】题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，图形的旋转性质.根据等腰三角形的性质

及三角形的外角性质，得鲂、回。的关系为解决问题的关键.

11.（2023•山东济南,统考二模）如图，/施CD,EF分别与AB,CD交于点5,F.若姐=20。，团£尸C=130。，

则的的度数是（）

E

A--------------------7B

CFD

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】B

【分析】直接利用平行线的性质得出助39=50。，进而利用三角形外角的性质得出答案.

【详解】解：EL4施CO,

EB48尸+EI£FC=180°,

HIE产C=130°,

EBA89=50°,

0EL4+0£=EL45F=5O°,05=20°,

0EL4=3O°.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，正确得出回ABF=50。是解题的关键.

12.（2023上•辽宁盘锦•八年级校考阶段练习）如图所示，在13ABe中，回ABC的平分线与回ACB的外角平分线

【答案】D

【分析】根据已知得出NDBC=|-1BC,Z.DCE=^ACE,根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和得

出NDCE=/.DBC++/.ABC=NACE,进而得出［/ABC+z_0=+zXBC）,即可求得NA的值.

【详解】解：•••NZBC的平分线与41cB的外角平分线交于D,

11

・•・乙DBC=-£.ABC,乙DCE=-/.ACE,

22

vZ-DCE=Z-DBC+乙D,Z-A+Z-ABC=Z-ACE,

ii

・•・-^ABC+Z.D=-£.ACE,

22

BP|Z.ABC+40=（（NA+/.ABC},

解得：［乙4=30。，

Z-A=60°,

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

13.（2022・广东中山・统考三模）如图，在中，乙4=40。，以点C为圆心，任意长度为半径画弧，交

AC的延长线和BC于点D、E,分别以£为圆心，大于］DE的长为半径画弧交于点F,连接CF,若加,

则NB的度数是（）

A.25°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】由题意得c尸是asco的角平分线，结合平行线、三角形外角可得的与鲂的关系，即可得到答案.

【详解】解：由题意得Cb是勖CD的角平分线，

^\BCF=^DCF,

又回CFII4B,

^B\B=^BCF=BDCF,

又EEL4+E15=a8CD

即财+05=205

瓯8=40°.

故选：C.

【点睛】本题考查三角形外角，角平分线、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

（2X+3

14.（2022下•陕西西安,八年级统考期中）等腰△ABC中一边长为3,另外两边长为不等式组=二“一的

13%+2>11

两个不同整数解，则△ABC的周长为（）

A.10或11B.10或12C.n或12D.10或13

【答案】A

【分析】先求不等式组的解集，确定正整数范围；根据等腰M8C中一边长为3,另外两边长为其中两个不

同整数解求出边长即可求解.

'^1>x—3①

【详解】解：5-％3°

3x+2>11（2）

由①得x<6

由②得3Wx

团不等式组得解集是3<%<6

回在这个范围内的正整数解是：3、4、5、6

回等腰中一边长为3,另外两边长为其中两个不同整数解

国两边长可能是3、4；3、5；

周长是：10或者11

故选：A.

【点睛】此题考查不等式组的解集和三角形边长性质，解题的关键是正确求出不等式组的解集和利用三角

形三边之间的关系确定边长.

15.（2022・广东深圳•统考模拟预测）如图,在矩形ABCD中,AD=V2AB,^BAD的平分线交BC于点、E.DHS^LE

于点H,连接并延长交CD于点R连接DE交昉于点O,下列结论：①AD=AE；②HAEDRCED；

③OE=OD；④BH=HF；⑤BC-CF=2HE,其中正确的有（）

AD

BEC

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】D

【分析】根据角平分线的定义可得加E=ED4B=45。，然后求出姐BE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角

形的性质可得从而得到即可判断①；由得到0AE7AEL4OE,再由NOE13C,即

可得到EL4DE=I3CED,即可判断②；证明/AEBMffl)即可推出由三角形内角和定理

得到明。£=明班=，180°—0£>/£)=67.5°,^ADH=SDAH=^5°,SCED=SAED=67.5°,EL4H5=EL4SH=|(180°

SBAH)=67.5°,从而推出配归E=67.5°=EL4E。，得至lj0£=0H,再由皿/。=皿花-0。//£=22.5°,SODH

=SADE-^ADH=22.5°,推出。打=。。，即可判断③；再证明勖£7型Effl才得到9即可判

断④；再由HE=AE-AH=BC-CD,得到8C-CF=8C—QCD—DFb=BC~(CD—HE)=(BC-CD)

+HE=HE+HE=2HE即可判断⑤.

【详解】解：回四边形/BCD是矩形，

EESAD=EL43E=90°,ADSBC

EL4E平分的ID,

^BAE=WAE=^BAD^^°,

2

^ADUBC,

酿。/£*=的砂=45°,

^AEB=^BAE=^°,

^\AB=BE,

^AE=7AB2+BE2=&AB,

刻。=42AB

^AD=AE,故①正确；

mAED=^\ADEf

^AD^BC,

^ADE^CED.

^AED^CED,故②正确;

[2LD/7I2L4E,

皿加出290°

在的5£和的加中，

(Z.BAE=Z.DAE

\^ABE=乙AHD，

(AE=AD

^\ABE^\AHD(44S),

^BE=DH,

^AB=BE=AH=HD,

。，

^\ADE=^AED=2-(180°—M4E)=67.5^ADH=^DAH=45°

团团CEZ)=西£。=67.5°,

^\AB=AH,

mAHB=^ABH=^(180°—胆4")=67.5°,^\OHE=^AHB(对顶角相等),

团团O7ffi=67.5°=的助，

由OE=OH,

mDHO=BDHE-^\OHE=22.5°,^\ODH=^ADE-^ADH=22.5°,

mDHO^ODH,

团OH=OD,

国OE=OD=OH,故③正确；

------彳。

^\EBH=^\ABE-^ABH=22.5°,

^\EBH=^OHD,

在鲂EH和团4Db中,

Z.EBH=乙OHD=22.5°

BE=DH

^LAEB=乙HDF=45°

^BEH^HDF(ASA),

^BH=HF,HE=DF,故④正确；

WE=AE-AH=BC-CD,

WC-CF=BC~(CD-DF)=BC~(CD-HE)=(BC-CD)+HE=HE+HE=2HE.故⑤正确；

故选D.

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，

熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等

腰三角形是解题的关键，也是本题的难点.

二、填空题

16.(2023下•陕西西安•七年级高新一中校考阶段练习)在4ABC中，乙4+NB=115°,则NC=.

【答案】65。/65度

【分析】根据三角形内角和为180。，可得N4+ZB+ZC=180°,再结合44+48=115。即可求出NC的度

数.

【详解】解：•；乙4+乙8+乙。=180。，

•••ZC=180°-+乙B)=65°,

故答案为：65°.

【点睛】本题考查了三角形内角和的度数，掌握三角形内角和定理是解答本题的关键.

17.(2023下•黑龙江哈尔滨•七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中)如图，在4ABC^ABCC中，N4=80°,

4ABD=55°,^ACD=20°,则4。=°,

【答案】115

【分析】根据外角的性质进行求解即可.

【详解】解：设交于点E,

D

BC

则：乙BEC=乙4+/.ABD=z_0+AACD,

0ZX=80°,乙ABD=55°,^ACD=20°,

KIND=80°+55°-20°=115°；

故答案为：115.

【点睛】本题考查外角的性质.熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键.

18.（2023•浙江杭州•模拟预测）如图是一副三角尺拼成四边形22C。，E为斜边BD的中点，贝此4。£"=.

【答案】15。

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求得4E=DE=BE=CE=\BD,从而由含30。、

45。角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质可得到N4ED=60。、同时由等腰三角形的三线合一

可得到4CED=90。，进而由角的和差可求得乙4EC=150。，然后由等腰三角形的等边对等角以及三角形的

内角和定理即可求得答案.

【详解】解：团在中，/.BAD=90°,E为斜边8。的中点；

在RtABCD中，L.BCD=90°,E为斜边BQ的中点

1

^AE=DE=BE=CE=-BD

2

国乙ADB=60°；BC=DC

回△40E是等边三角形；CE1BD

^AED=60°；乙CED=90°

^AEC=Z.AED+乙CED=150°

团在等腰△/CE中，乙4。£=竺亭空=15。.

故答案是:15。

【点睛】本题考查了含30。、45。角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、

角的和差、三角形内角和定理等，灵活运用相关知识点是解题的关键.

19.（2023上•江苏镇江•八年级校考期中）如图，AB^CD,团C42和a4co的平分线相交于8点，£为ZC的

中点，若EH=4.则/C=_.

【分析】根据平行线和角平分线的性质可得，^AHC=90°,再利用直角三角形的性质即可求解.

【详解】解：HABIICD

0ZBXC+/-DCA=180°

由题意可得：4H平分ABAC,CH平分ADC4

0ZW4C=-ABAC,乙HCA=-ADCA

22

11

^HAC+^HCA=-Z,DCA+-^BAC=90°

22

团乙AHC=90°

又蛇为4C的中点

-i

SEH=jXC,即AC=2EH=8

故答案为8

【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，涉及了平行线和角平分线的性质，解题的

关键是灵活利用相关性质进行求解.

20.（2022下•贵州毕节•八年级统考期中）如图，将A48C绕点C顺时针旋转至ZkOEC,使点。落在8C的延

长线上，已知&4=26°,05=40°,则GL4CE=.

D

【答案】48。/48度

【分析】先根据三角形外角的性质求出EUCD=67。，再由A/BC绕点C按顺时针方向旋转至△DEC,得到

LABC^&DEC,证明aBCE=EL4CD,利用平角为180。即可解答.

【详解】解：0EL4=26°,05=40°,

0EL4CD=EL4+E3=26°+4O°=66°,

fflABC绕点C按顺时针方向旋转至△£>口?,

0EL45C00Z）£C,

SBACB=mDCE,

^\BCE=SACD,

EIEBCE=66°,

00^^=180°-a40）-05^=1800-660-660=480.

故答案为：48。.

【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是由旋转得到△43C13m）EC.

21.（2022下•北京•七年级北京市第十三中学分校校考期中）如图1,为响应国家新能源建设，某市公交站

亭装上了太阳能电池板.当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为62。，如图2,电池板

与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板CD与水平线夹角为48°,要使48||CD,需将电池板CD

逆时针旋转a度，贝以为____.（0<a<90°）

\48

（图1）（图2）

【答案】20。/20度

【分析】求出蛇。尸的度数，根据平行线的性质得出四缶0£>=始。尸=28。,再求出答案即可.

AC

。工k

【详解】BD

品历产。=90°,

aaoE/=62°,

EEEO=180°-90°-62°=28°,

EL450CZ),

EEA@）=EI£O尸=28°,

团要使48团CD,需将电池板CD逆时针旋转a度，

回a°=48°-28°=20°

故答案为：20.

【点睛】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，垂直的定义等知识点，能求出必0D

的度数是解此题的关键.

22.（2023•辽宁沈阳•统考模拟预测）如图，小正方形边长为1,则西3c中/C边上的高等于—.

【答案】詈

【分析】用大正方形面积减去外面三个小三角形的面积就是S"BC，再用勾股定理算出AC的长，即可算出B

到AC边上的距离.

【详解】解：过2作水泡4。，交NC于点G,

在RtEL4CF中，AF=2,CF=1,

根据勾股定理得：AC=y/CF2+AF2=V5,

113

回SMBC=S正方形AFED-SABCE-SAABD-S^ACF—^--xlxl-2x-x2xl=",

S^ABC=^AC»BG,

星XV5BGT

22

则8G耆.

故答案为：手.

DA

止

Ec.F

【点睛】本题考查了三角形的勾股定理及三角形面积相关的知识点，考生应熟练掌握.

23.（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨市萧红中学校考一模）如图，在AdBC中，NC=90。，点。为4C上一点,

/.ABD=45°,2.ABD=2ABAC,若4D=4,则BC的长为.

【答案】2

【分析】如图，作DE1BD交48于E,可知=90°,^BED=1800-A.ABD-乙BDE=45。,贝=DE,

BE=-^―=近BD,由题意得N84C=22.5°,由ZBEO=N2+/.ADE,可求ZJ1DE=22.5°,则4E=DE,

cos45°

AB=BE+AE=V2BD+BD=(y/2+i)BD,证明△ABCBDC,则些=—=—,即些=—=^+1)BD,

整理得BC=(迎+1)CD,4+CD=(V2+1)BC,贝=(鱼+1)[(&+1)BC-4],计算求解即可.

【详解】解：如图，作0E_LBD交4B于E,

SZ.BDE=90°,

^Z.ABD=45°,

fflzSED=180°-2LABD-乙BDE=45°,

0BD=DE,BE=-^-=&BD,

cos45°

包乙ABD=2/-BAC,

^BAC=22.5°,

^BED=^A+AADE,即45。=22.50+/4OE,

解得“OE=22.5°,

^AE=DE=BD,

^AB=BE+AE=V2BD+BP=(V2+1)BO,

^ABC=180°-ABAC-Z-C=67.5°,乙DBC=/-ABC一乙ABD=22.5°,

^BAC=Z-DBC,

^\Z-BAC=乙DBC,乙ACB=Z-BCD,

ISAABCfBDC,

「8cACAB口BC4+CD_(V2+1)BD

团1一=—=—,即n一=---

CDBCBDCDBCBD

整理得BC=(V2+1)CD,4+CD=(V2+1)BC,

则BC=(V2+1)[(V2+1)BC-4],

解得BC=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角，余弦，相似三角形的判定与性质等知识.解

题的关键在于正确的添加辅助线.

24.（2022,山东聊城,统考一模）如图，在4/台。中，^CAB=70°,在同一平面内，将A/BC绕点/逆时针

旋转到的位置,使CC1I4B,作夕DIIAC交3C于点D,则乙4B'C=

【答案】30。/30度

【分析】利用旋转的性质可求得/CMC',SCAB=SC'AB',由平行线性质和三角形内角和定理可求得回C/C；

进而求得回C4夕即可解答;

【详解】解：BCCWAB,

^C'CA=SCAB=70°,

由旋转的性质可得：AC=AC',BCAB^BC'AB'=70°,

ffiL4CC'=EL4C'C=70°,

00C,^C=18O°-7OO-7O°=4O°,

EBCAB'=国C'A8'-E1C'/C=7OJ4O°=3O°,

SB'DWAC,

^B'D=SCAB'=30°,

故答案为：30。.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质；掌握旋转的性

质是解题关键.

25.（2023上•重庆•八年级重庆市大学城第一中学校校联考期中）如图，在△ABC中，E是BC上一点，3EC=

5BE,点尸是4C的中点，若S-BC=12,贝IJS-BD的值为

【答案】」/3V

【分析】过点尸作FGIIBC交BC于点G,根据点F是4C的中点，求出治人砰=S.CF=（S^ABC=6,设BE为

3%,则CE为5x,根据FGWBC,得到△CFG-△CAE,△BDE-△BGF,由相似三角形的性质可得段=芸=[

CECA2

器=隈,进而表示出BG的长，求出翌的值，即可求解.

【详解】解：如图，过点尸作FGIIBC交BC于点G,

A

团点尸是ac的中点,

回=S^BCF~2=6,

团3EC=5BE,

「BE3

设BE为3x,贝！|CE为5尤,

EIFGWBC,

CFG-△CAE,△BDE—△BGF,

CG__1BE_BD

CE~CA~2fBG~BF

15

^G=-CE=-x,

511

团=-x+3%=—%

22

「BD_BE_3x_6

BF~BG~—x~11

2

回SMBD=五S—BF=~,

故答案为停.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积比等于底边的比，解题的关键是利用

相似三角形的性质求出器的值.

BF

三、解答题

26.（2023・山西太原•统考一模）如图，回。是AABC的外接圆，EL405=96°,EO8=60。，点。是废的中点.求

EL4SD的度数.

A

【答案】SABD=W2°.

【分析】根据团C48=60。，可得比经120。，再由点。是此的中点可得6260。，由圆周角定理可知回CBD

=30°,由此即可求出EMAD的度数.

【详解】解：m。3=96。，

EEL4c8=48°,

B3C48=60°,

m

0EL4SC=180°-BACB-SCAB=72°,废=120°,

又回点。是此的中点，

0CS=60°,

00C5Z）=30°,

0EL4SD=SABC+BCBD=102°.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，找准同弧所对圆周角和圆心角是解题关键.

27.（2023下•河北唐山•七年级统考期末）如果一个三角形的一边长为5cm,另一边长为2cm,若第三边长

为xcm.

⑴第三边x的范围为.

⑵当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）.

【答案】（1）3<x<7

（2）12cm底边和腰不相等的等腰三角形

【分析】（1）三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，据此可求得答案.

（2）先求得第三边的长度，然后计算三角形的周长并按边的相等关系分类即可.

【详解】（1）根据三角形两边的和大于第三边，则

%<5+2.

即％<7.

根据三角形两边的差小于第三边，则

5—2<%.

即3Vx.

综上所述

3<%<7.

故答案为：3<x<7.

(2)回第二边的长为奇数，

回第三边的长为5cm.

回三角形的周长=5+5+2=12(cm).

回两条边的长为5cm,另外一条边的长为2cm,

国这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形.

【点睛】本题主要考查三角形三边之间的大小关系以及三角形按边的相等关系分类，牢记三角形三边之间

的大小关系(三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边)和三角形按边的相等关系分类是

解题的关键.

28.(2023上•福建厦门•八年级校考期中)如图，在A4BC中，

(1)CE是A4BC的外角N4CD的平分线，且交B4的延长线于点E(依题意补出图形).

(2)NB=40°,AAEC=30°,求ABAC的度数.

【答案】⑴见解析

(2)100°

【分析】(1)根据题意作图即可；

(2)根据三角形外角性质求出4EC。，根据角平分线定义求出乙4CD,根据三角形外角性质求出即可.

【详解】(1)如图所示：

E

(2)ZF=40°,/.AEC=30°,

•••4DCE=NB+乙AEC=40°+30°=70°,

vCE平分"CD,

.­.Z.ACD=2Z.DCE=140°,

ABAC=AACD-乙B=140°-40°=100°.

【点睛】本题的关键是掌握三角形外角性质，并能灵活运用定理进行推理.

29.(2023•江苏苏州・统考中考真题)如图，在AABC中，AB=aC,4£＞为△ABC的角平分线.以点2圆心，

长为半径画弧，与4B,AC分别交于点E,F,连接DE,DF.

⑴求证：△4DE三AADF；

(2)若ABAC=80°,求NBDE的度数.

【答案】⑴见解析

⑵乙BDE=20°

【分析】(1)根据角平分线的定义得出NB40=NC4D,由作图可得4E=aF,即可证明△4DE三AAD尸；

(2)根据角平分线的定义得出4E4D=40。，由作图得出AE=AD,则根据三角形内角和定理以及等腰三角

形的性质得出乙4DE=70°,AD1BC,进而即可求解.

【详解】(1)证明：刻。为△ABC的角平分线，

回4=Z.CAD,

由作图可得AE=4F,

在AADE和AADF中，

'AE=AF

/.BAD=Z.CAD，

.AD=AD

[3AADE=△ADF(SAS)；

(2)0Z5XC=80°,4。为△ABC的角平分线，

SZ.EAD=40°

由作图可得AE=ZD,

ELG4DE=70°,

EL4B=AC,4。为AZBC的角平分线，

EL4D1BC,

^Z.BDE=20°

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等

腰三角形的性质与判定是解题的关键.

30.(2023・山西・统考一模)如图，在13ABe中，AD0BC于点D,点E为BD边上一点，过点E作EG0AD,

分别交AB和CA的延长线于点F,G,0AFG=0G.

(1)证明：0ABD00ACD

(2)若回B=40°,直接写出E1FAG=:

【答案】(工)详见解析；(2)80

【分析】(1)由已知条件可直接得到AD为公共边,0ADB=I3ADC=9O。,据两直线平行间接可得到E1CAD=EIBAD,

即可判定tSABDEHACD(ASA)；

(2)利用(1)中结论易求得此度数，根据三角形外角的性质即可得4凡4G的度数.

【详解】解:(1)SAD1BC,

国乙4DB=Z4PC=90°

SGE//AD,

=NG,乙4FG=/.BAD.

^Z-AFG—z_G,

0zCi4D=4BAD.

在448。和44。。中，

(ABDA=Z.CDA

AD=AD

{/.BAD=7.CAD

^AABD^AACD(.ASA)

(2)解：由(1)44BDE1ZMCD可得：NB=4

03B=4O",

EEC=40°,

E1ZF4G=ZB+NC=40°+40°=80°,

故答案为：80°.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及三角形外角的性质，利用平行线的性质证明/以。=NB4D是

解题的关键.

31.（2023・山西・校联考模拟预测）如图，BD是448c的角平分线，AE1BD,垂足为F.若N28C=36°,ZC=

44°,求NE4C的度数.

【答案】/-EAC=28°.

【分析】先根据三角形的内角和定理求得ABAC的度数，再根据角平分线的定义求得N4BD的度数，由4E_L

BD得到NB4F=72°,即可求解.

【详解】解：^ABC=36°,ZC=44°,

EZBXC=180°-36°-44°=100°.

I3BD平分2BC,

^ABD=LBC=18°.

2

^\AE1BD,

^BFA=90°,

SABAF=90°-18°=72°,

SZ.EAC=4BAC-^BAF=100°-72°=28°.

【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理等内容，灵活利用三角形内角和定理求角度是解题

的关键.

32.（2023广东汕头•统考一模）问题发现：如图1,在AOAB和AOCD中，OA=OB,OC=OD,0AOB=fflCOD=4O",

连接AC,BD交于点M,

c

c

图2

0AMB的度数为.

(2)类比探究，如图2,在AOAB和AOCD中，0AOB=0COD=9O0,0OAB=0OCD=3O°,连接AC交BD的延长

线于点M,请判断黑的值及回AMB的度数，并说明理由:

BD

【答案】（1）1；40°；（2）黑的值为旧，NAMB的度数为90。，理由见解析.

BD

【分析】（］）利用S4S定理证出ACOAMADOB,根根三角形全等的性质可得堂的值；再由三角形全等的性

BD

质得NC4。=408。，然后根据三角形的内角和定理即可得;

（2）先利用相似三角形的判定定理推出A40C〜ABOD,再根据相似三角形的性质得党的值；与（1）的解

BD

法类似，先由相似三角形的性质得NC4。=NDB。，然后根据三角形的内角和定理即可得.

【详解】解：(1)/.AOB=乙COD=40°

/.COD+/.AOD=AAOB+乙400,即“。4=乙DOB

0A=OB,OC=OD

・•・/^COA=△00B(S4S)

AAC=BD,Z-CAO=Z-DBO

AC

・•・—=1

BD

在A(MB中，^0AB+AOBA=180°-AAOB=140°

在AABM中，

"MB=180°-(^CAO+乙OAB+^DBA)

=180°-⑷)BO+40AB+ADBA)

=180°-{/.OBA+Z.OAB}=180°-140°=40°

故答案为：1；40°；

(2)—=V3,ZXMB=30°,理由如下：

BD

在RtACOD中，ACOD=90°,ZOCD=30°

ODA/3

・•・——•=tanZ,OCD=tan30°=—

OC3

同理可得：*=日

OCOAL

・•・一=—=V3

ODOB

又•・•LAOB=匕COD=90°

・・・乙COD+AAOD=乙AOB+/-AOD,^Z,COA=乙DOB

.•・^AOC〜ABOO(两边对应成比例且夹角相等的三角形相似)

ACOC「

.••丽=丽=卤皿。=皿。

在AOA*,Z.OAB+乙OBA=180°-Z.AOB=90°

在A4BM中，Z.AMB=180°-(zCXO+/.OAB+/.DBA)

=180°-QDBO+AOAB+/.DBA)

=180°-^OBA+AOAB)=180°-90°=90°

故黑的值为百，乙4MB的度数为90。.

BD

【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质、三角形的内角和定理，

根据已知条件推出两个三角形全等或相似是解题关键.

33.(2023・山西太原•统考二模)如图，在凹四边形4BCD中，ZA=55°,ZB=30°,ZD=20°,求N8CD的

度数.

A

下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：

方法一：作射线/C；

方法二：延长8C交/。于点E；

方法三：连接2D

请选择上述一种方法，求NBCD的度数.

【答案】乙BCD=105°,方法见解析

【分析】选择方法一：作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E,根据外角的性质求出=+

NB4E即可解得；

选择方法二：延长3c交4。于点E,根据外角的性质求出ABED=NB+N4即可解得；

选择方法三：连接BD,根据三角形内角和求出乙4+乙48。+乙4。8=180。，在ABC。中，^BCD=180°-

乙CBD-MDB,再根据角之间的和差即可求出.

【详解】解：选择方法一：

如答图1,作射线AC并在线段AC的延长线上任取一点E.

回NBCE是AaBC的外角，

=48+乙BAE.

同理可得NOCE=ND+Z.DAE.

⑦乙BCD=Z-B+Z-BAE+Z.D+Z-DAE.

回乙BCD=Z.B+乙BAD+乙D.

^BAD=55°,乙B=30°,乙D=20°,

^BCD=105°

A

选择方法二：

如答图2,延长交/。于点E.

团乙BEO是△ABE的外角，

国乙BED=Z-B+Z-A.

同理可得4BCO=乙BED+乙D.

国乙BCD=乙8+4/+40.

0ZX=55°,乙B=30°,乙D=20°,

团2BCD=105°

A

（答图2）

选择方法三：

如答图3,连接5D

在△4BD中，Z,A+Z.ABD+Z.ADB=180°.

团乙/+/.ABC+乙CBD+/.ADC+乙CDB=180°

团乙A+Z.ABC+/.ADC=180°一乙CBD-乙CDB.

在△BCO中，乙BCD=180。一乙CBD一乙CDB.

国乙BCD=44+乙ABC+Z-ADC.

团乙/=55°,/.ABC=30°,乙ADC=20°,

回4BCD=105°

A

（答图3）

【点睛】此题考查了三角形的外角性质、三角形内角和，解题的关键是构造辅助线，会用三角形的外角性

质、三角形内角和解题.

34.（2023・四川乐山•统考中考真题）如图，在RtAABC中，NC=90。，点。为4B边上任意一点（不与点/、

3重合），过点。作DEIIBC,DFWAC,分别交4C、BC于点E、F,连接EF.

⑴求证：四边形ECFD是矩形；

⑵若CF=2,CE=4,求点C至!JEF的距离.

【答案】⑴见解析

（2）^75

【分析】（1）利用平行线的性质证明NCED=ACFD=90°,再利用四边形内角和为360。，证明NEDF=90°,

即可由矩形判定定理得出结论；

（2）先由勾股定理求出EF=VCF2+CE2=2后再根据三角形面积公式求解即可.

【详解】（1）证明：SDEIIBC,DFWAC,

国四边形ECFO为平行四边形，

回乙C=90°,

团四边形是矩形.

(2)解：0ZC=90°,CF=2,CE=4,

0FF=7CF2+CE2=2A/5

设点C至1JEF的距离为人，

^S^CEF=\CE-CF=\EF-h

02x4=2V5/i

0h=—

5

答：点c至随尸的距离为

【点睛】本题考查矩形的判定，平行线的性质，勾股定理.熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求线段

长是解题的关键.

35.（2023•辽宁•校考一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，^BAC=90°,AB=AC,^BDC=45°,E是BD

上的一点，S.^BAE=/.CBD,AE交BC于点M,将△CBD沿BC翻折得△8CF,BF交4E于G,交4c于H.

A

（2）探究BG与CD的数量关系，并证明；

（3）若4G=kGM,求案的值.

【答案】（1）45°；（2）CD=V2BG,见解析；（3）史尹

【分析】（1）证明=利用三角形的外角的性质解决问题即可.

（2）结论CD=&BG.作BT1BF交AE的延长线于T.证明BG=BT,推出AABT〜△BCD,可得丝=